\documentclass[11pt,a4paper]{report} \usepackage[ansinew]{inputenc} \usepackage{amssymb} \usepackage{wasysym} \usepackage{xy} \input xy \xyoption{all} \usepackage{ngerman,latexsym,alltt,graphicx,textcomp} \usepackage[bookmarks, colorlinks=false, pdftitle={Mitschrift Elektrotechnik I Prof. Dr.-Ing W. Schwarz, WS03/04}, pdfauthor={Fabian Kurz}, pdfsubject={Mathematik}, pdfkeywords={Mathematik Elektrotechnik}, linkbordercolor={1 1 1}]{hyperref} \date{Letzte Aktualisierung:\\\today} \author{Fabian~Kurz\\\href{http://fkurz.net/}{http://fkurz.net/}} \title{Elektrotechnik I -- WS 03/04\\Prof. Dr.-Ing. W. Schwarz\\Mitschrift} \setcounter{chapter}{-1} \begin{document} \maketitle \pagenumbering{Roman} \tableofcontents \chapter{Physikalische Größen und Einheiten} \pagenumbering{arabic} \begin{itemize} \item kennzeichnen physikalische Erscheinungen \item dienen zur quantitativen Beschreibung physikalischer Zusammenhänge \item \textbf{Grund-Basisgrößen} \begin{itemize} \item Mechanik: Weg \(s\), Zeit \(t\), Masse \(m\) \item Elektrotechnik: Ladung \(Q\) \end{itemize} \item \textbf{Definitionsgleichungen}: definieren abgeleitete Größen aus Basisgrößen (subjektiv, aber zweckmäßig), \textit{müssen gelernt werden!} \begin{itemize} \item Geschwindigkeit: \(v = \frac{s}{t}\) \item Energie: \(W = Fs\) \item Widerstand: \(R = \frac{U}{I}\) \item Leitwert: \(G = \frac{I}{U}\) \end{itemize} \item \textbf{Naturgesetze}: geben objektive funktionelle Zusammenhänge physikalischer Größen an; werden durch Erkenntnis (Messen etc.) diktiert, \textit{müssen verstanden werden!} \textbf{Beispiele:} \begin{picture}(200,50) \put(30,25){\circle{20}} %% m1 \put(80,25){\circle{20}} %% m2 \put(23,23){$m_{1}$} %% m1 \put(73,23){$m_{2}$} %% m2 \put(30,15){\line(0,-1){10}} \put(80,15){\line(0,-1){10}} \put(30,8){\vector(1,0){50}} \put(80,8){\vector(-1,0){50}} \put(53,10){$r$} %% r \thicklines \put(40,25){\vector(1,0){12}} \put(70,25){\vector(-1,0){12}} \put(43,30){$F_{1}$} %% F1 \put(57,30){$F_{2}$} %% F2 \put(120,40){$F = k_{n} \frac{m_1 m_2}{r^2}$} \put(110,25){Gravitationsgesetz} \put(123,10){Naturgesetz} \end{picture} \begin{picture}(200,50) \put(30,25){\circle{20}} %% Q1 \put(80,25){\circle{20}} %% Q2 \put(24,23){$Q_{1}$} %% Q1 \put(74,23){$Q_{2}$} %% Q2 \put(30,15){\line(0,-1){10}} \put(80,15){\line(0,-1){10}} \put(30,8){\vector(1,0){50}} \put(80,8){\vector(-1,0){50}} \put(53,10){$r$} %% r \thicklines \put(90,25){\vector(1,0){12}} \put(20,25){\vector(-1,0){12}} \put(5,30){$F_{1}$} %% F1 \put(95,30){$F_{2}$} %% F2 \put(135,40){$F = k_{el} \frac{Q_1 Q_2}{r^2}$} \put(120,25){Coloumbsches Gesetz} \put(138,10){Naturgesetz} \end{picture} \end{itemize} \section*{Struktur einer physikalischen Größe} \textbf{Größe} = \(\underbrace{\textnormal{\textbf{Zahlenwert}}}_{\textnormal{Quantität}}\quad * \quad\underbrace{\textnormal{\textbf{Maßeinheit}}}_{\textnormal{Qualität}}\) \smallskip \begin{flushleft} \textbf{Beispiel} \end{flushleft} $ s = 5 * 1\,\mathrm{m} = 5\,\mathrm{m} $ \bigskip Zahlenwert und Maßeinheit sind mathematische \textit{Faktoren}. Daher sind Umformungen einer physikalischen Größe möglich: \smallskip $ s = 5 * 1\,\mathrm{m} \Rightarrow \underbrace{\frac{s}{1\,\mathrm{m}} = 5}_{\textnormal{\(s\) gemessen in m ist \(5\)}} \Rightarrow \underbrace{\frac{s}{5} = 1\,\mathrm{m}}_{\textnormal{\(s\) durch \(5\) ergibt \(1\)\,m}} $ \smallskip \section*{Darstellungsformen physikalischer Gleichungen} \textbf{Größengleichungen verbinden physikalische Größen} \begin{description} \item[Beispiel:] Wieviele Meter legt ein Kraftfahrzeug bei einer Geschwindigkeit von \(120 \frac{km}{h}\) in 3 Sekunden zurück? \end{description} $s = vt = 120 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}\, 3\,\mathrm{s} = 120 \frac{10^{3}\,\mathrm{m}}{3600\,\mathrm{s}}\,3\,\mathrm{s} =100\,\mathrm{m} $ \bigskip \textbf{Kennzeichen:} Es wird ein konkreter Wert einer physikalischen Größe bestimmt. \bigskip \begin{flushleft}\textbf{Zugeschnittene Größengleichungen}\end{flushleft} \begin{description} \item[Beispiel:] Gesucht ist der Weg \(s\) (in Metern), den ein Fahrzeug mit der Geschwindigkeit \(v\) (in \(\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}\)) in einer Zeit \(t\) (in Sekunden) zurücklegt. \end{description} $ s = vt= \frac{v}{\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}}\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}\frac{t}{\mathrm{s}}\mathrm{s}=\frac{v}{\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}}\frac{t}{\mathrm{s}}\frac{10^{3}\,\mathrm{m}}{3600\,\mathrm{s}}\mathrm{s}=\frac{1}{3,6}\frac{v}{\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}}\frac{t}{\mathrm{s}}$ \section*{Dimension und Maßeinheiten} Die eckige Klammer [\(X\)] gibt die Dimension der physikalischen Größe \(X\) an. Sie kann auch zur Angabe der Maßeinheit verwendet werden. \begin{description} \item[Beispiel:] Beschleunigung \(a\) \([a] = \frac{[s]}{[t]^{2}} \) \qquad Dimensionsangabe \smallskip \([a] = \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\) \quad Angabe einer Maßeinheit \smallskip Es gilt \([U] = \mathrm{V}\), aber \([\mathrm{V}]\) hat keinen Sinn. \end{description} \chapter{Grundbegriffe} \section{Ladung} Die Ladung ist die Grundgröße der Elektrotechnik. Sie dient zur Beschreibung von Kraftwirkungen, die mechanisch nicht erklärt werden können. \smallskip Eigenschaften: \begin{itemize} \item Es gibt positive und negative Ladungen \item Gleichnamige Ladungen stoßen einander ab, ungleiche Ladungen ziehen sich an \item Die Ladung ist \textit{gequantelt}. Die kleinste bekannte Ladung ist die Elementarladung \(e = 1,\!66*10^{-19} \mathrm{C}\). Eine beliebige Ladung kann nur ganzzahliges Vielfaches dieser Elementarladung sein. \(Q = ne \quad n \in \mathbb{N}\) \item Ladung ist stets an Ladungsträger gebunden (Ionen, Elektronen). \item Die Ladung ist eine \textit{Erhaltungsgröße}. In einem abgeschlossenen Volumen \(V\) (ohne Wechselwirkung mit der Außenwelt) ist die Ladungsmenge konstant. Ladungen können innerhalb von \(V\) nur paarweise entstehen (Ladungstrennung, Generation) oder verschwinden (Rekombination). \end{itemize} \section{Elektrischer Strom} \subsection{Definition} Strom (Fluß) ist gerichtete Bewegung einer Quantität. Elektrischer Strom ist die gerichtete Bewegung von Ladungen (Konvek\-tionsstrom). \begin{center} \begin{tabular}{|c|} \hline \\ \(I = \frac{dQ}{dt} = \frac{\textnormal{\scriptsize{in \(dt\) durch den Leiterquerschnitt bewegte Ladung}}}{dt} \) \\ \\ \hline \end{tabular} \end{center} $ [I] = \frac{[Q]}{[t]} = \frac{\mathrm{C}}{\mathrm{s}} = 1\,\mathrm{A}\textnormal{ (Ampere) = Grund\textit{einheit} der Elektrotechnik} $ \begin{flushleft}\textbf{Beispiel:} \begin{picture}(300,100) \put(0,85){$Q(t)$} \put(5,62){$Q_0$} \put(25,15){\vector(0,1){80}} %% y-achse \put(15,25){\vector(1,0){120}} %% x-achse \put(23,65){\line(1,0){4}} %% q0 \put(25,25){\line(2,3){27}} %% ansteigend \put(52,65){\line(4,-3){53}} %% absteigend \put(52,23){\line(0,1){4}} %% T \put(105,23){\line(0,1){4}} %% 3T \put(48,10){$T$} %% T \put(100,10){$3T$} %% 3T \put(140,80){$Q(t):\textnormal{ die bis } t \textnormal{ durch den Leiter-}$} \put(145,67){querschnitt geströmte Ladung} \put(180,40){Gesucht: \(I(t)\)} \end{picture} \textbf{1. Aufstellung der Beziehung für \(Q(t)\):} \bigskip \( Q(t) = \left\{ \begin{array}{ll} Q_{0}\frac{t}{T} & 0 \leq t \leq T\\ &\\ Q_{0}\frac{3T-t}{2T} & T \leq t \leq 3T\\ &\\ 0 & \textrm{sonst} \end{array} \right. \) \bigskip \textbf{2. Bestimmung von \(I(t)\):} \smallskip \begin{picture}(330,100) \put(0,85){$I(t)$} \put(5,62){$\frac{Q_{0}}{T}$} \put(25,15){\vector(0,1){80}} %% y-achse \put(15,45){\vector(1,0){120}} %% x-achse \put(23,65){\line(1,0){29}} %% q0 \put(52,30){\line(0,1){35}} %% T \put(105,30){\line(0,1){17}} %% 3T \put(42,34){$T$} %% T \put(106,48){$3T$} %% 3T \put(52,30){\line(1,0){53}} %% unten \put(5,30){$\frac{-Q_{0}}{2T}$} \put(23,30){\line(1,0){4}} %% unten \put(60,80){$Q_0$} \put(65,60){$-Q_0$} \put(60,75){\vector(-1,-1){21}} \put(78,55){\vector(1,-3){6}} \put(160,50){$I(t) = \frac{dQ}{dt} = \left\{\begin{array}{ll}\frac{Q_0}{T} & 0 \leq t \leq T\\&\\-\frac{Q_0}{2T} & T \leq t \leq 3T\\&\\0 & \textrm{sonst}\end{array} \right.$} \end{picture} \bigskip \textbf{Umkehrung} \bigskip \(I(t)\) gegeben, \(Q(t)\) gesucht \smallskip \begin{picture}(330,100) \put(0,85){$I(t)$} \put(25,15){\vector(0,1){80}} %% y-achse \put(15,15){\vector(1,0){120}} %% x-achse \put(50,13){\line(0,1){4}} %% T \put(105,13){\line(0,1){4}} %% 3T \put(45,04){$t_0$} %% T \put(100,04){$t_1$} %% 3T \qbezier(50,20)(55,60)(80,33) \qbezier(80,33)(90,20)(105,40) \put(150,80){$\frac{dQ}{dt} = I(t)$ \quad Differenzialgleichung} \put(200,30){$\int\limits_{Q(t_0)}^{Q(t_1)} = \int\limits_{t_0}^{t_1} I(t) dt$} \end{picture} \newpage \begin{displaymath} Q(t_1)-Q(t_0) = \bigg[Q\bigg]^{Q(t_1)}_{Q(t_0)} = \int\limits_{t_0}^{t_1} I(t) dt \end{displaymath} \begin{displaymath} Q(t_1) = Q(t_0) + \int\limits_{t_0}^{t_1} I(t) dt \end{displaymath} Verallgemeinerung: Die Integrationsgrenze \(t_1\) wird in \(t\) umbenannt, daher muß die Integrationsvariable in \(t'\) umbenannt werden. \begin{displaymath} Q(t) = Q(t_0) + \int\limits_{t_0}^{t} I(t') dt' \end{displaymath} \begin{displaymath} \textbf{NB:} \int\!I(t) dt \textnormal{ ist zur Beschreibung von Naturvorgängen nicht geeignet!} \end{displaymath} \bigskip \textbf{Beispiel:} Parabelförmiger Stromimpuls \bigskip \begin{picture}(330,100) \put(0,85){$I(t)$} \put(5,62){$I_0$} \put(25,15){\vector(0,1){80}} %% y-achse \put(15,25){\vector(1,0){95}} %% x-achse \qbezier(25,25)(30,60)(50,60) \qbezier(75,25)(70,60)(50,60) \put(23,60){\line(1,0){4}} \put(50,23){\line(0,1){4}} \put(47,10){$\frac{T}{2}$} \put(75,23){\line(0,1){4}} \put(73,10){$T$} \put(100,15){$t$} \put(120,80){gesucht: $Q(t)$} \put(120,50){$I(t) = \left\{\begin{array}{ll}a+bt+ct^2 & 0 \leq t \leq T\\0 &\textrm{sonst}\end{array}\right.$} \end{picture} Zur Bestimmung der Gleichung für die Parabel werden 3 Punkte benötigt (3 Gleichungen, 3 Unbekannte). \bigskip \(I(0) = 0 \Rightarrow a = 0\) \smallskip \(I(T) = 0 \Rightarrow 0 = bT+cT^2\) \smallskip \(I(\frac{T}{2}) = I_0 \Rightarrow I_0 = b \frac{T}{2} + c \frac{T^2}{4}\) \bigskip \(\Rightarrow b = -cT\) \smallskip \(\Rightarrow I_0 = -c\frac{T^2}{2}+c\frac{T^2}{4} = -c\frac{T^2}{4} \Rightarrow c = -\frac{4I_0}{T^2} \Rightarrow b=\frac{4I_0}{T}\) \bigskip \(\Rightarrow I(t) = 4I_0 \bigg(\frac{t}{T}-(\frac{t}{T})^2\bigg) \) \newpage Einsetzen in die Differentialgleichung: \smallskip \begin{displaymath} \underbrace{Q(t) = Q(t_0) + \int\limits_{t_0}^{t} I(t') dt'}_{t_0 = 0;\,\,Q(t_0)=Q(0)=0} = \int\limits_{0}^{t} I(t') dt' = 4I_0 \int\limits_{0}^{t} \bigg(\frac{t'}{T}-(\frac{t'^2}{T^2})\bigg) dt' \end{displaymath} \begin{displaymath} = 4I_0 \bigg[\frac{t'^2}{2T} - \frac{t'^3}{3T^2}\bigg]^{t}_{0} = 4I_0 \bigg[\frac{t^2}{2T} - \frac{t^3}{3T^2}\bigg] = 4 I_0 T \bigg[\frac{t^2}{2T^2} - \frac{t^3}{3T^3}\bigg]\textnormal{ (für }0 \leq t \leq T) \end{displaymath} Berechnung von \(Q(0)\), \(Q(\frac{T}{2})\) und \(Q(T)\): \begin{displaymath} Q(0) = 0 \qquad Q\bigg(\frac{T}{2}\bigg)=\frac{I_0 T}{3} \qquad Q(T) = \frac{2 I_0 T}{3} \end{displaymath} \begin{picture}(330,100) \put(0,85){$Q(t)$} \put(0,57){$\frac{2 I_0 T}{3}$} \put(0,37){$\frac{I_0 T}{3}$} \put(23,40){\line(1,0){4}} \put(25,15){\vector(0,1){80}} %% y-achse \put(15,25){\vector(1,0){95}} %% x-achse \qbezier(25,25)(40,25)(50,40) \qbezier(50,40)(55,55)(75,55) \put(23,60){\line(1,0){4}} \put(50,23){\line(0,1){4}} \put(47,10){$\frac{T}{2}$} \put(75,23){\line(0,1){4}} \put(73,10){$T$} \put(100,15){$t$} \put(75,55){\line(1,0){20}} \put(140,50){$Q(t) = \frac{2 I_0 T}{3}$ für $T \leq t$} \end{picture} \end{flushleft} \subsection{Kennzeichen des Stroms} \begin{enumerate} \item \textbf{Magnetische Wirkung:} Ein elektrischer Strom ist immer von einem Magnetfeld begleitet (\textsc{Ampere}'sches Gesetz) \begin{center} \begin{tabular}{p{120pt}p{120pt}} \textit{nützlich} & \textit{störend} \\ \hline Elektromagnet & Störfelder \\ Wellenausbreitung & Elektrosmog \\ \end{tabular} \end{center} \item \textbf{Thermische Wirkung:} Ein Strom kann eine Erwärmung des Leiters bewirken. \begin{center} \begin{tabular}{p{120pt}p{120pt}} \textit{nützlich} & \textit{störend} \\ \hline elektrische Heizung & Leitungsverluste \\ elektrisches Schmelzen & \\ \end{tabular} \end{center} \item \textbf{Chemische Wirkung:} Ein Strom kann Stoffumwandlungen und Stofftransport bewirken. \begin{center} \begin{tabular}{p{120pt}p{120pt}} \textit{nützlich} & \textit{störend} \\ \hline Galvanotechnik & elektrokorrision \\ elektrolytische Verfahren & \\ Akkumulatoren & \\ \end{tabular} \end{center} \end{enumerate} \subsection{Grundeigenschaft des Stromes: Kontinuität} \smallskip \includegraphics[width=3cm]{21102003} \parbox[b]{0.2cm}{\quad} \parbox[b]{7.5cm}{Die Ladung \(Q\) in einem abgeschlossenem Volumen ist konstant. \\ \begin{displaymath}\frac{dQ}{dt} = 0\end{displaymath} Der Gesamtstrom durch eine geschlossene Hülle \(H\) ist Null.} \begin{displaymath}I = I_{zu} - I_{ab} = 0\end{displaymath} Der elektrische Strom verhält sich wie eine inkompressible Flüssigkeit. \begin{description} \item[Spezialfall:] Strom in konzentrischen Leitern \smallskip \includegraphics[width=100pt]{21102003-2} \parbox[b]{7.5cm}{\begin{center}\(I_1 - I_2 - I_3 = 0\) \\\smallskip Summe der zufließenden Ströme \\\bigskip $ -I_1 + I_2 + I_3 = 0$ \\ \smallskip Summe der abfließenden Ströme \end{center}} Die Gesamtsumme der in ein/aus einem geschlossenes Volumen hinein/herausfliessenden Ströme ist Null (Schnittmengengesetz der Netzwerktheorie). \item[Beispiele:] \quad \begin{enumerate} \item Elektrisches Netzwerk \begin{picture}(300,130) \put(15,25){\line(1,0){40}} \put(55,20){\line(0,1){10}} \put(55,20){\line(1,0){20}} \put(55,17){\vector(1,0){20}} \put(57,5){$I_3$} \put(55,30){\line(1,0){20}} \put(75,20){\line(0,1){10}} \put(75,25){\line(1,0){55}} \put(130,25){\line(0,1){30}} \put(120,55){\line(1,0){20}} \thicklines \put(125,58){\line(1,0){10}} \thinlines \put(130,58){\line(0,1){17}} \put(125,75){\line(1,0){10}} \put(125,75){\line(0,1){20}} \put(135,75){\line(0,1){20}} \put(125,95){\line(1,0){10}} \put(130,95){\line(0,1){15}} \put(130,110){\line(-1,0){55}} \put(55,105){\line(0,1){10}} \put(55,105){\line(1,0){20}} \put(55,115){\line(1,0){20}} \put(55,117){\vector(1,0){20}} \put(58,120){$I_1$} \put(75,105){\line(0,1){10}} \put(15,110){\line(1,0){40}} \put(15,110){\line(0,-1){20}} \put(5,90){\line(1,0){20}} \thicklines \put(10,87){\line(1,0){10}} \thinlines \put(15,87){\line(0,-1){7}} \put(10,80){\line(1,0){10}} \put(10,80){\line(0,-1){20}} \put(20,80){\line(0,-1){20}} \put(10,60){\line(1,0){10}} \put(15,60){\line(0,-1){35}} \put(15,25){\circle*{3}} \put(15,25){\line(5,2){30}} \put(47,32){\line(-2,5){4}} \put(42,45){\line(5,2){20}} \put(62,52){\vector(4,2){1}} \put(48,55){$I_2$} \put(47,32){\line(5,2){20}} \put(43,42){\line(5,2){20}} \put(67,40){\line(-2,5){4}} \put(65,45){\line(5,2){19}} \put(87,46){\line(-2,5){6}} \thicklines \put(88,50){\line(-2,5){4}} \thinlines \put(87,54){\line(5,2){43}} \put(130,71){\circle*{3}} \put(205, 110){$I_1 + I_2 + I_3 = 0$} \put(190, 90){$\longrightarrow$ Ein Strom ergibt sich} \put(180, 75){jeweils aus den beiden anderen} \end{picture} \item Bipolartransistor: \begin{picture}(250,60) \put(25,25){\circle{25}} \put(25,17){\line(0,1){16}} \put(25,25){\vector(1,-1){9}} \put(25,25){\line(1,-1){10}} \put(35,15){\line(0,-1){10}} \put(25,25){\line(1,1){10}} \put(35,35){\line(0,1){10}} \put(25,25){\line(-1,0){25}} \put(37,15){\vector(0,-1){10}} \put(39,4){$I_E$} \put(37,45){\vector(0,-1){10}} \put(39,37){$I_C$} \put(0,27){\vector(1,0){10}} \put(1,32){$I_B$} \put(120, 35){$-I_B -I_c + I_E = 0$} \put(135, 10){$I_E = I_B + I_C$} \end{picture} \end{enumerate} \item[Kirchhoff'sches Stromgesetz] (Knoten(punkt)-Satz) (\textbf{K}irchhoffs \textbf{C}urrent \textbf{L}aw --- KCL) \includegraphics[width=100pt]{21102003-3} \parbox[b]{7.5cm}{ \begin{center} Hinfließender Strom: $\sum\limits_{m} I_m = I_1 - I_2 + I_3 - I_4$ \smallskip Abfließender Strom: $\sum\limits_{n} I_n = - I_1 + I_2 - I_3 + I_4$ \end{center}} Die Gesamtsumme aller dem/vom Knoten zu-/weg-fließenden Ströme ist Null. \end{description} \subsection{Messung des Stromes} \begin{description} \item[Grundregel:] Strom wird immer durch einen Querschnitt gemessen. $\Rightarrow$ Punkt im elektrischen Netzwerk \begin{enumerate} \item Durch Magnetfeledmessung \begin{enumerate} \item Kraftwirkungen (z.B. Drehspul-/Dreheiseninstrument) \item Messung der magnetischen Flußdichte \end{enumerate} \item Strommessung durch Messung des Spannungsabfalls an einem Messwiderstand \item Auswertung der Wärmeentwicklung \begin{enumerate} \item Hitzdraht-Messwerk \item Bimetall-Messwerk \end{enumerate} \item Auswertung der chemischen Wirkung historisch $\rightarrow$ die \textsc{Ampere}-Definition \end{enumerate} \end{description} \section{Elektrische Spannung} \subsection{Definition} \begin{picture}(110,90) \put(20,30){\line(1,0){70}} \put(30,25){\line(0,1){60}} \put(25,10){$A$} \put(80,25){\line(0,1){60}} \put(75,10){$B$} \put(5,73){$W_A$} \put(25,70){\line(1,0){10}} \put(87,73){$W_A$} \put(75,70){\line(1,0){10}} \put(87,40){$W_B$} \put(75,43){\line(1,0){10}} \qbezier(30,70)(50,70)(80,43) \put(40,30){\circle*{3}} \qbezier(30,8)(55,2)(77,8) \put(46,8){$\mathrm{V}_{AB}$} \put(40,35){$Q$} \end{picture} \parbox[b]{7.5cm}{ Ladungstransport ist mit Energietransport verbunden. Ladungsträger sind Energieträger. \begin{center} $U_{AB} = \frac{W_{A} - W_{B}}{Q}$ \end{center} $ \Rightarrow \textnormal{Definition der elektrischen Spannung}$ } Spannungsrichtung: vom höheren (+) zum niedrigeren (--) Energieniveau $[U] = \frac{[W]}{[Q]} = \frac{\mathrm{J}}{\mathrm{C}} = \frac{\mathrm{Ws}}{\mathrm{As}} = \frac{\mathrm{W}}{\mathrm{A}} = 1\,\mathrm{V}$ (Volt) \smallskip Prof. Dr.--Ing. W. Schwarz: \emph{``Für Plus wird die Farbe blau häufig \emph{(malt ein rotes Plus)} und für Minus die Farbe `Minus' verwendet.''} \subsection{Kennzeichen der Spannung} \textit{allgemein:} Spannung kennzeichnet die Tendenz zum Ladungsausgleich. \begin{minipage}[b]{6cm} \begin{description} \item[Stromantrieb:] Eine an einen Leiter angelegte Spannung treibt einen Strom durch den Leiter. \item[Mechanische Kräfte:] Isolierte Leiter, zwischen denen eine Spannung liegt ziehen einander an. \end{description} \end{minipage} \begin{minipage}[b]{6cm} \begin{picture}(150,110) \put(20,95){\line(1,0){50}} \put(70,85){\line(0,1){20}} \thicklines \put(73,90){\line(0,1){10}} \thinlines \put(73,95){\line(1,0){52}} \put(125,95){\line(0,-1){30}} \put(125,65){\line(-1,0){4}} \put(120,67){\line(-1,0){95}} \put(120,63){\line(-1,0){95}} \qbezier(120,67)(122,65)(120,63) \put(25,65){\circle{4}} \put(25,65){\line(-1,0){5}} \put(20,65){\line(0,1){30}} \put(40,72){\vector(1,0){60}} \put(76,75){$I$} \put(30,45){\line(1,0){40}} \put(70,35){\line(0,1){20}} \thicklines \put(73,40){\line(0,1){10}} \thinlines \put(73,45){\line(1,0){42}} \put(115,45){\line(0,-1){10}} \put(30,45){\line(0,-1){10}} \put(30,21){\circle{28}} \put(115,21){\circle{28}} \put(33,23){$-$} \put(35,18){$-$} \put(33,13){$-$} \put(105,23){$+$} \put(102,18){$+$} \put(105,13){$+$} \put(44,21){\vector(1,0){20}} \put(101,21){\vector(-1,0){20}} \put(50,10){$F$} \put(85,10){$F$} \end{picture} \end{minipage} \begin{description} \item[Erzeugung:] \quad \begin{enumerate} \item Grenzschichteffekte \begin{enumerate} \item Metall -- Elektrolyt (z.B. Batterien) \item Metall -- Metall (z.B. Thermoelemente) \item Halbleiter -- Halbleiter (Photodiode) \end{enumerate} \item Induktionswirkung $\Rightarrow$ Generatoren \end{enumerate} \end{description} \subsection{Grundeigenschaften der Spannung} \begin{minipage}[t]{5,5cm} \begin{picture}(150,170) \put(20,20){\line(1,0){110}} %% unten \put(20,20){\circle*{3}} %% kreis unten links \put(130,20){\circle*{3}} %% kreis unten rechts \put(20,150){\circle*{3}} %% kreis o links \put(130,150){\circle*{3}} %% kreis o rechts \put(137,15){$0$} \put(10,15){$1$} \put(20,85){\circle*{3}} %% 2 \put(10,83){$2$} \put(10,143){$3$} \put(137,143){$4$} \put(130,85){\circle*{3}} %% 2 \put(137,83){$5$} \put(3,70){$+$} \put(3,43){$-$} \put(137,70){$+$} \put(137,43){$-$} \put(55,30){$+$} \put(85,30){$-$} \put(75,20){\circle{25}} \put(20,20){\line(-1,-1){10}} %% weg unten links \put(130,20){\line(1,-1){10}} %% weg unten rechts \put(20,150){\line(-1,1){10}} %% weg o links \put(130,150){\line(1,1){10}} %% weg o rechts \put(20,20){\line(0,1){80}} \put(130,20){\line(0,1){80}} \put(15,100){\line(1,0){10}} \put(15,120){\line(1,0){10}} \put(15,100){\line(0,1){20}} \put(25,100){\line(0,1){20}} \put(125,100){\line(1,0){10}} \put(125,120){\line(1,0){10}} \put(125,100){\line(0,1){20}} \put(135,100){\line(0,1){20}} \put(20,120){\line(0,1){30}} \put(130,120){\line(0,1){30}} \put(20,150){\line(1,0){45}} \put(85,150){\line(1,0){45}} \put(65,145){\line(0,1){10}} \put(85,145){\line(0,1){10}} \put(65,155){\line(1,0){20}} \put(65,145){\line(1,0){20}} \put(20,60){\circle{25}} \put(130,60){\circle{25}} \put(75,85){\circle{28}} \put(74,71){\vector(-1,0){1}} \put(71,83){$Q$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[b]{5,5cm} \begin{description} \item[Masche:] geschlossener Umlauf in einem elektrischen Netzwerk. Eine Ladung $Q$ läuft auf dem Weg $0 \rightarrow 1 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow 4 \rightarrow 5 \rightarrow 0$. Sie hat im Zielpunkt $0$ die gleiche Energie wie beim Start. \bigskip \bigskip \bigskip \bigskip \bigskip \end{description} \end{minipage} \begin{displaymath} W_{\circlearrowleft} = W_{01} + W_{12} + W_{23} + W_{34} + W_{45} + W_{50} = 0 \end{displaymath} \begin{displaymath} \frac{W_{\circlearrowleft}}{Q} = \frac{W_{01}}{Q} + \frac{W_{12}}{Q} + \frac{W_{23}}{Q} + \frac{W_{34}}{Q} + \frac{W_{45}}{Q} + \frac{W_{50}}{Q} = 0 \end{displaymath} \begin{displaymath} U_{\circlearrowleft} = U_{01} + U_{12} + U_{23} + U_{34} + U_{45} + U_{50} = 0 \end{displaymath} \begin{description} \item[Kirchhoff'sches Spannungsgesetz (Maschensatz)] \quad (\emph{\textbf{K}irchhoff's \textbf{V}oltage \textbf{L}aw}) Bei Umlauf in einer Masche ist die Summe aller in Umlaufrichtung gezählter Spannungen Null. \begin{displaymath} \sum_{\circlearrowleft}\,U_{\nu} = 0 \end{displaymath} \item[Beispiele und Anwendungen] \quad \begin{center} \begin{picture}(210,100) \put(20,10){\line(1,0){170}} \put(190,10){\line(0,1){70}} \put(190,80){\line(-1,0){20}} \put(170,75){\line(0,1){10}} \put(150,75){\line(0,1){10}} \put(170,75){\line(-1,0){20}} \put(170,85){\line(-1,0){20}} \put(150,80){\line(-1,0){40}} \put(110,75){\line(0,1){10}} \put(100,75){\line(0,1){10}} \put(100,75){\line(2,1){10}} \put(100,85){\line(2,-1){10}} \put(100,75){\line(0,1){10}} \put(100,80){\line(-1,0){40}} \put(60,75){\line(0,1){10}} \put(40,75){\line(0,1){10}} \put(60,75){\line(-1,0){20}} \put(60,85){\line(-1,0){20}} \put(40,80){\line(-1,0){20}} \put(20,10){\line(0,1){70}} \put(20,45){\circle{20}} \put(190,45){\circle{20}} \put(130,80){\circle*{2}} \put(130,10){\circle*{2}} \put(130,80){\line(0,-1){30}} \put(125,50){\line(1,0){10}} \put(125,40){\line(1,0){10}} \put(125,40){\line(1,2){5}} \put(135,40){\line(-1,2){5}} \put(130,40){\line(0,-1){30}} \put(150,87){\vector(1,0){20}} \put(152,92){$U_{R2}$} \put(40,87){\vector(1,0){20}} \put(42,92){$U_{R1}$} \put(95,87){\vector(1,0){20}} \put(97,92){$U_{D1}$} \put(5,55){\vector(0,-1){22}} \put(0,58){$U_{q1}$} \put(202,33){\vector(0,1){22}} \put(195,62){$U_{q2}$} \put(118,55){\vector(0,-1){22}} \put(110,58){$U_{D2}$} \put(70,45){\circle{28}} \put(68,42){$1$} \put(73,31){\vector(1,0){0}} \put(155,45){\circle{28}} \put(153,42){$2$} \put(158,31){\vector(1,0){0}} \put(45,60){\oval(16,16)[tl]} \put(45,30){\oval(16,16)[bl]} \put(165,60){\oval(16,16)[tr]} \put(165,30){\oval(16,16)[br]} \put(45,68){\line(1,0){120}} \put(45,22){\line(1,0){120}} \put(173,30){\line(0,1){30}} \put(37,30){\line(0,1){30}} \put(100,22){\vector(1,0){}} \put(97,25){$3$} \end{picture} \end{center} $\circlearrowleft 1:\,\, -U_{D1} - U_{R1} + U_{q1} - U_{D2} = 0$ $\circlearrowleft 2:\,\, U_{D2} + U_{q2} - U_{R2} = 0$ $\circlearrowleft 3:\,\, -U_{D1} - U_{R1} + U_{q1} + U_{q2} - U_{R2} = 0$ $\circlearrowleft 3 =\,\, \circlearrowleft 1 + \circlearrowleft 2$ $\Rightarrow$ Nur zwei Maschengleichungen sind voneinander abhängig! \item[Problem:] Möglichst genaue Messung von Spannungen in einem engen Bereich $U_u < U < U_o$. \begin{picture}(75,65) \thicklines \put(10,20){\line(1,0){40}} \put(50,20){\line(0,1){40}} \put(10,60){\line(1,0){40}} \put(10,20){\line(0,1){40}} \thinlines \qbezier(10,45)(30,55)(50,45) \put(30,25){\circle*{5}} \put(30,25){\vector(-1,3){8}} \put(15,45){\line(0,1){4}} \put(45,45){\line(0,1){4}} \put(11,40){$\scriptscriptstyle{U_u}$} \put(39,40){$\scriptscriptstyle{U_o}$} \end{picture} \begin{minipage}[b]{5cm} $-U + U_I + U_1 = 0$ \bigskip $U_I = U_u - U_1$ \bigskip $0 = U_u - U_1 \Rightarrow \underline{U_u = U_1}$ \bigskip \end{minipage} \begin{minipage}[b]{3cm} \begin{picture}(100,100) \put(10,10){\circle{3}} \put(10,90){\circle{3}} \put(10,85){\vector(0,-1){70}} \put(2,50){$U$} \put(11,10){\line(1,0){29}} \put(11,90){\line(1,0){29}} \put(40,90){\line(0,-1){15}} \put(40,65){\circle{20}} \put(40,10){\line(0,1){45}} \put(40,35){\circle{20}} \put(53,75){\vector(0,-1){20}} \put(53,45){\vector(0,-1){20}} \put(36,61){V} \put(56,61){$U_I$} \put(56,31){$U_1$} \end{picture} \end{minipage} \newpage \end{description} \subsection{Messung der Spannung} Spannung wird zwischen zwei Punkten gemessen. \begin{enumerate} \item Durch Auswertung des Stromantriebs (Kraftwirkung im magnetischen Feld). (Stromführender Spannungsmesser) \begin{picture}(200,85) \put(20,60){\circle{4}} \put(8,57){$A$} \put(22,60){\line(1,0){28}} \put(50,55){\line(0,1){10}} \put(50,55){\line(1,0){20}} \put(50,65){\line(1,0){20}} \put(70,55){\line(0,1){10}} \put(70,60){\line(1,0){28}} \qbezier(35,65)(60,80)(85,65) \put(85,65){\vector(4,-2){0}} \put(56,75){$U$} \put(35,60){\line(0,-1){30}} \put(85,60){\line(0,-1){30}} \multiput(35,60)(50,0){2}{\circle*{2}} \put(85,30){\line(-1,0){15}} \put(35,30){\line(1,0){15}} \put(55,25){\vector(1,1){10}} \put(60,30){\circle{20}} \put(150,45){Anzeige $I_m$} \put(100,60){\circle{4}} \put(105,57){$B$} \end{picture} \item Durch Auswertung der Kraftwirkung im elektrischen Feld \begin{picture}(230,80) \put(15,30){\line(0,1){20}} \put(5,20){\line(1,1){10}} \put(5,24){\line(1,1){10}} \put(5,28){\line(1,1){10}} \put(5,32){\line(1,1){10}} \put(5,36){\line(1,1){10}} \put(5,40){\line(1,1){10}} \put(15,40){\line(1,0){20}} \put(35,68){\circle{4}} \put(35,66){\line(0,-1){50}} \put(55,68){\circle{4}} \put(55,66){\line(-1,-4){13}} \put(48,40){\line(1,0){22}} \put(70,40){\line(1,3){4}} \put(74,52){\line(1,-3){8}} \put(82,28){\line(1,3){8}} \put(90,52){\line(1,-3){8}} \put(98,28){\line(1,3){8}} \put(106,52){\line(1,-3){8}} \put(114,28){\line(1,3){4}} \put(118,40){\line(1,0){12}} \put(130,30){\line(0,1){20}} \put(130,50){\line(1,1){10}} \put(130,46){\line(1,1){10}} \put(130,42){\line(1,1){10}} \put(130,38){\line(1,1){10}} \put(130,34){\line(1,1){10}} \put(130,30){\line(1,1){10}} \put(90,55){$k$} \put(40,68){\vector(1,0){10}} \put(42,72){$U$} \multiput(55,62)(0,-5){10}{\line(0,1){3}} \put(47,25){$\alpha$} \put(160,55){$F = k\alpha = f(\alpha)$} \put(167,25){$\alpha = f(U)/k$} \end{picture} \end{enumerate} \section{Energie und Leistung} Mechanik: \begin{displaymath} W = Fs = \int\limits_{s_1}^{s_2} F(s) ds \qquad [W] = \mathrm{Nm} = \mathrm{J} \quad \textnormal{(Joule)} \end{displaymath} \begin{displaymath} P = \frac{dW}{dt} \qquad [P] = \frac{\mathrm{J}}{\mathrm{s}} = \mathrm{W}\quad \textnormal{(Watt)} \end{displaymath} \subsection{Grundbeziehungen} \begin{picture}(118,85) \put(20,60){\circle{4}} \put(8,57){$A$} \put(22,60){\line(1,0){28}} \put(50,55){\line(0,1){10}} \put(50,55){\line(1,0){20}} \put(50,65){\line(1,0){20}} \put(70,55){\line(0,1){10}} \put(70,60){\line(1,0){28}} \qbezier(35,65)(60,80)(85,65) \put(85,65){\vector(4,-2){0}} \put(56,75){$U$} \put(100,60){\circle{4}} \put(105,57){$B$} \put(10,49){\vector(1,0){35}} \put(10,35){$I = \frac{dQ}{dt}$} \end{picture} \begin{minipage}[b]{6cm} \begin{displaymath} U = \frac{W}{Q} \rightarrow \framebox{$W=Q\,U$} \end{displaymath} \bigskip \bigskip \bigskip \end{minipage} \begin{minipage}[b]{5cm} \begin{displaymath} W=Q\,U \end{displaymath} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{5cm} gilt, wenn sich die Spannung nicht ändert \end{minipage} \bigskip \begin{description} \item[Beispiel:] KFZ-Akku (12V, 56 Ah). Gespeicherte Energie: $W = Q U = 56\,\mathrm{Ah} * 12\,\mathrm{V} = 56 * 3600\,\mathrm{As} * 12\,\mathrm{V} = 2419200\,\mathrm{Ws}$\\ $W = 2,\!42\,\mathrm{MWs}$ Wieviele l Wasser können damit von 20°C auf 100°C erhitzt werden? Spezifisches Wärmeäquivalent für Wasser: \begin{displaymath} w_w = \frac{W_w}{m\vartheta} = 4,\!19\,\frac{\mathrm{kWs}}{\mathrm{kg\,K}} \qquad (1 \textnormal{ kcal}) \end{displaymath} \begin{displaymath} m = \frac{W_w}{w_w\vartheta} = \frac{W_{Akku}}{w_w\vartheta} = \frac{2,\!42\,\mathrm{MWs\,kg\,K}}{4,\!19\,\mathrm{kWs\, 80\,K}} = 7,\!2\,\mathrm{kg} \end{displaymath} \bigskip \item[Allgemeiner Fall:] Spannung ändert sich \begin{displaymath} dW = U\,dQ \Longrightarrow \frac{dW}{dt} = P = U\,\frac{dQ}{dt} = UI = P\,dt \end{displaymath} \begin{displaymath} \int\limits_{W(t_0)}^{W(t)}\!\!dW = \int\limits_{t_0}^{t} P(t')\,dt' \longrightarrow W(t) - W(t_0) = \int\limits_{t_0}^{t} P(t')\,dt' \end{displaymath} \begin{displaymath} W(t) = W(t_0) + \int\limits_{t_0}^{t} P(t')\,dt' \qquad P(t') = U(t')\,I(t') \end{displaymath} \item[Beispiel:] Entladekurve des Lithium-Ionen-Akkus ($I_0 = 100$\,mA) \begin{picture}(160,120) \put(20,15){\vector(0,1){105}} \put(15,20){\vector(1,0){145}} \put(0,105){$\frac{U(t)}{V}$} \put(150,7){$\frac{t}{h}$} \multiput(18,20)(0,20){4}{\line(1,0){4}} \multiput(18,100)(5,0){22}{\line(1,0){2}} \multiput(20,18)(20,0){7}{\line(0,1){4}} \multiput(18,80)(5,0){22}{\line(1,0){2}} %%\put(120,18){\line(0,1){100}} \multiput(120,18)(0,5){18}{\line(0,1){2}} \multiput(100,18)(0,5){18}{\line(0,1){2}} \put(20,100){\line(5,-1){100}} \put(117,7){5} \put(97,7){4} \thicklines \put(20,100){\line(5,-1){80}} \qbezier(100,84)(110,80)(110,70) \end{picture} \begin{minipage}[b]{1cm} \,\,\, \end{minipage} \begin{minipage}[b]{5cm} Gesucht: $W(t): \quad 0 \leq t \leq 4\mathrm{h}$ \bigskip $P(t) = U(t) \, I(t) = I_0 (U_0 - at)$ \bigskip $U(t) = U_0 - at$ und $I(t) = I_0$ \bigskip $U_0 = 4\,\mathrm{V},\,\, a = \frac{1\,\mathrm{V}}{5\,\mathrm{h}} = 0,\!2\,\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{h}}$ \bigskip \bigskip \end{minipage} $t_0 = 0; W(t_0) = 0$ \begin{displaymath} W(t) = \int\limits_{0}^{t} P(t')\,dt' = I_0 \int\limits_{0}^{t} (U_0 - at')\,dt' = I_0 \bigg[U_0\,t' - \frac{a}{2}{t'}^2\bigg]_0^t \end{displaymath} \begin{displaymath} = I_0 \bigg(U\,t - \frac{a}{2}\,t^2\bigg) = 0,\!4\, \mathrm{Wh}\bigg(\frac{t}{h}\bigg) - 0,\!01 \frac{\mathrm{Wh}}{\mathrm{h}}\bigg(\frac{t^2}{\mathrm{h}}\bigg) \end{displaymath} \begin{displaymath} \frac{W(t)}{\mathrm{Wh}} = 0,\!4\, \bigg(\frac{t}{\mathrm{h}}\bigg) - 0,\!01 \bigg(\frac{t}{\mathrm{h}}\bigg)^2 \end{displaymath} \begin{minipage}[c]{5cm} \begin{picture}(140,120) \put(20,15){\vector(0,1){105}} \put(15,20){\vector(1,0){125}} \put(0,105){$\frac{P(t)}{W}$} \put(130,7){$\frac{t}{h}$} \multiput(18,20)(0,20){5}{\line(1,0){4}} \multiput(18,84)(5,0){18}{\line(1,0){2}} \multiput(20,18)(20,0){6}{\line(0,1){4}} \multiput(18,75)(5,0){18}{\line(1,0){2}} \multiput(100,18)(0,5){15}{\line(0,1){2}} \put(97,7){4} \put(2,82){$\scriptstyle{1,6}$} \put(2,72){$\scriptstyle{1,44}$} \multiput(20,20)(25,20){4}{\line(5,4){10}} \thicklines \qbezier(20,20)(62,55)(100,75) \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{6cm} $W(4\mathrm{h}) = 1,\!6\, \mathrm{Wh} - 0,\!16\,\mathrm{Wh} = 1,\!44\,\mathrm{Wh}$ \bigskip Gestrichelte Linie: Energieverlauf bei konstanter Spannung \bigskip \bigskip \bigskip \bigskip \end{minipage} \end{description} \subsection{Leistungsumsatz} \bigskip \begin{minipage}[c]{5.6cm} \begin{center} \begin{picture}(80,60) \put(80,0){\line(0,1){60}} \put(30,60){\line(1,0){50}} \put(30,0){\line(1,0){50}} \put(30,0){\line(0,1){60}} \put(17,10){\line(1,0){13}} \put(15,10){\circle{4}} \put(17,50){\line(1,0){13}} \put(15,50){\circle{4}} \put(15,45){\vector(0,-1){30}} \put(0,52){$I$} \put(6,55){\vector(1,0){13}} \put(0,27){$U$} \put(5,8){$\scriptstyle -$} \put(5,48){$\scriptstyle +$} \put(20,26){\line(1,0){25}} \put(20,34){\line(1,0){25}} \put(45,34){\line(0,1){3}} \put(45,26){\line(0,-1){3}} \qbezier(45,23)(50,26)(55,30) \qbezier(45,37)(50,34)(55,30) \put(60,27){$P$} \end{picture} \end{center} \begin{itemize} \item $U$ und $I$ sind gleichsinnig \item $I$ von + nach - \item Elektrische Leistung $P=UI$ wird in nichtelektrische Leistung umgewandelt \end{itemize} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{5.6cm} \begin{center} \begin{picture}(80,60) \put(80,0){\line(0,1){60}} \put(30,60){\line(1,0){50}} \put(30,0){\line(1,0){50}} \put(30,0){\line(0,1){60}} \put(17,10){\line(1,0){13}} \put(15,10){\circle{4}} \put(17,50){\line(1,0){13}} \put(15,50){\circle{4}} \put(14,45){\vector(0,-1){30}} \put(0,52){$I$} \put(19,55){\vector(-1,0){13}} \put(0,27){$U$} \put(5,8){$\scriptstyle -$} \put(5,48){$\scriptstyle +$} \put(25,26){\line(1,0){25}} \put(25,34){\line(1,0){25}} \put(25,34){\line(0,1){3}} \put(25,26){\line(0,-1){3}} \qbezier(25,23)(20,26)(15,30) \qbezier(25,37)(20,34)(15,30) \put(60,27){$P$} \end{picture} \end{center} \begin{itemize} \item $U$ und $I$ sind gegensinnig \item $I$ von - nach + \item Nichtelektrische Leistung wird in elektrische Leistung umgewandelt \end{itemize} \end{minipage} \newpage \subsection{Messung der elektrischen Leistung} Ein Leistungsmesser muß gleichzeitig in den Stromkreis geschaltet und an der Spannungsquelle angeschlossen werden. \begin{picture}(300,130) \setlength{\unitlength}{0.75pt} \put(50,30){\line(1,0){200}} \put(50,120){\line(1,0){200}} \put(50,30){\line(0,1){90}} \put(250,30){\line(0,1){90}} \put(65,105){\circle{4}} \put(65,107){\line(0,1){30}} \put(235,105){\circle{4}} \put(235,107){\line(0,1){30}} \put(65,45){\circle{4}} \put(65,43){\line(0,-1){30}} \put(70,105){\line(1,0){70}} \put(160,105){\vector(1,0){70}} \put(150,102){I} \put(61,71){U} \put(65,85){\vector(0,1){15}} \put(65,65){\vector(0,-1){15}} \put(130,60){\framebox{\textsf{\huge{10,23}}}} \put(205,60){\textsf{\huge{\textbf{W}}}} \put(10,13){\line(1,0){280}} \put(10,137){\line(1,0){55}} \put(235,137){\line(1,0){55}} \put(257,125){\vector(0,-1){100}} \put(263,73){$U$} \put(260,125){\vector(1,0){30}} \put(273,112){$I$} \end{picture} \section*{Experiment zum Leistungsumsatz} \begin{center} \begin{picture}(300,100) \put(10,10){\line(1,0){230}} \put(10,10){\line(0,1){38}} \thicklines \put(8,48){\line(1,0){4}} \thinlines \put(2,50){\line(1,0){16}} \put(10,50){\line(0,1){40}} \put(10,90){\line(1,0){40}} \put(60,90){\circle{20}} %% ampere \put(70,90){\line(1,0){30}} \put(100,90){\circle*{2}} \put(100,10){\circle*{2}} \put(100,90){\line(0,-1){30}} \put(100,50){\circle{20}} \put(100,40){\line(0,-1){30}} \put(100,90){\line(1,0){30}} \put(140,90){\circle{20}} %% watt \put(140,80){\line(0,-1){70}} \put(150,90){\line(1,0){30}} \put(140,10){\circle*{2}} \put(180,90){\circle*{2}} \put(180,10){\circle*{2}} \put(180,90){\line(0,-1){30}} \put(180,50){\circle{20}} \put(180,40){\line(0,-1){30}} \put(180,90){\line(1,0){20}} \put(200,80){\line(0,1){20}} %% diode \put(200,90){\line(1,1){10}} \put(200,90){\line(1,-1){10}} \put(210,80){\line(0,1){20}} \put(210,90){\line(1,0){30}} \put(56,86){A} \put(96,46){V} \put(135,86){W} \put(173,43){\line(1,1){14}} \put(173,57){\line(1,-1){14}} \put(240,5){\line(0,1){90}} \put(240,5){\line(1,0){50}} \put(240,95){\line(1,0){50}} \put(290,5){\line(0,1){90}} \put(242,87){+} \put(242,7){$-$} \put(245,50){Netzteil} \put(20,85){\vector(1,0){20}} \put(27,75){$I$} \put(85,85){\vector(0,-1){70}} \put(75,46){$U$} \end{picture} \end{center} \begin{description} \item[Netzgerät ausgeschaltet:] Batterie liefert eine Leistung von 10\,W, die Glühbirne leuchtet \item[Netzteil angeschaltet:] Mit steigendem Strom sinkt die von der Batterie abgegebene Leistung, ab einer bestimmten Stromstärke nimmt die Leistung einen negativen Wert an, d.h. die Batterie wird geladen. Die Helligkeit der Glühbirne bleibt unverändert. \end{description} \section{Die Elektrischen Grundgrößen} \xymatrix{ \mathrm{Ladung}\,\,\, Q \ar[r] \ar[d]& \mathrm{Spannung }\,\,\, U = \frac{W}{Q} \ar[dd] & \ar[d] \ar[l] \mathrm{Energie }\,\,\, W \\ \mathrm{el.\,\,\, Strom }\,\,\, I=\frac{dQ}{dt} \ar[dr]& & \ar[dl]\mathrm{Leistung }\,\,\, P = \frac{dW}{dt} \\ &\mathrm{el.\,\,\, Leistung }\,\,\, P = U\,I & \\ } \chapter{Resistive Zweipole} \section{Grundbegriffe} \begin{minipage}[c]{55pt} \begin{picture}(55,30) \put(0,0){\line(1,0){30}} \put(0,0){\line(0,1){30}} \put(0,30){\line(1,0){30}} \put(30,0){\line(0,1){30}} \put(30,10){\line(1,0){9}} \put(30,20){\line(1,0){9}} \put(40,10){\circle{2}} \put(40,20){\circle{2}} \put(45,20){\vector(0,-1){10}} \put(45,25){\vector(-1,0){10}} \put(47,12){$\scriptstyle U$} \put(47,22){$\scriptstyle I$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{1cm} \quad \end{minipage} \begin{minipage}[c]{9cm} \textbf{Zweipol} (Eintor, Oneport): Abgeschlossenes elektrisches Objekt mit zwei Anschlußstellen (Klemmen). \end{minipage} \begin{flushleft} Bei einem \textit{resisitven} Zweipol besteht zu jedem Zeitpunkt der gleiche $U$-$I$--Zusammenhang. \bigskip Das \textit{Klemmenverhalten} eines resistiven Zweipols: Zusammenhang von Strom und Spannung wird durch die \textit{$U$-$I$--Relation} beschrieben. \bigskip $f(U,I) = 0 \qquad $ graphische Darstellung: Kennlinie \end{flushleft} \begin{minipage}[c]{5.5cm} \begin{center} \framebox{$I = Y(U)$} \bigskip \begin{picture}(80,70) \put(7,5){\vector(0,1){60}} \put(5,7){\vector(1,0){70}} \put(0,54){$\scriptstyle I$} \put(63,0){$\scriptstyle U$} \qbezier(7,7)(7,50)(60,50) \end{picture} \bigskip $U$-$I$--Kennlinie \begin{picture}(80,80) \put(10,20){\line(1,0){60}} \put(40,20){\circle{15}} \put(10,20){\line(0,1){30}} \put(70,20){\line(0,1){30}} \put(10,50){\line(1,0){15}} \put(70,50){\line(-1,0){15}} \put(25,45){\line(0,1){10}} \put(55,45){\line(0,1){10}} \put(25,45){\line(1,0){30}} \put(25,55){\line(1,0){30}} \put(10,57){\vector(1,0){15}} \put(15,60){$\scriptstyle I$} \put(38,60){$Y$} \put(30,10){\vector(1,0){20}} \put(36,0){$U$} \end{picture} \bigskip Spannung $U$ treibt einen Strom durch den Zweipol \end{center} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{5.5cm} \begin{center} \framebox{$U = Z(I)$} \bigskip \begin{picture}(80,70) \put(7,5){\vector(0,1){60}} \put(5,7){\vector(1,0){70}} \put(0,54){$\scriptstyle U$} \put(63,0){$\scriptstyle I$} \qbezier(7,7)(60,7)(60,50) \end{picture} \bigskip $I$-$U$--Kennlinie \begin{picture}(80,80) \put(10,20){\line(1,0){22}} \put(48,20){\line(1,0){22}} \put(40,12){\line(0,1){16}} \put(40,20){\circle{16}} \put(10,20){\line(0,1){30}} \put(70,20){\line(0,1){30}} \put(10,50){\line(1,0){15}} \put(70,50){\line(-1,0){15}} \put(25,45){\line(0,1){10}} \put(55,45){\line(0,1){10}} \put(25,45){\line(1,0){30}} \put(25,55){\line(1,0){30}} \put(38,60){$Z$} \put(50,10){\vector(-1,0){20}} \put(36,0){$I$} \qbezier(25,40)(40,35)(55,40) \put(55,40){\vector(3,1){0}} \put(50,30){$\scriptstyle U$} \end{picture} \bigskip Strom $I$ erzeugt Spannung $U$ \end{center} \end{minipage} Die beiden Funktionen $Y$ und $Z$ müssen nicht existieren! \begin{minipage}[c]{5.5cm} \begin{center} \begin{picture}(80,80) \put(7,5){\vector(0,1){60}} \put(5,7){\vector(1,0){70}} \put(0,54){$\scriptstyle I$} \put(63,0){$\scriptstyle U$} \qbezier(7,7)(15,45)(25,12) \qbezier(25,12)(40,0)(60,50) \end{picture} \bigskip z.B.: Tunneldiode: $U$ ist keine Funktion von $I$ \end{center} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{5.5cm} \begin{center} \begin{picture}(80,80) \put(7,5){\vector(0,1){60}} \put(5,7){\vector(1,0){70}} \put(0,54){$\scriptstyle U$} \put(63,0){$\scriptstyle I$} \qbezier(7,7)(15,45)(25,12) \qbezier(25,12)(40,0)(60,50) \end{picture} \bigskip z.B.: Lichtbogen: $I$ ist keine Funktion von $U$ \end{center} \end{minipage} \subsection{Messung (Aufnahme) der Kennlinie} \begin{minipage}[c]{160pt} \begin{picture}(160,110) \put(10,10){\line(1,0){140}} \put(10,10){\line(0,1){80}} \put(10,50){\circle{16}} \put(0,40){\vector(1,1){20}} \put(10,90){\line(1,0){80}} \put(100,90){\circle{20}} \put(110,90){\line(1,0){40}} \put(150,90){\line(0,-1){20}} \put(145,70){\line(1,0){10}} \put(145,30){\line(1,0){10}} \put(145,70){\line(0,-1){40}} \put(155,70){\line(0,-1){40}} \put(150,10){\line(0,1){20}} \put(50,90){\line(0,-1){30}} \put(50,10){\line(0,1){30}} \put(50,50){\circle{20}} \put(50,90){\circle*{2}} \put(50,10){\circle*{2}} \put(46,46){V} \put(96,87){A} \put(90,75){\vector(1,0){20}} \put(95,66){$I$} \put(90,105){\vector(1,0){20}} \put(93,107){$\scriptstyle \Delta U$} \put(65,60){\vector(0,-1){20}} \put(70,50){$\scriptstyle U+\Delta U$} \put(140,70){\vector(0,-1){40}} \put(130,45){$U$} \end{picture} \center Stromrichtig \end{minipage} \begin{minipage}[c]{160pt} \begin{picture}(160,110) \put(10,10){\line(1,0){140}} \put(10,10){\line(0,1){80}} \put(10,50){\circle{16}} \put(0,40){\vector(1,1){20}} \put(10,90){\line(1,0){30}} \put(50,90){\circle{20}} \put(60,90){\line(1,0){90}} \put(150,90){\line(0,-1){20}} \put(145,70){\line(1,0){10}} \put(145,30){\line(1,0){10}} \put(145,70){\line(0,-1){40}} \put(155,70){\line(0,-1){40}} \put(150,10){\line(0,1){20}} \put(100,90){\line(0,-1){30}} \put(100,10){\line(0,1){30}} \put(100,50){\circle{20}} \put(100,90){\circle*{2}} \put(100,10){\circle*{2}} \put(96,46){V} \put(46,87){A} \put(40,75){\vector(1,0){20}} \put(42,66){$\scriptstyle I+\Delta I$} \put(110,95){\vector(1,0){20}} \put(117,97){$I$} \put(85,60){\vector(0,-1){20}} \put(70,50){$\scriptstyle \Delta I$} \put(140,70){\vector(0,-1){40}} \put(130,45){$U$} \end{picture} \center Spannungsrichtig \end{minipage} \subsection{Beispiele} \begin{minipage}[c]{160pt} \center \begin{picture}(80,70) \put(7,5){\vector(0,1){60}} \put(5,7){\vector(1,0){70}} \put(0,54){$\scriptstyle I$} \put(63,0){$\scriptstyle U$} \qbezier(7,7)(25,35)(60,40) \end{picture} Glühbirne Metallfadenlampe \bigskip \begin{picture}(80,70) \put(7,5){\vector(0,1){60}} \put(5,7){\vector(1,0){70}} \put(0,54){$\scriptstyle U$} \put(63,0){$\scriptstyle I$} \qbezier(17,50)(35,30)(60,30) \end{picture} Hg-Lampe \end{minipage} \begin{minipage}[c]{160pt} \center \begin{picture}(80,70) \put(7,5){\vector(0,1){60}} \put(5,7){\vector(1,0){70}} \put(0,54){$\scriptstyle I$} \put(63,0){$\scriptstyle U$} \qbezier(7,7)(45,20)(60,40) \end{picture} Kohlefadenlampe (Halbleiter) \bigskip \begin{picture}(80,70) \put(7,5){\vector(0,1){60}} \put(5,7){\vector(1,0){70}} \put(0,54){$\scriptstyle U$} \put(63,0){$\scriptstyle I$} \put(15,45){\line(1,0){45}} \end{picture} Glimm-Stabilisator \end{minipage} \newpage \subsection{Kennlinienaufnahme mit dem Oszilloskop} \begin{center} Stromrichtig (Bedingung: $U_I \ll U$) \bigskip \begin{picture}(300,150) \put(10,10){\line(1,0){270}} \put(10,10){\line(0,1){55}} \put(10,75){\circle{20}} \put(10,85){\line(0,1){55}} \put(10,140){\line(1,0){150}} \put(100,140){\line(0,-1){25}} \put(95,75){\line(1,0){10}} \put(95,115){\line(1,0){10}} \put(95,75){\line(0,1){40}} \put(105,75){\line(0,1){40}} \put(100,10){\line(0,1){15}} \put(95,25){\line(1,0){10}} \put(95,45){\line(1,0){10}} \put(95,25){\line(0,1){20}} \put(105,25){\line(0,1){20}} \put(100,45){\line(0,1){30}} \put(160,140){\line(0,-1){50}} \put(160,90){\line(1,0){50}} \put(212,90){\circle{4}} \put(100,60){\line(1,0){110}} \put(100,60){\circle*{2}} \put(212,60){\circle{4}} \put(280,10){\line(0,1){30}} \put(280,42){\circle{4}} \put(200,20){\line(1,0){90}} \put(200,20){\line(0,1){120}} \put(290,20){\line(0,1){120}} \put(200,140){\line(1,0){90}} \put(220,70){\line(1,0){60}} \put(220,130){\line(1,0){60}} \put(220,70){\line(0,1){60}} \put(280,70){\line(0,1){60}} \put(225,35){\circle{12}} \put(255,35){\circle{12}} \put(100,10){\circle*{2}} \put(100,140){\circle*{2}} \put(5,60){\Huge\~{}} \put(23,90){\vector(0,-1){30}} \put(27,71){$U_s$} \put(55,130){\vector(0,-1){110}} \put(58,71){$\scriptstyle U+U_I$} \put(113,110){\vector(0,-1){30}} \put(117,90){$U$} \put(113,45){\vector(0,-1){20}} \put(117,34){$U_I = IR$} \put(208,95){X} \put(208,65){Y} \put(60,142){$I$} \put(65,145){\vector(1,0){20}} \thicklines \put(280,58){\line(0,-1){8}} \put(276,50){\line(1,0){8}} \end{picture} Spannungsrichtig (Bedingung: $U_g \gg U$) \bigskip \begin{picture}(300,150) \put(10,10){\line(1,0){270}} \put(10,10){\line(0,1){55}} \put(10,75){\circle{20}} \put(10,85){\line(0,1){55}} \put(10,140){\line(1,0){35}} \put(70,140){\line(1,0){90}} \put(100,140){\line(0,-1){25}} \put(95,75){\line(1,0){10}} \put(95,115){\line(1,0){10}} \put(95,75){\line(0,1){40}} \put(105,75){\line(0,1){40}} \put(100,10){\line(0,1){65}} \put(160,140){\line(0,-1){50}} \put(160,90){\line(1,0){50}} \put(212,90){\circle{4}} \put(212,60){\circle{4}} \put(280,10){\line(0,1){30}} \put(280,42){\circle{4}} \put(200,20){\line(1,0){90}} \put(200,20){\line(0,1){120}} \put(290,20){\line(0,1){120}} \put(200,140){\line(1,0){90}} \put(220,70){\line(1,0){60}} \put(220,130){\line(1,0){60}} \put(220,70){\line(0,1){60}} \put(280,70){\line(0,1){60}} \put(225,35){\circle{12}} \put(255,35){\circle{12}} \put(100,10){\circle*{2}} \put(100,140){\circle*{2}} \put(5,60){\Huge\~{}} \put(23,90){\vector(0,-1){30}} \put(27,71){$\scriptstyle U_s$} \put(113,110){\vector(0,-1){30}} \put(117,90){$U_g$} \put(208,95){X} \put(208,65){Y} \put(45,135){\line(0,1){10}} \put(70,135){\line(0,1){10}} \put(45,135){\line(1,0){25}} \put(45,145){\line(1,0){25}} \put(60,123){$I$} \put(65,125){\vector(1,0){20}} \put(40,140){\circle*{2}} \put(40,140){\line(0,-1){80}} \put(40,60){\line(1,0){170}} \thicklines \put(280,58){\line(0,-1){8}} \put(276,50){\line(1,0){8}} \end{picture} \end{center} \begin{displaymath} I = \frac{U_g - U}{R_I} = \frac{U_g}{R_I} \quad (\textnormal{für } U_g \gg U) \end{displaymath} \subsubsection{Beispielaufnahmen} \begin{center} \begin{minipage}[t]{110pt} \center \begin{picture}(100,100) \put(0,0){\line(1,0){100}} \put(0,0){\line(0,1){100}} \put(0,100){\line(1,0){100}} \put(100,0){\line(0,1){100}} \put(10,50){\line(1,0){80}} \put(50,10){\line(0,1){80}} \multiput(10,48)(5,0){17}{\line(0,1){4}} \multiput(48,10)(0,5){17}{\line(1,0){4}} \put(83,40){$\scriptstyle U$} \put(55,83){$\scriptstyle I$} \thicklines \put(25,25){\line(1,1){50}} \end{picture} Widerstand \end{minipage} \begin{minipage}[t]{110pt} \center \begin{picture}(100,100) \put(0,0){\line(1,0){100}} \put(0,0){\line(0,1){100}} \put(0,100){\line(1,0){100}} \put(100,0){\line(0,1){100}} \put(10,50){\line(1,0){80}} \put(50,10){\line(0,1){80}} \multiput(10,48)(5,0){17}{\line(0,1){4}} \multiput(48,10)(0,5){17}{\line(1,0){4}} \put(83,40){$\scriptstyle U$} \put(55,83){$\scriptstyle I$} \thicklines \put(25,50){\line(1,0){27}} \put(52,50){\line(1,1){25}} \end{picture} Diode \end{minipage} \begin{minipage}[t]{110pt} \center \begin{picture}(100,100) \put(0,0){\line(1,0){100}} \put(0,0){\line(0,1){100}} \put(0,100){\line(1,0){100}} \put(100,0){\line(0,1){100}} \put(10,50){\line(1,0){80}} \put(50,10){\line(0,1){80}} \multiput(10,48)(5,0){17}{\line(0,1){4}} \multiput(48,10)(0,5){17}{\line(1,0){4}} \put(83,40){$\scriptstyle U$} \put(55,83){$\scriptstyle I$} \thicklines \put(50,50){\circle{30}} \end{picture} Kondensator $\Rightarrow$ keine Kennlinie! \end{minipage} \end{center} \section{Leistung am Zweipol} \subsection{Leistungsumsatz} \bigskip \begin{minipage}[c]{100pt} \begin{picture}(80,60) \put(80,0){\line(0,1){60}} \put(30,60){\line(1,0){50}} \put(30,0){\line(1,0){50}} \put(30,0){\line(0,1){60}} \put(17,10){\line(1,0){13}} \put(15,10){\circle{4}} \put(17,50){\line(1,0){13}} \put(15,50){\circle{4}} \put(15,45){\vector(0,-1){30}} \put(0,52){$I$} \put(6,55){\vector(1,0){13}} \put(0,27){$U$} \put(5,8){$\scriptstyle -$} \put(5,48){$\scriptstyle +$} \put(20,26){\line(1,0){25}} \put(20,34){\line(1,0){25}} \put(45,34){\line(0,1){3}} \put(45,26){\line(0,-1){3}} \qbezier(45,23)(50,26)(55,30) \qbezier(45,37)(50,34)(55,30) \put(60,27){$P$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{5cm} \center $P = UI$: in den Zweipol hineinströmende Leistung \end{minipage} \subsubsection{Linien gleicher Leistung} \begin{displaymath} P=UI = \mathrm{konstant} \qquad I = \frac{P}{U} \end{displaymath} \begin{minipage}[c]{110pt} \center \begin{picture}(100,100) \put(50,0){\vector(0,1){100}} \put(0,50){\vector(1,0){100}} \put(93,43){$\scriptstyle U$} \put(42,93){$\scriptstyle I$} \put(55,55){\vector(1,1){30}} \put(45,45){\vector(-1,-1){30}} \put(15,85){\vector(1,-1){30}} \put(85,15){\vector(-1,1){30}} \qbezier(20,55)(45,55)(45,80) \qbezier(15,60)(40,60)(40,85) \qbezier(80,55)(55,55)(55,80) \qbezier(85,60)(60,60)(60,85) \qbezier(80,45)(55,45)(55,20) \qbezier(85,40)(60,40)(60,25) \qbezier(20,45)(45,45)(45,20) \qbezier(15,40)(40,40)(40,25) \put(10,8){$\scriptstyle P_{III}$} \put(80,8){$\scriptstyle P_{IV}$} \put(10,88){$\scriptstyle P_{II}$} \put(80,88){$\scriptstyle P_{I}$} \end{picture} Leistungshyperbeln \end{minipage} \begin{minipage}[c]{8cm} \begin{tabular}{lcp{5cm}} $P_{I,III}$ & : & Zweipol nimmt Leistung auf (Verbraucher)\\ $P_{II,IV}$ & : & Zweipol gibt Leistung ab (Erzeuger) \end{tabular} \end{minipage} \begin{description} \item[Beispiele:] \quad \begin{minipage}[c]{6cm} Ein Zweipol nimmt ständig eine Leistung von 10\,W auf. Wie sieht seine Kennlinie aus? \bigskip Alle Punkte $U/I$ der Leistungshyperbel haben das Produkt $P = 10\mathrm{W}$ \end{minipage} \begin{minipage}[c]{120pt} \center \begin{picture}(100,100) \put(50,0){\vector(0,1){100}} \put(0,50){\vector(1,0){100}} \put(87,40){$\scriptstyle U/V$} \put(34,93){$\scriptstyle I/A$} \qbezier(55,100)(55,55)(100,55) \multiput(55,49)(0,4){12}{\line(0,1){2}} \multiput(65,49)(0,4){6}{\line(0,1){2}} \multiput(80,50)(0,4){3}{\line(0,1){2}} \multiput(49,58)(4,0){10}{\line(1,0){2}} \multiput(49,67)(4,0){5}{\line(1,0){2}} \multiput(49,95)(4,0){3}{\line(1,0){2}} \put(54,43){$\scriptscriptstyle 1$} \put(64,43){$\scriptscriptstyle 5$} \put(77,43){$\scriptscriptstyle 10$} \put(45,55){$\scriptscriptstyle 1$} \put(45,65){$\scriptscriptstyle 2$} \put(60,93){$\scriptscriptstyle 10$} \qbezier(5,45)(45,45)(45,0) \end{picture} \end{minipage} \bigskip \begin{minipage}[c]{135pt} \center \begin{picture}(100,100) \put(50,0){\vector(0,1){100}} \put(0,20){\vector(1,0){100}} \put(87,10){$\scriptstyle U/V$} \put(34,93){$\scriptstyle I/A$} \qbezier(30,0)(40,60)(90,70) \multiput(50,68)(4,0){8}{\line(1,0){2}} \multiput(80,20)(0,4){12}{\line(0,1){2}} \multiput(50,32)(-4,0){3}{\line(-1,0){2}} \multiput(40,20)(0,4){3}{\line(0,1){2}} \put(61,35){$P$} \put(42,23){$\scriptstyle P$} \put(77,12){$\scriptscriptstyle U_1$} \put(38,12){$\scriptscriptstyle U_2$} \put(39,66){$\scriptscriptstyle I_1$} \put(54,30){$\scriptscriptstyle I_2$} \thicklines \put(50,20){\line(1,0){30}} \put(50,20){\line(0,1){48}} \put(50,20){\line(-1,0){10}} \put(40,18){\line(0,1){4}} \put(48,32){\line(1,0){4}} \put(48,68){\line(1,0){4}} \put(80,18){\line(0,1){4}} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{6cm} Im $U$--$I$--Diagramm stellen wir Ströme und Spannungen als Strecken, Leistungen als Flächen dar. \end{minipage} \begin{minipage}[c]{6cm} Verlauf der Leistung in Abhängigkeit der Spannung $U$. Oberhalb der $U$--Achse: Verbraucher, unterhalb der $U$--Achse: Erzeuger \end{minipage} \begin{minipage}[c]{140pt} \center \begin{picture}(100,70) \put(50,0){\vector(0,1){70}} \put(0,20){\vector(1,0){100}} \put(95,10){$\scriptstyle U$} \put(42,63){$\scriptstyle P$} \qbezier(10,60)(15,20)(30,15) \qbezier(30,15)(40,10)(50,20) \qbezier(50,20)(65,30)(80,50) \end{picture} \end{minipage} \end{description} \subsection{Aktive und passive Zweipole} \bigskip \begin{minipage}[c]{120pt} \center \begin{picture}(100,100) \put(50,0){\vector(0,1){100}} \put(0,50){\vector(1,0){100}} \put(93,40){$\scriptstyle U$} \put(40,93){$\scriptstyle I$} \qbezier(10,10)(30,45)(50,50) \qbezier(50,50)(90,66)(90,90) \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{7cm} \begin{description} \item[passiver Zweipol:] nimmt immer Leistung auf. Kennlinie liegt ausschliesslich im ersten und dritten Quadranten (und muß durch den Ursprung gehen). \end{description} \end{minipage} \bigskip \bigskip \begin{minipage}[c]{7cm} \begin{description} \item[aktiver Zweipol:] kann Leistung liefern. Kennlinie verläuft ganz oder teilweise im zweiten und/oder vierten Quadranten \end{description} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{120pt} \center \begin{picture}(100,100) \put(50,0){\vector(0,1){100}} \put(0,50){\vector(1,0){100}} \put(93,40){$\scriptstyle U$} \put(40,93){$\scriptstyle I$} \qbezier(10,10)(30,75)(50,70) \qbezier(50,70)(90,66)(90,90) \end{picture} \end{minipage} \begin{description} \item[Beispiel:] Wie sieht die Kennlinie eines Zweipols aus, der immer Leistung liefert? ("`negativer Widerstand"') \begin{center} \begin{picture}(100,100) \put(50,0){\vector(0,1){100}} \put(0,50){\vector(1,0){100}} \put(93,40){$\scriptstyle U$} \put(40,93){$\scriptstyle I$} \put(20,80){\line(1,-1){60}} \end{picture} \end{center} \end{description} \newpage \subsection{Zählpfeilsystem} nach \textsf{DIN 5489} \bigskip \begin{minipage}[c]{6cm} \begin{center} \textbf{Verbraucher-Zählpfeilsystem} \bigskip \begin{picture}(100,80) \put(10,10){\line(1,0){50}} \put(10,10){\line(0,1){60}} \put(10,70){\line(1,0){50}} \put(60,10){\line(0,1){60}} \put(60,25){\line(1,0){13}} \put(60,55){\line(1,0){13}} \put(75,25){\circle{4}} \put(75,55){\circle{4}} \put(80,60){\vector(-1,0){15}} \put(82,55){\vector(0,-1){30}} \put(75,62){$\scriptstyle I$} \put(86,40){$\scriptstyle U$} \end{picture} \bigskip \textbf{Aufgenommene Leistung} \begin{displaymath} P_{auf} = UI \end{displaymath} $P > 0 \Rightarrow$ Verbraucher $P < 0 \Rightarrow$ Erzeuger \bigskip \textbf{Abgegebene Leistung} \begin{displaymath} P_{ab} = -UI \end{displaymath} \bigskip \end{center} Verbraucht Leistung im ersten und dritten Quadranten, erzeugt Leistung im zweiten und vierten Quadranten. \end{minipage} \begin{minipage}[c]{10pt} \quad \end{minipage} \begin{minipage}[c]{6cm} \begin{center} \textbf{Erzeuger-Zählpfeilsystem} \bigskip \begin{picture}(100,80) \put(10,10){\line(1,0){50}} \put(10,10){\line(0,1){60}} \put(10,70){\line(1,0){50}} \put(60,10){\line(0,1){60}} \put(60,25){\line(1,0){13}} \put(60,55){\line(1,0){13}} \put(75,25){\circle{4}} \put(75,55){\circle{4}} \put(65,60){\vector(1,0){15}} \put(82,55){\vector(0,-1){30}} \put(75,62){$\scriptstyle I$} \put(86,40){$\scriptstyle U$} \end{picture} \bigskip \textbf{Aufgenommene Leistung} \begin{displaymath} P_{auf} = -UI \end{displaymath} $P > 0 \Rightarrow$ Verbraucher $P < 0 \Rightarrow$ Erzeuger \bigskip \textbf{Abgegebene Leistung} \begin{displaymath} P_{ab} = UI \end{displaymath} \bigskip \end{center} Erzeugt Leistung im ersten und dritten Quadranten, verbraucht Leistung im zweiten und vierten Quadranten. \end{minipage} \subsubsection{Beispiel für das Zählpfeilsystem: KFZ-Bordnetz} \begin{picture}(300,110) \put(10,10){\line(0,1){30}} \put(10,50){\circle{20}} \put(10,60){\line(0,1){30}} \put(10,90){\line(1,0){60}} \put(70,85){\line(0,1){10}} \put(95,85){\line(0,1){10}} \put(70,85){\line(1,0){25}} \put(70,95){\line(1,0){25}} \put(95,90){\line(1,0){185}} %% ++ \put(150,90){\circle*{2}} \put(150,10){\circle*{2}} \put(150,90){\line(0,-1){40}} \put(140,50){\line(1,0){20}} \thicklines \put(146,47){\line(1,0){8}} \thinlines \put(150,47){\line(0,-1){37}} \put(10,10){\line(1,0){270}} %% ++ \put(220,10){\line(0,1){30}} \put(220,50){\circle{20}} \put(220,60){\line(0,1){30}} \put(220,90){\circle*{2}} \put(220,10){\circle*{2}} \put(280, 90){\line(0,-1){30}} \put(280,50){\circle{20}} \put(280,40){\line(0,-1){30}} \put(273,43){\line(1,1){14}} \put(273,57){\line(1,-1){14}} \put(6,46){G} \put(216,46){M} \put(25,70){\vector(0,-1){40}} \put(30,46){$U_G$} \put(205,70){\vector(0,-1){40}} \put(186,46){$U_M$} \put(135,70){\vector(0,-1){40}} \put(116,46){$U_B$} \put(160,60){\vector(0,1){20}} \put(165,65){$I_B$} \put(70,80){\vector(1,0){25}} \put(75,67){$I_G$} \put(75,100){$R_G$} \end{picture} Erzeugerpfeilsystem \qquad \qquad Verbraucherpfeilsystem \section{Strom-- und Spannungsquellen} \subsection{Kurzschluss} \begin{minipage}[c]{65pt} \begin{picture}(80,70) \put(10,10){\circle{4}} \put(10,50){\circle{4}} \put(12,10){\line(1,0){18}} \put(30,10){\line(0,1){40}} \put(12,50){\line(1,0){18}} \put(10,30){\vector(0,1){10}} \put(10,30){\vector(0,-1){10}} \put(0,25){$U$} \put(18,60){$I$} \put(10,55){\vector(1,0){20}} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{5cm} $U = Z(I) \equiv 0$ \smallskip $I = Y(U)$ existiert nicht! \end{minipage} \begin{minipage}[c]{100pt} \begin{picture}(100,70) \put(50,0){\vector(0,1){70}} \put(0,20){\vector(1,0){100}} \put(95,10){$\scriptstyle I$} \put(42,63){$\scriptstyle U$} \thicklines \put(5,20){\line(1,0){90}} \end{picture} \end{minipage} \subsection{Spannungsquelle} \begin{minipage}[c]{65pt} \begin{picture}(60,80) \put(30,10){\circle{4}} \put(30,70){\circle{4}} \put(30,12){\line(0,1){56}} \put(30,40){\circle{20}} \put(18,55){\vector(0,-1){30}} \put(3,35){$U_0$} \put(25,70){\vector(0,-1){15}} \put(17,60){$\scriptstyle I$} \qbezier(40,10)(50,40)(40,70) \put(47,35){$U$} \put(40,10){\vector(-1,-3){0}} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{5cm} $U = Z(I) = U_0$ \smallskip $I = Y(U)$ existiert nicht! \end{minipage} \begin{minipage}[c]{100pt} \begin{picture}(100,70) \put(50,0){\vector(0,1){70}} \put(0,20){\vector(1,0){100}} \put(95,10){$\scriptstyle I$} \put(42,63){$\scriptstyle U$} \thicklines \put(5,40){\line(1,0){90}} \put(60,45){$U_0$} \end{picture} \end{minipage} $\Rightarrow $ Kurzschluss: Spezialfall der Spannungsquelle \begin{description} \item[Beispiel einer Spannungsquelle:] Autobatterie (nicht ideal, da $R_i > 0$) \bigskip \begin{minipage}[c]{120pt} \begin{picture}(120,70) \put(5,10){\vector(1,0){100}} \put(10,5){\line(0,1){20}} \put(10,29){\vector(0,1){40}} \put(5,23){\line(2,1){10}} \put(5,26){\line(2,1){10}} \multiput(10,50)(4,0){20}{\line(1,0){2}} \multiput(10,40)(4,0){20}{\line(1,0){2}} \qbezier(10,50)(10,50)(86,40) \put(0,60){$\scriptstyle \frac{U}{V}$} \put(95,0){$\scriptstyle I/A$} \put(0,48){$\scriptstyle 13$} \put(0,38){$\scriptstyle 12$} \put(9,50){\line(1,0){2}} \put(9,40){\line(1,0){2}} \put(82,0){$\scriptstyle 20$} \multiput(88,8)(0,4){13}{\line(0,1){2}} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{6cm} \begin{displaymath} U_0 = 13\,\mathrm{V} \end{displaymath} \begin{displaymath} R_i = \frac{1\,\mathrm{V}}{20\,\mathrm{A}} = 50\,\mathrm{m}\Omega \end{displaymath} \begin{displaymath} I_i = \frac{U_i}{R_i} = 260\,\mathrm{A} \end{displaymath} \end{minipage} \end{description} \subsection{Leerlauf} \begin{minipage}[c]{65pt} \begin{picture}(80,70) \put(10,10){\circle{4}} \put(10,50){\circle{4}} \put(12,10){\line(1,0){18}} \put(12,50){\line(1,0){18}} \put(10,40){\vector(0,-1){20}} \put(0,25){$U$} \put(18,60){$I$} \put(10,55){\vector(1,0){20}} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{5cm} $I = Y(U) = 0$ \smallskip $U = Z(I)$ existiert nicht! \end{minipage} \begin{minipage}[c]{100pt} \begin{picture}(100,70) \put(50,0){\vector(0,1){70}} \put(0,20){\vector(1,0){100}} \put(95,10){$\scriptstyle U$} \put(42,63){$\scriptstyle I$} \thicklines \put(5,20){\line(1,0){90}} \end{picture} \end{minipage} \subsection{Stromquelle} \begin{minipage}[c]{65pt} \begin{picture}(60,80) \put(30,10){\circle{4}} \put(30,70){\circle{4}} \put(30,12){\line(0,1){18}} \put(30,50){\line(0,1){18}} \put(30,40){\circle{20}} \put(20,40){\line(1,0){20}} \put(18,55){\vector(0,-1){30}} \put(3,35){$I_0$} \put(25,70){\vector(0,-1){15}} \put(17,60){$\scriptstyle I$} \qbezier(40,10)(50,40)(40,70) \put(47,35){$U$} \put(40,10){\vector(-1,-3){0}} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{5cm} $I = Y(U) = I_0$ \smallskip $U = Z(I)$ existiert nicht! \end{minipage} \begin{minipage}[c]{100pt} \begin{picture}(100,70) \put(50,0){\vector(0,1){70}} \put(0,20){\vector(1,0){100}} \put(95,10){$\scriptstyle I$} \put(42,63){$\scriptstyle U$} \thicklines \put(5,40){\line(1,0){90}} \put(60,45){$I_0$} \end{picture} \end{minipage} \subsection{Anwendungen} \begin{description} \item[Labornetzgerät:] \quad \begin{minipage}[c]{140pt} \center \begin{picture}(120,70) \put(5,10){\vector(1,0){100}} \put(10,5){\vector(0,1){60}} \put(0,60){$\scriptstyle \frac{U}{V}$} \put(95,0){$\scriptstyle I/A$} \put(0,48){$\scriptstyle U_0$} \put(8,50){\line(1,0){45}} \put(50,0){$\scriptstyle I_0$} \put(53,8){\line(0,1){42}} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{6.2cm} Bis $I < I_0$ verhält sich das Labornetzteil wie eine ideale Spannungsquelle, bei $I_0$ tritt die Strombegrenzung in Kraft und das Netzteil verhält sich wie eine Stromquelle. \end{minipage} \bigskip \item[Direktanzeigender Widerstandsmesser:] \quad \bigskip \begin{minipage}[c]{140pt} \center \begin{picture}(120,62) \put(20,0){\line(0,1){22}} \put(20,30){\circle{16}} \put(20,38){\line(0,1){22}} \put(20,0){\line(1,0){80}} \put(20,60){\line(1,0){80}} \put(12,30){\line(1,0){16}} \put(100,0){\line(0,1){20}} \put(100,40){\line(0,1){20}} \put(95,20){\line(1,0){10}} \put(95,40){\line(1,0){10}} \put(95,20){\line(0,1){20}} \put(105,20){\line(0,1){20}} \put(60,0){\line(0,1){20}} \put(60,40){\line(0,1){20}} \put(60,30){\circle{20}} \multiput(60,0)(0,60){2}{\circle*{2}} \put(10,20){\vector(0,1){20}} \put(0,26){$I_0$} \put(92,40){\vector(0,-1){20}} \put(82,26){$U$} \put(56,26){V} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{6cm} Durch den konstanten Strom entsteht eine proportionale Abhängigkeit von $U$ und $R$. \smallskip \begin{displaymath}U = RI \qquad I_0 \Rightarrow U \sim R\end{displaymath} \smallskip Daher kann der Widerstand am (auf Ohm geeichten) Voltmeter direkt abgelesen werden. \end{minipage} \end{description} \section[Der linear resistive Zweipol (Widerstand, Resistor)]{Der linear resistive Zweipol \\(Widerstand, Resistor)} \subsection{Ohmsches Gesetz} \begin{minipage}[c]{80pt} \center \begin{picture}(60,80) \put(30,10){\circle{4}} \put(30,70){\circle{4}} \put(30,12){\line(0,1){18}} \put(30,50){\line(0,1){18}} \put(25,30){\line(1,0){10}} \put(25,50){\line(1,0){10}} \put(25,30){\line(0,1){20}} \put(35,30){\line(0,1){20}} \put(18,55){\vector(0,-1){30}} \put(3,35){$I_0$} \qbezier(40,10)(50,40)(40,70) \put(47,35){$U$} \put(40,10){\vector(-1,-3){0}} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{9cm} Bei einem Widerstand sind Strom und Spannung proportional. \bigskip \framebox{$U \sim I$} \quad \textsc{Ohm}sches Gesetz \end{minipage} \subsection{Widerstand und Leitwert (Definitionsgleichungen)} \bigskip \begin{minipage}[c]{100pt} \begin{picture}(100,85) \put(5,10){\vector(1,0){80}} \put(10,5){\vector(0,1){80}} \put(0,75){$\scriptstyle U$} \put(80,0){$\scriptstyle I$} \put(7,7){\line(1,1){55}} \qbezier(10,30)(30,30)(30,10) \put(20,13){$\scriptstyle \alpha$} \put(13,20){$\scriptstyle \beta$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{4cm} \center \textbf{Widerstand} (Resistance) \bigskip \begin{displaymath} R = \frac{U}{I} \sim \tan \alpha \end{displaymath} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{4cm} \center \textbf{Leitwert} (Conductance) \bigskip \begin{displaymath} G = \frac{I}{U} \sim \tan \beta \end{displaymath} \end{minipage} \subsubsection{Bei nichtlinearen Zweipolen} \bigskip \begin{minipage}[c]{100pt} \begin{picture}(100,85) \put(5,10){\vector(1,0){80}} \put(10,5){\vector(0,1){80}} \put(0,75){$\scriptstyle U$} \put(80,0){$\scriptstyle I$} \qbezier(10,10)(20,60)(60,50) \put(30,47){\line(1,1){15}} \put(30,47){\line(1,0){20}} \put(30,47){\line(0,1){20}} \qbezier(30,62)(40,57)(45,47) \put(47,55){$\scriptstyle \alpha$} \put(31,53){$\scriptstyle \beta$} \qbezier(37,52)(47,55)(47,55) \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{4cm} \center \textbf{differenzieller Widerstand} \bigskip \begin{displaymath} r = \frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}I} \sim \tan \alpha \end{displaymath} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{4cm} \center \textbf{differenzieller Leitwert} \bigskip \begin{displaymath} g = \frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}U} \sim \tan \beta \end{displaymath} \end{minipage} \subsubsection{Maßeinheiten} \begin{displaymath} [R] = [r] = \frac{[U]}{[I]} = \frac{\mathrm{V}}{\mathrm{A}} = 1 \Omega \textnormal{ (Ohm) } \end{displaymath} \begin{eqnarray*} [G] = [g] = \frac{[I]}{[U]} = \frac{\mathrm{A}}{\mathrm{V}} &=& 1 \mathrm{S} \textnormal{ (Siemens) }\\ &=& 1 \mho \textnormal{ (Mho) } \end{eqnarray*} \subsection{Bemessungsgleichungen} \begin{picture}(100,30) \put(5,0){\line(1,0){80}} \put(5,6){\line(1,0){80}} \put(85,3){\circle{6}} \qbezier(5,0)(2,3)(5,6) \put(5,10){\line(0,1){8}} \put(85,10){\line(0,1){8}} \put(5,14){\line(1,0){80}} \put(40,17){$l$} \qbezier(85,3)(90,3)(95,10) \put(97,12){$A$} \end{picture} \qquad \qquad experimentell: $R \sim l,\quad R \sim \frac{1}{A}$ \begin{minipage}[c]{5.5cm} \center \begin{displaymath} R = \varrho \frac{l}{A} \end{displaymath} $\varrho$ : spezifischer Widerstand \end{minipage} \begin{minipage}[c]{5.5cm} \center \begin{displaymath} R = \frac{l}{\kappa A} \end{displaymath} $\kappa = \frac{1}{\varrho}$ : Leitwert \end{minipage} \bigskip \begin{displaymath} [\varrho] = \frac{[R][A]}{[l]} = \frac{[R][l][l]}{[l]} = [R][l] = \Omega \mathrm{m} \end{displaymath} analog: $[\kappa] = \frac{\mathrm{S}}{\mathrm{m}}$ auch üblich: \begin{minipage}[c]{5.5cm} \center \begin{displaymath} [\varrho] = \frac{\Omega\mathrm{mm}^2}{\mathrm{m}} = 10^{-9}\,\Omega\mathrm{m} \end{displaymath} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{5.5cm} \center \begin{displaymath} [\kappa] = \frac{\mathrm{S}}{\mathrm{cm}} = 100\,\frac{\mathrm{S}}{\mathrm{m}} \end{displaymath} \end{minipage} \subsection{Temperaturabhängigkeit} Die Temperaturabhängigkeit ist durch die Änderung von $\varrho$ begründet. \bigskip \begin{picture}(250,150) \put(10,40){\vector(1,0){230}} \put(15,35){\vector(0,1){115}} \put(3,110){$\scriptstyle R_0$} \multiput(14,110)(4,0){50}{\line(1,0){2}} \multiput(50,39)(0,4){25}{\line(0,1){2}} \multiput(100,39)(0,4){25}{\line(0,1){2}} \qbezier(20,120)(70,110)(110,60) \qbezier(20,105)(70,112)(110,130) \put(115,130){$\scriptstyle \textnormal{\small Kaltleiter: } \alpha > 0$} \put(115,60){$\scriptstyle \textnormal{\small Heißeiter: } \alpha < 0$} \qbezier(50,110)(50,110)(110,125) \multiput(99,123)(4,0){10}{\line(1,0){2}} \put(120,110){\vector(0,1){13}} \put(120,123){\vector(0,-1){13}} \put(123,114){$\scriptstyle \Delta R$} \put(9,26){$\scriptstyle 273$} \put(46,31){$\scriptstyle T_0$} \put(97,31){$\scriptstyle T$} \put(225,26){$T/\mathrm{K}$} \put(1,140){$R$} \put(15,19){\line(0,1){2}} \put(50,19){\line(0,1){2}} \put(100,19){\line(0,1){2}} \put(10,20){\vector(1,0){230}} \put(14,11){$\scriptstyle 0$} \put(46,11){$\scriptstyle \vartheta_0$} \put(97,11){$\scriptstyle \vartheta$} \put(225,06){$\vartheta/\mathrm{C}$} \end{picture} Bezugstemperatur: $T_0 = 293\,\mathrm{K} \Rightarrow \vartheta_0 = 20^{\circ}\,\mathrm{C}$ Celsius--Skala: $\vartheta / ^{\circ}\mathrm{C} = T/\mathrm{K} - 273$ \bigskip \begin{flushleft}\textbf{Tangente im Punkt $T_0$, $R_0$}\end{flushleft} \begin{displaymath} R(T) = \underbrace{R(T_0)}_{R_0} + \underbrace{\frac{dR}{dT}\Bigg|_{T_0} (T-T_0)}_{\Delta R} \end{displaymath} \begin{tabular}{lcl} $T_0$ & : & Bezugstemperatur \\ $R_0$ & : & Widerstand bei $T_0$ \end{tabular} \begin{displaymath} R(T) = R_0 + \Delta R \qquad \qquad R_0 = R(T_0)\quad \Delta R = \frac{dR}{dT}\Bigg|_{T_0} \Delta T \end{displaymath} \begin{displaymath} R(T) = R_0 \bigg(1+\frac{\Delta R}{R_0}\bigg) = R_0\bigg(1+\underbrace{\frac{1}{R_0}\frac{dR}{dT}}_{\textnormal{\small konst. }\scriptstyle\alpha}\Delta T\bigg) \end{displaymath} \begin{flushleft}\textbf{Temperaturkoeffizient}\end{flushleft} \begin{displaymath} \alpha = \frac{\frac{dR}{R_0}}{dT}\Bigg|_{T_0} = \frac{\textnormal{\small rel. Widerstandsänderung bei Temperaturänderung } dT}{dT} \end{displaymath} $\Rightarrow$ \quad \framebox{$R = R_0 (1+\alpha\Delta T)$} \qquad $[\alpha] = \frac{1}{\mathrm{K}}$ \subsubsection{Temperaturkoeffizient des Leitwertes} \begin{displaymath} G = G_0(1+\alpha_G \Delta T) = \frac{1}{R_0(1+\alpha \Delta T)} \approx \underbrace{\frac{1}{R_0}}_{G_0}(1+\alpha\Delta T)^{-1} \end{displaymath} \begin{tabular}{|l|} \hline \qquad \quad Approximation von $x^n$ \qquad \\ \hline $x^n \approx 1+n(x-1)$ \qquad für $|x-1| \ll 1$\\ \\ $x = 1 + \varepsilon$\\ \\ $(1+\varepsilon)^n \approx 1 + n\varepsilon$ \qquad für $|\varepsilon| \ll 1$\\ \hline \end{tabular} \begin{displaymath} G \approx G_0(1-\alpha\Delta T) \qquad \frac{1}{1+\varepsilon} = (1+\varepsilon)^{-1} \approx 1 - \varepsilon \end{displaymath} \framebox{$\alpha \approx -\alpha_R$} \bigskip \begin{displaymath} \alpha = \frac{1}{R_0}\frac{dR}{dT}\Bigg|_{T_0} = \frac{1}{\varrho_0\frac{l}{A}}\frac{d\Big(\varrho_0\frac{l}{A}\Big)}{dT}\Bigg|_{T_0} = \underbrace{\frac{1}{\varrho_0} \frac{d\varrho}{dT}\Bigg|_{T_0}}_{\textnormal{\tiny Temp.koeff. d. spez. Widerstandes}} \end{displaymath} \subsubsection{Beispiel} Metalle \qquad $\varrho (T) = \varrho_M \Big(\frac{T}{\theta}-a\Big)$ \bigskip \begin{tabular}{lp{8cm}} $a \approx 0,\!15$ & (linear über sehr weite Temperaturbereiche)\\ \\ $\theta$ & Debye-Temperatur\\ & z.B. Cu = 333\,K, Al = 393\,K, Ag=215\,K \end{tabular} \bigskip \begin{displaymath} \alpha = \frac{1}{\varrho(T_0)} \frac{d\varrho(t)}{dt}\Bigg|_{T_0} = \frac{1}{\varrho_m\Big(\frac{T_0}{\theta}-a\Big)} \frac{\varrho_m}{\theta} = \frac{1}{T_0 - a \theta} \end{displaymath} \bigskip Cu bei 293\,K: \quad $\theta = 333\,\mathrm{K} \quad \rightarrow \quad \alpha_{20} = \frac{1}{293\,\mathrm{K} - 0,15 * 333\,\mathrm{K}} = 4*10^{-3}\,\mathrm{K}^{-1}$ \subsection[Experiment: Temperaturabhängigkeit d. Widerstandes]{Experiment: Temperaturabhängigkeit des\\ Widerstandes} \subsubsection{Beispiel 1} Der Widerstand einer Kupferspule, einer Konstantanspule, eines Heißleiters sowie eines Kaltleiters wird jeweils bei Umgebungstemperatur $\vartheta_1 = 20^{\circ}\mathrm{C}$ und bei $\vartheta_2 = 97^{\circ}\mathrm{C}$ gemessen. Die Meßergebnisse sind tabellarisch dargestellt. Da beim Heiß--/Kaltleiter kein linearer Zusammenhang zwischen der Temperatur und dem Widerstand besteht kann hier kein $\alpha$ angegeben werden. \bigskip \begin{tabular}{l|rrrr} Material/Werte & $R(\vartheta_1)$ & $R(\vartheta_2)$ & $\Delta R$ & $\alpha \,\,(= \frac{\Delta R}{R_0 \Delta T})$ \\ \hline Kupfer & $9,\!73\,\Omega$ & $12,\!52\,\Omega$ & $2,\!79\,\Omega$ & $0,\!0037\,\mathrm{K}^{-1}$ \\ Konstantan & $16,\!56\,\Omega$ & $16,\!36\,\Omega$ & $0,\!20\,\Omega$ & $-0,\!00013\,\mathrm{K}^{-1}$\\ Heißleiter & $25,\!00\,\Omega$ & $4,\!10\,\Omega$ & $20,\!90\,\Omega$ & --- \\ Kaltleiter & $100,\!00\,\Omega$ & $876,\!00\,\Omega$ & $776,\!00\,\Omega$ & --- \\ \end{tabular} \subsubsection{Beispiel 2: Halogenlampe (24\,V, 100\,W)} \begin{center} \begin{minipage}[t]{160pt} \center \setlength{\unitlength}{1.8pt} \begin{picture}(80,70) \put(7,5){\vector(0,1){60}} \put(5,7){\vector(1,0){70}} \put(3,57){$I$} \put(67,1){$U$} \qbezier(7,7)(25,35)(60,40) \end{picture} $U$--$I$--Kennlinie \end{minipage} \begin{minipage}[t]{160pt} \center \setlength{\unitlength}{1.8pt} \begin{picture}(80,70) \put(7,5){\vector(0,1){60}} \put(5,7){\vector(1,0){70}} \put(2,57){$T$} \put(67,1){$R$} \qbezier(15,10)(15,10)(50,50) \end{picture} Widerstand als Funktion der Temperatur \end{minipage} \begin{minipage}[t]{160pt} \center \setlength{\unitlength}{1.8pt} \begin{picture}(80,70) \put(7,5){\vector(0,1){60}} \put(5,7){\vector(1,0){70}} \put(2,57){$T$} \put(67,1){$P$} \qbezier(7,7)(40,10)(60,60) \end{picture} Leistung als Funktion der Temperatur (linearer Maßstab) \end{minipage} \begin{minipage}[t]{160pt} \center \setlength{\unitlength}{1.8pt} \begin{picture}(80,70) \put(7,5){\vector(0,1){60}} \put(5,7){\vector(1,0){70}} \put(2,57){$T$} \put(67,1){$P$} \qbezier(10,15)(10,15)(50,50) \end{picture} Leistung als Funktion der Temperatur (Doppelt\-lo\-ga\-rith\-misch\-er Maßstab) $\Rightarrow$ Wärmestrahlung \end{minipage} \end{center} \section{Schaltungen mit Zweipolen} \subsection{Grundschaltungen} \begin{minipage}[t]{6cm} \begin{center} Serienschaltung \begin{picture}(150,80) \multiput(2,40)(118,0){2}{\line(1,0){28}} \multiput(1,40)(148,0){2}{\circle{2}} \put(60,40){\line(1,0){30}} \multiput(30,45)(60,0){2}{\line(1,0){30}} \multiput(30,35)(60,0){2}{\line(1,0){30}} \multiput(30,35)(30,0){4}{\line(0,1){10}} \multiput(30,35)(5,0){5}{\line(1,1){10}} \multiput(90,35)(5,0){5}{\line(1,1){10}} \put(5,45){\vector(1,0){15}} \put(12,47){$\scriptstyle I$} \put(29,50){$\scriptstyle U_1 = Z_1(I)$} \put(89,50){$\scriptstyle U_2 = Z_1(I)$} \qbezier(28,32)(45,25)(62,32) \put(62,32){\vector(3,1){0}} \qbezier(88,32)(105,25)(122,32) \put(122,32){\vector(3,1){0}} \qbezier(15,25)(75,0)(135,25) \put(135,25){\vector(2,1){0}} \put(42,20){$\scriptstyle U_1$} \put(102,20){$\scriptstyle U_2$} \put(73,3){$U$} \end{picture} \bigskip $U = U_1 + U_2$ \bigskip $U = Z(I) = Z_1(I) + Z_2(I)$ \bigskip \bigskip \begin{picture}(145,120) \put(70,0){\vector(0,1){120}} \put(0,30){\vector(1,0){140}} \put(131,23){$\scriptstyle I$} \put(72,110){$\scriptstyle U$} \qbezier(35,0)(70,80)(130,90) \put(132,92){$\scriptstyle Z_1$} \qbezier(30,10)(90,15)(120,110) \put(122,112){$\scriptstyle Z_2$} \put(83,40){\line(1,0){4}} \put(90,38){$\scriptstyle U_2$} \put(83,70){\line(1,0){4}} \put(72,69){$\scriptstyle U_1$} \put(83,85){\line(1,0){4}} \put(73,84){$U$} \put(83,18){$I$} \thicklines \put(85,28){\line(0,1){57}} \end{picture} \bigskip Addition der Spannungswerte bei jeweils gleichen Stromwerten. \end{center} \end{minipage} \begin{minipage}[t]{6cm} \begin{center} Parallelschaltung \begin{picture}(150,80) \put(2,40){\line(1,0){28}} \multiput(1,40)(148,0){2}{\circle{2}} \multiput(30,40)(90,0){2}{\circle*{2}} \put(120,40){\line(1,0){28}} \multiput(30,55)(60,0){2}{\line(1,0){30}} \multiput(30,25)(60,0){2}{\line(1,0){30}} \multiput(30,25)(90,0){2}{\line(0,1){30}} \multiput(60,50)(30,0){2}{\line(0,1){10}} \multiput(60,20)(30,0){2}{\line(0,1){10}} \multiput(60,50)(0,10){2}{\line(1,0){30}} \multiput(60,20)(0,10){2}{\line(1,0){30}} \multiput(60,20)(5,0){5}{\line(1,1){10}} \multiput(60,50)(5,0){5}{\line(1,1){10}} \put(5,45){\vector(1,0){15}} \put(12,47){$\scriptstyle I$} \put(35,60){\vector(1,0){15}} \put(38,62){$\scriptstyle I_1$} \put(35,30){\vector(1,0){15}} \put(38,32){$\scriptstyle I_2$} \put(58,35){$\scriptstyle I_2=Y_2(U)$} \put(58,65){$\scriptstyle I_1=Y_1(U)$} \qbezier(15,25)(75,0)(135,25) \put(135,25){\vector(2,1){0}} \put(73,3){$U$} \end{picture} \bigskip $I = I_1 + I_2$ \bigskip $I = Y(U) = Y_1(U) + Y_2(U)$ \bigskip \bigskip \begin{picture}(145,120) \put(70,0){\vector(0,1){120}} \put(0,30){\vector(1,0){140}} \put(131,23){$\scriptstyle I$} \put(72,110){$\scriptstyle U$} \qbezier(35,0)(70,80)(130,90) \put(132,92){$\scriptstyle Y_1$} \qbezier(30,10)(90,15)(120,110) \put(122,112){$\scriptstyle Y_2$} \put(85,68){\line(0,1){4}} \put(104,68){\line(0,1){4}} \put(125,68){\line(0,1){4}} \put(58,67){$U$} \put(83,61){$\scriptstyle I_1$} \put(102,61){$\scriptstyle I_2$} \put(122,58){$I$} \thicklines \put(68,70){\line(1,0){57}} \end{picture} \bigskip Addition der Stromwerte bei jeweils gleichen Spannungswerten. \end{center} \end{minipage} \bigskip \begin{center} \textbf{Widerstand / Leitwert} \end{center} \begin{minipage}[c]{6cm} \begin{center} \begin{displaymath} U = U_1+U_2 \end{displaymath} \begin{displaymath} \frac{U}{I} = \frac{U_1}{I}+\frac{U_2}{I} \end{displaymath} \begin{displaymath} R = R_1+R_2 \end{displaymath} \begin{displaymath} \frac{1}{G} = \frac{1}{G_1} + \frac{1}{G_2} \end{displaymath} \end{center} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{6cm} \begin{center} \begin{displaymath} I = I_1+I_2 \end{displaymath} \begin{displaymath} \frac{I}{U} = \frac{I_1}{U}+\frac{I_2}{U} \end{displaymath} \begin{displaymath} \frac{1}{R} = \frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2} \end{displaymath} \begin{displaymath} G = G_1 + G_2 \end{displaymath} \end{center} \end{minipage} \bigskip Das selbe gilt für den differentiellen Widerstand und Leitwert. \subsection*{Beispiele und Anwendungen} \subsubsection{1. Antiparallele Dioden} \begin{minipage}[c]{5cm} \begin{picture}(150,80) \put(2,40){\line(1,0){28}} \multiput(1,40)(148,0){2}{\circle{2}} \multiput(30,40)(90,0){2}{\circle*{2}} \put(120,40){\line(1,0){28}} \multiput(30,55)(52,0){2}{\line(1,0){38}} \multiput(30,25)(52,0){2}{\line(1,0){38}} \multiput(30,25)(90,0){2}{\line(0,1){30}} \put(5,45){\vector(1,0){15}} \put(12,47){$\scriptstyle I$} \put(35,60){\vector(1,0){15}} \put(38,62){$\scriptstyle I_1$} \put(35,30){\vector(1,0){15}} \put(38,32){$\scriptstyle I_2$} \qbezier(15,25)(75,0)(135,25) \put(135,25){\vector(2,1){0}} \put(73,3){$U$} \multiput(68,48)(14,0){2}{\line(0,1){14}} \multiput(68,18)(14,0){2}{\line(0,1){14}} \qbezier(68,48)(68,48)(82,55) \qbezier(68,62)(68,62)(82,55) \qbezier(68,25)(68,25)(82,18) \qbezier(68,25)(68,25)(82,32) \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{7cm} \begin{displaymath} I_D = I_S\bigg(\mathrm{e}^{\frac{U_D}{U_T}}-1\bigg) \end{displaymath} \end{minipage} \begin{eqnarray*} I &=& I_1 + I_2 =I_S\Big(\mathrm{e}^{\frac{U}{U_T}}-1\Big) - I_S\Big(\mathrm{e}^{\frac{-U}{U_T}}-1\Big)\\ \\ & = & I_S \Big(\mathrm{e}^{\frac{U}{U_T}}-\mathrm{e}^{\frac{-U}{U_T}}\Big)\\ \\ & = & 2 * I_s * \sinh \frac{U}{U_T}\\ \\ && \textnormal{(da } \frac{e^x-x^{-x}}{2} =\sinh x) \end{eqnarray*} \begin{minipage}[c]{100pt} \begin{picture}(80,80) \put(0,40){\vector(1,0){80}} \put(40,0){\vector(0,1){80}} \put(75,32){$\scriptstyle U$} \put(43,75){$\scriptstyle I$} \qbezier(10,0)(15,41)(30,39) \qbezier(30,39)(30,39)(50,41) \qbezier(50,41)(65,39)(70,80) \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{8cm} $U$--$I$--Kennlinie zweier antiparalleler Dioden. \bigskip Praktische Anwendung: Spannungsbegrenzung. \end{minipage} \subsection{Scherung von Kennlinien} \begin{minipage}[t]{6cm} \center Z--Diode und Widerstand \\ in Serienschaltung \bigskip \begin{picture}(100,100) \put(50,99){\circle{2}} \put(50,98){\line(0,-1){18}} \put(40,80){\line(1,0){20}} \put(40,80){\line(0,-1){2}} \put(50,80){\line(1,-1){10}} \put(50,80){\line(-1,-1){10}} \put(40,70){\line(1,0){20}} \put(50,70){\line(0,-1){20}} \put(45,50){\line(1,0){10}} \put(45,50){\line(0,-1){20}} \put(55,50){\line(0,-1){20}} \put(45,30){\line(1,0){10}} \put(50,30){\line(0,-1){20}} \put(50,9){\circle{2}} \put(60,95){\vector(0,-1){10}} \put(65,87){$I$} \qbezier(40,90)(20,55)(40,20) \put(40,20){\vector(1,-2){0}} \put(20,50){$U$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[t]{6cm} \center Gemeinsame Kennlinie:\\ Addition der Spannungen \bigskip \begin{picture}(140,100) \put(0,50){\vector(1,0){140}} \put(132,40){$U$} \put(50,0){\vector(0,1){100}} \put(53,90){$I$} \qbezier(43,10)(43,50)(45,49) \qbezier(45,49)(50,50)(100,51) \qbezier(100,51)(102,51)(103,90) \qbezier(10,10)(50,50)(100,100) \thicklines \qbezier(0,10)(36,50)(50,50) \qbezier(50,50)(100,50)(100,51) \qbezier(100,51)(103,51)(140,90) \put(70,80){R} \put(93,70){D} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[t]{6cm} \center Z--Diode und Widerstand \\ in Parallelschaltung \bigskip \begin{picture}(100,100) \multiput(50,30)(0,50){2}{\circle*{2}} \put(50,99){\circle{2}} \put(50,98){\line(0,-1){18}} \put(20,60){\line(1,0){20}} \put(20,60){\line(0,-1){2}} \put(30,60){\line(1,-1){10}} \put(30,60){\line(-1,-1){10}} \put(20,50){\line(1,0){20}} \put(50,30){\line(0,-1){20}} \put(50,9){\circle{2}} \put(60,95){\vector(0,-1){10}} \put(65,87){$I$} \put(30,80){\line(1,0){40}} \put(30,80){\line(0,-1){20}} \put(70,80){\line(0,-1){15}} \put(65,65){\line(1,0){10}} \put(65,65){\line(0,-1){20}} \put(75,65){\line(0,-1){20}} \put(65,45){\line(1,0){10}} \put(70,45){\line(0,-1){15}} \put(30,50){\line(0,-1){20}} \put(30,30){\line(1,0){40}} \qbezier(20,90)(00,55)(20,20) \put(20,20){\vector(1,-2){0}} \put(0,75){$U$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[t]{6cm} \center Gemeinsame Kennlinie:\\ Addition der Ströme \bigskip \begin{picture}(140,100) \put(0,50){\vector(1,0){140}} \put(132,40){$U$} \put(50,0){\vector(0,1){100}} \put(53,90){$I$} \qbezier(43,10)(43,50)(45,49) \qbezier(45,49)(50,50)(100,51) \qbezier(100,51)(102,51)(103,90) \qbezier(10,30)(50,50)(120,85) \thicklines \qbezier(43,10)(44,44)(50,50) \qbezier(50,50)(50,50)(102,77) \qbezier(102,77)(103,80)(103,100) \put(70,67){R} \put(93,60){D} \end{picture} \end{minipage} \subsection{Schaltungen mit Strom-- und Spannungsquellen} \begin{minipage}[c]{6cm} \center \begin{picture}(100,150) \put(30,10){\line(1,0){50}} \put(30,10){\line(0,1){50}} \put(30,60){\line(1,0){50}} \put(30,35){\circle{20}} \put(81,10){\circle{2}} \put(81,60){\circle{2}} \put(80,55){\vector(0,-1){40}} \put(83,33){$U_0$} \put(17,45){\vector(0,-1){20}} \put(2,33){$U_0$} \put(55,70){$\widehat{=}$} \put(30,90){\line(1,0){50}} \put(30,90){\line(0,1){50}} \put(30,140){\line(1,0){50}} \put(30,115){\circle{20}} \put(81,90){\circle{2}} \put(81,140){\circle{2}} \put(80,135){\vector(0,-1){40}} \put(83,113){$U_0$} \put(17,125){\vector(0,-1){20}} \put(2,113){$U_0$} \put(60,140){\line(0,-1){15}} \put(60,90){\line(0,1){15}} \put(55,125){\line(1,0){10}} \put(55,105){\line(1,0){10}} \put(55,105){\line(0,1){20}} \put(65,105){\line(0,1){20}} \multiput(55,105)(0,5){4}{\line(3,1){10}} \multiput(60,90)(0,50){2}{\circle*{2}} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{6cm} Spannungsquelle: Bei jedem Spannungswert die Ströme addieren $\Rightarrow$ Die Parallelschaltung hat keinen Einfluß auf das Klemmenverhalten. \bigskip \begin{picture}(140,100) \put(0,50){\vector(1,0){140}} \put(132,40){$U$} \put(70,0){\vector(0,1){100}} \put(73,90){$I$} \put(90,10){\line(0,1){80}} \put(93,40){$U_0$} \qbezier(20,20)(50,55)(70,55) \qbezier(70,55)(110,60)(120,80) \qbezier(91,30)(92,28)(95,27) \put(97,25){$\textnormal{\tiny Spannungs--}$} \put(97,18){$\textnormal{\tiny quelle}$} \qbezier(30,30)(31,28)(34,27) \put(36,25){$\textnormal{\tiny Zweipol}$} \end{picture} \end{minipage} \bigskip \bigskip \begin{minipage}[c]{6cm} Stromquelle: Bei jedem Stromwert die Spannungen addieren $\Rightarrow$ Zweipol hat keinen Einfluß auf das Klemmenverhalten \bigskip \begin{picture}(140,100) \put(0,50){\vector(1,0){140}} \put(132,40){$U$} \put(70,0){\vector(0,1){100}} \put(73,90){$I$} \put(73,74){$I_0$} \put(10,70){\line(1,0){120}} \qbezier(20,20)(50,55)(70,55) \qbezier(70,55)(110,60)(120,80) \qbezier(15,67)(17,63)(20,62) \put(21,60){$\textnormal{\tiny Stromquelle}$} \qbezier(30,30)(31,28)(34,27) \put(36,25){$\textnormal{\tiny Zweipol}$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{6cm} \center \begin{picture}(140,100) \put(30,99){\circle{2}} \put(30,98){\line(0,-1){18}} \put(30,60){\line(0,-1){10}} \put(25,50){\line(1,0){10}} \put(30,70){\circle{20}} \put(20,70){\line(1,0){20}} \put(45,80){\vector(0,-1){20}} \put(49,67){$I_0$} \put(25,50){\line(0,-1){20}} \put(35,50){\line(0,-1){20}} \put(25,30){\line(1,0){10}} \put(30,30){\line(0,-1){20}} \put(30,9){\circle{2}} \put(40,95){\vector(0,-1){10}} \put(45,87){$I$} \qbezier(20,90)(00,55)(20,20) \put(20,20){\vector(1,-2){0}} \put(0,50){$U$} \multiput(25,30)(0,5){4}{\line(3,1){10}} \put(65,47){$\widehat{=}$} \put(100,99){\circle{2}} \put(100,98){\line(0,-1){33}} \put(100,10){\line(0,1){35}} \put(100,55){\circle{20}} \put(90,55){\line(1,0){20}} \put(115,65){\vector(0,-1){20}} \put(119,53){$I_0$} \put(100,9){\circle{2}} \put(110,95){\vector(0,-1){10}} \put(115,87){$I$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{6cm} \begin{picture}(80,100) \put(50,99){\circle{2}} \put(50,98){\line(0,-1){18}} \put(40,80){\line(1,0){20}} \put(50,70){\line(1,1){10}} \put(50,70){\line(-1,1){10}} \put(40,70){\line(1,0){20}} \put(50,70){\line(0,-1){40}} \put(50,40){\circle{20}} \put(50,30){\line(0,-1){20}} \put(50,9){\circle{2}} \put(60,95){\vector(0,-1){10}} \put(65,87){$I$} \qbezier(40,90)(20,55)(40,20) \put(40,20){\vector(1,-2){0}} \put(20,50){$U$} \put(65,50){\vector(0,-1){20}} \put(68,37){$U_0$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{6cm} \begin{picture}(140,100) \put(0,50){\vector(1,0){140}} \put(132,40){$U$} \put(70,0){\vector(0,1){100}} \put(73,90){$I$} \put(90,10){\line(0,1){80}} \put(93,40){$U_0$} \qbezier(30,50)(75,50)(80,51) \qbezier(80,51)(81,51)(83,90) \put(81,60){\vector(1,0){20}} \put(82,75){\vector(1,0){20}} \thicklines \qbezier(100,51)(101,51)(103,90) \qbezier(50,50)(95,50)(100,51) \end{picture} \center Verschiebung der Kennlinie \\ in $U$--Richtung \end{minipage} \bigskip \begin{minipage}[c]{6cm} \begin{picture}(100,100) \put(50,99){\circle{2}} \put(50,98){\line(0,-1){18}} \put(30,55){\circle{20}} \put(20,55){\line(1,0){20}} \put(50,30){\line(0,-1){20}} \put(50,9){\circle{2}} \put(60,95){\vector(0,-1){10}} \put(65,87){$I$} \put(30,80){\line(1,0){40}} \put(30,80){\line(0,-1){15}} \put(30,45){\line(0,-1){15}} \put(30,30){\line(1,0){40}} \qbezier(20,90)(00,55)(20,20) \put(20,20){\vector(1,-2){0}} \put(0,75){$U$} \put(70,30){\line(0,1){20}} \put(70,80){\line(0,-1){20}} \put(60,60){\line(1,0){20}} \put(70,50){\line(1,1){10}} \put(70,50){\line(-1,1){10}} \put(60,50){\line(1,0){20}} \put(42,65){\vector(0,-1){20}} \put(45,50){$I_0$} \multiput(50,30)(0,50){2}{\circle*{2}} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{6cm} \begin{picture}(140,100) \put(0,50){\vector(1,0){140}} \put(132,40){$U$} \put(70,0){\vector(0,1){100}} \put(73,90){$I$} \put(10,60){\line(1,0){120}} \put(60,63){$I_0$} \qbezier(30,50)(75,50)(80,51) \qbezier(80,51)(81,51)(83,90) \put(40,50){\vector(0,1){10}} \put(60,50){\vector(0,1){10}} \put(75,50){\vector(0,1){10}} \thicklines \qbezier(30,60)(75,60)(80,61) \qbezier(80,61)(81,61)(83,100) \end{picture} \center Verschiebung der Kennlinie \\ in $I$--Richtung \end{minipage} \subsection{Unzulässige Zusammenschaltungen} \begin{minipage}[b]{6cm} \center \begin{picture}(95,100) \put(10,10){\line(1,0){60}} \put(10,90){\line(1,0){60}} \put(10,10){\line(0,1){80}} \put(70,10){\line(0,1){80}} \put(10,50){\circle{20}} \put(70,50){\circle{20}} \put(23,60){\vector(0,-1){20}} \put(25,47){$U_1$} \put(83,60){\vector(0,-1){20}} \put(85,47){$U_2$} \end{picture} Widerspricht dem Maschensatz! \end{minipage} \begin{minipage}[b]{6cm} \center \begin{picture}(100,50) \put(2,10){\line(1,0){18}} \put(1,10){\circle{2}} \put(30,10){\circle{20}} \put(40,10){\line(1,0){20}} \put(70,10){\circle{20}} \put(80,10){\line(1,0){18}} \put(99,10){\circle{2}} \put(20,23){\vector(1,0){20}} \put(60,23){\vector(1,0){20}} \multiput(30,0)(40,0){2}{\line(0,1){20}} \put(27,27){$I_1$} \put(67,27){$I_2$} \end{picture} \bigskip \bigskip Widerspricht dem Knotensatz! \end{minipage} \newpage \section{Schaltungen mit Widerständen} \subsection{Reihen--Parallelschaltungen} Reihen--Parallelschaltungen lassen sich auf Reihen-- und Parallelschaltungen zurückführen. \begin{description} \item[Beispiel:] Abzweigschaltung \begin{center} \begin{picture}(160,100) \multiput(60,70)(40,0){2}{\circle*{2}} \multiput(60,10)(40,0){2}{\circle*{2}} \multiput(10,70)(40,0){3}{\line(1,0){20}} \put(140,70){\line(-1,0){10}} \multiput(30,75)(40,0){3}{\line(1,0){20}} \multiput(30,65)(40,0){3}{\line(1,0){20}} \multiput(30,65)(20,0){6}{\line(0,1){10}} \multiput(60,70)(40,0){3}{\line(0,-1){20}} \multiput(60,10)(40,0){3}{\line(0,1){20}} \multiput(55,30)(40,0){3}{\line(0,1){20}} \multiput(65,30)(40,0){3}{\line(0,1){20}} \multiput(55,30)(40,0){3}{\line(1,0){10}} \multiput(55,50)(40,0){3}{\line(1,0){10}} \put(35,78){$R_1$} \put(75,78){$R_3$} \put(115,78){$R_5$} \put(67,37){$R_2$} \put(107,37){$R_4$} \put(147,37){$R_6$} \put(9,10){\circle{2}} \put(9,70){\circle{2}} \put(0,8){$\scriptstyle B$} \put(0,68){$\scriptstyle A$} \put(10,10){\line(1,0){130}} \end{picture} \end{center} \begin{displaymath} R_{AB} = R_1 + \frac{1}{\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3+\frac{1}{\frac{1}{R_4}+\frac{1}{R_5+R_6}}}} \end{displaymath} \item[Gegenbeispiel:] Brückenschaltung \begin{minipage}[c]{4cm} \begin{picture}(100,140) \multiput(20,20)(0,40){3}{\line(0,1){20}} \multiput(80,20)(0,40){3}{\line(0,1){20}} \multiput(15,40)(0,40){2}{\line(0,1){20}} \multiput(25,40)(0,40){2}{\line(0,1){20}} \multiput(75,40)(0,40){2}{\line(0,1){20}} \multiput(85,40)(0,40){2}{\line(0,1){20}} \multiput(15,40)(0,20){4}{\line(1,0){10}} \multiput(75,40)(0,20){4}{\line(1,0){10}} \multiput(20,20)(0,100){2}{\line(1,0){60}} \multiput(20,70)(40,0){2}{\line(1,0){20}} \multiput(40,65)(0,10){2}{\line(1,0){20}} \multiput(40,65)(20,0){2}{\line(0,1){10}} \put(50,20){\line(0,-1){18}} \put(50,1){\circle{2}} \put(50,138){\line(0,-1){18}} \put(50,139){\circle{2}} \multiput(20,70)(60,0){2}{\circle*{2}} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{6cm} In der Brückenschaltung gibt es keine zwei Widerstände, die in Reihe oder parallel geschaltet sind. \end{minipage} \end{description} \subsection{Strom-- und Spannungsteiler} \bigskip \begin{minipage}[b]{6cm} \center \textbf{Spannungsteiler} \begin{picture}(120,110) \multiput(55,10)(0,40){3}{\circle*{2}} \multiput(10,10)(90,0){2}{\circle{2}} \multiput(10,90)(90,0){2}{\circle{2}} \multiput(11,10)(0,80){2}{\line(1,0){88}} \multiput(55,10)(0,70){2}{\line(0,1){10}} \multiput(50,20)(10,0){2}{\line(0,1){20}} \multiput(50,60)(10,0){2}{\line(0,1){20}} \multiput(50,20)(0,20){4}{\line(1,0){10}} \put(55,40){\line(0,1){20}} \put(55,50){\line(1,0){44}} \put(100,50){\circle{2}} \put(10,85){\vector(0,-1){70}} \put(12,45){$U_0$} \put(47,80){\vector(0,-1){20}} \put(40,67){$I$} \put(64,65){$R_1$} \put(64,25){$R_2$} \put(100,85){\vector(0,-1){30}} \put(105,67){$U_1$} \put(100,45){\vector(0,-1){30}} \put(105,27){$U_2$} \put(80,54){\vector(1,0){15}} \put(81,57){$\scriptstyle I=0$} \end{picture} \begin{displaymath} I = \frac{U_0}{R_1 + R_2} \end{displaymath} \begin{displaymath} U_2 = I \cdot R_2 \end{displaymath} \begin{displaymath} \frac{U_2}{U_0} = \frac{R_2}{R_1+R_2} = \frac{G_1}{G_1+G_2} \end{displaymath} \begin{displaymath} \frac{\textnormal{\tiny Teilspannung}}{\textnormal{\tiny{Gesamtspannung}}} = \frac{\textnormal{\tiny Teilwiderstand}}{\textnormal{\tiny{Gesamtwiderstand}}} \end{displaymath} \end{minipage} \begin{minipage}[b]{6cm} \center \textbf{Stromteiler} \begin{picture}(120,110) \put(10,10){\circle{2}} \put(10,90){\circle{2}} \multiput(60,10)(0,80){2}{\circle*{2}} \multiput(11,10)(0,80){2}{\line(1,0){89}} \multiput(60,10)(40,0){2}{\line(0,1){30}} \multiput(60,60)(40,0){2}{\line(0,1){30}} \multiput(55,40)(10,0){2}{\line(0,1){20}} \multiput(95,40)(10,0){2}{\line(0,1){20}} \multiput(55,40)(0,20){2}{\line(1,0){10}} \multiput(95,40)(0,20){2}{\line(1,0){10}} \multiput(55,85)(40,0){2}{\vector(0,-1){20}} \put(44,73){$I_1$} \put(84,73){$I_2$} \put(40,47){$G_1$} \put(80,47){$G_2$} \put(15,93){\vector(1,0){20}} \put(20,97){$I_0$} \put(10,85){\vector(0,-1){70}} \put(12,45){$U$} \end{picture} \begin{displaymath} U = \frac{I_0}{G_1 + G_2} \end{displaymath} \begin{displaymath} I_2 = U \cdot G_2 \end{displaymath} \begin{displaymath} \frac{I_2}{I_0} = \frac{G_2}{G_1+G_2} = \frac{R_1}{R_1+R_2} \end{displaymath} \begin{displaymath} \frac{\textnormal{\tiny Teilstrom}}{\textnormal{\tiny{Gesamtstrom}}} = \frac{\textnormal{\tiny Teilleitwert}}{\textnormal{\tiny{Gesamtleitwert}}} \end{displaymath} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{5.5cm} \quad \end{minipage} \begin{minipage}[c]{6cm} \center \begin{displaymath} = \frac{\textnormal{\tiny nicht durchflossener Widerstand}}{\textnormal{\tiny{Ringwiderstand der Masche}}} \end{displaymath} \end{minipage} \subsection*{Beispiele} \begin{enumerate} \item \textsc{Wheatstone}sche Brücke \smallskip \begin{minipage}[c]{6cm} \begin{picture}(160,125) \multiput(80,0)(0,60){3}{\circle*{2}} \multiput(130,0)(0,60){3}{\circle*{2}} \put(25,0){\line(1,0){105}} \put(25,0){\line(0,1){120}} \put(25,120){\line(1,0){105}} \put(25,60){\circle{20}} \put(13,70){\vector(0,-1){20}} \put(0,57){$U_0$} \multiput(80,0)(50,0){2}{\line(0,1){24}} \multiput(80,48)(50,0){2}{\line(0,1){24}} \multiput(80,96)(50,0){2}{\line(0,1){24}} \multiput(75,24)(50,0){2}{\line(0,1){24}} \multiput(85,24)(50,0){2}{\line(0,1){24}} \multiput(75,72)(50,0){2}{\line(0,1){24}} \multiput(85,72)(50,0){2}{\line(0,1){24}} \multiput(75,24)(50,0){2}{\line(1,0){10}} \multiput(75,48)(50,0){2}{\line(1,0){10}} \multiput(75,72)(50,0){2}{\line(1,0){10}} \multiput(75,96)(50,0){2}{\line(1,0){10}} \multiput(80,60)(40,0){2}{\line(1,0){10}} \qbezier(95,63)(105,68)(115,63) \put(117,62){\vector(3,-1){0}} \put(102,67){$\scriptstyle U$} \qbezier(60,20)(55,36)(60,52) \put(60,20){\vector(1,-4){0}} \put(47,34){$\scriptstyle U_2$} \qbezier(110,20)(105,36)(110,52) \put(110,20){\vector(1,-4){0}} \put(97,34){$\scriptstyle U_4$} \put(60,81){$R_1$} \put(60,33){$R_2$} \put(110,81){$R_3$} \put(110,33){$R_4$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{6cm} gesucht: $U$ \begin{displaymath} U + U_4 - U_2 = 0 \end{displaymath} \begin{displaymath} U = U_4 - U_2 \end{displaymath} \begin{displaymath} U_2 = \frac{R_2}{R_1+R_2}U_0 \end{displaymath} \begin{displaymath} U_4 = \frac{R_4}{R_3+R_4}U_0 \end{displaymath} \end{minipage} \begin{displaymath} U = \frac{R_2}{R_1+R_2}U_0 - \frac{R_4}{R_3+R_4}U_0 = \Big(\frac{R_2}{R_1+R_2} - \frac{R_4}{R_3+R_4}\Big) U_0 \end{displaymath} Abgleichbedingung: $U = 0$ \begin{displaymath} \frac{R_2}{R_1+R_2} = \frac{R_4}{R_3+R_4} \Leftrightarrow \frac{R_1}{R_2} + \frac{R_2}{R_2} = \frac{R_3}{R_4} + \frac{R_4}{R_4} \end{displaymath} \begin{displaymath} \frac{R_1}{R_2} = \frac{R_3}{R_4} \end{displaymath} \item Mehrfacher Stromteiler \begin{minipage}[c]{7cm} \begin{picture}(200,80) \put(30,0){\line(1,0){150}} \put(30,0){\line(0,1){20}} \put(30,30){\circle{20}} \put(20,30){\line(1,0){20}} \put(30,40){\line(0,1){20}} \put(30,60){\line(1,0){60}} \multiput(60,0)(0,40){2}{\line(0,1){20}} \multiput(55,20)(10,0){2}{\line(0,1){20}} \multiput(55,20)(0,20){2}{\line(1,0){10}} \multiput(60,0)(0,60){2}{\circle*{2}} \multiput(140,0)(0,60){2}{\circle*{2}} \multiput(90,55)(0,10){2}{\line(1,0){20}} \multiput(90,55)(20,0){2}{\line(0,1){10}} \put(110,60){\line(1,0){70}} \multiput(140,0)(0,40){2}{\line(0,1){20}} \multiput(180,0)(0,40){2}{\line(0,1){20}} \multiput(135,20)(10,0){2}{\line(0,1){20}} \multiput(175,20)(10,0){2}{\line(0,1){20}} \multiput(135,20)(0,20){2}{\line(1,0){10}} \multiput(175,20)(0,20){2}{\line(1,0){10}} \put(17,20){\vector(0,1){20}} \put(4,27){$I_0$} \put(67,27){$G_1$} \put(94,69){$G_2$} \put(147,27){$G_3$} \put(187,27){$G_4$} \put(120,65){\vector(1,0){15}} \put(125,69){$\scriptstyle I_2$} \put(185,60){\vector(0,-1){15}} \put(188,50){$\scriptstyle I_4$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{5cm} \center Gesucht: $I_4$ \begin{displaymath} I_4 = \frac{G_4}{G_3+G_4}\cdot I_2 \end{displaymath} \end{minipage} \begin{displaymath} I_2 = \frac{G_{234}}{G_2+G_3+G_4}I_0 \qquad G_{234} = \frac{1}{\frac{1}{G_2} + \frac{1}{G_3+G_4}} \end{displaymath} \begin{eqnarray*} I_4 &=& \frac{G_4}{G_3+G_4} \cdot \frac{\frac{1}{\frac{1}{G_2} + \frac{1}{G_3+G_4}}}{G_1+\frac{1}{\frac{1}{G_2} + \frac{1}{G_3+G_4}}}\cdot I_2\\ \\ & =& \frac{G_2\cdot G_4}{G_1\cdot G_2 + G_1\cdot G_3 + G_1\cdot G_4 + G_2\cdot G_3 + G_2\cdot G_4}\cdot I_2 \end{eqnarray*} \end{enumerate} \chapter{Überlagerungssatz} \section[Lineare Überlagerung von Ursachen und Wirkungen]{Lineare Überlagerung von Ursachen\\ und Wirkungen} \subsection{Einführungsbeispiel} \begin{minipage}[c]{7.5cm} \begin{picture}(200,80) \put(30,0){\line(1,0){150}} \put(30,0){\line(0,1){60}} \put(30,30){\circle{20}} \put(180,0){\line(0,1){20}} \put(180,40){\line(0,1){20}} \put(180,30){\circle{20}} \put(170,30){\line(1,0){20}} \put(30,60){\line(1,0){60}} \multiput(90,55)(0,10){2}{\line(1,0){20}} \multiput(90,55)(20,0){2}{\line(0,1){10}} \put(110,60){\line(1,0){70}} \multiput(140,0)(0,40){2}{\line(0,1){20}} \multiput(135,20)(10,0){2}{\line(0,1){20}} \multiput(135,20)(0,20){2}{\line(1,0){10}} \put(17,40){\vector(0,-1){20}} \put(4,27){$U_0$} \put(193,20){\vector(0,1){20}} \put(195,27){$I_0$} \put(94,69){$R_1$} \put(147,27){$R_2$} \put(50,65){\vector(1,0){15}} \put(55,69){$\scriptstyle I_1$} \put(152,57){\vector(0,-1){15}} \put(155,47){$\scriptstyle I_2$} \put(80,30){\circle{30}} \put(78,14){\vector(-1,0){0}} \put(76,26){M} \put(140,60){\circle*{4}} \put(140,0){\circle*{2}} \put(145,65){K} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{4.5cm} M: $-U_0 + I_1\cdot R_1+I_2\cdot R_2 = 0$ K: $I_1 - I_2 + I_0 = 0$ \end{minipage} \bigskip \begin{minipage}[c]{6cm} aus K: $I_1 = I_2 - I_0$ \begin{displaymath} I_2(R_1+R_2) = U_0 + I_0 \cdot R_1 \end{displaymath} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{6cm} in M: $-U_0 + (I_2 - I_0)\cdot R_1 + I_2\cdot R_2 = 0$ \begin{eqnarray*} I_2 &=& \frac{1}{R_1+R_2} \cdot U_0 + \frac{R_1}{R_1+R_2}\cdot I_0\\ \\ &=& \underbrace{g \cdot U_0}_{I_{2U_0}} + \underbrace{\alpha \cdot I_0}_{I_{2I_0}} \end{eqnarray*} \end{minipage} \vfill \begin{minipage}[c]{6cm} \center $I_{2U_0}$ : Wirkung von $U_0$\\ (bei $I_0 = 0$) \bigskip \setlength{\unitlength}{0.85pt} \begin{picture}(180,80) \multiput(140,0)(0,60){2}{\circle*{2}} \put(30,0){\line(1,0){150}} \put(30,0){\line(0,1){60}} \put(30,30){\circle{20}} \put(30,60){\line(1,0){60}} \multiput(90,55)(0,10){2}{\line(1,0){20}} \multiput(90,55)(20,0){2}{\line(0,1){10}} \put(110,60){\line(1,0){70}} \multiput(140,0)(0,40){2}{\line(0,1){20}} \multiput(135,20)(10,0){2}{\line(0,1){20}} \multiput(135,20)(0,20){2}{\line(1,0){10}} \put(17,40){\vector(0,-1){20}} \put(4,27){$U_0$} \put(94,69){$R_1$} \put(147,27){$R_2$} \put(50,65){\vector(1,0){15}} \put(55,69){$\scriptstyle I_1$} \put(152,57){\vector(0,-1){15}} \put(155,47){$\scriptstyle I_{2U_0}$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{6cm} \center $I_{2I_0}$ : Wirkung von $I_0$\\ (bei $U_0 = 0$) \bigskip \setlength{\unitlength}{0.85pt} \begin{picture}(200,80) \multiput(140,0)(0,60){2}{\circle*{2}} \put(30,0){\line(1,0){150}} \put(30,0){\line(0,1){60}} \put(180,0){\line(0,1){20}} \put(180,40){\line(0,1){20}} \put(180,30){\circle{20}} \put(170,30){\line(1,0){20}} \put(30,60){\line(1,0){60}} \multiput(90,55)(0,10){2}{\line(1,0){20}} \multiput(90,55)(20,0){2}{\line(0,1){10}} \put(110,60){\line(1,0){70}} \multiput(140,0)(0,40){2}{\line(0,1){20}} \multiput(135,20)(10,0){2}{\line(0,1){20}} \multiput(135,20)(0,20){2}{\line(1,0){10}} \put(193,20){\vector(0,1){20}} \put(195,27){$I_0$} \put(94,69){$R_1$} \put(147,27){$R_2$} \put(152,57){\vector(0,-1){15}} \put(155,47){$\scriptstyle I_{2I_0}$} \end{picture} \end{minipage} \newpage \subsubsection{allgemein:} \begin{minipage}[c]{7.5cm} \begin{picture}(200,150) \multiput(50,10)(0,110){2}{\line(1,0){100}} \multiput(50,10)(100,0){2}{\line(0,1){110}} \multiput(30,20)(0,30){4}{\line(1,0){20}} \multiput(30,20)(0,60){2}{\line(0,1){30}} \multiput(30,35)(0,60){2}{\circle{20}} \multiput(17,45)(0,60){2}{\vector(0,-1){20}} \multiput(150,20)(0,30){4}{\line(1,0){20}} \multiput(170,20)(0,60){2}{\line(0,1){5}} \multiput(170,45)(0,60){2}{\line(0,1){5}} \multiput(170,35)(0,60){2}{\circle{20}} \multiput(183,25)(0,60){2}{\vector(0,01){20}} \multiput(160,35)(0,60){2}{\line(1,0){20}} \put(185,33){$I_M$} \put(185,93){$I_1$} \put(3,33){$U_N$} \put(3,93){$U_1$} \put(72,65){R-Netzwerk} \qbezier(70,120)(100,140)(130,120) \put(120,133){\vector(-1,0){15}} \put(110,138){$I_z$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{4.5cm} \begin{displaymath} I_z = \sum\limits_{n=1}^{N} g_n\cdot U_n + \sum\limits_{m=1}^{M} \alpha_m\cdot I_M \end{displaymath} \begin{displaymath} g_n = \frac{I_z}{U_n}\bigg|_\textnormal{\small alle anderen Quellen Null} \end{displaymath} \begin{displaymath} \alpha_m = \frac{I_z}{I_m}\bigg|_\textnormal{\small alle anderen Quellen Null} \end{displaymath} \end{minipage} In einem linearen Netzwerk überlagern sich die Wirkungen aller erregenden Quellen. \section{Netzwerkanalyse mit Überlagerungsverfahren} \begin{description} \item[Problem:] \quad gegeben: \emph{lineares} Netzwerk nit mehreren unabhängigen Quellen gesucht: Zweigstrom oder Spannung in/über einem Zweig. \item[Lösungsalgorithmus:] \quad \begin{enumerate} \item Quelle auswählen \item andere Quellen deaktivieren \begin{itemize} \item Spannungsquellen durch Kurzschluss, \item Stromquellen durch Leerlauf ersetzen \end{itemize} \item Teilwirkung verursacht durch Quelle Q berechnen \item von Punkt 1 wiederholen bis alle Quellen erfasst sind \item Teilwirkungen der Quellen überlagern (vorzeichenrichtig addieren) \end{enumerate} \item[Experiment:] \quad \begin{minipage}[c]{195pt} \begin{picture}(195,100) \multiput(30,0)(140,0){2}{\line(0,1){60}} \multiput(30,30)(140,0){2}{\circle{20}} \multiput(25,60)(140,0){2}{\line(1,0){10}} \multiput(25,60)(140,0){2}{\line(0,1){20}} \multiput(35,60)(140,0){2}{\line(0,1){20}} \multiput(25,80)(140,0){2}{\line(1,0){10}} \multiput(30,80)(140,0){2}{\line(0,1){20}} \multiput(30,0)(0,100){2}{\line(1,0){140}} \multiput(100,0)(0,40){3}{\line(0,1){20}} \multiput(95,20)(0,20){2}{\line(1,0){10}} \multiput(95,20)(10,0){2}{\line(0,1){20}} \put(100,70){\circle{20}} \put(40,40){$Q_1$} \put(147,40){$Q_2$} \multiput(100,0)(0,100){2}{\circle*{2}} \multiput(15,40)(164,0){2}{$+$} \multiput(14,17)(166,0){2}{$-$} \put(96,66){A} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{6cm} $$ I = 25\,\mathrm{mA} $$ \quad $Q_1$ kurzgeschlossen: $I = 15\,\mathrm{mA}$ \quad $Q_2$ kurzgeschlossen: $I = 10\,\mathrm{mA}$ \end{minipage} \end{description} \subsubsection{Beispiel: Belasteter Spannungsteiler} \bigskip \begin{minipage}[c]{150pt} \begin{picture}(150,100) \put(0,47){$U_0 \Big\downarrow$} \put(30,0){\line(0,1){100}} \put(30,50){\circle{20}} \put(30,100){\line(1,0){30}} \put(60,50){\circle*{2}} \multiput(60,0)(0,40){3}{\line(0,1){20}} \multiput(55,20)(0,40){2}{\line(0,1){20}} \multiput(65,20)(0,40){2}{\line(0,1){20}} \multiput(55,20)(0,40){2}{\line(1,0){10}} \multiput(55,40)(0,40){2}{\line(1,0){10}} \put(60,50){\line(1,0){40}} \put(101,50){\circle{2}} \put(102,50){\line(1,0){38}} \multiput(140,0)(0,35){2}{\line(0,1){15}} \put(140,25){\circle{20}} \put(130,25){\line(1,0){20}} \put(153,22){$\Big\downarrow I_0$} \put(70,26){$R_2$} \put(70,66){$R_1$} \put(101,45){\vector(0,-1){40}} \put(105,22){$U_2$} \put(114,60){$I_L$} \put(106,55){\vector(1,0){23}} \thicklines \put(25,0){\line(1,0){10}} \put(55,0){\line(1,0){10}} \put(135,0){\line(1,0){10}} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{8cm} \center $U_2 = U_{2U_0} + U_{2I_L}$ $$U_{2U_0} = \frac{R_2}{R_1+R_2}\cdot U_0 \quad \textnormal{(Leerlauf)}$$ $$U_{2I_L} = - \frac{R_1\cdot R_2}{R_1+R_2} \cdot I_L \quad\textnormal{(nur }I_0)$$ \end{minipage} \bigskip \begin{displaymath} U_2 = \underbrace{\frac{R_2}{R_1+R_2}\cdot U_0}_{\textnormal{\tiny Leerlaufspannung}} \quad \underbrace{- \frac{R_1\cdot R_2}{R_1+R_2} \cdot I_L}_{\textnormal{\tiny Abweichung durch }\scriptscriptstyle I_0} \end{displaymath} Wie groß darf $I_L$ sein, damit $U_2$ vom unbelasteten Zustand ($I_L=0$) höchstens 10\,\% abweicht? \smallskip absoluter Fehler: $$|\delta U| = |U_2 - U_{2U_0}| = \frac{R_1\cdot R_2}{R_1+R_2}\cdot I_L$$ relativer Fehler: $$\epsilon = \frac{|\delta U|}{U_{2U_0}} = \frac{R_1\cdot I_L}{U_0} \leq 0,\!1 \quad (\widehat{=} 10\,\%)$$ $$\Rightarrow I_L \leq 0,\!1 \cdot \frac{U_0}{R_1}$$ \chapter{Zweipoltheorie} \section{Aktive lineare Zweipole} \subsection{Kennfunktion} \begin{minipage}[c]{120pt} \begin{picture}(100,80) \put(10,10){\line(1,0){50}} \put(10,10){\line(0,1){60}} \put(10,70){\line(1,0){50}} \put(60,10){\line(0,1){60}} \put(60,25){\line(1,0){13}} \put(60,55){\line(1,0){13}} \put(75,25){\circle{4}} \put(75,55){\circle{4}} \put(65,60){\vector(1,0){15}} \put(82,55){\vector(0,-1){30}} \put(20,57){aktiver} \put(17,38){linearer} \put(30,18){ZP} \put(75,62){$\scriptstyle I$} \put(86,40){$\scriptstyle U$} \end{picture} \end{minipage} \qquad\qquad\quad \begin{minipage}[c]{8cm} \begin{picture}(200,120) \put(20,10){\vector(0,1){110}} \put(2,80){$U_L$} \put(8,110){$U$} \put(10,20){\vector(1,0){170}} \put(168,5){$I$} \put(117,5){$I_K$} \put(18,83){\line(1,0){4}} \put(120,18){\line(0,1){4}} \qbezier(20,83)(20,83)(120,20) \end{picture} \small $U_L$ : Leerlaufspannung $I_K$ : Kurzschlussstrom \end{minipage} \bigskip Achsenabschnittsgleichung: \framebox{\protect{$\frac{U}{U_L}+\frac{I}{I_K} = 1$}} (*) \begin{description} \item[Problem:] Konstruktion eines elektrischen Netzwerkes mit gleichem Klemmenverhalten (Ersatzschaltung) \end{description} \subsection[Spannungsquellenersatzschaltung]{Spannungsquellenersatzschaltung (Thevenin Equivalent Circuit)} (*) nach $U$ auflösen: \smallskip $$U = U_L - \frac{U_L}{I_K} \cdot I = U_L - R_i\cdot I \qquad R_i = \frac{U_L}{I_K} \textnormal{\small \,\,\, : \,\, Innenwiderstand}$$ \newpage Deutung: Maschensatz \begin{minipage}[c]{140pt} \begin{picture}(135,80) \put(0,27){$U_L\Big\downarrow$} \put(30,2){\line(0,1){58}} \put(30,30){\circle{20}} \put(30,2){\line(1,0){60}} \multiput(30,60)(40,0){2}{\line(1,0){20}} \multiput(50,55)(0,10){2}{\line(1,0){20}} \multiput(50,55)(20,0){2}{\line(0,1){10}} \put(91,2){\circle{2}} \put(91,60){\circle{2}} \qbezier(50,50)(60,45)(70,50) \put(70,50){\vector(3,1){0}} \put(51,40){$\scriptstyle R_i\cdot I$} \put(56,68){$R_i$} \put(90,55){\vector(0,-1){49}} \put(93,27){$U$} \put(97,60){\vector(1,0){20}} \put(103,48){$I$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{7.3cm} Ein aktiver linearer Zweipol kann durch eine Spannungsquelle in Reihe mit einem Innenwiderstand nachgebildet / modelliert werden. (Satz von \textsc{Helmholtz}, \textsc{Thevenin}--Theorem). \end{minipage} \subsection[Stromquellenersatzschaltung]{Stromquellenersatzschaltung (Norton Equivalent Circuit)} (*) nach $I$ auflösen: \begin{displaymath} I = I_K - \frac{I_K}{U_L} \cdot U = I_K - G_i\cdot U \qquad G_i = \frac{I_K}{U_L} = \frac{1}{R_i} \end{displaymath} \begin{minipage}[c]{140pt} \begin{picture}(135,80) \put(0,27){$I_K\Big\uparrow$} \put(30,2){\line(0,1){18}} \put(30,60){\line(0,-1){20}} \put(30,30){\circle{20}} \put(20,30){\line(1,0){20}} \multiput(30,2)(0,58){2}{\line(1,0){65}} \put(96,2){\circle{2}} \put(96,60){\circle{2}} \put(70,2){\line(0,1){18}} \put(70,40){\line(0,1){20}} \multiput(65,20)(10,0){2}{\line(0,1){20}} \multiput(65,20)(0,20){2}{\line(1,0){10}} \put(30,60){\vector(1,0){30}} \put(45,67){$I_K$} \put(50,27){$G_i$} \multiput(70,2)(0,58){2}{\circle*{2}} \put(70,60){\vector(0,-1){15}} \put(75,47){$\scriptstyle G_i\cdot U$} \put(95,55){\vector(0,-1){50}} \put(98,27){$U$} \put(102,60){\vector(1,0){20}} \put(108,48){$I$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{7.3cm} Ein aktiver linearer Zweipol kann durch die Parallelschaltung einer Stromquelle mit einem Widerstand modelliert werden. (Satz von \textsc{Mayer}, \textsc{Norton}--Theorem). \end{minipage} \subsection{Beispiele und Anwendungen} \begin{enumerate} \item Experimentelle Bestimmung der Ersatzschaltung \begin{enumerate} \item Messung von $U_L$ und $I_K \rightarrow R_i =\frac{U_L}{I_K}$ \item Messung zweier geordneter Paare $(U_1,\,I_1),\,\,(U_2,\,I_2)$. \end{enumerate} \begin{minipage}[c]{125pt} \begin{picture}(150,120) \setlength{\unitlength}{0.75pt} \put(20,10){\vector(0,1){110}} \put(2,90){$\scriptstyle U_L$} \put(8,110){$\scriptstyle U$} \put(10,20){\vector(1,0){150}} \put(148,5){$\scriptstyle I$} \put(117,5){$\scriptstyle I_K$} \put(18,93){\line(1,0){4}} \put(120,18){\line(0,1){4}} \qbezier(20,93)(20,93)(120,20) \put(2,70){$\scriptstyle U_1$} \multiput(18,73)(4,0){10}{\line(1,0){2}} \put(2,40){$\scriptstyle U_2$} \multiput(18,43)(4,0){20}{\line(1,0){2}} \multiput(89,18)(0,4){8}{\line(0,1){2}} \put(86,5){$\scriptstyle I_2$} \multiput(48,18)(0,4){16}{\line(0,1){2}} \put(45,5){$\scriptstyle I_1$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{7.5cm} \center $$U = U_L - R_i\cdot I$$ \begin{displaymath} \left.\begin{array}{l} U_1 = U_L - R_i\cdot I_1\\ U_2 = U_L - R_i\cdot I_2 \end{array}\right\} = \textnormal{\small 2 Gl. für }\textstyle U_L\textnormal{\small \,und }\textstyle R_i \end{displaymath} $U_1 - U_2 = -R_i (I_1-I_2)$ $$R_i = \frac{U_1 - U_2}{I_2}, U_L = \frac{U_2I_1 - U_1I_2}{I_1-I_2}$$ \end{minipage} Gemessen an einer Monozelle: \begin{minipage}[b]{5.5cm} \begin{tabular}{ll}$U_1 = 1,\!59\,\mathrm{V}$ & $I_1 = 0,\!00\,\mathrm{A}$\\ $U_2 = 1,\!36\,\mathrm{V}$ & $I_2 = 1,\!10\,\mathrm{A}$ \end{tabular} \end{minipage} \begin{minipage}[b]{5.5cm} $$R_i = \frac{1,\!59\,\mathrm{V} - 1,\!36\,\mathrm{V}}{1,\!10\,\mathrm{A}} \approx 0,\!22\,\Omega$$ \end{minipage} $$R_i = \frac{U_L}{I_K} \Rightarrow I_K = \frac{U_L}{R_i} \approx 7,\!23\,\mathrm{A}$$ Daher läßt sich die Monozelle durch folgende Ersatzschaltbilder darstellen: \begin{minipage}[c]{155pt} \begin{picture}(155,80) \put(0,27){$\textstyle 1,\!59\,\mathrm{V}\,\Big\downarrow$} \put(50,2){\line(0,1){58}} \put(50,30){\circle{20}} \put(50,2){\line(1,0){60}} \multiput(50,60)(40,0){2}{\line(1,0){20}} \multiput(70,55)(0,10){2}{\line(1,0){20}} \multiput(70,55)(20,0){2}{\line(0,1){10}} \put(111,2){\circle{2}} \put(111,60){\circle{2}} \put(68,68){$0,\!22\,\Omega$} \put(110,55){\vector(0,-1){49}} \put(113,27){$U$} \put(117,60){\vector(1,0){20}} \put(123,48){$I$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{155pt} \begin{picture}(155,80) \put(0,27){$7,\!23\,\mathrm{A}\,\Big\uparrow$} \put(50,2){\line(0,1){18}} \put(50,60){\line(0,-1){20}} \put(50,30){\circle{20}} \put(40,30){\line(1,0){20}} \multiput(50,2)(0,58){2}{\line(1,0){65}} \put(116,2){\circle{2}} \put(116,60){\circle{2}} \multiput(105,2)(0,58){2}{\circle*{2}} \put(105,2){\line(0,1){18}} \put(105,40){\line(0,1){20}} \multiput(100,20)(10,0){2}{\line(0,1){20}} \multiput(100,20)(0,20){2}{\line(1,0){10}} \put(68,27){$0,\!22\,\Omega$} \put(115,55){\vector(0,-1){50}} \put(118,27){$U$} \put(122,60){\vector(1,0){20}} \put(128,48){$I$} \end{picture} \end{minipage} \item Zweipol mit mehreren Quellen \end{enumerate} \begin{minipage}[c]{195pt} \begin{picture}(190,100) \multiput(90,5)(60,0){2}{\circle*{2}} \multiput(90,65)(60,0){2}{\circle*{2}} \multiput(30,5)(60,0){3}{\line(0,1){20}} \multiput(30,45)(60,0){3}{\line(0,1){20}} \put(30,5){\line(1,0){140}} \put(30,65){\line(1,0){20}} \put(70,65){\line(1,0){100}} \multiput(50,60)(0,10){2}{\line(1,0){20}} \multiput(50,60)(20,0){2}{\line(0,1){10}} \multiput(145,25)(10,0){2}{\line(0,1){20}} \multiput(145,25)(0,20){2}{\line(1,0){10}} \multiput(30,35)(60,0){2}{\circle{20}} \put(0,32){$U_0 \Big\downarrow$} \put(60,32){$I_0 \Big\uparrow$} \put(55,75){$R_2$} \put(125,32){$R_1$} \put(171,65){\circle{2}} \put(171,5){\circle{2}} \put(174,62){$A$} \put(174,2){$B$} \put(30,5){\line(0,1){50}} \put(80,35){\line(1,0){20}} \put(171,60){\vector(0,-1){50}} \put(176,32){$U$} \put(160,65){\vector(1,0){5}} \put(158,70){$I$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{4.5cm} gesucht: $U_L$, $I_K$, $R_i$ $$U_L = \frac{R_1}{R_1+R_2}U_0 + \frac{R_1R_2}{R_1+R_2}I_0$$ \end{minipage} \begin{minipage}[c]{195pt} \begin{picture}(190,100) \multiput(90,5)(60,0){2}{\circle*{2}} \multiput(90,65)(60,0){2}{\circle*{2}} \multiput(30,5)(60,0){3}{\line(0,1){20}} \multiput(30,45)(60,0){3}{\line(0,1){20}} \put(30,5){\line(1,0){140}} \put(30,65){\line(1,0){20}} \put(70,65){\line(1,0){100}} \multiput(50,60)(0,10){2}{\line(1,0){20}} \multiput(50,60)(20,0){2}{\line(0,1){10}} \multiput(145,25)(10,0){2}{\line(0,1){20}} \multiput(145,25)(0,20){2}{\line(1,0){10}} \multiput(30,35)(60,0){2}{\circle{20}} \put(0,32){$U_0 \Big\downarrow$} \put(60,32){$I_0 \Big\uparrow$} \put(55,75){$R_2$} \put(125,32){$R_1$} \put(171,65){\circle{2}} \put(171,5){\circle{2}} \put(174,62){$A$} \put(174,2){$B$} \put(30,5){\line(0,1){50}} \put(80,35){\line(1,0){20}} \put(171,65){\line(0,-1){60}} \put(176,32){$\downarrow I_K$} \put(160,65){\vector(1,0){5}} \put(158,70){$I$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{4.5cm} Kurzschluss: $R_1$ wird wirkungslos, da parallel zum Kurzschluss $$I_K = \frac{U_0}{R_2} + I_0$$ \end{minipage} \bigskip $$R_i = \frac{U_L}{I_K} = R_1 \parallel R_2 = \frac{R_1\cdot R_2}{R_1+R_2}$$ \section{Netzwerkanalyse mit Zweipoltheorie} \subsection{Äquivalente aktive Zweipole} \begin{center} \begin{picture}(135,80) \put(0,27){$U_L\Big\downarrow$} \put(30,2){\line(0,1){58}} \put(30,30){\circle{20}} \put(30,2){\line(1,0){60}} \multiput(30,60)(40,0){2}{\line(1,0){20}} \multiput(50,55)(0,10){2}{\line(1,0){20}} \multiput(50,55)(20,0){2}{\line(0,1){10}} \put(91,2){\circle{2}} \put(91,60){\circle{2}} \qbezier(50,50)(60,45)(70,50) \put(70,50){\vector(3,1){0}} \put(51,40){$\scriptstyle R_i\cdot I$} \put(56,68){$R_i$} \put(91,55){\vector(0,-1){49}} \put(93,27){$U$} \put(97,60){\vector(1,0){20}} \put(103,48){$I$} \end{picture} \qquad \begin{picture}(135,80) \put(0,27){$I_K\Big\uparrow$} \put(30,2){\line(0,1){18}} \put(30,60){\line(0,-1){20}} \put(30,30){\circle{20}} \put(20,30){\line(1,0){20}} \multiput(30,2)(0,58){2}{\line(1,0){65}} \put(96,2){\circle{2}} \put(96,60){\circle{2}} \multiput(70,2)(0,58){2}{\circle*{2}} \put(70,2){\line(0,1){18}} \put(70,40){\line(0,1){20}} \multiput(65,20)(10,0){2}{\line(0,1){20}} \multiput(65,20)(0,20){2}{\line(1,0){10}} \put(30,60){\vector(1,0){30}} \put(45,67){$I_K$} \put(50,27){$G_i$} \put(70,60){\vector(0,-1){15}} \put(75,47){$\scriptstyle G_i\cdot U$} \put(96,55){\vector(0,-1){50}} \put(98,27){$U$} \put(102,60){\vector(1,0){20}} \put(108,48){$I$} \end{picture} $\longrightarrow$ $$I_K = \frac{U_L}{R_i}$$ $\longleftarrow$ $$U_L = I_K\cdot R_i$$ \end{center} \subsubsection{Beispiel} \begin{minipage}[c]{150pt} \begin{picture}(150,100) \put(0,27){$U_L\Big\downarrow$} \put(30,0){\line(0,1){60}} \put(30,30){\circle{20}} \put(30,0){\line(1,0){100}} \multiput(30,60)(40,0){2}{\line(1,0){20}} \multiput(50,55)(0,10){2}{\line(1,0){20}} \multiput(50,55)(20,0){2}{\line(0,1){10}} \multiput(90,0)(0,40){2}{\line(0,1){20}} \multiput(85,20)(10,0){2}{\line(0,1){20}} \multiput(85,20)(0,20){2}{\line(1,0){10}} \multiput(90,0)(0,60){2}{\circle*{2}} \multiput(130,0)(0,40){2}{\line(0,1){20}} \multiput(125,20)(10,0){2}{\line(0,1){20}} \multiput(125,20)(0,20){2}{\line(1,0){10}} \put(90,60){\line(1,0){40}} \put(55,69){$R_1$} \put(70,27){$R_2$} \put(110,27){$R_3$} \put(130,20,){\vector(0,-1){15}} \put(135,6){$I_3$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{15pt} \center \bigskip \bigskip \bigskip $\Rightarrow$ \end{minipage} \begin{minipage}[c]{165pt} \begin{picture}(165,100) \put(0,27){$\frac{U_q}{R_1}\Big\uparrow$} \multiput(30,0)(0,40){2}{\line(0,1){20}} \put(20,30){\line(1,0){20}} \put(30,30){\circle{20}} \multiput(30,0)(0,60){2}{\line(1,0){120}} \multiput(70,0)(0,40){2}{\line(0,1){20}} \multiput(65,20)(10,0){2}{\line(0,1){20}} \multiput(65,20)(0,20){2}{\line(1,0){10}} \multiput(70,0)(0,60){2}{\circle*{2}} \multiput(110,0)(0,60){2}{\circle*{2}} \multiput(110,0)(0,40){2}{\line(0,1){20}} \multiput(105,20)(10,0){2}{\line(0,1){20}} \multiput(105,20)(0,20){2}{\line(1,0){10}} \multiput(150,0)(0,40){2}{\line(0,1){20}} \multiput(145,20)(10,0){2}{\line(0,1){20}} \multiput(145,20)(0,20){2}{\line(1,0){10}} \put(50,27){$R_1$} \put(90,27){$R_2$} \put(130,27){$R_3$} \put(150,20,){\vector(0,-1){15}} \put(155,6){$I_3$} \end{picture} \end{minipage} \begin{picture}(200,100) \put(0,27){$\Rightarrow \frac{U_q}{R_1}R_1\parallel R_2\Big\downarrow$} \put(80,0){\line(0,1){60}} \put(80,30){\circle{20}} \put(80,0){\line(1,0){100}} \multiput(80,60)(40,0){2}{\line(1,0){20}} \multiput(100,55)(0,10){2}{\line(1,0){20}} \multiput(100,55)(20,0){2}{\line(0,1){10}} \multiput(180,0)(0,40){2}{\line(0,1){20}} \multiput(175,20)(10,0){2}{\line(0,1){20}} \multiput(175,20)(0,20){2}{\line(1,0){10}} \put(140,60){\line(1,0){40}} \put(92,69){$R_1 \parallel R_2$} \put(160,27){$R_3$} \put(180,20,){\vector(0,-1){15}} \put(185,6){$I_3$} \end{picture} $$I_3 = \frac{U_q \cdot \frac{R_2}{R_1+R_2}}{R_1\parallel R_2 + R_3} = \frac{U_q \cdot R_2}{R_1\cdot R_2 + R_1\cdot R_3+ R_2\cdot R_3}$$ \subsection{Verfahren} \subsubsection{Problem:} \begin{minipage}[c]{6cm} \begin{flushleft} gegeben: Netzwerk gesucht: Strom oder Spannung über \emph{einem} Zweig (hier: $I_3$) \end{flushleft} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{130pt} \flushright \begin{picture}(120,100) \put(0,47){$U_1\Big\downarrow$} \put(141,47){$\Big\downarrow U_2$} \multiput(30,20)(60,0){2}{\line(1,0){40}} \multiput(70,15)(0,10){2}{\line(1,0){20}} \multiput(70,15)(20,0){2}{\line(0,1){10}} \multiput(30,80)(60,0){2}{\line(1,0){40}} \multiput(70,75)(0,10){2}{\line(1,0){20}} \multiput(70,75)(20,0){2}{\line(0,1){10}} \multiput(30,20)(100,0){2}{\line(0,1){60}} \multiput(30,50)(100,0){2}{\circle{20}} \put(30,20){\line(5,3){40}} \put(130,80){\line(-5,-3){40}} \put(67,49){\line(5,3){19}} \put(73,40){\line(5,3){19}} \qbezier(67,49)(67,49)(73,40) \qbezier(92,51.5)(92,51.5)(86,60.5) \put(75,88){$R_1$} \put(75,3){$R_2$} \put(80,35){$R_3$} \put(105,64.6){\vector(-4,-3){0}} \put(105,55){$I_3$} \multiput(30,20)(100,60){2}{\circle*{3}} \put(17,10){$B$} \put(135,83){$A$} \end{picture} \end{minipage} \begin{flushleft}\textbf{Lösungsalgorithmus}\end{flushleft} \begin{minipage}[c]{6cm} \begin{enumerate}\item Abtrennen des Zweiges mit der gesuchten Größe \end{enumerate} \bigskip \bigskip \bigskip \end{minipage} \begin{minipage}[c]{160pt} \flushright \begin{picture}(150,100) \put(0,43){$U_1\Big\downarrow$} \put(30,45){\circle{20}} \put(30,10){\line(0,1){70}} \put(30,10){\line(1,0){80}} \multiput(111,10)(0,70){2}{\circle{2}} \multiput(90,10)(0,70){2}{\circle*{2}} \put(30,80){\line(1,0){20}} \put(70,80){\line(1,0){40}} \multiput(50,75)(0,10){2}{\line(1,0){20}} \multiput(50,75)(20,0){2}{\line(0,1){10}} \put(90,10){\line(0,1){10}} \put(90,60){\circle{20}} \put(90,40){\line(0,1){40}} \multiput(85,20)(0,20){2}{\line(1,0){10}} \multiput(85,20)(10,0){2}{\line(0,1){20}} \put(107,0){$B$} \put(107,83){$A$} \multiput(120,10)(0,70){2}{\line(1,0){10}} \multiput(130,10)(0,45){2}{\line(0,1){25}} \multiput(125,35)(10,0){2}{\line(0,1){20}} \multiput(125,35)(0,20){2}{\line(1,0){10}} \put(55,88){$R_1$} \put(60,57){$U_2\Big\downarrow$} \put(70,27){$R_2$} \put(137,43){$R_3$} \end{picture} \end{minipage} \newpage \begin{minipage}[c]{6cm} \begin{enumerate} \setcounter{enumi}{1} \item Bestimmung der Ersatzparameter des aktiven Zweipols \begin{enumerate} \item $U_L = U_{AB}\Big|_{I_3=0}$ oder $I_K = I_3\Big|_{U_{AB}=0}$ \bigskip Beispiel: $I_K = \frac{U_1}{R_1}+\frac{U_2}{I_2}$ \bigskip \item $R_i = R_{AB}$ bei deaktivierten, unabhängigen Quellen, d.h. Spannungsquellen werden kurzgeschlossen, Stromquellen im Leerlauf \bigskip Beispiel: $R_i = \frac{R_1\cdot R_2}{R_1+R_2}$ \end{enumerate} \smallskip \item Ersetzen des aktiven Zweipols durch seine Ersatzschaltung \vspace{30pt} \end{enumerate} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{160pt} \flushright \begin{picture}(150,100) \put(0,43){$U_1\Big\downarrow$} \put(30,45){\circle{20}} \put(30,10){\line(0,1){70}} \put(30,10){\line(1,0){110}} \multiput(90,10)(0,70){2}{\circle*{2}} \put(140,10){\line(0,1){70}} \put(30,80){\line(1,0){20}} \put(70,80){\line(1,0){70}} \multiput(50,75)(0,10){2}{\line(1,0){20}} \multiput(50,75)(20,0){2}{\line(0,1){10}} \put(90,10){\line(0,1){10}} \put(90,60){\circle{20}} \put(90,40){\line(0,1){40}} \multiput(85,20)(0,20){2}{\line(1,0){10}} \multiput(85,20)(10,0){2}{\line(0,1){20}} \put(137,0){$B$} \put(137,83){$A$} \put(55,88){$R_1$} \put(60,57){$U_2\Big\downarrow$} \put(70,27){$R_2$} \end{picture} \vspace{30pt} \begin{picture}(125,70) \multiput(5,5)(0,60){2}{\line(1,0){80}} \multiput(5,5)(40,0){2}{\line(0,1){20}} \multiput(0,25)(40,0){2}{\line(0,1){20}} \multiput(10,25)(40,0){2}{\line(0,1){20}} \multiput(0,25)(40,0){2}{\line(1,0){10}} \multiput(0,45)(40,0){2}{\line(1,0){10}} \multiput(5,45)(40,0){2}{\line(0,1){20}} \put(13,27){$R_1$} \put(53,27){$R_2$} \multiput(86,5)(0,60){2}{\circle*{3}} \multiput(45,5)(0,60){2}{\circle*{2}} \put(89,1){$B$} \put(89,61){$A$} \end{picture} \vspace{55pt} \begin{picture}(150,80) \multiput(30,10)(0,60){2}{\line(1,0){100}} \multiput(30,10)(0,40){2}{\line(0,1){20}} \put(30,40){\circle{20}} \put(20,40){\line(1,0){20}} \put(0,37){$I_K\Big\uparrow$} \multiput(70,10)(60,0){2}{\line(0,1){20}} \multiput(65,30)(60,0){2}{\line(0,1){20}} \multiput(75,30)(60,0){2}{\line(0,1){20}} \multiput(65,30)(60,0){2}{\line(1,0){10}} \multiput(65,50)(60,0){2}{\line(1,0){10}} \multiput(70,50)(60,0){2}{\line(0,1){20}} \multiput(70,10)(0,60){2}{\circle*{2}} \put(111,0){$B$} \put(111,73){$A$} \multiput(116,10)(0,60){2}{\circle*{3}} \put(78,37){$R_i$} \put(138,37){$R_3$} \put(130,30){\vector(0,-1){17}} \put(134,16){$I_3$} \end{picture} \end{minipage} \vspace{20pt} \begin{minipage}[c]{12cm} \begin{enumerate} \setcounter{enumi}{3} \item Berechnung der gesuchten Größe \begin{eqnarray*} I_3&=&\frac{R_i}{R_i+R_3}\cdot I_K = \frac{\frac{1}{R_3}}{\frac{1}{R_i}+\frac{1}{R_3}}\cdot I_K = \frac{\frac{R_1\cdot R_2}{R_1+R_2}}{\frac{R_1\cdot R_2}{R_1+R_2}\cdot R_3}\cdot\Big(\frac{U_1}{R_1}+\frac{U_2}{R_2}\Big)\\ & = &\frac{U_1\cdot R_2 + U_2\cdot R_1}{R_1\cdot R_2 + R_1\cdot R_3 + R_2\cdot R_3} \end{eqnarray*} \end{enumerate} \end{minipage} \chapter{Grundstromkreis} \section{Strom und Spannung} \begin{minipage}[c]{6cm} \center \begin{picture}(120,105) \multiput(35,5)(0,70){2}{\line(1,0){65}} \multiput(35,5)(0,30){3}{\line(0,1){10}} \put(35,25){\circle{20}} \put(5,22){$U_L\Big\downarrow$} \put(35,15){\line(0,1){20}} \multiput(30,45)(0,20){2}{\line(1,0){10}} \multiput(30,45)(10,0){2}{\line(0,1){20}} \put(15,52){$R_i$} \multiput(100,5)(0,45){2}{\line(0,1){25}} \multiput(95,30)(0,20){2}{\line(1,0){10}} \multiput(95,30)(10,0){2}{\line(0,1){20}} \put(108,37){$R_a$} \multiput(0,0)(4,0){15}{\line(1,0){2}} \multiput(0,84)(4,0){15}{\line(1,0){2}} \multiput(0,0)(0,4){21}{\line(0,1){2}} \multiput(60,0)(0,4){21}{\line(0,1){2}} \multiput(85,0)(4,0){10}{\line(1,0){2}} \multiput(85,84)(4,0){10}{\line(1,0){2}} \multiput(85,0)(0,4){21}{\line(0,1){2}} \multiput(125,0)(0,4){21}{\line(0,1){2}} \put(20,88){aktiv} \put(92,88){passiv} \put(65,79){\vector(1,0){15}} \put(68,70){\vector(0,-1){60}} \put(72,37){$U$} \put(70,82){$I$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{6cm} \center \begin{picture}(150,105) \multiput(35,5)(0,70){2}{\line(1,0){95}} \multiput(35,5)(0,45){2}{\line(0,1){25}} \put(35,40){\circle{20}} \put(5,37){$I_K\Big\uparrow$} \put(25,40){\line(1,0){20}} \multiput(130,5)(0,45){2}{\line(0,1){25}} \multiput(125,30)(0,20){2}{\line(1,0){10}} \multiput(125,30)(10,0){2}{\line(0,1){20}} \put(138,37){$R_a$} \multiput(65,5)(0,45){2}{\line(0,1){25}} \multiput(60,30)(0,20){2}{\line(1,0){10}} \multiput(60,30)(10,0){2}{\line(0,1){20}} \put(73,37){$R_i$} \multiput(65,5)(0,70){2}{\circle*{2}} \multiput(0,0)(4,0){23}{\line(1,0){2}} \multiput(0,84)(4,0){23}{\line(1,0){2}} \multiput(0,0)(0,4){21}{\line(0,1){2}} \multiput(90,0)(0,4){21}{\line(0,1){2}} \multiput(115,0)(4,0){10}{\line(1,0){2}} \multiput(115,84)(4,0){10}{\line(1,0){2}} \multiput(115,0)(0,4){21}{\line(0,1){2}} \multiput(155,0)(0,4){21}{\line(0,1){2}} \put(38,88){aktiv} \put(122,88){passiv} \put(95,79){\vector(1,0){15}} \put(98,70){\vector(0,-1){60}} \put(102,37){$U$} \put(100,82){$I$} \end{picture} \end{minipage} \bigskip \begin{center} \begin{tabular}{ccc} Spannungsquelle && Stromquelle\\ $U = U_L - R_i \cdot I$ & {aktiver Zweipol} & $I = I_K - \frac{U}{R_i}$\\ \\ $U = R_a \cdot I$ & {passiver Zweipol} & $I = \frac{U}{R_a}$ \end{tabular} \end{center} \begin{minipage}[c]{150pt} \begin{picture}(150,120) \setlength{\unitlength}{0.75pt} \put(20,10){\vector(0,1){110}} \put(2,90){$\scriptstyle U_L$} \put(8,110){$\scriptstyle U$} \put(10,20){\vector(1,0){150}} \put(148,5){$\scriptstyle I$} \put(117,5){$\scriptstyle I_K$} \put(18,93){\line(1,0){4}} \put(120,18){\line(0,1){4}} \put(45,85){\scriptsize akt. ZP} \put(115,65){\scriptsize pass. ZP} \qbezier(43,85)(40,85)(39,82) \qbezier(114,68)(105,68)(105,74) \qbezier(20,93)(20,93)(120,20) \put(20,20){\line(3,2){100}} \put(72,55){\circle*{2}} \put(68,62){$A$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{6cm} Zusammenschaltung: Beide Gleichungen müssen erfüllt sein \bigskip $\Rightarrow A$ Arbeitspunkt (Schnittpunkt der Kennlinien) \end{minipage} \smallskip $$\frac{U}{U_L} = \frac{R_a}{R_i+R_a} = \frac{\frac{R_a}{R_i}}{1+\frac{R_a}{R_i}} = \frac{1}{1 + \frac{R_i}{R_a}}$$ $$\frac{I}{I_K} = \frac{R_i}{R_i+R_a} = \frac{1}{1 + \frac{R_a}{R_i}} = \frac{\frac{R_i}{R_a}}{1+\frac{R_i}{R_a}}$$ \begin{picture}(140,100) \put(20,30){\vector(1,0){120}} \put(25,25){\vector(0,1){70}} \put(10,90){$\scriptstyle \frac{U}{U_L}$} \put(28,90){$\scriptstyle \frac{I}{I_K}$} \put(15,68){$\scriptstyle 1$} \put(11.2,48){$\scriptstyle 0,5$} \multiput(24,70)(6,0){19}{\line(1,0){2}} \multiput(24,50)(6,0){4}{\line(1,0){2}} \multiput(42,29)(0,6){5}{\line(0,1){2}} \put(40,21){$\scriptstyle 1$} \qbezier(25,30)(45,60)(70,67) \qbezier(70,67)(80,69)(100,70) \qbezier(100,70)(130,70)(130,70) \qbezier(25,70)(45,40)(70,33) \qbezier(70,33)(80,31)(100,30) \qbezier(100,30)(130,30)(130,30) \put(128,18){$\scriptstyle \frac{R_a}{R_i}$} \put(0,10){\scriptsize Kurzschluss} \put(110,48){\scriptsize Leerlauf} \put(116,40){$\longrightarrow$} \qbezier(64,38)(64,43)(70,43) \put(72,43){$\scriptstyle \frac{I}{I_K}$} \qbezier(99,72)(99,77)(105,77) \put(105,81){$\scriptstyle \frac{U}{U_L}$} \put(63,57){\vector(-2,-1){10}} \put(65,57){\scriptsize Anpassung} \end{picture} \qquad \begin{picture}(140,100) \put(20,30){\vector(1,0){120}} \put(25,25){\vector(0,1){70}} \put(10,90){$\scriptstyle \frac{U}{U_L}$} \put(28,90){$\scriptstyle \frac{I}{I_K}$} \put(15,68){$\scriptstyle 1$} \put(11.2,48){$\scriptstyle 0,5$} \multiput(24,70)(6,0){19}{\line(1,0){2}} \multiput(24,50)(6,0){4}{\line(1,0){2}} \multiput(42,29)(0,6){5}{\line(0,1){2}} \put(40,21){$\scriptstyle 1$} \qbezier(25,30)(45,60)(70,67) \qbezier(70,67)(80,69)(100,70) \qbezier(100,70)(130,70)(130,70) \qbezier(25,70)(45,40)(70,33) \qbezier(70,33)(80,31)(100,30) \qbezier(100,30)(130,30)(130,30) \put(128,18){$\scriptstyle \frac{R_i}{R_a}$} \put(9,10){\scriptsize Leerlauf} \put(101,48){\scriptsize Kurzschluss} \put(116,40){$\longrightarrow$} \qbezier(64,38)(64,43)(70,43) \put(72,43){$\scriptstyle \frac{U}{U_L}$} \qbezier(99,72)(99,77)(105,77) \put(105,81){$\scriptstyle \frac{I}{I_K}$} \put(63,57){\vector(-2,-1){10}} \put(65,57){\scriptsize Anpassung} \end{picture} \section{Leistungsumsatz} \subsection{Leistungen} \begin{center} \begin{picture}(150,80) \put(30,0){\line(0,1){60}} \put(30,30){\circle{20}} \put(0,27){$U_L\Big\downarrow$} \put(30,0){\line(1,0){100}} \multiput(30,60)(60,0){2}{\line(1,0){40}} \multiput(70,55)(20,0){2}{\line(0,1){10}} \multiput(70,55)(0,10){2}{\line(1,0){20}} \multiput(130,0)(0,40){2}{\line(0,1){20}} \multiput(125,20)(10,0){2}{\line(0,1){20}} \multiput(125,20)(0,20){2}{\line(1,0){10}} \put(58,25){\line(1,0){57}} \put(58,35){\line(1,0){12}} \put(83,35){\line(1,0){32}} \qbezier(70,35)(74,35)(74.8,40) \qbezier(83,35)(84,35)(84.8,40) \multiput(75,40)(10,0){2}{\line(0,1){5}} \multiput(73,45)(12,0){2}{\line(1,0){2}} \qbezier(73,45)(80,50)(80,50) \qbezier(87,45)(80,50)(80,50) \multiput(115,23)(0,12){2}{\line(0,1){2}} \qbezier(115,23)(120,30)(120,30) \qbezier(115,37)(120,30)(120,30) \put(42,27){$P_G$} \put(110,12){$P_a$} \put(90,42){$P_i$} \put(75,68){$R_i$} \put(138,27){$R_a$} \qbezier(147,5)(157,30)(147,55) \put(147,5){\vector(-1,-3){0}} \put(157,27){$U$} \end{picture} \end{center} \begin{eqnarray*} P_a &=& I^2\cdot R_a = \frac{{U_L}^2}{(R_i+R_a)^2} \cdot R_a = \frac{{U_L}^2}{R_i}\frac{\frac{R_a}{R_i}}{\Big(1+\frac{R_a}{R_i}\Big)^2}\\ &=& \frac{{U_L}^2}{R_a\cdot\Big(1+\frac{R_i}{R_a}\Big)^2} \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} P_i &=& I^2\cdot R_i = \frac{{U_L}^2}{(R_i+R_a)^2}\cdot R_i = \frac{{U_L}^2}{R_i}\frac{1}{\Big(1+\frac{R_a}{R_i}\Big)^2}\\ & & \frac{{U_L}^2}{R_a}\frac{\frac{R_i}{R_a}}{\Big(1+\frac{R_i}{R_a}\Big)^2} \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} P_G & = & P_i + P_a = I^2 \cdot (R_i + R_a) = \frac{{U_l}^2}{(R_i+R_a)^2}\cdot(R_i+R_a)\\ & = & \frac{{U_L}^2}{R_i+R_a} \end{eqnarray*} \subsubsection{Elektrischer Wirkungsgrad} $$\eta =\frac{P_a}{P_G} = \frac{I^2\cdot R_a}{I^2 \cdot (R_1+R_a)} = \frac{R_a}{R_i+R_a} = \frac{\frac{R_a}{R_i}}{(1+\frac{R_a}{R_i})} = \frac{1}{1+\frac{R_i}{R_a}}$$ \begin{minipage}[c]{150pt} \begin{picture}(150,100) \setlength{\unitlength}{0.75pt} \put(20,10){\vector(0,1){110}} \put(2,90){$\scriptstyle I_K$} \put(8,110){$\scriptstyle I$} \put(10,20){\vector(1,0){150}} \put(148,5){$\scriptstyle U$} \put(117,5){$\scriptstyle U_L$} \put(18,93){\line(1,0){4}} \put(120,18){\line(0,1){4}} \put(45,85){\scriptsize akt. ZP} \put(115,65){\scriptsize pass. ZP} \qbezier(43,85)(40,85)(39,82) \qbezier(114,68)(105,68)(105,74) \qbezier(20,93)(20,93)(120,20) \put(20,20){\line(3,2){100}} \put(72,55){\circle*{2}} \put(68,62){$A$} \put(20,55){\line(1,0){100}} \put(120,20){\line(0,1){35}} \put(72,18){\line(0,1){37}} \put(69,5){$\scriptstyle U$} \put(88,8){\vector(-1,0){10}} \put(90,5){$\scriptstyle U_i$} \put(102,8){\vector(1,0){10}} \qbezier(114,95)(129,95)(129,80) \put(114,95){\vector(-1,0){0}} \put(129,80){\vector(0,-1){0}} \put(129,95){$R$} \linethickness{0.1pt} \qbezier(20,30)(30,20)(30,20) \qbezier(20,40)(40,20)(40,20) \qbezier(20,50)(50,20)(50,20) \qbezier(25,55)(60,20)(60,20) \qbezier(35,55)(70,20)(70,20) \qbezier(45,55)(72,28)(72,28) \qbezier(55,55)(72,38)(72,38) \qbezier(65,55)(72,48)(72,48) \put(30,40){$P_a$} \qbezier(110,20)(120,30)(120,30) \qbezier(100,20)(120,40)(120,40) \qbezier(90,20)(120,50)(120,50) \qbezier(80,20)(115,55)(115,55) \qbezier(72,22)(105,55)(105,55) \qbezier(72,32)(95,55)(95,55) \qbezier(72,42)(85,55)(85,55) \qbezier(72,52)(75,55)(75,55) \put(100,40){$P_i$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{7cm} \vspace{55pt} Graphische Darstellung der Leistung $P_G$, zusammengesetzt aus $P_a$ und $P_i$ \end{minipage} \subsection{Informationstechnische Aufgabe} \begin{description} \item[gegeben:] Generator ($U_L,\, R_i$) (z.B. Meßwertgeber, Mikrofon, Solarzelle \ldots) \item[gesucht:] Verbraucher ($R_a$) so, daß $P_a$ maximal wird \end{description} \begin{minipage}[c]{125pt} \begin{picture}(115,80) \put(0,29){$U_L\Big\downarrow$} \put(30,32){\circle{20}} \put(30,2){\line(0,1){60}} \put(30,2){\line(1,0){60}} \multiput(30,62)(40,0){2}{\line(1,0){20}} \multiput(50,57)(0,10){2}{\line(1,0){20}} \multiput(50,57)(20,0){2}{\line(0,1){10}} \multiput(90,2)(0,40){2}{\line(0,1){20}} \multiput(85,22)(10,0){2}{\line(0,1){20}} \multiput(85,22)(0,20){2}{\line(1,0){10}} \multiput(80,2)(0,60){2}{\circle{2}} \put(82,22){\vector(1,1){18}} \put(55,70){$R_i$} \put(98,27){$R_a$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{6cm} $$P_a = \frac{{U_L}^2}{R_i} \cdot \frac{\frac{R_a}{R_i}}{\Big(1+\frac{R_a}{R_i}\Big)^2} = P_0\cdot \frac{x}{(1+x)^2}$$ $$\textnormal{mit } P_0 = \frac{{U_L}^2}{R_i} \textnormal{ und } x = \frac{R_a}{R_i}$$ \end{minipage} \bigskip Durch Differenzieren: Maximum bei $x = 1$. \bigskip \begin{minipage}[c]{150pt} \begin{picture}(140,100) \put(20,30){\vector(1,0){120}} \put(25,25){\vector(0,1){70}} \put(10,90){$\scriptstyle \frac{P_a}{P_0}$} \put(30,90){$\scriptstyle \eta$} \put(15,68){$\scriptstyle 1$} \put(11.2,48){$\scriptstyle 0,5$} \put(7,38){$\scriptstyle 0,25$} \put(23,40){\line(1,0){4}} \put(23,50){\line(1,0){4}} \put(23,70){\line(1,0){4}} \multiput(25,40)(4,0){10}{\line(1,0){2}} \multiput(25,50)(4,0){10}{\line(1,0){2}} \multiput(25,70)(4,0){20}{\line(1,0){2}} \qbezier(25,30)(35,39)(50,40) \qbezier(50,40)(60,39)(75,34) \qbezier(75,34)(80,32)(120,31) \qbezier(25,30)(60,64)(100,68) \put(50,28){\line(0,1){4}} \multiput(50,28)(0,4){12}{\line(0,1){2}} \put(70,38){$\scriptstyle P$} \put(58,60){$\scriptstyle \eta$} \put(130,22){$\scriptstyle x$} \put(48,20){$\scriptstyle 1$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{150pt} $$P_{max} = \frac{P_0}{4} = \frac{{U_L}^2}{4\cdot R_i}$$ $$\eta = \frac{\frac{R_a}{R_i}}{1+\frac{R_a}{R_i}}$$ \bigskip \end{minipage} \smallskip Um maximale Leistung aus einem vorgegebenen Generator zu entnehmen muß $R_a = R_i$ gewählt werden. Der Wirkungsgrad ist dabei 0,5. \newpage \subsection{Energietechnische Aufgabe} \begin{description} \item[gegeben:] Verbraucher ($R_a$) \item[gesucht:] Generator mit $R_i$ so, daß $\eta$ maximal wird \end{description} \begin{minipage}[c]{125pt} \begin{picture}(115,80) \put(0,29){$U_L\Big\downarrow$} \put(30,32){\circle{20}} \put(30,2){\line(0,1){60}} \put(30,2){\line(1,0){60}} \multiput(30,62)(40,0){2}{\line(1,0){20}} \multiput(50,57)(0,10){2}{\line(1,0){20}} \multiput(50,57)(20,0){2}{\line(0,1){10}} \multiput(90,2)(0,40){2}{\line(0,1){20}} \multiput(85,22)(10,0){2}{\line(0,1){20}} \multiput(85,22)(0,20){2}{\line(1,0){10}} \multiput(80,2)(0,60){2}{\circle{2}} \put(52,53){\vector(1,1){18}} \put(55,70){$R_i$} \put(98,27){$R_a$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{6cm} (aus 5.2.2.:) $$\eta = \frac{\frac{R_a}{R_i}}{1+\frac{R_a}{R_i}}\Rightarrow \textnormal{Maximum bei } R_i = 0$$ $$P_{max} =\frac{{U_L}^2}{R_a}$$ \end{minipage} \bigskip \begin{minipage}[c]{6cm} \bigskip Um maximalen Wirkungsgrad zu erzielen muß $R_i \ll R_a$ sein $\rightarrow$ aktiver Zweipol im Leerlauf. \end{minipage} \begin{minipage}[c]{160pt} \begin{picture}(140,100) \put(20,30){\vector(1,0){120}} \put(25,25){\vector(0,1){70}} \put(15,90){$\scriptstyle \eta$} \put(15,68){$\scriptstyle 1$} \put(23,70){\line(1,0){4}} \put(130,18){$\scriptstyle \frac{R_i}{R_a}$} \qbezier(25,70)(60,40)(120,35) \end{picture} \end{minipage} \subsection{Nichtlinearer aktiver Zweipol: Solarzelle} \begin{minipage}[c]{100pt} \begin{picture}(85,90) \put(3,80){$\scriptstyle I$} \put(0,60){$\scriptstyle I_K$} \put(10,10){\vector(0,1){80}} \put(5,15){\vector(1,0){80}} \put(76,7){$\scriptstyle U$} \qbezier(10,60)(57,60)(58,12) \put(10,50){\line(1,0){33}} \put(43,13){\line(0,1){37}} \multiput(23,45)(6,0){2}{\line(0,1){20}} \qbezier(22,64)(26,70)(26,70) \qbezier(30,64)(26,70)(26,70) \put(23,72){$\scriptstyle P_s$} \linethickness{0.1pt} \qbezier(10,45)(10,45)(15,50) \qbezier(10,40)(10,40)(20,50) \qbezier(10,35)(10,35)(25,50) \qbezier(10,30)(10,30)(30,50) \qbezier(10,25)(10,25)(35,50) \qbezier(10,20)(10,20)(40,50) \qbezier(10,15)(10,15)(43,48) \qbezier(15,15)(15,15)(43,43) \qbezier(20,15)(20,15)(43,38) \qbezier(25,15)(25,15)(43,33) \qbezier(30,15)(30,15)(43,28) \qbezier(35,15)(35,15)(43,23) \qbezier(40,15)(40,15)(43,18) \put(38,5){$\scriptstyle U_m$} \put(0,49){$\scriptstyle I_m$} \put(55,5){$\scriptstyle U_K$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{4.5cm} \center Kenngleichung: $$I = I_U - I_S \cdot e^{\frac{U}{U_T}}$$ \end{minipage} \begin{minipage}[c]{100pt} \begin{picture}(100,90) \put(1,42){$I_U\Big\uparrow$} \put(20,45){\line(1,0){20}} \multiput(30,15)(0,60){2}{\line(1,0){60}} \multiput(30,15)(0,40){2}{\line(0,1){20}} \put(30,45){\circle{20}} \put(70,15){\line(0,1){24}} \put(70,50){\line(0,1){25}} \multiput(62,39)(0,11){2}{\line(1,0){16}} \qbezier(62,50)(62,50)(70,39) \qbezier(78,50)(78,50)(70,39) \multiput(70,15)(0,60){2}{\circle*{2}} \put(46,42){$\Rightarrow$} \put(46,50){$P_s$} \multiput(91,15)(0,60){2}{\circle{2}} \put(91,70){\vector(0,-1){50}} \put(93,42){$U$} \put(80,75){\vector(1,0){8}} \put(77,78){$I$} \end{picture} \end{minipage} Abgegebene Leistung: $P = U\cdot I = U \cdot \bigg(I_K - I_s \cdot e^{\frac{U}{U_T}}\bigg)$ \begin{minipage}[c]{90pt} \begin{picture}(90,100) \put(10,15){\vector(1,0){80}} \put(15,10){\vector(0,1){80}} \put(85,5){$\scriptstyle U$} \put(2,85){$\scriptstyle P_a$} \qbezier(15,15)(40,80)(50,80) \qbezier(50,80)(58,80)(65,15) \multiput(50,14)(0,4){18}{\line(0,1){2}} \put(65,14){\line(0,1){4}} \put(45,5){$\scriptstyle U_m$} \put(60,5){$\scriptstyle U_L$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{6cm} maximale Leistung: \begin{eqnarray*} \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}U} &=& I_K - I_s \cdot e^{\frac{U}{U_T}} - \frac{U}{U_T} \cdot I_s\cdot e^{\frac{U}{U_T}} =\\ & = & I_K - I_s \cdot e^{\frac{U}{U_T}}\bigg(1+\frac{U}{U_T}\bigg) \Rightarrow \textnormal{ 0 für } U = U_m \end{eqnarray*} \end{minipage} \bigskip $$0 = I_K - I_s \cdot e^{\frac{U}{U_T}}\bigg(1+\frac{U}{U_T}\bigg)$$ $\Rightarrow$ nach $U_m$ auflösen, $I_m = I_k - I_s \cdot e^{\frac{U}{U_T}}$, $\Rightarrow P_{max} = U_m \cdot I_{max}$. \chapter{Gesteuerte Quellen} \section{Einführungsbeispiel: Optokoppler} \begin{center} \begin{picture}(220,95) \put(2,42){$I_1\Big\uparrow$} \multiput(30,15)(0,40){2}{\line(0,1){20}} \put(190,15){\line(0,1){60}} \put(20,45){\line(1,0){20}} \multiput(30,15)(0,60){2}{\line(1,0){65}} \multiput(125,15)(0,60){2}{\line(1,0){65}} \multiput(95,15)(30,0){2}{\line(0,1){24}} \multiput(95,75)(30,0){2}{\line(0,-1){25}} \multiput(30,45)(160,0){2}{\circle{20}} \multiput(87,39)(0,11){2}{\line(1,0){16}} \qbezier(87,50)(87,50)(95,39) \qbezier(103,50)(103,50)(95,39) \multiput(117,39)(0,11){2}{\line(1,0){16}} \qbezier(117,50)(117,50)(125,39) \qbezier(133,50)(133,50)(125,39) \multiput(109,45)(-2,-5){2}{\vector(2,-1){1}} \qbezier(107,46)(107,46)(103,48) \qbezier(105,41)(105,41)(101,43) \multiput(80,12)(0,66){2}{\line(1,0){60}} \multiput(80,12)(60,0){2}{\line(0,1){66}} \multiput(70,15)(0,60){2}{\circle{2}} \multiput(150,15)(0,60){2}{\circle{2}} \multiput(70,70)(80,0){2}{\vector(0,-1){50}} \put(57,42){$U_1$} \put(153,42){$U_2$} \put(40,75){\vector(1,0){20}} \put(45,79){$I_1$} \put(180,75){\vector(-1,0){20}} \put(170,79){$I_2$} \put(203,42){$\Big\downarrow U_2$} \put(55,0){\small Leuchtdiode \quad Photodiode} \end{picture} \end{center} \begin{picture}(90,80) \put(5,10){\vector(1,0){80}} \put(10,5){\vector(0,1){70}} \put(75,3){$\scriptstyle I_1$} \put(0,65){$\scriptstyle U_1$} \put(10,50){\line(1,0){70}} \end{picture} \hfill \begin{picture}(90,80) \put(5,10){\vector(1,0){80}} \put(10,5){\vector(0,1){70}} \put(75,3){$\scriptstyle I_1$} \put(0,65){$\scriptstyle I_2$} \put(10,10){\line(1,1){55}} \end{picture} \hfill \begin{picture}(90,80) \put(5,10){\vector(1,0){80}} \put(10,5){\vector(0,1){70}} \put(75,3){$\scriptstyle U_2$} \put(0,65){$\scriptstyle I_2$} \multiput(15,15)(0,15){3}{\line(1,0){60}} \put(40,50){$\uparrow I_1$} \end{picture} Der Optokoppler stellt eine stromgesteuerte Stromquelle dar (engl. \textbf{C}urrent \textbf{C}ontrolled \textbf{C}urrent \textbf{S}ource). \bigskip \subsubsection{Ersatzschaltung:} \begin{center} \begin{picture}(220,95) \put(2,42){$I_1\Big\uparrow$} \multiput(30,15)(0,40){2}{\line(0,1){20}} \put(200,15){\line(0,1){60}} \put(20,45){\line(1,0){20}} \multiput(30,15)(0,60){2}{\line(1,0){65}} \multiput(135,15)(0,60){2}{\line(1,0){65}} \put(95,15){\line(0,1){60}} \multiput(135,15)(0,40){2}{\line(0,1){20}} \multiput(135,35)(-10,10){2}{\line(1,1){10}} \multiput(135,35)(10,10){2}{\line(-1,1){10}} \put(125,45){\line(1,0){20}} \put(95,45){\circle{20}} \multiput(30,45)(170,0){2}{\circle{20}} \multiput(160,15)(0,60){2}{\circle{2}} \multiput(60,70)(100,0){2}{\vector(0,-1){50}} \put(47,42){$U_1$} \put(163,42){$U_2$} \put(40,75){\vector(1,0){20}} \put(45,79){$I_1$} \put(65,42){$U_1\Big\downarrow$} \put(110,42){$\scriptstyle b\,I_1\!\!\Big\downarrow$} \put(190,75){\vector(-1,0){20}} \put(180,79){$I_2$} \put(213,42){$\Big\downarrow U_2$} \end{picture} \end{center} \section{Arten gesteuerter Quellen} \subsection{Spannungsgesteuerte Spannungsquelle} \begin{minipage}[c]{130pt} \begin{picture}(125,75) \multiput(30,1)(0,58){2}{\circle{2}} \put(30,55){\vector(0,-1){50}} \multiput(108,1)(0,58){2}{\circle{2}} \put(2,65){$\scriptstyle I_1 = 0$} \put(0,60){\vector(1,0){25}} \put(15,27){$U_1$} \put(90,1){\line(0,1){58}} \multiput(90,1)(0,58){2}{\line(1,0){17}} \multiput(90,20)(-10,10){2}{\line(1,1){10}} \multiput(90,20)(10,10){2}{\line(-1,1){10}} \put(50,27){$v\cdot U_1\!\Big\downarrow$} \put(108,55){\vector(0,-1){50}} \put(112,27){$U_2$} \put(98,63){$\scriptstyle I_2$} \put(107,59){\vector(-1,0){15}} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{4cm} \center $I_1 = 0$ $U_2 = v \cdot U_1$ \end{minipage} \begin{minipage}[c]{4cm} \center $v$ Spannungsverstärkung $[v] = 1$ \end{minipage} \bigskip Beispiel: Spannungsverstärker, Operationsverstärker \subsection{Stromgesteuerte Spannungsquelle} \begin{minipage}[c]{130pt} \begin{picture}(125,75) \multiput(30,1)(0,58){2}{\circle{2}} \put(30,55){\vector(0,-1){50}} \multiput(108,1)(0,58){2}{\circle{2}} \put(8,65){$I_1$} \put(0,60){\vector(1,0){25}} \put(5,27){$\scriptstyle U_1 = 0$} \put(90,1){\line(0,1){58}} \multiput(90,1)(0,58){2}{\line(1,0){17}} \multiput(90,20)(-10,10){2}{\line(1,1){10}} \multiput(90,20)(10,10){2}{\line(-1,1){10}} \put(45,27){$r_m\cdot I_1\!\Big\downarrow$} \put(108,55){\vector(0,-1){50}} \put(112,27){$U_2$} \multiput(31,1)(0,58){2}{\line(1,0){8}} \put(39,1){\line(0,1){58}} \put(98,63){$\scriptstyle I_2$} \put(107,59){\vector(-1,0){15}} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{4cm} \center $U_1 = 0$ $U_2 = r_m \cdot I_1$ \end{minipage} \begin{minipage}[c]{4cm} \center $r_m$ Übergangswiderstand, Transimpedanz $[r_m] = \Omega$ \end{minipage} \bigskip Beispiel: fremderregte Gleichstrommaschine \subsection{Stromgesteuerte Stromquelle} \begin{minipage}[c]{130pt} \begin{picture}(125,75) \multiput(30,1)(0,58){2}{\circle{2}} \put(30,55){\vector(0,-1){50}} \multiput(108,1)(0,58){2}{\circle{2}} \put(8,65){$I_1$} \put(0,60){\vector(1,0){25}} \put(5,27){$\scriptstyle U_1 = 0$} \multiput(90,1)(0,38){2}{\line(0,1){19}} \put(80,30){\line(1,0){20}} \multiput(90,1)(0,58){2}{\line(1,0){17}} \multiput(90,20)(-10,10){2}{\line(1,1){10}} \multiput(90,20)(10,10){2}{\line(-1,1){10}} \put(52,27){$b\cdot I_1\!\Big\downarrow$} \put(108,55){\vector(0,-1){50}} \put(112,27){$U_2$} \multiput(31,1)(0,58){2}{\line(1,0){8}} \put(39,1){\line(0,1){58}} \put(98,63){$\scriptstyle I_2$} \put(107,59){\vector(-1,0){15}} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{4cm} \center $U_1 = 0$ $I_2 = b \cdot I_1$ \end{minipage} \begin{minipage}[c]{4cm} \center $b$ Stromverstärkung $[b] = 1$ \end{minipage} \bigskip Beispiel: Bipolartransistor, Optokoppler \subsection{Spannungsgesteuerte Stromquelle} \begin{minipage}[c]{130pt} \begin{picture}(125,75) \multiput(30,1)(0,58){2}{\circle{2}} \put(30,55){\vector(0,-1){50}} \multiput(108,1)(0,58){2}{\circle{2}} \put(2,65){$\scriptstyle I_1 = 0$} \put(0,60){\vector(1,0){25}} \put(15,27){$U_1$} \multiput(90,1)(0,38){2}{\line(0,1){19}} \put(80,30){\line(1,0){20}} \multiput(90,1)(0,58){2}{\line(1,0){17}} \multiput(90,20)(-10,10){2}{\line(1,1){10}} \multiput(90,20)(10,10){2}{\line(-1,1){10}} \put(42,27){$g_m\cdot U_1\!\Big\downarrow$} \put(108,55){\vector(0,-1){50}} \put(112,27){$U_2$} \put(98,63){$\scriptstyle I_2$} \put(107,59){\vector(-1,0){15}} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{4cm} \center $I_1 = 0$ $I_2 = g_m \cdot U_1$ \end{minipage} \begin{minipage}[c]{4cm} \center $g_m$ Übertragungsleitwert, Transkonduktanz, Steilheit $[g_m] = S = \mho$ \end{minipage} \bigskip Beispiel: Feldeffekttransistor, Elektronenröhre \section{Anwendungen und Beispiele} \subsection{Gegengekoppelter Verstärker} \begin{minipage}[c]{165pt} \begin{picture}(155,100) \multiput(60,0)(0,60){2}{\line(1,0){60}} \multiput(60,0)(60,0){2}{\line(0,1){60}} \put(0,27){$U_1\Big\downarrow$} \put(30,30){\circle{20}} \multiput(30,10)(0,40){2}{\line(1,0){30}} \put(30,10){\line(0,1){40}} \multiput(120,10)(0,40){2}{\line(1,0){30}} \multiput(50,50)(80,0){2}{\circle*{2}} \multiput(50,50)(80,0){2}{\line(0,1){30}} \multiput(151,10)(0,40){2}{\circle{2}} \multiput(50,80)(50,0){2}{\line(1,0){30}} \multiput(80,75)(0,10){2}{\line(1,0){20}} \multiput(80,75)(20,0){2}{\line(0,1){10}} \put(0,27){$U_1\Big\downarrow$} \put(80,27){$- v$} \put(84,88){$R_1$} \put(151,45){\vector(0,-1){30}} \put(137,27){$U_2$} \put(30,50){\vector(1,0){15}} \put(35,54){$I_1$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{7cm} $$U_2 = - v\cdot U_1$$ $$\textnormal{gesucht: } R_E = \frac{U_1}{I_1}$$ \center (Eingangswiderstand der Schaltung) \end{minipage} \subsubsection{Ersatzschaltung:} \begin{minipage}[c]{165pt} \begin{picture}(155,60) \multiput(30,0)(60,0){2}{\line(0,1){40}} \put(30,0){\line(1,0){60}} \multiput(30,40)(40,0){2}{\line(1,0){20}} \multiput(50,35)(0,10){2}{\line(1,0){20}} \multiput(50,35)(20,0){2}{\line(0,1){10}} \put(30,20){\circle{20}} \multiput(90,10)(-10,10){2}{\line(1,1){10}} \multiput(90,10)(10,10){2}{\line(-1,1){10}} \put(0,17){$U_1\Big\downarrow$} \put(102,17){$\Big\uparrow \mathrm{v}\cdot U_1$} \put(54,48){$R_1$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{7cm} Maschensatz: $U_1 + v\cdot U_1 - I_1 \cdot R_1 = 0$ $$I_1 = \frac{1 + v}{R_1} \cdot U_1 \rightarrow R_E = \frac{U_1}{I_1} = \frac{R_1}{1 + v}$$ \end{minipage} \bigskip Der Ausgangswiderstand ist sehr klein, daher verhält der Verstärker sich wie eine Spannungsquelle. \subsubsection{praktische Zahlenwerte:} $R = 10\,\mathrm{k}\Omega$, $v = 10^4$ $$R_E = \frac{10^4\,\Omega}{10^4 + 1} \approx 1 \,\Omega \qquad \textnormal{"`Miller-Effekt"'}$$ \bigskip \begin{flushleft} Für $v < 0$ bzw. $-v > 0$, z.B. $v = -10$ \end{flushleft} $$U_2 = 10 \cdot U_1 \qquad R_R = \frac{R_1}{1+v} = - \frac{10^4\,\Omega}{1-10} \approx - 1,1\,\mathrm{k}\Omega$$ \newpage \subsection{Bipolartransistor} \begin{center} \begin{picture}(230,90) \put(70,60){\circle*{2}} \multiput(30,0)(40,0){2}{\line(0,1){20}} \multiput(30,30)(40,0){2}{\circle{20}} \multiput(30,40)(40,0){2}{\line(0,1){20}} \multiput(25,0)(40,0){2}{\line(1,0){10}} \put(30,60){\line(1,0){80}} \thicklines\put(110,50){\line(0,1){20}}\thinlines \put(110,60){\vector(1,-1){10}} \put(110,60){\line(1,1){15}} \put(110,60){\line(1,-1){15}} \put(125,0){\line(0,1){45}} \put(120,0){\line(1,0){10}} \put(125,75){\line(1,0){25}} \put(160,75){\circle{20}} \put(170,75){\line(1,0){20}} \put(190,0){\line(0,1){75}} \put(190,36){\circle{20}} \put(0,27){$I_B\Big\uparrow$} \put(20,30){\line(1,0){20}} \put(66,26){V} \put(80,27){$\Big\downarrow U_{BE}$} \put(185,0){\line(1,0){10}} \put(97,63){\textsf{B}} \put(128,78){\textsf{C}} \put(128,35){\textsf{E}} \put(200,33){$\Big\downarrow U_{CE}$} \put(156,72){A} \put(170,60){\vector(-1,0){20}} \put(154,50){$I_C$} \end{picture} \end{center} \vspace{1cm} \begin{minipage}[c]{100pt} \flushleft \begin{picture}(90,80) \put(3,12){\vector(1,0){80}} \put(10,5){\vector(0,1){70}} \put(65,3){$\scriptstyle U_{CE}$} \put(0,67){$\scriptstyle I_C$} \multiput(15,15)(0,15){3}{\line(1,0){60}} \put(40,50){$\uparrow I_B$} \end{picture} \end{minipage} \hfill \begin{minipage}[c]{110pt} Durch Messung: $$I_C = B \cdot I_B$$ $$(I_B > 0, \; U_{CE} > 0,\!2\,\mathrm{V})$$ $$U_{BE} = U_{BEC0}$$ \end{minipage} \hfill \begin{minipage}[c]{100pt} \flushleft \begin{picture}(105,80) \put(18,12){\vector(1,0){80}} \put(25,5){\vector(0,1){70}} \put(85,3){$\scriptstyle I_{B}$} \put(5,67){$\scriptstyle U_{BE}$} \put(30,30){\line(1,0){60}} \put(0,28){$\scriptstyle U_{BE0}$} \put(23,30){\line(1,0){4}} \end{picture} \end{minipage} \subsubsection{Netzwerkmodell (Ersatzschaltung) eines Bipolartransistors} \begin{picture}(200,100) \put(30,10){\line(0,1){30}} \put(90,20){\line(0,1){20}} \multiput(30,60)(60,0){2}{\line(0,1){20}} \put(25,10){\line(1,0){10}} \multiput(30,50)(60,0){2}{\circle{20}} \put(20,50){\line(1,0){20}} \put(90,40){\line(0,1){20}} \put(90,20){\line(1,0){40}} \multiput(130,20)(0,40){2}{\line(0,1){20}} \put(30,80){\line(1,0){60}} \multiput(130,40)(-10,10){2}{\line(1,1){10}} \multiput(130,40)(10,10){2}{\line(-1,1){10}} \put(120,50){\line(1,0){20}} \put(110,10){\line(0,1){10}} \put(110,20){\circle*{2}} \put(105,10){\line(1,0){10}} \put(130,80){\line(1,0){30}} \put(180,80){\line(1,0){30}} \put(170,80){\circle{20}} \put(210,10){\line(0,1){70}} \put(205,10){\line(1,0){10}} \put(166,77){A} \put(0,47){$I_B\Big\uparrow$} \put(47,47){$U_{BE0}\Big\downarrow$} \put(140,47){$\Big\downarrow B\cdot I_B$} \put(83,83){\textsf{B}} \put(130,83){\textsf{C}} \put(107,23){\textsf{E}} \put(210,50){\circle{20}} \put(220,47){$\Big\downarrow U_{CE}$} \multiput(70,0)(4,0){20}{\line(1,0){2}} \multiput(70,100)(4,0){20}{\line(1,0){2}} \multiput(70,0)(0,4){10}{\line(0,1){2}} \multiput(150,0)(0,4){10}{\line(0,1){2}} \multiput(150,60)(0,4){10}{\line(0,1){2}} \multiput(70,60)(0,4){10}{\line(0,1){2}} \end{picture} \bigskip Dieses Modell kann verfeinert werden, da die tatsächliche $U_{CE}/I_{C}$--Kennlinie eine (geringe) Abhängigkeit des Stromes von der Spannung und die $I_B/U_{BE}$--Kennlinie eine Abhängigkeit der Spannung vom Strom aufweist. Es ergeben sich die Formeln: $I_C = B \cdot I_B + G_{CE} \cdot U_{CE}$ ($G_{CE}$ parallel zur Collector--Emitter--Strecke) $U_{BE} = U_{BEC0} + R_{BE} \cdot I_B$ ($R_{BE}$ in Serie zur Basis) \subsubsection{Anwendungsbeispiel: Leistungsverstärker} \begin{minipage}[c]{160pt} \flushleft \begin{picture}(150,80) \put(30,1){\line(0,1){59}} \put(30,30){\circle{20}} \put(30,60){\line(1,0){40}} \thicklines\put(70,50){\line(0,1){20}}\thinlines \put(70,60){\vector(1,-1){10}} \put(70,60){\line(1,-1){15}} \put(70,60){\line(1,1){15}} \put(85,1){\line(0,1){14}} \multiput(80,15)(0,20){2}{\line(1,0){10}} \multiput(80,15)(10,0){2}{\line(0,1){20}} \put(85,35){\line(0,1){10}} \put(85,75){\line(1,0){40}} \put(125,1){\line(0,0){74}} \put(25,1){\line(1,0){10}} \put(80,1){\line(1,0){10}} \put(120,1){\line(1,0){10}} \put(125,36){\circle{20}} \put(0,27){$U_e\Big\downarrow$} \put(135,33){$\Big\downarrow U_C$} \put(92,22){$R$} \qbezier(76,10)(70,25)(76,40) \put(76,10){\vector(1,-4){0}} \put(60,22){$U_a$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{180pt} gesucht: \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{\alph{enumi})} \item $U_a$ als Funktion von $U_e$ \item $\displaystyle \frac{P_a}{P_e}$ als Funktion von $U_e$ \end{enumerate} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{240pt} \flushleft \begin{picture}(230,90) \multiput(30,0)(160,0){2}{\line(0,1){60}} \multiput(25,0)(80,0){3}{\line(1,0){10}} \multiput(30,30)(160,0){2}{\circle{20}} \put(30,60){\line(1,0){100}} \multiput(50,60)(60,0){3}{\circle*{2}} \put(80,60){\circle{20}} \multiput(130,60)(10,-10){2}{\line(1,1){10}} \multiput(130,60)(10,10){2}{\line(1,-1){10}} \put(140,50){\line(0,1){20}} \put(150,60){\line(1,0){40}} \multiput(110,0)(0,40){2}{\line(0,1){20}} \multiput(105,20)(10,0){2}{\line(0,1){20}} \multiput(105,20)(0,20){2}{\line(1,0){10}} \put(0,27){$U_e\Big\downarrow$} \put(200,27){$\Big\downarrow U_C$} \put(47,63){\textsf{B}} \put(107,63){\textsf{E}} \put(166,63){\textsf{C}} \put(70,75){\vector(1,0){20}} \put(67,80){$U_{BE0}$} \put(150,75){\vector(-1,0){20}} \put(128,80){$B\cdot I_B$} \qbezier(100,15)(95,30)(100,45) \put(100,15){\vector(1,-4){0}} \put(85,27){$U_a$} \put(110,60){\vector(0,-1){17}} \put(113,47){$I_R$} \put(119,27){$R$} \put(63,30){\circle{30}} \put(61,14){\vector(-1,0){0}} \put(59,26){\textsf{M}} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{4cm} Ersatzschaltung des Leistungsverstärkers. Mit Hilfe des Maschen-- und Knotenpunktsatzes sind die gesuchten Werte zu ermitteln. \end{minipage} \bigskip \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{\alph{enumi})} \item $\circlearrowright$\textsf{M} : $-U_e + U_{BE0} + U_a = 0 \quad\Rightarrow\quad U_a = U_e - U_{BE0}$ \begin{minipage}[c]{140pt} \begin{picture}(140,100) \put(2,5){$\scriptstyle -U_{BE0}$} \put(35,0){\vector(0,1){90}} \put(30,15){\vector(1,0){100}} \put(33,8){\line(1,0){4}} \put(42,13){\line(0,1){4}} \put(48,21){\line(1,1){60}} \qbezier(35,15)(42,15)(48,21) \qbezier(35,8)(35,8)(37,10) \qbezier(39,12)(39,12)(41,14) \qbezier(43,16)(43,16)(45,18) \put(19,80){$U_a$} \put(118,4){$U_e$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{200pt} Die Steigung des Graphen ist stellt die Spannungsverstärkung dar, die in diesem Falle 1 beträgt (Spannungsfolger). \vspace{1cm} \end{minipage} \item $P_a = \displaystyle\frac{{U_a}^2}{R} = \frac{(U_e - U_{BE0})^2}{R}$ $P_e = U_e \cdot I_B$ \bigskip Zur Berechnung von $\displaystyle\frac{P_a}{P_e}$ muß $I_B$ ermittelt werden: $U_a = I_R \cdot R = (I_B + B\cdot I_B)\cdot R = I_B\cdot (1+R)\cdot R$ $I_B = \displaystyle\frac{U_a}{(1+B)\cdot R} = \frac{U_e - U_{BE0}}{(1+B)\cdot R}$ \bigskip $P_e = \displaystyle\frac{U_e - U_{BE0}}{(1+B)\cdot R} \cdot U_e$ \bigskip $\displaystyle\frac{P_a}{P_e} = [\cdots] = \bigg(1-\displaystyle\frac{U_{BE0}}{U_e}\bigg)(1+B)$ \begin{picture}(100,100) \put(20,15){\vector(1,0){90}} \put(25,10){\vector(0,1){70}} \put(10,70){$\frac{P_a}{P_e}$} \put(95,4){$U_e$} \put(40,6){$\scriptstyle U_{BE0}$} \put(44,13){\line(0,1){4}} \multiput(23,45)(4,0){18}{\line(1,0){2}} \qbezier(44,15)(50,45)(80,45) \put(4,43){$\scriptstyle 1+B$} \end{picture} \end{enumerate} \subsection{Fremderregte Gleichstrommaschine} \begin{center} \begin{picture}(225,80) \put(30,1){\line(0,1){59}} \put(30,30){\circle{20}} \put(30,60){\line(1,0){20}} \put(60,60){\circle{20}} \put(70,60){\line(1,0){40}} \multiput(90,1)(0,59){2}{\circle*{2}} \put(30,1){\line(1,0){80}} \put(110,1){\line(0,1){19}} \put(110,40){\line(0,1){20}} \linethickness{10pt}\put(110,20){\line(0,1){20}}\thinlines \multiput(90,55)(80,0){2}{\vector(0,-1){49}} \put(140,1){\line(0,1){14}} \put(140,45){\line(0,1){15}} \linethickness{4pt}\multiput(136,14)(0,32){2}{\line(1,0){8}}\thinlines \put(140,30){\circle{29}} \multiput(140,1)(0,59){2}{\line(1,0){60}} \multiput(170,1)(0,59){2}{\circle*{2}} \put(200,1){\line(0,1){19}} \put(200,40){\line(0,1){20}} \multiput(195,20)(10,0){2}{\line(0,1){20}} \multiput(195,20)(0,20){2}{\line(1,0){10}} \put(208,27){$R_L$} \put(0,27){$U_1\Big\downarrow$} \put(74,27){$U_1$} \put(56,57){A} \put(80,65){\vector(1,0){20}} \put(84,70){$I_1$} \put(175,65){\vector(1,0){20}} \put(179,70){$I_2$} \put(173,27){$U_2$} \end{picture} \subsubsection{Kennlinien} \begin{minipage}[c]{110pt} \flushleft \begin{picture}(100,100) \put(15,10){\vector(0,1){80}} \put(10,15){\vector(1,0){90}} \put(91,4){$I_2$} \put(0,80){$U_2$} \multiput(15,30)(0,15){3}{\line(5,-1){60}} \put(80,36){$\Big\uparrow I_1$} \end{picture} \end{minipage} \hspace{50pt} \begin{minipage}[c]{110pt} \flushleft \begin{picture}(100,100) \put(15,10){\vector(0,1){80}} \put(10,15){\vector(1,0){90}} \put(91,4){$I_1$} \put(0,80){$U_2 \quad (I_2 = 0)$} \qbezier(15,15)(25,60)(80,60) \end{picture} \end{minipage} \subsubsection{Ersatzschaltung} \begin{picture}(225,80) \put(30,1){\line(0,1){59}} \put(30,30){\circle{20}} \put(30,60){\line(1,0){20}} \put(60,60){\circle{20}} \put(70,60){\line(1,0){40}} \put(30,1){\line(1,0){80}} \put(110,1){\line(0,1){19}} \put(110,40){\line(0,1){20}} \multiput(105,20)(10,0){2}{\line(0,1){20}} \multiput(105,20)(0,20){2}{\line(1,0){10}} \put(82,27){$R_{err}$} \put(140,1){\line(0,1){59}} \multiput(140,20)(-10,10){2}{\line(1,1){10}} \multiput(140,20)(10,10){2}{\line(-1,1){10}} \put(140,1){\line(1,0){60}} \multiput(140,60)(40,0){2}{\line(1,0){20}} \multiput(160,55)(0,10){2}{\line(1,0){20}} \multiput(160,55)(20,0){2}{\line(0,1){10}} \put(200,1){\line(0,1){19}} \put(200,40){\line(0,1){20}} \multiput(195,20)(10,0){2}{\line(0,1){20}} \multiput(195,20)(0,20){2}{\line(1,0){10}} \put(208,27){$R_L$} \put(0,27){$U_1\Big\downarrow$} \put(56,57){A} \put(80,65){\vector(1,0){20}} \put(84,70){$I_1$} \put(165,68){$R_i$} \put(153,27){$\Big\downarrow f(I_1)$} \end{picture} \end{center} \chapter{Methoden der Netzwerkanalyse} \section{Netzwerkbeschreibung} Ein Netzwerk besteht aus Zweigen und Knoten. Seine Struktur läßt sich durch einen Graphen darstellen:\\ \begin{minipage}[c]{185pt} \begin{picture}(185,115) \put(30,0){\line(1,0){120}} \put(30,0){\line(0,1){40}} \put(30,20){\circle{20}} \multiput(25,40)(0,20){2}{\line(1,0){10}} \multiput(25,40)(10,0){2}{\line(0,1){20}} \put(30,60){\line(0,1){30}} \multiput(30,70)(40,0){2}{\line(1,0){20}} \multiput(50,65)(0,10){2}{\line(1,0){20}} \multiput(50,65)(20,0){2}{\line(0,1){10}} \multiput(90,0)(0,45){2}{\line(0,1){25}} \multiput(85,25)(10,0){2}{\line(0,1){20}} \multiput(85,25)(0,20){2}{\line(1,0){10}} \multiput(90,70)(40,0){2}{\line(1,0){20}} \multiput(110,65)(0,10){2}{\line(1,0){20}} \multiput(110,65)(20,0){2}{\line(0,1){10}} \multiput(150,0)(0,55){2}{\line(0,1){15}} \multiput(135,15)(0,40){2}{\line(1,0){30}} \multiput(135,15)(0,30){2}{\line(0,1){10}} \multiput(165,15)(0,30){2}{\line(0,1){10}} \put(135,35){\circle{20}} \multiput(160,25)(10,0){2}{\line(0,1){20}} \multiput(160,25)(0,20){2}{\line(1,0){10}} \multiput(30,90)(70,0){2}{\line(1,0){50}} \multiput(80,85)(0,10){2}{\line(1,0){20}} \multiput(80,85)(20,0){2}{\line(0,1){10}} \put(150,70){\line(0,1){20}} \put(125,35){\line(1,0){20}} \put(0,17){$U_q\Big\downarrow$} \put(108,32){$I_q\Big\uparrow$} \put(10,47){$R_1$} \put(72,32){$R_2$} \put(173,32){$R_3$} \put(55,78){$R_4$} \put(115,78){$R_5$} \put(85,98){$R_6$} \multiput(30,70)(60,0){3}{\circle*{2}} \multiput(150,15)(0,40){2}{\circle*{2}} \put(90,0){\circle*{2}} \end{picture} \end{minipage} \hfill \begin{minipage}[c]{1cm} \center $\Longrightarrow$ \end{minipage} \hfill \begin{minipage}[c]{85pt} \begin{picture}(81,100) \qbezier(40,1)(40,1)(1, 70) \qbezier(40,1)(40,1)(80,70) \qbezier(1,70)(1,70)(80,70) \qbezier(1,70)(40,100)(80,70) \qbezier(40,70)(40,70)(40,1) \put(1,70){\circle*{2}} \put(80,70){\circle*{2}} \put(40,70){\circle*{2}} \put(40,1){\circle*{2}} \end{picture} \end{minipage} \vfill \begin{description} \begin{minipage}[c]{7cm} \item[Zweig:] $U$--$I$--Relation \smallskip $F(U,\,I) = 0$ $\rightarrow U = Z(I)$ bzw. $I = Y(U)$ \end{minipage} \begin{minipage}[c]{100pt} \flushright \begin{picture}(60,40) \put(0,10){\line(1,1){10}} \put(0,30){\line(1,-1){10}} \multiput(10,20)(40,0){2}{\circle*{2}} \multiput(10,20)(30,0){2}{\line(1,0){10}} \multiput(20,15)(0,10){2}{\line(1,0){20}} \multiput(20,15)(20,0){2}{\line(0,1){10}} \put(50,20){\line(1,1){10}} \put(50,20){\line(1,-1){10}} \qbezier(15,25)(30,35)(45,25) \put(45,25){\vector(3,-2){0}} \put(25,35){$U_z$} \put(20,11){\vector(1,0){20}} \put(25,0){$I_z$} \multiput(20,15)(4,0){3}{\line(1,1){10}} \end{picture} \end{minipage} \smallskip \begin{minipage}[c]{7cm} \item[Knoten:] Nach Knotenpunktsatz: \bigskip $\displaystyle \sum\limits_{n} I_{z_n} = 0$ \end{minipage} \begin{minipage}[c]{100pt} \flushright \begin{picture}(55,60) \put(0,0){\vector(1,1){13}} \put(0,0){\line(1,1){25}} \put(25,25){\line(1,-1){25}} \put(25,25){\vector(1,-1){13}} \put(25,25){\line(0,1){32}} \put(25,25){\vector(0,1){15}} \put(25,25){\circle*{3}} \put(0,14){$I_1$} \put(40,14){$I_2$} \put(28,40){$I_3$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{7cm} \item[Masche:] geschlossener Umlauf durch Zweige ohne Schleife \bigskip $\displaystyle \sum\limits_{m} U_{z_m} = 0$ \end{minipage} \begin{minipage}[c]{100pt} \flushright \begin{picture}(50,60) \multiput(5,0)(0,15){3}{\line(0,1){5}} \multiput(2.5,20)(5,0){2}{\line(0,1){10}} \multiput(2.5,20)(0,10){2}{\line(1,0){5}} \put(5,10){\circle{10}} \put(5,5){\line(0,1){10}} \multiput(5,35)(20,0){2}{\line(1,0){10}} \multiput(15,32.5)(0,5){2}{\line(1,0){10}} \multiput(15,32.5)(10,0){2}{\line(0,1){5}} \multiput(32.5,12.5)(5,0){2}{\line(0,1){10}} \multiput(32.5,12.5)(0,10){2}{\line(1,0){5}} \multiput(35,0)(0,22.5){2}{\line(0,1){12.5}} \put(5,0){\line(1,0){30}} \end{picture} \end{minipage} \end{description} \subsection{Grundaufgabe der Netzwerkanalyse} \smallskip \begin{flushleft} \begin{minipage}[c]{1.5cm}\textbf{gegeben:}\bigskip\bigskip\end{minipage} \begin{minipage}[c]{9cm} \begin{itemize} \item Netzwerk mit $z$ Zweigen und $k$ Knoten \item $U$--$I$--Relationen der Zweige \end{itemize} \end{minipage} \bigskip\smallskip \begin{minipage}[c]{1.5cm}\textbf{gesucht:}\bigskip\bigskip\end{minipage} \begin{minipage}[c]{9cm} \begin{itemize} \item $z$ Zweigströme und $z$ Zweigspannungen \end{itemize} \bigskip \end{minipage} $\Rightarrow 2z$ Unbekannte \begin{description} \item[Gleichungen:]\quad \begin{tabular}{r|l} $z$ & $U$--$I$--Relationen der Zweige\\ $k-1$ & unabhängige Knotengleichungen\\ $z-(k-1)$ & unabhängige Maschengleichungen\\ \hline $2z$ & Gleichungen \end{tabular} \end{description} \end{flushleft} \section[Analyse mit dem vollst. Kirchhoffschen Gleichungssystem]{Analyse mit dem vollständigen Kirchhoffschen Gleichungssystem} \subsubsection{Algorithmus} \begin{enumerate} \item Festlegung der Zählrichtung für alle Zweigspannungen und Zweigströme \item Aufstellung der $U$--$I$--Relationen der Zweige \item Auswahl von $k-1$ Knoten und Aufstellung der Knotengleichungen (Verbindungen auf gleichem Potential zu jeweils einem Knoten zusammenfassen) \item Auswahl von $n = z-(k-1)$ unabhängigen Maschen und Aufstellung der Maschengleichungen \item Lösen der Gleichungen \end{enumerate} Es gibt verschiedene Methoden um Schritt 4 auszuführen: \subsection{Methode des vollständigen Baumes} \begin{minipage}[c]{8.5cm} Der Vollständige Baum enthält $k-1$ Zweige (dargestellt durch dicke Linien). Die übrigen $m = z - (k-1)$ Zweige heißen Verbindungszweige. Ergänzt man nun jeden unabhängigen Zweig über den vollständigen Baum zu einer Masche, so entsteht ein vollständiges System unabhängiger Maschen. \end{minipage} \begin{minipage}[c]{100pt} \flushright \begin{picture}(81,100) \setlength{\unitlength}{0.9pt} \qbezier(40,1)(40,1)(1, 70) \qbezier(40,1)(40,1)(80,70) \thicklines\qbezier(1,70)(1,70)(80,70)\thinlines \qbezier(1,70)(40,100)(80,70) \thicklines\qbezier(40,70)(40,70)(40,1)\thinlines \put(1,70){\circle*{2}} \put(80,70){\circle*{2}} \put(40,70){\circle*{2}} \put(40,1){\circle*{2}} \put(35,75){$\circlearrowright$} \put(22,50){$\circlearrowright$} \put(52,50){$\circlearrowright$} \end{picture} \vspace{30pt} \end{minipage} \subsection{Kennzeichnungs-- oder Auftrennmethode} \begin{itemize} \item Wahl einer Masche und Kennzeichnen (Auftrennen) eines Zweiges, der in keiner weiteren Masche enthalten sein darf \item Widerholen, bis keine weitere Masche zu finden ist \end{itemize} \begin{picture}(81,100) \setlength{\unitlength}{0.9pt} \qbezier(40,1)(40,1)(1, 70) \qbezier(40,1)(40,1)(80,70) \qbezier(1,70)(1,70)(80,70) \qbezier(1,70)(40,100)(80,70) \qbezier(40,70)(40,70)(40,1) \put(1,70){\circle*{2}} \put(80,70){\circle*{2}} \put(40,70){\circle*{2}} \put(40,1){\circle*{2}} \put(52,50){$\circlearrowright$} \thicklines\qbezier(60,65)(60,65)(50,75) \end{picture} \hfill \begin{picture}(81,100) \setlength{\unitlength}{0.9pt} \qbezier(40,1)(40,1)(1, 70) \qbezier(40,1)(40,1)(80,70) \qbezier(1,70)(1,70)(40,70) \qbezier(1,70)(40,100)(80,70) \qbezier(40,70)(40,70)(40,1) \put(1,70){\circle*{2}} \put(80,70){\circle*{2}} \put(40,70){\circle*{2}} \put(40,1){\circle*{2}} \put(22,50){$\circlearrowright$} \thicklines\qbezier(15,30)(15,30)(25,40) \end{picture} \hfill \begin{picture}(81,100) \setlength{\unitlength}{0.9pt} \qbezier(40,1)(40,1)(80,70) \qbezier(1,70)(1,70)(40,70) \qbezier(1,70)(40,100)(80,70) \qbezier(40,70)(40,70)(40,1) \put(1,70){\circle*{2}} \put(80,70){\circle*{2}} \put(40,70){\circle*{2}} \put(40,1){\circle*{2}} \put(52,65){$\circlearrowright$} \thicklines\qbezier(65,30)(65,30)(55,40) \end{picture} \subsection{Fenstermaschenmethode} \begin{minipage}[c]{120pt} \flushleft \begin{picture}(120,65) \multiput(0,1)(20,0){6}{\line(0,1){30}} \multiput(20,31)(20,0){5}{\line(0,1){30}} \multiput(0,1)(0,30){2}{\line(1,0){100}} \put(20,61){\line(1,0){80}} \multiput(6,13)(20,0){5}{$\circlearrowright$} \multiput(26,43)(20,0){4}{$\circlearrowright$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{8cm} Auswahl "`fensterartig"' nebeneinanderliegender Maschen. Nur auf ebene Graphen anwendbar. \bigskip\bigskip \end{minipage} \subsection[Allgemeiner Zweig in einem lin. resistiven Netzwerk]{Allgemeiner Zweig in einem linearen resistiven Netzwerk} \begin{minipage}[c]{140pt} \flushleft \begin{picture}(130,110) \multiput(21,60)(108,0){2}{\circle{2}} \put(22,60){\line(1,0){63}} \put(55,60){\circle{20}} \multiput(85,55)(0,10){2}{\line(1,0){20}} \multiput(85,55)(20,0){2}{\line(0,1){10}} \multiput(33,30)(84,0){2}{\line(0,1){30}} \multiput(33,30)(52,0){2}{\line(1,0){32}} \put(75,30){\circle{20}} \put(105,60){\line(1,0){23}} \multiput(33,60)(84,0){2}{\circle*{2}} \put(75,20){\line(0,1){20}} \put(30,64){\scriptsize K} \put(45,73){\vector(1,0){20}} \put(85,15){\vector(-1,0){20}} \put(49,78){$U_q$} \put(71,5){$I_q$} \put(91,68){$R$} \put(0,60){\vector(1,0){17}} \put(3,64){$I_Z$} \qbezier(21,75)(75,108)(129,75) \put(70,96){$U_Z$} \put(129,75){\vector(2,-1){0}} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{7cm} \begin{description} \item[Maschensatz:] $U_Z - I_R \cdot R - U_q = 0$ \item[Knotenpunktsatz:] $I_Z + I_q - I_R = 0$ $\Rightarrow I_R = I_q + I_Z$ (in Maschensatz einsetzen..) \end{description} \end{minipage} $$U_Z = I_q\cdot R - I_Z \cdot R - U_q = U \Leftrightarrow U_Z - I_Z \cdot R = U_q + I_q \cdot R$$ \subsubsection{Sonderfälle} \begin{minipage}[c]{4cm} \center \begin{picture}(60,80) \multiput(1,50)(58,0){2}{\circle{2}} \multiput(2,50)(38,0){2}{\line(1,0){18}} \multiput(20,45)(0,10){2}{\line(1,0){20}} \multiput(20,45)(20,0){2}{\line(0,1){10}} \put(25,58){$R$} \end{picture} $U_z - I_Z\cdot R = 0$ \end{minipage} \begin{minipage}[c]{4cm} \center \begin{picture}(70,80) \multiput(1,50)(68,0){2}{\circle{2}} \put(2,50){\line(1,0){38}} \put(60,50){\line(1,0){8}} \put(30,50){\line(1,0){10}} \multiput(40,45)(0,10){2}{\line(1,0){20}} \multiput(40,45)(20,0){2}{\line(0,1){10}} \put(45,58){$R$} \put(20,50){\circle{20}} \put(10,63){\vector(1,0){20}} \put(13,68){$U_q$} \end{picture} $U_Z - I_Z \cdot R = U_q$ \end{minipage} \begin{minipage}[c]{4cm} \center \begin{picture}(60,80) \multiput(1,50)(58,0){2}{\circle{2}} \multiput(2,50)(38,0){2}{\line(1,0){18}} \multiput(20,45)(0,10){2}{\line(1,0){20}} \multiput(20,45)(20,0){2}{\line(0,1){10}} \put(25,58){$R$} \multiput(10,30)(40,0){2}{\line(0,1){20}} \multiput(10,30)(30,0){2}{\line(1,0){10}} \put(30,30){\circle{20}} \put(30,20){\line(0,1){20}} \put(40,16){\vector(-1,0){20}} \put(26,5){$I_q$} \multiput(10,50)(40,0){2}{\circle*{2}} \end{picture} $U_Z - I_Z\cdot R = I_q \cdot R$ \end{minipage} \subsection{Beispielnetzwerk} \begin{center} \begin{picture}(280,185) \put(40,5){\line(1,0){200}} \put(40,5){\line(0,1){60}} \put(40,35){\circle{20}} \multiput(35,65)(0,20){2}{\line(1,0){10}} \multiput(35,65)(10,0){2}{\line(0,1){20}} \multiput(40,85)(200,0){2}{\line(0,1){60}} \put(40,105){\line(1,0){40}} \multiput(80,100)(0,10){2}{\line(1,0){20}} \multiput(80,100)(20,0){2}{\line(0,1){10}} \put(100,105){\line(1,0){80}} \multiput(180,100)(0,10){2}{\line(1,0){20}} \multiput(180,100)(20,0){2}{\line(0,1){10}} \put(200,105){\line(1,0){40}} \multiput(140,5)(0,60){2}{\line(0,1){40}} \multiput(135,45)(10,0){2}{\line(0,1){20}} \multiput(135,45)(0,20){2}{\line(1,0){10}} \put(240,5){\line(0,1){20}} \multiput(220,25)(0,60){2}{\line(1,0){40}} \multiput(220,25)(40,0){2}{\line(0,1){20}} \multiput(220,65)(40,0){2}{\line(0,1){20}} \put(220,55){\circle{20}} \put(210,55){\line(1,0){20}} \multiput(255,45)(0,20){2}{\line(1,0){10}} \multiput(255,45)(10,0){2}{\line(0,1){20}} \multiput(40,145)(110,0){2}{\line(1,0){90}} \multiput(130,140)(0,10){2}{\line(1,0){20}} \multiput(130,140)(20,0){2}{\line(0,1){10}} \multiput(40,105)(100,0){3}{\circle*{4}} \put(140,5){\circle*{4}} \multiput(240,25)(0,60){2}{\circle*{2}} \put(47,72){$R_1$} \put(147,52){$R_2$} \put(267,52){$R_3$} \put(84,89){$R_4$} \put(184,89){$R_5$} \put(52,32){$\Big\downarrow U_q$} \put(232,52){$\Big\uparrow I_q$} \qbezier(35,100)(12,55)(35,10) \put(35,10){\vector(1,-3){0}} \put(2,53){$U_{Z1}$} \qbezier(135,100)(112,55)(135,10) \put(135,10){\vector(1,-3){0}} \put(102,53){$U_{Z2}$} \qbezier(215,100)(192,55)(215,10) \put(215,10){\vector(1,-3){0}} \put(182,53){$U_{Z3}$} \qbezier(45,110)(90,133)(135,110) \put(135,110){\vector(3,-1){0}} \put(82,128){$U_{Z4}$} \qbezier(145,110)(190,133)(235,110) \put(235,110){\vector(3,-1){0}} \put(182,128){$U_{Z5}$} \put(134,154){$R_6$} \qbezier(95,150)(140,183)(185,150) \put(185,150){\vector(3,-1){0}} \put(132,173){$U_{Z6}$} \put(23,105){\textcircled{\raisebox{-0.9pt}{1}}} \put(135,115){\textcircled{\raisebox{-0.9pt}{2}}} \put(247,105){\textcircled{\raisebox{-0.9pt}{3}}} \put(145,15){\textcircled{\raisebox{-0.9pt}{0}}} \put(75,53){$\circlearrowright 1$} \put(165,65){$\circlearrowright 2$} \put(148,125){$\circlearrowright 3$} \end{picture} \end{center} \bigskip \textbf{Knotengleichungen:} abfließende Ströme positiv $ \left.\begin{array}{l@{\quad}l@{\,}c@{\,}l@{\,}c@{\,}l@{\,}c} \textnormal{\textcircled{\raisebox{-0.9pt}{1}}} & I_{Z1} & + & I_{Z4} & + & I_{Z6} & = 0\\ \textnormal{\textcircled{\raisebox{-0.9pt}{2}}} & I_{Z2} & - & I_{Z4} & + & I_{Z5} & = 0\\ \textnormal{\textcircled{\raisebox{-0.9pt}{3}}} & I_{Z3} & - & I_{Z5} & - & I_{Z6} & = 0 \end{array}\right\} k-1 = 3 \textnormal{ Gleichungen} $ \bigskip \textbf{Maschengleichungen:} $ \left.\begin{array}{l@{\quad}r@{\,}c@{\,}l@{\,}c@{\,}l@{\,}c} \circlearrowright 1 & -U_{Z1} & + & U_{Z2} & + & U_{Z4} & = 0\\ \circlearrowright 2 & -U_{Z2} & + & U_{Z3} & + & U_{Z5} & = 0\\ \circlearrowright 3 & -U_{Z4} & - & U_{Z5} & + & U_{Z6} & = 0 \end{array}\right\} m = z-(k-1) = 3 \textnormal{ Gleichungen} $ \bigskip $\Rightarrow$ \textbf{Vollständiges Kirchhoffsches Gleichungssystem} \begin{displaymath} \left[\begin{array}{r@{\,}r@{\,}r@{\,}r@{\,}r@{\,}r@{\,}r@{\,}r@{\,}r@{\,}r@{\,}r@{\,}r} -R_1& & & & & & 1&&&&&\\ &-R_2& & & & & & 1\\ & &-R_3& & & & & & 1\\ & & &-R_4& & & & & & 1\\ & & & &-R_5& & & & & & 1\\ & & & & &-R_6& & & & & & 1\\ 1 & & & 1 & &1\\ & 1 & & -1& 1 \\ & & 1 & &-1&-1\\ & & & & & &-1&1&&1\\ & & & & & &&-1&1&&1\\ & & & & & &&&&-1&-1&1\\ \end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{r} I_{Z1}\\ I_{Z2}\\ I_{Z3}\\ I_{Z4}\\ I_{Z5}\\ I_{Z6}\\ U_{Z1}\\ U_{Z2}\\ U_{Z3}\\ U_{Z4}\\ U_{Z5}\\ U_{Z6} \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} U_q\\ 0\\ I_q\cdot R_3\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0 \end{array}\right] \end{displaymath} \subsubsection{Wertung} Das Verfahren ist immer anwendbar, enthält jedoch sehr viel Gleichungen $\Rightarrow$ Vereinfachungen möglich \section{Knotenspannungsanalyse (Node analysis)} \subsection{Knotenspannungen (Knotenpotentiale)} \begin{minipage}[c]{80pt} \center \begin{picture}(60,80) \put(0,50){\line(1,1){10}} \put(0,70){\line(1,-1){10}} \multiput(10,60)(40,0){2}{\circle*{4}} \multiput(10,60)(30,0){2}{\line(1,0){10}} \multiput(20,55)(0,10){2}{\line(1,0){20}} \multiput(20,55)(20,0){2}{\line(0,1){10}} \put(50,60){\line(1,1){10}} \put(50,60){\line(1,-1){10}} \qbezier(15,65)(30,75)(45,65) \put(45,65){\vector(3,-2){0}} \put(21,75){$U_{z_{mn}}$} \multiput(20,55)(4,0){3}{\line(1,1){10}} \put(7,65){$\scriptstyle m$} \put(47,65){$\scriptstyle n$} \put(10,55){\vector(1,-3){15}} \put(50,55){\vector(-1,-3){15}} \put(30,3){\circle*{4}} \put(35,0){0} \put(0,28){$U_m$} \put(47,28){$U_n$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{9.4cm} \begin{description} \item[Knotenspannung:] Spannung zwischen einem Knoten und einem Bezugspunkt. Bezugspunkt 0 kann willkürlich festgelegt werden. Zweckmäßig ist die Wahl eines Knotens mit möglichst vielen Anschlüssen. \end{description} \end{minipage} \smallskip $$-U_m + U_{z_{mn}} + U_n = 0$$ $$ U_{z_{mn}} = U_m - U_n$$ Alle Zweigspannungen lassen sich durch die Knotenspannungen ausdrücken. \begin{minipage}[c]{160pt} \center \begin{picture}(150,120) \put(10,60){\textcircled{\raisebox{-0.9pt}{1}}} \put(75,60){\textcircled{\raisebox{-0.9pt}{2}}} \put(140,60){\textcircled{\raisebox{-0.9pt}{3}}} \put(75,5){\textcircled{\raisebox{-0.9pt}{0}}} \put(25,63){\vector(1,0){47}} \put(90,63){\vector(1,0){47}} \put(81,55){\vector(0,-1){40}} \put(25,55){\vector(1,-1){47}} \put(137,55){\vector(-1,-1){47}} \qbezier(25,70)(81,110)(137,70) \put(35,66){$U_{Z12}$} \put(100,66){$U_{Z23}$} \put(70,96){$U_{Z13}$} \put(65,35){$U_{2}$} \put(84,35){$U_{Z20}$} \put(10,38){$U_{Z10}$} \put(26,25){$=$} \put(37,12){$U_1$} \put(130,38){$U_{Z30}$} \put(118,25){$=$} \put(109,12){$U_3$} \put(137,70){\vector(3,-2){0}} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{8cm} \quad $\underbrace{\left[\begin{array}{l} U_{Z10}\\ U_{Z20}\\ U_{Z30}\\ U_{Z12}\\ U_{Z23}\\ U_{Z13} \end{array}\right]}_{z=6} = \left[\begin{array}{r@{\:}r@{\:}r} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 1 & -1 & 0\\ 0 & 1 & -1\\ 1 & 0 & -1 \end{array}\right] \cdot \underbrace{\left[\begin{array}{l} U_1\\U_2\\U_3 \end{array}\right]}_{k-1=3}$ \end{minipage} \bigskip $\circlearrowright: U_{Z12} + U_2 - U_1 = 0 \Rightarrow U_{Z12} = U_1 - U_2$ $\circlearrowright: U_{Z23} + U_3 - U_2 = 0 \Rightarrow U_{Z23} = U_2 - U_3$ \bigskip Sind in einem Netzwerk die Knotenspannungen bekannt, so können die Zweigspannungen daraus berechnet werden. $\Rightarrow$ Es brauchen nur die $k-1$ Knotenspannungen bestimmt zu werden (3 Unbekannte anstelle von 12!). \subsection{Verfahren} \begin{description} \item[Voraussetzung:] Die $U$--$I$--Relationen der Zweige müssen sich nach den Zweigströmen auflösen lassen ($\longrightarrow$ keine Spannungsquellen!) \item[Folgerung:] Das Netzwerk darf nur unabhängige oder Spannungsgesteuerte Stromquellen enthalten (Spannungsquellen und stromgesteuerte Quellen vorher umrechnen). \item[Algorithmus] \end{description} \begin{enumerate} \item Wahl eines Bezugsknotens und Einführung der Knotenspannungen. \item Aufstellen von $k-1$ (Knoten--)Gleichungen unter Verwendung der $U$--$I$--Relationen der Zweige (zweckmäßig Leitwerte verwenden) \item Lösung der Gleichungen $\Rightarrow$ Knotenspannungen \item Berechnung der gesuchten Größen aus den Knotenspannungen \end{enumerate} \begin{flushleft} \textbf{Knotengleichungen:} abfließende Ströme positiv \smallskip $\begin{array}{l@{\,}l@{\,}c@{\,}l@{\,}c@{\,}l@{\,}l@{\,}c@{\,}r@{\,}c@{\,}r@{\,}c@{\,}r@{\,}c@{\,}c@{\,}c} \textnormal{\textcircled{\raisebox{-0.9pt}{1}}} & I_{10} &+& I_{12} &+& I_{13} &= 0& \longrightarrow &-U_1 G_1 + G_1 U_1 + G_4(U_1-U_2) + G_6(U_1-U_3) = 0\\ \textnormal{\textcircled{\raisebox{-0.9pt}{2}}} & I_{20} &+& I_{21} &+& I_{23} &= 0& \longrightarrow &G_2 U_2 + G_4 (U_2 - U_1) + G_5 (U_2-U_3) = 0\\ \textnormal{\textcircled{\raisebox{-0.9pt}{3}}} & I_{30} &+& I_{31} &+& I_{32} &= 0& \longrightarrow &-I_q + G_3U_3 + G_6(U_3-U_1) + G_5(U_3-U_2) = 0 \end{array}$ \subsubsection{In Matrixform:} $\left[\begin{array}{ccc} G_1 + G_4 + G_6 & -G_4 & -G_6\\ -G_4 & G_2 + G_4 + G_5 & -G_5\\ -G_6 & -G_5 & G_3+G_6+G_5 \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} U_1\\U_2\\U_3 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} U_qG_1\\0\\I_q \end{array}\right] $ \bigskip \textbf{Allgemeine Form:} $$\Big(G\Big) \cdot \Big(U\Big) = \Big(I\Big)$$ \bigskip \begin{tabular}{lcl} G &:& Knotenadmittanzmatrix\\ U &:& Vektor der Knotenspannungen\\ I &:& Vektor der Einströmungen \end{tabular} \end{flushleft} \subsubsection{Elemente der Knotenadmittanzmatrix:} $$\Big(G\Big) = \Big(G_{ij};\; i,\,j = 1\ldots k-1\Big)$$ \begin{description} \item[Hauptdiagonale:] $G_{ii} = \displaystyle\sum$ Leitwerte am Knoten $i$ \item[andere Elemente:] $G_{ij} (i \ne j) = -$ Leitwert vom Knoten $i$ zum Knoten $j$ \end{description} $\Rightarrow$ Die Knotenadmittanzmatrix ist symmetrisch, wenn das Netzwerk keine gesteuerten Quellen enthält. \subsubsection{Vektor der Einströmungen:} $$\Big(I\Big) = \Big(I_i,\; i = 1\ldots k-1\Big)$$ $I_i$ = am Knoten $i$ durch unabhängige Quellen eingespeister Strom \subsection{Knotenspannungsanalyse mit gesteuerten Quellen} (Netzwerk wie 7.2.4, zusätzlich parallel zu $G_5$ eine gesteuerte Stromquelle mit $I_{q2} = g_m \cdot U_2$) \begin{flushleft} $$\left[\begin{array}{ccc} G_1 + G_4 + G_6 & -G_4 & -G_6\\ -G_4 & G_2 + G_4 + G_5 -g_m & -G_5\\ -G_6 & -G_5 + g_m & G_3+G_6+G_5 \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} U_1\\U_2\\U_3 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} U_qG_1\\0\\I_q \end{array}\right] $$ \bigskip $\begin{array}{ll} \textnormal{\textcircled{\raisebox{-0.9pt}{1}}} &{\textnormal{ unverändert}}\\ \textnormal{\textcircled{\raisebox{-0.9pt}{2}}} &G_2 U_2 + G_4 (U_2 - U_1) + G_5 (U_2-U_3) - g_m U_2= 0\\ \textnormal{\textcircled{\raisebox{-0.9pt}{3}}} &G_3U_3 + G_6(U_3-U_1) + G_5(U_3-U_2) +g_mU_2-I_q= 0 \end{array}$ \end{flushleft} \subsection{Knotenspannungsanalyse mit Spannungsquellen} Beispielschaltung mit Spannungsquellen: \smallskip \begin{picture}(200,115) \put(30,5){\line(1,0){200}} \multiput(70,5)(60,0){3}{\line(0,1){30}} \multiput(70,5)(60,0){3}{\circle*{2}} \multiput(70,85)(60,0){3}{\circle*{2}} \multiput(70,55)(60,0){3}{\line(0,1){30}} \multiput(65,35)(60,0){3}{\line(1,0){10}} \multiput(65,35)(60,0){3}{\line(0,1){20}} \multiput(65,55)(60,0){3}{\line(1,0){10}} \multiput(75,35)(60,0){3}{\line(0,1){20}} \put(30,5){\line(0,1){47}} \put(30,72){\line(0,1){13}} \put(30,28){\circle{20}} \multiput(25,52)(0,20){2}{\line(1,0){10}} \multiput(25,52)(10,0){2}{\line(0,1){20}} \put(30,85){\line(1,0){120}} \put(100,85){\circle{20}} \multiput(150,80)(0,10){2}{\line(1,0){20}} \multiput(150,80)(20,0){2}{\line(0,1){10}} \put(170,85){\line(1,0){60}} \put(230,5){\line(0,1){80}} \put(230,45){\circle{20}} \put(38,58){$G_1$} \put(78,41){$G_2$} \put(138,41){$G_3$} \put(198,41){$G_5$} \put(0,25){$U_{q1}\!\Big\downarrow$} \put(240,42){$\Big\downarrow U_{q3}$} \put(110,97){\vector(-1,0){20}} \put(95,103){$U_{q2}$} \put(155,94){$G_4$} \end{picture} \smallskip Umwandlung von $U_{q1}$: $I_{q1} = G_1 \cdot U_{q1}$ \dots \smallskip \begin{picture}(200,120) \multiput(70,5)(60,0){3}{\circle*{2}} \put(30,5){\line(1,0){200}} \multiput(70,5)(60,0){3}{\line(0,1){30}} \multiput(70,55)(60,0){3}{\line(0,1){30}} \multiput(65,35)(60,0){3}{\line(1,0){10}} \multiput(65,35)(60,0){3}{\line(0,1){20}} \multiput(65,55)(60,0){3}{\line(1,0){10}} \multiput(75,35)(60,0){3}{\line(0,1){20}} \multiput(30,5)(0,50){2}{\line(0,1){30}} \put(30,45){\circle{20}} \put(20,45){\line(1,0){20}} \put(30,85){\line(1,0){120}} \put(100,85){\circle{20}} \multiput(150,80)(0,10){2}{\line(1,0){20}} \multiput(150,80)(20,0){2}{\line(0,1){10}} \put(170,85){\line(1,0){60}} \put(230,5){\line(0,1){80}} \put(230,45){\circle{20}} \put(76,42){$\scriptstyle G_2+G_1$} \put(138,41){$G_3$} \put(198,41){$G_5$} \put(0,42){$I_{q1} \Big\downarrow$} \put(240,42){$\Big\downarrow U_{q3}$} \put(110,97){\vector(-1,0){20}} \put(95,103){$U_{q2}$} \put(155,94){$G_4$} \multiput(70,85)(120,0){2}{\circle*{4}} \multiput(130,5)(0,80){2}{\circle*{4}} \put(64,93){\textcircled{\raisebox{-0.9pt}{1}}} \put(132,11){\textcircled{\raisebox{-0.9pt}{0}}} \put(124,93){\textcircled{\raisebox{-0.9pt}{2}}} \put(184,93){\textcircled{\raisebox{-0.9pt}{3}}} \qbezier(65,80)(55,45)(65,10) \put(47,41){$U_1$} \put(65,10){\vector(1,-3){0}} \qbezier(125,80)(115,45)(125,10) \put(107,41){$U_2$} \put(125,10){\vector(1,-3){0}} \qbezier(185,80)(175,45)(185,10) \put(167,41){$U_3$} \put(185,10){\vector(1,-3){0}} \put(100,90){\oval(90,50)} \put(86,20){$\circlearrowright M$} \end{picture} Gesucht: Knotenspannungen $U_1$, $U_2$, $U_3$ \bigskip $U_3 = U_{q3}$ \bigskip $\circlearrowright M : U_{q2} + U_1 - U_2 = 0 \quad \longrightarrow \quad U_2 = U_1 + U_{q2}$ \bigskip Schnittmengengleichung am "`Superknoten"' (Oval): $$U_{q1}\cdot G_1 - U_1(G_1+G_2) - G_3\cdot U_2 - G_4(U_2 - U_3) = 0$$ $U_2 = U_1 + U_{q2} \textnormal{ und } U_3 = U_{q3}$ einsetzen: $$U_{q1}\cdot G_1 - U_1(G_1+G_2+G_3+G_4) - U_{q2}(G_3+G_4) + U_{q3}\cdot G_4 = 0$$ \smallskip $$U_1 = \frac{U_{q1}\cdot G_1 - U_{q2}(G_3+G_4) + U_{q3}\cdot G_4}{G_1 + G_2 + G_3 + G_4}$$ \section{Maschenstromanalyse (mesh/loop analysis)} \subsection{Maschenströme} \begin{minipage}[c]{100pt} \flushleft \begin{picture}(80,90) \put(0,65){\line(1,0){80}} \multiput(0,65)(40,0){2}{\vector(1,0){22}} \put(40,25){\line(0,1){40}} \put(40,65){\vector(0,-1){22}} \put(13,71){$I_{Z_m}$} \put(53,71){$I_{Z_n}$} \put(48,43){$I_{Z_l}$} \qbezier(5,60)(35,60)(35,30) \qbezier(75,60)(42,62)(45,30) \put(35,30){\vector(0,-1){0}} \put(75,60){\vector(1,0){0}} \put(20,30){$I_m$} \put(67,50){$I_n$} \put(40,65){\circle*{3}} \put(36,72){K} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{9cm} Am Knoten K ergibt sich ein Zweigstrom (z.B. $I_{Z_l}$) aus den beiden anderen. $$I_{Z_m} - I_{Z_n} - I_{Z_l} = 0 \quad \Rightarrow\quad I_{Z_l} = I_{Z_m} - I_{Z_n}$$ Er kann aufgefasst werden als Überlagerung eines Maschenstromes $I_m = I_{Z_m}$ und $I_n = I_{Z_n}$. \end{minipage} Werden in allen $m$ unabhängigen Maschen Maschenströme eingeführt, so laßen sich alle Zweigströme dadurch ausdrücken. \subsubsection{Beispiel} \begin{minipage}[c]{160pt} \center \begin{picture}(160,110) \put(10,60){\textcircled{\raisebox{-0.9pt}{1}}} \put(75,60){\textcircled{\raisebox{-0.9pt}{2}}} \put(140,60){\textcircled{\raisebox{-0.9pt}{3}}} \put(75,5){\textcircled{\raisebox{-0.9pt}{0}}} \put(25,63){\line(1,0){47}} \put(90,63){\line(1,0){47}} \put(81,55){\line(0,-1){40}} \put(25,55){\line(1,-1){47}} \put(137,55){\line(-1,-1){47}} \put(25,63){\vector(1,0){27}} \put(90,63){\vector(1,0){27}} \put(81,55){\vector(0,-1){23}} \put(25,55){\vector(1,-1){27}} \put(137,55){\vector(-1,-1){27}} \put(83,90){\vector(1,0){0}} \qbezier(25,70)(81,110)(137,70) \put(39,68){$I_{Z4}$} \put(104,68){$I_{Z5}$} \put(72,96){$I_{Z6}$} \put(84,35){$I_{Z2}$} \put(28,25){$I_{Z1}$} \put(118,25){$I_{Z3}$} \put(81,79){\circle{15}} \put(76.5,76){$I_3$} \put(79,71.5){\vector(-1,0){0}} \put(56,48){\circle{15}} \put(51.8,45){$I_1$} \put(54,40.5){\vector(-1,0){0}} \put(106,48){\circle{15}} \put(101.5,45){$I_2$} \put(104,40.5){\vector(-1,0){0}} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{7.5cm} \center \quad $\underbrace{\left[\begin{array}{l} I_{Z1}\\ I_{Z2}\\ I_{Z3}\\ I_{Z4}\\ I_{Z5}\\ I_{Z6} \end{array}\right]}_{z=6} = \left[\begin{array}{r@{\:}r@{\:}r} -1 & 0 & 0\\ 1 & -1 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & -1\\ 0 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \cdot \underbrace{\left[\begin{array}{l} I_1\\I_2\\I_3 \end{array}\right]}_{z-(k-1)=3}$ \end{minipage} \subsection{Verfahren} \begin{description} \item[Voraussezung:] Die $U$--$I$--Relationen der Zweige müssen sich nach den Spannungen auflösen lassen. \item[Folgerung:] Das Netzwerk darf nur unabhängige oder stromgesteuerte Spannungsquellen enthalten (Stromquellen und spannungsgesteuerte Stromquellen vorher umrechnen). \item[Algorithmus:] \begin{enumerate} \item Wahl von $m$ unabhängigen Maschen und Einführung der Maschenströme. \item Aufstellen von $m$ Maschengleichungen unter Verwendung der $U$--$I$--Relationen der Zweige (zweckmäßig Widerstände verwenden). \item Lösung der Gleichungen $\Rightarrow$ Maschenströme \item Berechnung der gesuchten Größen aus den Maschenströmen. \end{enumerate} \end{description} \subsubsection{Netzwerk} Beispielnetzwerk aus 7.2.5., Stromquelle $I_q$ in Spannungsquelle umgewandelt \begin{center} \begin{picture}(280,170) \put(40,5){\line(1,0){200}} \put(40,5){\line(0,1){60}} \put(40,35){\circle{20}} \multiput(35,65)(0,20){2}{\line(1,0){10}} \multiput(35,65)(10,0){2}{\line(0,1){20}} \multiput(40,85)(200,0){2}{\line(0,1){60}} \put(40,105){\line(1,0){40}} \multiput(80,100)(0,10){2}{\line(1,0){20}} \multiput(80,100)(20,0){2}{\line(0,1){10}} \put(100,105){\line(1,0){80}} \multiput(180,100)(0,10){2}{\line(1,0){20}} \multiput(180,100)(20,0){2}{\line(0,1){10}} \put(200,105){\line(1,0){40}} \multiput(140,5)(0,60){2}{\line(0,1){40}} \multiput(135,45)(10,0){2}{\line(0,1){20}} \multiput(135,45)(0,20){2}{\line(1,0){10}} \multiput(40,145)(110,0){2}{\line(1,0){90}} \multiput(130,140)(0,10){2}{\line(1,0){20}} \multiput(130,140)(20,0){2}{\line(0,1){10}} \multiput(40,105)(100,0){3}{\circle*{2}} \put(140,5){\circle*{2}} \multiput(235,65)(0,20){2}{\line(1,0){10}} \multiput(235,65)(10,0){2}{\line(0,1){20}} \put(240,5){\line(0,1){60}} \put(240,35){\circle{20}} \put(252,32){$\Big\downarrow I_q\cdot R_3$} \put(140,123){\circle{20}} \put(138,113){\vector(-1,0){0}} \put(136,120){$I_3$} \put(90,53){\circle{20}} \put(88,43){\vector(-1,0){0}} \put(86,50){$I_1$} \put(190,53){\circle{20}} \put(188,43){\vector(-1,0){0}} \put(186,50){$I_2$} \put(40,105){\vector(1,0){20}} \put(51,111){$I_{Z4}$} \put(140,105){\vector(1,0){20}} \put(151,111){$I_{Z5}$} \put(80,145){\vector(1,0){20}} \put(91,151){$I_{Z6}$} \put(140,100){\vector(0,-1){20}} \put(144,80){$I_{Z2}$} \put(70,5){\vector(1,0){20}} \put(81,11){$I_{Z1}$} \put(240,5){\vector(-1,0){50}} \put(183,11){$I_{Z3}$} \put(47,72){$R_1$} \put(147,52){$R_2$} \put(248,72){$R_3$} \put(84,115){$R_4$} \put(184,115){$R_5$} \put(52,32){$\Big\downarrow U_q$} \put(134,154){$R_6$} \end{picture} \end{center} $\circlearrowright 1: -U_q + R_1\cdot I_1 + R_4\cdot (I_1-I_3) + R_2\cdot (I_1 - I_2) = 0$ $\circlearrowright 2: R_2\cdot (I_2 - I_1) + R_5 \cdot (I_2 - I_3) + R_3 \cdot I_2 + I_q \cdot R_3 = 0$ $\circlearrowright 3: R_6 \cdot I_3 + R_5\cdot (I_3 - I_2) + R_4\cdot (I_3 - I_1) = 0$ \subsubsection{In Matrixform} $$\left[\begin{array}{c@{}c@{}c} (R_1+R_2+R_4) & -R_2 & -R_4\\ -R_2 & (R_2 + R_3 + R_5) & -R_5\\ -R_4 & -R_5 & (R_4 + R_5 + R_6) \end{array}\right] \left[\begin{array}{l} I_1\\I_2\\I_3 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{l} U_q\\-I_q R_3\\0 \end{array}\right]$$ \subsubsection{Allgemeine Form} $$\Big(R\Big) \cdot \Big(I\Big) = \Big(U_q\Big)$$ \begin{tabular}{lcl} $R$ & : & Maschenimpedanzmatrix\\ $I$ & : & Vektor der Maschenströme\\ $U_q$ & : & Vektor der negativen Quellenspannungen \end{tabular} \subsubsection{Bildung der Maschenimpedanzmatrix} $\Big(R\Big) = (R_{ij},\; i,\,j = 1\dots m)$ \begin{description} \item[Hauptdiagonale:] $R_{ii} = \displaystyle\sum$ Widerstände in Masche $i$ \item[andere Elemente:] $R_{ij}$ = gemeinsamer Koppelwiderstand von Masche $i$ und Masche $j$. Positiv, wenn $I_i$ und $I_j$ in gleicher Richtung durch den Koppelwiderstand fließen, negativ, wenn $I_i$ und $I_j$ in Gegenrichtung fließen. \end{description} \subsubsection{Bildung des Vektors der negativen Quellenspannungen} $\Big(U_q\Big) = (U_{qi},\; i = 1\dots m)$\newline $U_{qi} = - \displaystyle\sum$ Spannungen der unabhängigen Spannungsquellen in Masche $i$. \bigskip Die Impedanzmatrix ist symmetrisch, wenn das Netzwerk keine gesteuerten Quellen enthält. \subsection{Anwendungen und Beispiele} \subsubsection{1. Widerstandsberechnung} \begin{minipage}[c]{160pt} \flushleft \begin{picture}(135,120) \put(100,10){\circle{2}} \put(100,11){\line(0,1){14}} \put(100,25){\line(1,1){10}} \put(100,25){\line(-1,1){10}} \put(93,38){\line(-1,1){14}} \put(87,32){\line(-1,1){14}} \qbezier(93,38)(93,38)(87,32) \qbezier(79,52)(79,52)(73,46) \put(107,38){\line(1,1){14}} \put(113,32){\line(1,1){14}} \qbezier(107,38)(107,38)(113,32) \qbezier(121,52)(121,52)(127,46) \put(124,49){\line(1,1){10}} \put(76,49){\line(-1,1){10}} \multiput(66,59)(44,0){2}{\line(1,0){24}} \multiput(90,54)(0,10){2}{\line(1,0){20}} \multiput(90,54)(20,0){2}{\line(0,1){10}} \put(66,59){\line(1,1){10}} \put(134,59){\line(-1,1){10}} \put(126,72){\line(-1,1){14}} \put(121,66){\line(-1,1){14}} \qbezier(126,72)(126,72)(121,66) \qbezier(112,86)(112,86)(106,80) \put(73,72){\line(1,1){14}} \put(79,66){\line(1,1){14}} \qbezier(73,72)(73,72)(79,66) \qbezier(87,86)(87,86)(93,80) \put(90,83){\line(1,1){10}} \put(110,83){\line(-1,1){10}} \multiput(100,25)(0,68){2}{\circle*{2}} \multiput(66,59)(68,0){2}{\circle*{2}} \put(100,93){\line(0,1){11}} \put(100,105){\circle{2}} \put(97,0){\textsf{B}} \put(96.5,108){\textsf{A}} \multiput(30,10)(0,95){2}{\line(1,0){69}} \put(30,10){\line(0,1){95}} \put(30,59){\circle{20}} \put(3,56){$U\Big\downarrow$} \put(54,59){\circle{15}} \put(52,51.5){\vector(-1,0){0}} \put(50,56){$I_1$} \put(100,74){\circle{15}} \put(98,66.5){\vector(-1,0){0}} \put(96,71){$I_2$} \put(100,44){\circle{15}} \put(98,36.5){\vector(-1,0){0}} \put(96,41){$I_3$} \put(122,32){$R_3$} \put(122,79){$R_4$} \put(64,32){$R_2$} \put(64,79){$R_1$} \put(94,56){$R_5$} \put(30,105){\vector(1,0){25}} \put(40,108){$I_1$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{6cm} \textbf{gesucht:} $R_{\textsf{\tiny AB}}$ \begin{enumerate} \item Anschließen einer Spannungsquelle \item Berechnung von $I_1$ \item $\displaystyle R_{\textsf{\tiny AB}} = \frac{U}{I_1}$ \end{enumerate} \end{minipage} $$\left[\begin{array}{ccc} R_1+R_2 & -R_1 & -R_2\\ -R_1 & R_1 + R_4 + R_5 & -R_5\\ -R_2 & -R_5 & R_2 + R_3 + R_5 \end{array}\right] \left[\begin{array}{l} I_1\\I_2\\I_3 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{r} - U\\0\\0 \end{array}\right]$$ Lösung der Gleichung in der Regel numerisch. \subsubsection{2. Maschenstromanalyse mit stromgesteuerter Spannungsquelle} \begin{minipage}[c]{210pt} \flushleft \begin{picture}(210,100) \multiput(90,10)(0,60){2}{\circle*{2}} \put(30,10){\line(0,1){60}} \put(30,10){\line(1,0){119}} \multiput(150,10)(0,60){2}{\circle{2}} \multiput(90,10)(0,40){2}{\line(0,1){20}} \multiput(85,30)(10,0){2}{\line(0,1){20}} \multiput(85,30)(0,20){2}{\line(1,0){10}} \multiput(30,40)(140,0){2}{\circle{20}} \put(0,37){$U_q\Big\downarrow$} \put(30,70){\line(1,0){20}} \multiput(50,65)(0,10){2}{\line(1,0){20}} \multiput(50,65)(20,0){2}{\line(0,1){10}} \put(70,70){\line(1,0){79}} \multiput(110,70)(10,-10){2}{\line(1,1){10}} \multiput(110,70)(10,10){2}{\line(1,-1){10}} \multiput(30,70)(100,0){2}{\vector(1,0){12}} \put(35,74){$I_1$} \put(135,74){$I_2$} \put(54,78){$R_1$} \put(98,37){$R_2$} \put(110,83){\vector(1,0){20}} \put(106,87){$r_m \cdot I_1$} \multiput(151,10)(0,60){2}{\line(1,0){19}} \put(170,10){\line(0,1){60}} \put(181,37){$\Big\downarrow U$} \put(147,0){\textsf{B}} \put(146.5,73){\textsf{A}} \put(62,40){\circle{30}} \put(60,24){\vector(-1,0){0}} \put(58,37){$I_1$} \put(135,40){\circle{30}} \put(133,24){\vector(-1,0){0}} \put(131,37){$I_2$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{4.5cm} \textbf{gesucht:} Klemmenverhalten des Zweipols \textsf{A}--\textsf{B}. $I$ im Abhängigkeit von $U$. \end{minipage} \bigskip $\circlearrowright 1 : - U_q + R_1 \cdot I_1 + R_2 \cdot (I_1 - I_2) = 0$ $\circlearrowright 2 : R_2\cdot (I_2 - I_1) + r_m\cdot I_1 + U = 0$ $$ \left[\begin{array}{cc} R_1 + R_2 & - R_2\\ -R_2 + r_m & R_2 \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} I_1\\I_2 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{r} U_q\\-U \end{array}\right] $$ Gesucht: $I_2 \Rightarrow$ nach $I_2$ umstellen\dots $$I_2 = \frac{\left|\begin{array}{cc}R_1+R_2 & U_q\\r_m-R_2 & -U\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc}R_1+R_2 & -R_2\\r_m-R_2 & R_2\end{array}\right|} = \frac{-U\cdot(R_1 + R_2) - U_q\cdot (r_m - R_2)}{R_2\cdot (R_1 + R_2) + R_2\cdot(r_m - R_2)}$$ $$I_2 = \underbrace{\frac{R_2 - r_m}{R_1\cdot R_2 + R_2\cdot r_m}\cdot U_q}_{I_K} - \underbrace{\frac{R_1+R_2}{R_1\cdot R_2 + R_2\cdot r_m}\cdot U}_{G_i = \frac{1}{R_i}}$$ \begin{minipage}[c]{140pt} \begin{picture}(135,80) \put(0,27){$I_K\Big\uparrow$} \put(30,2){\line(0,1){18}} \put(30,60){\line(0,-1){20}} \put(30,30){\circle{20}} \put(20,30){\line(1,0){20}} \multiput(30,2)(0,58){2}{\line(1,0){65}} \put(96,2){\circle{2}} \put(96,60){\circle{2}} \multiput(70,2)(0,58){2}{\circle*{2}} \put(70,2){\line(0,1){18}} \put(70,40){\line(0,1){20}} \multiput(65,20)(10,0){2}{\line(0,1){20}} \multiput(65,20)(0,20){2}{\line(1,0){10}} \put(30,60){\vector(1,0){30}} \put(45,67){$I_K$} \put(50,27){$G_i$} \put(70,60){\vector(0,-1){15}} \put(75,47){$\scriptstyle G_i\cdot U$} \put(96,55){\vector(0,-1){50}} \put(98,27){$U$} \put(102,60){\vector(1,0){20}} \put(108,48){$I_2$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{6cm} Die Schaltung entspricht der Stromquellenersatzschaltung! \end{minipage} \subsubsection{3. Spannungsstabilisierung mit Z--Diode} \begin{minipage}[c]{165pt} \flushleft \begin{picture}(160,90) \put(30,10){\line(1,0){99}} \put(30,10){\line(0,1){60}} \put(30,40){\circle{20}} \put(30,70){\line(1,0){20}} \multiput(50,65)(0,10){2}{\line(1,0){20}} \multiput(50,65)(20,0){2}{\line(0,1){10}} \put(70,70){\line(1,0){59}} \multiput(90,10)(0,60){2}{\circle*{2}} \multiput(90,10)(0,37){2}{\line(0,1){23}} \put(83,33){\line(1,0){14}} \put(83,47){\line(1,0){14}} \qbezier(83,33)(83,33)(90,47) \qbezier(97,33)(97,33)(90,47) \put(97,43){\line(0,1){4}} \put(1,37){$U_1\Big\downarrow$} \put(56,78){$R$} \put(126.5,74){\textsf{A}} \put(127,0){\textsf{B}} \multiput(130,10)(0,60){2}{\circle{2}} \put(90,70){\vector(0,-1){15}} \put(93,56){$I_Z$} \put(130,65){\vector(0,-1){50}} \put(133,37){$U$} \put(135,70){\vector(1,0){20}} \put(142,74){$I$} \end{picture} \end{minipage} \hfill \begin{minipage}[c]{150pt} \begin{picture}(150,90) \put(0,30){\vector(1,0){120}} \put(30,0){\vector(0,1){90}} \put(110,19){$U$} \put(33,80){$I$} \qbezier(15,0)(18,29)(20,29) \qbezier(20,29)(23,30)(30,30) \qbezier(78,30)(79,30)(80,31) \qbezier(80,31)(81,60)(82,90) \put(80,28){\line(0,1){2}} \put(73,19){$U_Z$} \end{picture} \end{minipage} \vspace{0.8cm} \begin{minipage}[c]{155pt} \flushleft $I_Z = \left\{\begin{array}{cl}0 & U \leq U_Z\\\frac{U-U_Z}{r_Z} & U > U_Z\end{array}\right.$ \vspace{2cm} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{150pt} \flushright \begin{description} \item[Ersatzschaltung:] für $U \geq U_Z$ \begin{picture}(100,70) \multiput(1,40)(98,0){2}{\circle{2}} \put(2,40){\line(1,0){58}} \multiput(60,35)(20,0){2}{\line(0,1){10}} \multiput(60,35)(0,10){2}{\line(1,0){20}} \put(80,40){\line(1,0){18}} \put(30,40){\circle{20}} \put(40,55){\vector(-1,0){20}} \put(80,50){\vector(-1,0){20}} \put(25,60){$U_Z$} \put(65,55){$I_Z$} \put(65,28){$r_Z$} \put(47,8){$U$} \qbezier(1,35)(50,5)(99,35) \put(1,35){\vector(-2,1){0}} \end{picture} \end{description} \end{minipage} \begin{description} \item[gesucht:] $U$ in Abhängigkeit von $I$ \end{description} [\dots] wurde in der Vorlesung nicht mehr behandelt, aber in Übung \dots Lösung folgt in den nächsten Tagen! \newpage \vfill Platzhalter \vfill \chapter{Elektrothermische Analogien} \begin{description} \item[Analogie:] Unterschiedliche physikalische Größen haben die gleiche Grundeigenschaft. \item[elektrohydraulische Analogie:] \quad elektrischer Strom --- hydraulischer Fluß elektrische Spannung --- Druckdifferenz \end{description} \section{Thermischer Leistungsfluß und Temperaturdifferenz} \subsection{Thermischer Leistungsfluß (Wärmestrom)} \begin{minipage}[c]{130pt} \begin{picture}(120,100) \multiput(35,35)(18,0){2}{\line(1,0){12}} \put(35,65){\line(1,0){30}} \multiput(35,35)(30,0){2}{\line(0,1){30}} \multiput(40,25)(20,0){2}{\line(0,1){10}} \multiput(40,24)(20,0){2}{\circle{2}} \multiput(47,25)(6,0){2}{\line(0,1){20}} \multiput(45,45)(8,0){2}{\line(1,0){2}} \qbezier(45,45)(45,45)(50,50) \qbezier(55,45)(55,45)(50,50) \put(47,25){\line(1,0){6}} \put(40,20){\vector(1,0){20}} \put(30,20){\vector(0,1){15}} \put(46,10){$U$} \put(20,22){$I$} \put(50,70){\vector(0,1){20}} \put(70,70){\vector(1,1){14}} \put(30,70){\vector(-1,1){14}} \put(70,55){\vector(1,0){20}} \put(30,55){\vector(-1,0){20}} \put(80,64){$P_{th}$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{7.7cm} Von einer Wärmequelle geht ein Wärmestrom aus. Der gesamte Wärmestrom ist gleich der insgesamt zugeführten Leistung (im stationären Fall). $$P_{th} = P_{el} = U\cdot I \hspace{1cm} [P_{th}] = W$$ \end{minipage} \begin{flushleft} \textbf{Grundeigenschaft:} Kontinuität \begin{minipage}[c]{7.7cm} Im stationären Fall (d.h. keine Temperaturänderung mit der Zeit) ist der gesamte Wärmestrom durch eine geschlossene Hülle Null. \[P_{th1} + P_{th2} = 0\] \end{minipage} \begin{minipage}[c]{130pt} \flushright \begin{picture}(115,80) \multiput(20,37)(0,6){2}{\line(1,0){20}} \multiput(40,35)(0,8){2}{\line(0,1){2}} \qbezier(40,35)(40,35)(45,40) \qbezier(40,45)(40,45)(45,40) \put(50,40){\circle{40}} \multiput(60,37)(0,6){2}{\line(1,0){20}} \multiput(60,35)(0,8){2}{\line(0,1){2}} \qbezier(60,35)(60,35)(55,40) \qbezier(60,45)(60,45)(55,40) \put(0,36){$P_{th1}$} \put(82,36){$P_{th2}$} \multiput(20,37)(60,0){2}{\line(0,1){6}} \end{picture} \end{minipage} \vspace*{10pt} $\longrightarrow$ Der Wärmestrom verhält sich wie der elektrische Strom (Kirchhoffsches Gesetz). \end{flushleft} \subsection{Temperaturdifferenz} \begin{minipage}[c]{6cm} \begin{center} \begin{picture}(120,100) \put(13,15){\circle*{3}} \put(107,15){\circle*{3}} \put(60,85){\circle*{3}} \put(62,83){\vector(2,-3){44}} \put(58,83){\vector(-2,-3){44}} \put(16,15){\vector(1,0){88}} \put(60,40){\circle{30}} \put(58,24){\vector(-1,0){0}} \put(55,36){$M$} \put(3,3){$T_1$} \put(108,3){$T_3$} \put(55,89){$T_2$} \put(53,3){$T_{13}$} \put(15,50){$T_{21}$} \put(89,50){$T_{23}$} \end{picture} $T_{ij} = T_i - T_j$ $(i,\,j = 1,\,2,\,3,\; i \ne j)$ \end{center} \quad $\circlearrowright M:$ \vspace*{-10pt} \begin{eqnarray*} \scriptstyle - T_{13} - T_{21} + T_{23} &\scriptstyle =&\scriptstyle 0 \\ \scriptstyle -(T_1 - T_3) - (T_2 - T_1) + (T_2 - T_3) & \scriptstyle = &\scriptstyle 0\\ \scriptstyle 0 & \scriptstyle = & \scriptstyle 0 \end{eqnarray*} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{6cm} \begin{center} \begin{picture}(120,100) \put(13,15){\circle*{3}} \put(107,15){\circle*{3}} \put(60,85){\circle*{3}} \put(62,83){\vector(2,-3){44}} \put(58,83){\vector(-2,-3){44}} \put(16,15){\vector(1,0){88}} \put(60,40){\circle{30}} \put(58,24){\vector(-1,0){0}} \put(55,36){$M$} \put(3,6){$\varphi_1$} \put(108,6){$\varphi_3$} \put(55,91){$\varphi_2$} \put(53,3){$U_{13}$} \put(15,50){$U_{21}$} \put(89,50){$U_{23}$} \end{picture} $U_{ij} = U_i - U_j$ $(i,\,j = 1,\,2,\,3,\; i \ne j)$ \end{center} \quad $\circlearrowright M:$ \vspace*{-10pt} \begin{eqnarray*} \scriptstyle - U_{13} - U_{21} + U_{23} &\scriptstyle =&\scriptstyle 0 \\ \scriptstyle -(U_1 - U_3) - (U_2 - U_1) + (U_2 - U_3) & \scriptstyle = &\scriptstyle 0\\ \scriptstyle 0 & \scriptstyle = & \scriptstyle 0 \end{eqnarray*} \end{minipage} \bigskip \textbf{Grundeigenschaft:} Kirchhoffsches Spannungsgesetz \smallskip $\longrightarrow$ Die Temperaturdifferenz verhält sich wie die elektrische Spannung \section{Thermischer Widerstand} \subsection{Definitionsgleichung} \begin{minipage}[c]{6cm} \center homogenes Strömungsfeld \begin{picture}(170,175) \multiput(35,120)(0,30){2}{\line(1,0){100}} \multiput(35,120)(100,0){2}{\line(0,1){30}} \multiput(0,130)(0,10){2}{\line(1,0){30}} \multiput(135,130)(0,10){2}{\line(1,0){30}} \multiput(30,128)(0,12){2}{\line(0,1){2}} \multiput(165,128)(0,12){2}{\line(0,1){2}} \qbezier(30,128)(30,128)(35,135) \qbezier(30,142)(30,142)(35,135) \qbezier(165,128)(165,128)(170,135) \qbezier(165,142)(165,142)(170,135) \put(0,130){\line(0,1){10}} \put(9,144){$P_{th}$} \put(144,144){$P_{th}$} \put(30,12){\vector(1,0){120}} \put(35,10){\vector(0,1){80}} \put(23,80){$T$} \put(133,0){$l$} \put(33,0){$0$} \put(135,10){\line(0,1){4}} \put(21,60){$T_1$} \put(21,30){$T_2$} \multiput(33,63)(4,0){26}{\line(1,0){2}} \multiput(33,33)(4,0){26}{\line(1,0){2}} \qbezier(35,63)(35,63)(135,33) \put(135,33){\vector(0,1){30}} \put(135,63){\vector(0,-1){30}} \put(137,45){$\Delta T$} \put(32,105){$T_1$} \put(131,105){$T_2$} \qbezier(45,108)(85,95)(125,108) \put(125,108){\vector(3,1){0}} \put(76,90){$\Delta T$} \put(144,3){$x$} \end{picture} \smallskip Durchgangswiderstand \end{minipage} \begin{minipage}[c]{6cm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \center inhomogenes Strömungsfeld \begin{picture}(170,175) \multiput(10,130)(0,10){2}{\line(1,0){20}} \multiput(30,128)(0,12){2}{\line(0,1){2}} \qbezier(30,128)(30,128)(35,135) \qbezier(30,142)(30,142)(35,135) \put(10,130){\line(0,1){10}} \put(12,144){$P_{th}$} \multiput(35,110)(5,0){2}{\line(0,1){50}} \multiput(35,110)(0,50){2}{\line(1,0){5}} \put(45,110){\vector(1,-1){10}} \put(45,122.5){\vector(2,-1){12}} \put(45,135){\vector(1,0){14}} \put(45,147.5){\vector(2,1){12}} \put(45,160){\vector(1,1){10}} \put(30,12){\vector(1,0){120}} \put(35,10){\vector(0,1){80}} \put(23,80){$T$} \put(33,0){$0$} \put(19,60){$T_O$} \put(19,30){$T_U$} \multiput(33,63)(4,0){26}{\line(1,0){2}} \multiput(33,33)(4,0){26}{\line(1,0){2}} \qbezier(35,63)(40,33)(135,33) \put(135,33){\vector(0,1){30}} \put(135,63){\vector(0,-1){30}} \put(137,45){$\Delta T$} \put(32,97){$T_O$} \put(131,97){$T_U$} \put(135,135){\circle*{3}} \qbezier(45,138)(85,155)(125,138) \put(125,138){\vector(2,-1){0}} \put(76,150){$\Delta T$} \put(144,3){$x$} \end{picture} \smallskip Übergangswiderstand \end{minipage} \begin{center} \framebox{$R_{th} = \displaystyle\frac{\Delta T}{P_{th}}$} \qquad Definition thermischer Widerstand $[R_{th}] = \displaystyle\frac{[T]}{[P]} = \frac{\mathrm{K}}{\mathrm{W}}$ \end{center} \begin{description} \item[Beispiel:] Elektrischer Plattenheizkörper (2\,kW). Oberflächentemperatur $\vartheta_O = 60^{\circ}\,\mathrm{C} = 333\,\mathrm{K}$ bei Umgebungstemperatur $\vartheta_U = 18^{\circ}\,\mathrm{C} = 291\,\mathrm{K}$. Wie groß ist der thermische Widerstand? \[ R_{th} = \frac{\Delta T}{P_{th}} = \frac{(\Delta\vartheta/^{\circ}\,\mathrm{C}) \cdot \mathrm{K}}{P_{th}} = \frac{42\,\mathrm{K}}{2\,\mathrm{kW}} = 21 \cdot 10^{-3} \frac{\mathrm{K}}{\mathrm{W}} \] \begin{minipage}[c]{150pt} \begin{picture}(140,55) \multiput(0,20)(140,0){2}{\line(0,1){10}} \multiput(0,25)(40,0){4}{\line(1,0){20}} \multiput(30,25)(80,0){2}{\circle{20}} \put(30,15){\line(0,1){20}} \put(100,25){\line(1,0){25}} \multiput(60,20)(20,0){2}{\line(0,1){10}} \multiput(60,20)(0,10){2}{\line(1,0){20}} \multiput(20,39)(80,0){2}{\vector(1,0){20}} \put(24,43){$P_{th}$} \put(105,43){$\vartheta_U$} \put(66,34){$R_{th}$} \put(40,25){\vector(1,0){13}} \put(45,29){$\scriptstyle P_{th}$} \put(47,10){$\scriptstyle\vartheta_O$} \put(87,10){$\scriptstyle\vartheta_U$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{5cm} \flushright äquivalentes Netzwerk, thermische Ersatzschaltung \end{minipage} \end{description} \subsection[Wärmetransportmechanismen, Bemessungsgleichnungen]{Wärmetransportmechanismen und \newline Bemessungsgleichungen} \subsubsection{1. Wärmeleitung} \begin{minipage}[c]{135pt} \center \hspace*{15pt}\begin{picture}(80,77) \multiput(0,25)(0,20){2}{\line(1,0){60}} \multiput(0,25)(60,0){2}{\line(0,1){20}} \multiput(0,45)(60,0){2}{\line(3,2){20}} \multiput(0,25)(60,0){2}{\line(3,2){20}} \multiput(20,38.5)(0,20){2}{\line(1,0){60}} \multiput(20,38.5)(60,0){2}{\line(0,1){20}} \multiput(30.2,25)(20,13.5){2}{\line(0,1){20}} \multiput(30,25)(0,20){2}{\line(3,2){20}} \qbezier(30,42)(30,42)(33,47) %% alles im kopf berechnet ;) -- nur einmal zwischenkompiliert / überprüft \qbezier(30,36)(30,36)(39,51) \qbezier(30,30)(30,30)(45,55) \qbezier(31,26)(31,25)(50,57) \qbezier(37,30)(50,51)(50,51) \qbezier(43,34)(50,45)(50,45) \qbezier(49,38)(50,39)(50,39) \put(0,15){\vector(1,0){60}} \put(60,15){\vector(-1,0){60}} \put(28,3){$l$} \put(55,65){$A$} \qbezier(52,51)(59,51)(59,63) \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{8cm} \center \framebox{$\displaystyle R_{th} = \frac{l}{\lambda\cdot A}$} $\longleftrightarrow \displaystyle R_{el} = \frac{l}{\varkappa \cdot A}$ \vspace*{0.5cm} Bemessungsgleichung (homogenes Feld) \end{minipage} $\lambda$ --- Wärmeleitfähigkeit \qquad $[\lambda] = \displaystyle \frac{[l]}{[R_{th}] [l]^2} = \frac{\mathrm{W}}{\mathrm{K}\cdot\mathrm{m}}$ \begin{description} \item[Beispiel:] Elektronisches Bauelement mit idealer Kühlung \end{description} \begin{minipage}[c]{150pt} \center \begin{picture}(100,85) \put(0,30){\line(1,0){100}} \multiput(0,25)(10,0){10}{\qbezier(0,0)(0,0)(5,5)} \multiput(20,30)(60,0){2}{\line(0,1){20}} \thicklines\put(20,50){\line(1,0){60}}\thinlines \multiput(30,50)(10,0){5}{\vector(0,-1){20}} \put(15,30){\vector(0,1){20}} \put(15,50){\vector(0,-1){20}} \put(8,36){$l$} \put(50,70){\vector(0,-1){20}} \put(47,73){$P$} \put(85,60){$A$} \qbezier(87,58)(79,52)(75,52) \put(75,37){\line(5,1){11}} \put(87,37){Si} \put(31,55){$\vartheta_O$} \put(31,5){$\vartheta_U$} \put(44,14){$P_{th}$} \end{picture} \vspace{0.5cm} \begin{picture}(120,100) \multiput(25,0)(60,0){2}{\line(1,0){10}} \multiput(30,0)(0,60){2}{\line(0,1){40}} \multiput(30,50)(60,-20){2}{\circle{20}} \put(90,0){\line(0,1){60}} \put(90,80){\line(0,1){20}} \multiput(85,60)(10,0){2}{\line(0,1){20}} \multiput(85,60)(0,20){2}{\line(1,0){10}} \put(30,100){\line(1,0){60}} \put(20,50){\line(1,0){20}} \put(3,47){$P \Big\uparrow$} \put(98,67){$R_{th}$} \put(101,27){$\Big\downarrow \vartheta_U$} \qbezier(80,90)(60,50)(80,10) \put(80,10){\vector(1,-3){0}} \put(56,47){$\vartheta_O$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{6cm} Wie groß darf $P$ sein, wenn die Temperatur $\vartheta_O$ nicht größer als $120^{\circ}\,\mathrm{C}$ sein darf? ($\vartheta_U = 50^{\circ}\,\mathrm{C}$, $l = 2\,\mathrm{mm}$, $A = 4\,\mathrm{mm}^2$, $\lambda = 4\cdot 10^{-6}\,\Omega/\mathrm{K}$). $$\vartheta_O = \vartheta_U + R_{th} \cdot P$$ $$P\leq \frac{\vartheta_O - \vartheta_U}{R_{th}} = \frac{\lambda \cdot A}{l}\cdot(\vartheta_O - \vartheta_U)$$ $$P \leq 145\frac{\mathrm{W}}{\mathrm{K}\cdot\mathrm{m}} \cdot \frac{4\cdot 10^{-6}\,\mathrm{m^2}}{2\cdot 10^{-3}\,\mathrm{m}} \cdot (120 - 30)\,\mathrm{K}$$ $$P \leq 20,\!3\,\mathrm{W}$$ \end{minipage} \subsubsection{2. Konvektion (Wärmetransport durch bewegtes Medium)} \begin{minipage}[c]{150pt} \begin{picture}(140,75) \multiput(10,30)(0,10){2}{\line(1,0){20}} \multiput(30,28)(0,12){2}{\line(0,1){2}} \qbezier(30,28)(30,28)(35,35) \qbezier(30,42)(30,42)(35,35) \put(10,30){\line(0,1){10}} \put(12,44){$P_{th}$} \multiput(35,10)(5,0){2}{\line(0,1){50}} \multiput(35,10)(0,50){2}{\line(1,0){5}} \put(45,10){\vector(1,-1){10}} \put(45,22.5){\vector(2,-1){12}} \put(45,35){\vector(1,0){14}} \put(45,47.5){\vector(2,1){12}} \put(45,60){\vector(1,1){10}} \put(32,0){$\vartheta_O$} \put(131,0){$\vartheta_U$} \put(135,35){\circle*{3}} \qbezier(45,38)(85,55)(125,38) \put(125,38){\vector(2,-1){0}} \put(76,50){$\Delta \vartheta$} \put(12,2){$A$} \qbezier(20,10)(25,20)(33,20) \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{7cm} \center \vspace*{5pt} $P_{th} = \alpha_K \cdot A \underbrace{(\vartheta_O - \vartheta_U)}_{\Delta \vartheta}$ \bigskip Ohmsches Gesetz \end{minipage} \vspace*{10pt} $$\vartheta_U \left[R_{thK} = \frac{\Delta \vartheta}{P_{th}} = \frac{1}{\alpha_K \cdot A}\right]$$ \begin{center} Bemessungsgleichung Übergangswiderstand \end{center} \subsubsection{3. Wärmestrahlung: Wärmetransport ohne Medium} \begin{minipage}[c]{130pt} \flushleft \begin{picture}(130,100) \put(5,40){$P$} \put(0,37){\vector(1,0){20}} \multiput(20,0)(20,20){2}{\line(0,1){60}} \multiput(20,0)(0,60){2}{\line(1,1){20}} \multiput(50,40)(10,0){4}{\qbezier(0,0)(2.5,5)(5,0)} \multiput(55,40)(10,0){3}{\qbezier(0,0)(2.5,-5)(5,0)} \put(85.5,40){\vector(1,0){5}} \multiput(50,50)(7.08,7.08){4}{\qbezier(0,0)(-1.76,5.30)(3.54,3.54)} \multiput(53.54,53.54)(7.08,7.08){3}{\qbezier(0,0)(5.30,-1.76)(3.54,3.54)} \put(72.74,72.74){\vector(1,1){5}} \multiput(50,30)(7.08,-7.08){4}{\qbezier(0,0)(-1.76,-5.30)(3.54,-3.54)} \multiput(53.54,26.46)(7.08,-7.08){3}{\qbezier(0,0)(5.30,1.76)(3.54,-3.54)} \put(72.74,7.26){\vector(1,-1){5}} \put(38,0){$A$} \qbezier(30,20)(32,5)(37,5) \put(25,85){$\vartheta_O,\, T_O$} \put(92,37){$P_{th}$} \put(115,40){\circle*{3}} \put(110,48){$\vartheta_U$} \put(110,24){$T_U$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{7.5cm} \center \textbf{Stefan-Bolzmann-Gesetz} \[P_{th} = \underbrace{\sigma \cdot A \cdot {T_O}^4}_{\textnormal{{\scriptsize v. d. Platte abgeg.}}} - \underbrace{\sigma\cdot A \cdot {T_U}^4}_{\textnormal{\scriptsize{v. d. Platte aufgen.}}}\] $\sigma = 5,\!7 \cdot 10^{-8}\,\frac{\mathrm{W}}{\mathrm{m}^2\cdot \mathrm{K}^4}$ $\sigma$ : Stefan-Boltzmann-Konstante \end{minipage} \bigskip {\flushleft \textbf{Näherung}} \begin{eqnarray*} T_O &=& T_U + \Delta T \\ {T_O}^4 &=& (T_U + \Delta T)^4 = {T_U}^4 \left(1 + \frac{\Delta T}{T_U}\right)^4\\ {T_O}^4 & \stackrel{*}{\approx} & {T_U}^4 \left(1 + 4\cdot\frac{\Delta T}{T_U}\right)\\ {T_O}^4 - {T_U}^4 & \approx & {T_U}^4 \left(1 + 4\cdot\frac{\Delta T}{T_U}\right) - {T_U}^4\\ {T_O}^4 - {T_U}^4 & \approx & 4 \cdot {T_U}^3 \cdot \Delta T\vphantom{\bigg(}\\ P_{th} & \approx & \underbrace{4\cdot \sigma \cdot{T_U}^3}_{\alpha_{st}} \cdot A \cdot (T_O - T_U) \end{eqnarray*} (*) : Näherung $(1+x)^n = 1 + n\cdot x \qquad x \ll 1$ \bigskip bei Raumtemperatur $T_U = 293\,\mathrm{K} \qquad \alpha = 6\, \frac{\mathrm{W}}{\mathrm{m}^2\cdot \mathrm{K}}$ \subsubsection{4. Zusammenfassung Konvektion und Strahlung} \begin{eqnarray*} P_{th} &=& P_{th} + P_{st} = (\underbrace{\alpha_K + \alpha_{st}}_{\alpha}) \cdot A \cdot (T_O - T_U)\\ & = & \alpha \cdot A \cdot (T_O - T_U) = \alpha \cdot A \cdot \Delta T = \alpha \cdot A \cdot (\vartheta_O - \vartheta_U)\\ R_{th} & = & \frac{1}{\alpha \cdot A} \hspace{2cm} \alpha : \textnormal{ Wärmeübergangszahl} \end{eqnarray*} {\flushleft \textbf{Richtwerte}} \bigskip \begin{tabular}{ll} $\alpha = 10\,\frac{\mathrm W}{\mathrm m^2 \cdot \mathrm K}$ & Eigenkonvektion (ursprünglich ruhende Luft)\\\\ $\alpha = 100\,\frac{\mathrm W}{\mathrm m^2 \cdot \mathrm K}$ & Luftkühlung, $v = 10 \, \frac{\mathrm m}{\mathrm s}$\\\\ $\alpha = 10\,\frac{\mathrm W}{\mathrm m^2 \cdot \mathrm K}$ & Wasserkühlung \end{tabular} \subsection{Beispiele} \begin{enumerate} \item Der Plattenheizkörper aus 8.2.1. hat eine Heizfläche von $2\,\mathrm m^2$. Wie groß ist $\alpha$? \[R_{th} = \frac{1}{\alpha\cdot A} \qquad \alpha = \frac{1}{R_{th}\cdot {A}} = \frac{1}{21 \cdot 10^{-3}\,\frac{\mathrm K}{\mathrm W} \cdot 2\,\mathrm m^2} = 23,\!8\,\frac{\mathrm W}{\mathrm m^2 \cdot \mathrm K}\] \item Aufheizung eines Heizdrahtes \begin{minipage}[c]{110pt} \begin{picture}(100,100) \put(50,30){\circle{20}} \put(40,17){\vector(1,0){20}} \put(45,5){$U$} \put(5,30){\line(1,0){90}} \multiput(5,30)(90,0){2}{\line(0,1){40}} \multiput(5,70)(0,5){2}{\line(1,0){90}} \qbezier(5,70)(2,72.5)(5,75) \put(95,72.5){\circle{5}} \multiput(5,78)(90,0){2}{\line(0,1){5}} \put(5,80.5){\vector(1,0){90}} \put(95,80.5){\vector(-1,0){90}} \put(48.5,83){$l$} \qbezier(50,72.5)(51,65)(55,63) \put(55,60){$A_{\textnormal{\scriptsize{Mantel}}}$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{8cm} $U = 5\,\mathrm V \quad l = 5\,\mathrm m \quad A_M = \pi \cdot d \cdot l \quad A_Q = \frac{\pi \cdot d^2}{4}$ \smallskip spezifischer Widerstand bei Umgebungstemperatur $\vartheta_U = 20^{\circ}\,\mathrm C$: $\varrho_0 = 1,\!4 \cdot 10^{-7}\,\Omega \mathrm{m}$ (Eisen) \smallskip \smallskip $R = \varrho_0 \cdot \frac{l}{A_Q}(1+\alpha_R \cdot \Delta T)$ \end{minipage} Temperaturkoeffizient des spezifischen Widerstandes $\alpha_R = 4 \cdot 10^{-3}\cdot \mathrm K^{-1}$ \smallskip \smallskip Wärmeübergangszahl $\alpha_{th} = 10\, \frac{\mathrm W}{\mathrm m^2 \cdot \mathrm K}$ (Luftkühlung) \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumii}{\alph{enumii})} \item Wie groß wird die Temperatur $\vartheta_O$ des Drahtes? \item Wie groß ist die im Draht umgesetzte Leistung? \end{enumerate} $\Delta T = \vartheta_O - \vartheta_U = T_O - T_U$ (Übertemperatur des Drahtes) \begin{eqnarray*} P_{el} &=& P_{th}\\ \frac{U^2}{R}& =& \frac{\Delta T}{R_{th}} = \alpha \cdot A_M \cdot \Delta T\\ \frac{U^2 \cdot \pi \cdot d^2}{\varrho_0 \cdot l \cdot 4(1+\alpha_R \cdot \Delta T)} & =& \alpha_{th} \cdot \pi \cdot d \cdot l \cdot \Delta T\\ \frac{U^2 \cdot d}{4 \varrho_0 \cdot l^2 \cdot \alpha_{th}} & = & (1 + \alpha_R \cdot \Delta T) \Delta T\\ \frac{U^2 \cdot d}{4 \varrho_0 \cdot l^2 \cdot \alpha_{th}} & = & \Delta T + \alpha_R \cdot \Delta T^2 \end{eqnarray*} Alle Werte außer $\Delta T$ sind bekannt \dots \begin{eqnarray*} 0 & = & \Delta T^2 + \frac{1}{\alpha_R} \cdot \Delta T - \frac{U^2\cdot d}{4 \cdot \varrho_0 \cdot l^2 \cdot \alpha_{th} \cdot \alpha_{R}}\\ \Delta T &=& - \frac{1}{2\cdot \alpha_R} + \sqrt{\frac{1}{4\cdot \alpha_R} + \frac{U^2}{4\varrho_0 \cdot l^2 \cdot \alpha_{th} \cdot \alpha_{R}}} = 69,\!8\,\mathrm K \end{eqnarray*} $\vartheta_O = \vartheta_U + \Delta T = 89,\!8^{\circ}\mathrm C$ \smallskip $P_{el} = P_{th} = 5,\!48\,\mathrm W$ \begin{center} \begin{picture}(150,150) \put(20,40){\vector(0,1){100}} \put(15,45){\vector(1,0){130}} \put(40,20){\vector(1,0){105}} \put(40,17){\line(0,1){6}} \put(130,7){$\scriptstyle \Delta T / \mathrm K$} \put(130,34){$\scriptstyle \vartheta_O/^{\circ}\mathrm C$} \put(4,132){$\scriptstyle \frac{P_{el}}{W}$} \put(23,132){$\scriptstyle \frac{P_{th}}{W}$} \put(18,100){\line(1,0){4}} \multiput(24,100)(4,0){4}{\line(1,0){2}} \multiput(40,43)(29,0){2}{\line(0,1){4}} \put(40,45){\line(3,2){75}} \qbezier(40,100)(60,60)(100,50) \put(36,36){$\scriptstyle 20$} \put(62,36){$\scriptstyle 89,8$} \put(62,11){$\scriptstyle 69,8$} \put(69,18){\line(0,1){4}} \put(3,98){$\scriptstyle\frac{U^2}{R_0}$} \put(1,61){$\scriptstyle 5,48$} \put(18,64){\line(1,0){4}} \multiput(24,64)(4,0){12}{\line(1,0){2}} \put(45,95){$\scriptstyle P_{el}$} \put(97,95){$\scriptstyle P_{th}$} \end{picture} \end{center} \end{enumerate} \newpage \section{Thermische Ersatzschaltung} Bemessungsbeispiel: Leistungstransistor auf Kühlkörper \begin{minipage}[c]{160pt} \begin{picture}(150,100) \multiput(30,15)(10,0){11}{\line(1,0){5}} \multiput(35,35)(10,0){10}{\line(1,0){5}} \multiput(30,15)(5,0){21}{\line(0,1){20}} \multiput(30,15)(105,0){2}{\line(0,1){30}} \put(30,45){\line(1,0){105}} \multiput(55,49)(0,3){2}{\line(1,0){55}} \multiput(55,45)(55,0){2}{\line(0,1){7}} \multiput(55,45)(5,0){11}{\qbezier(0,0)(0,0)(5,4)} \multiput(65,52)(35,0){2}{\line(0,1){15}} \qbezier(64.8,67)(64.8,69)(67,69) \qbezier(99.8,67)(99.8,69)(98,69) \put(67,69){\line(1,0){31}} \multiput(75,52)(15,0){2}{\line(0,1){5}} \thicklines\put(75,57){\line(1,0){15}}\thinlines \multiput(80,62)(5,0){2}{\line(0,1){15}} \multiput(78,62)(7,0){2}{\line(1,0){2}} \qbezier(78,62)(82.5,57)(82.5,57) \qbezier(87,62)(82.5,57)(82.5,57) \put(62,80){$P_{el} = 10\,\mathrm W$} \put(82.5,57){\vector(0,-1){55}} \put(122,62){$\vartheta_O$} \put(42,66){$\vartheta_J$} \qbezier(53,63)(60,55)(73,57) \qbezier(100,60)(105,60)(120,62) \put(0,50){$\vartheta_{K}$} \qbezier(10,47)(20,40)(30,40) \qbezier(110,47)(115,47)(120,50) \put(122,53){\tiny Glimmer--} \put(122,47){\tiny scheibe} \put(84,0){$P_{th}$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{6cm} $R_{tjJC} = 2\,\frac{\mathrm K}{\mathrm W}$ \bigskip $R_{thGl} = 0,\!3\,\frac{\mathrm K}{\mathrm W}$ \bigskip Kühlkörper: $\alpha = 10\,\frac{\mathrm W}{\mathrm m^2 \cdot \mathrm K}$ \end{minipage} \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{\alph{enumi})} \item $\vartheta_U = 50^{\circ}\mathrm{C} \quad \vartheta_J = 120^{\circ}\mathrm{C}$. Welchen thermischen Widerstand muß der Kühlkörper besitzen? \end{enumerate} \begin{center} \begin{picture}(210,140) \multiput(30,0)(0,75){2}{\line(0,1){55}} \put(30,65){\circle{20}} \put(20,65){\line(1,0){20}} \put(0,62){$P_{th}\!\Big\uparrow$} \put(30,130){\line(1,0){60}} \multiput(90,0)(0,30){5}{\line(0,1){10}} \put(90,20){\circle{20}} \put(90,0){\line(0,1){30}} \multiput(85,40)(0,30){3}{\multiput(0,0)(0,20){2}{\line(1,0){10}}} \multiput(85,40)(0,30){3}{\multiput(0,0)(10,0){2}{\line(0,1){20}}} \put(100,17){$\Big\downarrow \vartheta_U$} \multiput(25,0)(60,0){2}{\line(1,0){10}} \multiput(90,35)(0,30){4}{\circle*{2}} \multiput(93,35)(4,0){11}{\line(1,0){2}} \multiput(93,65)(4,0){15}{\line(1,0){2}} \multiput(93,95)(4,0){19}{\line(1,0){2}} \multiput(93,125)(4,0){23}{\line(1,0){2}} \put(140,33){$\vartheta_U$} \put(156,63){$\vartheta_K$} \put(172,93){$\vartheta_O$} \put(188,123){$\vartheta_J$} \put(144,30){\vector(0,-1){30}} \put(160,60){\vector(0,-1){60}} \put(176,90){\vector(0,-1){90}} \put(192,120){\vector(0,-1){120}} \put(97,46){$R_{thK}$} \put(97,76){$R_{thGl}$} \put(97,106){$R_{thJC}$} \end{picture} \end{center} \textbf{Maschensatz:} \smallskip $P_{th}(R_{tjJC} + R_{thGl} + R_{thK}) + \vartheta_U - \vartheta_J = 0$ \bigskip $\displaystyle R_{thK} = \underbrace{\frac{\vartheta_J - \vartheta_U}{P_{th}}}_{R_{th_ges}} - R_{thJC} - R_{thGl}$ \bigskip $R_{thK} = \displaystyle \frac{70 \mathrm K}{10 \mathrm W} - 2\,\frac{\mathrm K}{\mathrm W} - 0,\!3\,\frac{\mathrm K}{\mathrm W} = 4,\!7\,\frac{\mathrm K}{\mathrm W}$ \end{document}