\documentclass[11pt,a4paper]{report} \usepackage[ansinew]{inputenc} \usepackage{amssymb} \usepackage{color} \usepackage{wasysym} \usepackage{xy} \input xy \xyoption{all} \usepackage{ngerman,latexsym,alltt,graphicx,textcomp} \usepackage[bookmarks, colorlinks=false, pdftitle={Mitschrift Elektrotechnik I Prof. Dr.-Ing W. Schwarz}, pdfauthor={Fabian Kurz}, pdfsubject={Elektrotechnik}, pdfkeywords={Mathematik Elektrotechnik}, linkbordercolor={1 1 1}]{hyperref} \date{Letzte Aktualisierung:\\\today} \author{Fabian~Kurz\\\href{http://fkurz.net/}{http://fkurz.net/}} \title{Elektrotechnik II (1/2) -- SS 04\\Prof. Dr.-Ing. W. Schwarz\\Mitschrift} \definecolor{grau}{rgb}{0.8,0.8,0.8} \begin{document} \maketitle \pagenumbering{Roman} \tableofcontents \chapter{Grundbegriffe} \pagenumbering{arabic} \section{Feldbegriff} \subsection{Definitionen} \begin{description} \item[Feld:] Jedem Punkt eines Raumes ist eindeutig ein Wert einer physikalischen Größe zugeordnet. $\longrightarrow$ Ortsfunktion eines Raumzustandes \item[Feldgröße:] Physikalische Größe, die den Raumzustand charakterisiert. Beispiele: Temperatur, Geschwindigkeit, Kraft \item[Feldbild:] graphische Darstellung eines Feldes \end{description} \subsection{Ortsvektor} \begin{minipage}[c]{150pt} \begin{picture}(150,150) \put(5,10){\vector(1,0){140}} \put(10,5){\vector(0,1){140}} \put(10,10){\vector(2,1){100}} \put(140,15){$x$} \put(15,140){$z$} \put(115,60){$y$} \put(10,10){\vector(2,3){60}} \put(32,60){$\vec r$} \put(70,100){\line(0,-1){77}} \put(70,23){\line(-2,-1){26}} \put(70,23){\line(-1,0){34}} \put(74,60){$z \cdot \vec e_z$} \put(67,14){$y \cdot \vec e_y$} \put(76,31){$x \cdot \vec e_x$} \qbezier(60,24)(60,31)(74,33) \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{7.25cm} $$\vec r = x\cdot \vec e_x + y\cdot \vec e_y + z\cdot \vec e_z$$ $$= x \left(\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}\right) + y \left(\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}\right) + z \left(\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)$$ \bigskip \center $x$, $y$, $z$ : Koordinaten \smallskip $x\cdot \vec e_x$, $y\cdot \vec e_y$ $z\cdot \vec e_z$ : Komponenten \end{minipage} \newpage \subsection{Skalar-- und Vektorfelder} \begin{center} \textbf{Feldgröße} $\swarrow\hspace{4cm} \searrow$ \begin{minipage}[t]{4cm} \center Skalar Skalarfeld \vspace{1.3cm} skalarer Wert,\\ z.B. $F$ \vspace{1cm} $F = f_g(\vec r)$ \vspace{1.5cm} $F = f_k(x,\,y,\,z)$ \end{minipage} \begin{minipage}[t]{4cm} \center \vspace{0.8cm} jedem Raumpunkt \\ ist ein \vspace{1.2cm} zugeordnet. \smallskip Geschlossene Darstellung (Koordinatenfrei) \vspace{0.7cm} Kartesische Koordinaten \end{minipage} \begin{minipage}[t]{4cm} \center Vektoriell Vektorfeld \vspace{1.3cm} vektorieller Wert,\\ z.B. $\vec A$ \vspace{1cm} $\vec A = f(\vec r)$ \vspace{1.1cm} $\vec A = A_x(x,\,y,\,z)\cdot \vec e_x + A_y(x,\,y,\,z)\cdot \vec e_y + A_z(x,\,y,\,z)\cdot \vec e_z$ \end{minipage} \vspace{0.6cm} \textbf{Feldbild} \vspace{0.6cm} \begin{minipage}[t]{6cm} {\center Flächen (Linien) gleichen Wertes \bigskip Äquipotentialflächen Äquipotentiallinien Isothermen, Isobaren } \smallskip \center \includegraphics[width=3cm]{1} \smallskip Beispiel: Äquipotentiallinien \end{minipage} \begin{minipage}[t]{6cm} \center Feldlinien $\swarrow \hspace{1.8cm} \searrow$ \hspace{1.1cm}Betrag \hfill Richtung\hspace{0.9cm} \hspace{1.5cm}$\big\downarrow$\hfill$\big\downarrow$\hspace{1.5cm} \hspace{1.15cm}Dichte \hfill Richtung\hspace{0.9cm} \vspace{0.54cm} \begin{picture}(150,100) \thicklines \put(5,10){\line(1,0){140}} \put(5,50){\line(1,0){45}} \put(50,50){\line(0,1){20}} \put(50,70){\line(1,0){95}} \put(5,10){\line(0,1){40}} \put(145,10){\line(0,1){60}} \thinlines \put(5,40){\line(1,0){30}} \put(5,30){\line(1,0){30}} \put(5,20){\vector(1,0){140}} \put(72,39){$\vec v$} \thicklines \put(70,35){\vector(4,1){15}} \thinlines \qbezier(35,30)(55,30)(70,35) \qbezier(70,35)(90,40)(105,40) \put(105,40){\vector(1,0){40}} \qbezier(35,40)(65,42)(75,50) \qbezier(75,50)(87,58)(105,60) \put(105,60){\vector(1,0){40}} \end{picture} Beispiel: Strömungsfeld durch sich verändernden Durchschnitt \end{minipage} \end{center} \newpage \section{Coulombsches Gesetz} (\textsc{Charles Augustin de Coulomb}, 1785) \subsection{Grundgesetz} \begin{minipage}[c]{150pt} \begin{picture}(150,100) \put(40,50){\circle{30}} \put(110,50){\circle{30}} \put(24,50){\vector(-1,0){24}} \put(126,50){\vector(1,0){24}} \multiput(40,8)(70,0){2}{\multiput(0,0)(0,4){7}{\line(0,1){2}}} \put(40,8){\vector(1,0){70}} \put(110,8){\vector(-1,0){70}} \put(73,12){$r$} \put(36,74){$Q_1$} \put(106,74){$Q_2$} \put(0,53){$F$} \put(142,53){$F$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{7.2cm} $$F=k\cdot\frac{Q_1 \cdot Q_2}{r^2}$$ $$\left(\textnormal{vgl. } F_g = \gamma \cdot \frac{m_1 \cdot m_2}{r^2}\right)$$ $$k \approx 9\cdot 10^9 \frac{\mathrm{Nm}^2}{(\mathrm{As})^2} \quad \textnormal{oder} \quad k = \frac{1}{4\cdot \pi \cdot \varepsilon_0}$$ \end{minipage} \bigskip $$\mathrm{mit} \quad \varepsilon_0 = 8,\!854 \cdot 10^{-12} \frac{\mathrm{As}}{\mathrm{Vm}} = 8,\!854 \frac{\mathrm{pF}}{\mathrm{m}}$$ \bigskip \framebox[5cm]{ $\displaystyle F=\frac{Q_1 \cdot Q_2}{4\cdot\pi\cdot\varepsilon_0\cdot r^2}$ } \hfill Coulombsches Gesetz (Naturgesetz) \subsection{Beispiel} $Q_1 = Q_2 = 1 \,\mathrm{C} \qquad r = 1\,\mathrm{m} \qquad F\,?$ $$F = 9\cdot 10^9 \,\frac{\mathrm{Nm}^2}{(\mathrm{As})^2} \cdot \frac{1\,\mathrm{As} \cdot 1 \,\mathrm{As}}{1\,\mathrm{m}^2} = 9\cdot 10^9\, \mathrm{N} \approx 9\cdot 10^8\,\mathrm{kp}$$ Gewicht von $9\cdot 10^8\,\mathrm{kg} = 9 \cdot 10^5\, \mathrm{t}$. Versuch ist praktisch nicht durchführbar. \subsection{Folgerung} \begin{center} \begin{picture}(110,30) \put(30,10){\circle{20}} \put(20,10){\vector(-1,0){20}} \put(25.5,07){$Q$} \put(0,13){$F$} \put(80,10){\circle{5}} \put(82.5,10){\vector(1,0){20}} \put(95,13){$F$} \put(77,18){$q$} \end{picture} \end{center} Die feste Ladung $Q$ versetzt den Raum in den Zustand, daß auf eine Probeladung $q$ in jedem Raumpunkt $\vec r$ eine Kraft $\vec F(\vec r)$ ausgeübt wird $\rightarrow$ elektrisches Feld. \section{Elektrische Feldstärke} \subsection{Definition} \framebox[3cm]{$\vec E = \displaystyle\frac{\vec F}{q}$} \qquad elektrische Feldstärke (Definition) $$[E] = \frac{[F]}{[Q]} = \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{C}} = \frac{\mathrm{Ws/m}}{\mathrm{As}} = \frac{\mathrm{V}}{\mathrm{m}}$$ \subsection{Beispiel} Feldstärke in der Umgebung einer Punktladung\\ \begin{minipage}[c]{120pt} \begin{picture}(120,100) \put(20,5){\vector(0,1){80}} \put(15,10){\vector(1,0){80}} \put(20,10){\circle*{5}} \put(3,10){$Q$} \put(20,10){\vector(2,1){45}} \put(20,10){\vector(2,3){35}} \put(95,3){$x$} \put(67,27){$y$} \put(24,78){$z$} \put(33,42){$\vec r$} \put(55,62){\circle*{3}} \put(57,57){$q$} \put(55,62){\vector(2,3){8}} \put(52,73){$\vec F$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{7.3cm} Kraft \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{\alph{enumi})} \item Betrag: $F = \displaystyle\frac{Q\cdot q}{4\cdot\pi\cdot\varepsilon_0 \cdot r^2}$ \item Richtung: $\vec F \parallel \vec r \Rightarrow \vec e_r = \displaystyle\frac{\vec r}{r}$ \end{enumerate} \end{minipage} \bigskip $$\vec F = \frac{Q\cdot q}{4\cdot \pi\cdot\varepsilon_0\cdot r^2}\cdot \vec e_r = \frac{Q\cdot q}{4\cdot \pi\cdot\varepsilon_0\cdot r^3} \cdot \vec r = \vec F(\vec r)$$ $$\vec E = \frac{\vec F}{q} = \frac{Q}{4\cdot \pi\cdot \varepsilon_0 \cdot r^3}\cdot \vec r = \vec E(\vec r)$$ Kartesische Koordinaten: \quad $\displaystyle \vec E = \frac{Q}{4\cdot \pi \cdot \varepsilon_0} \cdot \frac{x\cdot \vec e_x + y \cdot \vec e_y + z \cdot \vec e_z}{(x^2+y^2+z^2)^{\frac{3}{2}}}$ \section{Potential} \subsection{Definition} \begin{minipage}[c]{140pt} \begin{picture}(120,85) \multiput(0,0)(0,20){5}{\color{grau}\vector(1,0){120}} \put(105,5){\circle*{2}} \put(105,5){\vector(-1,0){60}} \put(105,5){\vector(-1,1){70}} \put(105,5){\vector(-2,1){75}} \thicklines \qbezier(45,5)(15,25)(30,43) \qbezier(30,43)(45,60)(35,75) \thinlines \put(30,43){\vector(1,2){6}} \put(110,0){$0$} \put(65,8){$\vec r_0$} \put(58,29){$\vec r\,'$} \put(70,43){$\vec r$} \put(32,0){$B$} \put(25,71){$A$} \put(18,41){$Q$} \put(30,43){\circle*{2}} \put(38,49){$\vec{dr'}$} \put(90,60.5){\color{grau}\huge$\vec E$} \end{picture} \bigskip $A$ : Aufpunkt mit $W(\vec r)$ und $\varphi(\vec r)$, $B$ : Bezugspunkt mit $W(\vec r_0)$ und $\varphi(r_0)$. \end{minipage} \begin{minipage}[c]{6.5cm} Hat eine Probeladung $Q$ im elektrischen Feld an jedem Punkt $\vec r$ eine bestimmte potentielle Energie $W(\vec r)$, dann ist das elektrische Potential definiert. \center \framebox{\quad $\varphi(\vec r) = \displaystyle\frac{W(\vec r)}{Q}$\quad } \bigskip Dimension: $[\varphi] = \displaystyle\frac{\mathrm{Ws}}{\mathrm{As}} = \mathrm{V}$ \end{minipage} \vspace{0.3cm} Das Potential ist eine skalare Größe, der in jedem Raumpunkt ein Wert zugeordnet ist ($\rightarrow$ Skalarfeld). \subsection{Potential und Spannung} Die Spannung zwischen zwei Punkten $\vec r_1$ und $\vec r_2$ ist definiert als \begin{eqnarray*} U_{\vec r_1 , \vec r_2} &=& \frac{W(\vec r_1) - W(\vec r_2)}{Q} = \frac{W(\vec r_1)}{Q} - \frac{W(\vec r_2)}{Q}\\ &=& \varphi(\vec r_1) - \varphi(\vec r_2) \end{eqnarray*} Die Spannung zwischen zwei Punkten ist gleich der Potentialdifferenz zwischen diesen Punkten. \subsection{Berechnung des Potentials aus der Feldstärke} Die Ladung $Q$ hat im Bezugspunkt $\vec r_0$ die Bezugsenergie $W(\vec r_0)$. Bewegung zum Aufpunkt $\vec r \Rightarrow$ Energieabgabe von $\int\limits_{\vec r_0}^{\vec r} \vec F(\vec r\,')\,\vec{dr'}$. Energie im Aufpunkt: $$W(\vec r) = W(\vec r_0) - \int\limits_{\vec r_0}^{\vec r} \vec F(\vec r')\, \vec{dr'}$$ mit $\vec F(\vec r) = Q \cdot \vec E(\vec r)$ $$W(\vec r) = W(\vec r_0) - \int\limits_{\vec r_0}^{\vec r} Q \cdot \vec E(\vec r')\, \vec{dr'} \qquad / : Q$$ \hspace{1.7cm} \fbox{$\displaystyle \varphi(\vec r) = \varphi(\vec r_0) - \int\limits_{\vec r_0}^{\vec r} \vec E(\vec{r}\,')\,\vec{dr'}$} $\Rightarrow$ Linienintegral \subsubsection{Spannung zwischen zwei Punkten $\vec r_1$ und $\vec r_2$} \begin{minipage}[c]{125pt} \begin{picture}(120,90) \multiput(30,0)(-10,20){3}{\color{grau}\vector(2,1){80}} \put(110,10){\circle*{2}} \put(110,10){\vector(-1,1){70}} \put(110,10){\vector(-4,1){80}} \thicklines \qbezier(30,30)(17,55)(40,80) \put(40,80){\vector(2,3){0}} \thinlines \put(112,0){$0$} \put(63,25){$\vec r_1$} \put(70,54){$\vec r_2$} \put(0,53){$U_{\vec r_1,\vec r_2}$} \put(110,60){\color{grau}{\huge$\vec E$}} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{7cm} \begin{eqnarray*} U_{\vec r_1,\vec r_2} & = & \varphi(\vec r_1) - \varphi(\vec r_2)\\ & = & \varphi(\vec r_0) - \int\limits_{\vec r_0}^{\vec r_1} \vec E(\vec r\,')\,\vec{dr'}\\ & & \hspace{0.6cm} - \left(\varphi(\vec r_0) - \int\limits_{\vec r_0}^{\vec r_2}\vec E(\vec r\,')\,\vec{dr'}\right)\\ & = & \int\limits_{\vec r_0}^{\vec r_1} \vec E(\vec r\,')\,\vec{dr'} + \int\limits_{\vec r_0}^{\vec r_2}\vec E(\vec r\,')\,\vec{dr'}\\ \end{eqnarray*} \end{minipage} \begin{center} \framebox{\quad $\displaystyle U_{\vec r_1,\vec r_2} = \int\limits_{\vec r_1}^{\vec r_2}\vec E(\vec r\,') \, \vec{dr'}$ \quad} \end{center} \newpage \subsubsection{Wahl eines anderen Bezugspunktes $\vec r_{02}$ und Bezugspo--\\tentials $\varphi_2(\vec r_{02})$} \begin{eqnarray*} \varphi_2(\vec r) & = & \varphi_2(\vec r_{02}) - \int\limits_{\vec r_{02}}^{\vec r} \vec E(\vec r\,')\,\vec{dr'}\\ & = & \varphi_2(\vec r_{02}) - \underbrace{\left[\int\limits_{\vec r_{02}}^{\vec r_0} \vec E(\vec r\,')\,\vec{dr'}\right.}_{U_{\vec r_{02},\vec r_0}} + \underbrace{\left.\int\limits_{\vec r_0}^{\vec r} \vec E (\vec r\,')\,\vec{dr'}\right]}_{\varphi(\vec r_0) - \varphi(\vec r)}\\ & = & \underbrace{\varphi_2(\vec r_{02}) - U_{\vec r_{02},\vec r_0} - \varphi(\vec r_0)}_{const.} + \varphi(\vec r) \end{eqnarray*} $\Rightarrow$ Aussehen des Feldes ändert sich \emph{nicht} \begin{description} \item[Beispiel:] Potential des homogenen Feldes $\vec E(\vec r) = \vec E$, da die Feldstärke im homogenen Feld unabhängig vom Ort ist. Daher: $\varphi (\vec r) = \varphi(\vec r_0) - \int\limits_{\vec r_0}^{\vec r} \vec E \, \vec{dr'} = \varphi(\vec r_0) - \vec E\int\limits_{\vec r_0}^{\vec r} \vec{dr'}$ \begin{minipage}[c]{100pt} \begin{picture}(100,80) \put(92,3){$0$} \put(90,10){\circle*{2}} \put(90,10){\vector(-4,1){60}} \put(90,10){\vector(-1,2){30}} \put(30,25){\vector(2,3){30}} \put(30,25){\vector(-1,4){4}} \put(26,41){\vector(1,4){3.5}} \put(29.5,55){\vector(1,1){10}} \put(40,65){\vector(4,1){20}} \put(90,10){\vector(-4,3){60}} \put(18,57){$\vec{dr'}$} \put(52,24){$\vec r\,'$} \put(54,49){$\vec r - \vec r_0$} \put(20,15){$\vec r_0$} \put(57,73){$\vec r$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{7.5cm} $$\quad \int\limits_{\vec r_0}^{\vec r} = \vec r - \vec r_0 \Rightarrow \fbox{$\varphi(\vec r) = \varphi(\vec r_0) - \vec E \cdot (\vec r - \vec r_0)$}$$ \end{minipage} \end{description} \subsubsection{Äquipotentialflächen} $$\varphi(\vec r) = \varphi(\vec r_0) - \vec E \cdot (\vec r - \vec r_0) = const. \qquad \vec E \cdot \vec r = \varphi(\vec r_0) + \vec E \cdot \vec r_0 - \varphi(\vec r) = const.$$ (Ebenengleichungen in Vektorschreibweise) \begin{minipage}[c]{100pt} \begin{picture}(100,90) \multiput(10,60)(40,-40){2}{\line(3,1){30}} \multiput(10,60)(30,10){2}{\line(1,-1){40}} \thicklines \multiput(35,55)(10,-10){3}{\vector(1,1){20}} \multiput(10,30)(10,-10){3}{\line(1,1){14.7}} \put(65,70){$\vec E$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{8cm} $\Rightarrow$ Planparallele Ebene mit Normalenvektor $\vec E$. In kartesischen Koordinaten: $$(E_x\vec e_x + E_y \vec e_y + E_z\vec e_z)(x\vec e_x + y \vec e_y + z \vec e_z) = const$$ \end{minipage} \begin{center} \framebox{$E_x \cdot x + E_y \cdot y + E_z \cdot z = const$} \bigskip Ebenengleichung im kartesischen Koordinaten \end{center} \subsection{Berechnung eines Linienintegrals} \begin{minipage}[c]{110pt} \begin{picture}(100,100) \put(0,5){$\vec r_1 = \vec r(\lambda_1)$} \put(18,18){\circle*{2}} \put(50,85){$\vec r_2 = \vec r(\lambda_2)$} \put(68,78){\circle*{2}} \qbezier(18,18)(25,65)(68,78) \put(33,55){\circle*{2}} \put(33,55){\vector(3,4){10}} \put(33,55){\vector(3,-1){25}} \put(23,58){$\vec {dr}$} \put(58,43){$\vec E(\lambda)$} \put(29,42){$\vec r(\lambda)$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{8.5cm} Allgemein: Weg $c$ dargestellt als $\vec r(\lambda)$ \bigskip z.B. $\vec E(\vec r) = k\cdot \vec r$ $c : $ Gerade von $\vec r_1$ bis $\vec r_2$. \smallskip Berechne $\displaystyle \int\limits_{\vec r_1}^{\vec r_2} \vec E(\vec r) \, \vec{dr}$ auf dem Weg $c$ \end{minipage} \begin{enumerate} \item Beschreibung des Integrationsweges $$\vec r(\lambda) = \vec r_1 + \lambda(\vec r_2 - \vec r_1) \qquad 0 \leq \lambda \leq 1$$ \item Bestimmung von $\vec{dr}$ $$\vec{dr} = \frac{\partial\vec r}{\partial\lambda} \cdot d\lambda = 0 + (\vec r_2 - \vec r_1) \cdot d \lambda = (\vec r_2 - \vec r_1) \cdot d\lambda$$ \item Einsetzen und berechnen \begin{eqnarray*} \int\limits_{\vec r_1}^{\vec r_2} \vec E (\vec r)\,\vec {dr} & = & \int\limits_{\vec r_1}^{\vec r_2} \underbrace{k\cdot \vec r}_{\vec E(\vec r)} \, \vec{dr} = \int\limits_{0}^{1}\underbrace{k\cdot (\vec r_1 + \lambda (\vec r_2 - \vec r_1))}_{\vec E (\vec r)} \, \underbrace{(\vec r_2 - \vec r_1)\,d\lambda}_{\vec{dr}}\\ & = & k \cdot \int\limits_0^1\vec r_1(\vec r_2 - \vec r_1) + \lambda(\vec r_2 - \vec r_1)^2 d\lambda\\ & = & k\cdot \left[\vec r_1 \cdot (\vec r_2 - \vec r_1) \cdot \lambda + (\vec r_2 - \vec r_1)^2\cdot \frac{\lambda^2}{2}\right]_{0}^{1}\\ & = & k\cdot \left[\vec r_1 \cdot (\vec r_2 - \vec r_1) + (\vec r_2 - \vec r_1)^2\cdot \frac{1}{2} - 0\right]\\ & = & k \cdot \left[ \vec r_1\cdot \vec r_2 - \vec{r_1}^2 + \frac{1}{2}\vec{r_2}^2 - \vec r_1 \cdot \vec r_2 + \frac{1}{2} \vec{r_1}^2\right]\\ \int\limits_{\vec r_1}^{\vec r_2} \vec E(\vec r)\,\vec{dr}& =& \frac{k}{2} \cdot (\vec{r_2}^2 - \vec{r_1}^2) \end{eqnarray*} \end{enumerate} \newpage \subsection{Existenzbedingung für das Potential} Problem: Gibt es zu einem beliebigen Vektorfeld ein Potentialfeld? \smallskip Beliebiger Bezugspunkt: $\vec r_0$ \qquad Beliebiges Bezugspotential: $\varphi(\vec r_0)$ \vspace{0.35cm} \begin{flushleft} \begin{minipage}[c]{110pt} \begin{picture}(100,110) \multiput(20,10)(-10,30){3}{\color{grau}\vector(2,1){60}} \put(65,76){\huge$\color{grau}\vec E$} \thicklines \put(50,10){\circle*{2}} \put(30,90){\circle*{2}} \qbezier(50,10)(00,50)(30,90) \qbezier(50,10)(80,50)(30,90) \put(47,0){$\vec r_0$} \put(27,92){$\vec r$} \put(08,45){$c_1$} \put(62,55){$c_2$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{8.5cm} Damit es einem beliebigen Punkt $\vec r$ ein Potential eindeutig zugeordnet werden kann, muß jedes beliebige Linienintegral $$\int\limits_{\vec r_0}^{\vec r} \vec E(\vec r\,')\,\vec{dr'}$$ zwischen zwei beliebigen Punkten vom Integrationsweg unabhängig sein. \end{minipage} \end{flushleft} $$\underbrace{\int\limits_{\vec r_0}^{\vec r} \vec E (\vec r\,') \vec{dr'}}_{\textnormal{\small Weg }c_1} = \underbrace{\int\limits_{\vec r_0}^{\vec r} \vec E (\vec r\,') \vec{dr'}}_{\textnormal{\small Weg }c_2} \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} \underbrace{\int\limits_{\vec r_0}^{\vec r} \vec E (\vec r\,') \vec{dr'}}_{\textnormal{\small Weg }c_1} + \underbrace{\int\limits_{\vec r}^{\vec r_0} \vec E (\vec r\,') \vec{dr'}}_{\textnormal{\small Weg }c_2} = 0$$ \begin{minipage}[c]{4.5cm} \framebox{\quad $\displaystyle\oint\limits_{c_1,c_2}^{\vphantom{a}}\! \vec E(\vec r\, ') \, \vec{dr} = 0$\quad } \end{minipage} \begin{minipage}[c]{7cm} $\Rightarrow$ Umlaufintegral, bzw. Zirkulation des Feldes $\vec E$ gleich Null (vgl. Maschensatz). \end{minipage} \vspace{0.35cm} Ein Vektorfeld $\vec A$ hat genau dann ein Potential, wenn das Umlaufintegral $\oint A(\vec r)\,\vec{dr} = 0$ auf jedem beliebigem geschlossenen Integrationsweg $c$ verschwindet. $\vec A$ heißt dann \emph{wirbelfrei}. \bigskip \begin{minipage}[t]{5.8cm} \center wirbelfrei \begin{picture}(100,100) \multiput(0,5)(0,20){5}{\vector(1,0){100}} \end{picture} \begin{itemize} \item elektrisches Feld \item stationäres el. Stömungsfeld \end{itemize} \end{minipage} \begin{minipage}[t]{5.8cm} \center nicht wirbelfrei \vspace{0.6cm} \includegraphics[width=2.9cm]{2} \begin{itemize} \item Magnetfeld \item el. Feld bei veränderlichem Magnetfeld \end{itemize} \end{minipage} \begin{description} \item[Beispiel:] $\vec v = v(y) \cdot \vec e_x$ \qquad $v(y) = v_0 \left(1-\frac{y^2}{b^2}\right)$ \begin{minipage}[c]{110pt} \begin{picture}(100,100) \thicklines \put(5,50){\vector(1,0){90}} \put(15,0){\vector(0,1){100}} \put(15,50){\vector(1,0){19}} \put(45,50){\vector(0,1){13}} \put(45,50){\line(0,1){20}} \put(45,70){\vector(-1,0){18}} \put(45,70){\line(-1,0){30}} \put(15,70){\vector(0,-1){15}} \thinlines \put(88,41){$x$} \put(18,94){$y$} \put(5,50){\color{grau}\vector(1,0){70}} \multiput(5,45)(0,10){2}{\color{grau}\vector(1,0){70}} \multiput(5,37.5)(0,25){2}{\color{grau}\vector(1,0){70}} \multiput(5,23)(0,54){2}{\color{grau}\vector(1,0){70}} \multiput(14,30)(0,40){2}{\line(1,0){2}} \put(0,27){$-b$} \put(8,67){$b$} \put(28,42){$c_1$} \put(48,57){$c_2$} \put(28,74){$c_3$} \put(4,57){$c_4$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{7cm} $$\oint\vec v \vec{dr} = \int\limits_{c_1}\vec v \vec{dr} + \int\limits_{c_2}\vec v \vec{dr} + \int\limits_{c_3}\vec v \vec{dr} + \int\limits_{c_4}\vec v \vec{dr}$$ $c_1$ : $\vec v = v_0\cdot\vec e_x$, $\vec r = x\cdot\vec e_x$, $\vec{dr} = dx\cdot\vec e_x$ $c_2$ und $c_4$ : $\vec c \perp \vec{dr} \Rightarrow 0$, $c_3$ : $v = 0 \Rightarrow 0$ \end{minipage} $$\oint\vec v\,\vec{dr} = \int\limits_{0}^{a} v_0 \cdot \underbrace{\vec e_x \cdot\vec e_x}_{1} \cdot dx = v_0 \cdot a \ne 0$$ $\Rightarrow$ Wirbelfeld \end{description} \subsection{Berechnung der Feldstärke aus dem Potential} $$\varphi(\vec r) = \varphi(\vec r_0) - \int\limits_{\vec r_0}^{\vec r} \underbrace{\vec E(\vec r) \,\vec{dr'}}_{-d\varphi}$$ Potentialänderung über einem Wegdifferential $$d\varphi = - \vec E \cdot \vec{dr} = E\,dr\cdot \cos \alpha \qquad \alpha \measuredangle \left(-\vec E,\; \vec{dr}\right)$$ \subsubsection{Spezialfälle} \begin{enumerate} \item $\alpha = 90^{\circ} \Rightarrow d\varphi = 0$ \smallskip $\Rightarrow \vec{dr}$ auf Äquipotentialfläche $\Rightarrow \vec E$ auf Äquipotentialfläche in Richtung $-\vec e_n$ $\vec e_n$ : Normaleneinheitsvektor in Richtung zunehmenden Potentials\\ (senkrecht zu den Äquipotentialflächen) \item $\alpha = 0^{\circ} \qquad \vec{dr} = \vec{dn} = dn\cdot \vec e_n$ $\Rightarrow d\varphi = E\cdot dr = E \cdot dn$ $$\vec E = \frac{d\varphi}{dn}(-\vec e_n) \Rightarrow \framebox{$\displaystyle\vec E = -\frac{d\varphi}{dn} \vec e_n = - grad(\varphi)$}$$ in kartesischen Koordinaten $\varphi(x,\,y,\,z)$: $d\varphi = - \vec E\cdot \vec{dr}$ \begin{eqnarray*} \underbrace{\frac{\partial\varphi}{\partial x}dx + \frac{\partial\varphi}{\partial y}dy + \frac{\partial\varphi}{\partial z}dz}_{\textnormal{Totales Potentialfeld}} &\!\!\!\!=&\!\!\!\! - (E_x\vec e_x\! +\! E_y \vec e_y\! +\! E_z\vec e_z) \cdot (dx\vec e_x\! +\! dy\vec ey\! +\! dz\vec ez)\\ &\!\!\!\!=&\!\!\!\! -(E_x\,dx + E_y \, dy + E_z \, dz) \end{eqnarray*} $\displaystyle \quad \Rightarrow E_x = - \frac{\partial\varphi}{\partial x} \qquad E_y = - \frac{\partial\varphi}{\partial y} \qquad E_z = - \frac{\partial\varphi}{\partial z}$ $$\framebox{$\displaystyle \vec E = - \left(\frac{\partial\varphi}{\partial x}\cdot e_x + \frac{\partial\varphi}{\partial y}\cdot e_y + \frac{\partial\varphi}{\partial z}\cdot e_z\right) = -grad(\varphi)$}$$ \begin{description} \item[Beispiel:] $\varphi = k\cdot x \cdot y$ \begin{eqnarray*} \vec E &=& - \left(\frac{\partial\varphi}{\partial x}\cdot e_x + \frac{\partial\varphi}{\partial y}\cdot e_y + \frac{\partial\varphi}{\partial z}\cdot e_z\right)\\ & =& -ky \cdot \vec e_x - kx \cdot \vec e_y + 0 \cdot \vec e_z\\ & = & -ky\cdot \vec e_x - kx\cdot \vec e_y \end{eqnarray*} Komponentenweise: $E_x = -ky \qquad E_y = -kx \qquad E_z = 0$ \smallskip Betrag, Äquipotentiallinien: $E = |\vec E| = k\cdot \sqrt{x^2 + y^2}$ \end{description} \end{enumerate} \subsection{Graphische Konstruktion ebener Felder} \begin{minipage}[c]{90pt} \begin{picture}(90,90) \put(50,50){\circle*{3}} \put(50,50){\circle{10}} \put(50,50){\circle{20}} \put(50,50){\circle{30}} \put(50,50){\circle{45}} \put(50,50){\vector(0,1){30}} \put(50,50){\vector(1,0){30}} \put(50,50){\vector(0,-1){30}} \put(50,50){\vector(-1,0){30}} \put(50,50){\vector(1,1){25}} \put(50,50){\vector(-1,1){25}} \put(50,50){\vector(1,-1){25}} \put(50,50){\vector(-1,-1){25}} \qbezier(50,63)(52.5,64)(53,65.5) \put(51.2,64.7){\circle*{1}} \put(51.1,61){\circle*{1}} \qbezier(50,63)(52,62)(52,60) \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{9.4cm} Beispiel: Im ebenen Feld ist das Potential unabhängig von der $z$--Koordinate. Daher $\frac{\partial\varphi}{\partial z} = 0 \Rightarrow E_z = 0 \Rightarrow \vec E$ in $x$--$y$--Ebene. Die Äquipotentialflächen sind senkrecht zur $x$--$y$--Ebene, die Äquipotentiallinien liegen in der $x$--$y$--Ebene und senkrecht auf den $\vec E$--Linien. Bei geeigneter Maßstabswahl ergeben sich quadratähnliche Figuren. \end{minipage} \chapter{Stationäres elektrisches Strömungsfeld} \begin{description} \item[Kennzeichen:] Leitfähiges Medium nötig $\displaystyle I =\frac{dQ}{dt} = const \Rightarrow$ alle Feldgrößen zeitlich konstant \end{description} \section{Feldstärke und Stromdichtefeld} \subsection{Feldstärke und Geschwindigkeit der Ladungsträger} \begin{minipage}[c]{120pt} \begin{picture}(120,120) \multiput(30,10)(-10,20){3}{\color{grau}\vector(2,1){80}} \put(95,77){\huge$\color{grau}\vec E$} \multiput(50,10)(20,10){3}{\line(-1,2){30}} \put(40,40){\circle*{3}} \put(33,44){$Q$} \thicklines \put(40,40){\vector(2,1){30}} \put(60,56){$\vec F$} \put(15,75){$\varphi_1$} \put(35,85){$\varphi_2$} \put(55,95){$\varphi_3$} \put(25,80){$<$} \put(45,90){$<$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{8.3cm} Durch das elektrische Feld $\vec E$ wirkt eine Kraft $\vec F$ auf die Ladung $Q$. Somit entsteht eine Bewegung der Ladung im stationären Zustand. Durch das Gleichgewicht zwischen der elektrischen Antriebskraft und nichtelektrischen Bremskräften stellt sich eine konstante Geschwindigkeit ein. \bigskip $\Rightarrow$ Geschwindigkeitsfeld $\vec v(\vec r)$ \end{minipage} \begin{center} \framebox{\quad $\vphantom{\displaystyle\int}\vec v(\vec r) = \mu \cdot \vec E$ \quad} \vspace{0.7cm} $\mu$ : Beweglichkeit der Ladungsträger $$[\mu] = \frac{[v]}{[E]} = \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \cdot \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{V}} = \frac{\mathrm{m^2}}{\mathrm{V\,s}}$$ \end{center} \subsection{Stromdichte} \begin{minipage}[c]{145pt} \begin{picture}(120,70) \multiput(10,20)(0,20){2}{\vector(1,0){100}} \multiput(10,20)(100,0){2}{\qbezier(0,0)(-7,10)(0,20)} \qbezier(110,20)(117,30)(110,40) \qbezier(80,20)(73,30)(80,40) \qbezier(80,20)(87,30)(80,40) \put(25,55){Feldlinien} \put(80,15){\vector(1,0){30}} \put(110,15){\vector(-1,0){30}} \put(88,05){$\Delta s$} \qbezier(108,23)(108,23)(113,27) \qbezier(107,26)(107,26)(113.5,31) \qbezier(106.5,30)(106.5,30)(112.5,34.5) \qbezier(107.5,34.5)(107.5,34.5)(111.4,37.5) \put(86,26){$\Delta Q$} \thicklines \put(110,30){\vector(1,0){15}} \thinlines \put(127,26){$\Delta I$} \qbezier(50,53)(58,50)(60,43) \put(120,45){$\Delta A_{\perp}$} \qbezier(115,35)(120,35)(125,43) \end{picture} \center $\Delta V = \Delta s \cdot \Delta A_{\perp}$ \bigskip $\Delta A_{\perp}$ : $\perp$ auf $\vec v$ \end{minipage} \begin{minipage}[c]{7cm} \center Raumladungsdichte $\varrho$: \bigskip \framebox{\quad $\varrho = \displaystyle\lim\limits_{\Delta V \to 0} \frac{\Delta Q}{\Delta V}$\quad} \bigskip Stromdichte $\vec S$: \bigskip Betrag: \quad \framebox{$ \quad S = \displaystyle\lim\limits_{\Delta A_{\perp} \to 0} \frac{\Delta I}{\Delta A_{\perp}}\quad $} \bigskip Richtung: $\vec S \uparrow\uparrow \vec v$ \end{minipage} \vspace{0.7cm} $$\textnormal{mit } \Delta I = \frac{\Delta Q}{\Delta t} = \frac{\varrho \cdot \Delta V}{\Delta t} = \frac{\varrho \cdot \Delta A_{\perp}\cdot \Delta s}{\Delta t} = \varrho \cdot v \cdot \Delta A_{\perp}$$ \bigskip \begin{center} \framebox{\quad $\displaystyle\vphantom{\int}\vec S = \varrho \cdot \vec v$\quad} \qquad $[S] = \displaystyle\frac{[I]}{[A]} = \frac{\mathrm{A}}{\mathrm{m^2}}$ \end{center} \subsection{Leitfähigkeit} $$\vec E \stackrel{\mu}{\longrightarrow} \vec v \stackrel{\varrho}{\longrightarrow} \vec S \qquad \qquad \vec S = \varrho \cdot \vec v = \underbrace{\varrho\cdot \mu}_{\kappa} \cdot \vec E$$ \framebox{\hspace{8pt} $\displaystyle\vphantom{\int}\vec S = \kappa\cdot \vec E $\hspace{8pt}} $\Rightarrow$ \begin{minipage}{255pt}\center Zusammenhang zwischen Stromdichte und Feldstärke (Ohmsches Gesetz des stationären Störungsfeldes) \end{minipage} \bigskip \framebox{\quad $\kappa = \varrho \cdot \mu \displaystyle\vphantom{\int}$\quad} \qquad elektrische Leitfähigkeit (Materialkonstante) \bigskip $\displaystyle[\kappa] = [\varrho][\mu] = \frac{\mathrm{As}}{\mathrm{m^2}} \cdot \frac{\mathrm{m^2}}{\mathrm{Vs}} = \frac{\mathrm{A}}{\mathrm{Vm}} = \frac{\mathrm{S}}{\mathrm{m}} = \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{\Omega m}}$ \begin{description} \item[Beispiel:] Bestätigung über Widerstandsberechnung $$\Delta R = \displaystyle\frac{\Delta U}{\Delta I} = \frac{\vec E\cdot \Delta s}{\vec S \cdot \Delta A} = \frac{\Delta s}{\kappa \cdot \Delta A} $$ \end{description} \subsection{Strom durch ein Flächenelement} \begin{minipage}[c]{110pt} \begin{picture}(110,90) \multiput(30,10)(-10,20){3}{\vector(2,1){70}} \qbezier(048,38)(048,38)(053,42) \qbezier(047,41)(047,41)(053.5,46) \qbezier(046.5,45)(046.5,45)(052.5,49.5) \qbezier(047.5,49.5)(047.5,49.5)(051.4,52.5) \qbezier(50,35)(43,45)(50,55) \qbezier(50,35)(57,45)(50,55) \put(78,42){$\vec{dA}$} \put(31,50){$dA$} \put(92,62){$\vec S$} \put(50,45){\vector(1,0){26}} \qbezier(70,45)(70,50)(65,52.5) \put(61,46.5){$\scriptstyle \alpha$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{8cm} $dI$ : Strom durch Flächenelement \begin{eqnarray*} dI & = & S\cdot dA \cdot \cos \alpha\\ & = & |\vec S| \cdot |\vec{dA}| \cdot \cos \alpha\\ & = & \vec S \cdot \vec{dA} \end{eqnarray*} \end{minipage} { \center Vektorielles Flächenelement $dA$ } \smallskip Betrag: $|\vec{dA}| = dA$ \hfill Richtung: $\perp$ Fläche $\rightarrow$ Flächennormale \subsection{Strom durch eine umrandete Fläche} \begin{minipage}[c]{130pt} \begin{picture}(110,90) \setlength{\unitlength}{1.2pt} \qbezier(50,10)(46,12)(46,35) \qbezier(46,35)(46,58)(50,60) \qbezier(50,10)(54,12)(54,35) \qbezier(54,35)(54,58)(50,60) \qbezier(50,10)(82,35)(50,60) \multiput(20,20)(0,15){3}{\line(1,0){30}} \qbezier(57,50)(75,50)(80,57) \put(80,56.7){\vector(1,1){0}} \qbezier(57,20)(75,20)(80,13) \put(80,13){\vector(1,-1){0}} \put(62,35){\vector(1,0){23}} \put(15,65){Rand} \put(1,32.5){$I\Rightarrow$} \qbezier(38,63)(40,61)(49,61) \qbezier(56,43)(56,43)(61,45) \qbezier(57,37)(57,37)(62,39) \qbezier(57,37)(57,37)(56,43) \qbezier(62,39)(62,39)(61,45) \put(59,41){\vector(1,0){15}} \put(76,40){$\scriptstyle\vec{dA}$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{8cm} $dI = \vec S \cdot \vec{dA}$ \bigskip \fbox{$\; I = \displaystyle\int\! dI = \iint\limits_{(HA)} \vec S\cdot \vec{dA} \vphantom{\iint\limits^{Wer das liest ist doof}} \;$}\hfill Oberflächenintegral % \iint sieht scheisse aus. \end{minipage} \subsection{Grundeigenschaft der Stromdichte} \begin{minipage}[c]{130pt} \begin{picture}(110,100) \qbezier(50,10)(40,11)(40,50) \qbezier(50,10)(60,11)(60,50) \qbezier(50,90)(40,89)(40,50) \qbezier(50,90)(60,89)(60,50) \multiput(20,20)(0,30){3}{\vector(1,0){60}} \put(12,90){Hülle} \put(84,46){$\vec S$} \qbezier(39,93)(48,93)(48,91) \qbezier(49,68)(49,68)(57,69) \qbezier(49,60)(49,60)(57,61) \multiput(49,60)(8,1){2}{\line(0,1){8}} \put(53,64){\vector(1,0){20}} \put(74,62){$\scriptstyle \vec{dA}$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{8cm} Gesamtstrom durch eine Hüllfläche ist stets Null. \bigskip \fbox{$\;\displaystyle I_{ges} = \oiint\limits_{(H)} \vec S \cdot \vec{dA} = 0 \; \vphantom{\iint\limits^{Bier}}$} \hfill Naturgesetz \bigskip \end{minipage} Das Strömungsdichtefeld ist quellenfrei. Stromdichte verhält sich wie eine inkompressible Flüssigkeit. \newpage \section{Bedingungen an Grenzflächen} \subsection{Tangentiale und senkrechte Strömung} \begin{minipage}[t]{6.2cm} \center \begin{picture}(150,90) \multiput(10,10)(0,60){2}{\line(1,0){130}} \multiput(10,10)(130,0){2}{\line(0,1){60}} \thicklines\put(75,10){\line(0,1){60}}\thinlines \multiput(65,30)(0,20){2}{\line(1,0){20}} \multiput(0,0)(20,0){2}{\qbezier(65,50)(60,48)(60,40)} \multiput(0,0)(20,0){2}{\qbezier(65,30)(60,32)(60,40)} \qbezier(85,50)(90,48)(90,40) \qbezier(85,30)(90,32)(90,40) \put(33,75){$\kappa_1 \qquad < \qquad \kappa_2$} \multiput(0,0)(65,0){2}{\put(30,40){\vector(1,0){25}}} \put(30,45){$\vec S_1$} \put(108,45){$\vec S_2$} \put(85,35){\vector(1,0){15}} \put(60,35){\vector(-1,0){10}} \put(45,25){$\scriptstyle \vec{dA_1}$} \put(90,25){$\scriptstyle \vec{dA_2}$} \end{picture} $\displaystyle\oiint\limits_{(H)} \vec S \vec{dA} = \vec S_1 \vec{dA_1} +\vec S_2 \vec{dA_2} = 0$ \end{minipage} \begin{minipage}[t]{6.2cm} \center \begin{picture}(150,90) \multiput(11,10)(0,60){2}{\line(1,0){129}} \multiput(11,10)(129,0){2}{\line(0,1){60}} \thicklines\put(11,40){\line(1,0){130}}\thinlines \multiput(30,20)(0,40){2}{\vector(1,0){90}} \put(123,17){$\vec E_1$} \put(123,57){$\vec E_2$} \multiput(60,30)(0,20){2}{\line(1,0){30}} \multiput(60,30)(30,0){2}{\line(0,1){20}} \put(78,30){\vector(1,0){0}} \put(73,50){\vector(-1,0){0}} \put(78,51.5){$\scriptstyle \vec{dr_1}$} \put(60,21.5){$\scriptstyle \vec{dr_2}$} \put(0,23){$\kappa_2$} \put(1,37){$\wedge$} \put(0,53){$\kappa_1$} \end{picture} $\displaystyle\oint \vec E \cdot \vec{dr} = \vec E_1 \vec{dr_1} + \vec E_2 \vec{dr_2} = 0$ \end{minipage} \newline \begin{minipage}[t]{6.2cm} \center \begin{picture}(150,105) \multiput(10,10)(0,60){2}{\line(1,0){130}} \multiput(10,10)(130,0){2}{\line(0,1){60}} \thicklines\put(75,10){\line(0,1){60}}\thinlines \multiput(0,0)(65,0){2}{\multiput(10,25)(0,15){3}{\vector(1,0){65}}} \put(33,73.5){$\vec S_1 \qquad = \qquad \vec S_2$} \end{picture} \smallskip $\vec{dA_1} = -\vec{dA_2} \Rightarrow \vec S_1 = \vec S_2$ \end{minipage} \begin{minipage}[t]{6.2cm} \center \begin{picture}(150,105) \multiput(11,10)(0,60){2}{\line(1,0){130}} \multiput(11,10)(130,0){2}{\line(0,1){60}} \thicklines\put(11,40){\line(1,0){130}}\thinlines \multiput(11,15)(0,5){5}{\vector(1,0){130}} \multiput(11,45)(0,10){3}{\vector(1,0){130}} \put(0,52){$\vec S_1$} \put(1,37){$\vee$} \put(0,22){$\vec S_2$} \end{picture} $\displaystyle\frac{\vec S_1}{\vec S_2} = \frac{\kappa_1}{\kappa_2} \Rightarrow \vec S_1 > \vec S_2$ \end{minipage} \newline % xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 3 \begin{minipage}[t]{6.2cm} \center \begin{picture}(150,105) \multiput(10,10)(0,60){2}{\line(1,0){130}} \multiput(10,10)(130,0){2}{\line(0,1){60}} \thicklines\put(75,10){\line(0,1){60}}\thinlines \multiput(10,15)(0,5){11}{\vector(1,0){65}} \multiput(75,25)(0,15){3}{\vector(1,0){65}} \put(33,73.5){$\vec E_1 \qquad > \qquad \vec E_2$} \end{picture} \smallskip $\displaystyle\kappa_1 \cdot E_1 = \kappa_2 \cdot E_2 \Rightarrow \frac{E_1}{E_2} = \frac{\kappa_2}{\kappa_1}$ \end{minipage} \begin{minipage}[t]{6.2cm} \center \begin{picture}(150,105) \multiput(11,10)(0,60){2}{\line(1,0){130}} \multiput(11,10)(130,0){2}{\line(0,1){60}} \thicklines\put(11,40){\line(1,0){130}}\thinlines \multiput(11,15)(0,15){4}{\vector(1,0){130}} \put(-1.5,52){$\vec E_1$} \put(0,37){$=$} \put(-1.5,22){$\vec E_2$} \end{picture} $\displaystyle\frac{\vec S_1}{\vec S_2} = \frac{\kappa_1}{\kappa_2} \Rightarrow \vec S_1 > \vec S_2$ \end{minipage} \newline \begin{minipage}[t]{6.2cm} \center \begin{picture}(150,115) \put(10,10){\vector(0,1){90}} \put(5,15){\vector(1,0){140}} \put(12,93){$\varphi$} \put(0,79){$\scriptstyle\varphi_0$} \put(8,77){\line(1,0){4}} \qbezier(10,77)(75,40)(75,40) \qbezier(140,30)(75,40)(75,40) \put(35,66){$-E_1x$} \put(95,40){$-E_2x$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[t]{6.2cm} \center \begin{picture}(150,115) \put(10,10){\vector(0,1){90}} \put(5,15){\vector(1,0){140}} \put(12,93){$\varphi$} \put(0,79){$\scriptstyle\varphi_0$} \put(8,77){\line(1,0){4}} \qbezier(10,77)(140,30)(140,30) \put(65,60){$-Ex$} \end{picture} \end{minipage} \bigskip An Grenzflächen sind die Tangentialkomponenten der Feldstärke die Normalkomponente der Stromdichte stetig. \subsection{Brechungsgesetz für Feldlinien} \begin{minipage}[c]{140pt} \begin{picture}(120,120) \put(60,10){\vector(0,1){100}} \put(0,60){\vector(1,0){120}} \put(30,30){\vector(1,1){30}} \put(60,60){\vector(3,1){45}} \thicklines \put(60,60){\vector(1,0){45}} \put(60,60){\vector(0,1){15}} \put(60,30){\vector(0,1){30}} \put(30,60){\vector(1,0){30}} \thinlines \multiput(60,75)(4,0){11}{\line(1,0){2}} \multiput(105,60)(0,4){4}{\line(0,1){2}} \multiput(30,30)(4,0){8}{\line(1,0){2}} \multiput(30,30)(0,4){8}{\line(0,1){2}} \put(20,20){$\vec S_1$} \put(107,76){$\vec S_2$} \put(37,63){$\scriptstyle\vec S_{1n}$} \put(62,40){$\scriptstyle\vec S_{1t}$} \put(77,51){$\scriptstyle\vec S_{2n}$} \put(62,66.5){$\scriptstyle\vec S_{2t}$} \put(0,5){\tiny Medium mit $\kappa_1$} \put(68,5){\tiny Medium mit $\kappa_2$} \put(42,53.5){$\scriptstyle\alpha_1$} \put(78,62){$\scriptstyle\alpha_2$} \qbezier(90,60)(92,65)(89,70) \qbezier(38,60)(38,50)(45,45) \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{7cm} $\vec S_1 = S_{1n} \cdot \vec e_n + S_{1t} \cdot \vec e_t \qquad \fbox{$S_{1n} = S_{2n} $}$ $\vec S_2 = S_{2n} \cdot \vec e_n + S_{2t} \cdot \vec e_t$ \bigskip $\vec E_1 = E_{1n} \cdot \vec e_n + E_{1t} \cdot \vec e_t \qquad \fbox{$E_{1t} = E_{2t} $}$ $\vec E_2 = E_{2n} \cdot \vec e_n + E_{2t} \cdot \vec e_t$ \bigskip $\displaystyle \frac{S_{t1}}{\kappa_1} = \frac{S_{2t}}{\kappa_2}$ \end{minipage} \bigskip $$\tan \alpha_1 = \frac{E_{1t}}{E_{1n}} = \frac{S_{1t}}{S_{1n}} \qquad \tan \alpha_2 = \frac{E_{2t}}{E_{2n}} = \frac{S_{2t}}{S_{2n}}$$ \bigskip \fbox{\quad $\displaystyle\frac{\tan\alpha_1}{\tan\alpha_2} = \underbrace{\frac{S_{1t}}{S_{2t}}}_{\frac{\kappa_1}{\kappa_2}} \cdot \underbrace{\frac{S_{2n}}{S_{1n}}}_{1} = \underbrace{\frac{E_{1t}}{E_{2n}}}_{1} \cdot \underbrace{\frac{E_{2n}}{E_{1n}}}_{\frac{\kappa_1}{\kappa_2}} = \frac{\kappa_1}{\kappa_2} \vphantom{\overbrace{\frac{habe}{durst}}^{ich}}\quad $} \bigskip Beim Übergang des Stromes in ein besser/schlechter leitendes Medium werden die Feldlinien vom/zum Einfallslot weg/hin gebrochen. \subsection{Grenzflächen zum idealen Leiter/Nichtleiter} \begin{minipage}[t]{6.2cm} { \center idealer Leiter \begin{picture}(100,100) \put(15,85){\line(1,-1){80}} \multiput(20,80)(05,-05){15}{\line(2,1){20}} \put(0,75){$\kappa_1$} \put(60,75){$\kappa_2 \to \infty$} \thicklines\put(20,20){\vector(1,1){30}} \put(3,8){$\vec S,\,\vec E$} \end{picture} } $$\tan\alpha_1 = 0 \Rightarrow \alpha_1 = 0$$ \flushleft Feldlinien stehen senkrecht auf der Oberfläche. Grenzfläche ist Äquipotentialfläche. \end{minipage} \begin{minipage}[t]{6.2cm} { \center idealer Nichtleiter \begin{picture}(100,100) \put(15,85){\line(1,-1){80}} \multiput(20,80)(05,-05){15}{\line(2,1){20}} \put(0,75){$\kappa_1$} \put(60,75){$\kappa_2 \to 0$} \thicklines\put(80,20){\vector(-1,1){30}} \put(50,15){$\vec S,\,\vec E$} \end{picture} } $$\tan \alpha_2 = 0 \Rightarrow \alpha_1 = 90^{\circ}$$ \flushleft Feldlinien verlaufen entlang der Oberfläche. Grenzfläche ist Einhällende der Feldlinien. Potentialflächen stehen senkrecht auf Grenzfläche. \end{minipage} \subsubsection{Praktische Anwendung} Eine Äquipotentialfläche/Einhüllende aus Feldlinien kann durch eine ideal leitende Grenzfläche/ideal nichtleitende Grenzfläche ersetzt werden, ohne daß sich das Feldbild ändert. \section{Elementare Strömungsfelder} \begin{description} \item[Grundaufgabe:]\quad \newline gegeben: Medium ($\kappa$), Anordnung (Grenzfläche, Einströmungen. gesucht: $\varphi$, $\vec S$, $\vec E \Rightarrow U$, $I$, $R$, $G$, $P$ \end{description} Einfache Felder lassen sich analytisch berechnen (homogen, kugelsymmetrisch, zylindersymmetrisch). \subsection{Punktquelle} \begin{minipage}[c]{125pt} \begin{picture}(120,70) \multiput(20,28)(0,4){2}{\line(1,0){50}} \put(20,30){\line(1,0){55}} \put(15,30){\vector(1,0){32}} \put(75,30){\circle*{3}} \put(75,30){\circle{30}} \put(75,35){\vector(0,1){25}} \put(80,30){\vector(1,0){25}} \put(75,25){\vector(0,-1){25}} \put(80,25){\vector(1,-1){20}} \put(80,35){\vector(1,1){20}} \put(70,35){\vector(-1,1){20}} \put(70,25){\vector(-1,-1){20}} \put(107,27){$\vec S$} \put(75,30){\vector(2,1){14}} \put(87,36){\line(2,1){15}} \put(92,32){$\scriptstyle\vec r$} \put(100,45){$\scriptstyle c$} \put(5,26){$I$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{7.5cm} Kugelsymmetrie: Strom $I$ verteilt sich gleich\-mäßig in alle Richtungen \end{minipage} \begin{enumerate} \item Stromdichte $S$ auf der Kugelfläche mit dem Radius $r$ überall gleich. Betrag: $\displaystyle S = \frac{I}{4\pi r^2}$ \qquad Richtung: $\vec S$ ist radial, also in Richtung $\displaystyle\vec e_r = \frac{\vec r}{r}$ \begin{center} \fbox{$\quad\displaystyle\vphantom{\int\limits_a^b}\vec S = \frac{I}{4\pi r^2}\cdot \vec e_r = \frac{I}{4\pi r^3}\vec r \quad$} \end{center} In kartesischen Koordinaten (Einströmung im Ursprung): $$\vec r = x\cdot\vec e_x + y\cdot \vec e_y + z\cdot \vec e_z \qquad r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$$ \begin{eqnarray*} \Rightarrow \vec S (x,y,z) &=& \frac{I\cdot(x\cdot \vec e_x + y\cdot \vec e_y + z \cdot \vec e_z)}{4\pi\cdot (x^2+y^2+z^2)^{\frac{2}{3}}}\\ & = & S_x(x,y,z) \cdot \vec e_x + S_y(x,y,z) \cdot \vec e_y + S_z(x,y,z)\cdot \vec e_z \vphantom{\int} \end{eqnarray*} $$S_x = \frac{I\cdot x}{4\pi(x^2+y^2+z^2)^{\frac{2}{3}}} \quad S_y = \frac{I\cdot y}{4\pi(x^2+y^2+z^2)^{\frac{2}{3}}}$$ $$ \quad S_z = \frac{I\cdot z}{4\pi(x^2+y^2+z^2)^{\frac{2}{3}}} $$ \item Feldstärke \begin{center} \fbox{$\quad \displaystyle \vec E = \frac{\vec S}{\kappa} = \frac{I}{4\pi\kappa r^3}\cdot \vec r\quad \vphantom{\int\limits^y_z}$} \end{center} \item Potential $$\vec{dr'} \upuparrows \vec E(r') \Rightarrow \vec E(\vec r')\cdot \vec{dr'} = E(\vec r') \cdot dr' = E(r) \cdot dr$$ \begin{eqnarray*} \varphi(\vec r) &=& \varphi(\vec r_0) - \int\limits_{\vec r_0}^{\vec r} \vec E(\vec r) \, \vec{dr}\\ &=& \varphi(\vec r_0) - \frac{I}{4\pi\kappa} \int\limits_{r_0}^{r}\frac{1}{r'^2} \, dr'\\ &=& \varphi(\vec r_0) - \frac{I}{4\pi\kappa}\left[-\frac{1}{r'}\right]^r_{r_0} = \varphi(\vec r_0) + \frac{I}{4\pi\kappa}\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_0}\right) \end{eqnarray*} Für die Bezugswerte $r_0 \to \infty$ und $\varphi(\vec r_0) = 0$ gilt: \smallskip \fbox{$\quad \displaystyle \varphi(\vec r) = \frac{I}{4\pi\kappa r}\vphantom{\int\limits_a^b}\quad$} \hfill kart. Koord.: $\displaystyle\varphi(x,y,z) = \frac{I}{4\pi\kappa \sqrt{x^2+y^2+z^2}}$ \smallskip \begin{minipage}[c]{110pt} \begin{picture}(100,100) \put(12,5){\vector(0,1){80}} \put(5,15){\vector(1,0){95}} \put(0,75){$E \hspace{7pt} \varphi$} \qbezier(20,70)(45,40)(80,40) \qbezier(18,70)(40,20)(80,20) \put(70,45){$\scriptstyle \varphi \sim \frac{1}{r}$} \put(68,25){$\scriptstyle E \sim \frac{1}{r^2}$} \put(90,7){$r$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{7.5cm} Äquipotentialflächen: \smallskip $\varphi(\vec r)$ = konst. $\rightarrow r =$ konst. sind Kugelflächen \bigskip Bei der dreidimensionalen Darstellung des Potentials in Abhängigkeit von $r$ ergibt sich der "`Potentialtrichter"' \end{minipage} Einströmung an beliebiger Stelle $\vec r_Q$ im Raum: $\vec r \Rightarrow \vec r - \vec r_Q$ \begin{center} \fbox{$\quad \displaystyle \varphi(\vec r) = \frac{I}{4\pi\kappa\cdot|\vec r - \vec r_Q|} \quad \vphantom{\int\limits_a^b}\quad$} \end{center} in kartesischen Koordinaten: $$\varphi(x,y,z) = \frac{I}{4\pi\kappa \cdot \sqrt{(x-x_Q)^2 + (y-y_Q)^2 + (z-z_Q)^2}} $$ \item Spannung zwischen zwei Punkten \begin{eqnarray*} U_{\vec r_1\,\vec r_2} &=& \int\limits_{\vec r_1}^{\vec r_2} \vec E(\vec{r'})\, \vec{dr} = \varphi(\vec r_1) - \varphi(\vec r_2)\\ & = & \frac{I}{4\pi\kappa r_1} + \frac{I}{4\pi\kappa r_2} \vphantom{\int\limits_a^d}\\ & = & \frac{I}{4\pi\kappa} \left(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}\right) \end{eqnarray*} \item Konzentrische Anordnung (Kugelwiderstand) \begin{minipage}[c]{100pt} \begin{picture}(100,100) \put(50,50){\circle{20}} \put(50,50){\circle{50}} \put(50,50){\circle*{2}} \put(50,50){\vector(0,1){10}} \put(50,50){\vector(0,1){20}} \put(51,52){$\scriptstyle \vec r_1$} \put(51,62){$\scriptstyle \vec r_2$} \multiput(30,48)(0,4){2}{\line(1,0){10}} \put(10,50){\vector(1,0){15}} \put(10,50){\line(1,0){40}} \put(3,47){$I$} \put(70,50){\circle*{2}} \put(70,50){\vector(1,0){15}} \put(88,47){$I$} \put(61,45){$\kappa$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{8cm} \begin{eqnarray*} R &=& \frac{U_{\vec r_1\vec r_2}}{I} = \frac{1}{4\pi\kappa}\left(\frac{1}{r_1} -\frac{1}{r_2}\right)\\ & = & \frac{1}{4\pi\kappa r_1} \left(1-\frac{r_1}{r_2}\right) \vphantom{\int\limits_a^b} \end{eqnarray*} Mit $r_2 \to \infty$: \end{minipage} \begin{minipage}[c]{4cm} \fbox{$\quad \displaystyle R \longrightarrow \frac{1}{4\pi\kappa r_1} \quad \vphantom{\int\limits_a^b}\quad$} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{7.5cm} Übergangswiderstand einer Kugel gegenüber dem unendlichen Raum $(r_2 \gg r_1)$. \end{minipage} \end{enumerate} \subsubsection{Anwendungen} \begin{enumerate} \item Tief vergrabener Kugelerder\newline \begin{minipage}[c]{120pt} \begin{picture}(120,110) \put(0,70){\line(1,0){100}} \multiput(0,70)(10,0){10}{\line(1,-1){10}} %\multiput(10,70)(10,0){10}{\line(-1,-1){10}} \put(50,30){\circle{20}} \qbezier(50,70)(70,85)(90,70) \put(67,80){$U$} \put(92,72){$0$} \put(90,70){\vector(4,-3){0}} \put(50,30){\vector(1,0){10}} \put(48,25){$\scriptstyle r_K$} \thicklines \put(50,85){\line(0,-1){45}} \put(50,85){\vector(0,-1){15}} \put(2,52){\tiny Erdreich} \put(48,87){$I$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{7cm} $$R = \frac{1}{4\pi\kappa r_K} \qquad U = R\cdot I$$ Zahlenbeispiel: $r_K = 1\,\mathrm{m}, \; \kappa = 10^{-2}\,\frac{\mathrm{S}}{\mathrm{m}}$ $$R= \frac{1\,\mathrm{m}}{4\pi\cdot 10^{-2}\,\mathrm{S}\cdot 1\,\mathrm{m}} \approx 8\,\Omega$$ \end{minipage} \newpage \item Halbkugelerder\newline \begin{minipage}[c]{120pt} \includegraphics[width=3.2cm]{3} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{7cm} $I$ verteilt sich gleichmäßig im unteren Halbraum: $$\vec S = \frac{I}{2\pi r^2} \Rightarrow E = \frac{I}{2\pi\kappa r^2} \Rightarrow \varphi = \frac{I}{2\pi\kappa r}$$ Übergangswiderstand: $\displaystyle R = \frac{1}{2\pi\kappa r_k}$ \end{minipage} \end{enumerate} \subsection{Unendlich ausgedehnter Linienleiter} \begin{minipage}[c]{110pt} \begin{picture}(100,120) \multiput(48,10)(4,0){2}{\line(0,1){100}} \multiput(52,30)(0,55){2}{\vector(1,0){35}} \multiput(48,30)(0,55){2}{\vector(-1,0){35}} \multiput(50,29)(0,55){2}{\vector(-1,-1){20}} \multiput(52,31)(0,55){2}{\vector(1,1){18}} \multiput(48,31)(0,55){2}{\vector(-1,1){18}} \multiput(50,29)(0,55){2}{\vector(1,-1){20}} \multiput(0,0)(0,55){2}{\qbezier(30,9)(50,2)(70,9)} \multiput(0,0)(0,55){2}{\qbezier(70,9)(85,17)(87,30)} \multiput(0,0)(0,55){2}{\qbezier(70,49)(85,44)(87,30)} \multiput(0,0)(0,55){2}{\qbezier(30,49)(50,55.6)(70,49)} \multiput(0,0)(0,55){2}{\qbezier(30,49)(15,44)(13,30)} \multiput(0,0)(0,55){2}{\qbezier(30,9)(15,17)(13,30)} \put(90,30){\vector(0,1){55}} \put(90,85){\vector(0,-1){55}} \put(93,55){$l$} \put(67,87){$\vec r$} \put(50,120){\vector(0,-1){10}} \put(54,112){$I$} \multiput(13,30)(74,0){2}{\line(0,1){55}} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{8cm} \begin{description} \item[Zylindersymmetrie:] Strom verteilt sich radial senkrecht zum Leiter. Das Feld ist in Leiterrichtung konstant (ebenes Feld). \end{description} \end{minipage} \begin{enumerate} \item Berechnung der Stromdichte: $S$ auf Zylinderfläche konstant $$S = \frac{I}{2\pi\cdot r\cdot l} \qquad \vec S = \frac{I}{2\pi\cdot l\cdot r} \cdot \vec e_r = \frac{I \cdot \vec r}{2\pi\cdot l \cdot r^2}$$ In kartesischen Koordinaten: $$\vec S = \frac{I \cdot (x\cdot \vec e_x + y \cdot \vec e_y)}{2\pi\cdot l \cdot (x^2+y^2)}$$ \item Feldstärke $$\vec E = \frac{\vec S}{\kappa} = \frac{I \cdot \vec r}{2\pi\kappa\cdot l\cdot r^2}$$ \item Potential \begin{eqnarray*} \varphi(\vec r) &=& \varphi(\vec r_0) - \int\limits_{\stackrel{\vec r_0}{(c)}}^{\vec r} \underbrace{\vec E (\vec{r'})\,\vec{dr}}_{E(r')\,dr}\\ & = & \varphi(r_0) - \int\limits_{r_0}^{r}\frac{I}{2\pi\kappa l}\cdot \frac{1}{r'} \, dr'\\ & = & \varphi(r_0) - \frac{I}{2\pi\kappa l}\left[\ln r'\right]^r_{r_0} = \varphi(r_0) - \frac{I}{2\pi\kappa l} \cdot \ln\frac{r_0}{r} \end{eqnarray*} mit $\displaystyle\varphi(r_0) = 0: \quad \varphi(r) = \frac{I}{2\pi\kappa l} \ln \frac{r_0}{r}$ \item Spannung zwischen zwei Punkten $$U_{\vec r_1\vec r_2} = \varphi(\vec r_1) - \varphi(\vec r_2) = \frac{I}{2\kappa\pi l} \cdot \left(\ln\frac{r_0}{r_1} - \ln\frac{r_0}{r_2}\right) = \frac{I}{2\pi\kappa l}\cdot \ln\frac{r_2}{r_1}$$ \item Zylindersymmetrische Anordnung (Zylinderwiderstand) Anwendung: z.B. Koaxialkabel \begin{minipage}[c]{120pt} \begin{picture}(120,110) \multiput(56,15)(8,0){2}{\line(0,1){10}} \multiput(56,85)(8,0){2}{\line(0,1){15}} \multiput(0,0)(0,60){2}{\qbezier(30,30)(32,26)(60,25) \qbezier(60,25)(88,26)(90,30)} \qbezier(30,90)(32,94)(55.5,95) \qbezier(64,95)(88,94)(90,90) \multiput(30,30)(60,0){2}{\line(0,1){60}} \multiput(0,0)(0,85){2}{\qbezier(56,15)(60,13.5)(63.5,15)} \qbezier(56,100)(60,101.5)(63.5,100) \put(10,100){\line(1,0){46}} \put(10,100){\vector(1,0){10}} \multiput(10,100)(46,0){2}{\circle*{1}} \multiput(10,80)(20,0){2}{\circle*{1}} \put(10,80){\line(1,0){20}} \put(0,97){$I$} \put(0,85){$U$} \put(10,97){\vector(0,-1){14}} \multiput(60,0)(0,4){4}{\line(0,1){2}} \multiput(64,10)(0,4){2}{\line(0,1){2}} \put(60,10){\line(1,0){4}} \put(61,3){$\scriptstyle r_i$} \multiput(30,10)(0,4){8}{\line(0,1){2}} \put(30,10){\vector(1,0){30}} \put(60,10){\vector(-1,0){30}} \put(42.5,0){$ r_a$} \put(97,30){\vector(0,1){60}} \put(97,90){\vector(0,-1){60}} \put(99,57){$l$} \multiput(90,30)(0,60){2}{\multiput(0,0)(4,0){2}{\line(1,0){2}}} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{7.3cm} $$R = \frac{U_{\vec r_1 \vec r_2}}{I} = \frac{U_{r_a r_i}}{I} = \frac{1}{2\pi\kappa l}\cdot \ln\frac{r_a}{r_i}$$ \bigskip Zahlenbeispiel: $\kappa = 10^{-13}\,\frac{\mathrm{S}}{\mathrm{m}} \quad l = 1000\, \mathrm{m}$ \center \begin{tabular}{l|llll} ${r_a}/{r_i}$ & 2 & 5 & 10 & 100 \\ \hline $R/\Omega$ & 1,1 & 2,6 & 3,7 & 7,3 \end{tabular} \end{minipage} \end{enumerate} \subsection{Zusammengesetzte Felder} Überlagerungssatz: Die Feldgrößen $(\vec E,\, \vec S,\, \varphi)$ der einzelnen Einströmungen addieren sich (vektoriell, skalar). \begin{minipage}[c]{80pt} \begin{picture}(75,75) \put(0,0){$0$} \put(7,9){\circle*{2}} \put(7,9){\vector(1,0){45}} \put(7,9){\vector(2,1){40}} \put(7,9){\vector(2,3){25}} \put(25,0){$\vec r_3$} \put(09,29){$\vec r_1$} \put(25,24){$\vec r_2$} \put(62,54){\circle*{2}} \put(65,57){$\vec r$} \put(36,53.5){$\scriptstyle \vec r - \vec r_1$} \put(32,46.5){\vector(4,1){30}} \thicklines \put(32,46.5){\circle*{2}} \put(22,58){$I_1$} \put(32,46.5){\line(-1,1){15}} \put(17,61.5){\vector(1,-1){10}} \put(47,29){\circle*{2}} \put(47,29){\line(1,1){15}} \put(62,44){\vector(-1,-1){10}} \put(58,31){$I_2$} \put(52,9){\circle*{2}} \put(52,9){\line(1,1){15}} \put(67,24){\vector(-1,-1){10}} \put(63,13){$I_3$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{9cm} $$\varphi(\vec r) = \sum_{n=1}^3 \varphi_n(\vec r) = \frac{1}{4\pi\kappa}\sum_{n=1}^{3}\frac{I_n}{|\vec r - \vec r_n|}$$ $$\vec E(\vec r) = \sum_{n=1}^3 \vec E_n(\vec r) = \frac{1}{4\pi\kappa} \sum_{n=1}^3 \frac{I_n (\vec r - \vec r_n)}{|\vec r - \vec r_n|^3}$$ \end{minipage} \subsubsection{Beispiel: Zwei Punkt--Einströmungen} \begin{minipage}[c]{90pt} \begin{picture}(80,65) \put(0,20){\vector(1,0){80}} \put(40,0){\vector(0,1){60}} \multiput(15,20)(50,0){2}{\circle*{2}} \multiput(15,18)(50,0){2}{\line(0,1){3}} \put(40,20){\vector(1,0){25}} \put(40,20){\vector(-1,0){25}} \put(8,13){$\scriptstyle -a$} \put(63,13){$\scriptstyle a$} \put(73,13){$\scriptstyle x$} \put(32,55){$\scriptstyle y$} \put(60,50){\circle*{2}} \put(40,20){\vector(2,3){20}} \put(47,40){$\vec r$} \put(26,12){$\scriptstyle\vec r_1$} \put(50,12){$\scriptstyle\vec r_2$} \thicklines \multiput(0,0)(-50,0){2}{\put(65,20){\line(1,2){10}} \put(68,26){\vector(-1,-2){0}}} \put(09,33){$I_1$} \put(58,33){$I_2$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{9.3cm} ($z = 0 \rightarrow$ Schnittebene geht durch beide Einströmpunkte, Gesamtfeld: Rotation um $x$--Achse) $$\vec r = \left(\!\!\begin{array}{c}x\\y\end{array}\!\!\right) \qquad \vec r_1 = \left(\!\!\begin{array}{c}-a\\0\end{array}\!\!\right) \qquad \vec r_2 = \left(\!\!\begin{array}{c}a\\0\end{array}\!\!\right)$$ \end{minipage} \begin{eqnarray*} \varphi(\vec r) &=& \frac{1}{4\pi\kappa} \left(\frac{I_1}{|\vec r - \vec r_1|} + \frac{I_2}{|\vec r - \vec r_2|}\right) \vphantom{\Bigg(}\\ &=& \frac{1}{4\pi\kappa} \left(\frac{I_1}{\sqrt{(x+a)^2+(y-0)^2}} + \frac{I_2}{\sqrt{(x-a)^2 + (y-0)^2}}\right) \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} E(\vec r) &=& \frac{1}{4\pi\kappa} \left(I_1 \frac{\vec r - \vec r_1}{|r - r_1|^3} + I_2 \frac{\vec r - \vec r_2}{|r - r_2|^3}\right) \vphantom{\Bigg(}\\ &=& \frac{1}{4\pi\kappa} \left(\frac{I_1}{\left((x+a)^2+y^2\right)^{\frac{3}{2}}}\left(\!\!\begin{array}{c}x+a\\y\end{array}\!\!\right) + \frac{I_2}{\left((x-a)^2 + y^2\right)^{\frac{3}{2}}}\left(\!\!\begin{array}{c}x-a\\y\end{array}\!\!\right)\right) \end{eqnarray*} \subsubsection{Spezialfälle} \setlength{\parindent}{0pt} %%%%% MÖÖÖÖÖÖÖÖÖP! 1. Fall: $I_1 = I_2 = I$ \begin{minipage}[t]{7cm} $\varphi = \frac{I}{4\pi\kappa}\left(\frac{1}{\sqrt{(x+a)^2+y^2}}+\frac{1}{\sqrt{(x-a)^2+y^2}}\right)$ \end{minipage} \begin{minipage}[c]{140pt} \begin{picture}(140,100) \put(0,50){\vector(1,0){140}} \put(70,0){\vector(0,1){100}} \multiput(45,50)(50,0){2}{\circle*{2}} \multiput(45,50)(50,0){2}{\circle{15}} \multiput(45,50)(50,0){2}{\circle{30}} \qbezier(70,68)(75,68)(80,71) \qbezier(80,71)(100,83)(113,70) \qbezier(113,70)(121,61)(121,50) \qbezier(113,30)(121,39)(121,50) \qbezier(80,29)(100,17)(113,30) \qbezier(70,32)(75,32)(80,29) \qbezier(70,68)(65,68)(60,71) \qbezier(60,71)(40,83)(27,70) \qbezier(27,70)(19,61)(19,50) \qbezier(27,30)(19,39)(19,50) \qbezier(60,29)(40,17)(27,30) \qbezier(70,32)(65,32)(60,29) \multiput(0,0)(50,0){2}{ \put(45,50){\vector(1,0){15}} \put(45,50){\vector(-1,0){15}} \put(45,50){\vector(0,1){15}} \put(45,50){\vector(0,-1){15}} \put(45,50){\vector(1,1){10}} \put(45,50){\vector(-1,1){10}} \put(45,50){\vector(1,-1){10}} \put(45,50){\vector(-1,-1){10}}} \qbezier(55,60)(65,68)(65,90) \qbezier(60,50)(67,52)(67,90) \qbezier(45,65)(44,80)(40,90) \qbezier(35,60)(27,68)(10,70) \qbezier(55,40)(65,32)(65,10) \qbezier(60,50)(67,48)(67,10) \qbezier(45,35)(44,20)(40,10) \qbezier(35,40)(27,32)(10,30) \qbezier(85,60)(75,68)(75,90) \qbezier(80,50)(73,52)(73,90) \qbezier(95,65)(96,80)(100,90) \qbezier(105,60)(114,68)(130,70) \qbezier(85,40)(75,32)(75,10) \qbezier(80,50)(73,48)(73,10) \qbezier(95,35)(96,20)(100,10) \qbezier(105,40)(114,32)(130,30) \put(130,42){$x$} \put(74,93){$y$} \end{picture} \end{minipage} 2. Fall: $I_1 = -I \quad I_2 = I$ \begin{minipage}[c]{7cm} $\varphi = \frac{I}{4\pi\kappa}\left(\frac{1}{\sqrt{(x+a)^2+y^2}}-\frac{1}{\sqrt{(x-a)^2+y^2}}\right)$ \end{minipage} \begin{minipage}[c]{140pt} \begin{picture}(140,100) \put(0,50){\vector(1,0){140}} \put(70,0){\vector(0,1){100}} \multiput(45,50)(50,0){2}{\circle*{2}} \multiput(45,50)(50,0){2}{\circle{15}} \multiput(45,50)(50,0){2}{\circle{30}} \put(95,50){\vector(1,0){15}} \put(95,50){\vector(-1,0){15}} \put(95,50){\vector(0,1){15}} \put(95,50){\vector(0,-1){15}} \put(95,50){\vector(1,1){10}} \put(95,50){\vector(-1,1){10}} \put(95,50){\vector(1,-1){10}} \put(95,50){\vector(-1,-1){10}} \put(60,50){\line(-1,0){15}} \put(30,50){\line(1,0){15}} \put(45,65){\line(0,-1){15}} \put(45,35){\line(0,1){15}} \put(55,60){\line(-1,-1){10}} \put(35,60){\line(1,-1){10}} \put(55,40){\line(-1,1){10}} \put(35,40){\line(1,1){10}} \qbezier(55,60)(70,73)(85,60) \qbezier(45,65)(70,93)(95,65) \qbezier(35,60)(15,70)(10,90) \qbezier(105,60)(125,70)(130,90) \qbezier(55,40)(70,27)(85,40) \qbezier(45,35)(70,07)(95,35) \qbezier(35,40)(15,30)(10,10) \qbezier(105,40)(125,30)(130,10) \put(130,42){$x$} \put(74,93){$y$} \qbezier(66,50)(65,75)(45,90) \qbezier(66,50)(65,25)(45,10) \qbezier(74,50)(75,75)(95,90) \qbezier(74,50)(75,25)(95,10) \end{picture} \end{minipage} \subsubsection{Anwendungen} \begin{minipage}[t]{6cm} \begin{picture}(130,100) \put(0,50){\line(1,0){130}} \multiput(0,50)(7,0){18}{\line(1,-1){10}} \multiput(65,15)(0,70){2}{\circle{25}} \thicklines \put(65,27){\line(0,1){46}} \thinlines \qbezier(77,15)(95,25)(130,30) \qbezier(76,20)(95,35)(130,38) \qbezier(71,25)(75,40)(130,48) \qbezier(53,15)(35,25)(0,30) \qbezier(54,20)(35,35)(0,38) \qbezier(59,25)(55,40)(0,48) \end{picture} Kugelerder in endlicher Tiefe \end{minipage} \begin{minipage}[t]{6cm} \begin{picture}(130,100) \put(0,50){\line(1,0){13}} \put(117,50){\line(1,0){13}} \put(37,50){\line(1,0){56}} \multiput(0,50)(7,0){2}{\line(1,-1){10}} \multiput(38,50)(7,0){8}{\line(1,-1){10}} \multiput(118,50)(7,0){1}{\line(1,-1){10}} \multiput(25,50)(80,0){2}{\circle{25}} \multiput(63,12.5)(0,7){3}{\vector(-1,0){0}} \qbezier(25,38)(65,1)(105,38) \qbezier(31.5,40)(65,13)(098.5,40) \qbezier(18.5,40)(65,-15)(111.5,40) \put(25,62){\vector(0,1){15}} \put(105,77){\vector(0,-1){15}} \multiput(23,79)(80,0){2}{$I$} \end{picture} Zwei Halbkugelerder in endlichem Abstand \end{minipage} \newpage \section{Verlustleistung im Strömungsfeld} \subsection{Definition} Leistung $\Delta P_v$ im Volumen $\Delta V = \Delta A \cdot l$ (Stromröhre): \begin{minipage}[c]{140pt} \begin{picture}(130,100) \multiput(0,0)(105,0){2}{ \put(5,58){$\Delta I$} \thicklines\put(0,55){\vector(1,0){25}}\thinlines} \multiput(30,20)(70,0){2}{\line(0,1){70}} \qbezier(31,17)(65,05)(099,17) \put(100,17){\vector(4,1){0}} \put(57,0){$\Delta U$} \put(30,30){\vector(1,0){70}} \put(100,30){\vector(-1,0){70}} \put(65,20){$l$} \multiput(0,0)(70,0){2}{ \qbezier(30,40)(27,42)(27,55) \qbezier(30,40)(33,42)(33,55) \qbezier(30,70)(27,68)(27,55) \qbezier(30,70)(33,68)(33,55)} \multiput(30,40)(0,30){2}{\vector(1,0){37}} \multiput(65,40)(0,30){2}{\line(1,0){35}} \multiput(33,50)(0,10){2}{\vector(1,0){34}} \multiput(67,50)(0,10){2}{\line(1,0){30}} \put(57,80){$\Delta V$} \put(110,35){$\Delta A$} \put(1,35){$\Delta A$} \qbezier(29,50)(20,48)(20,38) \qbezier(101,50)(110,48)(110,38) \qbezier(75,82)(85,83)(85,65) \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{7cm} \begin{eqnarray*} \Delta P_v & = & \Delta U \cdot \Delta I\\ & = & E\cdot \Delta l \cdot S \cdot \Delta A\\ & = & E\cdot S \cdot \underbrace{\Delta A\cdot \Delta l}_{\Delta V}\\ & = & E\cdot S \cdot \Delta V \end{eqnarray*} \end{minipage} \bigskip Verlustleistungsdichte im elektrischen Strömungsfeld: $$\displaystyle p_v = \lim\limits_{\Delta V \to 0}\frac{\Delta P}{\Delta V} = E\cdot S = \kappa \cdot E^2 = \frac{S^2}{\kappa} \hspace{1cm} [p_v] = \frac{\mathrm{W}}{\mathrm{m}^3} $$ Verlustleistung in einem endlichen Volumen $V$: \begin{center}\fbox{\qquad $\vphantom{\int\limits_a^b}\displaystyle P_v = \iiint p_v \; dV $\qquad}\end{center} \subsection{Beispiele} \begin{enumerate} \item Homogenes Feld \begin{minipage}[c]{130pt} \begin{picture}(130,100) \multiput(0,0)(112,0){2}{ \put(4,58){$I$} \thicklines\put(0,55){\vector(1,0){18}}\thinlines} \multiput(24,55)(76,0){2}{\line(1,0){6}} \multiput(23,55)(84,0){2}{\circle{2}} \thicklines\multiput(30,30)(70,0){2}{\line(0,1){50}}\thinlines \multiput(30,22.5)(70,0){2}{\line(0,1){5}} \qbezier(31,17)(65,05)(099,17) \put(100,17){\vector(4,1){0}} \put(57,0){$\Delta U$} \put(30,25){\vector(1,0){70}} \put(100,25){\vector(-1,0){70}} \put(65,15){$l$} \multiput(30,30)(0,10){6}{\vector(1,0){70}} \put(110,25){$A$} \qbezier(101,40)(110,38)(110,28) \put(63,53){$\kappa$} \put(62,82){$\vec S$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{7.0cm} $$E = \frac{U}{l} \qquad S = \frac{I}{A}$$ \bigskip $$p_v = S\cdot E = \frac{U\cdot I}{l\cdot A} = \frac{P_v}{l\cdot A} = \frac{P_v}{V}$$ \end{minipage} $$p_v = \iiint\limits_{(V)}p_v\,dV = p_v \underbrace{\iiint dV}_{V} = p_v\cdot V= \frac{U\cdot I}{l\cdot A}\cdot I\cdot A = U\cdot I $$ \item Kugelelektrode \begin{minipage}[c]{105pt} \begin{picture}(100,100) \put(50,50){\circle{40}} \put(50,50){\circle{10}} \put(55,50){\vector(1,0){35}} \put(45,50){\vector(-1,0){35}} \put(50,55){\vector(0,1){35}} \put(50,45){\vector(0,-1){35}} \put(20,80){\line(1,-1){26.2}} \put(20,80){\vector(1,-1){15}} \put(30,72){$I$} \put(53.5,46.5){\vector(1,-1){10.5}} \put(58,43){$\scriptstyle\vec r_2$} \put(56,56){$\kappa$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{7.8cm} $$S = \frac{I}{4\pi r^2} \; \longrightarrow \; E = \frac{I}{4\pi\kappa r^2}$$ $$p_v = S\cdot E = \frac{I^2}{(4\pi)^2 \kappa}\cdot \frac{1}{r^4}$$ \end{minipage} In einem kugelförmigen Volumen $(r_K \leq r \leq r_2)$ umgesetze Leistung ($dV = 4\pi r^2 dr$): \begin{eqnarray*} p_v &=& \iiint\limits_{(V)} p_v\, dV = \int\limits_{r_K}^{r_2} \frac{I}{(4\pi)^2 \kappa r^4} \cdot 4\pi r^2 \, dr = \frac{I}{4\pi\kappa}\int\limits_{r_K}^{r_2} \frac{dr}{r^2}\\ & = & \frac{I^2}{4\pi\kappa} \left[-\frac{1}{r}\right]^{r_2}_{r_K} = \frac{I^2}{4\pi\kappa}\left[\frac{1}{r_K} - \frac{1}{r_2}\right] = I^2\cdot R \vphantom{\int\limits_a^b}\\ & = & \frac{I^2}{4\pi\kappa r_K}\left(1-\frac{r_K}{r_2}\right) = P_{v\infty}\left(1-\frac{r_K}{r_2}\right) \vphantom{\int\limits_a^b} \end{eqnarray*} \begin{minipage}[c]{160pt} \begin{picture}(150,100) \put(0,40){$\frac{P_{v\infty}}{2}$} \put(0,72){$P_{v\infty}$} \put(10,85){$P_{v}$} \put(25,5){\vector(0,1){90}} \put(20,10){\vector(1,0){130}} \multiput(23,42)(0,32){2}{\line(1,0){4}} \multiput(23,74)(4,0){32}{\line(1,0){2}} \multiput(23,42)(4,0){9}{\line(1,0){2}} \multiput(36,9)(22,0){2}{\line(0,1){2}} \multiput(58,9)(0,4){8}{\line(0,1){2}} \qbezier(36,10)(58,56)(100,65) \qbezier(100,65)(120,69.5)(145,72) \put(30,0){$r_K$} \put(50,0){$2r_K$} \put(135,0){$r_{2}$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{5.6cm} Für $r_2 \to \infty$ strebt die Leistung gegen $$P_{v\infty} = \frac{I^2}{4\pi\kappa r_K}$$ \end{minipage} \end{enumerate} \subsection{Praktische Anwendungen} \begin{enumerate} \item Tauchelektroden zum erwärmen oder verdampfen von Wasser \item Wärmekabel (Frostschutz) \begin{picture}(150,40) \put(50,15){\oval(70,18)} \multiput(30,15)(40,0){2}{\circle{10}} \multiput(30,10)(0,10){2}{\line(1,0){40}} \put(55,31){$\kappa(t)$} \qbezier(45,15)(47,30)(54,33) \multiput(32.5,10)(5,0){6}{\line(1,1){10}} \put(92,20){\small Isolierung} \qbezier(90,22)(82,22)(80,17) \qbezier(30,12)(30,3)(90,3) \qbezier(70,12)(70,3)(90,3) \put(92,0){\small Leiter} \end{picture} \end{enumerate} \section{Widerstandsberechnung} \subsection{Problem} \begin{minipage}{120pt} \begin{picture}(120,100) \multiput(0,0)(86,0){2}{\put(4,53){$I$} \thicklines\put(0,50){\vector(1,0){15}}\thinlines} \multiput(17,50)(67,0){2}{\circle{2}} \multiput(18,50)(60,0){2}{\line(1,0){5}} \qbezier(10,80)(33,50)(15,20) \qbezier(15,20)(50,20)(70,10) \qbezier(70,10)(80,50)(80,85) \qbezier(10,80)(50,70)(80,85) \put(45,47){$\kappa$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{7cm} \begin{description} \item[gegeben:] räumliche Anordnung, Leitwert $\kappa$ \item[gesucht:] Widerstand ($R = \frac{U}{I}$) oder Leitwert ($G = \frac{I}{U}$) \end{description} \end{minipage} \subsection{Berechnung über Feldgrößen und Definition} \begin{enumerate} \item Quellenanordnung wählen: Kontaktflächen müssen Äquipotentialflächen und Begrenzungen zum Nichtleiter müssen umhüllende von Stromlinien sein. \item Berechnungsweg: $I \to S \to E \to \varphi \to U \qquad R = \frac{U}{I}$ bzw. $G = \frac{I}{U}$ \end{enumerate} \begin{description} \item[Beispiele:] Kugelwiderstand, Zylinderwiderstand, Koaxialkabel \end{description} \subsection[Berechnung über die Bemessungsgl. im hom. Feld]{Berechnung über die Bemessungsgleichungen im\\ homogenen Feld} \begin{enumerate} \item Zerlegen des Feldraumes in differential kleine Raumelemente mit an\-näh\-ernd homogener Feldverteilung \item Bestimmung des Widerstandes bzw. Leitwertes des differentiell kleinen Raumelements, wenn die Raumelemente in Serie bzw. parallel geschaltet sind \item Berechnung des Gesamtwiderstandes durch Integration \end{enumerate} \subsubsection{Beispiel: Bogenförmiger Leiter} \begin{enumerate} \item Längsdurchströmung $\Rightarrow$ differentiale Raumelemente liegen parallel \begin{minipage}{130pt} \begin{picture}(130,85)(-10,0) \put(50,0){\line(2,3){40}} \put(50,0){\line(-2,3){40}} \qbezier(10,60)(50,84)(90,60) \qbezier(20,45)(50,62)(80,45) \qbezier(14,54)(50,74)(86,54) \qbezier(16,51)(50,70)(84,51) \put(50,54.5){\vector(0,1){6}} \put(50,70){\vector(0,-1){6}} \put(53,65){$\scriptstyle dr$} \put(50,0){\line(0,1){55}} \multiput(80,45)(10,15){2}{\line(3,1){15}} \multiput(84,51)(2,3){2}{\line(3,1){15}} \put(95,50){\line(2,3){10}} \qbezier(25,67.7)(58,87)(105,65) \put(80,42){\vector(3,1){15}} \put(95,47){\vector(-3,-1){15}} \put(87,36){$\scriptstyle b$} \put(50,0){\vector(-2,3){30}} \put(50,0){\vector(-2,3){40}} \put(15,36){$\scriptstyle r_1$} \put(53,36){$\scriptstyle r$} \put(2,55){$\scriptstyle r_2$} \qbezier(38.5,17.5)(50,25)(61.5,17.5) \put(43,12){$\scriptstyle\alpha$} \thicklines\put(108,48){\vector(-2,1){15}}\thinlines \thicklines\put(15,52.5){\vector(-2,-1){15}}\thinlines \put(110,43){$I$} \put(-8,40){$I$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{6.7cm} $$dG = \frac{\kappa A}{l} = \frac{\kappa\cdot b\cdot dr}{\alpha\cdot r}$$ $$G = \int\limits_{(V)}dG = \frac{\kappa\cdot b}{\alpha}\int\limits_{r_1}^{r_2}\frac{dr}{r} = \frac{\kappa\cdot b}{\alpha}\cdot\ln\frac{r_2}{r_1}$$ \end{minipage} \bigskip Mittlerer Radius: $\displaystyle r_m = \frac{r_1+r_2}{2}$ \qquad Breite $a = r_2-r_1$ $$\displaystyle r_1 = r_m - \frac{a}{2} \quad \displaystyle r_2 = r_m + \frac{a}{2}$$ $$\ln\frac{r_2}{r_1} = \ln \frac{r_m + \frac{a}{2}}{r_m-\frac{a}{2}} = \ln\frac{r_m + \frac{a}{2r_m}}{r_m - \frac{a}{2r_m}} \approx \frac{a}{r_m}$$ $\Big($Näherung: $\ln\frac{1+x}{1-x} \approx 2x$, relativer Fehler $\approx \frac{x^3}{3}$ $\Big)$ $$G = \frac{\kappa\cdot b\cdot a}{\alpha\cdot r_m} = \frac{\kappa\cdot A}{l_m} \qquad \qquad \textnormal{rel. Fehler }\approx \frac{1}{12\cdot r_m^2}$$ \newpage \item Radiale Durchströmung $\Rightarrow$ Raumelemente liegen in Serie \begin{minipage}{120pt} \begin{picture}(120,100)(-10,0) \put(50,0){\line(2,3){40}} \put(50,0){\line(-2,3){40}} \qbezier(10,60)(50,84)(90,60) \qbezier(20,45)(50,62)(80,45) \qbezier(14,54)(50,74)(86,54) \qbezier(16,51)(50,70)(84,51) \put(50,54.5){\vector(0,1){6}} \put(50,70){\vector(0,-1){6}} \put(53,65){$\scriptstyle dr$} \multiput(80,45)(10,15){2}{\line(3,1){15}} \multiput(84,51)(2,3){2}{\line(3,1){15}} \put(95,50){\line(2,3){10}} \qbezier(25,67.7)(58,87)(105,65) \put(80,42){\vector(3,1){15}} \put(95,47){\vector(-3,-1){15}} \put(87,36){$\scriptstyle b$} \put(50,0){\vector(-2,3){30}} \put(50,0){\vector(-2,3){40}} \put(15,36){$\scriptstyle r_1$} \put(47,28){$I$} \put(47,91){$I$} \put(2,55){$\scriptstyle r_2$} \qbezier(38.5,17.5)(50,25)(61.5,17.5) \put(47,12){$\scriptstyle\alpha$} \thicklines\put(50,38.5){\vector(0,1){15}}\thinlines \thicklines\put(50,74){\vector(0,1){15}}\thinlines \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{7.3cm} \vspace{0.5cm} $$dR = \frac{l}{\kappa A} = \frac{dr}{\kappa \cdot \alpha\cdot r}$$ $$R = \int\limits_{(V)}\!\! dR = \frac{1}{\kappa \cdot \alpha \cdot b}\int\limits_{r_1}^{r_2} \frac{dr}{r} = \frac{1}{\kappa\cdot\alpha \cdot b}\ln\frac{r_2}{r_1}$$ \end{minipage} \end{enumerate} \section{Zusammenfassung} \begin{tabular}{|l|c|c|c|} \hline & Flußgröße & & Tensionsgröße \\ & Stromdichte & & Feldstärke \\ \hline Feldgrößen & $S$ & $S=\kappa\cdot E$ & $E \vphantom{\int\limits_a^b}$\\ \hline Grundeigenschaft & $\oiint S\,dA = 0$ & & $\int\limits_c E\,dr = 0 \vphantom{\int\limits_a^b}$\\ \hline Integrale Größen & Strom & $I = G_{AB} \cdot U_{AB}$ & Spannung \\ & $I = \iint\limits_{(A)} S\,dA$ & $I = \frac{1}{R_{AB}}\cdot U_{AB}$ & $U_{AB} = \int\limits_A^B E\,dr$\\ \hline Widerstand/Leitwert & \multicolumn{3}{c}{$R_{AB} = \frac{U_{AB}}{I}$ \qquad $G_{AB} = \frac{I}{U_{AB}} \vphantom{\int\limits_a^b}$} \vline\\ \hline Verlustleistung & \multicolumn{3}{c}{$P_v = \iiint\limits_{(V)} p\,dV \quad = \quad \iiint\limits_{(V)} S\cdot E\, dV \vphantom{\int\limits_a^b}$} \vline\\ \hline \end{tabular} \bigskip \begin{center} $\xymatrix@C+100pt@R+100pt{ \textnormal{\Huge \textit S} \ar @<2pt>[r]^-{\displaystyle E=S\cdot I} \ar @<2pt>[d]^-{\displaystyle I=\iint SdA}& \ar @<2pt>[l]^-{\displaystyle S=\kappa\cdot E} \ar @<2pt>[d]^-{\displaystyle U_{12} = \int\limits_{r_1}^{r_2}Edr}\textnormal{\Huge\textit E}\\ \textnormal{\Huge\textit I} \ar @<2pt>[r]^-{\displaystyle U=R\cdot I} \ar @<2pt>[u]^-{\displaystyle S=\lim\limits_{\Delta A\to 0}\frac{\Delta I}{\Delta A}}& \ar @<2pt>[l]^-{\displaystyle I=G\cdot U} \textnormal{\Huge\textit U} \ar @<2pt>[u]^-{\displaystyle E=-\mathrm{grad}\,\varphi}\\ }$ \end{center} \chapter{Elektrostatisches Feld} Kennzeichen: \fbox{\qquad $\vphantom{\int\limits_a^b} Q = \mathrm{konst.} \Rightarrow \frac{dQ}{dt} = I = 0$ \qquad } \section{Feldstärke und Potential} \begin{minipage}{150pt} \begin{picture}(150,120) \multiput(10,30)(130,0){2}{\line(0,1){50}} \multiput(10,80)(90,0){2}{\line(1,0){40}} \put(10,30){\line(1,0){130}} \put(75,30){\circle{20}} \put(72,8){$U$} \put(64,18){\vector(1,0){24}} \multiput(50,50)(0,20){4}{\vector(1,0){50}} \multiput(50,60)(0,20){3}{\color{grau}\vector(1,0){50}} \put(58,113){$\color{grau}\vec S$} \put(80,113){$\vec E$} \put(59,93){$\kappa$} \thicklines\multiput(50,50)(50,0){2}{\line(0,1){60}}\thinlines \put(15,84){\vector(1,0){20}} \put(10,88){$\scriptstyle I = \mathrm{konst.}$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{55pt} \center $$\kappa \to 0$$ $$I \to 0$$ $$S \to 0$$ \vspace{1cm} \end{minipage} \begin{minipage}{150pt} \begin{picture}(150,120) \multiput(10,30)(130,0){2}{\line(0,1){50}} \multiput(10,80)(90,0){2}{\line(1,0){40}} \put(10,30){\line(1,0){130}} \put(75,30){\circle{20}} \put(72,8){$U$} \put(64,18){\vector(1,0){24}} \multiput(50,50)(0,20){4}{\vector(1,0){50}} \put(69,113){$\vec E$} \put(59,98){$\kappa$} \thicklines\multiput(50,50)(50,0){2}{\line(0,1){60}}\thinlines \put(17,90){$+Q$} \put(120,90){$-Q$} \multiput(41,54)(0,15){4}{$\displaystyle +$} \multiput(101,54)(0,15){4}{$\displaystyle -$} \end{picture} \end{minipage} Beim Übergang zum Nichtleiter ändern sich bei fester Elektrodenspannung und Spannung $\vec E$ und $\varphi$ nicht. \section{Isolierter Leiter im elektrischen Feld - Influenz} \begin{minipage}{178pt} \center \begin{picture}(100,120)(0,-10) \qbezier(90,50)(90,66.568544)(78.284272,78.284272) \qbezier(50,90)(66.568544,90)(78.284272,78.284272) \qbezier(10,50)(10,33.431456)(21.715728,21.715728) \qbezier(50,10)(33.431456,10)(21.715728,21.715728) \qbezier(10,50)(10,66.568544)(21.715728,78.284272) \qbezier(50,90)(33.431456,90)(21.715728,78.284272) \qbezier(90,50)(90,33.431456)(78.284272,21.715728) \qbezier(50,10)(66.568544,10)(78.284272,21.715728) \multiput(46,1)(0,93){2}{$+$} \multiput(0,47)(92,0){2}{$+$} \multiput(0,0)(0,67){2}{\multiput(13,14)(67,0){2}{$+$}} \put(50,50){\circle{15}} \put(45.6,47){$Q$} \multiput(46,15)(0,63){2}{$-$} \multiput(15,47)(63,0){2}{$-$} \multiput(0,0)(0,42){2}{\multiput(25,26)(42,0){2}{$-$}} \end{picture} Ein $+Q$ hat immer ein $-Q$ als Partner im Raum. \end{minipage} \begin{minipage}{178pt} \center \begin{picture}(100,120)(0,-10) \qbezier(90,50)(90,66.568544)(78.284272,78.284272) \qbezier(50,90)(66.568544,90)(78.284272,78.284272) \qbezier(10,50)(10,33.431456)(21.715728,21.715728) \qbezier(50,10)(33.431456,10)(21.715728,21.715728) \qbezier(10,50)(10,66.568544)(21.715728,78.284272) \qbezier(50,90)(33.431456,90)(21.715728,78.284272) \qbezier(90,50)(90,33.431456)(78.284272,21.715728) \qbezier(50,10)(66.568544,10)(78.284272,21.715728) \put(50,50){\circle{5}} \put(35,50){\vector(1,0){12.5}} \put(38,53){$I$} \put(50,90){\vector(0,1){15}} \put(50,10){\vector(0,-1){15}} \put(10,50){\vector(-1,0){15}} \put(90,50){\vector(1,0){15}} \put(78.5,78.5){\vector(1,1){11}} \put(21.5,78.5){\vector(-1,1){11}} \put(21.5,21.5){\vector(-1,-1){11}} \put(78.5,21.5){\vector(1,-1){11}} \put(92,92){$I$} \end{picture} Ein $+I$ hat immer ein $-I$ als Partner im Raum. \end{minipage} \begin{minipage}{130pt} \begin{picture}(130,100) \thicklines\multiput(30,0)(60,0){2}{\line(0,1){80}}\thinlines \put(0,5){$+Q$} \multiput(20,1)(0,14.3){6}{$+$} \multiput(92,1)(0,14.3){6}{$-$} \multiput(10,40)(80,0){2}{\line(1,0){20}} \multiput(9,40)(102,0){2}{\circle{2}} \multiput(50,0)(20,0){2}{\line(0,1){80}} \multiput(50,0)(0,80){2}{\line(1,0){20}} \multiput(52,2)(0,14.3){6}{$\scriptstyle -$} \multiput(62,2)(0,14.3){6}{$\scriptstyle +$} \put(104,5){$-Q$} \put(36,38){$\scriptstyle -Q$} \put(71,38){$\scriptstyle +Q$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{226pt} In einem Leiter im elektrischen Feld werden Ladungen getrennt (verschoben) \smallskip $\Rightarrow$ Influenz \end{minipage} \section{Verschiebungsfluß, Verschiebungsflußdichte} \subsection{Definition} \begin{minipage}{100pt} \begin{picture}(100,120)(0,-10) \qbezier(90,50)(90,66.568544)(78.284272,78.284272) \qbezier(50,90)(66.568544,90)(78.284272,78.284272) \qbezier(10,50)(10,33.431456)(21.715728,21.715728) \qbezier(50,10)(33.431456,10)(21.715728,21.715728) \qbezier(10,50)(10,66.568544)(21.715728,78.284272) \qbezier(50,90)(33.431456,90)(21.715728,78.284272) \qbezier(90,50)(90,33.431456)(78.284272,21.715728) \qbezier(50,10)(66.568544,10)(78.284272,21.715728) \multiput(46,1)(0,93){2}{$+$} \multiput(0,47)(92,0){2}{$+$} \multiput(0,0)(0,67){2}{\multiput(13,14)(67,0){2}{$+$}} \put(50,50){\circle{15}} \put(45.6,47){$Q$} \multiput(46,15)(0,63){2}{$-$} \multiput(15,47)(63,0){2}{$-$} \multiput(0,0)(0,42){2}{\multiput(25,26)(42,0){2}{$-$}} \put(21,94){$\scriptstyle +Q$} \put(38,68){$\scriptstyle -Q$} \qbezier(52,25)(52,25)(63,26) \qbezier(52,35)(52,35)(63,36) \multiput(52,25)(11,1){2}{\line(0,1){10}} \put(57.5,30){\vector(1,-1){20}} \put(75,0){$\vec{\Delta A}$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{256pt} \begin{itemize} \item Von einer Ladung $Q$ geht die Wirkung aus, Ladungen auf Leitern zu verschieben \item Diese Wirkung hat Flußcharakter. Sie ist bei konstanter Ladung unabhängig vom Dielektrikum \item Die auf einer geschlossenen Metallhülle insge\-samt verschobene Ladung ist gleich der um\-hüllenden Ladung \end{itemize} \end{minipage} \begin{description} \item[Definition:] $\Psi = Q$ \qquad Verschiebungsfluß Auf dem Flächenelement $\vec{\Delta A}$ verschobene Ladung $\Delta \Psi$. \bigskip $\displaystyle \lim\limits_{\Delta A\to 0} \frac{\Delta \Psi}{\Delta A} = D$\qquad Verschiebungsflußdichte \item[Einheiten:] $[\Psi] = \mathrm{C} = \mathrm{A\,s} \qquad [D] = \frac{\mathrm{C}}{\phantom{i}\mathrm{m}^2} = \frac{\mathrm{A\,s}}{\phantom{i}\mathrm{m}^2}$ \item[Messung der Flußdichte:] Mithilfe der "`Maxwellschen Platten"' \end{description} \subsection{Grundeigenschaft} \begin{center} \fbox{\quad $\displaystyle\vphantom{\int\limits_a^b}\Psi = \oiint_{(H)} \vec D \cdot \vec{dA} = Q_{umfasst} $\quad} \quad Naturgesetz \bigskip Analog im Strömungsfeld: \fbox{\quad $\displaystyle\vphantom{\int\limits_a^b}\oiint_{(H)} \vec S \cdot \vec{dA} = I_{ges} = 0$\quad} \end{center} Die Ladungen sind die Quellen des Verschiebungsflusses. $Q \to \Psi \to \vec D$ \subsection{Verschiebungsflußdichte und Feldstärke} \begin{itemize} \item $\vec D$ hat die Richtung von $\vec E$ \item $D$ ist proportional zu $E$ Im Vakuum: $\vec D = \varepsilon_0 \cdot \vec E$ \qquad (analog: $\vec S = \kappa\cdot \vec E)$ \end{itemize} \begin{minipage}{160pt} \quad \fbox{\quad $\displaystyle\varepsilon_0 = 8,\!854 \cdot 10^{-12}\,\frac{\mathrm{As}}{\mathrm{Vm}}$ \quad } \end{minipage} \begin{minipage}{196pt} absolute Dielektrizitätskonstante, Permitivität des Vakuums \end{minipage} \section{Elektrisches Feld im Dielektrikum} \subsection{Konstante Elektrodenspannung} \begin{minipage}{175pt} \center elektrostatisches Feld \begin{picture}(150,140) \multiput(20,30)(110,0){2}{\line(0,1){50}} \multiput(20,80)(40,0){2}{\line(1,0){20}} \put(50,80){\circle{20}} \put(40,93){\vector(1,0){22}} \put(45,96){$Q$} \put(43,77){$\mathrm{A\,s}$} \put(110,80){\line(1,0){20}} \put(20,30){\line(1,0){110}} \put(75,30){\circle{20}} \put(72,8){$U$} \put(64,18){\vector(1,0){24}} \multiput(80,50)(0,10){7}{\vector(1,0){30}} \put(85,53){$\varepsilon_0$} \thicklines\multiput(80,50)(30,0){2}{\line(0,1){60}}\thinlines \multiput(71,54)(0,15){4}{$\displaystyle +$} \multiput(111,54)(0,15){4}{$\displaystyle -$} \multiput(80.5,85)(29,0){2}{\line(0,1){50}} \multiput(80.5,85)(0,50){2}{\line(1,0){29}} \qbezier(105,85)(105,85)(109.0,90) \qbezier(100,85)(100,85)(109.0,95) \qbezier(95,85)(95,85)(109.0,100) \qbezier(90,85)(90,85)(109.0,105) \qbezier(85,85)(85,85)(109.0,110) \qbezier(80,85)(80,85)(109.0,115) \qbezier(80,90)(80,90)(109.0,120) \qbezier(80.7,95)(80.7,95)(109.0,125) \qbezier(80.7,100)(80.7,100)(109.0,130) \qbezier(80.7,105)(80.7,105)(109.0,135) \qbezier(80.7,110)(80.7,110)(104.5,135) \qbezier(80.7,115)(80.7,115)(99.5,135) \qbezier(80.7,120)(80.7,120)(84.5,124) % xxxxxxxxx \qbezier(91,131.5)(91,131.5)(94.5,135) % xxxxxxxxx \qbezier(80.7,125)(80.7,125)(89.5,135) \qbezier(80.7,130)(80.7,130)(84.5,135) \put(85,125){$\varepsilon$} \multiput(75,135)(40,0){2}{\vector(0,-1){15}} \end{picture} $Q$, $\Psi$ und $D$ ändern sich \end{minipage} \begin{minipage}{175pt} \center Analogie: Strömungsfeld \begin{picture}(150,140) \multiput(20,30)(110,0){2}{\line(0,1){50}} \multiput(20,80)(40,0){2}{\line(1,0){20}} \put(50,80){\circle{20}} \put(40,93){\vector(1,0){22}} \put(47,96){$I$} \put(46,77){$\mathrm{A}$} \put(110,80){\line(1,0){20}} \put(20,30){\line(1,0){110}} \put(75,30){\circle{20}} \put(72,8){$U$} \put(64,18){\vector(1,0){24}} \multiput(80,50)(0,10){7}{\vector(1,0){30}} \put(85,53){$\kappa_0$} \thicklines\multiput(80,50)(30,0){2}{\line(0,1){60}}\thinlines \multiput(80.5,85)(29,0){2}{\line(0,1){50}} \multiput(80.5,85)(0,50){2}{\line(1,0){29}} \qbezier(105,85)(105,85)(109.0,90) \qbezier(100,85)(100,85)(109.0,95) \qbezier(95,85)(95,85)(109.0,100) \qbezier(90,85)(90,85)(109.0,105) \qbezier(85,85)(85,85)(109.0,110) \qbezier(80,85)(80,85)(109.0,115) \qbezier(80,90)(80,90)(109.0,120) \qbezier(80.7,95)(80.7,95)(109.0,125) \qbezier(80.7,100)(80.7,100)(109.0,130) \qbezier(80.7,105)(80.7,105)(109.0,135) \qbezier(80.7,110)(80.7,110)(104.5,135) \qbezier(80.7,115)(80.7,115)(99.5,135) \qbezier(80.7,120)(80.7,120)(84.5,124) % xxxxxxxxx \qbezier(91,131.5)(91,131.5)(94.5,135) % xxxxxxxxx \qbezier(80.7,125)(80.7,125)(89.5,135) \qbezier(80.7,130)(80.7,130)(84.5,135) \put(84.5,125){$\kappa$} \multiput(75,135)(40,0){2}{\vector(0,-1){15}} \end{picture} $I$, $S$ ändern sich \end{minipage} \begin{center} $U$, $E$ konstant \end{center} Bei konstanter Elektrodenspannung sind die Ladungen auf den Elektroden und der Verschiebefluss mit jedem Dielektrikum größer als im Vakuum. \subsection{Konstante Elektrodenladung} \begin{minipage}{175pt} \center %%%% 2222222222222 \begin{picture}(150,140) \multiput(20,30)(110,0){2}{\line(0,1){50}} \multiput(20,80)(70,0){2}{\line(1,0){40}} \multiput(20,30)(65,0){2}{\line(1,0){45}} \put(75,30){\circle{20}} \put(72,8){$U$} \put(71,26){V} \put(64,18){\vector(1,0){24}} \multiput(60,50)(0,10){7}{\vector(1,0){30}} \put(65,53){$\varepsilon_0$} \thicklines\multiput(60,50)(30,0){2}{\line(0,1){60}}\thinlines \multiput(51,54)(0,15){4}{$\displaystyle +$} \multiput(91,54)(0,15){4}{$\displaystyle -$} \multiput(60.5,85)(29,0){2}{\line(0,1){50}} \multiput(60.5,85)(0,50){2}{\line(1,0){29}} \qbezier(085,85)(085,85)(089.0,90) \qbezier(80,85)(80,85)(089.0,95) \qbezier(75,85)(75,85)(089.0,100) \qbezier(70,85)(70,85)(089.0,105) \qbezier(65,85)(65,85)(089.0,110) \qbezier(60,85)(60,85)(089.0,115) \qbezier(60,90)(60,90)(089.0,120) \qbezier(60.7,95)(60.7,95)(089.0,125) \qbezier(60.7,100)(60.7,100)(089.0,130) \qbezier(60.7,105)(60.7,105)(089.0,135) \qbezier(60.7,110)(60.7,110)(084.5,135) \qbezier(60.7,115)(60.7,115)(79.5,135) \qbezier(60.7,120)(60.7,120)(64.5,124) % xxxxxxxxx \qbezier(71,131.5)(71,131.5)(74.5,135) % xxxxxxxxx \qbezier(60.7,125)(60.7,125)(69.5,135) \qbezier(60.7,130)(60.7,130)(64.5,135) \put(65,125){$\varepsilon$} \multiput(55,135)(40,0){2}{\vector(0,-1){15}} \end{picture} $Q$ konst., $U$, $E$ ändern sich \end{minipage} \begin{minipage}{175pt} \center \begin{picture}(150,140) \multiput(20,30)(110,0){2}{\line(0,1){50}} \multiput(20,80)(70,0){2}{\line(1,0){40}} \multiput(20,30)(65,0){2}{\line(1,0){45}} \put(75,30){\circle{20}} \put(72,8){$I$} \put(75,20){\line(0,1){20}} \put(88,18){\vector(-1,0){24}} \multiput(60,50)(0,10){7}{\vector(1,0){30}} \put(65,53){$\kappa_0$} \thicklines\multiput(60,50)(30,0){2}{\line(0,1){60}}\thinlines \multiput(60.5,85)(29,0){2}{\line(0,1){50}} \multiput(60.5,85)(0,50){2}{\line(1,0){29}} \qbezier(085,85)(085,85)(089.0,90) \qbezier(80,85)(80,85)(089.0,95) \qbezier(75,85)(75,85)(089.0,100) \qbezier(70,85)(70,85)(089.0,105) \qbezier(65,85)(65,85)(089.0,110) \qbezier(60,85)(60,85)(089.0,115) \qbezier(60,90)(60,90)(089.0,120) \qbezier(60.7,95)(60.7,95)(089.0,125) \qbezier(60.7,100)(60.7,100)(089.0,130) \qbezier(60.7,105)(60.7,105)(089.0,135) \qbezier(60.7,110)(60.7,110)(084.5,135) \qbezier(60.7,115)(60.7,115)(79.5,135) \qbezier(60.7,120)(60.7,120)(64.5,124) % xxxxxxxxx \qbezier(71,131.5)(71,131.5)(74.5,135) % xxxxxxxxx \qbezier(60.7,125)(60.7,125)(69.5,135) \qbezier(60.7,130)(60.7,130)(64.5,135) \put(64.5,125){$\kappa$} \multiput(55,135)(40,0){2}{\vector(0,-1){15}} \end{picture} $I$ konst., $U$, $E$ ändern sich \end{minipage} Bei konstanter Elektrodenladung ist die Feldstärke in jedem Dielektrikum kleiner als in Vakuum. \bigskip $\vec D = \varepsilon \cdot \vec E$ \qquad $\varepsilon = \varepsilon_0 \cdot \epsilon_r$ \bigskip $\varepsilon_r$ : relative Dielektrizitätskonstante (Materialkonstante) $> 1$, \quad $[\varepsilon] = 1$ \section{Bedingungen an Grenzflächen} \subsection{Grenzflächen von Dielektrika (vgl. Strömungsfeld)} \begin{minipage}{100pt} \quad \begin{picture}(80,80) \put(0,40){\vector(1,0){80}} \put(40,0){\vector(0,1){80}} \put(0,45){$\varepsilon_1$} \put(0,30){$\varepsilon_2$} \put(15,15){\line(1,1){25}} \put(40,40){\vector(1,2){17}} \put(12,5){$\vec E_1$} \put(58,65){$\vec E_2$} \qbezier(25,25)(30,19)(39.5,21) \put(30,25){$\scriptstyle \alpha_1$} \qbezier(40,65)(46,70)(51,63) \put(40,60){$\scriptstyle \alpha_2$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{256pt} $$\frac{\tan \alpha_1}{\tan \alpha_2} = \frac{\varepsilon_1}{\varepsilon_2} = \frac{\varepsilon_0 \cdot \varepsilon_{r_1}}{\varepsilon_0 \cdot \varepsilon_{r_2}} = \frac{\varepsilon_{r1}}{\varepsilon_{r2}}$$ \end{minipage} \subsection{Grenzflächen zu Leitern} \begin{minipage}{110pt} \begin{picture}(100,70) \multiput(10,30)(10,0){9}{\vector(0,1){20}} \thicklines\put(0,30){\line(1,0){100}}\thinlines \multiput(0,25)(5,0){20}{\qbezier(0,0)(0,0)(5,5)} \put(1,35){$\varepsilon$} \put(1,15){$\kappa$} \put(30,10){[feldfrei]} \put(45,55){$\vec E$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{245pt} \textbf{Feldstärke} $\vec E$ wie im Strömungsfeld $\Rightarrow$ die Tangentialkomponente der elektrischen Feldstärke ist Null \smallskip Feldlinien von $\vec E$ (und $\vec D$) stehen senkrecht auf der Metalloberfläche. \end{minipage} \bigskip \begin{minipage}{245pt} \textbf{Verschiebungsflußdichte} $\vec D$ $$\oiint_{(H)} \vec D\,\vec{dA} = \iint\limits_{unten}\!\!\! \vec D\,\vec{dA} + \iint\limits_{oben}\!\! \vec D\,\vec{dA} = D\, \Delta A = \Delta Q$$ $\displaystyle\Rightarrow D = \frac{\Delta Q}{\Delta A} = \sigma$ \qquad (Flächenladungsdichte) \end{minipage} \begin{minipage}{110pt} \begin{picture}(100,82) \multiput(0,44.5)(75,0){2}{\line(1,0){25}} \multiput(25,40)(50,0){2}{\line(0,1){10}} \multiput(0,0)(0,-5){3}{ \qbezier(24.75,50)(25,45)(50,45) \qbezier(50,45)(75,45)(74.75,50)} \qbezier(24.75,50)(25,55)(50,55) \qbezier(50,55)(75,55)(74.75,50) \put(50,50){\vector(0,1){20}} \put(50,15){\vector(0,1){20}} \put(53,72){$\vec D_o$} \put(53,13){$\vec D_u=0$} \put(53,47){$\scriptstyle \Delta A$} \multiput(0,0)(75,0){2}{\multiput(0,40)(5,0){5}{\qbezier(0,0)(0,0)(4.5,4.5)}} \put(1,50){$\varepsilon$} \put(1,30){$\kappa$} \end{picture} \end{minipage} \section{Kapazität} \begin{minipage}{110pt} \begin{picture}(105,110)(5,-20) \multiput(1,40)(98,0){2}{\circle{2}} \multiput(2,40)(82,0){2}{\line(1,0){14}} \thicklines \qbezier(10,5)(21.5,40)(5,77) \qbezier(90,5)(80.5,40)(83,77) \thinlines \qbezier(6,75)(50,85)(82.5,75) \qbezier(12,57.5)(50,62)(82,57.5) \qbezier(14,22.5)(49,18)(85,22.5) \qbezier(11.5,8)(50,-3)(89,7) \thicklines \put(83,75){\vector(4,-1){0}} \put(83,57.8){\vector(1,0){0}} \put(87,22.5){\vector(1,0){0}} \put(89,7){\vector(4,1){0}} \put(98,-1){\vector(4,1){0}} \thinlines \put(40,35){$\Longrightarrow$} \put(44,42){$\Psi$} \put(38,84){$\vec D,\,\vec E$} \qbezier(0,-1)(50,-18)(98,-1) \put(47,-20){$U$} \put(0,8){$+$} \put(3,25){$+$} \put(2,52){$+$} \put(-2,67){$+$} \put(93,8){$-$} \put(89,25){$-$} \put(87,52){$-$} \put(87,67){$-$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{245pt} Bei beliebigen Elektrodenanordnungen sind die Ladungen und die Feldgrößen proportional. \center \fbox{\quad $\displaystyle\vphantom{\int\limits_a^b} C = \frac{\Psi}{U} = \frac{Q}{U} $\quad} Definition der Kapazität \end{minipage} \bigskip \textbf{NB:} $Q$ ist die Ladung auf \emph{einer} Elektrode. \smallskip \begin{minipage}{240pt} \textbf{Einheiten:} $$[C] = \frac{[Q]}{[U]} = \frac{\mathrm{C}}{\mathrm{V}} = \frac{\mathrm{As}}{\mathrm{V}} = 1 \, \mathrm{F} \quad (\mathrm{Farad})$$ \textbf{Bemerkung:} $$\varepsilon_0 = 8,\!854 \cdot 10^{-12} \frac{\mathrm{As}}{\mathrm{Vm}} = 8,\!854 \,\frac{\mathrm{pF}}{\mathrm{m}}$$ \end{minipage} \begin{minipage}{93pt} $\xymatrix{ & Q \ar[dr] \ar[dl] \\ \vec E \ar[d] \ar[rr]^{\varepsilon} & & \vec D \ar[d]\\ U \ar[rr]^{C} & & \Psi\\ }$ \end{minipage} \subsubsection{Praktische Größenordnung} \begin{tabular}{p{5cm}r@{ }llr@{ }l} Streukapazitäten & 1&pF &\dots& 10&pF\\ Transistoren & 0,1&pF &\dots& 10&pF\\ Luftkondensatoren & 10&pF &\dots& 1&nF\\ Folienkondensatoren & 100&pF &\dots& 100&nF\\ MP--Kondensatoren & 100&nF &\dots& 10&$\mu$F\\ Elektrolytkondensatoren & 10&$\mu$F &\dots& 1&mF\\ Gold Caps & 10&mF &\dots& 10&F \end{tabular} \subsubsection{Analogie zum Strömungsfeld} $$C = \frac{\Psi}{U} = \frac{\textnormal{Fluß}}{\textnormal{Spannung}} \quad \Leftrightarrow \quad G = \frac{I}{U} = \frac{\textnormal{Strom}}{\textnormal{Spannung}}$$ \section{Berechnung einfacher elektrostatischer Felder} \subsubsection{Problem} \begin{description} \item[gegeben:] Ladungsanordnung (Quellen), Begrenzungen (Geometrie) \item[gesucht:] Feldgrößen $\vec E$, $\vec D \longrightarrow U$, $\Psi$, $C$ \end{description} \subsubsection{Wirkungs-- und Rechenschema} $$ %@C+10pt{ \xymatrix{ Q \ar[drrr] \ar[r]^{\Psi = \oiint\limits_{(H)}DdA}& \Psi\ar[r] & D \ar[rr]^{D = \varepsilon E}& &E \ar[r]^{\varphi = \varphi(r_0) - \int\limits_{r_0}^{r}E\,dr'}& \varphi\ar[r] & U \ar[dlll]\\ & & &C = \frac{Q}{U}\\ } $$ \subsection{Homogenes Feld} \begin{minipage}{120pt} \begin{picture}(120,200)(0,-95) \multiput(1,40)(118,0){2}{\circle{2}} \multiput(2,40)(87,0){2}{\line(1,0){28}} \thicklines \multiput(30,0)(60,0){2}{\line(0,1){80}} \thinlines \multiput(20,6)(0,21){4}{$+$} \multiput(93,6)(0,21){4}{$-$} \put(5,73){$Q$} \put(103,73){$-Q$} \multiput(30,0)(0,20){5}{\vector(1,0){60}} \put(57,85){$\vec D$} \put(97,85){$A$} \qbezier(90,83)(90,87)(95,87) \multiput(30,-5)(60,0){2}{\line(0,-1){5}} \put(30,-7.5){\vector(1,0){60}} \put(90,-7.5){\vector(-1,0){60}} \put(58,-18){$d$} \put(10,-87){$\frac{Qd}{\varepsilon A}$} \put(30,-90){\vector(0,1){75}} \put(25,-25){\vector(1,0){75}} \put(93,-35){$x$} \put(30,-25){\line(1,-1){60}} \put(10,-28){$\varphi$} \put(28,-85){\line(1,0){4}} \multiput(90,-85)(0,6){11}{\line(0,1){2}} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{230pt} $$D = \frac{Q}{A} \Rightarrow E = \frac{D}{\varepsilon} = \frac{Q}{\varepsilon \cdot A}$$ $$\vec E = E\cdot \vec e_x$$ \begin{eqnarray*} \varphi &=& \underbrace{\varphi(r_0)}_{0} - \int\limits_{\vec r_0}^{\vec r} \vec E \, \vec{dr'} = - \int\limits_{0}^{x} E \, dr' =\\ & =& - Ex = - \frac{Q}{\varepsilon A}\,x \end{eqnarray*} $$\vec{dr'} = dr'\cdot \vec e_x \hspace{2cm} \vec r = x \cdot \vec e_x$$ \end{minipage} \bigskip $$U_{0,d} = \varphi(0) - \varphi(d) = \frac{Q}{\varepsilon \cdot A}\cdot d \hspace{2.5cm} C = \frac{Q}{U} = \frac{\varepsilon \cdot A}{d}$$ \begin{description} \item[Analogie zum Strömungsfeld:] $G = \frac{\kappa\cdot A}{d}$ \end{description} \bigskip \fbox{\quad $\displaystyle\vphantom{\int\limits_y^a} \frac{C}{G} = \frac{\varepsilon}{\kappa} = \tau_r $\quad} \qquad $\displaystyle \left[\frac{\varepsilon}{\kappa}\right] = \frac{\mathrm{As} \cdot \mathrm{Vm}}{\mathrm{Vm} \cdot \mathrm{A}} = \mathrm{s}$ \bigskip $\tau_r$ -- Relaxationswert, gilt für jede Elektrodenanordnung \subsection{Punktladung} \begin{minipage}{100pt} \begin{picture}(90,90) \put(45,45){\circle*{4}} \put(37,53){$\scriptstyle Q$} \put(45,50){\vector(0,1){30}} \put(45,40){\vector(0,-1){30}} \put(50,45){\vector(1,0){30}} \put(40,45){\vector(-1,0){30}} \put(48.5,48.5){\vector(1,1){21}} \put(48.5,41.5){\vector(1,-1){21}} \put(41.5,48.5){\vector(-1,1){21}} \put(41.5,41.5){\vector(-1,-1){21}} \put(45,45){\vector(2,1){30}} \put(77,57){$\vec r$} \end{picture} \vspace{3cm} \end{minipage} \begin{minipage}{250pt} $$Q \longrightarrow \Psi \longrightarrow D = \frac{\Psi}{4\pi r^2} = \frac{Q}{4\pi r^2}$$ $$\vec D = D \cdot \vec e_r = \frac{Q}{4\pi r^3} \cdot \vec r \qquad \vec E = \frac{D}{\varepsilon} = \frac{Q}{4\pi\varepsilon r^3}\cdot \vec r$$ \begin{eqnarray*} \varphi(\vec r) &\stackrel{[\dots]}{=}& \varphi(\vec r_0) + \frac{Q}{4\pi \varepsilon} \left[\frac{1}{r} - \frac{1}{r_0}\right] \\ & & r_0 \to \infty, \; \varphi(r_0) = 0 \vphantom{\int\limits_a^b}\\ & = & \frac{Q}{4\pi\varepsilon r} \stackrel{\textnormal{vgl.}}{\Longleftrightarrow} \frac{I}{4\pi\kappa r} \end{eqnarray*} \end{minipage} \subsubsection{Anwendungen} \begin{enumerate} \item Kugelkondensator \begin{minipage}{100pt} \begin{picture}(100,100) \put(50,50){\circle{10}} \qbezier(80,50)(80,62.426408)(71.213204,71.213204) \qbezier(50,80)(62.426408,80)(71.213204,71.213204) \qbezier(20,48)(20,37.573592)(28.786796,28.786796) \qbezier(50,20)(37.573592,20)(28.786796,28.786796) \qbezier(20,52)(20,62.426408)(28.786796,71.213204) \qbezier(50,80)(37.573592,80)(28.786796,71.213204) \qbezier(80,50)(80,37.573592)(71.213204,28.786796) \qbezier(50,20)(62.426408,20)(71.213204,28.786796) \multiput(18,48)(0,4){2}{\line(1,0){4}} \multiput(1,50)(0,10){2}{\circle{2}} \put(50,50){\vector(0,1){5}} \put(50,50){\vector(0,1){30}} \put(56,50){$r_i$} \put(53,65){$r_a$} \put(2,50){\line(1,0){43}} \put(2,60){\line(1,0){19.5}} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{230pt} $$\varphi = \frac{Q}{4\pi\varepsilon r} \quad U = \varphi(r_i) - \varphi(r_a) = \frac{Q}{4\pi\varepsilon}\left(\frac{1}{r_i} - \frac{1}{r_a}\right)$$ $$C = \frac{Q}{U} = \frac{4\pi\varepsilon}{\frac{1}{r_i} - \frac{1}{r_a}} = \lim\limits_{r_a\to \infty} 4\pi\varepsilon r_i$$ Kapazität einer Kugel gegen den unendlichen Raum. \end{minipage} \bigskip Zugeschnittene Größenordnung für Vakuum: $$C = 4\pi\varepsilon_0 r_i = 4\pi \cdot 8,\!854 \cdot 10^{-12} \frac{\mathrm{As}}{\mathrm{Vm}} \cdot r_i$$ \begin{center} \fbox{\quad $\displaystyle\vphantom{\int\limits_y^a} \frac{C}{\mathrm{pF}} = 1,\!11 \cdot \frac{r_i}{\mathrm{cm}} $ \quad} \quad zugeschnittene Größengleichung \end{center} \smallskip Beispiel: $r_i = 1\,\mathrm{cm} \longrightarrow C = 1,\!11\,\mathrm{pF}$ \item Geladene Kugel im Raum \begin{minipage}{77pt} \begin{picture}(70,120) \put(30,80){\circle{40}} \put(30,20){\circle{20}} \put(25,0){\line(1,0){10}} \put(30,0){\line(0,1){60}} \put(43,17){$\Big\downarrow U$} \put(30,80){\vector(1,1){30}} \put(30,80){\vector(1,1){14}} \put(38,101){$r_k$} \put(62,112){$r$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{252pt} $$\varphi(\vec r) = \frac{Q}{4\pi \varepsilon r} \qquad \varphi(r_k) = \frac{Q}{4\pi\varepsilon r_k} = U \Rightarrow Q = 4\pi\varepsilon r_k U$$ $\varphi(r) = U \cdot \frac{r_k}{r}$ \qquad Feldstärke: $E = \frac{Q}{4\pi\varepsilon r^2}= U\cdot \frac{r_k}{r^2}$ \bigskip Feldstärke an der Oberfläche: $E(r_k) = \frac{U}{r_k}$. \bigskip Beispiel: $r_k = 1\,\mathrm{cm}$, $U = 30\,\mathrm{kV} \Rightarrow E = 30\,\frac{\mathrm{kV}}{\mathrm{cm}}$ \hspace{1.4cm} (Durchschlagsfestigkeit der Luft) \end{minipage} \begin{picture}(150,100) \put(15,10){\vector(0,1){80}} \put(10,15){\vector(1,0){140}} \put(15,70){\line(1,0){25}} \put(5,78){$\varphi$} \put(18,78){$U$} \put(142,6){$r$} \multiput(40,14)(0,4){14}{\line(0,1){2}} \put(37,6){$r_k$} \qbezier(40,70)(65,30)(140,25) \put(75,45){$\sim \frac{1}{r}$} \end{picture} \quad \begin{picture}(150,100) \put(15,10){\vector(0,1){80}} \put(10,15){\vector(1,0){140}} \put(40,14){\line(0,1){56}} \put(4,78){$E$} \put(142,6){$r$} \put(37,6){$r_k$} \qbezier(40,70)(45,16)(140,16) \put(65,38){$\sim \frac{1}{r^2}$} \end{picture} \end{enumerate} \subsection{Linienladung} \begin{minipage}{85pt} \begin{picture}(75,100) \thicklines \put(40,10){\line(0,1){80}} \thinlines \put(0,46){$l$} \multiput(7,10)(0,80){2}{\line(1,0){6}} \put(10,10){\vector(0,1){80}} \put(10,90){\vector(0,-1){80}} \put(40,50){\vector(1,0){20}} \put(40,50){\vector(-1,0){20}} \put(40,50){\vector(1,1){14}} \put(40,50){\vector(-1,1){14}} \put(40,50){\vector(-1,-1){14}} \put(40,50){\vector(1,-1){14}} \put(40,0){\line(0,1){6}} \put(40,3){\vector(1,0){25}} \put(67,0.5){$r$} \qbezier(48,83)(47,78)(41,75) \put(47,85){$Q$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{270pt} $$Q \to \Psi = Q \to D = \frac{\Psi}{A} = \frac{Q}{A} = \frac{Q}{2\pi r l}$$ $A = 2\pi \cdot l\cdot r$ : Mantelfläche des Zylinders um den Leiter $$\Rightarrow E = \frac{D}{\varepsilon} = \frac{Q}{2\pi \varepsilon r l} = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon r}$$ mit \fbox{$\; \vphantom{\int}\lambda = \frac{Q}{l} \;$} Definition der Linienladungsdichte \end{minipage} \begin{eqnarray*} \varphi(r) & = &\varphi(r_0) - \int\limits_{r_0}^r\! E(r')\,dr'\\ & = &\varphi(r_0) - \int\limits_{r_0}^r\! \frac{Q}{2\pi\varepsilon l} \cdot \frac{dr'}{r'}\\ \varphi(r) & = &\varphi(r_0) - \frac{Q}{2\pi\varepsilon l} \cdot \ln r'\Big|_{r_0}^r = \varphi(r_0) - \frac{Q}{2\pi\varepsilon l} \ln\frac{r}{r_0} \end{eqnarray*} \begin{minipage}{120pt} \begin{picture}(120,100) \put(3,13){$\scriptstyle \varphi(r_0)$} \put(30,10){\vector(0,1){80}} \put(25,15){\vector(1,0){100}} \put(20,78){$\varphi$} \put(35,78){$D,\,E$} \qbezier(32,80)(40,20)(110,16) \qbezier(32,80)(35,20)(90,0) \put(63,13.5){\line(0,1){3}} \put(59,5){$r_0$} \put(118,6){$r$} \put(80,23){$\scriptstyle E \sim \frac{1}{r}$} \put(80,8){$\scriptstyle \varphi \sim -\ln{r}$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{235pt} \begin{center} Spezialfall: $\varphi(r_0) = 0$ \bigskip \fbox{\quad$ \displaystyle\vphantom{\int\limits_a^v}\varphi(r) = \frac{Q}{2\pi\varepsilon l} \ln\frac{r_0}{r} = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon} \ln\frac{r_0}{r}$ \quad} \end{center} \end{minipage} \subsubsection{Anwendung: Zylinderkondensator / Koaxialkabel} \begin{minipage}{120pt} \begin{picture}(100,80) \qbezier(80,50)(80,62.426408)(71.213204,71.213204) \qbezier(50,80)(62.426408,80)(71.213204,71.213204) \qbezier(20,50)(20,37.573592)(28.786796,28.786796) \qbezier(50,20)(37.573592,20)(28.786796,28.786796) \qbezier(20,50)(20,62.426408)(28.786796,71.213204) \qbezier(50,80)(37.573592,80)(28.786796,71.213204) \qbezier(80,50)(80,37.573592)(71.213204,28.786796) \qbezier(50,20)(62.426408,20)(71.213204,28.786796) \qbezier(65,50)(65,56.213204)(60.606602,60.606602) \qbezier(50,65)(56.213204,65)(60.606602,60.606602) \qbezier(35,50)(35,43.786796)(39.393398,39.393398) \qbezier(50,35)(43.786796,35)(39.393398,39.393398) \qbezier(35,50)(35,56.213204)(39.393398,60.606602) \qbezier(50,65)(43.786796,65)(39.393398,60.606602) \qbezier(65,50)(65,43.786796)(60.606602,39.393398) \qbezier(50,35)(56.213204,35)(60.606602,39.393398) \put(50,50){\vector(1,1){10.5}} \put(50,50){\vector(1,1){21.5}} \put(55,49){$r_i$} \put(66,58){$r_a$} \put(48,69){$\varepsilon$} \put(45,11){\line(0,1){25}} \put(45,36){\circle*{2}} \put(55,11){\line(0,1){9}} \put(55,20){\circle*{2}} \multiput(45,11)(10,0){2}{\circle*{2}} \put(46,0){$U$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{230pt} $$\varphi(r) = \frac{Q}{2\pi\varepsilon l} \ln \frac{r_0}{r}$$ \begin{eqnarray*} U & = & \varphi(r_i) - \varphi(r_a) = \frac{Q}{2\pi\varepsilon l}\left(\ln\frac{r_0}{r_i} - \ln\frac{r_0}{r_a}\right)\\ U & = & \frac{Q}{2\pi\varepsilon l}\ln\frac{r_a}{r_i} \end{eqnarray*} \end{minipage} \bigskip \fbox{\quad $ \displaystyle \vphantom{\int\limits_a^a}C = \frac{Q}{U} = \frac{2\pi\varepsilon l}{\ln\frac{r_a}{r_i}} $ \quad } \qquad Bemessungsgleichung d. Zylinderkondensators \bigskip Zahlenbeispiel: $r_i = 0,\!5\,\mathrm{mm}$, $r_a = 2,\!5\,\mathrm{mm}$, $\varepsilon_r = 3$, $l = 1\,\mathrm{m}$. $$C =\frac{2\pi\cdot 3\cdot 8,\!854\cdot10^{-12}\, \mathrm{As} \cdot 1\,\mathrm{m}}{\ln\frac{2,5\,\mathrm{mm}}{0,5\,\mathrm{mm}}\; \mathrm{Vm}} = 104\,\mathrm{pF} \qquad \qquad \frac{C}{l} = 104\,\frac{\mathrm{pF}}{\mathrm{m}}$$ \subsection{Zwei parallele Linienladungen} \begin{minipage}{125pt} \begin{picture}(120,75) \put(60,0){\vector(0,1){75}} \put(50,63){$y'$} \put(110,10){$x'$} \put(0,20){\vector(1,0){120}} \multiput(30,18)(60,0){2}{\line(0,1){4}} \multiput(30,20)(60,0){2}{\circle*{3}} \put(21,10){$-a$} \put(87,10){$a$} \put(72,10){$x$} \put(51,47.5){$y$} \put(60,20){\vector(1,2){15}} \put(90,20){\vector(-1,2){15}} \put(30,20){\vector(3,2){45}} \multiput(75,19)(0,4){8}{\line(0,1){2}} \multiput(59,50)(4,0){4}{\line(1,0){2}} \put(85,35){$r_1$} \put(37,35){$r_2$} \put(76,53){$\vec r$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{230pt} \center Linienladungen in $z$--Richtung $$\varphi(\vec r) = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon} \ln\frac{r_{01}}{r_1} - \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon} \ln\frac{r_{02}}{r_2}$$ Vereinfachung: $r_{01} = r_{02} \Rightarrow$ Ebene $x=0$ $$\varphi(\vec r) = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon}\ln\frac{r_2}{r_1}$$ \end{minipage} In kartesischen Koordinaten: $$r_1 = \sqrt{(a-x)^2 + y^2} \qquad r_2 = \sqrt{(a+x)^2 + y^2}$$ $$\varphi(x,y) = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon} \ln \frac{\sqrt{(x+a)^2 + y^2}}{\sqrt{(x-a)^2 + y^2}} = \frac{\lambda}{4\pi\varepsilon}\ln\frac{(a+x)^2+y^2}{(a-x)^2+y^2}$$ \bigskip Äquipotentialflächen (d.h. $\varphi =$ const.): $\frac{r_2}{r_1} = \mathrm{const} \Rightarrow r_1 \cdot k = r_2$ \begin{eqnarray*} ((a-x)^2 + y^2)\cdot k^2 &=& (a+x)^2 + y^2\\ (a^2 - 2ax + x^2 + y^2)\cdot k^2 = a^2 + 2ax + x^2 + y^2\\ (a^2 + x^2 + y^2) \cdot (k^2-1) - 2ax(k^2+1) & = & 0\\ x^2 - 2a\frac{k^2+1}{k^2-1}x + \left(a\cdot\frac{k^2+1}{k^2-1}\right)^2 + y^2 & = & -a^2 + \left(a \cdot\frac{k^2+1}{k^2-1}\right)^2\\ \bigg(\underbrace{x-a\cdot\frac{k^2+1}{k^2-1}}_{x_m}\bigg)^2 + \underbrace{\vphantom{\bigg)}y^2}_{y_m} & = & \underbrace{a^2 + \left(a \cdot\frac{k^2+1}{k^2-1}\right)^2}_{r^2} \end{eqnarray*} $\Rightarrow$ Kreisgleichung. Äquipotentialflächen sind Kreise (nicht konzentrisch!) \section{Kondensatoren} \subsection{Bemessungsgleichung (homogenes Feld)} \begin{minipage}{100pt} \begin{picture}(100,80)(0,-20) \multiput(5,22.50)(75,0){2}{\circle{2}} \put(47.5,22.5){\circle*{1.5}} \thicklines \put(6,22.5){\line(1,0){24}} \put(47.5,22.5){\line(1,0){31.5}} \multiput(30,0)(10,0){2}{\line(0,1){40}} \multiput(30,40)(10,0){2}{\line(2,1){15}} \put(55,7.5){\line(0,1){40}} \put(40,0){\line(2,1){15}} \thinlines \linethickness{0.2pt} \multiput(30,0)(0,40){2}{\line(1,0){10}} \put(45,47.5){\line(1,0){10}} \multiput(30,0)(0,5){7}{\line(1,1){10}} \qbezier(35,0)(35,0)(40,5) \qbezier(30,35)(30,35)(35,40) \multiput(0,0)(5,2.5){3}{\qbezier(30,40)(30,40)(43,42)} \thinlines \put(30,-5){\vector(1,0){10}} \put(40,-5){\vector(-1,0){10}} \put(32.5,-17){$d$} \qbezier(50,10)(52,0)(60,0) \put(61,-4){$A$} \qbezier(50,48)(52,55)(60,55) \put(61,52){$\varepsilon$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{250pt} $$C \sim A \qquad C \sim \frac{1}{d}$$ \fbox{\quad $\displaystyle \vphantom{\int\limits_a^d} C = \varepsilon \cdot \frac{A}{d} $ \quad} \qquad Herleitung: siehe 3.7.1 \end{minipage} \subsection{Parallelschaltung} \begin{minipage}{120pt} \begin{picture}(100,100) \multiput(1,65)(98,0){2}{\circle{2}} \multiput(2,65)(73,0){2}{\line(1,0){23}} \multiput(25,65)(50,0){2}{\circle*{1.5}} \multiput(25,45)(50,0){2}{\line(0,1){40}} \multiput(0,0)(26.5,0){2}{\multiput(25,45)(0,40){2}{\line(1,0){23.5}}} \thicklines \multiput(0,0)(0,40){2}{\multiput(48.5,37)(3,0){2}{\line(0,1){16}}} \put(46,25){$C_2$} \put(46,65){$C_1$} \put(35,88){$\scriptstyle Q_1$} \put(53,88){$\scriptstyle -Q_1$} \put(35,48){$\scriptstyle Q_2$} \put(53,48){$\scriptstyle -Q_2$} \thinlines \qbezier(5,40)(50,-5)(95,40) \put(95,40){\vector(1,1){0}} \put(46,5){$U$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{20pt} \center $\Rightarrow$ \vspace{1cm} \end{minipage} \begin{minipage}{120pt} \flushright \begin{picture}(100,100) \multiput(1,65)(98,0){2}{\circle{2}} \multiput(2,65)(49.5,0){2}{\line(1,0){46.5}} \qbezier(5,40)(50,-5)(95,40) \put(95,40){\vector(1,1){0}} \put(46,5){$U$} \put(38,68){$\scriptstyle Q$} \put(53,68){$\scriptstyle -Q$} \put(46,45){$C$} \thicklines \multiput(48.5,57)(3,0){2}{\line(0,1){16}} \end{picture} \end{minipage} \bigskip $$C = \frac{Q}{U} = \frac{Q_1+Q_2}{U} = C_1 + C_2$$ allgemein: \hspace{1cm} \fbox{ \quad $ \displaystyle \vphantom{\int\limits_a^v} C = C_1 + C_2 + \ldots + C_n = \sum\limits_{\mu = 1}^{n} C_{\mu} $\quad} \subsubsection{Ladungsteiler} $$Q_1 = C_1 \cdot U \qquad Q_2 = C_2 \cdot U \qquad Q = Q_1 + Q_2 = (C_1 + C_2) \cdot U$$ $\Rightarrow$ \quad \fbox{\quad $ \displaystyle \vphantom{\int\limits_a^v} \frac{Q_1}{Q_2} = \frac{C_1}{C_2} \qquad \textnormal{ und }\qquad \frac{Q_1}{Q\phantom{_a}} = \frac{C_1}{C_1+C_2} $\quad} \subsection{Serienschaltung} \begin{minipage}{120pt} \begin{picture}(100,90) \multiput(1,65)(98,0){2}{\circle{2}} \multiput(2,65)(33,0){3}{\line(1,0){30}} \thicklines \multiput(00,0)(33,0){2}{\multiput(32,57)(3,0){2}{\line(0,1){16}}} \put(29,45){$C_1$} \put(62,45){$C_2$} \put(20,68){$\scriptstyle Q_1$} \put(36,68){$\scriptstyle -Q_1$} \put(53,68){$\scriptstyle Q_2$} \put(69,68){$\scriptstyle -Q_2$} \thinlines \qbezier(5,40)(50,-5)(95,40) \put(95,40){\vector(1,1){0}} \put(46,5){$U$} \multiput(0,0)(35,0){2}{\qbezier(15,45)(32,30)(49,45)} \multiput(49,45)(35,0){2}{\vector(1,1){0}} \put(28.5,28){$U_1$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{20pt} \center $\Rightarrow$ \vspace{1cm} \end{minipage} \begin{minipage}{120pt} \flushright \begin{picture}(100,90) \multiput(1,65)(98,0){2}{\circle{2}} \multiput(2,65)(49.5,0){2}{\line(1,0){46.5}} \qbezier(5,40)(50,-5)(95,40) \put(95,40){\vector(1,1){0}} \put(46,5){$U$} \put(38,68){$\scriptstyle Q$} \put(53,68){$\scriptstyle -Q$} \put(46,45){$C$} \thicklines \multiput(48.5,57)(3,0){2}{\line(0,1){16}} \end{picture} \end{minipage} $$Q_1 = Q_2 = Q \qquad U = U_1 + U_2$$ $$C = \frac{Q}{U} = \frac{Q}{U_1+U_2} = \frac{1}{\frac{U_1}{Q} + \frac{U_2}{Q}} = \frac{1}{\frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}}$$ \begin{center} \fbox{\quad $\displaystyle \vphantom{\int\limits_a^v} C = \frac{1}{\frac{1}{C_1} + \cdots + \frac{1}{C_n}} = \frac{1}{\sum\limits_{\mu=1}^n \frac{1}{C_{\mu}}} $\quad } \end{center} \subsubsection{Spannungsteiler} $$U_1 = \frac{Q}{C_1} \qquad U_2 = \frac{Q}{C_2} \qquad U = U_1 + U_2 = \frac{Q}{C_1} + \frac{Q}{C_2}$$ $\Rightarrow$ \quad \fbox{\quad $ \displaystyle \vphantom{\int\limits_a^v} \frac{U_1}{U_2} = \frac{C_2}{C_1} \qquad \textnormal{ und }\qquad \frac{U_1}{U} = \frac{C_2}{C_1+C_2} $\quad} \section{Verschiebungsstrom} \subsection{Erscheinung} \begin{minipage}{175pt} \begin{picture}(170,150) \multiput(1,75)(165,0){2}{\circle{2}} \put(2,75){\line(1,0){58}} \put(10,83){$I_L$} \put(08,78){\vector(1,0){14}} \qbezier(30,72)(30,60)(35,60) \qbezier(40,75)(40,60)(35,60) \qbezier(40,75)(40,90)(35,90) \qbezier(30,78)(30,90)(35,90) \put(30.3,72){\vector(0,1){0}} \thicklines \multiput(60,34)(80,0){2}{\line(0,1){82}} \thinlines \put(65,75){\oval(40,100)} \put(51,10){Hülle} \put(25,52){\tiny Mag.} \put(25,45){\tiny Feld} \put(22,38){\tiny Wirbel} \put(47,130){$\frac{dQ}{dt} > 0$} \put(110,130){$\frac{d\Psi}{dt} > 0$} \multiput(60,35)(0,11.43){8}{\vector(1,0){80}} \multiput(51,42)(0,20){4}{$+$} \qbezier(100,75)(100,25)(110,25) \qbezier(120,75)(120,25)(110,25) \qbezier(100,75)(100,125)(110,125) \qbezier(120,75)(120,125)(110,125) \put(108,25){\vector(-1,0){0}} \put(92,15){\tiny Magnetfeld--} \put(101,7){\tiny Wirbel} \put(140,75){\line(1,0){25}} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{175pt} $$\frac{dQ}{dt} = I_L \qquad \frac{d\Psi}{dt} = I_V$$ $$ \vphantom{\int\limits_a^v}- I_L + I_V = 0 \Rightarrow I_L = I_V$$ \center $I_V$ : Verschiebungsstrom \end{minipage} \subsection{Verschiebungsstromdichte} $$I_V = \iint\limits_{(A)} \vec S_V \; dA \qquad \qquad I_V = \frac{d\Psi}{dt} \quad \Psi = \iint_{(A)} \vec D \; \vec{dA}$$ $$I_V = \frac{d}{dt}\iint\limits_{(A)} \vec D \cdot \vec{dA} = \iint\limits_{(A)} \underbrace{\frac{d\vec D}{dt}}_{\vec S_V} \; \vec{dA}$$ \fbox{\quad $\displaystyle \vphantom{\int\limits_a^d} \vec S_V = \frac{d\vec D}{dt} = \varepsilon \cdot \frac{\vec{dE}}{dt}$\quad} \qquad Verschiebungsstromdichte \subsection[Konvektionsstrom und Verschiebungsstrom]{Konvektionsstrom und Verschiebungsstrom sind\\ gleichzeitig vorhanden} \begin{minipage}{180pt} \center \begin{picture}(110,100) \multiput(1,50)(108,0){2}{\circle{2}} \multiput(2,50)(78,0){2}{\line(1,0){28}} \thicklines\multiput(30,20)(50,0){2}{\line(0,1){60}}\thinlines \multiput(30,22)(0,7){9}{\vector(1,0){50}} \put(5,55){\vector(1,0){20}} \put(12,58){$I$} \put(38,84){$\vec S_K$, $\vec S_V$} \put(35,13){$\kappa$, $\varepsilon$} \qbezier(55,15)(68,15)(70,25) \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{20pt} \center $\Rightarrow$ \end{minipage} \begin{minipage}{150pt} \center \begin{picture}(100,70) \multiput(0,35)(100,0){2}{\circle{2}} \multiput(1,35)(79,0){2}{\line(1,0){19}} \multiput(20,55)(40,0){2}{\line(1,0){20}} \multiput(40,50)(20,0){2}{\line(0,1){10}} \multiput(40,50)(0,10){2}{\line(1,0){20}} \multiput(20,15)(60,0){2}{\line(0,1){40}} \multiput(20,15)(31.5,0){2}{\line(1,0){28.5}} \put(23,20){$I_V$} \put(23,60){$I_K$} \put(7,38){$I$} \put(46,63){$R$} \put(46,26){$C$} \multiput(20,35)(60,0){2}{\circle*{2}} \multiput(20,15)(0,40){2}{\vector(1,0){13}} \thicklines\multiput(48.5,7)(3,0){2}{\line(0,1){16}} \end{picture} \end{minipage} $\vec S = \vec S_K + \vec S_V$ an jeder Stelle des Raumes $\Rightarrow$ \fbox{\quad$\vphantom{\Bigg)} \vec S = \kappa\cdot\vec E + \varepsilon \cdot \frac{d\vec E}{dt} $ \quad} \subsubsection{Beispiel:} Bewegte Ladung -- Strom durch Kreisfläche \begin{minipage}{120pt} \begin{picture}(120,100) \put(0,50){\vector(1,0){80}} \put(73,40){$x'$} \put(15,50){\circle*{5}} \multiput(50,12)(0,8){10}{\line(0,1){4}} \multiput(15,12)(0,8){5}{\line(0,1){4}} \put(12,3){$x$} \put(47,3){$0$} \put(63,80){$\vec E$} \qbezier(50,80)(45,80)(45,50) \qbezier(50,80)(55,80)(55,50) \qbezier(50,20)(45,20)(45,50) \qbezier(50,20)(55,20)(55,50) %\put(15,50){\vector(2,1){50}} \put(15,50){\vector(3,2){45}} \put(15,50){\vector(4,1){50}} \put(15,50){\vector(3,-2){45}} \put(15,50){\vector(4,-1){50}} \put(5,39){$Q$} \put(10,58){\vector(1,0){15}} \put(14,60){$\vec v$} \qbezier(53,35)(62,35)(65,30) \put(64,26){$A$} \put(85,47){$\left.\vphantom{\frac{\displaystyle\int\limits^b}{\int\limits_a^b}}\right\}$} \put(95,47){$\Psi$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{235pt} $$\left|\frac{\Psi}{Q}\right| = \frac{A}{A_{Kugel}} = \frac{2\pi\cdot a\cdot h}{4\pi\cdot a^2} = \frac{h}{2a}$$ $$h = a-|x| \qquad a =\sqrt{x^2+b^2}$$ \end{minipage} \bigskip \begin{minipage}{235pt} $$\left|\frac{\Psi}{Q}\right| = \frac{1}{2} \frac{a-|x|}{a} = \frac{1}{2}\left(1-\frac{|x|}{\sqrt{x^2+b^2}}\right)$$ $$x < 0 \longrightarrow \Psi > 0 \qquad x > 0 \longrightarrow \Psi < 0$$ \begin{eqnarray*} \Psi & = & \frac{Q}{2}\left(1-\frac{|x|}{\sqrt{x^2+b^2}}\right) \cdot \mathrm{sign}\,(-x)\\ & = & \frac{Q}{2}\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+b^2}} - \mathrm{sign}\,(x)\right) \end{eqnarray*} (differenzierbar für $x \ne 0$) \end{minipage} \begin{minipage}{120pt} \begin{picture}(100,100) \qbezier(90,50)(90,66.568544)(78.284272,78.284272) \qbezier(50,90)(66.568544,90)(78.284272,78.284272) \qbezier(10,50)(10,33.431456)(21.715728,21.715728) \qbezier(50,10)(33.431456,10)(21.715728,21.715728) \qbezier(10,50)(10,66.568544)(21.715728,78.284272) \qbezier(50,90)(33.431456,90)(21.715728,78.284272) \qbezier(90,50)(90,33.431456)(78.284272,21.715728) \qbezier(50,10)(66.568544,10)(78.284272,21.715728) \multiput(78,10)(0,4){6}{\line(0,1){2}} \put(75.5,0){$0$} \put(50,50){\circle*{3}} \put(40,57){$Q$} \put(00,50){\line(1,0){100}} \put(50,50){\vector(1,1){28}} \put(78,78){\vector(-1,-1){28}} \put(50,50){\line(1,-1){28}} \put(78,22){\line(0,1){28}} \put(78,78){\vector(0,-1){28}} \put(78,50){\vector(0,1){28}} \put(57,64){$a$} \put(46,39){$x$} \put(71,58){$b$} \put(82,54){$h$} \put(78,50){\vector(1,0){12}} \put(90,50){\vector(-1,0){12}} \end{picture} \end{minipage} \begin{eqnarray*} I_V &=& \frac{d\Psi}{dt} = \frac{d\Psi}{dx} \cdot \underbrace{\frac{dx}{dt}}_{v} = \frac{Q}{2}\left(\frac{\sqrt{x^2+b^2} - x \frac{1}{2} (x^2+b^2)^{-\frac{1}{2}} \cdot 2x}{x^2+b^2}\right) \cdot v\\ & = & \frac{Q\cdot v}{2} \cdot \frac{x^2+b^2-x^2}{(x^2+b^2)^{\frac{3}{2}}} = \frac{Q\cdot v}{2} \cdot \frac{b^2}{(x^2+b^2)^{\frac{3}{2}}} \end{eqnarray*} Verschiebungsstrom für $x \ne 0$. \subsubsection{Durch Fläche transportierte Ladung:} \begin{minipage}{120pt} \begin{picture}(100,70) \put(0,35){\vector(1,0){100}} \put(50,0){\vector(0,1){70}} \put(92,26){$x$} \put(54,60){$q(x)$} \put(48,50){\line(1,0){2}} \put(38,47){$Q$} \put(42,25){$0$} \thicklines \put(5,35){\line(1,0){45}} \put(50,35){\line(0,1){15}} \put(50,50){\line(1,0){45}} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{235pt} $$q(x) = \frac{Q}{2} \cdot (1+\mathrm{sign}\,(x))$$ $$I_K = \frac{dq}{dt} = \frac{dq}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} = 0 \qquad \textnormal{ für } x \ne 0$$ \end{minipage} \bigskip Gesamtstrom: $$I = I_K + I_V = \frac{dq}{dt} + \frac{d\Psi}{dt} = \frac{d(Q+\Psi)}{dx} \cdot \underbrace{\frac{dx}{dt}}_{v}$$ $$Q+\Psi = \frac{Q}{2}\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+b^2}}+1\right) \quad \Rightarrow \quad I = \frac{Q}{2}\left(\frac{b^2}{(x^2+b^2)^{\frac{3}{2}}}\right) \cdot v\quad \textnormal{ für alle } x$$ \vspace{1cm} \begin{minipage}{118pt} \center Verschiebungsfluß $\Psi(t)$ \begin{picture}(100,80) \put(0,35){\vector(1,0){100}} \put(50,0){\vector(0,1){70}} \put(92,26){$t$} \put(54,60){$\Psi(t)$} \thicklines \qbezier(5,35)(40,40)(48,55) \qbezier(48,55)(48,55)(51,15) \qbezier(95,35)(60,30)(51,15) \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{118pt} \center Ladung $Q(t)$ \begin{picture}(100,80) \put(0,35){\vector(1,0){100}} \put(50,0){\vector(0,1){70}} \put(92,26){$t$} \put(54,60){$q(t)$} \thicklines \put(5,35){\line(1,0){45}} \put(50,35){\line(0,1){15}} \put(50,50){\line(1,0){45}} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{118pt} \center $\Psi(t) + Q(t)$ \begin{picture}(100,80) \put(0,15){\vector(1,0){100}} \put(50,0){\vector(0,1){70}} \put(92,5){$t$} \thicklines \qbezier(5,15)(40,15)(50,35) \qbezier(50,35)(60,55)(95,55) \end{picture} \end{minipage} \vspace{0.6cm} \begin{minipage}{118pt} %%%%%% 222222222 \center Versch.--strom $I_V(t)$ \begin{picture}(100,80) \put(0,35){\vector(1,0){100}} \put(50,0){\vector(0,1){70}} \put(92,26){$t$} \put(54,60){$I_V(t)$} \thicklines \qbezier(5,35)(40,40)(48,55) \qbezier(48,55)(49.8,-40)(51,55) \qbezier(95,35)(60,40)(51,55) \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{118pt} \center Konvektionsstrom $I_K(t)$ \begin{picture}(100,80) \put(0,15){\vector(1,0){100}} \put(50,0){\vector(0,1){70}} \put(92,6){$t$} \put(54,60){$I_K(t)$} \thicklines \put(5,15){\line(1,0){43}} \qbezier(48,15)(49.8,100)(51,15) \put(51,15){\line(1,0){44}} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{118pt} \center Gesamtstrom $I$ \begin{picture}(100,80) \put(0,15){\vector(1,0){100}} \put(50,0){\vector(0,1){70}} \put(92,6){$t$} \put(54,60){$I(x)$} \thicklines \qbezier(5,15)(26,20)(42,40) \qbezier(58,40)(74,20)(95,15) \qbezier(42,40)(50,50)(58,40) \end{picture} \end{minipage} \section[Strom--Spannungsbeziehungen am Kondensator]{Strom--Spannungsbeziehungen am\\ Kondensator} \subsection{Linearer Q--U--Zusammenhang} \begin{minipage}{80pt} \begin{picture}(60,65) \multiput(1,40)(58,0){2}{\circle{2}} \multiput(2,40)(29.5,0){2}{\line(1,0){26.5}} \put(33,51){$C$} \qbezier(10,30)(30,10)(50,30) \put(50,30){\vector(1,1){0}} \put(23,8){$U(t)$} \put(5,44){\vector(1,0){20}} \put(7,49){$I(t)$} \thicklines \multiput(28.5,32)(3,0){2}{\line(0,1){16}} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{275pt} $$I = \frac{dQ}{dt} \qquad Q = C\cdot U \quad \Rightarrow \quad I = \frac{d(C\cdot U)}{dt}$$ \end{minipage} Bei $C = \mathrm{const.}$: \fbox{\quad $\displaystyle I = C\cdot \frac{dU}{dt}$ \quad } \begin{description} \item[Umkehrung:] $\displaystyle dU = \frac{1}{C}\,I\,dt$ $\displaystyle \int\limits_{U(t_0)}^{U(t)}dU = \frac{1}{C}\int\limits_{t_0}^t I \; dt' \quad \Rightarrow \quad \fbox{\quad $ \displaystyle U(t) = U(t_0) + \frac{1}{C}\int\limits_{t_0}^t I(t')\;dt' $\quad} $ \item[Eigenschaft der Kondensatorspannung:] Ist $I(t)$ beschränkt, dann ist $U(t)$ zu jedem Zeitpunkt stetig $\Rightarrow$ Die Kondensatorspannung kann nicht springen \end{description} \subsubsection{Beispiele} \begin{enumerate} \item Konstanter Strom $I(t) = I_0$ für $ t \geq t_0$ $\Rightarrow \qquad \displaystyle U(t) = U(t_0) + \frac{1}{C} \int\limits_{t_0}^t I(t')\;dt' = U(t_0) + \frac{I_0}{C}(t-t_0)$ \begin{minipage}{225pt} Spezialfall: $t_0 =0, \quad U(t_0) = 0$ $$U(t) = \frac{I_0}{C}\cdot t$$ \end{minipage} \begin{minipage}{100pt} \begin{picture}(90,75) \put(20,15){\vector(1,0){70}} \put(25,10){\vector(0,1){50}} \put(23,27){\line(1,0){4}} \multiput(25,27)(4,0){5}{\line(1,0){2}} \multiput(45,15)(0,4){3}{\line(0,1){2}} \put(45,27){\line(1,1){25}} \put(45,13){\line(0,1){4}} \put(0,25){$\scriptstyle U(t_0)$} \put(15,52){$\scriptstyle U$} \put(43,6){$\scriptstyle t_0$} \put(85,6){$\scriptstyle t$} \end{picture} \end{minipage} \item Linear ansteigender Ladestrom $t_0 = 0,\quad U(t_0) = 0, \qquad I(t) = \displaystyle\frac{I_0}{T}\cdot t$ \begin{minipage}{125pt} \begin{picture}(120,80) \put(25,10){\vector(0,1){70}} \put(20,15){\vector(1,0){100}} \put(5,55){$\frac{I_0 T}{2C}$} \put(10,35){$I_0$} \put(60,13){\line(0,1){4}} \multiput(23,38)(0,20){2}{\line(1,0){4}} \multiput(25,58)(4,0){9}{\line(1,0){2}} \multiput(25,38)(4,0){9}{\line(1,0){2}} \multiput(60,15)(0,4){11}{\line(0,1){2}} \put(25,15){\line(3,2){70}} \qbezier(25,15)(60,15)(60,70) \put(57,2){$T$} \put(111,6){$t$} \put(98,60){$I(t)$} \put(63,65){$U(t)$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{205pt} \begin{eqnarray*} U(t) & = & \underbrace{U(t_0)}_{0} + \frac{1}{C}\int\limits_{t_0=0}^{t} \frac{I_0}{T}\cdot t'\;dt'\\ & = & \frac{I_0}{CT} \int\limits_{0}^t f'\;dt' = \frac{I_0}{CT} \dot\frac{{t'}^2}{2}\bigg|_0^t\\ U(t) & = & \frac{I_0}{2\cdot CT}t^2 \end{eqnarray*} \end{minipage} \item Sinusförmige Spannung $U(t) = \hat{U} \cdot \cos \omega t$ $I(t) = C\cdot \frac{dU}{dt} = C\cdot \hat{U}\cdot \omega \cdot (-\sin\omega t) = - \hat{U}\cdot \omega\cdot C \cdot\sin\omega t =$ $ = \hat U \cdot \omega \cdot C \cdot \cos(\omega t + \frac{\pi}{2}) = \hat U\cdot\omega \cdot C\cdot \cos(\omega\cdot(t+\frac{\pi}{2}))$ \bigskip $\Rightarrow$ Bei sinusförmigen Spannungen ist auch der Strom sinusförmig und umgekehrt \end{enumerate} \subsection{Nichtlinearer Q--U--Zusammenhang} (nichtlineare Kapazität) \begin{minipage}{120pt} \begin{picture}(110,90) \put(10,15){\vector(1,0){100}} \put(15,10){\vector(0,1){70}} \put(3,68){$Q$} \qbezier(15,15)(75,25)(90,70) \put(50,18){\line(1,1){45}} \multiput(73,15)(0,4){7}{\line(0,1){2}} \multiput(15,41)(4,0){20}{\line(1,0){2}} \qbezier(90,41)(92,47)(85.5,54) \put(80,43){$\alpha$} \put(100,3){$U$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{235pt} \center Definition: differentielle Kapazität \bigskip \fbox{\quad$\displaystyle\vphantom{\bigg|} C_d = \frac{dQ}{dU} \sim \tan\alpha $\quad} \end{minipage} Strom--Spannungs--Beziehung: $$I = \frac{dQ}{dt} = \frac{dQ}{dU} \cdot \frac{dU}{dt} = C_d(U) \cdot \frac{dU}{dt}$$ \subsubsection{Beispiel: Halbleiterdiode} \begin{minipage}{118pt} \begin{picture}(60,90) \put(20,11){\vector(1,0){20}} \put(26,0){$U$} \put(0,25){\line(1,0){60}} \multiput(0,25)(60,0){2}{\line(0,1){40}} \put(30,25){\circle{20}} \multiput(0,65)(37.5,0){2}{\line(1,0){22.5}} \multiput(22.5,58)(15,0){2}{\line(0,1){14}} \qbezier(22.5,65)(37.5,72)(37.5,72) \qbezier(22.5,65)(37.5,58)(37.5,58) \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{118pt} \center \vspace{0.4cm} \begin{picture}(70,50) \multiput(0,20)(0,30){2}{\line(1,0){70}} \multiput(0,20)(35,0){3}{\line(0,1){30}} \put(4,33){$n$} \put(62,33){$p$} \multiput(28,27.5)(0,7.5){3}{\line(1,0){4}} \multiput(30,25.5)(0,7.5){3}{\line(0,1){4}} \multiput(38,27.5)(0,7.5){3}{\line(1,0){4}} \put(24.5,20){$\underbrace{\qquad}_{d} $} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{118pt} \center \begin{picture}(100,70) \put(0,15){\vector(1,0){100}} \put(90,3){$U$} \put(40,10){\vector(0,1){60}} \put(5,3){$-U_D$} \put(20,13){\line(0,1){4}} \put(38,33){\line(1,0){4}} \put(23,33){$Q_0$} \put(29,58){$Q$} \qbezier(20,15)(40,43)(90,45) \end{picture} \end{minipage} \bigskip \begin{minipage}{140pt} $$Q = Q_0 \cdot \sqrt{1+\frac{U}{U_D}}$$ \end{minipage} \begin{minipage}{215pt} In der Sperrschicht gespeicherte Ladung. \bigskip $U_D$ : Diffusionsspannung \end{minipage} \vspace{0.6cm} $$C_d(U) = \frac{dQ}{dU} = \frac{1}{2} Q_0\left(1+\frac{U}{U_D}\right)^{\frac{-1}{\phantom{-}2}} \cdot \frac{1}{U_D} = \frac{Q_0}{2U_D} \cdot \frac{1}{\sqrt{q+\frac{U}{U_D}}}$$ \begin{minipage}{160pt} mit $C_0 = C_d(0) = \displaystyle\frac{Q_0}{2U_D}$ \bigskip $$\displaystyle C_d = \frac{C_0}{\sqrt{1+\frac{U}{U_D}}}$$ \end{minipage} \begin{minipage}{160pt} \flushright \begin{picture}(100,90) \put(0,15){\vector(1,0){100}} \put(90,3){$U$} \put(40,10){\vector(0,1){70}} \put(5,3){$-U_D$} \put(20,13){\line(0,1){4}} \multiput(20,15)(0,4){17}{\line(0,1){2}} \put(38,33){\line(1,0){4}} \put(23,33){$C_0$} \put(29,68){$C$} \qbezier(20,80)(27,17)(90,15) \end{picture} \end{minipage} \bigskip \begin{description} \item[U--I--Relation:] $\displaystyle I(t) = C_d\cdot\frac{dU}{dt} = \frac{C_0}{\sqrt{1+\frac{U}{U_D}}} \cdot \frac{dU}{dt}$ \item[Anwendung:] Kapazitätsdiode zur Abstimmung von Schwingkreisen\end{description} \subsubsection{Beispiel} Linearer Spannungsanstieg: \quad $U(t) = \displaystyle\frac{U_0}{t_0}\cdot t$ \begin{minipage}{190pt} $$I(t) = \frac{C_0}{\sqrt{1+\frac{U_0}{t_0\cdot U_D}}\cdot t} \cdot \frac{U_0}{t_0}$$ \end{minipage} \begin{minipage}{130pt} \begin{picture}(120,100) \put(15,10){\vector(0,1){80}} \put(10,15){\vector(1,0){100}} \put(15,15){\line(3,2){60}} \put(60,13){\line(0,1){4}} \put(13,45){\line(1,0){4}} \multiput(60,15)(0,4){8}{\line(0,1){2}} \multiput(15,45)(4,0){12}{\line(1,0){2}} \put(58,5){$t_0$} \put(0,42){$U_0$} \put(77,57){$U(t)$} \qbezier(15,70)(15,18)(70,18) \qbezier(65,22)(71,25)(75,25) \put(76,24){$\scriptstyle I(t) \sim \frac{1}{\sqrt{x}}$} \put(18,78){$I(t), U(t)$} \put(13,65){\line(1,0){4}} \put(18,62){$\frac{C_0U_0}{t_0}$} \end{picture} \end{minipage} \subsubsection{Messung des Q--U--Zusammenhangs} \begin{minipage}{222.4pt} \begin{picture}(220,110) \put(3,37){$U\Big\downarrow$} \put(30,0){\line(0,1){80}} \thicklines\multiput(25,0)(40,0){2}{\line(1,0){10}}\thinlines \put(30,40){\circle{20}} \put(30,80){\line(1,0){80}} \multiput(0,0)(0,40){2}{ \multiput(70,0)(0,21.5){2}{\line(0,1){18.5}} \thicklines\multiput(62,18.5)(0,3){2}{\line(1,0){16}}\thinlines} \multiput(70,40)(0,40){2}{\circle*{2}} \multiput(130,20)(80,0){2}{\line(0,1){80}} \multiput(130,20)(0,80){2}{\line(1,0){80}} \multiput(140,50)(0,40){2}{\line(1,0){60}} \multiput(140,50)(60,0){2}{\line(0,1){40}} \put(145,70){\line(1,0){50}} \put(170,55){\line(0,1){30}} \multiput(168.5,55)(0,5){7}{\line(1,0){3}} \multiput(145,68.5)(5,0){11}{\line(0,1){3}} \put(147.7,35){$\scriptstyle x$} \put(187.7,35){$\scriptstyle y$} \multiput(150,30)(20,0){3}{\circle{2}} \put(170,0){\line(0,1){29}} \thicklines\put(165,0){\line(1,0){10}}\thinlines \put(110,15){\line(0,1){65}} \put(110,15){\line(1,0){40}} \put(150,15){\line(0,1){14}} \put(70,40){\line(1,0){30}} \put(100,5){\line(0,1){35}} \put(100,5){\line(1,0){90}} \put(190,5){\line(0,1){24}} \qbezier(60,30)(55,20)(60,10) \put(60.3,9){\vector(1,-4){0}} \put(40,17){$U_M$} \put(74,24){$C_M$} \put(82,56){$C$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{135pt} \textbf{Ladungsrichtig:} \bigskip $U_M = \frac{Q}{C_M} \sim Q \Rightarrow$ Spannung am Messkondensator $C_M$ ist proportional zur Ladung $Q$. \bigskip Messbedingung: $U_M \ll U$ \end{minipage} \bigskip \begin{minipage}{135pt} \textbf{Spannungsrichtig:} \bigskip $U_M = \frac{Q}{C_M}$ \bigskip Messbedingung: $U \ll U_M$ \end{minipage} \begin{minipage}{222.4pt} \begin{picture}(220,110) \put(0,37){$U_M\!\Big\downarrow$} \put(30,0){\line(0,1){80}} \thicklines\multiput(25,0)(40,0){2}{\line(1,0){10}}\thinlines \put(30,40){\circle{20}} \put(30,80){\line(1,0){80}} \multiput(0,0)(0,40){2}{ \multiput(70,0)(0,21.5){2}{\line(0,1){18.5}} \thicklines\multiput(62,18.5)(0,3){2}{\line(1,0){16}}\thinlines} \multiput(70,40)(0,40){2}{\circle*{2}} \multiput(130,20)(80,0){2}{\line(0,1){80}} \multiput(130,20)(0,80){2}{\line(1,0){80}} \multiput(140,50)(0,40){2}{\line(1,0){60}} \multiput(140,50)(60,0){2}{\line(0,1){40}} \put(145,70){\line(1,0){50}} \put(170,55){\line(0,1){30}} \multiput(168.5,55)(0,5){7}{\line(1,0){3}} \multiput(145,68.5)(5,0){11}{\line(0,1){3}} \put(147.7,35){$\scriptstyle x$} \put(187.7,35){$\scriptstyle y$} \multiput(150,30)(20,0){3}{\circle{2}} \put(170,0){\line(0,1){29}} \thicklines\put(165,0){\line(1,0){10}}\thinlines \put(110,5){\line(0,1){75}} \put(110,5){\line(1,0){80}} \put(190,5){\line(0,1){24}} \put(70,40){\line(1,0){30}} \put(100,15){\line(0,1){25}} \put(100,15){\line(1,0){50}} \put(150,15){\line(0,1){14}} \qbezier(60,30)(55,20)(60,10) \put(60.3,9){\vector(1,-4){0}} \put(45,17){$U$} \put(82,56){$C_M$} \end{picture} \end{minipage} \section{RC--Kreis} \subsection{U--I--Relationen} \begin{minipage}{170pt} \begin{picture}(160,80) \put(1,27){$U_q(t)\!\Big\downarrow$} \put(40,0){\line(0,1){60}} \put(40,30){\circle{20}} \put(40,0){\line(1,0){80}} \multiput(40,60)(50,0){2}{\line(1,0){30}} \multiput(70,55)(0,10){2}{\line(1,0){20}} \multiput(70,55)(20,0){2}{\line(0,1){10}} \multiput(120,0)(0,31.5){2}{\line(0,1){28.5}} \thicklines\multiput(112,28.5)(0,3){2}{\line(1,0){16}}\thinlines \put(75,68){$R$} \put(100,27){$C$} \qbezier(125,10)(138,30)(125,50) \put(125.5,10){\vector(-1,-2){0}} \put(134,27){$U_C(t)$} \put(75,30){\circle{40}} \put(70,27){$M$} \put(74,10){\vector(-1,0){0}} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{175pt} \begin{description} \item[gegeben:] Stromkreis, $R$, $C$, $U_q(t)$ \item[gesucht:] $U_C(t)$ \end{description} \end{minipage} \begin{description} \item[Maschensatz:] $U_C(t) + U_R(t) - U_q(t) = 0$ \item[U--I--Relationen:] $U_R = I\cdot R \qquad I = \displaystyle C \cdot \frac{dU_C}{dt}$ $\Rightarrow U_R = C\cdot R\cdot \displaystyle \frac{dU_C}{t}$ \bigskip \fbox{\quad $ \displaystyle\vphantom{\bigg|} \underbrace{C\cdot R}_{\tau} \cdot \frac{dU_C}{dt} + U_C = U_q $ \quad} \qquad Differentialgleichung für $U_C(t)$ \smallskip \smallskip $\tau = R\cdot C$ : Zeitkonstante des $RC$--Kreises \item[Anfangsbedingung:] $U_C(0)$ \end{description} \subsection{Spezialfälle} \subsubsection{1. Entladevorgang} $U_q = 0,\quad U_C(0) = U_0$ $$\tau\cdot \frac{dU_C}{dt} + U_C = 0 \qquad U_C(0) = U_0$$ \paragraph{Lösung durch Trennung der Variablen:} $$\displaystyle\tau\cdot \frac{dU_C}{dt} = -U_C \quad \Rightarrow \quad \tau\cdot\frac{dU_C}{U_C} = -dt \Leftrightarrow \frac{dU_C}{U_C} = -\frac{1}{\tau}dt$$ $$\int\limits_{U_C(0)}^{U_C(t)}\! \frac{dU_C}{U_C} = \frac{1}{\tau}\int\limits_0^t\!dt'\! = \!\Big[\ln U_C\Big]_{U_C(0)}^{U_C(t)} \!=\! - \frac{1}{\tau}\Big[t'\Big]_0^t = \underbrace{\ln U_C(t) - \ln U_C(0)}_{\ln\frac{U_C(t)}{U_C(0)}} = -\frac{1}{\tau}\cdot t$$ $$\ln\frac{U_C(t)}{U_0(t)} = - \frac{1}{\tau} \quad \longrightarrow \quad \frac{U_C(t)}{U_C(0)} = e^{-\frac{t}{\tau}}$$ \smallskip $\displaystyle \Rightarrow \quad$ \fbox{\quad $\displaystyle\vphantom{\bigg|}U_C(t) = U_C(0) \cdot e^{-\frac{t}{\tau}} = U_0 \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}$ \quad} \paragraph{Eigenschaften der Entladekurve} \begin{itemize} \item $-\frac{dU_C}{dt} = \frac{1}{\tau}\cdot U_C$ \quad (Abnahmegeschwindigkeit von $U_C$ ist proportional zu $U_C$ selbst) \item Wert $U_C(\tau) = U_0 \cdot e^{-\frac{\tau}{\tau}} = U_0 \cdot e^{-1} \approx 0,\!37 \cdot U_0$ \item Halbwertszeit: $U_C(t_h) = \frac{U_0}{2}$ $U_0 \cdot e^{-\frac{t_h}{\tau}} = \frac{U_0}{2} \longrightarrow e^{\frac{t_h}{\tau}} =2 \longrightarrow t_h = \tau \cdot \ln 2 \approx 0,\!69\cdot \tau$ \item Werte: $U_C(3\tau) \approx 0,\!05\cdot U_0$, \quad $U_C(5\tau) \approx 0,\!007\cdot U_0$ \end{itemize} \subsubsection{2. Ladevorgang} $U_q(t) = U_0, \quad U_C(0) = 0$ $$\tau\cdot\frac{dU_C}{dt} + U_C = U_0 \qquad U_C(0) = 0$$ $\displaystyle \tau \frac{dU_C}{dt} + \underbrace{U_C - U_0}_{V} = 0$ \qquad Neue Variable $V$. \quad $\displaystyle\frac{dV}{dt} = \frac{dU_C}{dt}$ \smallskip Neue Differentialgleichung: $$\tau\cdot \frac{dV}{dt} + V = 0 \quad \textnormal{ mit } \quad V(0) = U_C(0) -U_0 = -U_0$$ $\Rightarrow C(t) = V(0) \cdot e^{-\frac{t}{\tau}} = - U_0 \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}$ \bigskip $\Rightarrow$ \quad \fbox{\quad $ \vphantom{\Bigg|} U_C(t) = V(t)+U_0 = U_0\left(1- e^{-\frac{t}{\tau}}\right) $ \quad} \section{Energie im elektrischen Feld} \subsection{Energie} \begin{minipage}{85pt} \begin{picture}(60,95) \put(0,10){\line(1,0){60}} \multiput(0,10)(60,0){2}{\line(0,1){40}} \multiput(0,50)(45,0){2}{\line(1,0){15}} \thicklines\multiput(15,30)(30,0){2}{\line(0,1){40}}\thinlines \put(30,10){\circle{20}} \put(30,33){\oval(40,20)[b]} \put(10,35){\vector(0,1){0}} \put(25.5,28){$\scriptstyle dQ$} \put(4,58){$\scriptstyle Q$} \put(47,58){$\scriptstyle -Q$} \qbezier(15,75)(30,85)(45,75) \put(45,75){\vector(2,-1){0}} \put(27,82){$\scriptstyle U$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{270pt} Um eine Ladung $dQ$ zusätzlich auf die linke Platte zu bringen, ist eine Energie \[dW = U\cdot dQ\] aufzubringen. \end{minipage} \bigskip \begin{minipage}{225pt} Für eine Aufladung von $Q_0$ auf $Q$ benötigte Energie: $\displaystyle\int\limits_{W_0} dW' = \int\limits_{Q_0}^Q U\,dQ'$ $\Rightarrow $ \quad \fbox{$\displaystyle W - W_0 = \int\limits_{Q_0}^Q U\,dQ' $} \end{minipage} \begin{minipage}{130pt} \flushright \begin{picture}(110,90) \put(2,30){$\scriptstyle Q_0$} \put(5,60){$\scriptstyle Q$} \put(6,80){$\scriptstyle Q$} \put(15,10){\vector(0,1){80}} \put(10,15){\vector(1,0){100}} \qbezier(15,15)(50,60)(100,70) \multiput(14,63)(4,0){16}{\line(1,0){2}} \multiput(14,33)(4,0){5}{\line(1,0){2}} \multiput(31,14)(0,4){5}{\line(0,1){2}} \multiput(76,14)(0,4){13}{\line(0,1){2}} \put(27,6){$\scriptstyle U_0$} \put(73,6){$\scriptstyle U$} \put(102,7){$\scriptstyle U$} \multiput(15,45)(2,0){15}{\qbezier(0,0)(0,0)(2,2)} \linethickness{0.2pt} \qbezier(15,58)(15,58)(20,63) \qbezier(15,53)(15,53)(25,63) \qbezier(15,48)(15,48)(30,63) \qbezier(15,43)(15,43)(17,45) % u \qbezier(19,47)(19,47)(35,63) % o \qbezier(15,38)(15,38)(22,45) \qbezier(24,47)(24,47)(40,63) \qbezier(15,33)(15,33)(27,45) \qbezier(29,47)(29,47)(45,63) \qbezier(20,33)(20,33)(32,45) \qbezier(34,47)(34,47)(50,63) \qbezier(25,33)(25,33)(37,45) \qbezier(39,47)(39,47)(55,63) \qbezier(30,33)(30,33)(42,45) \qbezier(44,47)(44,47)(60,63) \qbezier(52,50)(65,63)(65,63) \qbezier(64,57)(70,63)(70,63) \qbezier(15,33)(15,33)(23,25) \qbezier(15,28)(15,28)(21.1,21.9) \qbezier(15,23)(15,23)(18.3,19.7) \qbezier(15,18)(15,18)(16.3,16.7) \qbezier(20,33)(20,33)(25.5,27.5) \qbezier(25,33)(25,33)(28,30) \thinlines \qbezier(48,46)(49,43)(55,43) \put(56,40){$\scriptstyle dW$} \qbezier(25,63)(28,70)(33,72) \put(35,70){$\scriptstyle W-W_0$} \qbezier(22,23)(30,23)(37,26) \put(39,24){$\scriptstyle W_0$} \put(15,45){\line(1,0){30}} \put(15,47){\line(1,0){33}} \end{picture} \end{minipage} \paragraph{Linearer U--Q--Zusammenhang:} $\displaystyle Q = C\cdot U \longrightarrow U = \frac{Q}{C}$ Aufladung von $Q_0 = 0$ auf $Q$, $W_0 = 0$: $$W=\int\limits_0^Q\frac{Q'}{C}\,dQ' = \frac{1}{C}\left[\frac{{Q'}^2}{2}\right]_0^Q = \frac{Q^2}{2C}$$ \begin{center} \fbox{\quad $\displaystyle\vphantom{\Big|} W =\frac{Q^2}{2C} = \frac{C\cdot U^2}{2} = \frac{Q\cdot U}{2} = \frac{\Psi\cdot U}{2}$\quad} \end{center} In einem Kondensator ($C$) bei Aufladung von $Q_0 = 0$ ($\Leftrightarrow U_0 = 0$) auf $Q$ ($U$) gespeicherte Energie. \paragraph{Beispiel:} $C = 50\,\mu\mathrm{F}$, $U = 1\,\mathrm{kV} \Rightarrow Q = C\cdot U = 5\cdot 10^{-2}\,\mathrm{As}$ $$W = \frac{50\cdot 10^{-6}\,\mathrm{As} \cdot (10^3 \,\mathrm{V})^2}{\mathrm{V} \cdot 2} = 25\,\mathrm{Ws}$$ Vergleich mit $R6$--Akku: $1,\!2\,\mathrm{V}$, $0,\!5\,\mathrm{Ah} \Rightarrow Q=1800\,\mathrm{As}$. $$W = Q\cdot U = 1800\,\mathrm{As} \cdot 1,2\,\mathrm{V} = 2160\,\mathrm{Ws}$$ Die Energiespeicherung in einem Kondensator ist reversibel. Die gespeicherte Energie kann zurückgewonnen werden. \subsection{Energiedichte} Die Energie ist im elektrischen Feld gespeichert. \begin{minipage}{144pt} \begin{eqnarray*} \Delta W &=& \frac{\Delta\Psi \cdot\Delta U}{2} \\ & = & \frac{D\cdot E}{2}\cdot\underbrace{\Delta A\cdot \Delta l}_{\Delta V} \end{eqnarray*} \end{minipage} \begin{minipage}{200pt} \flushright \begin{picture}(180,85) \put(30,0){$\Delta U = E\cdot \Delta l$} \thicklines\multiput(15,30)(0,30){2}{\line(1,0){90}} \multiput(0,0)(90,0){2}{\qbezier(15,30)(10,30)(10,45)\qbezier(15,60)(10,60)(10,45)} \qbezier(105,30)(110,30)(110,45) \qbezier(105,60)(110,60)(110,45) \thinlines \multiput(15,20)(90,0){2}{\line(0,1){10}} \multiput(15,60)(90,0){2}{\line(0,1){10}} \qbezier(18,20)(50,5)(102,20) \put(102,20){\vector(3,1){0}} \put(10,45){\vector(1,0){90}} \multiput(11,35)(0,20){2}{\vector(1,0){90}} \put(15,67){\vector(1,0){90}} \put(105,67){\vector(-1,0){90}} \put(57,70){$l$} \put(115,18){$\Delta A$} \qbezier(114,20)(107,20)(105,35) \put(115,42){$\Bigg\} \Delta\Psi = D\Delta A $} \end{picture} \end{minipage} \bigskip \paragraph{Energiedichte:} \quad \fbox{\quad $\displaystyle\vphantom{\int\limits_a^b}w = \lim\limits_{\Delta V \to 0} \frac{\Delta W}{\Delta V} = \frac{D\cdot E}{2} = \varepsilon \cdot\frac{E^2}{2} = \frac{D^2}{2\varepsilon} $ \quad } \begin{description} \item[Beispiel:] maximale erreichbare Energiedichte \smallskip Luft: $\vec E = 30\,\frac{\mathrm{kV}}{\mathrm{cm}}, \quad \varepsilon_0 \longrightarrow w = 40\,\frac{\mathrm{Ws}}{\mathrm{m}^3}$ \smallskip Glas: $\vec E = 500\,\frac{\mathrm{kV}}{\mathrm{cm}}, \quad \varepsilon_r = 8 \longrightarrow w = 24,\!6\,\frac{\mathrm{Wh}}{\mathrm{m}^3}$ \smallskip Vergleich: Autoakku ($12\,\mathrm{V}$, $42\,\mathrm{Ah}$): $W = 504 \,\mathrm{Wh}$ \end{description} \section{Kraftwirkungen im elektrischen Feld} \subsection{Kraft} \begin{minipage}{100pt} \begin{picture}(90,105) \multiput(30,30)(-5,7.5){4}{\color{grau}\vector(2,1){50}} \put(75,69.5){$\vec E$} \put(35,47.5){\circle*{3}} \put(35,47.5){\vector(2,1){15}} \put(25,50.5){$Q$} \put(50,57.5){$\vec F$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{255pt} Ein Ladungsträger $Q$ erfährt im elektrischen Feld eine Kraft $$\vec F = Q \cdot \vec E$$ ($\vec E$ ist die Feldstärke des ungestörten Feldes, also vor Einbringen von $Q$). \end{minipage} \paragraph{Beispiel:} Zwei Punktladungen \begin{minipage}{80pt} \begin{picture}(75,55) \multiput(15,30)(30,0){2}{\circle*{4}} \multiput(15,30)(30,0){2}{\vector(1,0){15}} \put(15,30){\vector(1,1){10.5}} \put(15,30){\vector(-1,0){15}} \put(15,30){\vector(-1,-1){10.5}} \put(15,30){\vector(1,-1){10.5}} \put(15,30){\vector(-1,1){10.5}} \put(15,30){\vector(0,-1){15}} \put(15,30){\vector(0,1){15}} \put(0,11){$\scriptstyle Q_1$} \put(41,20){$\scriptstyle Q_2$} \put(49,33){$\scriptstyle \vec F$} \put(15,10){\vector(1,0){30}} \put(45,10){\vector(-1,0){30}} \put(28,3){$r$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{275pt} $\displaystyle E_1 = \frac{Q_1}{4\pi\varepsilon r^2} \quad \Rightarrow \quad $ \fbox{$\displaystyle \quad F = Q_2 \cdot E = \frac{Q_1\cdot Q_2}{4\pi\varepsilon r^2} \quad $} \smallskip \hspace{107pt} Coulombsches Gesetz \end{minipage} \subsection{Bewegungsgleichung} Frei bewegliche Ladungsträger ($Q$, $m$, $\vec r$) erfahren im elektrischen Feld eine Beschleunigung $$\vec a = \ddot{\vec r} = \frac{\vec F}{m} = \frac{Q}{m} \cdot \vec E$$ \begin{minipage}{130pt} \smallskip $\Rightarrow$ \quad \fbox{\quad $ m \cdot \ddot{\vec r} = Q\cdot \vec E \vphantom{{\int\limits_a^b}}$ \quad} \end{minipage} \begin{minipage}{225pt} \center Bewegungsgleichung (ohne Berücksichtigung weiterer Kräfte) \end{minipage} \subsubsection{Beispiel: Elektro--Erzscheider} \begin{minipage}{145pt} \begin{picture}(145,140) \put(56,0){$U$} \thicklines\multiput(30,30)(60,0){2}{\line(0,1){50}}\thinlines \put(60,55){\circle*{5}} \put(60,55){\vector(0,-1){20}} \put(60,55){\vector(-1,0){20}} \put(43,58){$\scriptstyle Q\cdot E$} \put(63,44){$\scriptstyle m\cdot g$} \qbezier(30,25)(60,0)(90,25) \put(30,25){\vector(-1,1){0}} \multiput(10,55)(100,0){2}{\circle{2}} \multiput(11,55)(79,0){2}{\line(1,0){19}} \put(0,52){$-$} \put(111.5,52){$+$} \multiput(40,90)(40,0){2}{\line(0,1){15}} \put(40,90){\line(1,0){40}} \put(40,105){\line(-1,1){15}} \put(80,105){\line(1,1){15}} \put(25,120){\line(1,0){70}} \put(135,85){\vector(-1,0){135}} \put(130,90){\vector(0,-1){90}} \put(0,77){$x$} \put(122,2){$y$} \put(20,125){\tiny Phosphat--Quarz--Gemisch} \put(60,83){\line(0,1){4}} \put(57.5,73){$0$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{210pt} Das Phosphat--Quarz--Gemisch fällt durch das $E$--Feld. Dabei werden die positiv geladenen Phosphatteile nach links, die negativ geladenen Quarztzeile nach rechts beschleunigt. \bigskip \begin{tabular}{ll} Phosphat:& $\frac{Q}{m} = 9\,\frac{\mu\mathrm{C}}{\mathrm{kg}}$\\ Quarz:& $\frac{Q}{m} = -9\,\frac{\mu\mathrm{C}}{\mathrm{kg}}$\\ Feldstärke:& $E = 500 \, \frac{\mathrm{kV}}{\mathrm{m}}$ \end{tabular} \end{minipage} \newpage \textbf{Bewegungsgleichung:} \begin{eqnarray*} m \cdot \ddot{\vec r} &=& Q \cdot \vec E + \vec G \hspace{3.05cm} \vec r(0) = 0\\ m \cdot \ddot{\vec r} &=& Q \cdot E \cdot \vec e_x + m \cdot g \cdot\vec e_y = \vec F\\ m \cdot \dot{\vec r} &=& \vec F \cdot t \hspace{4cm} \dot{\vec r}(0) = 0\\ m \cdot \vec r & = & \vec F \cdot \frac{t^2}{2}\\ \vec r(t) & = & \frac{t^2}{2m} \cdot \vec F = \frac{t^2}{2m}\cdot (Q\cdot E\cdot \vec e_x + m \cdot g \cdot \vec e_y) \end{eqnarray*} Bahngleichungen in Parameterdarstellung: \quad $x(t) = \displaystyle\frac{QE}{2m} t^2$, \quad $\displaystyle y(t) = \frac{g}{2}t^2$ \bigskip $\Rightarrow$ \quad \fbox{$\quad \displaystyle y(x) = \frac{gm}{QE} \cdot x \quad $} \quad Geradengleichung \bigskip Für eine Fallhöhe von $y = 1\,\mathrm{m}$ ergibt sich \begin{eqnarray*} x &=& \frac{Q}{m} \cdot \frac{E}{g} \cdot y = \frac{9\cdot 10^{-6}\,\mathrm{As}}{\mathrm{kg}} \cdot \frac{5\cdot 10^{5}\,\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{m}}}{9,\!81\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}} \cdot 1\,\mathrm{m}\\ & = & 0,\!46\,\mathrm{m} \end{eqnarray*} \subsection{Kraft an Grenzflächen} \begin{center} \begin{picture}(190,75) \put(1,40){\circle{2}} \multiput(2,40)(68,0){2}{\line(1,0){18}} \thicklines\multiput(20,20)(50,0){2}{\line(0,1){40}}\thinlines \multiput(12,21.5)(0,11){4}{$\scriptstyle +$} \multiput(72.5,21.5)(0,11){4}{$\scriptstyle -$} \multiput(55,20)(0,3.45){12}{\line(0,1){2}} \multiput(0,0)(0,40){2}{\multiput(55,20)(4, 0){4}{\line(1,0){2}}} \put(55,40){\vector(-1,0){15}} \put(35,44){$F$} \put(55,16){\vector(1,0){15}} \put(70,16){\vector(-1,0){15}} \put(57.5,5){$dx$} \put(3,58){$Q$} \qbezier(62.5,55)(63,65)(68,65) \put(70,63){$dW_F$} \qbezier(88,40)(91,47)(91,47) \multiput(0,0)(12,0){3}{\qbezier(91,47)(97,33)(97,33)} \multiput(0,0)(12,0){2}{\qbezier(97,33)(97,33)(103,47)} \qbezier(121,33)(124,40)(124,40) \put(124,40){\line(1,0){15}} \qbezier(70,30)(80,29)(84,21) \put(83,16){$A$} \qbezier(108,30)(108,18)(113,18) \put(116,15){$dW_m = F \cdot dx$} \thicklines\put(139,35){\line(0,1){10}} \end{picture} \end{center} \paragraph{1. Globale Kraftgleichung} ($F$ ausgeübt durch $C$) \begin{eqnarray*} \vphantom{\Big|}dW_F + dW_m& = & 0\\ d\left(\frac{CU^2}{2}\right) + F\,dx &=& 0\\ F & = & -\frac{d}{dx}\left( \frac{C(x)}{2}\,U^2(x)\right) \quad \textnormal{mit} \quad U = \frac{Q}{C},\; Q \textnormal{ const.}\\ F &= & - \frac{Q^2}{2}\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{C(x)}\right) = - \frac{Q}{2}\frac{1}{C^2}\frac{dC}{dx} \end{eqnarray*} \quad\fbox{\quad $\displaystyle F = \frac{U^2}{2}\cdot \frac{dC}{dx}$ \quad } $\Rightarrow$ Kraft wirkt in Richtung Kapazitätsvergrößerung \paragraph{2. Lokale Kraftgleichung} ($F$ ausgedrückt durch Feldgrößen) \begin{eqnarray*} dW_F + dW_m &=& 0\\ d\left(\frac{ED}{2}V\right) + F\,dx & = & 0 \end{eqnarray*} Mit $Q = \textnormal{ konst. } \Rightarrow \Psi = \textnormal{ konst. } \Rightarrow E,\,D = \textnormal{ konst. }$: $$F = - \frac{ED}{2} \cdot \frac{dV}{dx} = \frac{ED}{2} \cdot A \qquad \textnormal{ da }\; dV = - A \cdot dx$$ \fbox{$\:\displaystyle p = \frac{F}{A} = \frac{ED}{2}= w \:$ } $\Rightarrow$ Druck, Kraftdichte = Energiedichte an Grenzfläche \subsection{Beispiele und Anwendungen} \subsubsection{1. Maximale Kraftwirkung} $E = 500 \frac{\mathrm{kV}}{\mathrm{cm}} = 5 \cdot 10^7 \frac{\mathrm{V}}{\mathrm{m}}$ \quad Durchschlagsfeldstärke (Glas), $\varepsilon_r = 8$ \begin{eqnarray*} p & = & \frac{DE}{2} = \varepsilon\,\frac{E^2}{2} = \varepsilon_0 \cdot \varepsilon_r \cdot \frac{E^2}{2} = 8,\!854 \cdot 10^{-12}\,\frac{\mathrm{As}}{\mathrm{Vm}} \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} \cdot 25\cdot 10^{14} \frac{\mathrm{V^2}}{\mathrm{m^2}}\\ & = & 8,\!854 \cdot 10^4\,\frac{\mathrm{Ws}}{\mathrm{m}^3} = 8,\!954\,\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}^2} = 8,\!854\,\mathrm{kPa} \approx 0,\!9 \,\mathrm{Bar} \vphantom{\int\limits_a} \end{eqnarray*} \subsubsection{2. Elektroskop} \begin{minipage}{110pt} \setlength{\unitlength}{0.8pt} \begin{picture}(110,90) \multiput(10,0)(80,0){2}{\line(0,1){60}} \multiput(10,55)(0,5){2}{\line(1,0){80}} \put(10,0){\line(1,0){80}} \multiput(10,55)(5,0){7}{\qbezier(0,0)(5,5)(5,5)} \multiput(55,55)(5,0){7}{\qbezier(0,0)(5,5)(5,5)} \qbezier(45,55)(48,58)(48,58) \qbezier(52,57)(55,60)(55,60) \thicklines\multiput(48,55)(4,0){2}{\line(0,1){5}} \put(50,35){\line(0,1){40}} \put(50,35){\line(-1,-1){20}} \put(50,35){\line(1,-1){20}} \put(50,80){\circle{10}} \multiput(23.5,17)(46,0){2}{$\scriptstyle +$} \multiput(30,24)(33,0){2}{$\scriptstyle +$} \multiput(36.5,31)(20,0){2}{$\scriptstyle +$} \multiput(0,0)(92.5,0){2}{\multiput(0,17)(0,7){3}{$\scriptstyle -$}} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{245pt} \begin{itemize} \item $D$, $E \longrightarrow \frac{DE}{2} = p$ (Druck auf Oberfläche) \item Kapazität vergrößert sich \end{itemize} \end{minipage} \subsubsection{3. Elektrostatisches Voltmeter} \begin{minipage}{175pt} \center \begin{picture}(120,85) \setlength{\unitlength}{1.2pt} \qbezier(80,30)(80,42.426408)(71.213204,51.213204) \qbezier(50,60)(62.426408,60)(71.213204,51.213204) \qbezier(50,60)(37.573592,60)(28.786796,51.213204) \qbezier(80,30)(80,17.573592)(71.213204,08.786796) \qbezier(28.786796,51.213204)(71.213204,08.786796)(71.213204,08.786796) \multiput(23,43)(4,-1.95){14}{\qbezier(0,0)(2,-1)(2,-1)} \put(64,33){$r$} \put(50,30){\circle*{2}} \put(28.78,51.21){\vector(-1,-1){13}} \put(15,47){$\vec F$} \qbezier(20,30)(20,42.426408)(28.786796,51.213204) \put(20,30){\line(1,0){30}} \multiput(50,30)(4,0){8}{\line(1,0){2}} \qbezier(75,06)(81,14)(81,14) \put(75.2,06){\vector(-2,-3){0}} \put(81,14){\vector(2,3){0}} \put(81,05){$dx$} \put(66.5,14){$\scriptstyle d\alpha$} \qbezier(55,30)(55,32.071068)(53.535534,33.535534) \qbezier(50,35)(52.071068,35)(53.535534,33.535534) \qbezier(43,20)(42.5,32.071068)(46,34) \qbezier(50,35)(47.928932,35)(46,34) \qbezier(55,30)(55,27.928932)(53.535534,26.464466) \qbezier(50,25.5)(52.071068,25)(53.535534,26.464466) \qbezier(50,25.5)(47,26.5)(47,30) \qbezier(47,30)(47,32)(50,32) \qbezier(50,32)(51.5,31.5)(50.5,29.5) \put(40,20){\line(1,0){6}} \qbezier(40,26)(35,25)(35,15) \put(15,07){\small Drehfeder} \end{picture} Draufsicht \end{minipage} \begin{minipage}{175pt} \center \begin{picture}(150,85) \put(5,40){\line(1,0){110}} \multiput(30,10)(15,0){4}{\line(0,1){60}} \multiput(116,40)(0,35){2}{\circle{2}} \multiput(0,0)(80,0){2}{\multiput(10,39)(0,2){2}{\line(1,0){6}} \multiput(13,34)(0,7){2}{\line(0,1){5}}} \multiput(22.5,42.5)(15,0){5}{\line(0,1){32.5}} \put(22.5,75){\line(1,0){92.5}} \put(120,72){$-$} \put(120,37){$+$} \end{picture} Querschnitt \end{minipage} \smallskip $$dW_F + dW_m = 0$$ $$\textnormal{mit }\, dW_F = d\left(\frac{CU^2}{2}\right) = \frac{Q^2}{2}\,d\frac{1}{C} \quad \textnormal{ und } \quad dW_m = F\,dx = \frac{M}{r} \cdot r \, d\alpha = M\,d\alpha$$ $$\Rightarrow M = - \frac{Q^2}{2} \cdot \frac{d}{d\alpha}\left(\frac{1}{C}\right) = \frac{Q^2}{2C^2}\,\frac{dC}{d\alpha} \qquad \textnormal{mit } U = \frac{Q}{C}$$ \smallskip \begin{center} \fbox{\quad $\displaystyle M = \frac{U^2}{2}\cdot\frac{dC}{d\alpha} $ \quad} \quad Drehmoment bei Drehbewegung \end{center} \smallskip $\Rightarrow$ quadratischer Skalenverlauf \smallskip $\Rightarrow$ Wechselspannung kann direkt gemessen werden ($U^2$) \subsection{Kraft auf Grenzflächen von Dielektrika} Grenzfläche zwischen den Dielektrika $\varepsilon_1 > \varepsilon_2$ ist beweglich. \begin{minipage}{175pt} \center \vspace{0.6cm} \begin{picture}(110,100) \multiput(1,50)(98,0){2}{\circle{2}} \multiput(20,20)(0,60){2}{\line(1,0){60}} \multiput(2,50)(78,0){2}{\line(1,0){18}} \thicklines \multiput(20,20)(60,0){2}{\line(0,1){60}} \thinlines \put(50,20){\line(0,1){60}} \put(50,50){\vector(1,0){20}} \put(65,53){$\vec F$} \multiput(63,21)(0,4){15}{\line(0,1){2}} \put(50,16){\vector(1,0){13}} \put(63,16){\vector(-1,0){13}} \put(51.5,6){$dx$} \put(31,84){$\varepsilon_1$} \put(61,84){$\varepsilon_2$} \put(46,84){$>$} \qbezier(49.5,25)(40,25)(40,13) \put(36,3){$A$} \end{picture} \vspace{1cm} $Q = \mathrm{konst.} \Rightarrow D = D_n = \mathrm{konst.}$ \end{minipage} \hspace{5pt} \begin{minipage}{175pt} \begin{picture}(135,118) \multiput(20,20)(0,60){2}{\line(1,0){60}} \thicklines \multiput(20,20)(60,0){2}{\line(0,1){60}} \multiput(20,80)(60,0){2}{\line(2,1){30}} \put(80,20){\line(2,1){30}} \put(110,35){\line(0,1){60}} \thinlines \multiput(21,53)(4,0){15}{\line(1,0){2}} \multiput(81,53)(3,1.5){10}{\qbezier(0,0)(0,0)(1.4,0.7)} \put(80,40){\line(2,1){30}} \put(50,95){\line(1,0){60}} \put(20,40){\line(1,0){60}} \put(50,40){\vector(0,1){20}} \put(53,55){$\vec F$} \put(17,40){\vector(0,1){13}} \put(17,53){\vector(0,-1){13}} \put(3,43){$dx$} \put(3,61){$dQ$} \put(95,57.5){\line(1,0){35}} \put(00,57.5){\line(1,0){20}} \multiput(0,0)(130,0){2}{\line(0,1){57.5}} \put(0,0){\line(1,0){130}} \put(65,0){\circle{20}} \put(55,-13){\vector(1,0){20}} \put(62,-24){$U$} \put(95,57.5){\circle*{2}} \put(24,27){$\varepsilon_1$} \put(24,65){$\varepsilon_2$} \put(50,100){\vector(1,0){60}} \put(110,100){\vector(-1,0){60}} \put(76,102){$d$} \put(84,16){\vector(2,1){30}} \put(114,31){\vector(-2,-1){30}} \put(101,14){$b$} \put(24,9){$A$} \qbezier(32,13)(44,15)(45,39) \put(118,63){$dA_p$} \qbezier(116,65)(108,65)(105,59) \end{picture} \vspace{1cm} %% fies gefrickelt, da bild oben zu tief ;) $U = \mathrm{konst.} \Rightarrow E = E_t = \mathrm{konst.}$ \end{minipage} \begin{minipage}{175pt} \begin{eqnarray*} dW_F + dW_m &=& 0\\ (w_1 - w_2)\,dV + F\,dx & = & 0 \end{eqnarray*} \end{minipage} \hspace{5pt} \begin{minipage}{175pt} \begin{eqnarray*} dW_{el} & = & dW_F + sW_m\\ U\,dQ & = & (w_1 - w_2)\,dV + F\,dx\\ \\ U &=& E_t \, d\\ dQ & = & (D_1 - D_2)\,dA_p\\ & = & (\varepsilon_1 E_t - \varepsilon_1 E_t)\,dA_p\\ dA_p & = & b\cdot dx \end{eqnarray*} \end{minipage} \bigskip $$w = \frac{D^2}{2\varepsilon} = \frac{\varepsilon E^2}{2}$$ $$dV = A\,dx$$ \bigskip \begin{minipage}{175pt} $$\left(\frac{{D_n}^2}{2\varepsilon_1} - \frac{{D_n}^2}{2\varepsilon_2}\right)\,A\,dx + F\,dx = 0$$ \end{minipage} \hspace{5pt} \begin{minipage}{175pt} $\displaystyle {E_t}^2(\varepsilon_1 - \varepsilon_2) db\,dx = $ \flushright $\displaystyle \left(\frac{\varepsilon_1{E_t}^2}{2} - \frac{\varepsilon_2{E_t}^2}{2}\right)\,A\,dx + F\,dx$ \end{minipage} \begin{minipage}{175pt} \center \fbox{\quad $\displaystyle \frac{F}{A} = \frac{{D_n}^2}{2}\left(\frac{1}{\varepsilon_2} - \frac{1}{\varepsilon_1}\right)$ \quad} \end{minipage} \hspace{5pt} \begin{minipage}{175pt} \center \fbox{\quad $\displaystyle\vphantom{\bigg(} \frac{F}{A} = \frac{{E_t}^2}{2}\left(\varepsilon_2 - \varepsilon_1\right)$ \quad} \end{minipage} \bigskip $\vec F$ wirkt immer senkrecht zur Grenzfläche in Richtung Medium mit kleinerem $\varepsilon \Rightarrow$ Vergrößerung von $C$. \smallskip Für schräge Verläufe: $\displaystyle \frac{F}{A} = \frac{1}{2}\left[{D_n}^2\left(\frac{1}{\varepsilon_2} - \frac{1}{\varepsilon_1}\right) + {E_t}^2\left(\varepsilon_1 - \varepsilon_2\right)\right]$ \subsubsection{Beispiel} \begin{minipage}{140pt} \begin{picture}(130,95) \put(0,10){\line(1,1){35}} \put(0,80){\line(1,-1){35}} \multiput(3,21)(0,42){2}{$+$} \multiput(10,27)(0,28){2}{$+$} \multiput(17,35)(0,14){2}{$+$} \put(24,42){$+$} \qbezier(34,44)(40,25)(100,25) \qbezier(30,40)(40,10)(85,0) \qbezier(20,30)(22,20)(45,0) \qbezier(34,46)(40,65)(100,65) \qbezier(30,50)(40,80)(85,90) \qbezier(20,60)(22,70)(45,90) \put(60,45){\circle{25}} \put(90,80){Öl} \put(85,31){Luftblase} \qbezier(83,35)(74,35)(72,40) \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{215pt} \subsubsection{1. Fall: Luftblase in Öl} Es entsteht eine Kraft in Richtung des kleineren $\varepsilon$ (Luftblase), daher wird die Blase komprimiert. Da zusätzlich $\vec E$ an der der Elektrode zugewandten Seite höher ist, entsteht eine Kraft von der Elektrode weg, welche die Luftblase beschleunigt. \end{minipage} \bigskip \begin{minipage}{140pt} \begin{picture}(130,95) \put(0,10){\line(1,1){35}} \put(0,80){\line(1,-1){35}} \multiput(3,21)(0,42){2}{$+$} \multiput(10,27)(0,28){2}{$+$} \multiput(17,35)(0,14){2}{$+$} \put(24,42){$+$} \qbezier(34,44)(40,25)(100,25) \qbezier(30,40)(40,10)(85,0) \qbezier(20,30)(22,20)(45,0) \qbezier(34,46)(40,65)(100,65) \qbezier(30,50)(40,80)(85,90) \qbezier(20,60)(22,70)(45,90) \put(60,45){\circle{25}} \put(90,80){Luft} \put(85,31){Öltropfen} \qbezier(83,35)(74,35)(72,40) \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{215pt} \subsubsection{2. Fall: Öltropfen in der Luft} Wieder entsteht eine Kraft in Richtung des geringeren $\varepsilon$, also der Luft und der Öltropfen expandiert. Da die Feldstärke an der der Elektrode zugewandten Seite am höchsten ist, wird der Öltropfen von der Spitze angezogen. \end{minipage} \subsection{Zusammenfassung} \begin{tabular}{|l|c|c|c|} \hline & Flußgröße & & Tensionsgröße \\ & \small Versch.flußdichte & & Feldstärke \\ \hline Feldgrößen & $D$ & $D = \varepsilon \cdot E$ & $E \vphantom{\Big|}$\\ \hline Grundeigensch. & $\iint\limits_{H} D\cdot dA = Q$ & & $\oint\limits_c E\cdot dr = 0 \vphantom{\int\limits_a^b}$\\ \hline Energiedichte & \multicolumn{3}{c}{$ w = \frac{D\cdot E}{2} = \frac{\varepsilon \cdot E^2}{2} = \frac{D^2}{2\varepsilon} \vphantom{\int\limits_a^b}$}\vline\\ \hline & Verschiebungsfluß & & Spannung\\ \raisebox{8pt}{Integrale Größen} & {$\Psi = \iint_{(A)}D\cdot dA$} & $\Psi = C_{AB} \cdot U_{AB}$ & $U_{AB} = \int\limits_A^B E\,dr$\\ \hline Kapazität & \multicolumn{3}{c}{$C = \frac{\Psi}{U_{AB}} = \frac{Q}{U_{AB}} = \frac{\iint\limits_{(A)}D\,dA \vphantom{\int\limits_a^b}}{\int\limits_A^B E\,dr}$ }\vline\\ \hline Feldenergie & \multicolumn{3}{c}{$W = \iiint\limits_{(V)}w\,dV = \iiint\limits_{(V)} \frac{DE}{2}\,dV \vphantom{\int\limits_a^b}$}\vline\\ \hline \end{tabular} \chapter{Magnetisches Feld} \section*{Grundgesetze} \begin{enumerate} \item Ein elektrischer Strom wird von einem Magnetfeld umwirbelt $\Rightarrow$ Durchflutungsgesetz: $\mathrm{rot}\, \vec H = \vec S$ \item Eine zeitliche Änderung des magnetischen Feldes ist von einem elektrischen Feld umwirbelt $\Rightarrow$ Induktionsgesetz: $\mathrm{rot}\, \vec E = -\frac{\partial \vec B}{\partial t}$ \end{enumerate} \section{Magnetische Feldgrößen} \vspace{-10pt} \begin{tabular}{cc} \hspace{6.3cm}&\hspace{6.3cm} \\ \textbf{Flußgrößen} & \textbf{Tensionsgrößen} \\ \hline magn. Flußdichte, Induktion $\vec B \vphantom{\int\limits^b}$ & magnetische Feldstärke $\vec H \vphantom{\int\limits_a}$\\ \multicolumn{2}{c}{Zusammenhang: $\vphantom{\int\limits_a^b}B = \mu \cdot H \qquad \mu :$ Permebiablität} \\ \\ Magnetischer Fluß $\Phi$ & magnetische Spannung $V$\\ $\Phi = \iint_{A} \vec B \cdot d\vec A$ & $V_{\vec r_1,\vec r_2} = \int\limits_{\vec r_1}^{\vec r_2}\vec H\cdot \vec{dr}$\\ \\ \multicolumn{2}{c}{Zusammenhang: $V = \Phi \cdot R_m$ \qquad $R_m :$ magnetischer Widerstand} \end{tabular} \subsubsection{Permeabilität} \begin{tabular}{l@{\,\,}c@{\,\,\,}p{7.8cm}} $\mu = \mu_0 + \mu_r$&:& Permeabilität\\ $\mu_0 = 4\pi\cdot 10^{-7}\,\frac{\mathrm{Vs}}{\mathrm{Am}}$ &:&Permeabilität des Vakuums (Induktionskonstante) $\Rightarrow$ Naturkonstante\\ $\mu_r = 1 + \chi_m$ & : & $\mu_r$ : relative Permeabilität\\ $\chi_m$ &:& magnetische Suszeptiblität\\ & & $\Rightarrow$ (Materialkonstante) \end{tabular} \begin{description} \item[Ferromagnetika:] $\mu_r = 10^3 \ldots 10^6$ \quad (Mittlere Werte) Zusammenhang zwischen $B$ und $H$ nicht eindeutig (Hysterese) \item[Nichtferromagnetika:] $\mu_r = 1+\chi_m \approx 1$ Diamagnetika: $\chi_m = - 10^{-4}\ldots -10^{-5}$ \quad z.B. Bi, Au, Ag, Hg, Cu, H$_2$O Paramagnetika: $\chi_m = 10^{-6} \ldots 10^{-4}$ \quad \quad z.B. Pa, Pt, Al, O$_2$, Luft \end{description} \section{Durchflutungsgesetz (1. Maxwellsches Gesetz)} \subsection{Qualitativ} \begin{center} \begin{minipage}{135pt} \begin{picture}(135,90) \multiput(0,0)(65,0){2}{ \put(30,0){\line(0,1){80}} \put(30,40){\circle{40}} \put(30,40){\circle{25}} \put(30,40){\circle{10}} \put(35,67){$I$} \put(53,35){$\vec H$}} \put(30,73){\vector(0,1){0}} \put(50,42){\vector(0,1){0}} \put(42.1,42){\vector(0,1){0}} \put(34.75,42){\vector(0,1){0}} \put(95,69){\vector(0,-1){0}} \put(115,38){\vector(0,-1){0}} \put(107.1,38){\vector(0,-1){0}} \put(99.75,38){\vector(0,-1){0}} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{120pt} \center \hspace{8pt}\begin{picture}(40,100) \multiput(5,5)(12,0){2}{\line(1,0){8}} \multiput(13,5)(4,0){2}{\line(0,1){3}} \put(13,8){\line(1,0){4}} \multiput(5,5)(20,0){2}{\line(0,1){10}} \put(5,15){\line(1,0){20}} \put(10,45){\line(1,0){10}} \multiput(10,15)(10,0){2}{\line(0,1){30}} \multiput(10,15)(0,2){15}{\linethickness{0.25pt}\qbezier(0,0)(0,0)(9.5,1)} \thicklines \qbezier(8,30)(3,30)(3,28) \qbezier(22,30)(27,30)(27,28) \qbezier(3,28)(3,25)(15,25) \qbezier(27,28)(27,25)(15,25) \put(26.5,26.5){\vector(4,1){0}} \thinlines \put(15,47){\vector(0,1){20}} \put(17,61){$I$} \end{picture} Drehrichtung \end{minipage} \end{center} \bigskip Jeder elektrische Strom ist von einem Magnetfeld umwirbelt. Richtungsordnung nach "`rechter Hand-Regel"' (Daumen in Stromrichtung, Finger zeigen Drehsinn), Rechtsschraube. \subsection{Quantitativ} \begin{minipage}{100pt} \begin{picture}(100,100) \put(0,53){$A$} \qbezier(9,56)(16,56)(16,51) \multiput(25,20)(10,0){5}{\vector(0,1){60}} \qbezier(16,50)(17,46)(45,46) \qbezier(45,46)(73,46)(74,50) \qbezier(16,50)(17,54)(45,54) \qbezier(45,54)(73,54)(74,50) \put(20,18){$\underbrace{\phantom{\hspace{50pt}}}_{I_{umf}}$} \put(42,84){$\vec S$} \put(72,48.5){\vector(3,1){0}} \put(77,47){$\vec H$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{255pt} $$\mathrm{rot}\,\vec H = \vec S$$ \begin{center} \fbox{\quad$\displaystyle\vphantom{\int\limits_a^b} \oint\limits_c \vec H\,\vec{dr} = \iint\limits_{(A)} \vec S\,\vec {dA} = I_{umf}$\quad} \end{center} \end{minipage} \bigskip Das Umlaufintegral über die magnetische Feldstärke auf einem geschlossenen Weg ist gleich dem von diesem Weg umfasstem Gesamtstrom. $$\vec S = \vec S_K + \vec S_V = \kappa \cdot \vec E + \varepsilon \cdot \frac{d\vec E}{dt}$$ $\Rightarrow$ \quad \fbox{\quad $\displaystyle\oint_c\vec H\,\vec{dr} = \iint_{(A)}\left(\kappa\cdot \vec E + \varepsilon\cdot \frac{d\vec E}{dt}\right)\,d\vec A$\quad} \quad \begin{minipage}{125pt}\center \vspace{5pt}1. Maxwellsche Gleichung (Integralform)\end{minipage} \newpage Durchflutung bei stromführenden Leitern (für $\frac{d\vec D}{dt} = \varepsilon\frac{d\vec E}{dt} \ll \kappa \vec E$): \begin{minipage}{105pt} \begin{picture}(105,120) \multiput(22,20)(22,0){3}{\line(0,1){60}} \multiput(26,20)(22,0){3}{\line(0,1){60}} \multiput(0,0)(0,30){3}{\multiput(22,20)(22,0){3}{\qbezier(-0.2,0)(0,-1)(1.9,-1)\qbezier(1.9,-1)(3.8,-1)(3.8,0)}} \multiput(0,0)(0,30){2}{\multiput(22,50)(22,0){3}{\qbezier(-0.2,0)(0,1)(1.9,1)\qbezier(1.9,1)(3.8,1)(3.8,0)}} \qbezier(16,50)(17,46)(46,46) \qbezier(46,46)(75,46)(76,50) \multiput(24,83)(22,0){2}{\vector(0,1){15}} \put(68,98){\vector(0,-1){15}} \put(26,93){$I_1$} \put(48,93){$I_2$} \put(70,93){$I_3$} \put(75,48.5){\vector(3,1){0}} \put(79,46){$\vec H$} \multiput(0,0)(22,0){3}{\qbezier(19,40)(24,40)(24,49)} \put(6,36){$A_1$} \put(28,36){$A_2$} \put(49,36){$A_3$} \qbezier(16,50)(17,52)(21.5,52.5) \qbezier(26,53.2)(35,54)(43.5,54) \qbezier(65.5,53.2)(57,54)(48,54) \qbezier(76,50)(75,52)(70,52.5) \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{245pt} $$\oint \!\vec H\,\vec{dr} = \iint\limits_{(A)}\!\vec S\,\vec{dA} = \underbrace{\iint\limits_{(A_1)}\!\vec S\,\vec{dA}}_{I_1} + \underbrace{\iint\limits_{(A_2)}\!\vec S\,\vec{dA}}_{I_2} - \underbrace{\iint\limits_{(A_3)}\!\vec S\,\vec{dA}}_{I_3}$$ $$\oint\vec H\,\vec{dr} = I_1+I_2-I_3$$ \end{minipage} \paragraph{Allgemein:} Die Durchflutung ist gleich der vorzeichenbehafteten Summe aller umfassten Ströme: \begin{center} \fbox{\quad $\displaystyle \vphantom{\int\limits_a^d} \oint\vec H \,\vec{dr} = \sum\limits_{\nu = 1}^{n}\,I_{\nu}$ \quad } \end{center} \subsection{Magnetische Spannung} \begin{minipage}{110pt} \begin{picture}(100,90) \multiput(0,51)(10,-20){3}{\vector(2,1){60}} \put(40,0){\vector(-1,3){6}} \put(34,18){\circle*{2}} \put(46.5,74){\circle*{2}} \put(43,0){$\vec r_1$} \put(68,0){$\vec r_2$} \put(23,18){$A$} \put(45,78){$B$} \put(21,47){$c$} \put(31,50){\vector(1,4){0}} \qbezier(34,18)(20,50)(46.5,74) \put(65,0){\vector(-1,4){18.5}} \put(74,65){$\vec H$} \end{picture} \bigskip \end{minipage} \begin{minipage}{245pt} Die magnetische Spannung $V$ zwischen den Punkten $A$ und $B$ (gegeben durch die Ortsvektoren $\vec r_1$ und $\vec r_2$) ergibt sich aus dem Linienintegral über die Feldstärke über den Weg $c$. $$V_{AB} = \int\limits_{\stackrel{\vec r_1}{c}}^{\vec r_2} \vec H\,\vec{dr}$$ \end{minipage} \subsubsection{Eigenschaft} \begin{minipage}{110pt} \begin{picture}(100,80) \qbezier(80,50)(80,62.426408)(71.213204,71.213204) \qbezier(50,80)(62.426408,80)(71.213204,71.213204) \qbezier(20,50)(20,37.573592)(28.786796,28.786796) \qbezier(50,20)(37.573592,20)(28.786796,28.786796) \qbezier(20,50)(20,62.426408)(28.786796,71.213204) \qbezier(50,80)(37.573592,80)(28.786796,71.213204) \qbezier(80,50)(80,37.573592)(71.213204,28.786796) \qbezier(50,20)(62.426408,20)(71.213204,28.786796) \qbezier(65,50)(65,56.213204)(60.606602,60.606602) \qbezier(50,65)(56.213204,65)(60.606602,60.606602) \qbezier(35,50)(35,43.786796)(39.393398,39.393398) \qbezier(50,35)(43.786796,35)(39.393398,39.393398) \qbezier(35,50)(35,56.213204)(39.393398,60.606602) \qbezier(50,65)(43.786796,65)(39.393398,60.606602) \qbezier(65,50)(65,43.786796)(60.606602,39.393398) \qbezier(50,35)(56.213204,35)(60.606602,39.393398) \put(50,50){\circle*{2}} \put(50,50){\circle{7}} \put(56,47){$I$} \put(20,48){\vector(0,-1){0}} \put(35,48){\vector(0,-1){0}} \put(6,45){$\vec H$} \put(35,0){\vector(-1,4){7.5}} \put(37,0){$\vec r_1$} \put(57,0){$\vec r_2$} \put(53,0){\vector(1,4){12}} \put(27.5,30){\circle*{2}} \put(65,48){\circle*{2}} \put(17,24){$A$} \put(68,46){$B$} \qbezier(27.5,30)(65,20)(65,48) \put(52,28.4){\vector(3,1){0}} \put(39,30){$c_1$} \qbezier(27.5,30)(30,71)(50,71) \qbezier(50,71)(65,71)(65,48) \put(53,71){\vector(1,0){0}} \put(47,74){$c_2$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{245pt} $$\oint\vec H\,\vec {dr} = \int\limits_{\stackrel{\vec r_1}{c_1}}^{\vec r_2} \vec H \, \vec{dr} + \int\limits_{\stackrel{\vec r_1}{c_2}}^{\vec r_2}\vec H\,\vec{dr} = I$$ $$\underbrace{\int\limits_{\stackrel{\vec r_1}{c_1}}^{\vec r_2}\vec H\,\vec{dr}}_{V_{AB1}} = I + \underbrace{\int\limits_{\stackrel{\vec r_1}{c_2}}^{\vec r_2}\vec H\,\vec{dr}}_{V_{AB2}}$$ \end{minipage} Das Linienintegral $\int\limits_{\vec r_1}^{\vec r_2}\vec H \vec{dr}$ ist im allgemeinen vom Weg abhängig. $\oint\vec H\,\vec{dr} \ne 0 \Rightarrow$ Die magnetische Feldstärke hat im allgemeinen kein skalares Potential. \subsection{Maßeinheiten} magnetische Spannung (aus Durchflutungsgesetz): $[V] = [H] \cdot [l] = [I] = \mathrm{A}$ \smallskip magnetische Feldstärke: $\displaystyle [H] = \frac{[V]}{[l]} = \frac{[\mathrm{A}]}{[\mathrm{m}]}$ \subsubsection{Größenordnungen} \begin{itemize} \item Magnetfeld der Erde: $16\,\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{m}}$ \item Hochspannungsleitung (Abstand $10\,\mathrm{cm}$, $I=100\,\mathrm{A}$): $160\,\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{m}}$ \item Hochleistungsmagnet: $> 10^7\,\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{m}}$ \end{itemize} \section{Berechnung magnetischer Felder} \begin{minipage}{120pt} \begin{picture}(110,65) \multiput(10,30)(0,20){2}{\line(1,0){70}} \multiput(10,30)(70,0){2}{\qbezier(0,0)(-3,0)(-3,10) \qbezier(-3,10)(-3,20)(0,20) } \multiput(10,30)(70,0){2}{\qbezier(0,0)(3,0)(3,10) \qbezier(3,10)(3,20)(0,20)} \multiput(10,35)(0,5){3}{\vector(1,0){70}} \put(85,37.4){$\Big\} I$} \put(43,54){$\vec S$} \put(0,0){$0$} \put(8,10){\vector(1,2){15}} \put(8,10){\vector(3,1){35}} \put(8,10){\circle*{2}} \put(8,20){$\vec r'$} \put(25,18){$\vec r$} \put(43,22){\vector(3,-1){25}} \put(60,18){$\vec H(\vec r)$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{205pt} \begin{description} \item[gegeben:] Anordnung, $\vec S(\vec r')$ \item[gesucht:] $\vec H(\vec r)$ \end{description} \end{minipage} \subsection{Berechnung mittels Durchflutungsgesetz} \paragraph{Prinzip:} $\displaystyle \oint\limits_c \vec H\cdot \vec{dr} = \iint\limits_{(A)} \vec S\cdot \vec{dA} \quad \longrightarrow \quad$ Auflösen nach $\vec H$ \smallskip Mit dem Durchflutungssatz können Magnetfelder einfacher Anordnungen berechnet werden. Voraussetzung: Symmetrieeigenschaften. \subsubsection{Beispiele} \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})} \item Linienhafter Leiter \begin{minipage}{105pt} \begin{picture}(100,105) \put(50,0){\vector(0,1){100}} \qbezier(10,50)(10,42)(50,42) \qbezier(50,42)(90,42)(90,50) \qbezier(10,50)(10,58)(49,58) \qbezier(51,58)(90,58)(90,50) \put(50,50){\vector(4,1){25.5}} \put(50,50){\circle*{2}} \put(62,46){$\scriptstyle \vec r$} \put(75.5,56.8){\vector(-4,1){20}} \put(67.5,58.8){\vector(-4,1){0}} \put(51,65){$\scriptstyle \vec H(\vec r)$} \put(70.5,60){$\scriptstyle \vec{dr} $} \put(43,45){$\scriptstyle 0$} \put(40,88){$I$} \put(80,44){\vector(4,1){0}} \put(20,55.7){\vector(-4,-1){0}} \put(73,32){$H$} \put(18,60){$H$} \qbezier(17,33)(25,33)(25,43) \put(10,30){$c$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{225pt} $$\oint\limits_c \vec H \cdot \vec{dr} = \oint\limits_c H \cdot dr = H \cdot \oint\limits_c dr = H \cdot 2\pi r = I$$ $\vec H \upuparrows \vec{dr} \Rightarrow \vec H \cdot \vec{dr} = H\cdot dr$, $H$ ist auf Umlauf $c$ mit konstantem Radius konstant \bigskip $\Rightarrow$ \quad \fbox{\quad $\displaystyle H = \frac{I}{2\pi r} $ \quad} \quad Betrag der Feldstärke \end{minipage} \bigskip Richtung: $\vec H \perp \vec r$ und $\vec H \perp \vec e_l$, ($\vec e_l$: Richtungsvektor des Leiters in Stromrichtung) $\Rightarrow \quad$ \fbox{\quad $\vphantom{\int\limits_a^b} \vec H$ in Richtung $\vec e_l \times \vec e_r$\quad} \quad mit $\vec e_r = \frac{\vec r}{r}$ \bigskip $\displaystyle \vec H = \frac{I}{2\pi r} \cdot \vec e_l \times e_r = \frac{I}{2\pi r^2} \cdot \vec e_l \times \vec e_r$ \quad in der Ebene $z=0$ \bigskip in kartesischen Koordinaten (Ebene $z = 0$): \begin{minipage}{110pt} \begin{picture}(100,80) \put(15,18){\vector(0,1){60}} \put(18,15){\vector(1,0){80}} \put(5,15){\line(1,0){7}} \put(15,5){\line(0,1){7}} \put(15,15){\circle{6}} \put(15,15){\circle*{1}} \put(5,3){$I$} \put(5,70){$y$} \put(90,5){$x$} \put(15,15){\vector(2,1){50}} \put(42,21){$\vec r$} \put(60,55){$\vec H(\vec r)$} \put(65,40){\vector(-1,2){15}} \put(65,40){\vector(-1,0){15}} \put(50,40){\vector(0,1){30}} \put(38,51){$\scriptstyle H_y$} \put(51.5,42.5){$\scriptstyle H_x$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{220pt} $\vec r = \left(\!\!\begin{array}{l}x\\y\end{array}\!\!\right), \quad r = \sqrt{x^2 + y^2}, \quad \vec e_l = \vec e_z = \left(\!\!\begin{array}{l}0\\0\\1\end{array}\!\!\right)$ \bigskip $\vec e_l \times \vec r = \left|\begin{array}{lll}\vec e_x & \vec e_y & \vec e_z\\0&0&1\\x&y&0\end{array}\right| = x\cdot \vec e_y - y \cdot \vec e_x = \left(\!\!\begin{array}{r}-y\\x\end {array}\!\!\right)$ \end{minipage} \bigskip $$\vec H(x,y,0) = \frac{I(x\cdot \vec e_y - y \cdot \vec e_x)}{2\pi (x^2+y^2)} = \frac{I}{2\pi (x^2+y^2)} \cdot \left(\!\begin{array}{r}-y\\x\\0\end{array}\!\right)$$ \item Zylindrischer Leiter, Innenfeld \begin{minipage}{100pt} \begin{picture}(90,80) \put(40,0){\vector(0,1){75}} \put(0,35){\vector(1,0){80}} \put(40,35){\circle{20}} \put(35,26.2){\vector(1,-1){0}} \put(28,20){$c$} \put(43,68){$y$} \put(73,26){$x$} \put(70,65){\line(-1,-1){30}} \put(70,65){\vector(-1,-1){23}} \put(70,65){\vector(-1,-1){12.6}} \put(45,45){$r$} \put(54,58){$R$} \qbezier(65,35)(65,45.35534)(57.67767,52.67767) \qbezier(40,60)(50.35534,60)(57.67767,52.67767) \qbezier(15,35)(15,24.64466)(22.32233,17.32233) \qbezier(40,10)(29.64466,10)(22.32233,17.32233) \qbezier(15,35)(15,45.35534)(22.32233,52.67767) \qbezier(40,60)(29.64466,60)(22.32233,52.67767) \qbezier(65,35)(65,24.64466)(57.67767,17.32233) \qbezier(40,10)(50.35534,10)(57.67767,17.32233) \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{230pt} $$\oint\limits_c\vec H\cdot \vec{dr} = I \cdot 2\pi r = I_{umf} = \frac{I}{A} \cdot A_{umr}$$ $$A = \pi \cdot R^2 \qquad A_{umr} = \pi \cdot r^2$$ \end{minipage} \bigskip $$H \cdot 2\pi r = I \cdot \frac{\pi r^2}{\pi R^2} = I \cdot \frac{r^2}{R^2} \qquad \Rightarrow \qquad H = \frac{I}{2\pi R^2} \cdot r$$ \bigskip \begin{minipage}{100pt} \begin{picture}(100,75) \put(15,10){\vector(0,1){60}} \put(10,15){\vector(1,0){80}} \put(15,15){\line(1,2){20}} \qbezier(35,55)(40,16)(85,16) \put(35,14){\line(0,1){2}} \put(30,4){$R$} \put(2,61){$H$} \put(82,6){$r$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{225pt} Innerhalb des Zylinders ($0 \leq r \leq R$) steigt die magnetische Feldstärke linear an, außerhalb ($r > R$) ist sie wie beim linienhaften Leiter mit $1/r$ abnehmend. \end{minipage} \newpage Anwendung: Kompass-Missweisung durch Leistungs-Seekabel \smallskip \begin{minipage}{100pt} \begin{picture}(90,65) \put(0,10){ \multiput(0,30)(16,0){2}{\qbezier(0,0)(4,3)(8,0)\qbezier(8,0)(12,-3)(16,0)} \multiput(48,30)(16,0){2}{\qbezier(0,0)(4,3)(8,0)\qbezier(8,0)(12,-3)(16,0)} \qbezier(30,35)(32,28)(35,28) \qbezier(35,28)(48,28)(48,28) \qbezier(48,35)(48,28)(48,28) \qbezier(48,35)(30,35)(30,35) \qbezier(35,35)(35,35)(35,50) \qbezier(35,50)(43,47)(43,37) \qbezier(43,37)(35,37)(35,37) \put(40,1.5){\circle{3}} \put(0,0){\line(1,0){80}} \qbezier(70,0)(70,14.426408)(61.213204,23.213204) \qbezier(40,32)(52.426408,32)(61.213204,23.213204) \qbezier(10,0)(10,14.426408)(18.786796,23.213204) \qbezier(40,32)(27.573592,32)(18.786796,23.213204) \qbezier(55,0)(55,8.213204)(50.606602,12.606602) \qbezier(40,17)(46.213204,17)(50.606602,12.606602) \qbezier(25,0)(25,8.213204)(29.393398,12.606602) \qbezier(40,17)(33.786796,17)(29.393398,12.606602) \put(43,17){\vector(1,0){0}} \put(43,32){\vector(1,0){0}} \qbezier(38.7,0.7)(40,2)(40.6,2.6) \qbezier(38.7,2.4)(40.6,0.4)(40.6,0.4) \put(40,32){\vector(1,0){25}} \put(55,36){$\scriptstyle \vec H_K$}} \put(33,2){$\scriptstyle 1\, \mathrm{kA}$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{155pt} $$H_K = \frac{I}{2\pi r} = \frac{1000\,\mathrm{A}}{2\pi\cdot 30\,\mathrm{m}} = 5,\!3\,\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{m}}$$ \end{minipage} \begin{minipage}{70pt} \flushright \begin{picture}(50,80) \put(10,60){\vector(0,-1){50}} \put(6,63){N} \put(20,50){\vector(0,-1){35}} \put(20,50){\vector(1,0){25}} \put(20,50){\vector(2,-3){22}} \put(15,4){$\displaystyle \vec H_E$} \put(40,5){$\displaystyle \vec H$} \put(35,53){$\displaystyle \vec H_K$} \qbezier(20,30)(27,26)(30.5,33.5) \put(21,32){$\displaystyle \alpha$} \put(7,0){S} \end{picture} \end{minipage} \bigskip $$H_{Erde} = 16\,\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{m}} \quad \Rightarrow \quad \tan\alpha = \frac{H_K}{H_E} = 0,\!33 \quad \Rightarrow \quad \alpha \approx 18,\!3^{\circ}$$ Eine Kompassnadel in einem Schiff, welches sich $30\,\mathrm{m}$ über einem mit $1000\,\mathrm{A}$ durchflossenen und in Nord--Süd--Richtung verlegten Seekabel befindet, weist einen Fehler von $18,\!3^{\circ}$ auf! \item Paralleldrahtleitung \begin{minipage}{125pt} \begin{picture}(120,100) \put(0,50){\vector(1,0){120}} \put(60,0){\vector(0,1){100}} \put(20,47.3){$\otimes$} \put(55.8,47.3){$\odot$} \put(63,40){$z$} \put(92,47.3){$\odot$} \put(21,35){$I$} \put(93,35){$I$} \put(14,23){$-a$} \put(93,23){$a$} \put(18,60){\textcircled{\raisebox{-0.9pt}{2}}} \put(90,60){\textcircled{\raisebox{-0.9pt}{1}}} \put(60,50){\vector(1,2){20}} \put(80,90){\vector(1,-1){15}} \put(80,90){\vector(0,-1){22}} \put(80,90){\vector(-1,-1){15}} \put(62.3,65){$\scriptstyle \vec r$} \put(72,60){$\scriptstyle \vec H(\vec r)$} \put(61,83){$\scriptstyle \vec H_1$} \put(91,80){$\scriptstyle \vec H_2$} \put(52,92){$y$} \put(113,42){$x$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{205pt} Die Felder von Hin-- \textcircled{\raisebox{-0.9pt}{1}} und Rückstrom \textcircled{\raisebox{-0.9pt}{2}} überlagern sich. \begin{eqnarray*} \vec H(\vec r) &\!\!\!=\!\!\!& \vec H_1(\vec r) + \vec H_2(\vec r)\\ &\!\!\! =\!\!\! & \frac{I}{2\pi {r_1}^2} (\vec e_{l1} \times \vec r_1) + \frac{I}{2\pi {r_2}^2} (\vec e_{l2} \times \vec r_2) \end{eqnarray*} \end{minipage} $$\vec e_{l1} = \vec e_z, \quad \vec e_{l2} = - \vec e_z, \quad r_1 = \vec r - a\cdot \vec e_x \quad \vec r_2 = \vec r + a \cdot \vec e_x, \quad \vec r = x\cdot \vec e_x + y \cdot \vec e_y$$ $\vec r_1 = \left(\!\!\begin{array}{c}x-a\\y\\0\end{array}\!\!\right) \qquad \vec r_2 = \left(\!\!\begin{array}{c}x+a\\y\\0\end{array}\!\!\right)$ \bigskip $\vec e_{l1} \times \vec r_1 = \left|\begin{array}{ccc}\vec e_x & \vec e_y & \vec e_z\\0&0&1\\x-a&y & 0\end{array}\right|= -y\cdot \vec e_x + (x-a) \cdot \vec e_y$ \bigskip $\vec e_{l2} \times \vec r_2 = \left|\begin{array}{ccc}\vec e_x & \vec e_y & \vec e_z\\0&0&-1\\x+a&y & 0\end{array}\right|= y\cdot \vec e_x - (x+a) \cdot \vec e_y$ \bigskip $\displaystyle \Rightarrow \quad \vec H (x,y) = \frac{I}{2\pi} \left(\frac{-y\cdot\vec e_x + (x-a)\cdot \vec e_y}{(x-a)^2 + y^2} + \frac{y\cdot\vec e_x - (x+a)\cdot \vec e_y}{(x+a)^2 + y^2}\right)$ \item Lange Zylinderspule \begin{minipage}{150pt} \begin{picture}(140,100) \multiput(0,0)(96,0){2}{\put(22,13){\line(0,1){13.5}}} \put(22,13){\vector(0,1){9}} \put(118,26.5){\vector(0,-1){9}} \multiput(20,30)(0,30){2}{\line(1,0){100}} \multiput(0,0)(0,33.8){2}{\multiput(22,28)(3,0){33}{\circle{3}}} \multiput(20,70)(100,0){2}{\line(0,1){5}} \put(20,72.5){\vector(1,0){100}} \put(120,72.5){\vector(-1,0){100}} \put(67,75){$l$} \multiput(14,10)(106,0){2}{$I$} \qbezier(0,25)(10,35)(22,35) \qbezier(140,25)(130,35)(118,35) \qbezier(0,65)(10,55)(22,55) \qbezier(140,65)(130,55)(118,55) %qbezier(0,58)(10,50)(22,50) %qbezier(140,58)(130,50)(118,50) %qbezier(0,32)(10,40)(22,40) %qbezier(140,32)(130,40)(118,40) \put(0,45){\line(1,0){140}} \multiput(25,45)(90,0){2}{\circle*{2}} \put(17,38){\scriptsize A} \put(118,38){\scriptsize B} \put(73,40){$\scriptstyle c_1$} \put(66,93){$\scriptstyle c_2$} \multiput(22,35)(0,10){3}{\line(1,0){96}} \multiput(72,35)(0,10){3}{\vector(1,0){0}} \put(70,67.5){\oval(120,45)} \put(37,4){$w$ Windungen} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{170pt} $$\oint\limits_{(c)} \vec H \cdot \vec{dr} = \underbrace{\int\limits_{\stackrel{\scriptstyle A}{\scriptstyle c_1}}^B\vec H\cdot \vec{dr}}_{H \cdot l} + \underbrace{\int\limits_{\stackrel{\scriptstyle B}{\scriptstyle c_2}}^A\vec H\cdot \vec{dr}}_{\approx 0}$$ $$I \cdot w = H \cdot l \quad \Rightarrow \quad H = \frac{I\cdot w}{l}$$ \end{minipage} \end{enumerate} \subsection{Biot--Savartsches Gesetz} \subsubsection{a) Definition} \begin{minipage}{140pt} \begin{picture}(135,60) \put(80,10){\vector(1,4){12}} \put(80,10){\vector(-1,0){65}} \put(80,10){\vector(-1,1){30}} \put(80,10){\vector(2,1){30}} \put(50,40){\vector(4,-1){60}} \put(50,40){\vector(4,1){13}} \put(110,25){\vector(1,0){20}} \thicklines\qbezier(50,40)(75,45)(91.5,58) \qbezier(15,10)(30,36)(50,40) \put(31.25,30){\vector(1,1){0}} \put(24,30){$I$} \put(80,10){\circle*{2}} \put(80,0){$0$} \put(43,1){$\vec r_1$} \put(90,40){$\vec r_2$} \put(96,9){$\vec r$} \put(45.5,43){$\vec {dr'}$} \put(54,20){$\vec {r}'$} \put(75,34){$\vec {a}$} \put(111,29){$\vec{H}\raisebox{1pt}{$(\vec r)$}$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{215pt} Vom Strom $I$ im Leiterelement $\vec{dr'}$ wird im Punkt $\vec r$ eine magnetische Feldstärke $$d\vec{H} = \frac{I \cdot \vec{dr'} \times \vec a}{4\pi \cdot a^3}$$ erzeugt. \end{minipage} \bigskip Vom Leiter von $\vec r_1$ bis $\vec r_2$ wird dann eine Feldstärke von \begin{center} \fbox{\quad $\displaystyle \vec H(\vec r) =\frac{I}{4\pi} \cdot \int\limits_{\vec r_1}^{\vec r_2} \frac{\vec{dr'} \times \vec a}{a^3}$ \quad } \end{center} erzeugt (Biot--Savartsches Gesetz). \bigskip \begin{tabular}{ll} $\vec a = \vec r - \vec r'$ & Abstandsvektor von $\vec r'$ nach $\vec r$\\ $\vec r'(\lambda)$ & Raumkurve, die den Leiter beschreibt\\ $\vec{dr'} = \frac{\partial \vec r(\lambda)}{\partial \lambda}\,d\lambda$ & Linienelement des Leiters \end{tabular} \subsubsection{b) Beispiele} \begin{enumerate} \item Magnetfeld eines geraden Leiterstücks \begin{minipage}{105pt} \begin{picture}(100,100) \put(10,15){\vector(1,0){80}} \put(15,10){\vector(0,1){65}} \put(15,10){\vector(0,1){30}} \thicklines\put(15,25){\line(0,1){30}}\thinlines \multiput(13.5,25)(0,30){2}{\line(1,0){3}} \put(60,15){\vector(1,0){10}} \put(70,15){\vector(2,1){15}} \put(11,13){\vector(2,1){45}} \qbezier(15,55)(70,15)(70,15) \qbezier(15,25)(70,15)(70,15) \put(5,68){$z$} \put(18,34){$\vec r\,'$} \put(83,5){$x$} \put(50,5){$\vec r$} \put(58,33){$y$} \put(48,21){$\scriptstyle \alpha_2$} \put(33,16.5){$\scriptstyle \alpha_1$} \put(80,25){$\vec H$} \put(4.5,24){$\scriptstyle z_1$} \put(4.5,54){$\scriptstyle z_2$} \put(0,38){$I\!\uparrow$} \qbezier(48,15)(46,24)(49,30) \qbezier(33,15)(31,18)(33,22) \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{225pt} $\vec H(\vec r) =\frac{I}{4\pi} \cdot \int\limits_{\vec r_1}^{\vec r_2} \frac{\vec{dr'} \times \vec a}{a^3}$ \bigskip $\vec r'(\lambda) = \lambda \cdot \vec e_z$, \qquad $\vec{dr'} = \vec e_z \cdot d\lambda$, \qquad $\vec r = x \cdot \vec e_x$ \bigskip $\vec a = \vec r - \vec r' = x\cdot \vec e_x - \lambda \cdot \vec e_z = (x,\,0,\,-\lambda)^T$ \end{minipage} $\vec {dr'} \times \vec a = \left|\begin{array}{rrr}\vec e_x & \vec e_y & \vec e_z\\ 0 & 0 & d\lambda\\ x & 0 & - \lambda\end{array}\right| = x\,d\lambda \, \vec e_y$ \begin{eqnarray*} \vec H(x,0,0) &=& \frac{I}{4\pi} \int\limits_{\lambda=z_1}^{z_2} \frac{x\cdot\vec e_y}{(x^2+ \lambda^2)^{\frac{3}{2}}} \, d\lambda = \frac{I x}{4\pi} \cdot \left[\frac{\lambda}{x^2\sqrt{x^2+\lambda^2}}\right]_{z_1}^{z_2} \cdot \vec e_y\\ & = & \frac{I}{4\pi x} \left[\frac{z_2}{\sqrt{x^2 + {z_2}^2}} -\frac{z_1}{\sqrt{x^2 + {z_1}^2}}\right] \cdot \vec e_y \\ &= &\frac{I}{4\pi x} (\sin \alpha_1 - \sin \alpha_2) \end{eqnarray*} \bigskip Spezialfälle \begin{enumerate} \item $z_1 = -z_2 \quad \Rightarrow \quad \vec H(x,0,0) = \frac{I}{2\pi x} \cdot \frac{z_2}{\sqrt{x^2+z_2}}$ \vspace{0.1cm} \item $z_1 \to \infty$, $z_2 \to \infty \quad \Rightarrow \quad \vec H(x,0,0) = \frac{I}{2\pi x}$ \vspace{0.3cm} \item $z_1 =0$, $z_2 \to \infty \quad \Rightarrow \quad \vec H(x,0,0) = \frac{I}{4\pi x}$ \end{enumerate} \item Kreisring in $yz$--Ebene \begin{minipage}{115pt} \begin{picture}(110,75) \put(40,40){\vector(1,0){65}} \put(45,00){\vector(0,1){70}} \put(63,49){\vector(-2,-1){50}} \put(47,65){$\scriptstyle y$} \put(100,33){$\scriptstyle x$} \put(12,19){$\scriptstyle z$} \qbezier(45,60)(26,55)(29,32) \qbezier(43,20)(32,20)(29,32) \qbezier(45,60)(61,62)(61,48) \qbezier(47,20)(63,23)(61,48) \multiput(43,10)(4,0){2}{\qbezier(0,0)(0,0)(0,10)} \put(50,10){\vector(0,1){8}} \put(51.5,10.5){$\scriptstyle I$} \put(45,40){\vector(2,3){12}} \put(45.5,48.5){$\scriptstyle \lambda$} \put(57,59){$\scriptstyle \vec r'$} \put(57,58){\vector(3,-2){27}} \put(29,30){\line(0,1){4}} \put(23,23){$\scriptstyle R$} \qbezier(45,55)(49,55)(53,52.4) \put(45,40){\vector(1,0){39}} \put(45,40){\vector(1,0){49}} \put(70,33){$\scriptstyle \vec r$} \put(87,43){$\scriptstyle \vec H$} \put(69,51){$\scriptstyle \vec a$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{215pt} Es gilt: $\vec H(\vec r) =\frac{I}{4\pi} \cdot \int\limits_{(c)} \frac{\vec{dr'} \times \vec a}{a^3}$ \bigskip Raumkurve: \smallskip $\vec r'(\lambda) = R\cdot \cos \lambda \cdot \vec e_y + R\cdot \sin \lambda \cdot \vec e_z$ \bigskip $\vec{dr'} = \frac{\partial \vec r'}{\partial \lambda} d\lambda = R \cdot (-\sin \lambda \vec e_y + \cos \lambda \cdot \vec e_z)d\lambda$ \end{minipage} \bigskip $\vec a = \vec r - \vec r' = \vec e_x \cdot x - R\cos\lambda \cdot \vec e_y - R\sin\lambda \cdot e_z$ \bigskip $a = \sqrt{x^2 + R^2\cos^2\lambda + R^2 \sin^2 \lambda} = \sqrt{x^2 + R^2}$ \bigskip $\vec {dr'} \times \vec a = \left|\begin{array}{rrr}\vec e_x & \vec e_y & \vec e_z\\ 0 & -\sin \lambda & \cos \lambda \\ x & - R \cos \lambda & - R \sin \lambda\end{array}\right| R\,d\lambda$ \smallskip $\phantom{\vec{dr'} \times \vec a} = (R\,\vec e_x + x\cos \lambda \, \vec e_y + x \sin \lambda \, \vec e_z)\,R\,d\lambda$ \bigskip $\vec H(x,0,0) = \frac{I}{4\pi} \int\limits_0^{2\pi} \frac{R^2 \,d\lambda}{(x^2+R^2)^{\frac 3 2}}\,\vec e_x + \frac{I}{4\pi} \underbrace{\scriptstyle\int\limits_0^{2\pi} \frac{x \cos \lambda\, R\,d\lambda}{(x^2+R^2)^{\frac 3 2}}}_{=0}\,\vec e_y + \frac{I}{4\pi} \underbrace{\scriptstyle\int\limits_0^{2\pi} \frac{x \sin \lambda\, R\,d\lambda}{(x^2+R^2)^{\frac 3 2}}}_{=0}\,\vec e_y$ $\Rightarrow \vec H(x,0,0) = \frac{I\cdot R^2 \cdot \vec e_x}{4\pi(x^2+R^2)^{\frac 3 2}} \int\limits_0^{2\pi} d\lambda = \frac{I\cdot R^2}{2(x^2+R^2)^{\frac 3 2}} = \frac{I}{2R} \frac{1}{(1+(\frac x R)^2)^{\frac 3 2}}$ \begin{minipage}{140pt} \begin{picture}(120,100) \put(0,70){$\scriptstyle \frac{I}{2R}=1$} \put(11,53){$\scriptstyle 0,7$} \put(11,26){$\scriptstyle 0,3$} \put(25,10){\vector(0,1){80}} \put(20,15){\vector(1,0){100}} \put(23.5,29){\line(1,0){3}} \put(23.5,56){\line(1,0){3}} \put(23.5,73){\line(1,0){3}} \multiput(60,13.5)(35,0){2}{\line(0,1){3}} \multiput(60,15)(0,4){10}{\line(0,1){2}} \multiput(95,15)(0,4){4}{\line(0,1){2}} \multiput(25,29)(4,0){18}{\line(1,0){2}} \multiput(25,56)(4,0){9}{\line(1,0){2}} \qbezier(25,73)(50,70)(60,56) \qbezier(60,56)(75,30)(95,29) \qbezier(95,29)(100,28)(110,28) \put(10,80){$H$} \put(110,4){$\frac x R$} \put(54.5,5){$\scriptstyle 0,5$} \put(93,5){$\scriptstyle 1$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{190pt} $\vec H(0,0,0) = \frac{I}{2R}$ \bigskip $\vec H(\frac{x}{2R},0,0) = 0,\!7 \cdot \frac{I}{2R}$ \bigskip $\vec H(\frac{x}{R},0,0) = 0,\!3 \cdot \frac{I}{2R}$ \end{minipage} \bigskip Anwendung: Helmholtz--Spulenpaar. Die Spulen mit Radius $R$ befinden sich parallel in einem Abstand $a$, daraus ergibt sich für die Feldstärke entlang der $x$--Achse: $$\displaystyle H(x) = \frac{I\cdot w}{2\cdot R} \left(\frac{1}{\left(1+\left(\frac x R + \frac{a}{2R}\right)^2\right)^{\frac 3 2}} + \frac{1}{\left(1+\left(\frac x R - \frac{a}{2R}\right)^2\right)^{\frac 3 2}}\right)$$ \begin{minipage}{150pt} \center \begin{picture}(120,100) \put(0,50){\vector(1,0){100}} \put(50,48.5){\line(0,1){3}} \multiput(0,0)(50,0){2}{ \qbezier(24,25)(17,25)(17,50) \qbezier(25,75)(17,75)(17,50) \qbezier(26,25)(33,25)(33,50) \qbezier(25,75)(33,75)(33,50) \qbezier(24,25)(24,20)(24,20) \qbezier(26,25)(26,20)(26,20) \put(15,18){$\scriptstyle I\uparrow$} \put(17.2,52.5){\vector(0,1){0}} \put(33.2,47.5){\vector(0,-1){0}} \put(2,73){$w$} \qbezier(10,72)(11,65)(17,65) } \put(25,50){\vector(1,3){6}} \put(32,70){$\scriptstyle R$} \multiput(25,80)(50,0){2}{\line(0,1){5}} \put(25,82.5){\vector(1,0){50}} \put(75,82.5){\vector(-1,0){50}} \put(48,85){$a$} \put(47.5,39){$0$} \put(95,41){$x$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{170pt} \center \begin{picture}(100,65) \put(0,12){\vector(1,0){100}} \multiput(25,10.5)(50,0){2}{\line(0,1){3}} \put(50,08){\vector(0,1){50}} \put(12,0){$-\frac{a}{2}$} \put(71,0){$\frac{a}{2}$} \qbezier(25,35)(35,35)(50,23) \qbezier(25,35)(15,35)(00,23) \qbezier(50,23)(60,14)(85,14) \qbezier(75,35)(65,35)(50,23) \qbezier(75,35)(85,35)(100,23) \qbezier(50,23)(40,14)(15,14) \qbezier(25,37)(15,37)(00,25) \qbezier(75,37)(85,37)(100,25) \qbezier(75,37)(25,37)(25,37) \put(53,50){$H$} \put(94,3){$x$} \end{picture} \end{minipage} Für $R = a$ ensteht entlang der $x$--Achse ein konstantes Magnetfeld zwischen den Spulen. \end{enumerate} \section{Magnetische Flußdichte und magn. Fluß} \begin{center}$ \xymatrix@C+50pt{ \vec H \ar[r]_{\textnormal{Material}} & \vec B \ar[r]_{\Phi =\iint\limits_{(A)} \vec B \cdot d\vec A} & \Phi \ar[r]_{U = \frac{d\Phi}{dt}} & U\\ }$ \end{center} $$[U] = \frac{[\Phi]}{[t]}$$ $$[\Phi] = [U]\cdot [t] = \mathrm{V} \cdot \mathrm{s} = 1\,\mathrm{Wb} \textnormal{ (Weber)}$$ $$[B] = \frac{[\Phi]}{[A]} = \frac{\mathrm{Vs}}{\mathrm{m}^2} = 1\,\mathrm{T} \textnormal{ (Tesla)}$$ \subsection{Magnetische Feldstärke und Flußdichte} \subsubsection{a) nichtferromagnetische Materialien} \begin{minipage}{120pt} \begin{picture}(100,70) \put(50,0){\vector(0,1){70}} \put(0,35){\vector(1,0){100}} \put(53,60){$B$} \put(85,24){$H$} \put(5,20){\line(3,1){90}} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{235pt} $\vec B = \mu \cdot \vec H = \mu_0 \cdot\mu_r \cdot \vec H$ \bigskip $\mu_r = 1$ \bigskip $\mu_0 = 4\pi\cdot 10^{-7}\,\frac{\mathrm{Vs}}{\mathrm{Am}} = 1,\!256 \cdot 10^{-7}\,\frac{\mathrm{H}}{\mathrm{m}} = 1,\!256 \, \frac{\mu\mathrm{H}}{\mathrm{m}}$ \end{minipage} \bigskip Zugeschnittene Größengleichungen: $$\frac{B}{\mathrm{mT}} = 1,\!256 \, \frac{H}{\mathrm{\frac{kA}{m}}} \hspace{2cm} \frac{H}{\mathrm{\frac{kA}{m}}} = 0,\!8 \, \frac{B}{\mathrm{mT}}$$ \subsubsection{b) ferromagnetische Materialien} \begin{minipage}{130pt} \begin{picture}(120,90) \put(60,0){\vector(0,1){90}} \put(0,45){\vector(1,0){120}} \qbezier(105,80)(55,75)(45,45) \qbezier(105,80)(85,75)(75,45) \qbezier(105,80)(75,75)(60,45) \put(74.5,64.7){\vector(1,1){0}} \put(47.5,51){\vector(1,3){0}} \put(72.5,38){\vector(-1,-3){0}} \qbezier(15,10)(35,15)(45,45) \qbezier(15,10)(65,15)(75,45) \multiput(59,80)(4,0){12}{\line(1,0){2}} \put(48,77){$\scriptstyle B_s$} \put(58.5,65){\line(1,0){3}} \put(46,63){$\scriptstyle B_r$} \put(75,43.5){\line(0,1){3}} \put(73,35){$\scriptstyle H_c$} \put(110,34){$H$} \put(62,83){$B$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{225pt} Bei ferromagnetischen Materialien tritt Hysterese auf! \smallskip $H_c$ : Koerzitivfeldstärke ($2 \ldots 500 \, \mathrm{\frac{A}{m}}$ bei weichmagnetische Materialien, $10^5 \, \mathrm{\frac{A}{m}}$ bei paramagnetischem Material) \smallskip $B_r$ : Remanenzflußdichte ($0,\!5 \ldots 2\,\mathrm{T})$) \smallskip $B_s$ : Sättingungsflußdichte ($B_s = 1,\!5 \ldots 3 \cdot B_r$) \end{minipage} \subsection{Magnetischer Fluß} \subsubsection{a) Definition} \begin{minipage}{110pt} \begin{picture}(100,90) \put(47,0){$A$} \multiput(0,20)(0,20){4}{\vector(1,0){80}} \qbezier(40,15)(35,15)(35,50) \qbezier(40,85)(35,85)(35,50) \qbezier(40,15)(45,15)(45,50) \qbezier(40,85)(45,85)(45,50) \qbezier(40,14)(40,5)(47,5) \multiput(83,16)(0,20){4}{$\vec B$} \put(40,47){$\Longrightarrow \raisebox{-1pt}{$\Phi$}$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{235pt} Magnetischer Fluß: $\displaystyle\Phi = \iint\limits_{(A)} \vec B \cdot A$ \bigskip Analogien: $I = \iint\limits_{(A)} \vec S \cdot d\vec A$, $\Psi = \iint\limits_{(A)} \vec D \cdot d\vec A$ \end{minipage} \subsubsection{b) Grundeigenschaften} \begin{center} \fbox{\quad$\vphantom{\int\limits_a^b}\displaystyle\mathrm{div}\,\vec B = \nabla \cdot \vec B = 0$\quad} \quad Naturgesetz \end{center} Integriert über das Volumen $V$ innerhalb der Hülle $H$ $$\iiint_{(V)} \mathrm{div}\, \vec B \cdot dV = 0$$ nach dem Gaußschen Satz $$\oiint\limits_{(H)} = \vec B \cdot d\vec A = 0$$ Analogien: $\oiint\limits_{(H)} \vec S\,\cdot d\vec A = 0$, $\oiint\limits_{(H)} \vec D\,\cdot d\vec A = Q_H$ \bigskip \begin{itemize} \renewcommand{\labelitemi}{$\rightarrow$} \item Das $\vec B$--Feld ist quellenfrei \item Es gibt keine magnetischen Monopole ("`Ladungen"') \item Der magnetische Fluß ist kontinuierlich \item Es gilt der Knotenpunktsatz \end{itemize} \subsubsection{c) Flußberechnung} Beispiel: Rahmenspule im Feld eines Linienleiters \begin{minipage}{130pt} \begin{picture}(125,100) \put(15,10){\vector(0,1){80}} \put(10,15){\vector(1,0){105}} \put(11,13){\vector(2,1){25}} \thicklines \multiput(45,15)(50,0){2}{\line(0,1){50}} \multiput(45,15)(0,50){2}{\line(1,0){50}} \thinlines \qbezier(14,44.2)(5,44)(5,40) \qbezier(16,44.2)(25,44)(25,40) \qbezier(15,36)(5,36)(5,40) \qbezier(15,36)(25,36)(25,40) \put(18,36){\vector(1,0){0}} \put(6,28){$\scriptstyle H$} \multiput(67,37)(0,6){2}{\line(1,0){6}} \multiput(67,37)(6,0){2}{\line(0,1){6}} \put(70,40){\vector(2,1){10}} \put(74,47){$\scriptstyle d\vec A$} \put(18,78){$I$} \put(7,78){$z$} \put(35,19){$y$} \put(105,6){$x$} \multiput(45,13.5)(50,0){2}{\line(0,1){5}} \put(41,6){$x_1$} \put(91,6){$x_2$} \put(13.5,65){\line(1,0){3}} \put(7,62){$h$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{225pt} Fluß durch die Spule: \quad $\displaystyle \Phi = \iint\limits_{(A)} \vec B \cdot d\vec A$ \smallskip $\vec B = \mu \cdot \vec H = \mu \cdot \frac{I}{2\pi x} \cdot \vec e_x$ \bigskip $d\vec A = dx \cdot dz \cdot \vec e_y$ \end{minipage} \bigskip $$\Phi = \mu\cdot \frac{I}{2\pi} \int\limits_0^h \int\limits_{x_1}^{x_2} \frac{dx\cdot dz}{x} = \mu \cdot \frac{I\cdot h}{2\pi} \int\limits_{x_1}^{x_2} \frac{d x}{x} = \mu \cdot \frac{I\cdot h}{2\pi} \ln\frac{x_2}{x_1}$$ \subsection[H-B-- und V-Phi-Kennlinien]{H--B-- und V--$\Phi$--Kennlinien} \subsubsection{a) $V$--$\Phi$--Beziehung} \begin{minipage}{135pt} \begin{picture}(135,65) \qbezier(10,20)(60,5)(110,20) \put(110,20){\vector(3,1){0}} \put(55,0){$V$} \multiput(10,25)(0,20){2}{\line(1,0){100}} \multiput(0,0)(100,0){2}{ \qbezier(10,25)(8,25)(8,35) \qbezier(10,45)(8,45)(8,35)} \qbezier(110,25)(112,25)(112,35) \qbezier(110,45)(112,45)(112,35) \multiput(0,30)(0,10){2}{\vector(1,0){120}} \put(122,32){$\vec B \; \Big\} \Phi$} \multiput(10,50)(100,0){2}{\line(0,1){5}} \put(10,52.5){\vector(1,0){100}} \put(110,52.5){\vector(-1,0){100}} \put(57,55){$l$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{220pt} $$\Phi = \iint\limits_{(A)} \vec B \cdot d\vec A = B\cdot A$$ $$V = \int\limits_{\vec r_1}^{\vec r_2} \vec H \cdot d\vec r = H \cdot l$$ \end{minipage} \begin{center} \begin{picture}(120,70) \put(60,0){\vector(0,1){70}} \put(0,35){\vector(1,0){120}} \qbezier(5,9)(20,9)(25,10) \qbezier(95,60)(100,61)(115,61) \qbezier(25,10)(35,10)(60,35) \qbezier(95,60)(85,60)(60,35) \put(48,58){$B$} \put(108,25){$H$} \end{picture} \qquad \raisebox{32pt}{$\Rightarrow$} \qquad \begin{picture}(120,70) \put(60,0){\vector(0,1){70}} \put(0,35){\vector(1,0){120}} \qbezier(5,9)(20,9)(25,10) \qbezier(95,60)(100,61)(115,61) \qbezier(25,10)(35,10)(60,35) \qbezier(95,60)(85,60)(60,35) \put(48,58){$\Phi$} \put(108,25){$V$} \end{picture} \end{center} \subsubsection{c) Darstellung der $\Phi$--$V$--Kennlinie auf dem Oszilloskop} \begin{center} \begin{picture}(335,150) \multiput(5,70)(0,20){2}{\line(1,0){130}} \put(20,25){\line(0,1){45}} \put(80,25){\line(0,1){10}} \put(80,55){\line(0,1){15}} \multiput(75,35)(0,20){2}{\line(1,0){10}} \multiput(75,35)(10,0){2}{\line(0,1){20}} \multiput(20,25)(40,0){2}{\line(1,0){20}} \put(50,25){\circle{20}} \put(60,12){\vector(-1,0){20}} \put(47,0){$I$} \put(50,15){\line(0,1){20}} \multiput(20,70)(6.6,0){8}{ \qbezier(1,20)(2,24)(4,24) \qbezier(4,24)(7,24)(7,10) \qbezier(7,10)(7,-4)(4,-4) \qbezier(2,0)(2,-4)(4,-4) } \put(0,70){\qbezier(74,20)(75,24)(77,24) \qbezier(80,10)(80,0)(80,0) \qbezier(77,24)(80,24)(80,10)} \multiput(100,70)(6.6,0){2}{ \qbezier(1,20)(2,24)(4,24) \qbezier(4,24)(7,24)(7,10) \qbezier(7,10)(7,-4)(4,-4) \qbezier(2,0)(2,-4)(4,-4) } \put(40,70){\qbezier(74,20)(75,24)(77,24) \qbezier(80,10)(80,0)(80,0) \qbezier(77,24)(80,24)(80,10)} \put(100,0){\line(0,1){70}} \put(120.1,40){\line(0,1){30}} \multiput(120,40)(50,0){2}{\line(1,0){30}} \multiput(150,35)(20,0){2}{\line(0,1){10}} \multiput(150,35)(0,10){2}{\line(1,0){20}} \multiput(190,0)(0,21.5){2}{\line(0,1){18.5}} \put(80,60){\circle*{2}} \put(190,40){\circle*{2}} \put(80,60){\line(1,0){160}} \put(237,75){$x$} \put(280,75){$y$} \multiput(240,60)(43,0){2}{\line(0,1){10}} \multiput(240,70)(43,0){2}{\circle*{3}} \put(312.5,70){\circle*{3}} \put(312.5,0){\line(0,1){70}} \put(190,40){\line(1,0){93}} \put(283,40){\line(0,1){20}} \multiput(312.5,95)(0,25){2}{\circle{10}} \multiput(140,5)(64,2){2}{\multiput(0,0)(0,4){12}{\line(0,1){2}}} \multiput(142,5)(-2,48){2}{\multiput(0,0)(4,0){16}{\line(1,0){2}}} \put(311.5,75){\line(1,0){2}} \put(310,77){\line(1,0){5}} \put(308.5,79){\line(1,0){8}} \put(312.5,79){\line(0,1){5}} \multiput(0,00)(130,0){2}{ \qbezier(5,70)(8,70)(8,80)\qbezier(8,80)(8,90)(5,90)} \qbezier(5,70)(2,70)(2,80)\qbezier(2,80)(2,90)(5,90) \multiput(220,65)(0,70){2}{\line(1,0){110}} \multiput(220,65)(110,0){2}{\line(0,1){70}} \multiput(225,85)(0,45){2}{\line(1,0){70}} \multiput(225,85)(70,0){2}{\line(0,1){45}} \put(225,107.5){\line(1,0){70}} \multiput(225,105.5)(5,0){14}{\line(0,1){4}} \put(260,85){\line(0,1){45}} \multiput(258,85)(0,5){9}{\line(1,0){4}} \thicklines\put(95,0){\line(1,0){10}} \multiput(183,18.5)(0,3){2}{\line(1,0){14}} \put(185,0){\line(1,0){10}} \put(307.5,0){\line(1,0){10}} \thinlines \put(21,101){Erregerspule} \put(97,113){Fluß--} \put(88,101){Meßspule} \put(44,56){$w_1$} \put(105,50){$w_2$} \put(86,40){$R_I$} \qbezier(74,60)(68,45)(74,30) \put(74,30){\vector(1,-4){0}} \put(55,42){$U_H$} \multiput(135,38)(75,0){2}{\vector(0,-1){38}} \put(120,17){$U_2$} \put(212,17){$U_{\Phi}$} \put(155,25){$R_2$} \put(172,17){$C$} \put(140,63.5){Integrierglied} \end{picture} \end{center} \[U_H = R_I \cdot I = \frac{R_I\cdot I\cdot w_1}{w_1} = \frac{R_I}{w} \cdot V\] \[I_C \approx \frac{1}{R_2}\cdot U_2 = \frac{w_2}{R_2} \cdot \frac{d\Phi}{dt} \quad \textnormal{für} \quad U_{\Phi} \ll U_2\] \[U_{\Phi} = U_{\Phi0} + \frac{1}{C}\int\limits_0^t I_C\,dt' = \frac{w_2}{R_2\cdot C} \Phi \quad \textnormal{für} \quad U_{\Phi0} = 0\] \section{Magnetischer Kreis} \subsection{Grundgesetze (Maschensatz, Knotensatz)} \subsubsection{a) Durchflutungsgesetz $\longrightarrow$ Maschensatz} \begin{minipage}{100pt} \begin{picture}(100,70) \put(3,43){$I$} \put(0,40){\vector(1,0){11}} \multiput(14,20)(0,20){2}{\circle{2}} \multiput(15,20)(0,20){2}{\line(1,0){10}} \put(25,0){\line(0,1){60}} \multiput(85,0)(0,35){2}{\line(0,1){25}} \multiput(25,0)(0,60){2}{\line(1,0){60}} \multiput(40,15)(0,30){2}{\line(1,0){30}} \put(40,15){\line(0,1){30}} \multiput(70,15)(0,20){2}{\line(0,1){10}} \multiput(70,25)(0,10){2}{\line(1,0){15}} \multiput(77.5,25)(0,10){2}{\circle*{2}} \multiput(-0.2,0)(0,4.6){4}{ \qbezier(40,20)(43,20)(43,22) \qbezier(43,22)(43,26)(32.5,26)} \multiput(-0.2,0)(0,4.6){3}{ \qbezier(32.5,26)(21.5,26)(21.5,24) \qbezier(21.5,24)(21.5,22)(25,22)} \qbezier(32.5,39.8)(25,40)(25,40) \qbezier(32.5,15)(32.5,7.5)(40,7.5) \qbezier(32.5,45)(32.5,52.5)(40,52.5) \qbezier(70,52.5)(77.5,52.5)(77.5,45) \qbezier(70,7.5)(77.5,7.5)(77.5,15) \qbezier(40,7.5)(40,7.5)(70,7.5) \qbezier(40,52.5)(40,52.5)(70,52.5) \qbezier(32.5,15)(32.5,15)(32.5,45) \qbezier(77.5,15)(77.5,15)(77.5,45) \put(57,52.5){\vector(1,0){0}} \put(51,62){$\Phi$} \put(87,22){$\scriptstyle \vec r_1$} \put(87,34){$\scriptstyle \vec r_2$} \put(74,54){$\scriptstyle c_1$} \put(79,28.5){$\scriptstyle c_2$} \put(13,28.5){$\scriptstyle w$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{255pt} \[\underbrace{\oint\limits_{(c)} \vec H \cdot d\vec r}_{I\cdot w} = \underbrace{\int\limits_{\stackrel{\scriptstyle \vec r_2}{\scriptstyle (c_1)}}^{\vec r_1} \vec H \cdot d\vec r}_{\displaystyle V_{Fe}} + \underbrace{\int\limits_{\stackrel{\scriptstyle \vec r_1}{\scriptstyle (c_2)}}^{\vec r_2} \vec H \cdot d\vec r}_{\displaystyle V_{Luft}}\] \end{minipage} \[\Rightarrow V_{Fe} + V_{L} - I \cdot w = 0\] \vspace{5pt} \begin{minipage}{175pt} \center \subsubsection{Schaltungsmodell} \begin{picture}(145,80) \put(0,27){$I\!\cdot\! w$} \put(46,27){$\Big\downarrow V_q$} \put(35,0){\line(0,1){60}} \qbezier(30,50)(12,30)(30,10) \put(30,10){\vector(2,-3){0}} \put(35,30){\circle{20}} \put(35,0){\line(1,0){80}} \multiput(35,60)(50,0){2}{\line(1,0){30}} \multiput(65,55)(0,10){2}{\line(1,0){20}} \multiput(65,55)(20,0){2}{\line(0,1){10}} \put(62,45){$R_{mFe}$} \qbezier(55,65)(75,75)(95,65) \put(95,64.75){\vector(2,-1){0}} \put(67,74){$V_{Fe}$} \multiput(115,0)(0,40){2}{\line(0,1){20}} \multiput(110,20)(0,20){2}{\line(1,0){10}} \multiput(110,20)(10,0){2}{\line(0,1){20}} \put(86,27){$R_{mL}$} \qbezier(120,50)(130,30)(120,10) \put(120,10){\vector(-1,-2){0}} \put(127,27){$V_L$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{175pt} \center Wirkungsrichtung der Erregerspule (gemäß 4.2.1) \begin{picture}(75,73) \multiput(4,9.5)(0,37){2}{\circle{2}} \put(5.5,48){$I\!\rightarrow$} \multiput(20,20)(0,8){3}{ \qbezier(0,0)(0,-3)(10,-3) \qbezier(10,-3)(15,-3)(20,0) \qbezier(0,0)(0,3)(10,3) \qbezier(10,3)(15,3)(20,0) } \multiput(20,12)(0,8){4}{\qbezier(20,0)(24.3,4)(20,8)} \qbezier(30,9.5)(37,9.5)(40,12) \qbezier(30,46.5)(37,46.5)(40,44) \multiput(0,0)(0,37){2}{\qbezier(5,9.5)(5,9.5)(30,9.5)} \multiput(29.1,5)(2.09,0){2}{\line(0,1){47}} \put(26.8,49){$\Uparrow$} \put(26.2,59){$\Phi$} \put(38,50){N ($+$)} \put(38,00){S ($-$)} \qbezier(50,45)(60,27.5)(50,10) \put(50,10){\vector(-2,-3){0}} \put(58,23.5){$V$} \end{picture} \end{minipage} \begin{center} Maschensatz für magnetische Spannungen: \fbox{\quad$\displaystyle\sum\limits_{\circlearrowright} V_{\nu} = 0 \vphantom{\sum\limits_a^b}$\quad} \end{center} \subsubsection{b) Kontinuitätsgesetz $\longrightarrow$ Knotensatz} \begin{minipage}{120pt} \begin{picture}(120,90) \setlength{\unitlength}{0.80pt} \multiput(0,70)(120,0){2}{\vector(1,0){20}} \put(0,70){\line(1,0){120}} \multiput(20,60)(100,0){2}{\line(0,1){20}} \put(20,80){\line(1,0){100}} \multiput(20,60)(60,0){2}{\line(1,0){40}} \multiput(60,20)(20,0){2}{\line(0,1){40}} \put(60,20){\line(1,0){20}} \qbezier(60,70)(69.8,70)(69.8,60) \put(70,60){\vector(0,-1){60}} \qbezier(95,70)(95,80.35)(87.67,87.67) \qbezier(70,95)(80.35,95)(87.67,87.67) \qbezier(45,70)(45,59.64)(52.32,52.32) \qbezier(70,45)(59.64,45)(52.32,52.32) \qbezier(45,70)(45,80.35)(52.32,87.67) \qbezier(70,95)(59.64,95)(52.32,87.67) \qbezier(95,70)(95,59.64)(87.67,52.32) \qbezier(70,45)(80.35,45)(87.67,52.32) \multiput(47.3,60)(45.7,0){2}{\line(0,1){20}} \put(60,47.3){\line(1,0){20}} \qbezier(47,58)(46,50)(40,50) \qbezier(93,58)(94,50)(100,50) \qbezier(82,47)(90,46)(90,40) \put(100,45){$A_2$} \put(26,45){$A_1$} \put(86,30){$A_3$} \multiput(68,87)(0,4){2}{\line(1,0){4}} \multiput(68,87)(4,0){2}{\line(0,1){4}} \put(70,89){\vector(0,1){20}} \put(73,105){$\vec d A$} \put(43,91){$H$} \put(2,75){$\Phi_1$} \put(123,75){$\Phi_2$} \put(72,6){$\Phi_3$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{210pt} \[\mathrm{div}\, \vec B = 0 \Rightarrow \oiint_{(H)} \vec B \,d\vec A = 0\] \[\oint\limits_{(H)}\vec B\,\vec d A = \underbrace{\iint\limits_{(A_1)}\vec B\,\vec d A}_{-\Phi_1} + \underbrace{\iint\limits_{(A_2)}\vec B\,\vec d A}_{\Phi_2} + \underbrace{\iint\limits_{(A_3)}\vec B\,\vec d A}_{\Phi_3} \] \end{minipage} \bigskip Knotenpunktsatz für magnetische Spannungen: $\displaystyle \sum\limits_{\uparrow}\Phi_{\nu}=0$ bzw. $\sum\limits_{\downarrow}\Phi_{\nu}=0$ \bigskip $\Rightarrow$ Es gelten die Grundgesetze der Berechnung elektrischer Kreise \subsection{Beispiele} \subsubsection{a) Drosselspule mit Luftsperre} Annahme: Homogenes Feld. Gesucht: $\Phi$ als Funktion vom Strom $I$ \begin{minipage}{100pt} \begin{picture}(100,80) \put(3,43){$I$} \put(0,40){\vector(1,0){11}} \multiput(14,20)(0,20){2}{\circle{2}} \multiput(15,20)(0,20){2}{\line(1,0){10}} \put(25,0){\line(0,1){60}} \multiput(85,0)(0,35){2}{\line(0,1){25}} \multiput(25,0)(0,60){2}{\line(1,0){60}} \multiput(40,15)(0,30){2}{\line(1,0){30}} \put(40,15){\line(0,1){30}} \multiput(70,15)(0,20){2}{\line(0,1){10}} \multiput(70,25)(0,10){2}{\line(1,0){15}} \multiput(-0.2,0)(0,4.6){4}{ \qbezier(40,20)(43,20)(43,22) \qbezier(43,22)(43,26)(32.5,26)} \multiput(-0.2,0)(0,4.6){3}{ \qbezier(32.5,26)(21.5,26)(21.5,24) \qbezier(21.5,24)(21.5,22)(25,22)} \qbezier(32.5,39.8)(25,40)(25,40) \put(53,64){$A$} \put(53,45){\line(0,1){15}} \put(73,53){$\scriptstyle l_{Fe}$} \put(80,28){$\scriptstyle l_L$} \put(13,28.5){$\scriptstyle w$} \qbezier(32.5,15)(32.5,7.5)(40,7.5) \qbezier(32.5,45)(32.5,52.5)(40,52.5) \qbezier(70,52.5)(77.5,52.5)(77.5,45) \qbezier(70,7.5)(77.5,7.5)(77.5,15) \qbezier(40,7.5)(40,7.5)(70,7.5) \qbezier(40,52.5)(40,52.5)(70,52.5) \qbezier(32.5,15)(32.5,15)(32.5,45) \qbezier(77.5,45)(77.5,45)(77.5,35) \qbezier(77.5,15)(77.5,15)(77.5,25) \put(77.7,25){\vector(0,1){0}} \put(77.7,35){\vector(0,-1){0}} \put(77.7,25){\vector(0,1){10}} \put(77.7,35){\vector(0,-1){10}} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{130pt} \center $\displaystyle B_{Fe} = B_0 \sqrt{\frac{H_{Fe}}{H_0}}$ \hspace{0.5cm} \end{minipage} \begin{minipage}{110pt} \begin{picture}(110,90) \put(20,05){\vector(0,1){60}} \put(15,10){\vector(1,0){90}} \multiput(55,09)(0,4){8}{\line(0,1){2}} \multiput(19,41)(4,0){9}{\line(1,0){2}} \qbezier(20,10)(35,45)(95,50) \put(49,0){$H_0$} \put(90,0){$H_{Fe}$} \put(5,38){$B_0$} \put(0,55){$B_{Fe}$} \end{picture} \end{minipage} \subsubsection{Ersatzschaltung:} \begin{minipage}{165pt} \begin{picture}(145,80) \put(0,27){$I\!\cdot\! w$} \put(46,27){$\Big\downarrow V_q$} \put(35,0){\line(0,1){60}} \qbezier(30,50)(12,30)(30,10) \put(30,10){\vector(2,-3){0}} \put(35,30){\circle{20}} \put(35,0){\line(1,0){80}} \multiput(35,60)(50,0){2}{\line(1,0){30}} \multiput(65,55)(0,10){2}{\line(1,0){20}} \multiput(65,55)(20,0){2}{\line(0,1){10}} \multiput(65,54.9)(5,0){4}{\line(1,2){5}} \put(62,45){$R_{mFe}$} \qbezier(55,65)(75,75)(95,65) \put(95,64.75){\vector(2,-1){0}} \put(67,74){$V_{Fe}$} \multiput(115,0)(0,40){2}{\line(0,1){20}} \multiput(110,20)(0,20){2}{\line(1,0){10}} \multiput(110,20)(10,0){2}{\line(0,1){20}} \put(86,27){$R_{mL}$} \qbezier(120,50)(130,30)(120,10) \put(120,10){\vector(-1,-2){0}} \put(127,27){$V_L$} \end{picture} \center \smallskip \end{minipage} \begin{minipage}{185pt} \subsubsection{$V$--$\Phi$--Relationen} Eisenkern: $V_{Fe} = H_{Fe} \cdot l_{Fe}$, \quad $\Phi = B_{Fe} \cdot A$ \smallskip Luftspalt: $B_L = \mu_0 \cdot H_L$, \quad $V_L = l_L \cdot H_L$ \end{minipage} \[\Phi = B_0 \cdot A \cdot \sqrt{\frac{H_{Fe}}{H_0 \cdot l_{Fe}}} \Rightarrow V_{Fe} = H_0 \cdot l_{Fe} \cdot \left(\frac{\Phi}{B\cdot A}\right)^2\] \[V_L = \frac{l_L}{\mu_0 \cdot A}\cdot \Phi = R_me \cdot \Phi\] Einsetzen in den Maschensatz \begin{minipage}{245pt} \begin{eqnarray*} 0 & = & V_{Fe} + V_L - I\cdot w\\ 0 & = & H_0 \cdot l_{Fe} \cdot \left(\frac{\Phi}{B_0 \cdot A}\right)^2 + \frac{l_L}{\mu_0 \cdot A} \cdot \Phi - I \cdot w \end{eqnarray*} \end{minipage} \begin{minipage}{110pt} \begin{picture}(110,80) \put(20,05){\vector(0,1){60}} \put(15,10){\vector(1,0){90}} \qbezier(20,10)(35,45)(95,50) \qbezier(20,10)(25,55)(95,60) \put(20,10){\line(1,3){15}} \put(95,0){$V$} \put(8,55){$\Phi$} \put(27,58){$\scriptstyle \Phi(L)$} \put(50,60){$\scriptstyle \Phi(Fe)$} \put(55,35){$\scriptstyle \Phi(Fe)+\Phi(L)$} \end{picture} \end{minipage} $\Rightarrow$ quadratische Gleichung für $\Phi$ \subsubsection{Magnetischer Widerstand und magnetischer Leitwert} \begin{minipage}{100pt} \begin{picture}(100,55) \put(0,30){\vector(1,0){70}} \multiput(20,25)(0,10){2}{\line(1,0){30}} \multiput(20,25)(30,0){2}{\line(0,1){10}} \multiput(20,38)(30,0){2}{\line(0,1){5}} \put(20,40.5){\vector(1,0){30}} \put(50,40.5){\vector(-1,0){30}} \qbezier(15,23)(35,13)(55,23) \put(55,23){\vector(2,1){0}} \put(31,5){$V$} \qbezier(50,32.5)(56,32.5)(57,37) \put(56,38){$A$} \put(33,43){$l$} \put(9,38){$\mu$} \put(73,26.5){$\Phi$} \qbezier(22,32.5)(14,32.5)(13,37) \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{100pt} \center \fbox{\quad$\displaystyle R_m = \frac{V}{\Phi} $\quad} \end{minipage} \begin{minipage}{155pt} \center Definitionsgleichung für den magnetischen Widerstand \end{minipage} \[[R_m] = \frac{[V]}{[\Phi]} = \mathrm{\frac{A}{Vs}} = \mathrm{\frac{S}{s}} = \frac{1}{\Omega\mathrm{s}} = \frac{1}{\mathrm{H}}\] \[V = H \cdot l, \quad \Phi = B\cdot A, \quad B = \mu \cdot H\] \begin{center} \begin{minipage}{130pt} \center \fbox{\quad$\displaystyle R_m = \frac{H\cdot l}{B\cdot A} = \frac{l}{\mu \cdot A} $\quad} \end{minipage} \begin{minipage}{225pt} \center Bemessungsgleichung (homogenes Feld) \end{minipage} \end{center} \begin{center} \begin{minipage}{110pt} \center \fbox{\quad$\displaystyle G_m = \frac{\Phi}{V}$\quad} \end{minipage} \begin{minipage}{245pt} \center Definitionsgleichung des magnetischen Leitwertes (Induktivitätsfaktor, $a_L$--Wert) \end{minipage} \end{center} \[[G_m] = [a_L] = \Omega \mathrm{s} = \mathrm{H}\] \subsubsection{b) Ferritring mit Luftspalt} \qquad \begin{minipage}{150pt} \begin{picture}(100,75) \put(4,37){$h$} \put(14,25){\vector(0,1){30}} \put(14,55){\vector(0,-1){30}} \thicklines \multiput(0,0)(60,0){2}{\multiput(20,30)(20.1,0){2}{\line(0,1){20}}} \multiput(19.8,50)(60,0){2}{\qbezier(0,0)(1,4)(5,5)\qbezier(15,5)(19,4)(20,0)} \multiput(19.8,30)(60,0){2}{\qbezier(0,0)(1,-4)(5,-5)\qbezier(15,-5)(19,-4)(20,0)} \multiput(0,0)(60,0){2}{\multiput(25,25)(0,30){2}{\line(1,0){10}}} \put(60,20){\vector(0,1){50}} \thinlines \multiput(35,25)(0,30){2}{\line(1,0){50}} \multiput(40,30)(0,20){2}{\line(1,0){40}} \put(63,60){$I$} \put(60,15){\vector(-1,0){30}} \multiput(30,12.5)(30,0){2}{\line(0,1){5}} \put(40,7){$r_m$} \put(86,37){$A$} \end{picture} \vspace{0.5cm} \end{minipage} \begin{minipage}{150pt} \begin{picture}(100,80) \thicklines \qbezier(80,52)(80,62.426408)(71.213204,71.213204) \qbezier(50,80)(62.426408,80)(71.213204,71.213204) \qbezier(20,50)(20,37.573592)(28.786796,28.786796) \qbezier(50,20)(37.573592,20)(28.786796,28.786796) \qbezier(20,50)(20,62.426408)(28.786796,71.213204) \qbezier(50,80)(37.573592,80)(28.786796,71.213204) \qbezier(80,48)(80,37.573592)(71.213204,28.786796) \qbezier(50,20)(62.426408,20)(71.213204,28.786796) \qbezier(65,52)(65,56.213204)(60.606602,60.606602) \qbezier(50,65)(56.213204,65)(60.606602,60.606602) \qbezier(35,50)(35,43.786796)(39.393398,39.393398) \qbezier(50,35)(43.786796,35)(39.393398,39.393398) \qbezier(35,50)(35,56.213204)(39.393398,60.606602) \qbezier(50,65)(43.786796,65)(39.393398,60.606602) \qbezier(65,48)(65,43.786796)(60.606602,39.393398) \qbezier(50,35)(56.213204,35)(60.606602,39.393398) \multiput(65,48)(0,4){2}{\line(1,0){15}} \thinlines \put(50,50){\circle{5}} \put(50,50){\circle*{2}} \qbezier(72.5,52)(72.5,59.319806)(65.909903,65.909903) \qbezier(50,72.5)(59.319806,72.5)(65.909903,65.909903) \qbezier(27.5,50)(27.5,40.680194)(34.090097,34.090097) \qbezier(50,27.5)(40.680194,27.5)(34.090097,34.090097) \qbezier(27.5,50)(27.5,59.319806)(34.090097,65.909903) \qbezier(50,72.5)(40.680194,72.5)(34.090097,65.909903) \qbezier(72.5,48)(72.5,40.680194)(65.909903,34.090097) \qbezier(50,27.5)(59.319806,27.5)(65.909903,34.090097) \put(72.6,48){\vector(0,1){0}} \qbezier(66,66)(70,75)(80,75) \qbezier(34,66)(30,75)(20,75) \put(81,72){$V_{Fe}$} \put(05,72){$l_{Fe}$} \put(41,47){$I$} \put(85,62){\vector(0,-1){10}} \put(85,38){\vector(0,1){10}} \multiput(82.5,48)(0,4){2}{\line(1,0){5}} \put(89,48){$d$} \end{picture} \end{minipage} Abmessungen: $r_i = 30\,\mathrm{mm}$, $r_a = 60\,\mathrm{mm} \Rightarrow r_m = 45\,\mathrm{mm}$ \smallskip $A = 260\,\mathrm{mm}^2$, $l_{Fe} = r_m \cdot \pi = 144\,\mathrm{mm}$, $d = 2,\!5\,\mathrm{mm}$ \smallskip Messung ergibt trotz der unlinearen Kennlinie des Eisenkerns einen linearen $B$--$I$--Zusammenhang. Messwert im Luftspalt: $I = 100\,\mathrm{A}$, $B_L=45\,\mathrm{mT}$ \paragraph{Ersatzschaltbild:} Spannungen $V_q = 100\,\mathrm A$, $V_L$, $V_{Fe}$ \begin{minipage}{155pt} \begin{picture}(145,97) \put(0,10){\put(5,27){$V_q\Big\downarrow $} % kids, don't try this at home! \put(35,0){\line(0,1){60}} \put(35,30){\circle{20}} \put(35,0){\line(1,0){80}} \multiput(35,60)(50,0){2}{\line(1,0){30}} \multiput(65,55)(0,10){2}{\line(1,0){20}} \multiput(65,55)(20,0){2}{\line(0,1){10}} \multiput(65,54.9)(5,0){4}{\line(1,2){5}} \put(62,45){$R_{mFe}$} \qbezier(55,65)(75,75)(95,65) \put(95,64.75){\vector(2,-1){0}} \put(67,74){$V_{Fe}$} \multiput(115,0)(0,40){2}{\line(0,1){20}} \multiput(110,20)(0,20){2}{\line(1,0){10}} \multiput(110,20)(10,0){2}{\line(0,1){20}} \put(86,27){$R_{mL}$} \qbezier(120,50)(130,30)(120,10) \put(120,10){\vector(-1,-2){0}} \put(127,27){$V_L$} \multiput(45,0)(0,60){2}{\circle{2}}} \put(40,0){$B$} \put(41,73){$A$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{200pt} $V_L = H_L \cdot l_L$ \bigskip $H_L = \frac{B}{\mu_0} = \frac{45 \cdot 10^{-3}\,\mathrm{Vs}\,\mathrm{As}}{\mathrm m^2 \cdot 1,256 \cdot 10^{-6}\,\mathrm{Vs}} = 35,\!8\,\mathrm{\frac{kA}{m}}$ \bigskip $V_L = H_L \cdot l_L = 35,\!8\,\mathrm{\frac{kA}{m}} \cdot 2,\!5 \mathrm{mm} = 89,\!6\,\mathrm A$ \end{minipage} \bigskip \paragraph{Maschensatz:} $V_{Fe} + V_L = I \Rightarrow V_{Fe} = I - V_L = 100\,\mathrm A - 89,\!6\,\mathrm A = 10,\!4\,\mathrm{A}$ \bigskip $H_{Fe} = \frac{V_{Fe}}{l_{Fe}} = \frac{10,\!4\,\mathrm A}{0,\!141\,\mathrm m} = 73,\!8\,\mathrm{\frac A m}$ \paragraph{Abschätzung von $\mu$:} unter der Annahme $B_{Fe} = B_L$ \smallskip $B_L = \mu_0 \cdot H_L = B_{Fe} = \mu_0 \cdot \mu_r \cdot H_{Fe}$ \bigskip $\displaystyle \Rightarrow \frac{H_L}{H_{Fe}} = \frac{35,8 \mathrm{\frac{kA}{m}}}{73,8 \mathrm{\frac{A}{m}}} = 485$ \subsubsection{$V$--$\Phi$--Kennlinie des Zweipols $AB$} \begin{minipage}{150pt} \begin{picture}(120,85) \setlength{\unitlength}{1.20pt} \put(30,0){\vector(0,1){70}} \put(0,35){\vector(1,0){120}} \qbezier(5,10)(20,10)(30,35) \qbezier(55,60)(40,60)(30,35) \put(30,35){\line(4,1){80}} \put(30,35){\line(-4,-1){25}} \multiput(37,34)(0,4){4}{\line(0,1){2}} \multiput(80,34)(0,4){4}{\line(0,1){2}} \multiput(88,34)(0,4){4}{\line(0,1){2}} \put(33,28){$\scriptstyle V_{Fe}$} \put(76,28){$\scriptstyle V_{L}$} \put(85,28){$\scriptstyle V_q$} \multiput(29,48)(4,0){15}{\line(1,0){2}} \qbezier(30,35)(110,53.5)(120,53) \qbezier(30,35)(10,30)(0,28.5) \put(108,26){$V$} \put(20,62){$\Phi$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{205pt} Die lineare Kennlinie von $R_{mL}$ dominiert im Messbereich, die Kennlinie von $R_{Fe}$ ist im Messbereich ebenfalls annähernd linear. \end{minipage} \subsubsection{c) Widerstand und Leistungsverbrauch einer Erregerspule} \begin{minipage}{185pt} \begin{picture}(100,70) \thicklines \multiput(15,10)(29,0){2}{\line(0,1){60}} \multiput(15,30)(0,20){2}{\line(1,0){29}} \thinlines \multiput(10,0)(0,41){2}{\multiput(0,0)(0,4){5}{\multiput(7.5,11.5)(4,0){7}{\circle{4}}}} \qbezier(34,57)(49,57)(54,62) \put(55,62){$A_w$} \thicklines \multiput(95,10)(0,60){2}{\line(1,0){50}} \multiput(90,15)(60.2,0){2}{\line(0,1){50}} \multiput(-0.2,0)(20,20){2}{\qbezier(90,15)(91,11)(95,10)} \multiput(-0.2,0)(-20,20){2}{\qbezier(150,15)(149,11)(145,10)} \multiput(-0.2,0)(20,-20){2}{\qbezier(90,65)(91,69)(95,70)} \multiput(-0.2,0)(-20,-20){2}{\qbezier(150,65)(149,69)(145,70)} \multiput(115,30)(0,20){2}{\line(1,0){10}} \multiput(110,35)(20.2,0){2}{\line(0,1){10}} \thinlines \multiput(-0.2,0)(10,10){2}{\qbezier(90,15)(91,11)(95,10)} \multiput(-0.2,0)(-10,10){2}{\qbezier(150,15)(149,11)(145,10)} \multiput(-0.2,0)(10,-10){2}{\qbezier(90,65)(91,69)(95,70)} \multiput(-0.2,0)(-10,-10){2}{\qbezier(150,65)(149,69)(145,70)} \multiput(105,20)(0,40){2}{\line(1,0){30}} \multiput(100,25)(40,0){2}{\line(0,1){30}} \put(120,60){\vector(1,0){0}} \put(120,60){\vector(-1,0){0}} \qbezier(140,45)(153,45)(160,55) \put(161,55){$l_m$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{170pt} \begin{tabular}{ll} $A_w$ & Wicklungquerschnitt\\ $l_m$ & mittlere Wicklungslänge \end{tabular} \[\textnormal{el. Widerstand: } R = \varrho \cdot \frac{l}{A}\] \end{minipage} \begin{description} \item[Drahtlänge:] $l = w \cdot l_m$ \item[Drahtquerschnitt:] $w \cdot A = k \cdot A_w$, \quad $k$: Füllfaktor, praktisch $k=0,\!5$ $A= k \cdot \frac{A_w}{w}$ \end{description} \begin{minipage}{122pt} \fbox{\quad$\displaystyle R = \varrho \cdot w^2 \cdot \frac{l_m}{k\cdot A_w}$ \quad} \end{minipage} \begin{minipage}{233pt} \begin{center} Der el. Widerstand ist bei konstanten Spulenabmessungen $\sim w^2$ \end{center} \end{minipage} \begin{description} \item[Erregerleistung:] \fbox{\quad$\displaystyle P = I^2 \cdot R = (I \cdot w)^2 \cdot \varrho \cdot\frac{l_m}{k\cdot A_w} \sim (I\cdot w)^2$\quad} \smallskip Die Erregerleistung ist proportional dem Quadrat der Durchflutung. \end{description} \section{Induktionsgesetz} \subsection{Ruheinduktion} \subsubsection{a) Grundgesetz} \begin{minipage}{75pt} \begin{picture}(65,80) \multiput(20,0)(10,0){4}{\vector(0,1){60}} \put(16,62){$\overbrace{\hspace{38pt}}^{\displaystyle \dot\Phi(t)}$} \qbezier(10,30)(10,27)(35,27) \qbezier(60,30)(60,27)(35,27) \qbezier(10,30)(10,33)(35,33) \qbezier(60,30)(60,33)(35,33) \put(57,28.2){\vector(4,1){0}} \put(55,17){$\vec E$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{280pt} Ein zeitlich veränderlicher Magnetfluß ist von einem elektrischen Feld umwirbelt: \[\mathrm{rot}\, \vec E = - \dot{\vec{B}}\] \begin{minipage}{170pt} \fbox{\quad$\oint\limits_{(c)} \vec E \cdot d\vec r = - \iint\limits_{(A)} \dot{\vec{B}}\cdot d\vec A = - \dot{\Phi} $\quad} \end{minipage} \begin{minipage}{105pt} \center Induktionsgesetz \smallskip \small 2. Maxwellsches Gesetz \end{minipage} \end{minipage} \bigskip \begin{minipage}{120pt} \center \begin{picture}(50,70) \multiput(23,0)(2,0){2}{\line(0,1){40}} \put(20.7,40){$\Uparrow$} \put(20,50){$\dot\Phi$} \qbezier(4,25)(4,20)(24,20) \qbezier(44,25)(44,20)(24,20) \qbezier(4,25)(4,30)(22.8,30) \qbezier(44,25)(44,30)(25,30) \put(43,22.4){\vector(3,1){0}} \put(7,22.1){\vector(-3,1){0}} \put(4.5,15){\tiny \textcircled{\raisebox{-0.9pt}{2}}} \put(39,15){\tiny \textcircled{\raisebox{-0.9pt}{1}}} \end{picture} \newline \end{minipage} \begin{minipage}{120pt} \center \begin{picture}(50,70) \qbezier(4,25)(4,20)(24,20) \qbezier(44,25)(44,20)(24,20) \qbezier(4,25)(4,30)(22.8,30) \qbezier(44,25)(44,30)(25,30) \put(7,22.1){\vector(-3,1){0}} \multiput(23,0)(2,0){2}{\line(0,1){40}} \put(20.7,40){$\Uparrow$} \put(20,50){$\dot\Phi$} \end{picture} $\Phi$ nimmt zeitlich zu \end{minipage} \begin{minipage}{115pt} \center \begin{picture}(50,70) \qbezier(4,25)(4,20)(24,20) \qbezier(44,25)(44,20)(24,20) \qbezier(4,25)(4,30)(22.8,30) \qbezier(44,25)(44,30)(25,30) \put(7,22.1){\vector(-3,1){0}} \multiput(22.9,10)(2.2,0){2}{\line(0,1){35}} \put(20.6,03.5){$\Downarrow$} \put(20,50){$\dot\Phi$} \end{picture} $\Phi$ nimmt zeitlich ab \end{minipage} \begin{enumerate} \item Richtung des $E$--Feldes nach der Rechte--Hand--Regel \item Tatsächliche Richtung des induzierten Feldes \end{enumerate} \begin{minipage}{85pt} \begin{picture}(75,63) \qbezier(24,25)(24,20)(44,20) \qbezier(64,25)(64,20)(44,20) \qbezier(24,25)(24,30)(42.8,30) \qbezier(64,25)(64,30)(45,30) \put(32,20.5){\vector(-1,0){0}} \multiput(43,0)(2,0){2}{\line(0,1){40}} \put(40.7,40){$\Uparrow$} \put(40,50){$\dot\Phi$} \put(30,10){$I$} \multiput(0,0)(40.5,0){2}{\put(20.5,34){$\scriptstyle \vec H$}} \multiput(0,0)(40,0){2}{ \qbezier(31,25)(31,27.8994952)(28.9497476,29.9497476) \qbezier(24,32)(26.8994952,32)(28.9497476,29.9497476) \qbezier(17,25)(17,22.1005048)(19.0502524,20.0502524) \qbezier(24,18)(21.1005048,18)(19.0502524,20.0502524) \qbezier(17,25)(17,27.8994952)(19.0502524,29.9497476) \qbezier(24,32)(21.1005048,32)(19.0502524,29.9497476) \qbezier(31,25)(31,22.1005048)(28.9497476,20.0502524) \qbezier(24,18)(26.8994952,18)(28.9497476,20.0502524)} \multiput(31.1,23)(26,0){2}{\vector(0,-1){0}} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{265pt} Wird der sich ändernde Fluß durch eine Leiterschleife umschlossen, so entsteht ein Induktionsstrom $I$. Dieser wirkt der Flußänderung entgegen (Lenzsche Regel). \end{minipage} \subsubsection{b) Induzierte Spannung in einer Leiterschleife} \begin{minipage}{90pt} \begin{picture}(85,65) \multiput(20,0)(15,0){3}{\vector(0,1){60}} \qbezier(5,30)(5,20)(35,20) \qbezier(65,25)(65,20)(35,20) \qbezier(5,30)(5,40)(35,40) \qbezier(65,35)(65,40)(35,40) \multiput(65,25)(0,10){2}{\line(1,0){15}} \multiput(81,25)(0,10){2}{\circle{2}} \put(81,26){\vector(0,1){8}} \put(70,28){$c_2$} \put(10,23.3){\vector(3,-2){0}} \put(3,16){$c_1$} \put(77,15){$B$} \put(77,38){$A$} \put(55,50){$\dot\Phi$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{265pt} \[\oint_{(c)} \vec E d\vec r = \underbrace{\int\limits^B_{\stackrel{\scriptstyle A}{\scriptstyle (c_1)}} \vec E d\vec r}_{0} + \underbrace{\int\limits^A_{\stackrel{\scriptstyle B}{\scriptstyle (c_2)}} \vec E d\vec r}_{-U_{AB}} = -\frac{d\Phi}{dt}\] \end{minipage} $\displaystyle U_{AB} = \int\limits^B_{\stackrel{\scriptstyle A}{\scriptstyle (c_2)}}\! \vec E d\vec r \quad \Rightarrow$ \quad \fbox{\quad$\displaystyle U_{AB} = \frac{dQ}{dt} $\quad} \quad induzierte Quellenspannung \subsubsection{c) induzierte Spannung bei mehrfachem Umlauf} \begin{minipage}{80pt} \begin{picture}(80,80) \setlength{\unitlength}{1.20pt} \put(13,0){ \qbezier(10,10)(25,10)(25,15) \qbezier(25,15)(25,20)(20,20) \qbezier(20,20)(15,20)(15,16) \qbezier(15,16)(15,13)(25,14) \qbezier(25,14)(35,14)(35,25) \qbezier(35,25)(35,32)(20,32) \qbezier(20,32)(15,32)(15,28) \qbezier(15,28)(15,23)(30,23) \qbezier(30,23)(42,23)(42,30) \qbezier(42,30)(42,40)(32,45) \qbezier(32,45)(19,50)(18,45) \qbezier(18,45)(18,40)(30,40) \qbezier(30,40)(43,40)(43,46) \qbezier(43,46)(43,53)(30,53) \qbezier(30,53)(10,53)(10,53) \multiput(8.8,10)(0,43){2}{\circle{2}} \put(9,51){\vector(0,-1){39}} } \put(0,30){$U_{AB}$} \put(37,63){$\dot\Phi$} \multiput(30,5)(7,0){4}{\vector(0,1){55}} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{275pt} \[U_{AB} = \sum\limits_{\nu} \frac{d\Phi_{\nu}}{dt} =\frac{d\Psi}{dt}\] $\sum\limits_{\nu} \Phi_{\nu} = \Psi$ : Induktionsfluß \smallskip $\Phi_{\nu}$ : von der $\nu$--ten Windung umfasster Fluß \end{minipage} \bigskip Wird von allen $w$ Windungen der gleiche Fluß umfasst, so gelten \[\Psi = w \cdot \Phi, \qquad U_{AB} = \frac{d\Psi}{dt} = w\cdot \frac{d\Phi}{dt}\] \subsubsection{d) Wirkungsschema bei Ruheinduktion} \paragraph{Kriterium:} Leiter, in dem Spannung induziert wird, umfasst einen zeitlich sich ändernden Fluß. \[I(t) \longrightarrow H(t) \longrightarrow B(t) \longrightarrow \Phi(t)\longrightarrow \Psi(t) \longrightarrow U(t)\] \[\textnormal{Magnet, der }\vec H\textnormal{ erzeugt, bewegt sich} \longrightarrow \Phi(t)\longrightarrow \Psi(t) \longrightarrow U(t)\] \subsubsection{e) Beispiele und Anwendungen} \begin{enumerate} \item Gerader Draht und Leiterschleife \begin{minipage}{110pt} \begin{picture}(110,80) \thicklines\put(30,0){\vector(0,1){70}}\thinlines \multiput(45,25)(0,30){2}{\line(1,0){30}} \put(45,25){\line(0,1){30}} \multiput(75,25)(0,20){2}{\line(0,1){10}} \multiput(75,35)(0,10){2}{\line(1,0){15}} \multiput(91,35)(0,10){2}{\circle{2}} \qbezier(10,40)(10,35)(30,35) \qbezier(50,40)(50,35)(30,35) \qbezier(10,40)(10,45)(30,45) \qbezier(50,40)(50,45)(30,45) \put(50,38.4){\vector(2,1){0}} \put(53,35){$\Phi$} \put(8,63){$I(t)$} \put(87,48){$A$} \put(87,24){$B$} \put(78,47){$\scriptstyle -$} \put(78,28){$\scriptstyle +$} \put(8,25){\vector(0,1){30}} \put(8,55){\vector(0,-1){30}} \put(0,37){$h$} \put(30,25){\vector(1,0){15}} \put(45,25){\vector(-1,0){15}} \put(33.5,17){$r_i$} \put(48,3){$r_a$} \put(30,10){\vector(1,0){45}} \put(75,10){\vector(-1,0){45}} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{220pt} gesucht: $\displaystyle U_{AB} = -\frac{d\Phi}{dt}$ \bigskip \[\Phi(t) = \frac{\mu_0 \cdot I(t) \cdot h}{2\pi} \cdot \ln \frac{r_a}{r_i} = M \cdot I(t)\] \end{minipage} \bigskip $\displaystyle M = \frac{\mu_0 \cdot h}{2\pi} \cdot \ln \frac{r_a}{r_i} \qquad \Rightarrow \qquad $\fbox{\quad$\displaystyle U_{AB} = - M \cdot \frac{dI}{dt} $ \quad} \bigskip Gegeben sei folgender Stromverlauf: \begin{minipage}{105pt} \begin{picture}(100,85) \put(0,63){$I(t)$} \put(20,10){\vector(0,1){65}} \put(15,15){\vector(1,0){90}} \multiput(20,14)(30,0){3}{\line(0,1){2}} \put(47,6){$\scriptstyle T$} \put(74,6){$\scriptstyle 2T$} \qbezier(20,15)(45,20)(50,50) \multiput(50,14)(0,4){9}{\line(0,1){2}} \qbezier(50,50)(50,50)(80,15) \multiput(19,50)(4,0){8}{\line(1,0){2}} \put(10,47){$\scriptstyle I_0$} \put(97,4){$t$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{220pt} \[I(t) = \left\{\begin{array}{ll}I_0 \cdot \left(\frac{t}{T}\right)^2 & 0 \leq t < T\\ I_0 \cdot \left(2 - \frac{t}{T}\right) & T \leq t < 2T \vphantom{\int\limits_a^b}\\ 0 & \textnormal{sonst}\end{array}\right.\] \end{minipage} \newpage Dann ergeben sich folgende Induktionsspannungen: \begin{minipage}{135pt} \begin{picture}(100,100) \put(0,5){$\scriptstyle \frac{-2MI_0}{T}$} \put(8,59){$\scriptstyle \frac{MI_0}{T}$} \put(5,83){$U_{AB}$} \put(30,00){\vector(0,1){90}} \put(25,45){\vector(1,0){90}} \multiput(30,44)(30,0){3}{\line(0,1){2}} \multiput(29,7)(0,55){2}{\line(1,0){2}} \put(57,36){$\scriptstyle T$} \put(84,36){$\scriptstyle 2T$} \put(107,34){$t$} \qbezier(30,45)(60,7)(60,7) \put(60,62){\line(1,0){30}} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{190pt} \[U(t) = \left\{\begin{array}{ll}-2M\cdot I \cdot \frac{t}{T^2} & 0 \leq t < T\\t \cdot \frac{MI_0}{T} & T \leq t < 2T \vphantom{\int\limits_a^b}\\ 0 & \textnormal{sonst}\end{array}\right.\] \end{minipage} \item Flußmessung bei Wechselstrom \begin{minipage}{130pt} \begin{picture}(110,90) \setlength{\unitlength}{0.85pt} \put(46,93){$\dot\Phi$} \qbezier(78.5,60)(77,65.426408)(71.213204,71.213204) \qbezier(50,80)(62.426408,80)(71.213204,71.213204) \qbezier(20,50)(20,37.573592)(28.786796,28.786796) \qbezier(50,20)(37.573592,20)(28.786796,28.786796) \qbezier(20,50)(20,62.426408)(28.786796,71.213204) \qbezier(50,80)(37.573592,80)(28.786796,71.213204) \qbezier(78.5,40)(77,34.573592)(71.213204,28.786796) \qbezier(50,20)(62.426408,20)(71.213204,28.786796) \multiput(78.5,40)(0,20){2}{\line(1,0){20.5}} \multiput(100,40)(0,20){2}{\circle{2}} \qbezier(25,10)(45,50)(25,90) \qbezier(75,10)(55,50)(75,90) \qbezier(50,10)(50,50)(50,90) \put(25.3,90){\vector(-1,2){0}} \put(75.3,90){\vector(1,2){0}} \put(50.3,90){\vector(0,1){0}} \qbezier(105,40)(112,50)(105,60) \put(105.3,40){\vector(-2,-3){0}} \put(112,46){$U_{AB}$} \put(0,35){$w$} \qbezier(10,38)(21,38)(21,40) \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{200pt} \[U_{AB} = w \cdot \frac{d\Phi}{dt} = \frac{d\Psi}{dt} \qquad \Psi = w \cdot \Phi\] \[\Phi(t) = \hat{\Phi} \cdot \sin \omega t \qquad \omega = 2\pi f\] \[U_{AB} = w \cdot \omega \cdot \hat{\Phi} \cdot \cos \omega t\] \end{minipage} \begin{center} $w \cdot \omega \cdot \hat\Phi = \hat U \quad \Rightarrow$ \quad \fbox{\quad $\displaystyle\hat\Phi = \frac{\hat U}{w \cdot \omega}$ \quad} \end{center} Bei konstanter Frequenz: direkter Zusammenhang zwischen $\hat U$ und $\hat \Phi$ bzw. $U$ und $\Phi$ (Effektivwerte). \item Spannungsmessung bei zeitveränderlichem Magnetfeld \begin{minipage}{100pt} \begin{picture}(100,100) \put(0,47){$U_{AB}$} \multiput(40,0)(0,60){2}{\line(0,1){40}} \multiput(35,40)(0,20){2}{\line(1,0){10}} \multiput(35,40)(10,0){2}{\line(0,1){20}} \multiput(40,15)(0,70){2}{\circle*{2}} \multiput(40,15)(0,70){2}{\line(1,0){35}} \multiput(75,15)(0,45){2}{\line(0,1){25}} \put(75,50){\circle{20}} \put(71,46){V} \qbezier(30,30)(20,50)(30,70) \put(30.3,70){\vector(1,3){0}} \qbezier(27,23)(27,19)(40,19) \qbezier(53,23)(53,19)(40,19) \qbezier(27,23)(27,27)(40,27) \qbezier(53,23)(53,27)(40,27) \put(49,19.8){\vector(4,1){0}} \put(54.5,20){$\Phi(t)$} \put(48,46){$R$} \put(30,75){\vector(0,1){20}} \put(5,82){$I(t)$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{230pt} Die Messchleife umfasst einen zeitveränderlichen Magnetfluß. \[\Phi(t) = M \cdot I(t)\] \[U_m = U_{AB} + \frac{d\Phi}{dt} = I \cdot R + M \cdot \frac{dI}{dt}\] \end{minipage} \bigskip Bei einem Einschaltvorgang trete folgender Stromverlauf auf: \begin{minipage}{120pt} \begin{picture}(120,100) \put(0,30){$\scriptstyle I_0 \cdot M$} \put(0,45){$\scriptstyle \phantom{\cdot M}I_0$} \put(22,10){\vector(0,1){70}} \put(17,15){\vector(1,0){90}} \put(2,69){$I(t) \hspace{5pt} \Phi(t)$} \qbezier(22,15)(40,32)(40,32) \put(40,32){\line(1,0){50}} \qbezier(22,15)(40,47)(40,47) \put(40,47){\line(1,0){50}} \multiput(40,14)(0,4){8}{\line(0,1){2}} \multiput(21,32)(4,0){5}{\line(1,0){2}} \multiput(21,47)(4,0){5}{\line(1,0){2}} \put(37,6){$\scriptstyle T$} \put(100,5){$t$} \put(93,30){$\scriptstyle \Phi(t)$} \put(93,45){$\scriptstyle I(t)$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{200pt} \[\Phi(t) = \left\{\begin{array}{ll}0 & t < 0\\ \frac{I_0 \cdot M}{T} \cdot t & 0 \leq t < T \vphantom{\int\limits_a^b} \\ I_0 \cdot M & T \leq t\end{array}\right.\] \end{minipage} \newpage Es ergibt sich folgender Spannungsverlauf am Messgerät ($U_M$): \begin{minipage}{200pt} \[U_M = \left\{\begin{array}{ll}0 & t < 0\\ R\cdot I_0 \cdot \frac{t}{T}& 0 \leq t < T \vphantom{\int\limits_a^b} \\ R \cdot I_0 & T \leq t\end{array}\right.\] \end{minipage} \begin{minipage}{120pt} \begin{picture}(120,100) \put(0,46){$\scriptstyle R\cdot I_0$} \put(0,28){$\scriptstyle \frac{I_0M}{T}$} \put(22,10){\vector(0,1){70}} \put(17,15){\vector(1,0){90}} \put(2,69){$U_M$} \qbezier(22,30)(39.7,62)(39.7,62) \put(40,48){\line(1,0){55}} \put(40,48){\line(0,1){14}} \multiput(40,14)(0,4){9}{\line(0,1){2}} \multiput(21,48)(4,0){5}{\line(1,0){2}} \put(21,30){\line(1,0){2}} \put(37,6){$\scriptstyle T$} \put(100,5){$t$} \end{picture} \end{minipage} Abhilfe: Minimieren der durchflossenen Fläche, z.B. durch verdrillte Messleitungen. \item Strommessung mit Rogowski--Spule \begin{minipage}{180pt} \begin{picture}(100,90) \put(50,20){\vector(0,1){60}} \put(50,25){\vector(1,0){30}} \put(80,25){\vector(-1,0){30}} \multiput(80,25)(0,4){6}{\line(0,1){2}} \put(60,18){$r_m$} \put(54,73){$I$} \qbezier(20,50)(20,42)(50,42) \qbezier(80,50)(80,42)(50,42) \qbezier(20,50)(20,58)(50,58) \qbezier(80,50)(80,58)(50,58) \multiput(20,50)(60,0){2}{\circle{10}} \multiput(0,0)(0,-3.4){2}{\multiput(20.75,51.7)(58.5,0){2}{\circle{10}}} \multiput(0,0)(0,-5.4){2}{\multiput(21.25,52.7)(57.5,0){2}{\circle{10}}} \multiput(0,0)(0,-7.6){2}{\multiput(22.5,53.8)(55,0){2}{\circle{10}}} \multiput(0,0)(0,-10){2}{\multiput(25,55)(50,0){2}{\circle{10}}} \multiput(0,0)(0,-11.4){2}{\multiput(27.5,55.7)(45,0){2}{\circle{10}}} \multiput(0,0)(0,-12.6){2}{\multiput(30,56.3)(40,0){2}{\circle{10}}} \multiput(0,0)(0,-14.4){2}{\multiput(34,57.2)(32,0){2}{\circle{10}}} \multiput(0,0)(0,-15){2}{\multiput(39,57.5)(22,0){2}{\circle{10}}} \multiput(0,0)(0,-16){2}{\multiput(45,58)(10,0){2}{\circle{10}}} \multiput(50,58)(0,-16){2}{\circle{10}} \qbezier(13,46)(08,50)(13,54) \put(13.7,55.2){\vector(2,3){0}} \put(0,47){$\Phi$} \put(18,25){$A$} \qbezier(26,28)(34,28)(34,37) \put(80,45){\line(1,0){15}} \put(80,55){\line(1,0){35}} \put(95,20){\line(0,1){25}} \multiput(90,20)(55,0){2}{\line(1,0){10}} \multiput(115,50)(20,0){2}{\line(0,1){10}} \multiput(115,50)(0,10){2}{\line(1,0){20}} \put(135,55){\line(1,0){29}} \multiput(150,20)(0,19){2}{\line(0,1){16}} \thicklines\multiput(142,36)(0,3){2}{\line(1,0){14}}\thinlines \multiput(105,52.5)(60,0){2}{\vector(0,-1){32.5}} \put(108,32){$U$} \put(168,32){$U_{\Phi}$} \put(165,55){\circle{2}} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{150pt} \[U=\frac{d\Psi}{dt} = w \cdot \frac{d\Phi}{dt}\] \[\Phi = \frac{I}{R_m}, \quad R_m \approx \frac{2\pi\cdot r_m}{\mu_0 \cdot A}\] \end{minipage} $\Rightarrow \displaystyle U = \frac{w}{R_m} \cdot \frac{dI}{dt}, \quad C \cdot \frac {dU_{\Phi}}{dt} \approx \frac{U}{R} = \frac{dI}{dt} \Rightarrow U_{\Phi} = \frac{w}{R\cdot C \cdot R_m} \cdot I$ \item Skineffekt \begin{minipage}{165pt} \center \begin{picture}(100,120) \put(5,0){ % ekelig \multiput(0,0)(0,70){2}{\qbezier(20,20)(20,12)(50,12) \qbezier(80,20)(80,12)(50,12)} \qbezier(20,90)(20,98)(50,98) \qbezier(80,90)(80,98)(50,98) \multiput(20,20)(60,0){2}{\line(0,1){70}} \multiput(30,0)(20,0){3}{\vector(0,1){110}} \qbezier(40,50)(40,49.5)(50,49.5) \qbezier(60,50)(60,49.5)(50,49.5) \qbezier(40,50)(40,50.5)(50,50.5) \qbezier(60,50)(60,50.5)(50,50.5) \qbezier(30,50)(30,46)(50,46) \qbezier(70,50)(70,46)(50,46) \qbezier(30,50)(30,54)(50,54) \qbezier(70,50)(70,54)(50,54) \qbezier(20,50)(20,42)(50,42) \qbezier(80,50)(80,42)(50,42) \qbezier(20,50)(20,58)(50,58) \qbezier(80,50)(80,58)(50,58) \multiput(53,41.9)(0,3.8){3}{\vector(1,0){0}} \multiput(55.2,35)(20,0){2}{\line(0,1){30}} \multiput(60.2,30)(0,40){2}{\line(1,0){10}} \put(55.2,47.5){\vector(0,-1){0}} \put(75.2,52.5){\vector(0,1){0}} \qbezier(60,30)(55,30)(55,35) \qbezier(70,30)(75,30)(75,35) \qbezier(60,70)(55,70)(55,65) \qbezier(70,70)(75,70)(75,65) } \put(10,102){$I(t)$} \put(0,47){$\vec B(t)$} \put(87,57){$\vec E(t)$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{165pt} \center \begin{picture}(100,100) \multiput(20,10)(0,70){2}{\line(1,0){60}} \multiput(20,10)(60,0){2}{\line(0,1){70}} \put(50,10){\vector(0,1){85}} \put(55,90){$\hat S$} \qbezier(20,80)(35,15)(50,15) \qbezier(80,80)(65,15)(50,15) \qbezier(20,65)(35,32)(50,32) \qbezier(80,65)(65,32)(50,32) \multiput(78,65)(0,15){2}{\line(1,0){4}} \put(20,45){\line(1,0){62}} \put(85,42){$f=0$} \put(85,62){$f_1<0$} \put(85,77){$f_2 0$\\ \\ $I = I_0$&$ t < 0$ \end{tabular} \end{minipage} \[I(t) = I(0) + \frac 1 L\int\limits_0^t U(t')\,dt' = I_0 + \frac 1 L \int\limits_0^t U_0\,dt' = I_0 + \frac{U_0}{L}\cdot t\] \item $R$--$L$--Kreis \begin{minipage}{170pt} \begin{picture}(170,90) \put(0,27){$U_0(t)\!\big\downarrow$} \put(40,0){\line(0,1){60}} \put(40,0){\line(1,0){80}} \multiput(40,60)(50,0){2}{\line(1,0){30}} \multiput(70,55)(0,10){2}{\line(1,0){20}} \multiput(70,55)(20,0){2}{\line(0,1){10}} \multiput(120,0)(0,40){2}{\line(0,1){20}} \multiput(120,20)(0,5){4}{\qbezier(0,0)(5,0)(5,2.5)\qbezier(5,2.5)(5,5)(0,5)} \put(40,30){\circle{20}} \put(80,30){\circle{30}} \put(77,14){\vector(-1,0){0}} \put(72,26.5){$I(t)$} \put(76,67){$R$} \qbezier(55,70)(80,85)(105,70) \put(105,70){\vector(2,-1){0}} \put(68,83){$U_R(t)$} \put(128,27){$L$} \qbezier(134,10)(144,30)(134,50) \put(134,10){\vector(-1,-2){0}} \put(143,27){$U_L(t)$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{160pt} \[U_R + U_L - U_0 = 0\] \begin{center} \fbox{$\quad \displaystyle \Rightarrow \; I \cdot R + L \cdot \frac{dI}{dt} = U_0 (t) \quad $} \bigskip DGL für $I(t), \; I(0) = I_0$ \end{center} \end{minipage} \bigskip Spezialfall: $U_0(t) = U_0 =$ Konstant \smallskip $\displaystyle L \cdot \frac{dI}{dt} + I \cdot R = U_0$ \smallskip $\displaystyle \underbrace{\frac L R}_{\tau} \cdot \frac{dI}{dt} + I = \frac{U_0}{R} \; \longrightarrow \; \tau \cdot \frac{dI}{dt} +I = \frac{U_0}{R} \quad (\tau = L/R$, Zeitkonstante) \[I(t) = I(0) \cdot e^{-\frac{t}{\tau}} + \frac{U_0}{R}\cdot\left(1-e^{-\frac{t}{\tau}}\right)\] \begin{minipage}{165pt} \center Einschaltvorgang $I(0) = 0$ \[I(t) = \frac{U_0}{R}\left(1-e^{-\frac{t}{\tau}}\right)\] \[U_R(t) = R\cdot I(t) = U_0\left(1-e^{-\frac{t}{\tau}}\right)\] \[U_L(t) = L \frac{dI}{dt}= \frac{U_0L}{R}e^{-\frac{t}{\tau}}\cdot\frac{1}{\tau}\] \[U_L(t) = U_0 \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}\] \end{minipage} \begin{minipage}{165pt} \center Ausschaltvorgang $I(0) = I_0$, $U_0 = 0$ \[I(t) = I_0 \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}\vphantom{\Big(}\] \[U_R(t) = I_0 \cdot R \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}\vphantom{\Big(}\] \[U_L(t) = -I_0 L \cdot e^{-\frac{t}{\tau}} \cdot \frac{1}{\tau}\] \[U_L(t) = -I_0 \cdot R \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}\] \end{minipage} \begin{minipage}{165pt} \center Einschaltvorgang \begin{picture}(140,110) \put(20,50){\vector(1,0){120}} \multiput(25,5)(80,0){2}{\vector(0,1){90}} \put(4,87){$I(t)$} \put(9,70){$\frac{U_0}{R}$} \multiput(24,73)(4,0){21}{\line(1,0){2}} \qbezier(25,50)(34,72.5)(80,72.5) \qbezier(25,73)(34,50.5)(80,50.5) \put(25,50){\line(2,3){15}} \put(25,73){\line(2,-3){15}} \multiput(40,49)(0,4){7}{\line(0,1){2}} \put(37,43){$\tau$} \put(88,87){$U_L$} \put(108,87){$U_R$} \put(108,70){$\scriptstyle U_0$} \qbezier(50,53)(50,43)(55,43) \qbezier(50,70)(50,83)(55,83) \put(57,40){$\scriptstyle U_L$} \put(57,80){$\scriptstyle I(t),\, U_R$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{165pt} \center Ausschaltvorgang \begin{picture}(140,110) \put(20,50){\vector(1,0){120}} \multiput(25,5)(80,0){2}{\vector(0,1){90}} \put(4,87){$I(t)$} \put(11,70){$I_0$} \multiput(24,73)(4,0){21}{\line(1,0){2}} \multiput(24,27)(4,0){21}{\line(1,0){2}} \qbezier(25,27)(34,49.5)(80,49.5) \qbezier(25,73)(34,50.5)(80,50.5) \put(25,73){\line(2,-3){15}} \multiput(40,49)(0,4){7}{\line(0,1){2}} \put(37,43){$\tau$} \put(88,87){$U_L$} \put(108,87){$U_R$} \put(108,70){$\scriptstyle I_0\cdot R$} \put(108,24){$\scriptstyle -I_0\cdot R$} \qbezier(50,45)(50,35)(55,35) \qbezier(50,56)(50,66)(55,66) \put(57,32){$\scriptstyle U_L$} \put(57,63){$\scriptstyle I(t),\, U_R$} \end{picture} \end{minipage} \item Reihen-- und Parallelschaltung nichtgekoppelter Spulen \begin{minipage}{165pt} \center \begin{picture}(140,50) \put(36,2){$U_1$} \put(66,2){$U_2$} \put(96,2){$U_n$} \put(35,35){$L_1$} \put(65,35){$L_2$} \put(95,35){$L_n$} \multiput(27.5,0)(30,0){3}{\put(25,19.8){\vector(4,3){0}} \qbezier(0,20)(12.5,10)(25,20)} \put(0,25){\vector(1,0){15}} \put(4,28){$I$} \multiput(19,25)(102,0){2}{\circle{2}} \multiput(20,25)(30,0){2}{\line(1,0){10}} \multiput(0,0)(30,0){3}{\multiput(30,25)(5,0){4}{\qbezier(0,0)(0,5)(2.5,5)\qbezier(2.5,5)(5,5)(5,0)}} \multiput(80,25)(4,0){3}{\line(1,0){2}} \put(110,25){\line(1,0){10}} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{165pt} \center \begin{picture}(140,100) \put(51,0){$U$} \qbezier(25,17)(55,7)(85,17) \put(85,17){\vector(4,1){0}} \multiput(0,0)(0,30){3}{ \multiput(25,20)(40,0){2}{\line(1,0){20}} \multiput(45,20)(5,0){4}{\qbezier(0,0)(0,5)(2.5,5)\qbezier(2.5,5)(5,5)(5,0)} \put(27.5,23.5){\vector(1,0){15}} } \multiput(0,0)(60,0){2}{ \multiput(25,20)(0,20){2}{\line(0,1){10}} \multiput(25,20)(0,4){7}{\line(0,1){2}} \put(25,50){\line(0,1){30}} } \multiput(5,50)(80,0){2}{\line(1,0){20}} \multiput(4,50)(102,0){2}{\circle{2}} \put(49,28.5){$L_n$} \put(49,58.5){$L_2$} \put(49,88.5){$L_1$} \put(29,27){$I_n$} \put(29,57){$I_2$} \put(29,87){$I_1$} \put(5,55){\vector(1,0){15}} \put(09,57){$I$} \multiput(25,50)(60,0){2}{\circle*{2}} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{165pt} \center \[U = \sum\limits_{i=1}^n U_i, \quad U_i = L_i \cdot \frac{dI}{dt}\] \[U = \sum\limits_{i=1}^n L_i\cdot\frac{dI}{dt} = \underbrace{\left(\sum\limits_{i=1}^n L_i\right)}_{L}\cdot \frac{dI}{dt}\] \bigskip \fbox{\quad $\displaystyle L =\sum\limits_{i=1}^n L_i $ \quad} \end{minipage} \begin{minipage}{165pt} \center \[I = \sum\limits_{i=1}^{n} I_i, \quad \underbrace{\frac{dI}{dt}}_{\frac U L} = \sum\limits_{i=1}^n\underbrace{\frac{dI}{dt}}_{\frac{U}{L_i}}\] \[\frac U L = \sum\limits_{i=1}^n \frac{U}{L_i}\] \bigskip \fbox{\quad $\displaystyle\frac 1 L = \sum\limits_{i=1}^n \frac{1}{L_i} $ \quad} \end{minipage} \bigskip Unverkoppelte Spulen verhalten sich bei Zusammenschaltungen wie Widerstände. \end{enumerate} \newpage \subsection{Gegeninduktivität} \subsubsection{a) Definition} \begin{minipage}{175pt} \center \begin{picture}(100,100) \multiput(0,0)(0,65){2}{ \put(46.6,15){$\Uparrow$} \multiput(48.9,0)(2.1,0){2}{\line(0,1){15}} } \linethickness{1.5pt} \multiput(0,0)(0,35){2}{ \qbezier(20,30)(20,23)(50,23) \qbezier(50,23)(80,23)(80,30) \qbezier(20,30)(20,37)(50,37) \qbezier(50,37)(80,37)(80,30) } \thinlines \qbezier(48.7,30)(47,48)(20,50) \qbezier(50.8,30)(49,50)(20,52) \qbezier(18,51.3)(21,52)(22,54) \qbezier(18,51.3)(20.8,50)(21.8,48) \put(46.6,50){$\Uparrow$} \multiput(48.9,30)(2.1,0){2}{\line(0,1){20}} \put(55,6){$\Phi_{11}$} \put(55,80){$\Phi_{21}= k\cdot\Phi_{11}$} \put(05,27){$w_1$} \put(04,63){$w_2$} \put(0,49){$\Phi_{S1}$} \multiput(0,0)(0,35){2}{\multiput(77,27)(0,6){2}{\line(1,0){20}} \multiput(98,27)(0,6){2}{\circle{2}}} \put(97,36){\vector(-1,0){15}} \put(86,39){$I_1$} \end{picture} \[\Phi_{21} = k_{21} \cdot \Phi_{11}\] \[\Psi_{21} = w_2 \cdot \Phi_{21} = w_2 \cdot k_{21} \cdot \Phi_{11}\] \smallskip \begin{center} \fbox{\quad $M_{21} = \displaystyle \frac{\Psi_{21}}{I_1} $ \quad} \end{center} \end{minipage} \begin{minipage}{175pt} \center \begin{picture}(100,100) \multiput(0,0)(0,65){2}{ \put(46.6,15){$\Uparrow$} \multiput(48.9,0)(2.1,0){2}{\line(0,1){15}} } \linethickness{1.5pt} \multiput(0,0)(0,35){2}{ \qbezier(20,30)(20,23)(50,23) \qbezier(50,23)(80,23)(80,30) \qbezier(20,30)(20,37)(50,37) \qbezier(50,37)(80,37)(80,30) } \thinlines \qbezier(48.7,55)(48.7,42)(20,42) \qbezier(50.8,55)(50.8,40)(20,40) \put(46.6,50){$\Uparrow$} \multiput(48.9,30)(2.1,0){2}{\line(0,1){20}} \put(55,6){$\Phi_{12}=k_{12}\cdot\Phi_{22}$} \put(55,80){$\Phi_{22}$} \put(05,27){$w_1$} \put(04,63){$w_2$} \put(0,39){$\Phi_{S2}$} \multiput(0,0)(0,35){2}{\multiput(77,27)(0,6){2}{\line(1,0){20}} \multiput(98,27)(0,6){2}{\circle{2}}} \put(97,71){\vector(-1,0){15}} \put(86,74){$I_2$} \end{picture} \[\Phi_{12} = k_{12} \cdot \Phi_{22}\] \[\Psi_{12} = w_1 \cdot \Phi_{12} = w_1 \cdot k_{12} \cdot \Phi_{22}\] \smallskip \begin{center} \fbox{\quad $M_{12} = \displaystyle \frac{\Psi_{12}}{I_2} $ \quad} \end{center} \end{minipage} \bigskip \begin{center} \fbox{\quad $\displaystyle \textrm{Gegeninduktivität } M = \frac{\textrm{Induktionsfluß durch Induktionsspule}}{\textrm{Strom durch Erregerspule}} $ \quad} \end{center} Maßeinheit: $[M_{12}] = [M_{21}] = \frac{[\Psi]}{[I]} = \mathrm{\frac{Vs}{A}} = 1\,\mathrm{H}$ \subsubsection{b) Bemessungsgleichungen} \[\Psi_{21} = w_2 k_{21} \Phi_{11} = k_{21} \frac{w_2}{w_1} \Psi_{11} \; \Big| : I_1 \qquad \Psi_{12} = w_1 k_{12} \Phi_{22} = k_{12} \frac{w_1}{w_2} \Psi_{22} \; \Big| : I_2\] \begin{center}Zusammenhang mit $L_1$ und $L_1$ \[M_{21} = k_{21} \cdot \frac{w_2}{w_1} \cdot L_1 \hspace{3.5cm} M_{12} = k_{12} \cdot \frac{w_1}{w_2}\] Bemessungsgleichungen: \bigskip \fbox{\quad $\displaystyle M_{21} = k_{21} \cdot \frac{w_1 \cdot w_2}{R_{m1}}$ \quad} \hspace{1.5cm} \fbox{\quad $\displaystyle M_{12} = k_{12} \cdot \frac{w_2 \cdot w_1}{R_{m2}}$ \quad} \end{center} \subsubsection{c) Reziprozitätssatz} Bei linearer Abhängigkeit $I \longrightarrow \Psi$ gilt: \begin{center} \fbox{\quad $M_{12} = M_{21} = M \vphantom{\Big|}$ \quad} \end{center} Damit folgt aus (4.7.4b): $M^2 = M_{21} \cdot M_{12} = k_{12} \cdot k_{21} \cdot L_1 \cdot L_2$ \begin{center} \fbox{\quad $\vphantom{\Big|} M = k \cdot \sqrt{L_1 \cdot L_2}$ \quad} \quad \fbox{\quad $\vphantom{\Big|}k = \sqrt{k_{12} \cdot k_{21}}$ \quad} \quad $k$ : Koppelfaktor \end{center} \subsubsection{d) Streufaktor} \begin{minipage}{150pt} $\xymatrix{ \Phi_{S1} & & \Phi_{21}\\ & \ar @/^/ [ul]_{\sigma_{21}}^{1-k_{21}}\Phi_{22} \ar @/_/ [ur]_{k_{21}}\\ } $ \end{minipage} \begin{minipage}{200pt} $\sigma_{21} = 1 - k_{21}$, \quad analog \quad $\sigma_{12} = 1 - k_{12}$ \end{minipage} \bigskip \[k = \sqrt{k_{12} \cdot k_{21}} = \sqrt{(1-\sigma_{12})\cdot (1-\sigma_{21})} = \sqrt{1-(\sigma_{12} + \sigma_{21}) + \sigma_{12}\cdot\sigma_{21} }\] \[\sigma = (\sigma_{12} + \sigma_{21}) + \sigma_{12}\cdot\sigma_{21} \approx \sigma_{12} + \sigma_{21} \quad\textrm{ für } \sigma_{12},\,\sigma{21} \ll 1\] \begin{center} \fbox{\quad $k = \sqrt{1-\sigma} \qquad \sigma = 1-k^2 \vphantom{\Big|}$ \quad} \end{center} \subsubsection{e) Kenngrößen zweier gekoppelter Spulen (Zweitor)} \begin{minipage}{80pt} \begin{picture}(75,50) \multiput(0,0)(52,0){2}{\multiput(5,5)(0,35){2}{\circle{2}}} \multiput(0,0)(0,35){2}{\multiput(6,5)(35,0){2}{\line(1,0){15}}} \multiput(0,0)(20,0){2}{\multiput(21,5)(0,27.5){2}{\line(0,1){7.5}}} \multiput(21,12.5)(0,5){4}{\qbezier(0,0)(5,0)(5,2.5)\qbezier(5,2.5)(5,5)(0,5)} \multiput(41,12.5)(0,5){4}{\qbezier(0,0)(-5,0)(-5,2.5)\qbezier(-5,2.5)(-5,5)(0,5)} \qbezier(22.8,40)(30.8,45)(38.8,40) \put(23,40){\vector(-2,-1){0}} \put(39,40){\vector(2,-1){0}} \put(26,47){$M$} \put(08,20){$L_1$} \put(43,20){$L_2$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{275pt} Das Zweitor läßt sich durch drei Kenngrößen charakterisieren: \begin{center} \fbox{$L_1,\, L_2,\, M$} \quad $L_1,\, M,\, k$ \quad \fbox{$L_1,\, L_2,\, k$} \smallskip $L_1, \, M,\, \sigma$ \quad $L_1,\,L_2,\,\sigma$ \end{center} \end{minipage} \subsubsection{f) Beispiel (Aufgabe 3.58)} \begin{center} \begin{picture}(200,100) \multiput(50,30)(0,60){2}{\line(1,0){105}} \multiput(50,30)(105,0){2}{\line(0,1){60}} \multiput(0,0)(45,0){2}{\multiput(65,45)(30,0){2}{\line(0,1){30}} \multiput(65,45)(0,30){2}{\line(1,0){30}}} \linethickness{0.2pt} \multiput(0,0)(0,45){2}{\multiput(55,37.5)(45,0){3}{\line(1,0){5}} \multiput(57.5,35)(45,0){3}{\line(0,1){5}}} \multiput(0,0)(45,0){3}{\multiput(57.5,15)(0,4){5}{\line(0,1){2}}} \multiput(152,37.5)(4,0){5}{\line(1,0){2}} \multiput(152,82.5)(4,0){5}{\line(1,0){2}} \thinlines \multiput(57.5,16)(45,0){2}{\vector(1,0){45}} \multiput(102.5,16)(45,0){2}{\vector(-1,0){45}} \multiput(77,8)(45,0){2}{$a$} \put(169,37.5){\vector(0,1){45}} \put(169,82.5){\vector(0,-1){45}} \put(172,57){$a$} \put(25,30){ \multiput(-0.2,0)(0,4.6){4}{ \qbezier(40,20)(43,20)(43,22) \qbezier(43,22)(43,26)(32.5,26)} \multiput(-0.2,0)(0,4.6){3}{ \qbezier(32.5,26)(21.5,26)(21.5,24) \qbezier(21.5,24)(21.5,22)(25,22)} \qbezier(32.5,39.8)(25,40)(25,40)} \multiput(40,50)(0,20){2}{\line(1,0){10}} \multiput(39,50)(0,20){2}{\circle{2}} \put(23,57){$U_1$} \put(20,70){\vector(1,0){15}} \put(09,67){$I_1$} \put(70,30){ \multiput(-0.2,0)(0,4.6){4}{ \qbezier(25,20)(22,20)(22,22) \qbezier(22,22)(22,26)(32.5,26)} \multiput(-0.2,0)(0,4.6){3}{ \qbezier(32.5,26)(43.5,26)(43.5,24) \qbezier(43.5,24)(43.5,22)(40,22)} \qbezier(32.5,39.8)(40,40)(40,40) } \multiput(110,50)(0,20){2}{\line(1,0){10}} \multiput(121,50)(0,20){2}{\circle{2}} \put(124,57){$U_2$} \multiput(39,67)(82,0){2}{\vector(0,-1){14}} \put(138,70){\vector(-1,0){13}} \put(142,67){$I_2$} \put(68,79){$A,\,\mu_r$} \put(71,63){$w_1$} \put(78,51){$w_2$} \end{picture} \end{center} \begin{enumerate} \item Erregung durch $I_1$, $I_2 = 0$ \begin{minipage}{180pt} \begin{picture}(180,75) \put(0,17){$I_1 \!\cdot\! w_1\,\!\Big\downarrow$} \put(45,20){\circle{20}} \put(45,0){\line(0,1){40}} \put(45,60){\line(0,1){10}} \multiput(40,40)(0,20){2}{\line(1,0){10}} \multiput(40,40)(10,0){2}{\line(0,1){20}} \multiput(45,0)(0,70){2}{\line(1,0){100}} \multiput(95,0)(50,0){2}{ \multiput(0,0)(0,45){2}{\line(0,1){25}} \multiput(-5,25)(10,0){2}{\line(0,1){20}} \multiput(-5,25)(0,20){2}{\line(1,0){10}} } \multiput(95,0)(0,70){2}{\circle*{2}} \put(16,46){$3 R_m$} \put(72,32){$R_m$} \put(153,32){$3 R_m$} \put(52,46.5){$\Big\uparrow \Phi_{11}$} \put(102.5,32){$\Big\downarrow \Phi_{21}$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{150pt} Magnetischer Widerstand $R_m$: \[R_m = \frac{a}{\mu_r \cdot A}\] \end{minipage} \bigskip $\displaystyle \Phi_{11} = \frac{I_1 \cdot w_1}{R_{m1}} = \frac{I_1 \cdot w_1}{3R_m + 3R_m \parallel R_m} = \frac{4 \cdot I_1 \cdot w_1}{15 \cdot R_m}$ \bigskip $\displaystyle \Psi_{11} = w_1 \cdot \Phi_{11} = \frac{4}{15} \cdot \frac{{w_1}^2}{R_m} \cdot I_1 \quad \longrightarrow \quad L_1 = \frac{\Psi_{11}}{I_1} = \frac{4}{15} \cdot \frac{{w_1}^2}{R_m}$ \bigskip $\displaystyle \Phi_{21} = \frac{3 R_m}{4 R_m} \cdot \Phi_{11} \quad \longrightarrow \quad k_{21} = \frac{\Phi_{21}}{\Phi_{11}} = \frac 3 4$ \bigskip $\displaystyle \Psi_{21} = w_2 \cdot \Phi_{21} = \frac 3 4 \cdot w_2 \cdot \Phi_{11} = \frac{w_1 \cdot w_2}{5 \cdot R_m} \cdot I \quad \Rightarrow \quad M_{21} = \frac{\Psi_{21}}{I_1} = \frac{w_1 \cdot w_2}{5 \cdot R_m}$ \smallskip \item Erregung durch $I_2$, $I_1 = 0$ \begin{center} \begin{picture}(180,75) \put(50,17){$I_2 \!\cdot\! w_2\,\!\Big\downarrow$} \put(95,20){\circle{20}} \put(95,0){\line(0,1){40}} \put(95,60){\line(0,1){10}} \multiput(90,40)(0,20){2}{\line(1,0){10}} \multiput(90,40)(10,0){2}{\line(0,1){20}} \multiput(45,0)(0,70){2}{\line(1,0){100}} \multiput(45,0)(100,0){2}{ \multiput(0,0)(0,45){2}{\line(0,1){25}} \multiput(-5,25)(10,0){2}{\line(0,1){20}} \multiput(-5,25)(0,20){2}{\line(1,0){10}} } \multiput(95,0)(0,70){2}{\circle*{2}} \put(16,32){$3 R_m$} \put(72,46){$R_m$} \put(153,32){$3 R_m$} \put(16,54){$\Phi_{12}\Big\uparrow$} \put(102.5,47){$\Big\downarrow \Phi_{22}$} \end{picture} \end{center} $\displaystyle \Phi_{22} = \frac{I_2 \cdot w_2}{R_{m2}} = \frac{I_2 \cdot w_2}{R_m + 3R_m \parallel 3R_m} = \frac{2 \cdot I_2 \cdot w_2}{5 \cdot R_m}$ \bigskip $\displaystyle \Psi_{22} = w_2 \cdot \Phi_{22} = \frac{2}{5} \cdot \frac{I_2 \cdot {w_2}^2}{R_m} \quad \longrightarrow \quad L_2 = \frac{2}{5} \cdot\frac{{w_2}^2}{R_m} $ \bigskip $\displaystyle \Phi_{12} = \frac{1}{2} \cdot \Phi_{22} \quad \longrightarrow \quad k_{12} = 0,\!5$ \bigskip $\displaystyle \Psi_{12} = w_1 \cdot \Phi_{21} = \frac{w_1}{2} \cdot \Phi_{22} = \frac{w_1 \cdot w_2}{5 \cdot R_m} \cdot I_2 \quad \Rightarrow \quad M_{12} = \frac{\Psi_{12}}{I_2} = \frac{w_1 \cdot w_2}{5 \cdot R_m}$ \item Kenngrößen $\displaystyle L_1 = \frac{4}{15} \cdot \frac{{w_1}^2}{R_m}, \quad L_2 = \frac{2}{5} \cdot \frac{{w_2}^2}{R_m}, \quad M = M_{12} = M_{21} = \frac{w_1 \cdot w_2}{5 \cdot R_m}$ \smallskip $k_{21} = \frac 3 4, \quad k_{12} = \frac 1 2 \quad \longrightarrow \quad k = \sqrt{k_{12} \cdot k_{21}} = \sqrt{\frac{3}{8}} \approx 0,\!63$ \smallskip $\sigma = 1 - k^2 = 1 - \frac 3 8 = \frac 5 8 = 0,\!625$ \item Gesamtfluß, $I_1 \ne 0$, $I_2 \ne 0$ \smallskip Spule 1: $\Phi_1 = \Phi_{11} + \Phi_{12} \quad \stackrel{\cdot w_1}{\longrightarrow} \quad \Psi_1 = \Psi_{11} + \Psi_{12}$ Spule 2: $\Phi_2 = \Phi_{21} + \Phi_{22} \quad \stackrel{\cdot w_2}{\longrightarrow} \quad \Psi_2 = \Psi_{21} + \Psi_{22}$ \bigskip $\Psi_1 = L_1 \cdot I_1 + M \cdot I_2$, \quad $\Psi_2 = M \cdot I_1 + L_2 \cdot I_2$ \smallskip $L_1 = \frac{\Psi_{11}}{I_1}, \quad L_2 = \frac{\Psi_{22}}{I_2}, \quad M_{12} = \frac{\Psi_{12}}{I_2}, \quad M_{21} = \frac{\Psi_{21}}{I_1}$ \end{enumerate} \subsection{Strom-Spannungsbeziehungen an Gegeninduktivitäten} \subsubsection{a) Grundbeziehungen} \begin{minipage}{110pt} \begin{picture}(100,55) \put(20,0){ \multiput(0,0)(52,0){2}{\multiput(5,5)(0,35){2}{\circle{2}}} \multiput(0,0)(0,35){2}{\multiput(6,5)(35,0){2}{\line(1,0){15}}} \multiput(0,0)(20,0){2}{\multiput(21,5)(0,27.5){2}{\line(0,1){7.5}}} \multiput(21,12.5)(0,5){4}{\qbezier(0,0)(5,0)(5,2.5)\qbezier(5,2.5)(5,5)(0,5)} \multiput(41,12.5)(0,5){4}{\qbezier(0,0)(-5,0)(-5,2.5)\qbezier(-5,2.5)(-5,5)(0,5)} \qbezier(22.8,40)(30.8,45)(38.8,40) \put(23,40){\vector(-2,-1){0}} \put(39,40){\vector(2,-1){0}} \put(26,47){$M$} \put(08,20){$L_1$} \put(43,20){$L_2$}} \multiput(25,37)(52,0){2}{\vector(0,-1){29}} \put(10,20){$U_1$} \put(81,20){$U_2$} \put(0,40){\vector(1,0){20}} \put(5,43){$I_1$} \put(103,40){\vector(-1,0){20}} \put(89,43){$I_2$} \multiput(37,34)(28,0){2}{\circle*{3}} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{245pt} Punkt gibt Windungsanfang an. Ströme, die am Punkt in die Spule hineinfließen, erzeugen Flüsse, die sich addieren. \end{minipage} \bigskip $\Psi_1 = L_1 \cdot I_1 + M_{12} \cdot I_2 \quad \stackrel{\frac{d}{dt}}{\longrightarrow} \quad U_1 = \displaystyle \frac{d\Psi_1}{dt} = L_1 \cdot \frac{dI_1}{dt} + M_{12} \cdot \frac{dI_2}{dt}$ \bigskip $\Psi_2 = M_{21} \cdot I_1 + L_2 \cdot I_2 \quad \stackrel{\frac{d}{dt}}{\longrightarrow} \quad U_2 = \displaystyle \frac{d\Psi_2}{dt} = M_{21} \cdot \frac{dI_1}{dt} + L_2 \cdot \frac{dI_2}{dt}$ \bigskip \begin{minipage}{160pt} \framebox{ %% das geht sicher auch eleganter ;) \quad \begin{minipage}{135pt} \smallskip $U_1 = \displaystyle L_1 \cdot \frac{dI_1}{dt} + M_{12} \cdot \frac{dI_2}{dt}$ \bigskip $U_2 = \displaystyle M_{21} \cdot \frac{dI_1}{dt} + L_2 \cdot \frac{dI_2}{dt}$ \smallskip \end{minipage} } \end{minipage} \begin{minipage}{195pt} \center Trafogleichungen (verlustfreier Transformator) \end{minipage} \subsubsection{b) Beispiele und Anwendungen} \begin{enumerate} \item Messung der Gegeninduktivität $I_1 = 0$, \quad $U_1 = M_{12} \cdot \frac{dI_2}{dt}$, \quad $I_2 = \hat{I}_2 \sin \omega t$ \begin{minipage}{130pt} \begin{picture}(125,45) \put(20,0){ \multiput(0,0)(0,35){2}{\multiput(-4,5)(45,0){2}{\line(1,0){25}}} \multiput(0,0)(20,0){2}{\multiput(21,5)(0,27.5){2}{\line(0,1){7.5}}} \multiput(21,12.5)(0,5){4}{\qbezier(0,0)(5,0)(5,2.5)\qbezier(5,2.5)(5,5)(0,5)} \multiput(41,12.5)(0,5){4}{\qbezier(0,0)(-5,0)(-5,2.5)\qbezier(-5,2.5)(-5,5)(0,5)}} \multiput(16,22.5)(70,0){2}{\circle{20}} \put(12,19){$\mathrm{V}$} \multiput(0,0)(70,0){2}{\multiput(16,5)(0,27.5){2}{\line(0,1){7.5}}} \put(76,22.5){\line(1,0){20}} \put(97,19.5){$\Big\uparrow\!\, I_2(t)$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{200pt} \quad $U_1 = \underbrace{M_{12} \cdot \omega \cdot \hat{I}_2}_{\hat{U}_1} \cdot \cos \omega t = \hat{U}_1 \cdot \cos \omega t$ \end{minipage} $\hat{U}_1 = \omega \cdot M_{12} \cdot \hat{I}_2\,$ (Spitzenwerte) \quad $\!\stackrel{\cdot\sqrt{2}}{\longrightarrow} \quad {U}_1 = \omega \cdot M_{12} \cdot {I}_2\,$ (Effektivwerte) \smallskip $\displaystyle \Rightarrow M_{12} = \frac{U_1}{\omega \cdot I_2} = \frac{U_1}{2\pi \cdot f \cdot I_2}$ \smallskip Für $I_2 = 0$, $I_1 = \hat{I}_1 \cdot \sin\omega t$ ergibt sich analog: $\displaystyle M_{21} = \frac{U_2}{\omega \cdot I_1} = \frac{U_2}{2\pi \cdot f \cdot I_1}$ \bigskip Zahlenbeispiel: $I_1 = 0,\!1\,\mathrm{mA}$, $f = 1\,\mathrm{kHz}$, $U_2 = 2,\!55\,\mathrm{V}$ $\displaystyle M = \frac{2,\!55\,\mathrm{Vs}}{2\pi \cdot 10^3 \cdot 10^{-4}\,\mathrm{A}} = 4,\!15\,\mathrm H$ \item Spannungsübersetzung bei Leerlauf ($I_2 = 0$) $\displaystyle \left.\begin{array}{lll}\vphantom{\Big|}U_1 & = & L_1 \cdot \frac{dI_1}{dt}\\\vphantom{\Big|} U_2 & = & M \cdot \frac{dI_1}{dt}\end{array}\right\} \; \frac{U_1}{U_2} = \frac{L_1}{M} = \frac{L_1}{k\cdot\sqrt{L_1 \cdot L_2}} = \frac{1}{k}\underbrace{\sqrt{\frac{L_1}{L_2}}}_{\textnormal{\emph ü}} = \frac{\textnormal{\emph ü}}{k}$ \smallskip \emph{ü} : Übersetzungsverhältnis % brrrpfui, aber \" geht nicht im mathe-modus :( Spezialfall: $R_{m1} = R_{m2}$,\quad $L_1 = \frac{{w_1}^2}{R_m}$, $L_2 = \frac{{w_2}^2}{R_m}$ \quad $\Rightarrow \displaystyle \textnormal{\emph ü} = \sqrt{\frac{L_1}{L_2}} = \frac{w_1}{w_2}$ \item Stromübersetzung bei Kurzschluss ($U_2 = 0$) $\displaystyle U_2 = M \cdot \frac{dI_1}{dt} + L_2 \cdot\frac{dI_2}{dt} = 0 \Rightarrow \frac{dI_1}{dt} = - \frac{L_2}{M} \cdot \frac{dI_2}{dt}$ Integration: $\displaystyle I_1(t) = -\frac{L_2}{M} \cdot I_2(t) + I_{10} \qquad (I_{10} = 0)$ \[\Rightarrow \frac{I_1}{I_2} = - \frac{L_2}{M} = - \frac{L_2}{k \cdot\sqrt{L_1 \cdot L_2}} = \frac 1 k \cdot \sqrt{\frac{L_2}{L_1}} = - \frac 1{k\textnormal{\emph ü}}\] \item Reihenschaltung verkoppelter Spulen \begin{minipage}{80pt} \begin{picture}(75,90) \multiput(10,0)(0,30){2}{\multiput(30,15)(0,5){4}{\qbezier(0,0)(5,0)(5,2.5)\qbezier(5,2.5)(5,5)(0,5)}} \multiput(20,10)(0,60){2}{\line(1,0){20}} \multiput(40,10)(0,55){2}{\line(0,1){5}} \put(40,35){\line(0,1){10}} \multiput(19,10)(0,60){2}{\circle{2}} \put(0,70){\vector(1,0){15}} \put(19,67){\vector(0,-1){54}} \put(4,73){$I$} \put(8,37){$U$} \put(21,37){$M$} \qbezier(37,55)(30,40)(37,25) \put(37,55){\vector(1,3){0}} \put(37,25){\vector(1,-3){0}} \multiput(45,38)(0,30){2}{\circle*{3}} \put(45,12){\circle*{3}} \put(48,10){$\scriptscriptstyle (b)$} \put(48,36){$\scriptscriptstyle (a)$} \multiput(0,0)(0,30){2}{\qbezier(58,12.5)(63,25)(58,37.5) \put(58.2,12.5){\vector(-1,-3){0}}} \put(64,22){$U_2$} \put(64,52){$U_1$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{250pt} \[I = I_1 + I_2 \qquad U = U_1 + U_2\] \[U = \underbrace{L_1 \cdot \frac{dI}{dt} + M\cdot \frac{dI}{dt}}_{\displaystyle U_1} + \underbrace{M\cdot \frac{dI}{dt} + L_2\cdot \frac{dI}{dt}}_{\displaystyle U_2}\] \end{minipage} \[U = (L_1 + L_2 + 2M) \cdot \frac{dI}{dt}\] gleichsinnige Kopplung ($a$): $L_a = L_1 + L_2 + 2M$ gegensinnige Kopplung ($b$): $L_a = L_1 + L_2 - 2M$ \bigskip Zahlenbeispiel: $L_a = 22,\!2\,\mathrm{H}$, $L_b = 5,\!7\,\mathrm{H} \Rightarrow M = \frac{L_a-L_b}{4} = 4,\!125\,\mathrm{H}$ \end{enumerate} \section{Energie im Magnetfeld} \subsection{Allgemeine Energiebeziehung} \begin{minipage}{70pt} \begin{picture}(70,50) \put(0,17){$P\! \Rightarrow$} \multiput(35,0)(0,40){2}{\circle{2}} \multiput(36,0)(0,40){2}{\line(1,0){14}} \multiput(50,0)(0,30){2}{\line(0,1){10}} \multiput(50,10)(0,5){4}{\qbezier(0,0)(5,0)(5,2.5)\qbezier(5,2.5)(5,5)(0,5)} \put(35,37){\vector(0,-1){34}} \put(25,17){$U$} \put(14,40){\vector(1,0){15}} \put(20,43){$I$} \qbezier(55,5)(49,20)(55,35) \put(55,36){$\Psi$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{285pt} \[P = U \cdot I = \frac{dW}{dt}\] \[dW = U \cdot I \cdot dt = I \cdot \underbrace{U\,dt}_{d\Psi} \qquad \left(U = \frac{d\Psi}{dt}\right)\] \end{minipage} \[dW = I \cdot d\Psi \qquad \Big|\scriptstyle \int\] \begin{center} \fbox{\quad$\displaystyle W(\Psi) = W(\Psi_1) + \int\limits_{\Psi_1}^{\Psi_2} I\,d\Psi' $\quad} \quad allgemeine Energiebeziehung \end{center} \newpage \begin{minipage}{110pt} \begin{picture}(100,90) \put(15,10){\vector(0,1){80}} \put(10,15){\vector(1,0){95}} \qbezier(15,15)(45,20)(55,45) \qbezier(55,45)(65,70)(95,75) \put(14,25){\line(1,0){26}} \put(14,60){\line(1,0){50.5}} \put(15,45){\line(1,0){40}} \put(15,47){\line(1,0){40.7}} \multiput(15,45)(2,0){20}{\qbezier(0,0)(2,2)(2,2)} \multiput(0,0)(5,0){5}{\qbezier(15,25)(35,45)(35,45)} \qbezier(15,30)(30,45)(30,45) \qbezier(15,35)(25,45)(25,45) \qbezier(15,40)(20,45)(20,45) \multiput(0,0)(5,0){7}{\qbezier(17,47)(30,60)(30,60)} \qbezier(52,47)(60,55)(61,56) \qbezier(15,50)(25,60)(25,60) \qbezier(15,55)(20,60)(20,60) \put(0,22){$\Psi_1$} \put(0,57){$\Psi_2$} \put(3,81){$\Psi$} \put(97,3){$I$} \put(0,43.5){$\scriptstyle dW$} \put(45,65){$W$} \qbezier(43,68)(33,67)(32,60) \multiput(40,14)(0,4){3}{\line(0,1){2}} \multiput(64.5,14)(0,4){12}{\line(0,1){2}} \put(28,4){$\scriptstyle I(\Psi_1)$} \put(52.5,4){$\scriptstyle I(\Psi_2)$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{245pt} Die Energie geht aus dem Stromkreis in das magnetische Feld und wird dort gespeichert (magnetische Feldenergie) \end{minipage} \subsection[Linearer Phi-I-Zusammenhang]{Linearer $\Phi$--$I$--Zusammenhang} \begin{minipage}{130pt} \begin{picture}(100,95) \put(15,10){\vector(0,1){80}} \put(10,15){\vector(1,0){95}} \put(0,27){$\Psi_1$} \put(0,62){$\Psi_2$} \put(3,81){$\Psi$} \put(97,3){$I$} \put(45,70){$W$} \qbezier(43,73)(33,70)(32,65) \put(18,4){$\scriptstyle I(\Psi_1)$} \put(52.5,4){$\scriptstyle I(\Psi_2)$} \put(15,15){\line(1,1){55}} \put(30,15){\line(0,1){15}} \put(64.5,15){\line(0,1){50}} \put(15,30){\line(1,0){15}} \put(15,65){\line(1,0){50}} \multiput(25,30)(-5,0){3}{\line(1,1){35}} \put(15,35){\line(1,1){30}} \put(15,40){\line(1,1){25}} \put(15,45){\line(1,1){20}} \put(15,50){\line(1,1){15}} \put(15,55){\line(1,1){10}} \qbezier(15,60)(20,65)(20,65) \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{225pt} \[\Psi = L \cdot I \qquad d\Psi = L\cdot dI\] Strom: $I_1 \longrightarrow I_2$ \smallskip Induktionsfluß: $\Psi_1 \longrightarrow \Psi_2$ \end{minipage} \smallskip \[W(\Psi_2) = W(\Psi_1) + \int\limits_{I_1}^{I_2} I \cdot L \cdot dI = W(\Psi_1) + \frac L 2 \left({I_2}^2 - {I_1}^2\right)\] \paragraph{Spezialfall} $0 \ldots I$, $W(0) = 0$ \begin{center} \fbox{\quad $\displaystyle W = \frac L 2 \cdot I^2$ \quad} \quad analog: $\displaystyle W = \frac C 2 \cdot U^2$ \end{center} In einer Induktivität mit Strom $I$ gespeicherte Energie. \paragraph{Beispiel:} DC--DC--Wandler \begin{minipage}{140pt} \begin{picture}(140,75) \put(2,27){$I_0\Big\downarrow$} \multiput(0,0)(40,0){2}{\multiput(30,0)(0,40){2}{\line(0,1){20}}} \put(30,30){\circle{20}} \put(20,30){\line(1,0){20}} \put(30,0){\line(1,0){80}} \multiput(70,0)(0,60){2}{\circle*{2}} \multiput(70,20)(0,5){4}{\qbezier(0,0)(-5,0)(-5,2.5)\qbezier(-5,2.5)(-5,5)(0,5)} \multiput(110,0)(0,32){2}{\line(0,1){28}} \thicklines\multiput(102,28)(0,4){2}{\line(1,0){16}}\thinlines \put(30,60){\line(1,0){55}} \multiput(85,53)(10,0){2}{\line(0,1){14}} \qbezier(85,53)(85,53)(94.8,60) \qbezier(85,67)(85,67)(94.8,60) \put(95,60){\line(1,0){15}} \put(73,27){$L$} \put(90,27){$C$} \put(75,42.5){\vector(0,1){15}} \put(77,44.5){$I$} \qbezier(117,10)(127,30)(117,50) \put(117.2,10){\vector(-1,-2){0}} \put(124,27){$U$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{215pt} Auf welche Spannung lädt sich $C$ auf, wenn $I_0$ auf Null springt? \end{minipage} \begin{minipage}{235pt} \[\frac L 2 \cdot {I_0}^2 = \frac C 2 \cdot {U_{max}}^2\] \[\Rightarrow U_{max} = \sqrt{\frac{L}{C}} \cdot I_0\] \end{minipage} \begin{minipage}{120pt} \begin{picture}(100,100) \put(10,15){\vector(1,0){90}} \put(15,10){\vector(0,1){80}} \put(5,81){$I$} \put(2,60){$I_0$} \put(95,4){$t$} \put(13.5,63){\line(1,0){3}} \qbezier(15,63)(50,60)(60,15) \qbezier(15,15)(25,60)(60,63) \put(60,63){\line(1,0){15}} \put(63,67){$U_{max}$} \end{picture} \end{minipage} \subsection{Energiedichte} \begin{minipage}{75pt} \begin{picture}(75,73) \multiput(4,9.5)(0,37){2}{\circle{2}} % yadda yadda \put(8.5,53){$I$} \put(5,50){\vector(1,0){13}} \put(52,46.5){\vector(0,-1){37}} \put(52,9.5){\vector(0,1){37}} \put(55,24){$l$} \multiput(20,20)(0,8){3}{ \qbezier(0,0)(0,-3)(10,-3) \qbezier(10,-3)(15,-3)(20,0) \qbezier(0,0)(0,3)(10,3) \qbezier(10,3)(15,3)(20,0) } \multiput(20,12)(0,8){4}{\qbezier(20,0)(24.3,4)(20,8)} \qbezier(30,9.5)(37,9.5)(40,12) \qbezier(30,46.5)(37,46.5)(40,44) \multiput(0,0)(0,37){2}{\qbezier(5,9.5)(5,9.5)(30,9.5)} \qbezier(23,0)(30,28.5)(23,57) \qbezier(38,0)(31,28.5)(38,57) \put(23.2,57){\vector(-1,4){0}} \put(38.2,57){\vector(1,4){0}} \put(18,60){$\vec B$} \put(34,60){$\vec H$} \put(9,24){$w$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{280pt} \[dW = I \cdot d\Psi = \underbrace{I \cdot w}_{V} \cdot d\Phi = H \cdot l \cdot d\Phi \] \[d\Phi = A \cdot dB \qquad dW = H \cdot dB \cdot \underbrace{A\cdot l}_{\textsf V}\] \end{minipage} \smallskip (NB: $V$ : magnetische Spannung, \textsf{V} : Volumen) \begin{center} $\displaystyle dw = \frac{dW}{\textsf V} = H \cdot dB \quad \Rightarrow \quad$ \fbox{\quad $\displaystyle W = \int\limits_{B_1}^{B_2} H \cdot dB$ \quad} \end{center} \begin{minipage}{120pt} \begin{picture}(100,90) \put(15,10){\vector(0,1){80}} \put(10,15){\vector(1,0){95}} \qbezier(15,15)(45,20)(55,45) \qbezier(55,45)(65,70)(95,75) \put(14,25){\line(1,0){26}} \put(14,60){\line(1,0){50.5}} \multiput(0,0)(5,0){4}{\qbezier(15,25)(35,45)(40,50)} \qbezier(35,25)(60,50)(53,43) \qbezier(15,30)(30,45)(35,50) \qbezier(15,35)(25,45)(30,50) \qbezier(15,40)(20,45)(25,50) \multiput(0,0)(5,0){7}{\qbezier(15,45)(30,60)(30,60)} \qbezier(52,47)(60,55)(61,56) \qbezier(15,50)(25,60)(25,60) \qbezier(15,55)(20,60)(20,60) \put(0,22){$B_1$} \put(0,57){$B_2$} \put(3,81){$B$} \put(97,3){$H$} \put(45,65){$W$} \qbezier(43,68)(33,67)(32,60) \multiput(40,14)(0,4){3}{\line(0,1){2}} \multiput(64.5,14)(0,4){12}{\line(0,1){2}} \put(36,4){$H_1$} \put(60.5,4){$H_2$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{225pt} $W$ : Energiezuwachs pro Volumeneinheit des Magnetfeldes bei Erhöhung der Flußdichte von $B_1$ auf $B_2$. \end{minipage} \paragraph{Linearer Zusammenhang:} $B = \mu \cdot H$, $dB = \mu_0 \cdot dH$ \[W = \mu_0 \int\limits_{H_1}^{H_2} H \cdot dH = \frac{\mu_0}{2} \cdot ({H_2}^2 - {H_1}^2)\] \paragraph{Spezialfall:} $H_1 = 0$, $H_2 = H$ \begin{center} \fbox{\quad $\displaystyle w = \mu_0 \cdot \frac{H^2}{2} = \frac{B \cdot H}{2} = \frac{B^2}{2\mu_0} $ \quad} \quad Energiedichte im Magnetfeld \end{center} (vgl. $w = \frac{DE}{2}$ im elektrischen Feld) \paragraph{Maßeinheiten:} $[w] = \frac{[W]}{[V]} = \mathrm{\frac{Ws}{m^3}} = \mathrm{\frac{Nm}{m^3}} = \mathrm{\frac{N}{m^2}}$ \bigskip Erreichbare Energiedichte in Luft: \smallskip $w = \frac{B\cdot H}{2} = \frac{B^2}{2\mu}$ für $\mu = \mu_0$ und $B =1,\!5\,\mathrm{T} \rightarrow w = 10^6\,\mathrm{\frac{Ws}{m^3}}$ \smallskip Zum Vergleich: $E$--Feld: $w = 40\,\mathrm{\frac{Ws}{m^3}}$ (siehe 3.12.2) \subsection{Energiedichte und Hysteresekurve} \begin{minipage}{130pt} \begin{picture}(120,75) \setlength{\unitlength}{0.8pt} \put(60,0){\vector(0,1){90}} \put(0,45){\vector(1,0){120}} \qbezier(105,80)(55,75)(45,45) \qbezier(105,80)(85,75)(75,45) \put(47.5,51){\vector(1,3){0}} \put(72.5,38){\vector(-1,-3){0}} \qbezier(15,10)(35,15)(45,45) \qbezier(15,10)(65,15)(75,45) \put(110,34){$\scriptstyle H$} \put(47,83){$\scriptstyle B$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{225pt} Die Ummagnetisierungsenergiedichte entspricht der Fläche der Hysteresekurve. \end{minipage} \bigskip \begin{minipage}{130pt} \begin{picture}(120,75) \setlength{\unitlength}{0.8pt} \put(60,0){\vector(0,1){90}} \put(0,45){\vector(1,0){120}} \multiput(30,15)(30,0){2}{\line(1,2){30}} \multiput(30,15)(30,60){2}{\line(1,0){30}} \put(58,75){\line(1,0){3}} \put(75,43){\line(0,1){4}} \put(72,33){$\scriptstyle H_c$} \put(42,72){$\scriptstyle B_m$} \put(110,34){$\scriptstyle H$} \put(47,83){$\scriptstyle B$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{225pt} praktische Größenordnung: (Dynamoblech) \bigskip $H_c = 60\,\mathrm{\frac A m}, \; B_m = 1\,\mathrm T$ \smallskip $w_{um} = 2 H_c \cdot 2 B_m = 240\,\mathrm{\frac{Ws}{m^3}}$ \quad (Trapezfläche) \smallskip \end{minipage} \bigskip Verlustleistung bei $f = 50\,\mathrm{Hz}$: \smallskip $\displaystyle p_V = \frac{P_V}{V} = W_{um} \cdot f = 240\,\mathrm{\frac{Ws}{m^3}} \cdot 50\,\mathrm{Hz} = 12\,\mathrm{\frac{kW}{m^3}}$ \bigskip Verlustleistung pro Masseneinheit: ($\varrho_{\mathrm{Eisen}} = 7,\!8\,\mathrm{\frac{g}{cm^3}})$ \smallskip $\displaystyle p_{Vm} = \frac{P_v}{M} = \underbrace{\frac{P_v}{V}}_{p_V} \cdot \underbrace{\frac{V}{M}}_{\varrho^{-1}} = \frac{p_V}{\varrho} = 1,\!5\,\mathrm{\frac{W}{kg}}$ \section{Kraftwirkungen im Magnetfeld} \subsection{Globale Kraftgleichung} \begin{minipage}{190pt} \begin{picture}(187,110) \put(0,32){$I\Big\uparrow$} \multiput(25,5)(0,40){2}{\line(0,1){20}} \put(25,35){\circle{20}} \put(15,35){\line(1,0){20}} \multiput(25,5)(0,60){2}{\line(1,0){75}} \put(44,32){$U$} \put(55,63){\vector(0,-1){56}} \put(61,32){$dW_{el} \Rightarrow$} \multiput(0,0)(75,0){2}{\multiput(102.5,5)(0,5){13}{\circle{5}}} \put(140,60){\vector(0,-1){25}} \multiput(132.5,60)(0,20){2}{\line(1,0){15}} \multiput(132.5,60)(15,0){2}{\line(0,1){20}} \multiput(140,80)(0,22.5){2}{\line(0,1){5}} \qbezier(140,85)(145,87.5)(145,87.5) \multiput(145,87.5)(0,5){3}{\qbezier(0,0)(-10,2.5)(-10,2.5)} \multiput(135,90)(0,5){2}{\qbezier(0,0)(10,2.5)(10,2.5)} \qbezier(135,100)(140,102.5)(140,102.5) \linethickness{0.2pt} \multiput(102.5,2.5)(0,65){2}{\line(1,0){75}} \thinlines \multiput(140,55)(0,5){2}{\line(1,0){15}} \put(152,45){\vector(0,1){10}} \put(152,45){\line(0,1){15}} \put(152,70){\vector(0,-1){10}} \put(157,55){$dx$} \put(128,36){$F$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{167pt} Prinzip der virtuellen Verschiebung \[dW_{el} = dW + dW_{m}\] \begin{eqnarray*} I^2dL & = & d\left(\frac{LI^2}{2}\right) +F\,dx\\ & = & \frac{I^2\,dL}{2} + F\,dx \end{eqnarray*} \end{minipage} \[F = \frac{I^2}{2} \cdot \frac{dL}{dx} \quad \textrm{analog:} \quad F = \frac{I^2}{2} \cdot \frac{dC}{dx}\] \[U = \frac{d\Psi}{dt} = \frac{d(L\cdot I)}{dt} = I \cdot \frac{dL}{dt} \Rightarrow dW_{el} = U \cdot I \cdot dt = I^2 \cdot dL\] \bigskip Die Kraft wirkt in Richtung einer Induktivitätsvergrößerung. \newpage \paragraph{Beispiel:} Elektromagnet \begin{minipage}{120pt} \begin{picture}(120,80) \put(32,65){$I$} \put(40,73){\vector(0,-1){10}} \multiput(45,71)(20,0){2}{\circle{2}} \multiput(45,60)(20,0){2}{\line(0,1){10}} \put(25,60){\line(1,0){60}} \put(40,45){\line(1,0){30}} \multiput(40,15)(30,0){2}{\line(0,1){30}} \multiput(25,15)(60,0){2}{\line(0,1){45}} \multiput(25,15)(45,0){2}{\line(1,0){15}} \multiput(25,20)(4.6,0){4}{ \qbezier(20,25)(20,21.5)(22,21.5) \qbezier(22,21.5)(26,21.5)(26,32.5)} \multiput(25,20)(4.6,0){3}{ \qbezier(26,32.5)(26,43)(24,43) \qbezier(24,43)(22,43)(22,40)} \qbezier(64.8,52.5)(65,60)(65,60) \put(50,32){$w$} \multiput(32.6,15)(45,0){2}{\vector(0,-1){0}} \qbezier(32.5,45)(32.5,52.5)(40,52.5) \qbezier(70,52.5)(77.5,52.5)(77.5,45) \qbezier(40,52.5)(40,52.5)(70,52.5) \qbezier(32.5,15)(32.5,15)(32.5,45) \qbezier(77.5,15)(77.5,15)(77.5,45) \qbezier(70,0)(77.5,0)(77.5,5) \qbezier(40,0)(40,0)(70,0) \qbezier(32.5,5)(32.5,0)(40,0) \multiput(32.6,7.5)(45,0){2}{\vector(0,1){0}} \multiput(25,-7.5)(0,15){2}{\line(1,0){60}} \multiput(25,-7.5)(60,0){2}{\line(0,1){15}} \put(0,20){$l_{Fe}$} \qbezier(8,15)(7,0)(32,0) \qbezier(10,27)(11,35)(30,35) \put(88,15){\line(1,0){10}} \put(93,15){\vector(0,-1){20}} \put(96,-5){$x$} \put(55,0){\vector(0,-1){20}} \put(57,-20){$F$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{235pt} \[F = \frac{I^2}{2}\cdot \frac{dL}{dx} \qquad \qquad L = \frac{w^2}{R_m} \] \begin{eqnarray*} R_m &=& R_{mFe} + R_{mL} = \frac{l_{Fe}}{\mu_0\mu_r \cdot A} + \frac{2\cdot x}{\mu_0 \cdot A}\\ & = & \frac{1}{\mu_0 \cdot A} \cdot \left(\frac{l_{Fe}}{\mu_r} + 2 \cdot x\right) \end{eqnarray*} \end{minipage} \[L(x) = \frac{w^2}{R_m} = \frac{w^2 \cdot \mu_0 \cdot A}{\frac{l_{Fe}}{\mu_r} + 2 \cdot x} \qquad \frac{dL}{dx} = - \frac{w^2 \cdot \mu_0 \cdot A}{\left(\frac{l_{Fe}}{\mu_r} + 2\cdot x\right)^2} \cdot 2\] \[F = \frac{I^2}{2} \cdot \frac{dL}{dx} = - \frac{(I \cdot w)^2 \cdot \mu_0 \cdot A}{\left(\frac{l_{Fe}}{\mu_r} + 2 \cdot x \right)^2}\] \paragraph{Bei Drehbewegungen:} $\displaystyle M = \frac{I^2}{2} \cdot \frac{dL}{d\alpha}$ \subsection{Kraft auf Grenzflächen} \begin{minipage}{116pt} \begin{picture}(110,75) \put(0,37){$\Phi \Bigg\{$} \put(92,36){$\vec B$} \multiput(15,20)(0,40){2}{\line(1,0){30}} \multiput(45,20)(20,0){2}{\line(0,1){40}} \multiput(65,20)(0,40){2}{\line(1,0){30}} \multiput(20,25)(0,10){4}{\vector(1,0){70}} \multiput(74,21)(0,4){10}{\line(0,1){2}} \multiput(65,20)(0,8){5}{\qbezier(0,0)(8,8)(8,8)} \qbezier(61,65)(61,60)(68,57) \put(54,67){$dV$} \put(65,40){\vector(-1,0){10}} \put(46,36){$F$} \put(65,5){\line(0,1){15}} \put(65,12.5){\vector(1,0){9}} \put(67,4){$\scriptstyle dx$} \put(50,8){$A$} \qbezier(45,23)(45,12)(50,12) \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{240pt} \paragraph{Annahme:} $\Phi$ konstant (adiabatischer Vorgang) \[dW +dW_m = 0\] \[\frac{B\cdot H}{2}\cdot dV - F\cdot dx = 0\] \end{minipage} \bigskip \[\displaystyle \frac{B\cdot H}{2}\cdot A \cdot dx = F \cdot dx \quad \Rightarrow \quad p = \frac{B\cdot H}{2} \cdot A\] \begin{center} \fbox{ \quad $\displaystyle p = \frac F A = \frac{B\cdot H}{2} = \frac{\mu_0 \cdot H^2}{2} = \frac{B^2}{2\cdot\mu_0}$ \quad} \quad $\Leftrightarrow$ \quad $\displaystyle p = \frac{D\cdot E}{2}$ \end{center} \paragraph{Zugeschnittene Größengleichung:} $\displaystyle \frac{F}{\mathrm N} = 40 \cdot \left(\frac{B}{\mathrm T}\right)^2 \cdot \frac{A}{\mathrm{cm^2}}$ \paragraph{Zahlenwerte:} $B = 1\,\mathrm T$, $A = 1\,\mathrm{cm}^2 \Rightarrow F = 40\,\mathrm N$ \[p = \frac{40\,\mathrm{N}}{\mathrm{cm^2}} = 40 \cdot \frac{\mathrm N}{10^{-4}\,\mathrm{m^2}} = 400\,\mathrm{kPa}\] \subsection{Kraft auf bewegte Ladungen} \begin{minipage}{115pt} \begin{picture}(110,75) \multiput(0,0)(0,40){2}{\multiput(10,10)(40,0){3}{$\times$}} \put(12,27){$Q$} \put(28,30){\circle*{4}} \put(28,30){\vector(1,0){30}} \put(28,30){\vector(0,1){30}} \put(60,27){$\vec v$} \put(24,62){$\vec F$} \put(91,58){$\vec B$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{240pt} $\vec F = Q \cdot (\vec v \times \vec B)$ \qquad Lorentzkraft \bigskip $\vec F \perp \vec v \Rightarrow$ Ladung erfährt keine Energieänderung \end{minipage} \paragraph{Beispiel:} Elektronen im homogenen Magnetfeld \begin{minipage}{115pt} \begin{picture}(110,90) \multiput(10,0)(0,60){2}{\multiput(10,10)(60,0){2}{$\times$}} \put(35,43){\circle{30}} \put(10,59){\line(1,0){25}} \put(10,59){\vector(1,0){14}} \put(10,59){\circle*{3}} \put(51,43){\vector(1,0){10}} \put(51,43){\vector(-1,0){10}} \put(51,43){\vector(0,-1){10}} \put(51,43){\circle*{3}} \put(31,41){$\scriptstyle \vec F_L$} \put(62,41){$\scriptstyle \vec F_Z$} \put(48,25){$\scriptstyle \vec v$} \put(7,63){$e$} \put(65,70){$\vec B$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{240pt} \[m \cdot \ddot{\vec r} = \vec F = e \cdot (\vec v \times \vec B)\] \paragraph{Lösung:} Kreisbahn \begin{eqnarray*} \frac{m \cdot v^2}{r} & = & e \cdot v \cdot B\\ \textrm{Zentripetalkraft} & = & \textrm{Lorentzkraft} \end{eqnarray*} \end{minipage} \smallskip \paragraph{Bahnradius:} $\displaystyle r = \frac{m \cdot v^2}{e \cdot v \cdot B} \quad \longrightarrow$ \textbf{Umlaufdauer:}\quad$\displaystyle \tau = \frac{2\pi \cdot r}{v} = 2\pi \cdot \frac{m}{e\cdot B}$ \subsection{Kraft auf Leiter im Magnetfeld} \begin{minipage}{120pt} \begin{picture}(90,70) \setlength{\unitlength}{1.2pt} \put(0,10){$I$} \put(5,13){\vector(2,1){10}} \multiput(20.5,18.4)(-2.8,3){2}{\line(2,1){50}} \qbezier(19,18)(17.2,18.2)(17,20) \qbezier(17,20)(17,21.8)(19,22) \qbezier(19,18)(20.8,18)(21,20) \qbezier(21,20)(20.8,21.8)(19,22) \linethickness{0.1pt} \multiput(23,11.5)(4,2){2}{ \qbezier(19,18)(17.2,18.2)(17,20) \qbezier(17,20)(17,21.8)(19,22) \qbezier(19,18)(20.8,18)(21,20) \qbezier(21,20)(20.8,21.8)(19,22) } \thinlines \qbezier(71,45)(70.8,46.8)(69,47) \qbezier(69,47)(68,47)(67.7,46.6) \qbezier(71,45)(70.8,44)(70.1,43.5) \multiput(05,25)(30,15){2}{\vector(1,0){50}} \put(87,37){$\vec B$} \put(45,30.7){\vector(0,-1){15}} \put(39,6){$d\vec F$} \put(45,37){\vector(2,1){0}} \qbezier(40,34.5)(43,36)(43,36) \put(32,34){$\scriptstyle d\vec r$} \put(56,28){$dQ$} \qbezier(44,32)(45,30)(55,31) \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{235pt} \begin{eqnarray*} d\vec F & = & dQ \cdot (\vec v \times \vec B) = dQ\cdot \left(\frac{d\vec r}{d\vec t} \times \vec B\right)\\ d\vec F & = & \underbrace{\frac{dQ}{dt}}_{I} \cdot (d\vec r \times \vec B) = I \cdot (d\vec r \times \vec B) \end{eqnarray*} \end{minipage} \paragraph{Gesamtkraft:} $\vec F = I \cdot \int\limits_A^B (d \vec r \times \vec B)$ \paragraph{Spezialfall:} Leiter gerade, $d\vec r \perp \vec B$, $\vec B$ homogen: $F = I \cdot B \cdot l$ \paragraph{Beispiel:} Parallele Leiter \begin{minipage}{110pt} \begin{picture}(100,100) \put(15,11){\vector(1,0){60}} \multiput(15,20)(35,0){2}{\vector(0,1){33}} \multiput(15,20)(35,0){2}{\line(0,1){60}} \multiput(15,9)(35,0){2}{\line(0,1){4}} \put(12.2,0){$0$} \put(45,0){$r_1$} \put(70,0){$r$} \put(2,47){$I_1$} \put(37,47){$I_2$} \multiput(50,35)(0,30){2}{\vector(-1,0){20}} \multiput(50,35)(0,30){2}{\vector(1,1){13}} \multiput(63,45)(0,30){2}{$\vec B$} \multiput(20,32)(0,30){2}{$\vec F$} \put(80,20){\vector(0,1){60}} \put(80,80){\vector(0,-1){60}} \multiput(78,20)(0,60){2}{\line(1,0){4}} \put(83,47){$l$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{245pt} $\displaystyle I-1 \longrightarrow H_1 = \frac{H_1}{2\pi r_1} \Rightarrow B_1 = \mu_0 \frac{H_1}{2\pi r_1}$ \smallskip $\displaystyle F = I_2 \cdot B_1 \cdot l = \mu_0 \frac{I_1 \cdot I_2}{2\pi r_1} \cdot l$ \bigskip Gleichgerichtete Ströme ziehen einander an, entgegengerichtete Ströme stoßen einander ab. \end{minipage} \paragraph{Definition:} Stromstärkeeinheit $1\,\mathrm A$ \[I_1 = I_2 = 1\,\mathrm A, \quad r = 1\,\mathrm m,\quad l = 1\,\mathrm m,\quad F = 2 \cdot 10^{-7}\,\mathrm N\] Daraus folgt für $\mu_0$: $\displaystyle 2 \cdot 10^{-7}\,\mathrm N = \mu_0 \cdot \frac{(1\,\mathrm A)^2}{2\pi}$ \[\Rightarrow \mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\,\mathrm{\frac{Nm}{A^2m}} = \frac{4\pi}{10} \cdot 10^{-6}\,\mathrm{\frac{Vs}{Am}} = \frac{4\pi}{10} \mathrm{\frac{\mu H}{m}} \] \end{document}