% Version vom 05. Dezember 2004 \documentclass[11pt,a4paper]{report} \usepackage[ansinew]{inputenc} \usepackage{amssymb} \usepackage{makeidx} \makeindex \usepackage{wasysym} \usepackage{ngerman,latexsym,alltt,graphicx,textcomp} \usepackage[bookmarks, colorlinks=false, pdftitle={Mitschrift Mathematik I Prof. Dr. Sasvari WS 03/04}, pdfauthor={Fabian Kurz}, pdfsubject={Mathematik}, pdfkeywords={Mathematik Elektrotechnik}, linkbordercolor={1 1 1}]{hyperref} \usepackage{xy} \input xy \xyoption{all} \date{Zuletzt aktualisiert:\\\today} \author{Fabian~Kurz\\\href{http://fkurz.net/}{http://fkurz.net/}} \title{Mathematik I für Elektrotechniker -- WS 03/04\\Prof. Dr. Sasv\'ari\\Mitschrift} \begin{document} \maketitle \pagenumbering{Roman} \tableofcontents \chapter{Grundlagen} \pagenumbering{arabic} \section{Mengenlehre} \subsection{Begriffe, Schreibweisen} \textsc{Georg Cantor} (1845--1918): Entwicklung der sogenannten \textit{naiven Mengenlehre}\index{naive Mengenlehre} in der 2. Hälfte des 19. Jahrhunderts. \begin{description} \item[Definition:] (\textsc{Cantor}, 1874): Unter einer \textit{Menge} verstehen wir eine gewisse Zusammenfassung \(M\) von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten \(m\) unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche \textit{Elemente} von \(M\) genannt werden) zu einem Ganzen. (NB: eigentlich keine mathematische Definition!) \end{description} \bigskip \begin{description} \item[Beispiele:] \smallskip \(M_{1}\) : die Menge aller natürlichen Zahlen \(M_{2}\) : die Menge aller Primzahlen \(M_{3}\) : die Menge aller natürlichen Zahlen, die größer als 5 und kleiner als 10 sind. \end{description} \bigskip Man unterscheidet \textit{endliche} und \textit{unendliche Mengen}. \(M_{1}\) und \(M_{2}\) sind unendliche Mengen, \(M_{3}\) ist eine endliche Menge. \bigskip \begin{description} \item[Element-Zeichen:] \( \in \) \qquad z.B. \(5 \in M\) bedeutet "`5 ist Element von \(M\)"'. Dieses Zeichen kann negiert werden, z.B. \(100 \notin M_{3}\). \end{description} \bigskip \newpage \begin{description} \item[Beschreibung einer Menge:] \end{description} \(M_{3} = \{6,7,8,9\}\) \qquad \(M_{4} = \{M_{1},M_{2}\}\) \smallskip \(M_{5} = \{\emptyset\}\) \qquad (ist \textit{nicht} die leere Menge!) \smallskip \(M_{6} = \{x : x \textnormal{ ist eine ganze Zahl mit } x^{2} < 4000\}\) \begin{description} \item[Definition:]\index{Gleichheit, Mengen} Die Mengen \(A\) und \(B\) heißen \textit{gleich}, wenn jedes Element von \(A\) auch Element von \(B\) ist und jedes Element von \(B\) auch Element von \(A\) ist. \begin{description} \item[Schreibweise:] \(A = B\) und man schreibt \(A \ne B\) wenn \(A\) und \(B\) nicht gleich sind. \end{description} \end{description} \begin{description} \item[Definition:]\index{Teilmenge} Eine Menge \(A\) heißt eine \textit{Teilmenge} einer Menge \(B\), wenn jedes Element von \(A\) auch Element von \(B\) ist. \begin{description} \item[Schreibweise:] \(A \subset B\) oder \(B \supset A\) \end{description} \begin{description} \item[Beispiele:] \(\{1,2,4\} \subset \{1,2,4,7,10\} \qquad \{1,2\} \subset \{1,2\}\) \end{description} \end{description} \begin{description} \item[Für alle Mengen \(A\), \(B\) und \(C\) gilt:] \end{description} \(a)\) \(\emptyset \subset A\) \(b)\) \(A \subset A\) \quad \textit{(Reflexivität)}\index{Reflexivität, Mengen} \(c)\) Wenn \(A \subset B\) und \(B \subset C\) dann \(A \subset C\) \quad \textit{(Transitivität)}\index{Transitivität, Mengen} \bigskip \begin{description} \item[Venn--Diagramme:]\index{Venn--Diagramm} Mengen lassen sich sehr Anschaulich mithilfe von Venn--Diagrammen darstellen: \smallskip \begin{center} \begin{picture}(200,70) \put(25,15){$A$} %% A \put(55,15){$B$} %% A \put(30,50){\circle{50}} %% Menge A \put(60,50){\circle{50}} %% Menge B \put(145,45){$A$} %% A \put(156,35){$B$} %% B \put(150,50){\circle{50}} %% Menge A \put(150,50){\circle{20}} %% Menge B \put(134,15){$A \subset B$} %% A subset B \end{picture} \end{center} \end{description} \bigskip \begin{description} \item[Definition:]\index{Potenzmenge} Die \textit{Potenzmenge} \(P(M)\) einer Menge \(M\) ist die Gesamtheit aller Teilmengen von \(M\). \begin{description} \item[Beispiel:] \quad \(M = \{1,2\} \quad P(M) = \bigg\{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1,2\}\bigg\}\) \end{description} \end{description} \bigskip Die \textsc{Cantor}'sche Definition läßt Mengendefinitionen zu, die zu Widersprüchen führen! \smallskip \textsc{Bertrand Russel}, 1901: Sei \(M\) die Menge aller Mengen, dann muß \(M \in M\) gelten (das ist noch kein Widerspruch!). Wir nennen eine Menge \textit{ungewöhnlich}, wenn sie sich selbst als Element enthält, sonst \textit{gewöhnlich}. Sei \(G\) die Menge aller gewöhnlichen Mengen. Ist \(G\) gewöhnlich oder ungewöhnlich? \bigskip \textit{Barbier--Paradoxon}\index{Barbier--Paradoxon}: Sei \(N\) die Menge aller Männer eines Dorfes, welche sich nicht selbst rasieren. Im Dorf gibt es einen Dorfbarbier, der genau diejenigen Männner des Dorfes rasiert, welche dies nicht selbst tun. Gehört der Dorfbarbier zu \(N\)? \bigskip \(\Rightarrow\)Weiterentwicklung der \textsc{Cantor}'schen Mengenlehre im 20. Jahrhundert: \textit{axiomatische Mengenlehre}\index{axiomatische Mengenlehre}. \subsection{Mengenoperationen}\index{Mengenoperationen} \begin{description} \item[Definition:] \(A\) und \(B\) seien Mengen. Die Menge aller Elemente, die sowohl zu \(A\) als auch zu \(B\) gehören, heißt der \textit{Durchschnitt}\index{Durchschnitt, Mengen} von \(A\) und \(B\). \begin{center} \begin{picture}(100,70) \put(25,50){$A$} %% A \put(55,50){$B$} %% A \put(30,50){\circle{50}} %% Menge A \put(60,50){\circle{50}} %% Menge B \put(43,40){\line(1,2){7}} %% stricheln \put(41,43){\line(1,2){7}} %% stricheln \put(40,48){\line(1,2){6}} %% stricheln \put(32,15){$A \cap B$} \end{picture} \end{center} \begin{description} \item[Schreibweise:] \(A \cap B\) \qquad \(A \cap B = \{x : x \in A \textnormal{ und } x \in B\}\) \end{description} \begin{description} \item[Beispiel:] \(\{-2,-1,0,1,2\} \cap \{0,1,2,3,4\} = \{0,1,2\}\) \end{description} Gilt \(A \cap B = \emptyset\), dann werden \(A\) und \(B\) \textit{disjunkt} genannt.\index{disjunkt, Mengen} \bigskip Für alle Mengen \(A\), \(B\) und \(C\) gilt: \smallskip \begin{tabular}{llll} \(a)\) & \((A \cap B) \cap C \) & \(=\) & \(A \cap (B \cap C) \) \\ \(b)\) & \(A \cap B\) & \(=\) & \(B \cap A\) \\ \(c)\) & \(A \cap \emptyset \) & \(=\) & \(\emptyset\) \\ \(d)\) & \(A \cap A\) & \(=\) & \(A\) \\ \(e)\) & \(A \cap B\) & \(=\) & \(A\) falls \(A \subset B\)\\ \end{tabular} \bigskip \begin{description} \item[Kurzschreibweise:] \(\bigcap\limits_{n}^{i=1} A_{i} = A_{1} \cap A_{2} \cap \dots \cap A_{n}\) \end{description} \end{description} \begin{description} \item[Definition:] \(A\) und \(B\) seien Mengen. Die Menge aller Elemente die zu \(A\) oder \(B\) gehören heißt \textit{Vereinigung}\index{Vereinigung, Mengen} von \(A\) und \(B\). \begin{description} \item[Schreibweise:] \(A \cup B\) (\(A\) vereinigt \(B\)) \quad \(A \cup B = \{x:x\in A\textnormal{ oder }x\in B\}\) \end{description} Für alle Mengen \(A\), \(B\) und \(C\) gilt: \begin{tabular}{llll} \(a)\) & \((A \cup B) \cup C \) & \(=\) & \(A \cup (B \cup C) \) \\ \(b)\) & \(A \cup B\) & \(=\) & \(B \cup A\) \\ \(c)\) & \(A \cup \emptyset \) & \(=\) & \(A\) \\ \(d)\) & \(A \cup A\) & \(=\) & \(A\) \\ \(e)\) & \(A \cup B\) & \(=\) & \(A\) falls \(A \supset B\)\\ \end{tabular} \begin{description} \item[Kurzschreibweise:] \(\bigcup\limits_{n}^{i=1} A_{i} = A_{1} \cup A_{2} \cup \dots \cup A_{n}\) \end{description} \end{description} \begin{description} \item[Distributivgesetze:]\index{Distributivgesetz, Mengen} Für alle Mengen \(A\), \(B\) und \(C\) gilt: \end{description} \begin{tabular}{llll} \(a)\) & \( A \cap (B \cup C)\) & \(=\) & \((A \cap B) \cup (A \cap C)\) \\ \(b)\) & \( A \cup (B \cap C)\) & \(=\) & \((A \cup B) \cap (A \cup C)\) \\ \end{tabular} \begin{description} \item[Definition:] Die \textit{Differenz}\index{Differenz, Mengen} \(A \smallsetminus B\) zweier Mengen \(A\) und \(B\) ist die Menge aller Elemente von \(A\), die nicht zu \(B\) gehören. \begin{description} \item[Schreibweise:] \(A \smallsetminus B = \{x:x \in A, x \notin B\}\) \end{description} \end{description} \begin{description} \item[Definition:] Es sei \(A \subset M\), Die Menge \(\overline{A} = M \smallsetminus A\) heißt das \textit{Komplement}\index{Komplement, Mengen} von \(A\) in \(M\) (\(M\) : Universalmenge)\index{Universalmenge} \begin{description} \item[Schreibweise:] \(\overline{A} = \{x:x\in M,x\notin A\}\) (Es muß immer angeben werden bezüglich welcher Menge die Komplementärmenge gebildet wird!) \end{description} \begin{tabular}{llll} \multicolumn{2}{c}{\textbf{Komplementgesetze}}\index{Komplementgesetz} & \multicolumn{2}{c}{\textbf{Formel von} \textsc{de Morgan}}\index{de Morgan} \\ \(a)\) & \(A \cap \overline{A} = \emptyset\) & \(a)\) & \(\overline{A\cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}\) \\ \(b)\) & \(A \cup \overline{A} = M\) & \(b)\) & \(\overline{A\cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}\) \\ \(c)\) & \(\overline{\overline{A}} = A\) & & \\ \end{tabular} \end{description} \begin{description} \item[Beispiele:] \(A, B, C \subset M\) (\(M\) : Universalmenge) Man vereinfache: \(\overline{A} \cap \overline{(B \smallsetminus A)}\) \smallskip \(\overline{A} \cap \overline{(B \smallsetminus A)} = \overline{A \cup (B \smallsetminus A)} = \overline{A \cup (B \cap \overline{A}} = \overline{(A \cup B) \cap (\underbrace{A \cup \overline{A}}_{=M})} = \overline{A \cup B} \) \end{description} \subsection{Spezielle Zahlenmengen}\index{spezielle Zahlenmengen} \begin{tabular}{ccl} \(\mathbb{N}\) &:& Menge der natürlichen Zahlen \\ \(\mathbb{N}_{0}\) &:& Menge der natürlichen Zahlen und 0\\ \(\mathbb{Z}\) &:& Menge der ganzen Zahlen \\ \(\mathbb{Q}\) &:& Menge der rationalen Zahlen \\ \(\mathbb{R}\) &:& Menge der reellen Zahlen \\ \(\mathbb{C}\) &:& Menge der komplexen Zahlen \\ \end{tabular} \bigskip \(\mathbb{N} \subset \mathbb{N}_{0} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}\) \subsection{Kartesisches Produkt}\index{kartesisches Produkt, Mengen} \begin{description} \item[Definition:] Es seien \(X\) und \(Y\) Mengen, \(x \in X\), \(y \in Y\). Man nennt den Ausdruck \((x,y)\) ein \textit{geordnetes Paar}\index{geordnete Paare, Mengen} der Elemente \(x\) und \(y\). Die Menge aller geordneten Paare heißt \textit{kartesisches Produkt} der Menge \(X\) und \(Y\) und wird mit \(X \times Y\) bezeichnet (Produktmenge)\index{Produktmenge, Mengen}. \begin{description} \item[Schreibweise:] \(X \times Y = \{(x,y): x\in X, y \in Y\}\) \item[Beispiel:] \(x = \{1,4,5\} \quad y = \{1,2,3\}\) \(X \times Y = \{(1,1);(1,2);(1,3);(4,1);(4,2);(4,3);(5,1);(5,2);(5,3)\}\) \end{description} (s. \href{http://rcswww.urz.tu-dresden.de/~s8084100/brkurs/mathe.pdf}{Mitschrift zum Mathematik-Brückenkurs} für eine graphische Darstellung des kartesischen Produkts) \end{description} \section{Mathematische Logik}\index{Logik} Logik: "`Die Lehre vom schlüssigen und folgerichtigen Tun"' - \textsc{Aristoteles} (384--322 v. Chr.) Mitte des 2. Jahrtausends: \textit{Mathematische Logik} \begin{tabular}{ll} \textsc{G.W. Leibnitz} &(1646--1716)\\ \textsc{B. Bolzano} &(1781--1848)\\ \textsc{A. deMorgan} &(1806--1871)\\ \textsc{G. Bool} &(1815--1864)\\ \end{tabular} \begin{description} \item[Aussage:]\index{Aussage, Logik} Unter einer \textit{Aussage} verstehen wir (hier) einen Satz (irgendeiner Sprache), für den es Sinn hat zu fragen, ob er wahr oder falsch ist. \begin{description} \item[Beispiele:] \((1+1)^2 = 5 \qquad (1+1)^2 = 4 \qquad\) Es regnet Keine Aussagen hingegen sind z.B.: "`Haltet den Dieb!"' oder "`Ich lüge jetzt."' \end{description} \begin{description} \item[Bezeichnung von Aussagen:] \(p, q, r\) Wir definieren den \textit{Wahrheitswert}\index{Wahrheitswert, Logik} \(|p|\) einer Aussage \(p\) durch \( |p| = \left\{\begin{array}{ll}1 & \textnormal{ falls } p \textnormal{ wahr ist} \\0 &\textnormal{ falls } p \textnormal{ falsch ist}\end{array}\right.\) \end{description} \end{description} \subsection{Verknüpfung, Zusammensetzung von Aussagen}\index{Aussageverknüpfung, Logik} \textbf{Beispiele:} \(p\) : es regnet (heute) \qquad \(p\) : es ist kalt (heute) \bigskip \begin{tabular}{cclp{120pt}} Bez. & gelesen & Name & Beispiel \\ \hline \(p \land q\) & \(p\) und \(q\) & Konjunktion\index{Konjunktion, Logik} & es regnet und es ist kalt \\ \(p \lor q\) & \(p\) oder \(q\) & Disjunktion\index{Disjunktion, Logik} & es regnet oder es ist kalt \\ \(\overline{p}\) & nicht \(p\) & Negation\index{Negation, Logik} & es regnet nicht \\ \(p \Rightarrow q\) & wenn \(p\) dann \(q\) & Implikation\index{Implikation, Logik} & wenn es regnet, dann ist es kalt \\ \end{tabular} \bigskip \begin{description} \item[Bemerkung:] Schreibweisen \(p'\) und \(\rightharpoondown p\) sind auch üblich für die Negation. \end{description} In der Verknüpfung \(p \Rightarrow q\) heißt \(p\) \textit{Prämisse}\index{Prämisse, Logik} und \(q\) \textit{Konklusion}\index{Konklusion, Logik}. \bigskip Exakte Definition von Verknüpfungen durch die sog. \textit{Wahrheitstabelle}\index{Wahrheitstabelle, Logik}: \bigskip \begin{tabular}{cc|ccccc} \(p\) & \(q\) & \(\overline{p}\) & \(p \land q\) & \(p \lor q\) & \(p \Rightarrow q \) & \(p \Leftrightarrow q \) \\ \hline \(1\) & \(1\) & \(0\) & \(1\) & \(1\) & \(1\) & \(1\) \\ \(1\) & \(0\) & \(0\) & \(0\) & \(1\) & \(0\) & \(0\) \\ \(0\) & \(1\) & \(1\) & \(0\) & \(1\) & \(1\) & \(0\) \\ \(0\) & \(0\) & \(1\) & \(0\) & \(0\) & \(1\) & \(1\) \\ \end{tabular} \begin{description} \item[Beispiel:] \(p: a = 1\) \quad \(q: a^2 = 1\) \((p\Rightarrow q) \quad wahr\) \((q\Rightarrow p) \quad falsch\) \end{description} Ist die Aussage \(p \Rightarrow q\) wahr, so sagt man: \(p\) ist \textit{hinreichende Bedingung}\index{hinreichende Bedingung, Logik} für \(q\). \(q\) ist eine \textit{notwendige Bedingung}\index{notwendige Bedingung, Logik} für \(p\). \begin{description} \item[Beispiel:] \(a = 1\) ist eine hinreichende Bedingung für \(a^2 = 1\) aber keine notwendige Bedingung! $\underbrace{(1=2)}_{f} \Rightarrow \underbrace{(0 < -2)}_{f} \quad wahr$ $\underbrace{(1=2)}_{f} \Rightarrow \underbrace{(0 > -2)}_{w} \quad wahr$ \end{description} \newpage \subsection{Gesetze der mathematischen Logik} Eine zusammengesetzte Aussgage heißt ein \textit{Gesetz}\index{Gesetz, Logik} der mathematischen Logik \textit{(Tautologie)}\index{Tautologie, Logik}, wenn sie für alle Belegungen der in ihr vorkommenden Variablen den Wert 1 annimmt. \begin{description}\item[Beispiele]: Die folgenden Aussagen sind auch Gesetze: \(p \lor \overline{p} \qquad \overline{p \land \overline{p}} \qquad \overline{\overline{p}} \Leftrightarrow p\) \((p \Rightarrow q) \Leftrightarrow (\overline{q} \Rightarrow \overline{p})\) \quad (Grundlage für indirekte Beweise) \end{description} \begin{description} \item[Gesetz von \textsc{deMorgan}]: \begin{tabular}{ccc} \(\overline{p \lor q}\) & \(\Leftrightarrow\) & \(\overline{p} \land \overline{q}\) \\ \(\overline{p \land q}\) & \(\Leftrightarrow\) & \(\overline{p} \lor \overline{q}\) \\ \end{tabular} \item[Rechengesetze]: \begin{tabular}{cccl} \(p \lor q\) & \(\Leftrightarrow\) & \(q \lor p\) & Kommutativgesetz \\ \(p \land q\) & \(\Leftrightarrow\) & \(q \land p\) & \\ &&&\\ \(p \lor (q\lor r)\) & \(\Leftrightarrow\) & \((p \lor q)\lor r \)& Assoziativgesetz\\ \(p \land (q\land r)\) & \(\Leftrightarrow\) & \((p \land q)\land r \)& \\ &&&\\ \(p \land (q \lor r)\) & \(\Leftrightarrow\) & \((p \land q) \lor (p \land r) \) & Distributivgesetz\\ \(p \lor (q \land r)\) & \(\Leftrightarrow\) & \((p \lor q) \land (p \lor r) \) &\\ \end{tabular} \end{description} \subsection{Prädikatenlogik, Quantoren}\index{Prädikatenlogik}\index{Quantoren, Logik} Es sei \(n\) eine natürliche Zahl. Eine Aussage, in der \(n\) sogenannte \textit{freie Variablen}\index{freie Variable, Logik} aus einer bestimmten Menge \(M\) vorkommen, heißt ein \textit{n-stelliges Prädikat} über \(M\). \begin{description} \item[Beispiele]: \begin{tabular}{lr|lr} \(M = R\) & (reelle Zahlen) & \(M =\) alle Menschen & \\ \(x > 0\) & \((n = 1)\) & \(x\) ist Mutter von \(y\) & \((n = 2)\)\\ \((x+y)(x-y) = x^2 - y^2 \) & \((n = 2)\) & \ldots& \\ \((x = 1) \land (x^3 = 3)\) & \((n = 1)\) &&\\ \end{tabular} \item[Allgemeine Bezeichnung:] \(P(x),\, Q(x,y),\, P(x,y,z),\, \ldots\) \item[Definition:] Es sei \(P\) ein Prädikat über \(M\). Dann wird durch \(\forall x P(x)\) genau dann eine wahre Aussage bezeichnet, wenn \(P(x)\) für alle \(x\) aus \(M\) wahr ist. (\(\forall :\) für alle; üblich ist auch die Schreibweise \(\forall x \in M:P(x))\) \item[Beispiel:] \(\underbrace{\forall x \in \mathbb{R}}_{\forall x P(x)}:x^2 \geq 0\) \quad (wahr) \quad \(P(x) = (x^2 \geq 0)\) \item[Definition:] (\(P\) wie oben). Dann wird durch \(\exists x P(x)\) genau dann eine wahre Aussage bezeichnet, wenn es in \(M\) ein Element \(a\) gibt, für das die Aussage \(P(a)\) wahr ist. (\(\exists :\) es existiert; auch: \(\exists x \in M: P(x)\)) \item[Beispiele:] \(P(x,y): x\) ist Mutter von \(y\); \(M\): alle Menschen \begin{tabular}{lcl} \(\forall y \exists x P(x,y)\) &:&jeder hat eine Mutter \\ \(\exists y \forall x P(x,y)\) &:&es gibt jemanden, der eine Mutter hat \\ \end{tabular} \item[\(\forall\) und \(\exists\) heißen \textit{Quantoren}] \qquad In einer Formel der Form \(\forall x Q(x,y,\ldots)\) oder \(\exists x P(x,y, \ldots)\) heißt \(x\) eine \textit{gebundene Variable}\index{gebundene Variable}. \item[Formeln von \protect{\textsc{deMorgan}}] \quad \begin{tabular}{lcl} \(\overline{\forall x P(x)}\) & \(\Leftrightarrow \) & \(\exists x \overline{P(x)}\) \\ \(\overline{\exists x P(x)}\) & \(\Leftrightarrow \) & \(\forall x \overline{P(x)}\) \\ \end{tabular} \begin{tabular}{llll} \multicolumn{4}{l}{\textbf{Beispiel:}} \\ \((\underbrace{\forall x \in \mathbb{R}:x^2 \geq 0}_{w})\) & \dots Negation \dots &\((\underbrace{\exists x \in \mathbb{R}:x^2 < 0}_{f})\) \\ \((\underbrace{\forall y \in \mathbb{R}: y^2 \ne 2}_{f}) \) & \dots Negation \dots & \((\underbrace{\exists y \in \mathbb{R}: y^2 = 2}_{w})\) \\ \end{tabular} \end{description} \section{Kombinatorik und binomischer Satz}\index{Kombinatorik}\index{binomischer Satz} \begin{description} \item[Aufgabe:] Bestimmung von Anzahlen gewisser endlicher Mengen \end{description} \subsection{Permutationen}\index{Permutationen} \begin{description} \item[Beispiele:] \quad \((a)\) Eine Kinoreihe mit 12 Plätzen werde von 12 Personen besetzt. Wieviele Sitzanordnungen gibt es? \((b)\) Wieviele 4--stellige Zahlen lassen sich aus den vier Ziffern 1,1,3,3 bilden? \item[Definition:] Es sei eine Gruppe von \(n\) Objekten gegeben. Sind die Objekte voneinander verschieden so heißt jede Anordnung dieser Objekte eine \textit{Permutation ohne Wiederholung} (von \(n\) Elementen. Treten einige Elemente mehrfach auf, so spricht man von \textit{Permutationen mit Wiederholung}. \item[Bezeichnung:] \(n! = 1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot (n-1) \cdot n \qquad (n \geq 1),\ \textnormal{Def: } 0! = 1\) \item[Satz:] Die Anzahl der Permutationen von \(n\) Elementen ohne Wiederholung ist \(n!\) . \item[Beispiel:] \quad \((a)\) wie oben, Antwort: \(12! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 11 \cdot 12 = 479001600\) \((c)\) In einer Tanzveranstaltung sind 10 Damen und 10 Herren anwesend. Wieviele Konstellationen von 10 Paaren (Dame/Herr) lassen sich bilden? Antwort: \(10! = 1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot 9 \cdot 10 = 3628800\) \item[Satz:] Es seien \(n\) Objekte gegeben, die in $k$ Gruppen jeweils identischer Objekte mit entsprechenden Anzahlen \(n_1,n_2 \ldots n_n\) zerfallen. Dann gibt es \(\frac{n!}{n_1! n_2! \cdots n_k!}\) Möglichkeiten, diese Objekte in einer Reihe einzuordnen. \item[Beispiel:] \((b)\) wie oben: 4 Objekte, 2 Gruppen mit je 2 Elementen \(\Rightarrow n = 4, \,\, k = 2,\,\, n_1=2\, ,n_2=2\) \begin{displaymath} \frac{4!}{2!\cdot 2!} = \frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}{1\cdot 2\cdot 1\cdot 2} = \frac{3\cdot 4}{2} = 6 \end{displaymath} \end{description} \subsection{Kombinationen} \begin{description} \item[Beispiele:] \quad $(a)$ Es treffen sich 80 Personen, jeder begrüßt jeden. Wieviele Begrüßungen sind es insgesamt? (Wieviele Paare lassen sich von den 80 Personen bilden?) $(b)$ Wieviele verschiedene Tippscheine sind möglich im Lottospiel "`6 aus 49"'? $(c)$ Wie viele Würfelbilder gibt es bei zwei "`gleichfarbigen"' (d.h. nicht unterscheidbaren) Würfeln? Lösung durch Aufzählung: \begin{displaymath} \begin{array}{cccccc} 11&12&13&14&15&16\\ 22&23&24&25&26&\\ 33&34&35&36&&\\ 44&45&46&&&\\ 55&56&&&&\\ 66&&&&&\\ \end{array} = \textnormal{21 Möglichkeiten} \end{displaymath} \item[Definition:] Werden aus $n$ Elementen $k$ Elemente ohne Bedeutung der Reihenfolge so ausgewählt, daß jedes Element höchstens einmal vorkommen kann, so spricht man von \textit{Kombinationen von $n$ Elementen zur $k$--ten Klasse ohne Wiederholung}\index{Kombinationen}. Wenn die Elemente mehrfach ausgewähl werden können, dann spricht man von \textit{Kombinationen mit Wiederholung}. \index{Klasse, Kombinatorik} \item[Satz:] Die Anzahl der Kombinationen von $n$ Elementen zur $k$--ten Klasse ohne Widerholung ist folgender Ausdruck: \begin{displaymath} \frac{n!}{k!(n-k)!} = {n \choose k} \qquad \textnormal{spricht: "`$n$ über $k$"'} \end{displaymath} \item[Bemerkung:] Es lassen sich viele Faktoren kürzen. Es bleiben über und unter dem Bruchstrich jeweils $k$ Faktoren übrig. \begin{displaymath} {n \choose k} = \frac{1\cdot 2\cdot \ldots \cdot n}{1\cdot 2\cdot \ldots \cdot k \cdot 1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot (n-k)} = \end{displaymath} \begin{displaymath} \frac{1\cdot 2\cdot \ldots \cdot (n-k)(n-k+1) \ldots \cdot n}{(1\cdot 2\cdot \ldots \cdot k) (1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot (n-k))} = \frac{(n-k+1) \cdot \ldots \cdot n}{1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot k} \end{displaymath} \item[Satz:] Die Anzahl der Kombinationen von $n$ Elementen zur $k$--ten Klasse mit Wiederholung ist: \begin{displaymath} {n + k - 1 \choose k} \end{displaymath} \item[Beispiel:] $(c)$ wie oben: $n=6, \,\, k = 2$ Lösung: \begin{displaymath} {6+2-1 \choose 2} = {7 \choose 2} = \frac{7\cdot 6}{1\cdot 2} = 21 \end{displaymath} \item[Binomischer Satz]\index{Binomischer Satz} \begin{displaymath} (a + b)^n = {n \choose 0}a^n + {n \choose 1}a^{n-1}b^1 + {n \choose 2}a^{n-2}b^3 + \ldots + {n \choose n}b^n \end{displaymath} Die Zahlen $n\choose k$ heißen \textit{Binomialkoeffizienten}\index{Binomialkoeffizient} \begin{description} \item[Spezialfall:] $a = b = 1:\,\, 2^n = {n\choose 0} + {n\choose 1} + \ldots + {n\choose n}$ \item[Folgerung:] Die Potenzmenge einer Menge mit $n$ Elementen besitzt $2^n$ Elemente. \item[Spezialfall:] $a = 1, \, b = -1: \,\, 0 = {n\choose 0} - {n\choose 1} + \ldots + (-1)^n {n\choose n}$ \item[Weitere Eigenschaften:] ${n \choose n-k} = {n \choose k} \,$ und $\, {n \choose k-1} + {n \choose k} = {n+1 \choose k}$ \end{description} \item[Das Pascal'sche Dreieck:]\index{Pascal'sches Dreieck} Die $(n+1)$-te Zeile enthält ${n \choose 0}{n \choose 1} \ldots {n \choose n}$ \begin{displaymath} \begin{array}{cccccccccc} & & & &1& & & & &\\ & & &1& &1& & & &\\ & &1& &2& &1& & &\\ &1& &3& &3& &1& &\\ 1& &4& &6& &4& &1&\\ \end{array} \end{displaymath} \end{description} \subsection{Variationen}\index{Variationen} \begin{description} \item[Beispiele:] \quad $(a)$ Wieviele Möglichkeiten der Medallienverteilung (Gold/Silber/Bronze) gibt es bei einem Wettkampf mit 10 Teilnehmern? $(b)$ Wieviele 4-stellige Zahlen lassen sich aus den Ziffern 0,1,2 \dots 9 bilden, wenn sie mehrfach verwendet werden dürfen? \item[Definition:] Werden aus $n$ Elementen \(k\) Elemente mit Beachtung der Reihenfolge ausgewählt, so spricht man von \textit{Variationen von \(n\) Elementen zur \(k\)--ten Klasse ohne Wiederholung}. \item[Satz:] Die Anzahl der Variationen von $n$ Elementen zur $k$--ten Klasse ohne Wiederholung ist: \begin{displaymath} \frac{n!}{(n-k)!} = (n-k+1) \cdot \ldots \cdot n \end{displaymath} \item[Beispiel:] $(a)$ wie oben: $\quad n=10,\,\, k=3 \Rightarrow \frac{10!}{7!} = 10\cdot 9\cdot 8 = 720 \textnormal{ Variationen}$ \item[Satz:] Die Anzahl der Variationen von $n$ Elementen zur $k$--ten Klasse mit Wiederholung ist: \begin{displaymath} n^k \end{displaymath} \item[Beispiel:] $(b)$ wie oben, $n$ = 10 (Ziffern), $k$ = 4 (Stellen). $10^4 = 10\,000$ Möglichkeiten \end{description} \chapter{Reelle und komplexe Zahlen}\index{reelle Zahlen} \section{Reelle Zahlen} Erweiterungsprozess:\index{Erweiterungsprozess} \begin{tabular}{lll} $\mathbb{N}$ & natürliche Zahlen & $1,2,3 \ldots$ \\ $\mathbb{Z}$ & ganze Zahlen & $-1,0,1 \ldots$ \\ $\mathbb{Q}$ & rationale Zahlen & $\frac{1}{2},\frac{1}{3},-\frac{5}{6} \ldots$ \\ $\mathbb{R}$ & reelle Zahlen &\\ \end{tabular} \bigskip Veranschaulichung rationaler und reeller Zahlen auf der Zahlengerade: Es gibt keine rationale Zahl, die $r^2 = 2$ liefert. $\Rightarrow$ Lücken auf der Zahlengeraden werden mit irrationalen Zahlen geschlossen ($\pi, \sqrt{2}, e \ldots$) \subsection{Definition: Beschränktheit}\index{Beschränktheit} Gegeben sei eine Teilmenge $A$ der reellen Zahlen. $A$ heißt \emph{nach oben beschränkt}, wenn es eine reelle Zahl $K$ gibt, so daß für alle $x \in A$ gilt: $x \leq K$. $A$ heißt \emph{nach unten beschränkt}, wenn es eine reelle Zahl $k$ gibt, so daß für alle $x \in A$ gilt: $x \geq k$. \smallskip $K$ : obere Schranke \qquad $k$ : untere Schranke\index{Schranke, obere/untere} \smallskip $A$ heißt \emph{beschränkt}, wenn die Menge nach oben und unten beschränkt ist. \subsection{Beispiele zur Beschränktheit} \begin{displaymath} A = \bigg\{ \bigg(\frac{1}{2}\bigg)^n ; n = 1,2, \ldots \bigg\} \end{displaymath} ist beschränkt, obere Schranken sind z.B. $2,1,\frac{1}{2}$, untere Schranken sind z.B. $-1,0$. \bigskip $A = (-\infty,2)$ ist unbeschränkt nach unten, nach oben aber beschränkt. \smallskip $\mathbb{N}$ ist nach unten, aber nicht nach oben beschränkt. \smallskip $\mathbb{Z}$ ist weder nach unten noch nach oben beschränkt. \subsection{Satz zur Vollständigkeit von $\mathbb{R}$}\index{Vollständigkeit vonR} Jede nichtleere nach oben beschränkte Teilmenge $A$ von $R$ besitzt eine kleinste obere Schranke (obere Grenze, \emph{Supremum}). \index{Supremum} \bigskip analog: $A \in \mathbb{R}$ nach unten beschränkt $\Rightarrow$ es gibt immer eine größte untere Schranke (untere Grenze, \emph{Infimum}).\index{Infimum} \subsection{Beispiele} \begin{displaymath} A = \bigg\{ \bigg(\frac{1}{2}\bigg)^n ; n = 1,2, \ldots \bigg\} \end{displaymath} Supremum : $\frac{1}{2}$ \qquad Imfimum : 0 \quad $\Rightarrow \frac{1}{2} \in \mathbb{A},\,\, 0 \notin \mathbb{A}$ \section{Betrag, Ungleichungen}\index{Betrag}\index{Ungleichungen} \subsection{Definition} Unter $|x|$, $x \in \mathbb{R}$ versteht man die nicht negative reelle Zahl mit \begin{displaymath} |x| = \left\{ \begin{array}{ll} x & x > 0\\ -x & x < 0\\ 0 & x = 0 \end{array} \right. \end{displaymath} \subsection{Satz} Seien $a,b,c,d \in \mathbb{R}$, gilt: \smallskip \begin{tabular}{llcl} (1) & $a < b,\, b < c $ & $\Rightarrow$ & $a < c$ \\ (2) & $a < b$ & $\Rightarrow$ & $a + c < b + c$ \\ (3) & $a < b,\, c > 0 $ & $\Rightarrow$ & $ac < bc$ \\ (4) & $a < b,\, c < d $ & $\Rightarrow$ & $a+c < b+d$ \\ \end{tabular} \bigskip (analog für $\leq, =, >, \geq$) \subsection{Satz} Für alle $a,b,c \in \mathbb{R}$ gilt \smallskip \begin{tabular}{llcl} (1) & $ |ab| $ & $ = $ & $|a|\cdot |b|$\\ (2) & $ |a| \leq c $ & $ \Leftrightarrow $ & $ -c \leq a \leq c$\\ (3) & $ |a + b| $ & $ \leq $ & $|a| + |b|$\\ (4) & $ |a - b| $ & $ \geq $ & $|a| - |b|$\\ \end{tabular} \subsection{Gleichungen und Ungleichungen mit Beträgen} \begin{description} \item[Beispiel a)] $|x+1| = 3x-1 \quad (x \in \mathbb{R})$ \begin{description} \item[Fall I:] $ x < -1 \qquad -(x+1) = 3x -1 \qquad 0 = 4x \quad \Rightarrow $ k.L. \item[Fall II:] $x \geq 1 \qquad x+1 = 3x-1 \qquad \Rightarrow x = 1$ \item[Lösung:] $x = 1$ \end{description} \item[Beispiel b)] Man löse $|x + 1| = |x + 3|$ \begin{description} \item[Fall I:] $x < -3 \qquad -(x+1) = - (x + 3) \Leftrightarrow -1 = -3 \Rightarrow$ k.L. \item[Fall II:] $ - 3 \leq x < -1 \qquad -(x+1) = x+3 \Leftrightarrow 2x = -4 \Rightarrow x = -2$ \item[Fall III:] $ -1 \leq x \qquad x+1 = x+3 \Leftrightarrow 1 = 3 \Rightarrow$ k.L. \item[Lösung:] $x = -2$ \end{description} \item[Beispiel c)] $|x+1| \leq |x + 3|$ \begin{description} \item[Fall I:] $x < -3 \qquad -1 \leq -3 \,\,\, f\,\,\,\Rightarrow$ k.L. \item[Fall II:] $-3 \leq x < -1 \qquad -x-1 \leq x+3 \Leftrightarrow -2 \leq x \Rightarrow$ Lsg.: $-2 \leq x < -1$ \item[Fall III:] $x + 1 \leq x + 3 \,\,\,w \,\,\,$ Lsg.: $x \geq -1$ \item[Lösung:] $x \geq -2$ oder $[-2,\infty]$ \end{description} \end{description} \section{Komplexe Zahlen}\index{Komplexe Zahlen} \begin{tabular}{llclc} $x + 2 = 1$ & hat keine Lösung in & $\mathbb{N}$ & aber in & $\mathbb{Z}$ \\ $3x = 2$ & hat keine Lösung in & $\mathbb{Z}$ & aber in & $\mathbb{Q}$ \\ $x^2 = 2$ & hat keine Lösung in & $\mathbb{Q}$ & aber in & $\mathbb{R}$ \\ $x^2 = -1$ & hat keine Lösung in & $\mathbb{R}$ & aber in & $\mathbb{C}$ \\ \end{tabular} \bigskip \begin{center} $\mathbb{C}$ : komplexe Zahlen \end{center} \subsection{Definition} In der Menge $\{(x,y): x,y \in \mathbb{R}\}$ aller geordneten Zahlenpaare definieren wir: \begin{description} \item[Addition:] $ (x_1,y_1) + (x_2,y_2) := (x_1+x_2, y_1+y_2) $ \item[Multiplikation:] $ (x_1,y_1)(x_2,y_2) := (x_1x_2 - y_1y_2, x_1y_2+x_2y_1) $ \end{description} Die mit diesen Rechenoperationen versehene Menge heißt $\mathbb{C}$, jedes Element von $\mathbb{C}$ heißt komplexe Zahl. \subsection{Grundgesetze der Addition und Multiplikation} Seien $z_1, z_2, z_3, z_4 \in \mathbb{C}$ dann gilt: \bigskip \begin{tabular}{lclcl} I & (1) & $z_1 + z_2$ & = & $z_2 + z_1$ \\ & (2) & $z_1 \cdot z_2$ & = & $z_2 \cdot z_1$ \\ II & (3) & $z_1 + (z_2 + z_3)$ & = & $(z_1 + z_2) + z_3$ \\ & (4) & $z_1 \cdot (z_2 \cdot z_3)$ & = & $(z_1 \cdot z_2) \cdot z_3$ \\ III & (5) & $z_1 \cdot (z_2 + z_3)$ & = & $z_1 \cdot z_2 + z_1 \cdot z_3$ \\ IV & (6) & $(0,0) + z_1$ & = & $z_1$ \\ & (7) & $(1,0) \cdot z_1$ & = & $z_1$ \end{tabular} \begin{tabular}{lp{10cm}} V & Zu jeder komplexen Zahl gibt es genau eine komplexe Zahl $z'$ mit $z + z' = (0,0)$. \smallskip Wenn $z \ne (0,0)$, dann existiert auch genau eine komplexe Zahl $z''$ mit $z \cdot z'' = (1,0)$ \smallskip Bezeichnung: $z' = -z$ \quad $z'' = -\frac{1}{z}$\\ VI & Wenn $z = (x,y)$ dann gilt $-z = (-x,-y)$ und $\frac{1}{z} = (\frac{x}{x^2+y^2}, \frac{y}{x^2+y^2})$, falls $z \ne 0$. \end{tabular} \subsection{Bezeichnung} $(x_1,0) + (x_2,0) = (x_1 + x_2, 0)$ und $(x_1,0) \cdot (x_2,0) = (x_1 x_2, 0)$ \smallskip $z = (x,y) = (x,0) + (0,y) = (x,0) + (y,0)(0,1)$ \bigskip Anstelle von $(x,0)$ schreiben wir im Weiteren einfach $x$. $(0,1)$ wird dann mit $i$ bezeichnet und als die imaginäre Einheit\index{imaginäre Einheit} bezeichnet. \bigskip Dann gilt $z = (x,y) = x + yi$ (algebraische Form/Darstellung)\index{algebraische Form} \bigskip \begin{description} \item[Bezeichnung:] Man nennt $x$ den \textit{Realteil}\index{Realteil} der komplexen Zahl $z = x+iy$ und $y$ den Imaginärteil\index{Imaginärteil} von $z$. \item[Schreibweise:] $x = \mathrm{Re}z \qquad y = \mathrm{Im}z$ \end{description} \subsection{Beispiele für Rechenoperationen} $z_1 = 2 + 3i \qquad z_2 = -3 + 2i$ \bigskip \begin{tabular}{ccl} $z_1 + z_2$ & $=$ & $-1+5i$ \\ $z_1 - z_2$ & $=$ & $5+1i$ \\ $z_1 \cdot z_2$ & $=$ & $(2+3i)(-3+2i) = -12-5i$ \\ \end{tabular} \subsection{Konjugiert komplexe Zahl}\index{konjugiert komplexe Zahl} \begin{description} \item[Definition:] Man nennt diejenige komplexe Zahl $\overline{z} = x-iy$ die zu $z = x+iy$ \textit{konjugiert komplexe Zahl}. \item[Satz:] Für beliebige $z,z_1,z_2 \in \mathbb{C}$ gilt: \begin{enumerate} \item $\overline{\overline{z}} = z$ \item $z + \overline{z} = 2 \mathrm{Re}z$ \item $z - \overline{z} = 2i\mathrm{Im}z$ \item $z\cdot \overline{z} = (\mathrm{Re}z)^2 + (\mathrm{Im}z)^2$ \qquad (reell!) \item $\overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2}$ \item $\overline{z_1 \cdot z_2} = \overline{z_1} \cdot \overline{z_2}$ \item $z = \overline{z}$ wenn $z \in \mathbb{R}$ \end{enumerate} \item[Anwendung:] Berechnung von $\frac{z_1}{z_2} \quad (z_2 \ne 0)$. Wegen 2.3.5., 5 ist $z_1\overline{z_2} > 0 \Rightarrow$ erweitern mit $\overline{z}$. \begin{displaymath} \frac{z_1}{z_2} = \frac{z_1\overline{z_2}}{z_2 \overline{z_2}} \end{displaymath} \item[Beispiel:] \quad \begin{displaymath} \frac{2+3i}{-3+2i} = \frac{(2+3i)(-3-2i)}{(-3+2i)(-3-2i)} = \frac{-13i}{13} = -i \end{displaymath} \end{description} \subsection{Betrag einer komplexen Zahl}\index{Betrag, komplexe Zahl} \begin{description} \item[Definition:] Unter dem Betrag $|z|$ einer komplexen Zahl $z = x + iy$ versteht man die nichtnegative reelle Zahl \begin{displaymath} |z| = \sqrt{x^2 + y^2} \end{displaymath} \item[Bemerkung:] \quad \begin{tabular}{cp{8cm}} a) & Diese Definition ist mit der Definition des Betrags der reellen Zahlen verträglich, wenn $z = x \in \mathbb{R}$, dann \begin{displaymath} |z| = \sqrt{x^2} = |x| \end{displaymath}\\ b) & Wegen $z \cdot \overline{z} = x^2 + y^2$ gilt: $|z| = \sqrt{z \cdot \overline{z}}$.\\ \end{tabular} \end{description} \subsection*{Satz:} Für alle $z,z_1,z_2 \in \mathbb{C}$ gilt: \begin{enumerate} \item $|z| = 0 \Leftrightarrow z = 0$ \item $|z| = |-z| = |\overline{z}|$ \item $|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|$ \item $|z_1 + z_2| \geq |z_1| + |z_2|$ \end{enumerate} \subsection{Geometrische Veranschaulichung} Da komplexe Zahlen als Zahlenpaare definiert sind, können wir sie mit den Punkten einer Ebene identifizieren. Man nennt diese Ebene \textsc{Gauss}sche Zahlenebene.\index{Gauß'sche Zahlenebene} Die Paare $(x,0)$ bilden die sogenannte \textit{reelle Achse}, die Punkte$(0,y)$ die sogenannte \textit{imaginäre Achse}.\index{reelle Achse}\index{imaginäre Achse} \begin{center} \begin{picture}(200,150) \put(100,10){\vector(0,1){130}} \put(105,130){$\mathrm{Im}z$} \put(10,75){\vector(1,0){190}} \put(185,65){$\mathrm{Re}z$} \multiput(100,75)(2,2){13}{\line(0,1){1}} \multiput(125,75)(0,2){13}{\line(0,1){1}} %% \put(100,75){\line(1,1){25}} \put(125,100){\circle{3}} %% z \put(75,100){\circle{3}} %% -z _ \put(125,50){\circle{3}} %% z_ \put(75,50){\circle{3}} %% z_ \put(125,105){$z$} %% z \put(62,105){$-\overline{z}$} %% -z _ \put(125,40){$\overline{z}$} %% z_ \put(62,40){$-z$} %% -z \put(115,73){\line(0,1){4}} \put(112,62){$1$} \put(98,90){\line(1,0){4}} \put(90,87){$1$} \qbezier(117,75)(117,83)(125,83) \put(121,78){\circle*{1}} %% z_ \end{picture} \end{center} Wenn $z=x+iy\, ,\,\, z_0 = x_0 + iy_0$, dann ist \begin{displaymath} |z \cdot z_0| = \sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2} \end{displaymath} der Abstand zwischen $z$ und $z_0$. $|z|$ ist der Abstand zwischen $z$ und 0. \begin{center} \begin{picture}(300,90) \put(10,20){\vector(1,0){80}} \put(20,10){\vector(0,1){80}} \put(20,20){\vector(4,1){35}} \put(20,20){\vector(3,4){25}} \put(55,29){\vector(3,4){25}} \put(45,53){\vector(4,1){35}} \put(58,25){$z_2$} \put(78,9){$x$} \put(9,78){$y$} \put(34,55){$z_1$} \put(80,65){$z_1+z_2$} \put(135,80){Darstellung der komplexen} \put(135,65){Zahlen als \textit{Zeiger}.} \end{picture} \end{center} \subsection{Beispiele zur Darstellung im Koordinatensystem} \begin{enumerate} \item Sei $z_0 \in \mathbb{C}$ und $r > 0$ gegeben. Wo liegen dann die komplexen Zahlen $z$ mit: \begin{enumerate} \item $|z - z_0| = r \quad \Rightarrow$ Kreis um $z_0$ mit Radius $r$ \item $|z - z_0| < r \quad \Rightarrow$ Das Innere des Kreises um $z_0$ mit $r$ ohne Rand. \end{enumerate} \begin{center} \begin{picture}(200,50) \put(10,20){\vector(1,0){40}} \put(20,10){\vector(0,1){40}} \put(45,9){$x$} \put(12,45){$y$} \put(0,50){$a)$} \put(30,30){\circle{20}} \put(30,30){\circle{1}} \put(90,20){\vector(1,0){40}} \put(100,10){\vector(0,1){40}} \put(125,9){$x$} \put(92,45){$y$} \put(80,50){$b)$} \put(110,30){\circle{20}} \put(110,30){\circle{1}} \put(100,30){\line(2,1){16}} \put(101,33){\line(2,1){12}} \put(101,28){\line(2,1){17}} \put(101,25){\line(2,1){18}} \put(102,23){\line(2,1){18}} \put(105,22){\line(2,1){15}} \put(108,21){\line(2,1){11}} \end{picture} \end{center} \item Es sei $z_1, z_2 \in \mathbb{C}$ und $a \geq 0$. Wo liegen die komplexen Zahlen $z$ mit $|z-z_1| + |z-z_2| = 2a$? Die Summe der Abstände von den Punkten $z_1$ und $z_2$ ist konstant $\Rightarrow$ Ellipse mit den Brennpunkten $z_1$ und $z_2$ und der Entfernung $2a$. \end{enumerate} \subsection{Trigonometrische Darstellung} \index{trigonometrische Darstellung} \begin{picture}(200,90) \put(20,5){\vector(0,1){80}} \put(25,70){$\mathrm{Im}z$} \put(10,15){\vector(1,0){110}} \put(105,05){$\mathrm{Re}z$} \put(45,13){\line(0,1){4}} \put(42,2){$x$} \put(18,40){\line(1,0){4}} \put(10,37){$y$} \qbezier(40,15)(40,27)(32,27) \put(20,15){\vector(1,1){25}} \multiput(45,15)(0,2){13}{\line(0,1){1}} \multiput(20,40)(2,0){13}{\line(1,0){1}} \put(28,18){$\varphi$} \end{picture} \begin{minipage}[b]{5cm} $z = x + iy$ \smallskip $r$: Länge \quad $r = |z|$ \smallskip $\varphi$ heißt \textit{Argument}\index{Argument} von $z$ (Winkel mit der positiven reellen Achse, $\varphi \in [0,2\pi]$). \bigskip \end{minipage} \begin{description} \item[Schreibweise:] $\varphi = \mathrm{arg}(z)$ \quad arg(0) wird \textit{nicht} definiert. \item[Berechnung von $\mathbf{\varphi = arg(z)}$:] \quad \begin{tabular}{llcl} $x=0$ & $y > 0$ & : & $\varphi = \frac{\pi}{2}$ \\ &&&\\ & $y < 0$ & : & $\varphi = \frac{3\pi}{2}$ \\ \\ $x\ne 0$ & \multispan{3}{\quad zuerst $\widetilde{\varphi}: \tan\,\widetilde{\varphi} = |\frac{y}{x}|$ bestimmen \ldots}\\ \\ &&& 1. Quadrant: $\varphi = \widetilde{\varphi}$ \\ &&& 2. Quadrant: $\varphi = \pi - \widetilde{\varphi}$ \\ &&& 3. Quadrant: $\varphi = \pi + \widetilde{\varphi}$ \\ &&& 4. Quadrant: $\varphi = 2\pi - \widetilde{\varphi}$ \\ \end{tabular} \item[Beispiele:] $z_1 = 1+i\quad z_2 = -3 \quad z_3 = -2-i \quad z_4 = 3-\sqrt{3}i \quad z_5 = -1-i$ arg($z_1$) = $\frac{\pi}{4}$ arg($z_2$) = $\pi$ arg($z_3$) = $\pi + \widetilde{\varphi}$ \qquad \qquad \qquad \,\,$\tan\,\widetilde{\varphi} = |\frac{-1}{-2}|;\,\, \widetilde{\varphi} = 0,\!464$ arg($z_4$) = $2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}$ \qquad \quad $\tan\,\widetilde{\varphi} = |\frac{\sqrt{3}}{3}|;\,\,\widetilde{\varphi} = \frac{\pi}{6}$ arg($z_5$) = $\pi + \frac{1}{4}\pi = \frac{5}{4}\pi$ \item[Schreibweise:] Alternativ zur algebraischen Schreibweise $z = x + iy$ kann man aufgrund von $x = r\cos \varphi$ und $y = r\sin \varphi$ auch schreiben: \begin{displaymath} z = x + iy = r\cos\varphi + ir\sin\varphi = r(\cos\varphi + i\sin\varphi) \end{displaymath} \item[Beispiel:] $z_1 = 1+i$ (algebr. Darst.) $\Rightarrow \varphi = \frac{\pi}{4}, \, r = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$ Trigonometrische Darstellung: $z_1 = \sqrt{2}(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4})$ \end{description} \subsection{Satz zur trigonometrischen Darstellung} Es seien $z_1 = r_1 (\cos\varphi_1 + i\sin\varphi_1)$ und $z_2 = r_2 (\cos\varphi_2 + i\sin\varphi_2)$. Dann gilt: \bigskip \begin{tabular}{llcl} (1) & $z_1 \cdot z_2$ &=& $r_1\,r_2 (\cos(\varphi_1+\varphi_2)+ i\sin(\varphi_1+\varphi_2))$\\ (2) & $\frac{z_1}{z_2}$ &=& $\frac{r_1}{r_2} (\cos(\varphi_1 - \varphi_2)+ i\sin(\varphi_1 - \varphi_2))$\\ (3) & $z^{n}_{1}$ &=& $r_{1}^{n} (\cos(n\varphi_1) + i \sin(n\varphi_1))$\\ \end{tabular} \begin{description} \item[Beispiel:] $z_1 = (1+i) = \sqrt{2} (\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4})$ \smallskip $(1 + i)^8 = z_1^8 = \sqrt{2}^8 (\cos 2\pi + i\sin 2\pi) = 16 (1 + i0) = 16$ \end{description} \subsection{Wurzeln komplexer Zahlen}\index{Wurzeln komplexer Zahlen} Es sei $z_0 \in \mathbb{C},\,\,n\in\mathbb{N}$. Jede komplexe Zahl $z$, die der Gleichung $z^n = 2$ genügt heißt \textit{n-te Wurzel aus $w$}. \begin{description} \item[Beispiele:] \quad \begin{tabular}{llllll} $n=2$, & $z_0 = 1$ & $\Rightarrow$ & $1^2 = 1$, & $(-1)^2 = 1$ & (2. Wurzel aus 1) \\ $n=2$, & $z_0 =-1$ & $\Rightarrow$ & $i^2 = 1$, & $(-i)^2 = 1$ & (2. Wurzel aus $i$) \\ \end{tabular} \end{description} \subsection{Satz zur Wurzelbildung} Die Gleichung $z^n = w$, wobei $w = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$ besitzt genau $n$ Lösungen: $z_0,z_1,\ldots z_{n-1}$ mit \begin{displaymath} z_k = \sqrt[n]{r} (\cos\frac{\varphi + 2k\pi}{n} + i \sin\frac{\varphi + 2k\pi}{n}) \end{displaymath} $(k = 0, 1, 2, \ldots n-1)$. \begin{description} \item[Beispiel:] Alle Lösungen von $z^3 = i$ sind zu berechnen. \bigskip Umformung von $i$ in trigonometrische Form: $r = 1, \varphi = \frac{\pi}{2}$ \begin{displaymath} i = 1(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}) \end{displaymath} \begin{minipage}[c]{8cm} \begin{eqnarray} z_k &=& \sqrt[3]{1} \bigg(\cos\frac{\frac{\pi}{2} + 2k\pi}{3} + i\sin\frac{\frac{\pi}{2} + 2k\pi}{3}\bigg)\nonumber\\ \nonumber\\ z_0 &=& \cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \sqrt{3} + i\frac{1}{2}\nonumber\\ \nonumber\\ z_1 &=& \cos\frac{5\pi}{6} + i\sin\frac{5\pi}{6} = -\frac{1}{2} \sqrt{3} + i\frac{1}{2}\nonumber\\ \nonumber\\ z_2 &=& \cos\frac{9\pi}{6} + i\sin\frac{9\pi}{6} = -i\nonumber \end{eqnarray} \end{minipage} \begin{minipage}{4cm} \begin{picture}(80,110) \put(40,0){\vector(0,1){80}} \put(0,40){\vector(1,0){80}} \put(40,40){\circle{55}} \thicklines \put(60,42){\line(0,-1){4}} \put(20,42){\line(0,-1){4}} \put(38,60){\line(1,0){4}} \thinlines \put(54,54){\circle*{3}} \put(26,54){\circle*{3}} \put(40,20){\circle*{3}} \put(63,30){$1$} \put(5,30){$-1$} \put(43,62){$i$} \put(54,57){$z_0$} \put(15,57){$z_1$} \put(42,12){$z_2$} \put(11,105){\textbf{Graphische}} \put(10,90){\textbf{Darstellung}} \end{picture} \end{minipage} \end{description} \subsection{Lösung von quadratischen Gleichungen} $az^2 + bz + c = 0$ \quad $(a,b,c \in \mathbb{C})$\quad gesucht: $z \in \mathbb{C}$ \begin{description} \item[Lösungen:] \begin{displaymath} z_{1/2} = \frac{-b \pm w}{2a} \end{displaymath} wobei $w$ eine Quadratwurzel von $b^2 - 4ac$ ist. \item[Beispiel:] $z^2 + (2 - 3i)z - 5 - i = 0$ \begin{displaymath} \left.\begin{array}{l} a = 1 \\ b = 2-3i\\ c = -5-i \end{array}\right\} \Rightarrow b^2 =-4ac = 15 - 8i \end{displaymath} eine Quadratwurzel ist $w = 4 - i$. \begin{description} \item[Lösung:] \begin{displaymath} z_{1/2} = \frac{-(2-3i) \pm (4 - i)}{2} \end{displaymath} \begin{displaymath} z_{1} = 1 + i \qquad z_2 = -3+2i \end{displaymath} \end{description} \end{description} \subsection{Exponentialdarstellung} \begin{description} \item[Definition:] Für eine beliebige komplexe Zahl $z = x + iy$ definieren wir \begin{displaymath} e^z = e^x (\cos y + i \sin y) \end{displaymath} Hier bezeichnet $e$ die \textsc{Euler}'sche Zahl.\index{Euler'sche Zahl} $e = 2,\!71828182\ldots$ (wird später noch ausführliche behandelt). \item[Spezialfall:] $x = 0\, : \, e^z = $ \framebox{$e^{ij} = \cos y + i \sin y$} (\textsc{Euler}'sche Formel) \item[Beispiele:] \begin{displaymath} |e^{iy}| = \sqrt{\cos^2 y + \sin^2 y} = 1 \end{displaymath} \begin{displaymath} e^{i\frac{\pi}{2}} = \cos\frac{\pi}{2} + i \sin\frac{\pi}{2} = i \end{displaymath} \begin{displaymath} e^{1 + i\pi} = e^1 (\cos\pi + i \sin\pi) = -e \end{displaymath} \end{description} \subsection{Satz zum Exponentialdarstellung}\index{Exponentialdarstellung} \begin{tabular}{llcl} (1) & $e^{z_1 + z_2}$ &=& $e^{z_1} e^{z_2}$\\ (2) & $e^z$&$\ne$& 0 \\ (3) & $e^{-z}$ & = & $\frac{1}{e^z}$ \end{tabular} \bigskip Sei $ z = r(\underbrace{\cos\varphi + i\sin\varphi}_{e^{i\varphi}})$ die trigonometrische Darstellung von $z$. \framebox{$z = r\,e^{i\varphi}$} : exponentielle Form \subsection{Anwendung von komplexen Zahlen} \begin{enumerate} \item Wir zeigen: $\cos 2\varphi = \cos^2 \varphi - \sin^2 \varphi$ \quad und \quad $\cos 2\varphi = 2 \sin \varphi \cos \varphi \quad (\varphi \in \mathbb{R})$ \begin{description} \item[Beweis:] \begin{displaymath} \cos 2\varphi + i \sin 2\varphi = e^{i2\varphi} = e^{i\varphi}\,e^{i\varphi} = (\cos\varphi + i\sin\varphi)(\cos\varphi + i\sin\varphi) = \end{displaymath} \begin{displaymath} (\underbrace{\cos^2\varphi - \sin^2\varphi}_{\cos 2\varphi})+(\underbrace{i 2\sin\varphi \cos\varphi}_{i\sin 2\varphi}) = \cos 2\varphi + i \sin 2\varphi \end{displaymath} \end{description} \item Anwendung in der Elektrotechnik: \textit{symbolische Methode} (\textsc{H. Helmholz}).\index{symbolische Methode} (Die imaginäre Einheit wird in der Elektrotechnik mit $j$ bezeichnet). $u = U \sin (\omega t + \varphi_u)$ \qquad $i = I \sin (\omega t + \varphi_i)$ \smallskip $\underline{u} = U [\cos(\omega t + \varphi_u) + j\sin(\omega t + \varphi_u)] = U\,e^{j(\omega t + \varphi_u)} =$ \smallskip $\underbrace{U\,e^{j\varphi_u}}_{\underline{U}}\,e^{j\omega t} = \underline{U} \, e^{j\omega t}$ analog für $i$: $\underline{i} = \underline{I}\,^{j\omega t} \quad$ wobei $\underline{I} = I \, e^{j\omega_i}$ \smallskip \end{enumerate} \subsection{Anmerkung über Quaternionen}\index{Quaternionen} \begin{tabular}{lcl} $\mathbb{R}^1$ & : & reelle Zahlen, Zahlengerade\\ $\mathbb{R}^2$ & : & komplexe Zahlen, Zahlenebene\\ $\mathbb{R}^3$ & : & \textsc{Sir W. R. Hamilton} (1805--1863, Dublin) Multiplikation: unmöglich\\ $\mathbb{R}^4$ & : & $(x,y,z,w) \longrightarrow q = x+iy+jz+kw$\\ & & Es gilt: \\ & & $i^2 + j^2 + k^2 = -1$\\ & & $ij = -ji = k$ (nicht mehr kommutativ!)\\ & & $jk - kj = i$\\ & & $ki = -ik = j$\\ \end{tabular} \begin{description} \item[Betrag:] $|q| = \sqrt{x^2+y^2+z^2+w^2}$ \item[Geometrische Deutung:] \begin{description} \item[Rotation in] $\mathbb{R}^3$ \quad $q$ mit $|q| = 1$ \item[Rotationsachse:] gegeben durch $(y,z,w) \ne 0$ \item[Rotationwinkel:] $\alpha: \,\, \cos\frac{\alpha}{2} = x$ \end{description} \end{description} \chapter{Relationen und Funktionen}\index{Relation} \section{Grundbegriffe} \begin{description} \item[Relation:] Umgangssprachlich "`Beziehung"'. Es können Personen, Ereignisse usw. in einer Relation stehen. Beispiele: \smallskip $x$ ist Vater von $y$ $x$ und $y$ sind Geschwister $x$ wohnt in der Stadt $S$ $x$ ist Teiler von $y$ \end{description} \subsection{Relation} \begin{description} \item[Definition:] Eine (\emph{zweistellige} oder \emph{binäre}) \emph{Relation} $R$ zwischen den Mengen $A$ und $B$ ist eine Teilmenge des kartesischen Produktes $A\times B$, also $R \subset A\times B$. Ist $(x,y) \in \mathbb{R}$, so schreibt man auch $xRy$ und sagt: $x,y$ stehen in der Relation $R$. Ist $A=B$, so sagt man auch: $R$ ist eine Relation in $A$. \item[Beispiel:] $A = B = \mathbb{R} \qquad R = \{(x,y) \in \mathbb{R}\times\mathbb{R}: x \leq y\}$ \begin{picture}(160,160) \put(100,0){\vector(0,1){130}} \put(40,60){\vector(1,0){130}} \put(50,10){\line(1,1){100}} \multiput(60,20)(20,20){5}{\line(-2,1){60}} \put(102,98){$y \geq x$} \put(120,70){$y < x$} \put(160,53){$x$} \put(102,123){$y$} \end{picture} \end{description} \subsection{Definition: Produkte von Relationen}\index{Verkettung von Relationen} Es seien $R \subset A\times B$ und $S \subset B\times C$ Relationen. Die \emph{Verkettung} oder das \emph{Produkt} $R\circ S$ ist folgende Relation zwischen $A$ und $C$: \begin{displaymath} R \circ S = \{(a,c) \in A\times C: \textnormal{ es existiert ein } b \in B \textnormal{ mit } (a,b) \in R \textnormal{ und }(b,c) \in S\} \end{displaymath} Sind $R_1,\, R_2$ und $R_3$ Relationen zwischen $M_1,\,M_2$ sowie $M_2,\,M_3$ und $M_3,\,M_4$, so gilt: \begin{displaymath} (R_1 \circ R_2) \circ R_3 = R_1 \circ (R_2 \circ R_3) \qquad \textnormal{(Assoziativgesetz)} \end{displaymath} \subsection{Beispiele: Produkte von Relationen} \begin{description} \item[a)] $R = \{(n,m) \in \mathbb{N}\times \mathbb{N} : |n-m| = 1\}$ \quad "`benachbarte Punkte"' $R \circ R = \{(n,m) \in \mathbb{N}\times \mathbb{N} : |n-m| = 2,\, |n-n| = 0\}$ \bigskip $S = \underbrace{R \circ R \circ \ldots \circ R}_{k-mal}$ $nSm$ genau dann, wenn man vom Punkt $n$ in $k$ Einzelschritten zum Punkt $m$ gelangen kann. \item[b)] Kind $\circ$ Kind = Enkelkind \qquad Kind $\circ$ Kind $\circ$ Kind = Urenkel \dots \end{description} \subsection{Inverse Relation}\index{inverse Relation} \begin{description} \item[Definition:] Es sei $R \subset A\times B$ eine Relation. Die zu $R$ \emph{inverse Relation} $R^{-1}$ wird durch \begin{displaymath} R^{-1} = \{(b,a): b \in B, a\in A, (a,b) \in \mathbb{R}\} \end{displaymath} definiert. \item[Beispiele:] $<$ "`kleiner als"' $($ in $\mathbb{R}) \Rightarrow$ invers: $>$ "`größer als"' \qquad \quad Kind $\Rightarrow$ invers: Eltern sein \end{description} \section{Spezielle Relationen} In diesem Abschnitt: Relationen einer Menge $A$ (also Teilmengen von $A\times A$). \bigskip Die \emph{Identität}\index{Identität, ident. Relation} $I$ (oder \emph{identische Relation}) wird durch $I = \{(a,a): a\in A\}$ definiert. Es ist $I^{-1} = I$. Anstelle von $aIb$ schreibt man auch $a=b$. \subsection{Definitionen} Eine Relation $R$ in $A$ heißt \bigskip \begin{tabular}{cl} (1) & \emph{reflexiv}\index{reflexiv, Relation}, wenn für alle $a \in A$ gilt: $aRa$\\ (2) & \emph{symmetrisch}\index{symmetrisch, Relation}, wenn aus $aRb$ folgt $bRa$\\ (3) & \emph{antisymmetrisch}\index{antisymmetrisch, Relation}, wenn aus $aRb$ und $bRa$ folgt $a =b$\\ (4) & \emph{transitiv}\index{transitiv, Relation}, wenn aus $aRb$ und $bRc$ folgt: $aRc$\\ \end{tabular} \begin{flushleft}\textbf{Beispiele:}\end{flushleft} \begin{tabular}{l|c|c|c|c} Eigenschaft & refl. & symm. & antis. & trans.\\ \hline "`parallel zu"' (zwischen Geraden) & ja & ja & nein & ja \\ "`orthogonal zu"' & nein & ja & nein & nein \\ "`Teiler von"' (natürliche Zahlen) & ja & nein & ja & ja \end{tabular} \subsection{Ordnungsrelation}\index{Ordnungsrelation} \begin{description} \item[Definition:] Eine Relation heißt \emph{Ordnungsrelation}, wenn sie reflexiv, transitiv und antisymmetrisch ist. \item[Beispiele:] \quad \begin{tabular}{cp{9cm}} (a) & $\leq$ in $\mathbb{R}$ \\ (b) & $n -\!\!\!\!\! ^{\alpha}\,\, m$ bedeutet: $m$ ist durch $n$ teilbar. Dann ist $n -\!\!\!\!\! ^{\alpha}\,\, m$ eine Ordnungsrelation in $\mathbb{N}$. \\ (c) & $M$ sei eine Menge und $A = P(M)$ (Potenzmenge von $M$). $X -\!\!\!\!\! ^{\alpha}\,\, Y$ bedeutet $X$ ist eine Teilmenge von $Y$. \end{tabular} \end{description} Eine Ordnungsrelation $-\!\!\!\! ^{\alpha}$ in $A$ heißt \emph{vollständig} (\emph{total}), wenn für beliebige $a$ und $b \in A$ entweder $a -\!\!\!\!\! ^{\alpha}\,\,b$ oder $b -\!\!\!\!\! ^{\alpha}\,\,a$. Andernfalls heißt $-\!\!\!\! ^{\alpha}$ eine \emph{Teilordnung} oder \emph{partielle Ordnung}. \index{Teilordnung, Relation} \index{partielle Ordnung} \subsection{Äquivalenzrelation}\index{Äquivalenzrelation} \begin{description} \item[Definition:] Eine Relation $R$ in $A$ heißt \emph{Äquivalenzrelation}, wenn sie reflexiv, transitiv und symmetrisch ist. Gilt $aRb$ so sagt man: $a$ und $b$ sind \emph{äquivalent} (bezüglich $R$).\index{äquivalent, Relation} \newpage \item[Beispiele:] \quad \begin{itemize} \item die Identität ist eine Äquivalenzrelation und wird mit $=$ bezeichnet. \item $n \sim m$ bedeute: $n-m$ ist durch 3 teilbar $(n,m \in \mathbb{Z})$ \item $n \sim n: \,\, n-n = 0$ ist durch 3 teilbar $\rightarrow$ reflexiv \item $n \sim m \Rightarrow m \sim n:$ wenn $n-m$ durch 3 teilbar ist, dann ist auch $m-n$ teilbar $\rightarrow$ symmetrisch \item Transitivität: wenn $n \sim m$ und $m \sim k$ dann $n \sim k$. Annahme: $n-m$ ist durch 3 teilbar und $m-k$ ist durch 3 teilbar. $n-k = \underbrace{n-m}_{\scriptscriptstyle{teilbar}} + \underbrace{m-k}_{\scriptscriptstyle{teilbar}} \Rightarrow$ durch 3 teilbar $\Rightarrow n-k$ durch 3 teilbar \smallskip Andere Schreibweise: $n \equiv m \textnormal{ mod } 3$ (sprich: "`$n$ kongruent $m$ modulo 3"') \end{itemize} \end{description} \subsection{Definition: Äquivalenzklassen}\index{Äquivalenzklassen} Sei $\sim$ eine Äquivalenzrelation in $A$: Mengen der Form $K_a = \{b\in A: a \sim b\}$, $a \in A$ heißen \emph{Äquivalenzklassen} (bezüglich $\sim$). \begin{itemize} \item Zwei Äquivalenzklassen sind entweder disjunkt oder gleich \item Die Vereinigung aller Äquivalenzklassen ist gleich $A$ \end{itemize} Die Menge aller Äquivalenzklassen heißt \emph{Quotientenmenge}.\index{Quotientenmenge} \subsection{Beispiele: Äquivalenzklassen} \begin{tabular}{cp{10cm}} (a) & Identität in $A$: \quad $K_a = \{a\}$ \\ \\ (b) & $n \sim m$ bedeute $n \equiv m \textnormal{ mod } 3 \,\,\, (n,m \in \mathbb{Z})$ \\ \\ & $K_0 = \{3l: l\in \mathbb{Z}\} = \{\ldots , -3,0,3,6,\ldots\}$ \\ \\ & "`Für welche Zahlen $k$ ist $k-0$ durch 3 teilbar?"' \\ \\ & $K_1 = \{3l+1: l\in \mathbb{Z}\} = \{\ldots , -2,1,4,7,\ldots\}$ \\ \\ & $K_2 = \{3l+2: l\in \mathbb{Z}\} = \{\ldots , -1,2,5,8,\ldots\}$ \\ \\ & $K_3 = K_0; K_4 = K_1, \ldots ; K_n = K_{n-3}$ \\ \\ & $K_0 \cup K_1 \cup K_2 = \mathbb{Z}$ \end{tabular} \section{Abbildungen, Funktionen}\index{Abbildung}\index{Funktion} Die "`klassische Definition"': Gegeben seien 2 Mengen $D$ und $Z$. Eine \emph{Funktion} (\emph{Abbildung}) $f$ von $D$ in $Z$ ist eine Zuordnungsvorschrift $f\!\!\!:\!\!x \longrightarrow f(x)$ die jedem Element $x$ aus $D$ ein Element $f(x)$ aus $Z$ zuordnet. ($x$: \emph{Argument}, $f(x)$: \emph{Funktionswert}) \subsection{Definition: Funktion} Seien $A$ und $B$ Mengen. Eine Relation $f \subset A\times B$ heißt eine \emph{Funktion} (von $A$ in $B$), wenn es zu jedem $x \in A$ genau ein $y \in B$ mit $(x,y) \in f$ gibt. Dieses $y$ wird auch mit $f(x)$ bezeichnet. Anstelle von $(x,y) \in f$ oder $xfy$ schreibt man $y = f(x)$. Die Menge $A$ heißt \emph{Definitionsbereich} von $f$ und wird mit $D_f$ bezeichnet.\index{Definitionsbereich} Die Menge $W_f = \{f(x): x \in D_f\}$ heißt \emph{Wertebereich} von $f$.\index{Wertebereich} \bigskip \begin{tabular}{ll} Sprechweisen: & $f$ bildet $D_f$ \underline{in} $B$ ab, wenn $W_f \subset B$ \\ & $f$ bildet $D_f$ \underline{auf} $B$ ab, wenn $W_f = B$ \end{tabular} \subsection{Beispiele} \begin{tabular}{llll} (a) & $f\!\!:\!\!x \longrightarrow x^2$ & $D_f = \mathbb{R}$ & $W_f = [0, \infty)$ \\ (b) & $g\!\!:\!\!x \longrightarrow x^2$ & $D_g = [1,2]$ & $W_f = [1,4]$ \\ (c) & $f(x) = \frac{1}{x}$ & $D_f = \mathbb{R} \smallsetminus \{0\}$ & $W_f = \mathbb{R} \smallsetminus \{0\}$ \\ (d) & $f(x) = x^2-1$ & $D_f = \mathbb{R}$ & $W_f = [-1, \infty]$ \end{tabular} \subsection{Umkehrfunktion}\index{Umkehrfunktion}\index{inverse Funktion} \begin{description} \item[Definition:] Die Funktion $f:D_f \longrightarrow W_f$ heißt \emph{umkehrbar}, wenn auch die inverse Relation $f^{-1}$ eine Funktion ist. $f^{-1}$ wird \emph{Umkehrfunktion} oder \emph{inverse Funktion} von $f$ genannt. \textbf{invertierbar} \qquad\qquad\qquad \textbf{nicht invertierbar} \begin{center} \xymatrix{&x_1 \ar[r] & f(x_1) & & x_1 \ar[r] & f(x_1)\\ &x_2 \ar[r] & f(x_2) & & x_2 \ar[r] & f(x_2) = f(x_3)\\ &&&&x_3 \ar[ru] & \\ } \end{center} (invertierbar $\Leftrightarrow$ wenn aus $x_1 \ne x_2$, $f(x_1) \ne f(x_2)$ folgt.) \item[Beispiele:] \quad \begin{tabular}{lllll} (a) & $f(x) = x^2$ & $D_f = \mathbb{R}$ & \underline{nicht umkehrbar} & $f(-x) = f(x)$\\ (b) & $g(x) = x^2$ & $D_f = [0,\infty)$ & $g$ ist umkehrbar & $g^{-1} = \sqrt{x}$\\ \end{tabular} \end{description} %%\psset{xunit=1.5cm,yunit=1.5cm} %%\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(1.8,2) %%\psline[linewidth=1pt]{->}(-0.1,0)(2,0) %%\psline[linewidth=1pt]{->}(0,-0.1)(0,2) %%\psplot{0}{1.4}{x 2 exp} %%\psline[linewidth=0.5pt]{-}(1,-0.05)(1,0.05) %%\psline[linewidth=0.5pt]{-}(-0.05,1)(0.05,1) %%\rput[l](0.96,-0.2){$1$} %%\rput[l](1.8,-0.1){$x$} %%\rput[l](-0.2,1){$1$} %%\rput[l](-0.2,1.9){$y$} %%\rput[l](0.1,1.6){$f(x) = x^2$} %%\end{pspicture} %%\begin{minipage}[b]{2cm} %%\qquad\quad %%\end{minipage} %%\begin{minipage}[b]{6cm} %%\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(1.8,2) %%\psline[linewidth=1pt]{->}(-0.1,0)(2,0) %%\psline[linewidth=1pt]{->}(0,-0.1)(0,2) %%\psplot{0}{1.9}{x 0.5 exp} %%\psline[linewidth=0.5pt]{-}(1,-0.05)(1,0.05) %%\psline[linewidth=0.5pt]{-}(-0.05,1)(0.05,1) %%\rput[l](0.96,-0.2){$1$} %%\rput[l](1.8,-0.1){$x$} %%\rput[l](-0.2,1){$1$} %%\rput[l](-0.2,1.9){$y$} %%\rput[l](0.3,1.6){$f^{-1}(x) = \sqrt{x}$} %%\end{pspicture} %%\end{minipage} \subsection{Verkettung von Funktionen}\index{Verkettung, Funktionen} Gegeben seien zwei Funktionen $f$ und $g$ mit $W_f \subset D_g$. Dann heißt die Funktion $h(x) = g(f(x))$, $x \in D_f$ die \emph{Verkettung} von $f$ und $g$. $f$ heißt die \emph{innere Funktion}, $g$ heißt \emph{äußere Funktion}. Ist $f$ umkehrbar, so gilt \framebox{$f(f^{-1}(x)) = x \quad f^{-1}(f(x)) = x$}. \index{äußere Funktion}\index{innere Funktion} \bigskip \begin{center} \begin{picture}(200,50) \put(20,25){\circle{28}} \put(15,22){$D_f$} \put(180,25){\circle{28}} \put(175,26){$W_g$} \put(172,17){$\scriptscriptstyle{g(\!f\!(\!x\!)\!)}$} \put(100,25){\circle{28}} \put(95,26){$W_f$} \put(94,17){$\scriptscriptstyle{f(x)}$} \put(34,25){\vector(1,0){52}} \put(120,25){\vector(1,0){46}} \put(57,28){$f$} \put(137,28){$g$} \qbezier(100,11)(133,0)(168,17) \put(168,17){\vector(2,1){0}} \qbezier(20,11)(100,-15)(180,11) \put(180,11){\vector(4,1){0}} \qbezier(100,50)(75,50)(75,25) \qbezier(100,50)(125,50)(125,25) \qbezier(100,0)(125,0)(125,25) \qbezier(100,0)(75,0)(75,25) \put(110,35){$\scriptstyle{D_g}$} \put(75,-12){$g(f) = g \circ f$} \end{picture} \end{center} \chapter{Reelle Funktionen}\index{reele Funktion} \section{Eigenschaften, Beispiele} Es sei $f$ eine Funktion. Gilt $D_f \subset \mathbb{R}$, dann spricht man von einer \emph{Funktion einer reellen Variablen}. Es sei $f$ eine Funktion. Gilt $D_f \subset \mathbb{C}$, dann spricht man von einer \emph{Funktion einer komplexen Variablen}. Wenn $D_f \subset \mathbb{R}$ und $W_f \subset \mathbb{R}$, dann wird $f$ eine \emph{reelle} Funktion genannt. \subsection[Spezielle Funktionen]{Einige spezielle Funktionen} \begin{enumerate} \item Konstante Funktionen: $f(x) = c \quad (\forall x \in D_f)$ \item Lineare Funktionen: $f(x) = ax+b \quad (a,b, x \in \mathbb{R})$ \item Polynom: $f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x^1 + a_0 x^0$ \item Betragsfunktion: $|x| = \left\{\begin{array}{cl}x & \textnormal{wenn } x \geq 0 \\ -x & \textnormal{wenn } x < 0 \end{array}\right.$ \item Signumfunktion: $\textnormal{sgn}(x) = \left\{\begin{array}{cl}-1 & \textnormal{wenn } x < 0 \\ 0 & \textnormal{wenn } x = 0 \\ 1 & \textnormal{wenn } x > 0\end{array}\right.$ \end{enumerate} \subsection{Eigenschaften von Funktionen} \subsubsection{Monotonie}\index{Monotonie} Eine Funktion $f$ heißt \emph{monoton wachsend} bzw. \emph{streng monoton wachsend}, wenn für alle $x_1,x_2 \in D_f \quad x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \leq f(x_2)$ bzw. $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$. Eine Funktion $f$ heißt \emph{monoton fallend} bzw. \emph{streng monoton fallend}, wenn für alle $x_1,x_2 \in D_f \quad x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \geq f(x_2)$ bzw. $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$. \newpage \begin{description} \item[Beispiele:] \quad \begin{enumerate} \item Konstante Funktion: monoton wachsend, monoton fallend (\emph{nicht} streng monoton!) \item $f(x) = \sqrt{x} \quad D_f = [0,\infty )$ \quad streng monoton wachsend \item $f(x) = x^2 \quad D_f = \mathbb{R}$ \quad nicht monoton, aber im Intervall $(-\infty ; 0]$ monoton fallend und im Intervall $[0 ; \infty]$ monoton wachsend. \end{enumerate} \end{description} \bigskip Streng monotone Funktionen sind umkehrbar. \bigskip \subsubsection{Beschränktheit}\index{Beschränktheit, reelle Fkt.} Eine Funktion $f$ heißt \emph{beschränkt}, wenn $W_f$ beschränkt ist. Eine Funktion $f$ heißt \emph{von unten beschränkt}, wenn $W_f$ von unten beschränkt ist. Eine Funktion $f$ heißt \emph{von oben beschränkt}, wenn $W_f$ von oben beschränkt ist. \begin{description} \item[Beispiele:] \quad \begin{tabular}{lp{9cm}} $f(x) = 1$ & $(x \in \mathbb{R})$ ist beschränkt\\ $f(x) = x^2$ & $(x \in \mathbb{R})$ ist nicht beschränkt, da $W_f = [0;\infty )$ aber von unten beschränkt $(f(x) \geq 0)$. ("`0 ist untere Schranke der Funktion"')\\ \end{tabular} \end{description} \bigskip \subsubsection{Gerade/Ungerade}\index{gerade Funktion}\index{ungerade Funktion} Eine Funktion $f$ heißt \emph{ungerade}, wenn für alle $x \in D_f$ gilt $f(-x) = -f(x)$. Eine Funktion $f$ heißt \emph{gerade}, wenn für alle $x \in D_f$ gilt $f(x) = f(-x)$. \begin{description} \item[Beispiele:] \quad Ungerade: $f(x) = x \quad f(x) = x^3 \quad f(x) = \sin x \quad$ $\Rightarrow$ Graph symmetrisch bzgl. 0 \bigskip Gerade: $f(x) = 1 \quad f(x) = x^2 \quad f(x) = \cos x$ $\Rightarrow$ Graph symmetrisch zur y--Achse \end{description} \subsubsection{Periodizität}\index{Periodizität, Funktionen} Eine Funktion $f:\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ heißt periodisch mit der Periode $p$, wenn für alle $x \in \mathbb{R}$ gilt: $f(x+p) = f(x)$ . \begin{description} \item[Beispiele:] \quad $f(x) = \sin x\,\,\, (p = 2\pi )$ \smallskip $f(x) = \cos x\,\,\,(p = 2\pi )$ \smallskip $f(x) = x - \llcorner x\lrcorner \,\,\, (p = 1) \quad ( \llcorner x\lrcorner := \textnormal{f\/loor}(x) = \textnormal{ größte Zahl }\leq x)$ \end{description} \subsection{Beispiele zur Bestimmung der Umkehrfunktion}\index{Umkehrfunktion, Bestimmung} \begin{enumerate} \item $f(x) = \sqrt{x} \quad D_f = W_f = [0,\infty ) \quad f$ ist streng monoton wachsend \smallskip $\Rightarrow f$ ist umkehrbar. \smallskip $g(x) = \sqrt{x} $ \quad nach $x$ umstellen: $x = y^2$ \smallskip $f^{-1}:y = y^2$, oder weil die Variablennamen frei wählbar sind: \smallskip $f^{-1}(x) = x^2$ \item $f\,[0,2] \rightarrow [4,10]$ \quad mit $f(x) = y = 3x+4 \quad (D_f=[0,2], W_f=[4,10])$ \smallskip $f$ ist streng monoton (wachsend) $\Rightarrow$ umkehrbar \smallskip $y = 3x+4$ nach $x$ umstellen: $x = \frac{y-4}{3}$ \smallskip d.h. $f^{-1}(y) = \frac{y-4}{3}$ oder $f^{-1}(x) = \frac{x-4}{3}$. \smallskip $D_{f^{-1}} = [4,10] = W_f \quad W_{f^{-1}} = [0,2] = D_f$ \item $f(x) = e^x$ ist streng monoton wachsend, die Umkehrfunktion wird mit $\ln x$ oder $\log x$ bezeichnet. \end{enumerate} \section{Polynome}\index{Polynome}\index{Koeffizienten, Polynome} Eine Funktion $P:\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ mit $P(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1}+\ldots + a_1 x^1 + a_0$, mit $x, a_0,\ldots,a_n \in \mathbb{R}, a_n \ne 0$ heißt ein \emph{reelles Polynom n--ten Grades}. Sind $a_j$ und $x$ aus $\mathbb{C}$, so heißt $P$ ein \emph{komplexes Polynom}. Die Zahlen $a_j$ heißen \emph{Koeffizienten} des Polynoms. \subsection{Satz: Gleichheit von Polynomen} Zwei Polynome $a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1}+\ldots + a_1 x^1 + a_0$ und $b_n x^n + b_{n-1}x^{n-1}+\ldots + b_1 x^1 + b_0$ sind genau dann gleich für alle $x\in \mathbb{R}$, wenn $a_j = b_j\,\, (j = 0,1,\ldots ,n)$. \subsection{Satz} Ist $P$ ein Polynom $n--$ten Grades ($n \geq 1$) und ist $x$ eine Nullstelle von $P$, so existiert ein Polynom $Q(x) = b_{n-1}x^{n-1}+\ldots b_0$ vom Gerade $n-1$ mit $P(x) = (x-x_1) Q(x).$ \begin{description} \item[Beispiel:] \quad $P(x) = x^3 - 67x -126 \qquad P(-2) = 0 \Rightarrow x_1 = -2 $ ist eine Nullstelle und $P(x) = (x+2)(x^2-2x-63).$ Aus der Produktdarstellung: weitere Nullstellen: $x_2 =9,\,\, x_3 = -7$. \end{description} \subsection{Das Horner-Schema}\index{Horner--Schema} Benannt nach \textsc{W. G. Horner}, 1819 (England), jedoch in China bereits 1303 von \textsc{Chu Shili--Chieh} entdeckt. \bigskip \begin{displaymath} P(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_1 x^1 + a_0 \end{displaymath} \begin{displaymath} \begin{array}{c|cccccccc} & a_n & a_{n-1} & a_{n-2} & \cdots & a_{j} & \cdots & a_1 & a_0 \\ & & + & + & \cdots & + & \cdots & + & + \\ x_1 & & b_{n-1}x_1 & b_{n-2}x_1 & \cdots & b_{j}x_1 & \cdots & b_1 x_1 & b_0 x_1 \\ \hline & b_{n-1} & b_{n-2} & b_{n-3} & \cdots & b_{j-1} & \cdots & b_0 & P(x_1) \end{array} \end{displaymath} \begin{enumerate} \item Schnelle Berechnung von $P(x)$ \item Ist $P(x) = 0$, dann gilt $P(x) = (x-x_1) Q(x)$ mit $Q(x) = b_{n-1} x^{n-1} + \ldots + b_0$ \end{enumerate} \subsection{Beispiele zum Hornerschema} \begin{enumerate} \item $P(x) = x^3 - 67x - 126$ Nullstelle $x_1 = -2$ (durch ausprobieren ermittelt). \begin{displaymath} \begin{array}{c|rrrrl} & 1 & 0 & -67 & -126 \\ x_1 = -2 & & -2 & 4 & 126 \\ \hline & 1 & -2 & -63 & 0& = P(x_1) \\ \end{array} \end{displaymath} $\Rightarrow x^3 - 67x - 126 = (x+2)(x^2-2x-63)$ \bigskip \item $P(x) = 4x^5 - 6x^4 - 13x^3 + 3x^2 - x - 159 \qquad x_1 = 3$ \begin{displaymath} \begin{array}{c|rrrrrrl} & 4 & -6 & -13 & 3 & -1 & -159 \\ x_1=3 & & 12 & 18 & 15 & 54 & 159 \\ \hline & 4 & 6 & 5 & 18 &53 & 0 & = P(3) \end{array} \end{displaymath} $\Rightarrow P(x) = (x-3)(4x^4 + 6x^3 + 5x^2 + 18x + 53)$ \end{enumerate} \subsubsection{Algorithmische Beschreibung des Hornerschemas} \begin{verbatim} y = a[n]; for (i=n-1;i >= 0;i--) y = x*y+a[i]; \end{verbatim} \subsection{Satz}\index{Nullstellen, Polynome} \begin{enumerate} \item Ein Polynom $n$--ten Grades ($n > 0$) hat höchstens $n$ Nullstellen und \emph{genau} $n$ komplexe Nullstellen. (z.B. $x^2 = -1$ hat keine reelle Nullstelle, jedoch die komplexen Nullstellen $+i$ und $-i$. \item Ist $P(x)= a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1} + \dots a_1x+a_0$ ein Polynom $n$--ten Grades, und sind $x_1,\dots x_n$ Nullstellen von $P$, dann gilt: \begin{displaymath} P(x) = a_n(x-x_1)(x-x_2)\cdots (x-xn) \end{displaymath} Man nennt die Faktoren $x-x_j$ \emph{lineare Faktoren}. \index{lineare Faktoren} \begin{description} \item[Folgerung:] Zwei Polynome $P$ und $Q$ $n$--ten Grades stimmen überein, wenn sie an $n+1$ verschiedenen Stellen übereinstimmen. \item[Beweis:] $P-Q$ ist ein Polynom höchstens $n$--ten Grades und hat mindestens $n+1$ Nullstellen (= Übereinstimmung von $P$ und $Q$). $\Rightarrow P-Q = 0$ (wegen Satz 4.2.5). \item[Bemerkung:] Hat $P$ reelle Koeffizienten, so liegen die komplexen Nullstellen symmetrisch bzgl. der reellen Achse (z.B. $x^2 + 1 = 0$). \end{description} \end{enumerate} \subsection{Definition: Mehrfache Nullstellen}\index{mehrfache Nullstellen} Es sei $P$ ein Polynom $n$--ten Grades. Dann heißt $x_1$ eine $k$--fache Nullstelle von $P$, wenn ein Polynom $Q$ von $(n-k)$--ten Grades mit $Q(x_1) \ne 0$ existiert, so daß $P(x) = (x-x_1)^k Q(x)$. \subsection{Beispiele: Mehrfache Nullstellen} $P(x) = x^5 - 6x^4 + 13x^3 - 14x^2 + 12x - 8$ \smallskip \begin{displaymath} \begin{array}{l|rrrrrrl} & 1 & -6 & 13 & -14 & 12 & -8 \\ x_1=2 & & 2 & -8 & 10 & -8 & 8 \\ \hline & 1 & -4 & 5 & -4 & 4& 0 & =P(2) \end{array} \end{displaymath} \smallskip $\Rightarrow P(x) = (x-2)(x^4-4x^3+5x^2-4x+4)$ \smallskip \begin{displaymath} \begin{array}{l|rrrrrl} & 1 & -4 & 5 & -4 & 4\\ x=2 & & 2 & -4 & 2 & -4 \\ \hline & 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & = P(2) \end{array} \end{displaymath} \smallskip $\Rightarrow P(x) = (x-2)^2(x^3-2x^2+x-2)$ \smallskip \newpage \begin{displaymath} \begin{array}{l|rrrrl} & 1 & -2 & 1 & -2 \\ x=2 & & 2 & 0 & 2 \\ \hline & 1 & 0 & 1 & 0 &= P(2) \end{array} \end{displaymath} \smallskip $\Rightarrow P(x) = (x-2)^3\underbrace{(x^1+1)}_{\textnormal{\tiny{keine NST}}}$ \bigskip $\Rightarrow 2$ ist eine 3--fache Nullstelle von $P$ \subsection{Satz zur Produktdarstellung}\index{Produktdarstellung, Polynome} Jedes reelle Polynom $P$ $n$--ten Grades besitzt eine Produktdarstellung. \smallskip \begin{displaymath} P(x) = a(x-x_1)^{k_1} \cdots a(x-x_j)^{k_j} (x^2 + p_1x+q_1)^{l_1} \cdots (x^2 + p_mx+q_m)^{l_m} \quad (x \in \mathbb{R}) \end{displaymath} mit $a,p_i,q_i \in \mathbb{R}$ wobei die Faktoren $x^2+p_ix+q_i$ keine reelle Nullstellen besitzten (irreduzible Faktoren).\index{irreduzible Faktoren} \bigskip \begin{flushleft} Jedes komplexe Polynom $P$ $n$--ten Grades besitzt folgende Darstellung: \end{flushleft} \begin{displaymath} P(z) = b(z-z_1)(z-z_2)(z-z_n) \quad z \in \mathbb{C} \end{displaymath} mit $b,z \in \mathbb{C}$ (Fundamentalsatz der Algebra).\index{Fundamentalsatz d. Algebra} \subsection{Satz} Seien $x_0, \ldots x_n, y_0 \ldots y_n \in \mathbb{R}$ gegeben und die $x_j$ alle verschieden. Dann gibt es ein Polynom höchstens $n$--ten Grades mit $P(x_j) = y_j \quad (j = 0, \ldots n)$ \bigskip \begin{minipage}[b]{100pt} n = 0 \begin{picture}(100,90) \put(5,15){\vector(1,0){90}} \put(15,5){\vector(0,1){80}} \put(0,50){\line(1,0){90}} \multiput(50,13)(0,4){12}{\line(0,1){2}} \thicklines \put(13,50){\line(1,0){4}} \put(50,13){\line(0,1){4}} \put(47,7){$\scriptstyle x_0$} \put(6,53){$\scriptstyle y_0$} \put(50,50){\circle*{2}} \put(87,8){$\scriptstyle x$} \put(8,76){$\scriptstyle y$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[b]{100pt} n = 1 \begin{picture}(100,90) \put(5,15){\vector(1,0){90}} \put(15,5){\vector(0,1){80}} \put(10,10){\line(1,1){65}} \multiput(50,13)(0,4){12}{\line(0,1){2}} \multiput(13,50)(4,0){12}{\line(1,0){2}} \multiput(35,13)(0,4){7}{\line(0,1){2}} \multiput(13,35)(4,0){7}{\line(1,0){2}} \put(87,8){$\scriptstyle x$} \put(8,76){$\scriptstyle y$} \thicklines \put(47,7){$\scriptstyle x_1$} \put(5,50){$\scriptstyle y_1$} \put(32,7){$\scriptstyle x_0$} \put(5,35){$\scriptstyle y_0$} \put(50,50){\circle*{2}} \put(35,35){\circle*{2}} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[b]{100pt} n = 2 \begin{picture}(100,90) \put(0,15){\vector(1,0){100}} \put(50,5){\vector(0,1){80}} \put(87,8){$\scriptstyle x$} \put(43,76){$\scriptstyle y$} \qbezier(50,20)(15,20)(15,70) \qbezier(50,20)(85,20)(85,70) \put(50,20){\circle*{2}} \put(22,35){\circle*{2}} \put(78,35){\circle*{2}} \end{picture} \end{minipage} \subsection{Der Newtonsche Ansatz}\index{Newtonschema, Polynome} $P(x) = c_0 + c_1(x-x_0)+c_2(x-x_0)(x-x1) + \dots + c_n(x-x_0)(x-x_1)\cdots(x-x_{n-1})$ \bigskip $x_j$: Stützstellen \bigskip Rechenschema: \begin{displaymath} \begin{array}{cc|ccc} x_0 & y_0 \\ & & [x_1x_0] \\ x_1 & y_1 & & [x_2x_1x_0]\\ & & [x_2x_1] & & \cdots \\ x_2 & y_2 & &[x_3x_2x_1] \\ & & [x_3x_2]\\ \vdots& \vdots& \vdots & \vdots\\ \end{array} \end{displaymath} \begin{center} \begin{displaymath} [x_{j+1} x_j] = \frac{y_{j+1} - y{j}}{x_{j+1} - x_j} \end{displaymath} (Steigung erster Ordnung) \begin{displaymath} [x_{j+m}x_{j+m-1} \cdots x_{j}] = \frac{[x_{j+m} \cdots x_{j+1}] - [x_{j+m-1} \cdots x_{j}]}{x_{j+m} - x_j} \end{displaymath} (Steigung $m$--ter Ordnung) \end{center} $c_0 = y_0,\quad c_j =[x_jx_{j-1} \cdots x_0] \quad j = 1,\dots ,n$ \subsection{Beispiel zum Newtonschema} Man bestimme ein Polynom $P$, dessen Kurvenbild durch folgende Punkte geht: $P_0 (-3,-40), P_1(0,-4), P_2(1,-8), P_3(3,-46) $ und $P_4(6,-148)$ \begin{displaymath} \begin{array}{rr|rrrr} x&y\\ \hline -3 & \framebox{-40} \\ & & \framebox{12} \\ 0 & -4 & & \framebox{-4}\\ && -4 & & \framebox{0}\\ 1 & -8 & & 4 & & \framebox{0}\\ && -16 && 0 \\ 3 & -46 & & -4\\ &&-36\\ 6 & -148 \end{array} \end{displaymath} Die Werte $c_0 \ldots c_n$ in den Ansatz einsetzen: $P(x) = -40+ 12(x+3) - 4(x+3)(x-0) = -4x^2-4$ \section{Rationale Funktionen} \subsection{Definition: Rationale Funktionen}\index{gebrochen rationale Funktion} Unter einer \emph{(gebrochen) rationalen Funktion} $R$ verstehen wir den Quotienten zweier Polynome: \begin{displaymath} R(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{a_mx^m + \dots + a_1x^1 + a_0}{b_nx^n + \dots + b_1x^1 + b_0} \qquad (a_m, b_n, Q(x) \ne 0) \end{displaymath} \index{echt gebrochen rat. Funktion}\index{unecht gebrochene Funktion} Im Falle $m < n$ heißt $R$ \emph{echt gebrochen}, im Falle $m \geq n$ heißt $R$ \emph{unecht gebrochen}. \bigskip \index{Nullstelle, Polynome} $x_1$ heißt \emph{Nullstelle} von $R$, wenn $P(x_1) = 0$ und $Q(x_q) \ne 0$. \bigskip Sei $x_1$ eine $k$--fache Nullstelle von $Q$ ($k = 1,2,\dots$) und eine $l$--fache Nullstelle von $P$ ($l = 1,2,\dots$) [0--fache Nullstelle = keine Nullstelle]. Wenn $k \leq l$, dann heißt $x_1$ eine \emph{Lücke} von $R$, wenn k > l, dann heißt $x_1$ eine \emph{Polstelle} von $R$.\index{Polstelle} \index{Lücke} \subsection{Beispiele rationaler Funktionen} \begin{enumerate} \item $f(x) = \frac{x-1}{x+2}$ \qquad rationale Funktion, unecht gebrochen $D_f = \mathbb{R} \smallsetminus \{-2\}$ Polstelle bei $-2$, Nullstelle bei 1, keine Lücke. \begin{displaymath} f(x) = \frac{x-1}{x+2} = \frac{x+2-2-1}{x+2} = 1 - \underbrace{\frac{3}{x+2}}_{\textnormal{\tiny{echt gebr. rat. Fkt.}}} \end{displaymath} \begin{center} Skizze: \begin{picture}(150,150) \put(0,75){\vector(1,0){150}} \put(75,0){\vector(0,1){150}} \put(77,140){$\scriptstyle y$} \put(140,68){$\scriptstyle x$} \put(42,68){$\scriptstyle -2$} \put(96,68){$\scriptstyle 1$} \put(77,91){$\scriptstyle 2$} \multiput(0,90)(4,0){36}{\line(1,0){2}} \multiput(40,0)(0,4){36}{\line(0,1){2}} \thicklines \qbezier(0,76)(40,75)(39,115) \qbezier(41,0)(55,75)(140,90) \put(73,90){\line(1,0){4}} \put(40,73){\line(0,1){4}} \put(95,73){\line(0,1){4}} \end{picture} \end{center} \newpage \item $f(x) = \frac{x^2-4}{x-2}$ \qquad unecht gebrochene rationale Funktion $D_f=\mathbb{R} \smallsetminus \{2\}$ \begin{minipage}[b]{5cm} \begin{displaymath} f(x) = \frac{(x+2)(x-2)}{(x-2)} \end{displaymath} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{5cm} \begin{tabular}{ll} Nullstellen: & $-2$ \\ Polstellen: &keine \\ Lücken: &2 \end{tabular} \end{minipage} \bigskip \begin{minipage}[c]{5cm} $f(x) = x+2$ für $x \ne 2$ \bigskip Lücke bei $x = 2$ \end{minipage} \begin{minipage}[c]{100pt} \begin{picture}(100,100) \put(0,30){\vector(1,0){100}} \put(95,23){$\scriptstyle x$} \put(50,0){\vector(0,1){100}} \put(53,95){$\scriptstyle y$} \put(10,10){\line(1,1){80}} \put(55,48){$\scriptstyle 2$} \put(25,20){$\scriptstyle -2$} \put(69,20){$\scriptstyle 2$} \multiput(70,28)(0,4){13}{\line(0,1){2}} \put(70,70){\circle{3}} \thicklines \put(30,28){\line(0,1){4}} \put(70,28){\line(0,1){4}} \put(48,50){\line(1,0){4}} \end{picture} \end{minipage} \bigskip \item $f(x) = \frac{x-2}{x^2 -4} \qquad D_f = \mathbb{R}\smallsetminus \{-2;2\} $ \begin{displaymath} f(x) = \frac{x-2}{x^2 -4} = \frac{x-2}{(x+2)(x-2)} = \frac{1}{x+2} \quad \textnormal{wenn } x\ne \pm 2 \end{displaymath} \begin{tabular}{lr} Nullstellen: & keine \\ Polstellen: & $-2$ \\ Lücken: & 2 \end{tabular} \end{enumerate} \subsection{Satz} Jede unecht gebrochene rationale Funktion $R$ lässt sich in der Form $R = P + R_1$ schreiben, wobei $P$ ein Polynom und $R_1$ eine echt gebrochene rationale Funktion ist. \subsection{Beispiel: Polynomdivision}\index{Polynomdivision} \begin{displaymath} R(x) = \frac{3x^4 + 7x^3+ x^2+5x+1}{x^2+1} \qquad P = ?\quad R_1 = ? \end{displaymath} \begin{displaymath} \begin{array}{c@{}c@{}c@{}c@{}c@{}ccc@{}ccl} & (3x^4 & +7x^3 & +x^2 & +5x & +1) & : & (x^2 & +1)& = & 3x^2+7x-2 = P\\ - & (3x^4 & & +3x^2) \\ \cline{1-6} & & (7x^3& -2x^2 & +5x & +1)\\ & -& (7x^3 & & +7x) \\ \cline{2-6} & & & (-2x^2 & -2x & +1) \\ & &-& (-2x^2 & & -2) \\ \cline{3-6} & & & & -2x & +3 & & \multicolumn{4}{l}{\textnormal{Grad} = 1 < \textnormal{Grad d. Nenners}}\\ \end{array} \end{displaymath} Daraus folgt: \begin{displaymath} R(x) = \underbrace{3x^2+7x-2}_{P(x)} + \underbrace{\frac{-2x+3}{x^2+1}}_{R_1(x)} \end{displaymath} \subsection{Satz: Partialbruchzerlegung}\index{Partialbruchzerlegung} Das Nenner--Polynom $Q$ einer gebrochen rationalen Funktion $R = \frac{P}{Q}$ möge folgende Produktdarstellung besitzen (irreduzible Faktoren): \begin{displaymath} Q(x) = a(x-x_1)^{k_1} \cdots (x-x_j)^{k_j} (x^2+p_1x+q_1)^{l_1} \end{displaymath} Dann lässt sich $R$ als Summe von Teilbrüchen in der Form: \begin{displaymath} R(x) = \frac{A_{11}}{x-x_1} + \frac{A_{12}}{(x-x_1)^2} + \dots + \frac{A_{1k_1}}{(x-x_1)^{k_1}} + \frac{A_{j1}}{x-x_j} + \frac{A_{j2}}{(x-x_j)^2} + \dots \end{displaymath} \begin{displaymath} + \frac{A_{jk_j}}{(x-x_j)^{k_j}} + \frac{B_{11}x+C_{11}}{x^2+p_1x+q_1} + \frac{B_{12}x+C_{12}}{(x^2+p_2x+q_2)^2} + \dots + \end{displaymath} \begin{displaymath} \frac{B_{1l_1}x+C_{1l_1}}{(x^2+p_1x+q_1)^{l_1}} + \frac{B_{m1}x+C_{m1}}{x^2+p_mx+q_m} + \frac{B_{m2}x+C_{m2}}{(x^2+p_mx+q_m)^{2}} + \frac{B_{ml_m}x+C_{ml_m}}{(x^2+p_mx+q_m)^{l_m}} \end{displaymath} \subsection{Partialbruchzerlegung: Lösungsmethode} \subsubsection{Beispiel 1} \begin{displaymath} R(x) = \frac{-x^2 + 20x + 149}{x^3+4x^2-11x-30} \qquad \textnormal{echt gebrochen} \end{displaymath} \begin{description} \item[1. Produktdarstellung des Nenners] (Mittels Hornerschema) $x_1$ ist Nullstelle (durch Probieren, alle Teiler von 30) \begin{displaymath} \begin{array}{r|rrrr} & 1 & 4 & -11 & -30 \\ x=-2 & & -2 & -4 & 30 \\ \hline & 1 & 2 & -15 & 0 \end{array} \end{displaymath} $\Rightarrow x^3 + 4x^2 - 11x - 30 = (x+2)(x^2 + 2x -15) = (x+2)(x+5)(x-3)$ \item[2. Ansatz:] \begin{displaymath} R(x) = \frac{A}{x-3} + \frac{B}{x+2} + \frac{C}{x+5} \qquad A,B,C = ? \end{displaymath} \newpage \item[3. Bestimmung der Konstanten:] Beide Seiten mit dem Nenner multiplizieren: \end{description} %% ja, ist unsauber! \begin{eqnarray*} R(x) &=& \frac{A}{x-3} + \frac{B}{x+2} + \frac{C}{x+5} \qquad A,B,C = ? \\ -x^2 + 20x + 149 &=& A(x+2)(x+5) + B(x-3)(x+5) + C(x-3)(x+2) \end{eqnarray*} Gleichung gilt für beliebige $x \in \mathbb{R}$ \begin{description} \item[x=3 einsetzen:] \begin{displaymath} -9+60+149 = A\cdot 5\cdot 8 \Rightarrow A = 5 \end{displaymath} \item[x=--2 einsetzen:] \begin{displaymath} -4-40+149 = B\cdot (-5)\cdot 3 \Rightarrow B = -7 \end{displaymath} \item[x=--5 einsetzen:] \begin{displaymath} -25-100-149 = C\cdot (-9)\cdot (-3) \Rightarrow C = 1 \end{displaymath} \item[Ergebnis:] \begin{displaymath} R(x) = \frac{5}{x-3} - \frac{7}{x+2} + \frac{1}{x+5} \end{displaymath} \end{description} \subsubsection{Beispiel 2} \begin{displaymath} R(x) = \frac{5x^2 - 37x + 54}{x^3 - 6x^2 + 9x} \end{displaymath} \begin{description} \item[1. Produktdarstellung des Nenners:] \begin{displaymath} x^3 - 6x^2 + 9x = x(x^2-6x+9) = x(x-3)^2 \end{displaymath} \item[2. Ansatz] \begin{displaymath} R(x) = {\frac{A}{x}} + \underbrace{{\frac{B}{x-3} + \frac{C}{(x-3)^2}}}_{\textnormal{\tiny da zweifache Nullstelle}} \qquad A,B,C = ? \end{displaymath} \item[3. Bestimmung der Konstanten:] Beide Seiten mit dem Nenner multiplizieren: \begin{displaymath} 5x^2 - 37x + 54 = A(x-3)^2 + Bx(x-3) + Cx \end{displaymath} \item[x=0 einsetzen:] \begin{displaymath} 54 = 9A \Rightarrow A = 6 \end{displaymath} \item[x=3 einsetzen:] \begin{displaymath} 12 = 3C \Rightarrow C = 4 \end{displaymath} \item[x=1 einsetzen] (um B zu berechnen, beliebig) \begin{displaymath} 22 = 4A - 2B + C \Rightarrow B = -1 \end{displaymath} \end{description} \subsubsection{Beispiel 3} \begin{displaymath} R(x) = \frac{x^2-1}{(x-2)(\underbrace{x^2+4x+6}_{\textnormal{\tiny{keine reelle NST}}})^2} \end{displaymath} \begin{description} \item[Ansatz:] \quad \begin{displaymath} R(x) = \frac{A}{(x-2)} + \frac{Bx+C}{x^2+4x+6} + \frac{Dx+E}{(x^2+4x+6)^2} \end{displaymath} Bestimmung der Konstanten: Beide Seiten mit dem Nenner von $R$ multiplizieren, bestimmte $x$--Werte einsetzen, oder Koeffizientenvergleich. Man erhält: \begin{displaymath} A = \frac{1}{108} \qquad B = -\frac{1}{108} \qquad C = \frac{6}{108} \qquad D = \frac{5}{6} \qquad E = 1 \end{displaymath} \end{description} \subsubsection{Beispiel 4} \begin{displaymath} R(x) = \frac{x^4}{x^3+4x^2-11x-30} \end{displaymath} \begin{flushleft} $R$ ist unecht gebrochen, daher funktioniert der normale Ansatz nicht. Es muß zuerst eine Polynomdivision durchgeführt werden \dots \begin{displaymath} R(x) = \underbrace{x-4}_{\textnormal{\tiny{Asymptote}}} + \underbrace{\frac{27x^2-14x-120}{x^3+4x^2-11x-30}}_{R_1 \textnormal{\tiny{ (echt gebrochen)}}} \end{displaymath} Nun wird die Partialbruchzerlegung für $R_1$ (Nenner wie bei Beispiel 1 $\Rightarrow$ Ansatz) durchgeführt und es ergibt sich: \begin{displaymath} R(x) = \frac{81}{40} \frac{1}{(x-3)} + \frac{625}{24} \frac{1}{(x+5)} - \frac{16}{15} \frac{1}{(x+2)} \end{displaymath} \end{flushleft} \newpage \section{Spezielle Klassen von Funktionen} \subsection{Potenzfunktion}\index{Potenzfunktion} Es sei $b \in \mathbb{R}$ beliebig. Die Funktion $f(x) = x^b \quad (x > 0)$ heißt \emph{Potenzfunktion}. \begin{flushleft}\textbf{Eigenschaften:}\end{flushleft} \begin{enumerate} \item Für $b = 1,2,3 \dots$ ist $D_{max} = \mathbb{R}$ (Polynom $b$--ten Grades) \item Für $b = -1,-2,-3 \dots$ ist $D_{max} = \mathbb{R} \smallsetminus \{0\}$ (rationale Funktion, Polstelle bei 0) \item $(x_1x_2)^b = x_1^b x_2^b$ und $(x^b)^a = x^{ab}$ \item Für $b > 0$ ist $f$ streng monoton wachsend in $[0,\infty]$, für $b < 0$ ist $f$ streng monoton fallend in $[0,\infty]$ \item Inverse Funktion: $f^-1(x) = x^{1/b} (b\ne 0, x > 0)$ (da $(x^{1/b})^b = x^{b/b} = x^1 = x$) \end{enumerate} Beispiel: $f(x) = x^2$ \begin{center}\input{1.tex}\end{center} \subsection{Exponentialfunktion}\index{Exponentialfunktion} Es sei $a > 0$. Die Funktion $f(x) = a^x \quad (x \in \mathbb{R})$ heißt \emph{Exponentialfunktion} (zur Basis $a$). \begin{flushleft}\textbf{Eigenschaften:}\end{flushleft} \begin{enumerate} \item $a^{x_1+x_2} = a^{x_1} a^{x_2}$ \item Für $a > 1$ ist $f$ streng monoton wachsend auf $\mathbb{R}$, für $0 < a < 1$ ist $f$ streng monoton fallend auf $\mathbb{R}$ \end{enumerate} Die Umkehrfunktion heißt \emph{Logarithmusfunktion}\index{Logarithmusfunktion} zur Basis $a$, und wird mit $\log_a$ bezeichnet. Ist $a = \mathrm{e}$, so schreiben wir $\ln$ oder $\log$ (ohne Basis) anstelle von $\log_\mathrm{e}$. \begin{flushleft}\textbf{Eigenschaften:}\end{flushleft} \begin{enumerate} \item Definitionsbereich $(0,\infty)$, Wertebereich $(-\infty,\infty)$\\ \input{2.tex} \item $\log_a(x_1x_2) = \log_a x_1 + \log_a x_2$ $\log_a\bigg(\frac{x_1}{x_2}\bigg) = \log_a x_1 - \log_a x_2$ $\log_a x^c = c \log_a x$ $\log 1 = 0$ $\log_a a = 1$ \item Für $a > 1$ streng monoton wachsend, für $0 < a < 1$ streng monoton fallend. \end{enumerate} \subsection{Trigonometrische Funktionen}\index{Trigonometrische Funktionen} \subsubsection{Sinus und Cosinus}\index{Sinus--Funktion}\index{Cosinus--Funktion} \begin{flushleft}\textbf{Eigenschaften:}\end{flushleft} \begin{enumerate} \item Definitionsbereich: $\mathbb{R}$ Wertebereich: $[-1;1]$ \item $\sin (-x) = -\sin (x)$ \qquad ungerade Funktion $\cos (-x) = \cos (x)$ \qquad gerade Funktion periodisch mit der Periode $2\pi$ \item $\sin^2 + \cos^2 = 1$ \qquad (Vgl. Darstellung am Einheitskreis) \item $\sin (x\pm y) = \sin x \cos y \pm \cos x \sin y \Rightarrow \sin 2x = 2\sin x \cos x$ $\cos (x\pm y) = \cos x \cos y \mp \sin x \sin y \Rightarrow \cos 2x = \cos^2x-\sin^2x$ \end{enumerate} \newpage \subsubsection{Tangens und Cotangens}\index{Tangens--Funktion}\index{Cotangens--Funktion} \begin{eqnarray*} \tan x &=& \frac{\sin x}{\cos x} \quad x \ne (2k+1)\frac{\pi}{2} \qquad (\textnormal{NST von cos}), k \in \mathbb{Z}\\ \\ \cot x &=& \frac{\cos x}{\sin x} \quad x \ne k\pi \qquad (\textnormal{NST von sin}), k \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*} \subsubsection{Arcusfunktionen}\index{Arcusfunktionen} Die trigonometrischen Funktionen sind \emph{nicht} umkehrbar, wenn man ihren gesamten Definitionsbereich zugrunde legt. Man legt daher Grundintervalle fest in denen sie streng monoton sind und kehrt sie dafür um. \begin{displaymath} \begin{array}{ccl} \mathrm{Funktion} & \mathrm{Grundintervall} & \mathrm{Umkehrfunktion} \\ \sin x & \Big[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\Big] & \arcsin x, x\in [-1,1] \\ \cos x & [0, \pi] & \arccos x, x\in [-1,1] \\ \tan x & \Big[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\Big] & \arctan x, x\in \mathbb{R} \\ \cot x & [0, \pi] & \textnormal{arccot}\, x, x\in \mathbb{R} \\ \end{array} \end{displaymath} \subsubsection{Bemerkung} \textsc{Euler}sche Formel:\index{Euler'sche Formel} $\mathrm{e}^{ix} = \cos x + i \sin x \quad (x \in \mathbb{R})$ \begin{eqnarray} \mathrm{e}^{ix} &=& \cos x + i \sin x \\ \mathrm{e}^{-ix} &=& \cos x - i \sin x \end{eqnarray} \begin{eqnarray*} \frac{(4.1) + (4.2)}{2} & : & \cos x = \frac{\mathrm{e}^{ix} + \mathrm{e}^{-ix}}{2} \\ \frac{(4.1) - (4.2)}{2i} & : & \sin x = \frac{\mathrm{e}^{ix} + \mathrm{e}^{-ix}}{2i} \end{eqnarray*} \subsection{Hyperbolische Funktionen}\index{hyperbolische Funktion} Unter den \emph{hyperbolischen} Funktionen versteht man die Funktionen: \begin{displaymath} \begin{array}{cccl} \sinh x &=& \frac{\mathrm{e}^x - \mathrm{e}^{-x}}{2} & (x \in \mathbb{R})\\ \\ \cosh x &=& \frac{\mathrm{e}^x + \mathrm{e}^{-x}}{2} & (x \in \mathbb{R})\\ \\ \tanh x &=& \frac{\sinh x}{\cosh x} & (x \in \mathbb{R})\\ \\ \mathrm{coth}\,x &=& \frac{\cosh x}{\sinh x} & (x \in \mathbb{R} \smallsetminus \{0\}) \end{array} \end{displaymath} \begin{flushleft}\textbf{Eigenschaften:}\end{flushleft} \begin{enumerate} \item $\cosh$ ist eine gerade Funktion, sinh, tanh, coth sind ungerade Funktionen \item $\cosh^2 - \sinh^2 = 1$ $\sinh (x\pm y) = \sinh x \cosh y \pm \cosh x \sinh y$ $\cosh (x\pm y) = \cosh x \cosh y \mp \sinh x \sinh y$ \item sinh und tanh sind streng monoton wachsend auf $\mathbb{R}$ cosh ist streng monoton wachsend auf $[0,\infty]$ cosh ist streng monoton fallend auf $(0,-\infty)$ coth ist streng monoton fallend auf $(-\infty,0)$ und $(0,\infty)$ \end{enumerate} \subsubsection{Areafunktionen}\index{Areafunktionen} Die Umkehrfunktionen der sinh, tanh, coth--Funktionen und der Einschränkung der cosh--Funktion auf $[0,\infty)$ heißen \emph{Areafunktionen}. \smallskip Schreibweise: arsinh, arcosh, arcoth, artanh \smallskip Die Areafunktionen lassen sich durch die ln--Funktionen ausdrücken: \begin{displaymath} \begin{array}{lcll} \mathrm{arsinh} x & = & \ln (x + \sqrt{x^2+1}) & x \in \mathbb{R} \\ \\ \mathrm{arcosh} x & = & \ln (x + \sqrt{x^2-1}) & x \geq 1 \\ \\ \mathrm{artanh} x& = & \frac{1}{2} \ln \frac{1+x}{1-x} & x \in (-1, 1) \\ \\ \mathrm{arcoth} x& = & \frac{1}{2} \ln \frac{x+1}{x-1} & x \in \mathbb{R} \smallsetminus [-1, 1] \end{array} \end{displaymath} \chapter{Lineare Algebra} \section{Matrizen} \subsection{Definition: Matrix}\index{Matrix} Unter einer \emph{m $\times$ n--Matrix} versteht man ein rechteckiges Zahlenschema aus $m$ mal $n$ Zahlen. \smallskip Schreibweise: \begin{displaymath} A = \left[ \begin{array}{cccccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1k} & \ldots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2k} & \ldots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots && \vdots & & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \ldots & a_{ik} & \ldots & a_{in}\\ \vdots & \vdots && \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mk} & \ldots & a_{mn}\\ \end{array} \right] \end{displaymath} \bigskip \begin{tabular}{ccl} $a_{ik}$ &:& Elemente der Matrix \\ $i$ &:& Zeilenindex \\ $ik$ &:& Spaltenindex \end{tabular} \bigskip $A$ wird auch in der Form $A = (a_{ij})$ oder $A = (a_{ik})_{i=1,\ldots,m\,\,\, k = 1,\ldots,n}$ geschrieben. \bigskip Ist $m = n$, so heißt $A$ eine \emph{quadratische Matrix}. \bigskip Eine $1 \times n$ Matrix heißt \emph{Zeilenmatix} oder \emph{Zeilenvektor}.\index{Zeilenmatrix} \bigskip Eine $m \times 1$ Matrix heißt \emph{Spaltenmatix} oder \emph{Spaltenvektor}.\index{Spaltenmatrix} \bigskip Ist $A$ eine $n\times n$ quadratische Matrix, so bilden die Elemente $a_{ii}$ mit\\ $(i = 1,\ldots,n)$ die sogenannte \emph{Hauptdiagonale} von $A$, die Elemente $a_{i,n-i+1}$\\$(i = 1,\ldots,n)$ die sogenannte \emph{Nebendiagonale}.\index{Hauptdiagonale}\index{Nebendiagonale} \bigskip Zwei Matrizen $A = (a_{ik})$ und $B = (b_{ik})$ heißen \emph{gleich}, wenn sie vom gleichen Typ sind, und $a_{ij} = b_{ij}$ für alle $i$ und $k$. \subsubsection{Beispiele} \begin{center} \begin{minipage}[c]{2.8cm} \center \begin{displaymath} \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 4\\ 2 & 3 & 0 \end{array} \right] \end{displaymath} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{2.8cm} \center \begin{displaymath} \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 2\\ 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right] \end{displaymath} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{2.8cm} \center \begin{displaymath} \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 4 & 5\\ \end{array} \right] \end{displaymath} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{2.8cm} \center \begin{displaymath} \left[ \begin{array}{c} 1\\ 2\\ 3 \end{array} \right] \end{displaymath} \end{minipage} \bigskip \begin{minipage}[c]{2.8cm} \center $2 \times 3$ Matrix \end{minipage} \begin{minipage}[c]{2.8cm} \center $3 \times 3$ Matrix \end{minipage} \begin{minipage}[c]{2.8cm} \center $1 \times 4$ Zeilenmatrix \end{minipage} \begin{minipage}[c]{2.8cm} \center $3 \times 1$ Spaltenmatrix \end{minipage} \end{center} \subsection{Definition: Transponierte Matrix}\index{transponierte Matrix} $A=(a_{ik})$ sei eine $m\times n$--Matrix. Unter der \emph{transponierten Matrix} verstehen wir die $n\times m$--Matrix $B=(b_{ik})$ mit $b_{ik} = a_{ki}$ für alle $i,\,k$. Schreibweise: $B = A^T$. \subsubsection{Beispiele} \begin{minipage}[c]{5.5cm} \center \begin{displaymath} \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 4 & 5 \end{array} \right]^T = \left[ \begin{array}{c} 1\\ 2\\ 4\\ 5 \end{array} \right] \end{displaymath} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{5.5cm} \center \begin{displaymath} \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 4\\ 2 & 3 & 0 \end{array} \right]^T = \left[ \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 2&3\\ 4&0 \end{array} \right] \end{displaymath} \end{minipage} Für jede Matrix $A$ gilt $(A^T)^T = A$. Ist $A$ quadratisch so erhält man $A^T$ durch Spiegelung bezüglich der Hauptdiagonalen. \subsection{Definitionen} Eine quadratische Matrix heißt\index{symmetrisch, Matrix} \index{Dreiecksmatrix}\index{Diagonalmatrix}\index{Nullmatrix} \begin{itemize} \item \emph{symmetrisch}, wenn $A^T = A$ (d.h. $a_{ik} = a_{ki}$ für alle $i$, $k$). \item eine obere (untere) \emph{Dreiecksmatrize}, wenn $a_{ik} = 0$ für $i > k \quad (i < k)$. \item \emph{Diagonalmatrix}, wenn $a_{ik} = 0$ für $i \ne k$. \item \emph{Nullmatrix}, wenn $a_{ik} = 0$ für alle $i$, $k$. \end{itemize} \subsubsection{Beispiele} \begin{tabular}{cp{4cm}cp{4cm}} $ \left[ \begin{array}{cc} 1 & 4 \\ 4&2 \end{array} \right] $ & symmetrische Matrix & $ \left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 4&2 \end{array} \right] $ & untere Dreiecksmatrix \\ \\ $ \left[ \begin{array}{cc} 1 & 4 \\ 0&2 \end{array} \right] $ & obere Dreiecksmatrix & $ \left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0&2 \end{array} \right] $ & Diagonalmatrix \\ \\ $ \left[ \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0&0 \end{array} \right] $ & Nullmatrix \end{tabular} \subsection{Definition: Summe} $A = (a_{ik})$ und $B = (b_{ik})$ seien $m\times n$ Matrizen. Unter der \emph{Summe} $A+B$ verstehen wir die $m\times n$ Matrix $C = (c_{ik})$ mit $c_{ik} = a_{ik} + b_{ik}$ für alle $i$, $k$. \subsubsection{Beispiel} \begin{displaymath} \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0 \\ 0&1 & 2 \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 0&1 & 2 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ccc} 2 & 2 & 1 \\ 0&2 & 4 \end{array} \right] \end{displaymath} \bigskip Für Matrizen gleichen Typs gilt: \smallskip \begin{tabular}{clcl} (a) & $A+B$ & = & $B+A$\\ (b) & $A+(B+C)$ & = & $(A+B)+C$ \end{tabular} \subsection{Definition: Produkt}\index{Produkt, Matrix} $A = (a_{ik})$ sei eine $m\times n$ Matrix und $\lambda \in \mathbb{R}$. Dann versteht man unter dem \emph{Produkt} $\lambda A$ die $m\times n$ Matrix $C = (c_{ik})$ mit $c_{ik} = \lambda a_{ik}$ für alle $i$, $k$. \subsubsection{Beispiel} \begin{displaymath} 2 \cdot \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 0&1 & 2 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ccc} 2 & 0 & 2 \\ 0&2 & 4 \end{array} \right] \end{displaymath} \bigskip \begin{description} \item[Bemerkung:] Anstelle von $-1 \cdot A$ schreibt man auch $-A$. \end{description} \bigskip $A$ und $B$ seien vom selben Typ. Dann gilt: \begin{enumerate} \item $\lambda (A+B) = \lambda A + \lambda B$ \item $(\lambda + \mu) A = \lambda A + \mu A$ \item $ \lambda (\mu A) = (\lambda \mu )A \quad (\lambda, \mu \in \mathbb{R})$ \end{enumerate} \subsection{Beispiele} \begin{displaymath} A = \left[ \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 0&1 \end{array} \right] \qquad B= \left[ \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1&3 \end{array} \right] \qquad C= \left[ \begin{array}{cc} 5 & 3 \\ 1&5 \end{array} \right] \end{displaymath} Man bestimme $x_1,\,\,x_2 \in \mathbb{R}$, so daß $x_1 A + x_2 B = C$ gilt. \begin{eqnarray*} 2x_1 + 1x_2 &=& 5 \quad (c_{11})\\ 1x_1 + 1x_2 &=& 3 \quad (c_{12})\\ 0x_1 + 1x_2 &=& 1 \quad (c_{21}) \Rightarrow x_2 = 1\\ 1x_1 + 3x_2 &=& 5 \quad (c_{22}) \Rightarrow x_1 = 2 \end{eqnarray*} Lösung: $x_1 = 2$ und $x_2 = 1$ \subsection{Definition: Produkt} $A = (a_{ij})$ sei eine $m\times l$ Matrix und $B = (a_{jk})$ sei eine $l\times n$ Matrix. Unter dem \emph{Produkt} der Matrizen $A$ und $B$ verstehen wir die $m \times n$ Matrix $P=(p_{ik})$ mit $P_{ik} = \sum\limits_{j=1}^{l} a_{ij}\,\,b{jk}$ , $i = 1,\dots ,m$, $k=1,\dots ,n$. Schreibweise: $P = AB$. \subsection{Beispiele} \begin{displaymath} A = \left[ \begin{array}{rrr} 3 & 4 & -1 \\ 2 & -7 & 6 \end{array} \right] \qquad B = \left[ \begin{array}{r} 1\\ -2\\ 3 \end{array} \right] \end{displaymath} \begin{displaymath} C = \left[ \begin{array}{rrr} -2 & 3 & 1 \\ 6 & -9 & -3\\ 4 & -6 & -2 \end{array} \right] \qquad D = \left[ \begin{array}{rrr} 3 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 1\\ 0 & 2 & -1 \end{array} \right] \end{displaymath} \begin{enumerate} \item $ AB = \left[ \begin{array}{r} -8\\ 34 \end{array} \right] $ \smallskip 1. Zeile von $A$ mal 1. Spalte von $B$: $3\cdot 1 + 4 \cdot (-2) + (-1) \cdot 3 = -8$ \smallskip 2. Zeile von $A$ mal 1. Spalte von $B$: $2\cdot 1 + (-7)\cdot (-2) + 6\cdot 3 = 34$ \smallskip \item $BB^T = \left[ \begin{array}{r} 1\\ -2\\ 3 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{rrr} 1 & -2 & 3 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & -2 & 3\\ -2&4&-6\\ 3&-6&9 \end{array} \right] $ \item $B^TB = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & -2 & 3 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{r} 1\\ -2\\ 3 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{r} 14 \end{array} \right] $ \item $CD = \left[ \begin{array}{rrr} -2 & 3 & 1 \\ 6 & -9 & -3\\ 4 & -6 & -2 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{rrr} 3 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 1\\ 0 & 2 & -1 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rrr} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right] $ \item $DC = \left[ \begin{array}{rrr} 4 & -6 & -2 \\ 0 & 0 & 0\\ 8 & -12 & 4 \end{array} \right] $ \smallskip $CD \ne DC \Rightarrow$ Multiplikation von Matrizen ist nicht kommutativ. \end{enumerate} \subsubsection{Bezeichnung}\index{Einheitsmatrix} Mit $E_n$ (oder $E$) bezeichnen wir die sogenannte \emph{Einheitsmatrix}. $E_n = [\delta_{ik}]$ mit $\delta_{ii}=1$ und $\delta_{ik}=0$ für $i \ne k$. \smallskip z.B.: \qquad $E_2 = \left[\begin{array}{rr}1 & 0\\ 0 & 1\\\end{array}\right]$ \subsection{Sätze zur Multiplikation} $ \begin{array}{clll} (1) & A(BC) & = & (AB)C\\ (2) & AE &=& A\\ (3) & A(B+C) &=& AB+AC\\ (4) & (A+B)C &=& AC+BC\\ (5) & (AB)^T &=& B^TA^T\\ (6) & \lambda (AB) &=& (\lambda A)B = (\lambda B)A\\ \end{array} $ \subsubsection{Bemerkungen} \begin{itemize} \item Potenzschreibweise: $AAAAA =A^5$ \item Man kann im Allgemeinen nicht "`kürzen"'. Z.B. $A = \left[\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0\\4 & 0 & 0 \end{array}\right]$ dann ist $A^2 = A$, obwohl $A \ne 0$ und $A \ne E$. \end{itemize} \subsection{Definition: Inverse Matrix}\index{inverse Matrix} Es sei $A$ eine quadratische Matrix. $B$ heißt \emph{inverse Matrix} von $A$, wenn $AB = BA = E$ ist. Besitzt $A$ eine Inverse, so heißt $A$ \emph{regulär}, sonst \emph{singulär}. \begin{description} \item[Schreibweise:] $B = A^{-1}$ \qquad (nicht $\frac{1}{A}$ wie in $\mathbb{R}$) \item[Bemerkung:] Nicht jede Matrix besitzt eine Inverse. Sei $A$ die Matrix aus (5.1.9.), dann gilt $AA=A$. Nehmen wir an, daß $A$ eine Inverse besitzt. Wir multiplizieren beide Seiten von rechts mit $A^{-1}$: \begin{eqnarray*} A\underbrace{AA^-{1}}_{E} &=& \underbrace{AA^-{1}}_{E}\\ \underbrace{AE}_{A} &=& E\\ A &=& E \quad \textnormal{\lightning} \end{eqnarray*} \end{description} \subsection{Sätze zur inversen Matrix} Jede reguläre Matrix besitzt genau eine Inverse. Sind $A$ und $B$ reguläre Matrizen vom selben Typ, so gilt: \bigskip $ \begin{array}{clll} (1) & (AB)^{-1} & = & B^{-1}A^{-1}\\ (2) & (A^{-1})^{-1} &=& A\\ (3) & (A^T)^{-1} &=& (A^{-1})^T\\ (4) & (\lambda A)^{-1} &=& \frac{1}{\lambda} A^{-1} \quad (\lambda \in \mathbb{R}, \lambda \ne 0) \end{array} $ \subsection{Inverse einer 2 $\times$ 2 Matrix} \begin{displaymath} A= \left[ \begin{array}{rr} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right] \qquad A^{-1}= \left[ \begin{array}{rr} x_{11} & x_{12}\\ x_{21} & x_{22} \end{array} \right] \end{displaymath} Dann gilt: $AA^{-1} = E \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{rr} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{rr} x_{11} & x_{12}\\ x_{21} & x_{22} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rr} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{array} \right] $ \begin{displaymath} \begin{array}{l clcr} a_{11}x_{11} & + &a_{12}x_{21} & = & 1\\ a_{21}x_{11} & + &a_{22}x_{21} & = & 0\\ a_{12}x_{12} & + &a_{12}x_{22} & = & 0\\ a_{21}x_{12} & + &a_{22}x_{22} & = & 1 \end{array} \end{displaymath} \smallskip Sogenanntes \emph{lineares Gleichungssystem} mit 4 Unbekannten. Man kann zeigen: Dieses Gleichungssystem ist genau dann lösbar, wenn $D = a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} \ne 0$. \subsubsection{Lösung} \begin{displaymath} A^{-1} = \frac{1}{D} \left[ \begin{array}{rr} a_{22} & -a_{12}\\ -a_{21} & a_{11} \end{array} \right] \end{displaymath} \subsubsection{Beispiel} \begin{displaymath} A = \left[ \begin{array}{rr} 2 & 7\\ -1 & 3 \end{array} \right] \quad D = 13 \ne 0 \Rightarrow A^{-1} = \frac{1}{13} \left[ \begin{array}{rr} 3 & -7\\ 1 & 2 \end{array} \right] \end{displaymath} \subsection{Bezeichnung} \begin{displaymath} \mathbb{R}^m = \underbrace{\mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \dots \times \mathbb{R}}_{m\mathrm{-mal}} \end{displaymath} $\mathbb{R}^m$ ist die Menge aller $m$--Tupel $v = (v_1, v_2, v_3, \ldots ,v_m)$ reeller Zahlen. $v$ kann auch als Zeilenvektor betrachtet werden. Sei $A$ eine $n\times m$ Matrix. Dann ist $A v^T$ ein $n\times 1$ Spaltenvektor, d.h. $v \stackrel{L}{\longrightarrow} Av^T$ ist eine Abbildung von $\mathbb{R}^m$ und $\mathbb{R}^n$. \bigskip $L$ besitzt die folgende Eigenschaft: \begin{displaymath} L(av+bw) = aL(v) + bL(w) \qquad (a,b \in \mathbb{R} \quad v,w \in \mathbb{R}^m) \end{displaymath} Eine Abbildung mit dieser Eigenschaft heißt \emph{linear} (auch \emph{lineare Transformation}.). \subsection{Satz: Transformationsmatrix}\index{Transformationsmatrix} ist $L:\mathbb{R}^m \longrightarrow \mathbb{R}^n$ eine lineare Abbildung so existiert eine $m\times n$ Matrix $A$ mit $L(v) = Av^T$. \qquad $A:$ \emph{Transformationsmatrix} \subsubsection{Beispiele} $n = m = 2$ \begin{minipage}[c]{6.8cm} \begin{displaymath} A = \left[ \begin{array}{rr} -1 & 0\\ 0 & 1 \end{array} \right] \qquad A \left[ \begin{array}{r} x\\ y \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{r} -x\\ y \end{array} \right] \end{displaymath} \bigskip \bigskip $\Rightarrow$ Spiegelung bzgl. der $y$--Achse \bigskip \bigskip \bigskip \end{minipage} \begin{minipage}[c]{140pt} \begin{center} \begin{picture}(140,120) \setlength{\unitlength}{1pt} \put(10,60){\vector(1,0){120}} \put(70,0){\vector(0,1){120}} \put(100,58){\line(0,1){4}} \put(40,58){\line(0,1){4}} \put(68,90){\line(1,0){4}} \put(98,52){$\scriptstyle{x}$} \put(63,89){$\scriptstyle{y}$} \put(32,52){$\scriptstyle{-x}$} \put(100,90){\circle*{2}} \put(40,90){\circle*{2}} \put(103,93){$\scriptstyle{v}$} \put(28,93){$\scriptstyle{Av}$} \end{picture} \end{center} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{6.8cm} \begin{displaymath} A = \left[ \begin{array}{rr} -1 & 0\\ 0 & -1 \end{array} \right] \qquad A \left[ \begin{array}{r} x\\ y \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{r} -x\\ -y \end{array} \right] \end{displaymath} \bigskip \bigskip $\Rightarrow$ Spiegelung bzgl. des Ursprungs \bigskip \bigskip \bigskip \end{minipage} \begin{minipage}[c]{140pt} \begin{center} \begin{picture}(140,120) \setlength{\unitlength}{1pt} \put(10,60){\vector(1,0){120}} \put(70,0){\vector(0,1){120}} \put(100,58){\line(0,1){4}} \put(40,58){\line(0,1){4}} \put(68,90){\line(1,0){4}} \put(98,52){$\scriptstyle{x}$} \put(63,89){$\scriptstyle{y}$} \put(32,52){$\scriptstyle{-x}$} \put(100,90){\circle*{2}} \put(40,30){\circle*{2}} \put(103,93){$\scriptstyle{v}$} \put(28,33){$\scriptstyle{Av}$} \end{picture} \end{center} \end{minipage} \bigskip \begin{minipage}[c]{6.8cm} \begin{displaymath} A = \left[ \begin{array}{rr} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{array} \right] \qquad A \left[ \begin{array}{r} x\\ y \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{r} y\\ x \end{array} \right] \end{displaymath} \bigskip \bigskip $\Rightarrow$ Spiegelung bzgl. der Geraden $y = x$ \bigskip \bigskip \bigskip \end{minipage} \begin{minipage}[c]{140pt} \begin{center} \begin{picture}(140,120) \setlength{\unitlength}{1pt} \put(10,60){\vector(1,0){120}} \put(70,0){\vector(0,1){120}} \put(110,58){\line(0,1){4}} \put(80,58){\line(0,1){4}} \put(68,70){\line(1,0){4}} \put(68,100){\line(1,0){4}} \put(108,52){$\scriptstyle{x}$} \put(63,69){$\scriptstyle{y}$} \put(110,70){\circle*{2}} \put(80,100){\circle*{2}} \put(113,73){$\scriptstyle{v}$} \put(83,103){$\scriptstyle{Av}$} \multiput(27,17)(15,15){6}{\line(1,1){10}} \end{picture} \end{center} \end{minipage} \bigskip \begin{minipage}[c]{6.8cm} \begin{displaymath} A = \left[ \begin{array}{rr} \cos\alpha & -\sin\alpha\\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{array} \right] \end{displaymath} \bigskip \bigskip $\Rightarrow$ Drehung/Rotation um den Winkel $\alpha$ um den Ursprung \bigskip \bigskip \bigskip \end{minipage} \begin{minipage}[c]{140pt} \begin{center} \begin{picture}(140,120) \setlength{\unitlength}{1pt} \put(10,60){\vector(1,0){120}} \put(70,0){\vector(0,1){120}} \put(119,52){$\scriptstyle{x}$} \put(63,115){$\scriptstyle{y}$} \put(110,70){\circle*{2}} \put(80,100){\circle*{2}} \put(113,73){$\scriptstyle{v}$} \put(83,103){$\scriptstyle{Av}$} \qbezier(70,60)(80,100)(80,100) \qbezier(70,60)(109,70)(109,70) \qbezier(109,70)(105,95)(80,100) \put(80,100){\vector(-4,1){0}} \put(85,75){$\alpha$} \end{picture} \end{center} \end{minipage} \section{Determinanten}\index{Determinante} \subsection{Definition} (rekursiv) Für eine $1\times 1$ Matrix $A = [a]$ definieren wir die \emph{Determinante} det($a$) durch det($a$) = $a$. Es sei $A = (a_{ik})$ eine $n\times n$ Matrix ($n > 1$) und $U_{1k}$ die $(n-1)\times (n-1)$ Matrix, die aus $A$ durch Streichen der 1. Zeile und der $k$--ten Spalte entsteht. Dann heißt die Zahl \begin{displaymath} \sum\limits_{k=1}^{n} (-1)^{1+k}\,\mathrm{det}(U_{1k}) = a_{11}\,det(U_{11}) - a_{12}\,\mathrm{det}(U_{12}) + \ldots \end{displaymath} die \emph{Determinante} von $A$. Schreibweise: det($A$) = $|A|$. \subsection{Beispiele} \begin{enumerate} \item $n = 2$ \begin{displaymath} A = \left| \begin{array}{rr} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right| =a_{11}\,\underbrace{a_{22}}_{U_{11}} - a_{12}\,\underbrace{a_{21}}_{U_{12}} \end{displaymath} \item $n = 3$ \begin{eqnarray*} A &=& \left| \begin{array}{rrr} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right|\\\\ &=& a_{11} \cdot \left| \begin{array}{rr} a_{22} & a_{23}\\ a_{32} & a_{33} \end{array} \right| - a_{12} \cdot \left| \begin{array}{rr} a_{21} & a_{23}\\ a_{31} & a_{33} \end{array} \right| + a_{13} \cdot \left| \begin{array}{rr} a_{21} & a_{22}\\ a_{31} & a_{32} \end{array} \right|\\ \\ & = & a_{11}(a_{22}\cdot a_{33} - a_{23}\cdot a_{32}) - a_{12}(a_{21}\cdot a_{33} - a_{23}\cdot a_{31}) +\\ &&a_{13}(a_{21}\cdot a_{32} - a_{22}\cdot a_{31}) \end{eqnarray*} \end{enumerate} \subsubsection{Merkregel (Regel von Sarrus)}\index{Sarrusregel, Determinante} \bigskip \begin{minipage}[c]{140pt} \begin{picture}(120,40) \put(0,20){$\begin{array}{|rrr|rr} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{21} & a_{22}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{31} & a_{32} \end{array}$} \multiput(19,31)(25,0){3}{\vector(4,-3){10}} \multiput(44,17)(25,0){3}{\vector(4,-3){10}} \multiput(54,31)(25,0){3}{\vector(-4,-3){10}} \multiput(29,17)(25,0){3}{\vector(-4,-3){10}} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{7.5cm} Man addiere die Produkte der Elemente in Richtung der Hauptdiagonalen $(\searrow)$ und subtrahiert die Produkte in Richtung der Nebendiagonalen $(\swarrow)$. \end{minipage} \begin{description} \item[Beispiel:] \quad $\begin{array}{|rrr|rr} 3 & -4 & 0 & 3 & -4\\ 0 & 7 & 6 & 0 & 7\\ 2 & -6 & 1 & 2 & -6 \end{array} \Rightarrow \mathrm{det}=3\cdot 7 \cdot 1 + (-4)\cdot 6\cdot 2 -(-6)\cdot 6\cdot 3 = 81$ \end{description} \begin{enumerate} \setcounter{enumi}{2} \item $n = 4$ \begin{eqnarray*} A &=& \left| \begin{array}{rrrr} \stackrel{+}{3}&\stackrel{-}{1}&\stackrel{+}{0}&\stackrel{-}{4}\\ -4&2&1&6\\ 2&1&0&3\\ 4&0&2&1 \end{array} \right|\\ & = & 3\cdot \underbrace{\left|\begin{array}{rrr} 2&1&6\\ 1&0&3\\ 0&2&1 \end{array}\right|}_{1} - 1 \cdot \underbrace{\left|\begin{array}{rrr} -4&1&6\\ 2&0&3\\ 4&2&1 \end{array}\right|}_{62} + 0 \cdot \Bigg|\cdots \Bigg| - 4 \cdot \underbrace{\left|\begin{array}{rrr} -4&2&1\\ 2&1&0\\ 4&0&2 \end{array}\right|}_{-20}\\ & = & 3 - 62 + 80 = 21 \end{eqnarray*} \end{enumerate} \subsection{Satz} Es sei $A =(a_{ik})$ eine $n\times n$ Matrix und $U_{ik}$ die $(n-1)\times (n-1)$ Matrix, die aus $A$ durch Streichen der $i$--ten Zeile und der $k$--ten Spalte entsteht. Dann gilt: \smallskip \begin{tabular}{clp{6cm}} (1) & $|A| = \sum\limits^{n}_{k=1} (-1)^{i+k} \cdot a_{ik} \cdot |U_{ik}|$ & für $i = 1,\ldots,n$\\ & (Entwicklung nach der $i$--ten Zeile)\\\index{Determinante, Entwicklung} \\ (2) & $|A| = \sum\limits^{n}_{i=1} (-1)^{i+k} \cdot a_{ik} \cdot |U_{ik}|$ & für $k = 1,\ldots,n$\\ & (Entwicklung nach der $k$--ten Spalte)\\ \end{tabular} \bigskip \textbf{Beispiel:} \bigskip \begin{minipage}[c]{4cm} $\left| \begin{array}{rrrr} \stackrel{+}{3}&\stackrel{-}{-4}&\stackrel{+}{0}&\stackrel{-}{2}\\ \stackrel{-}{0}&\stackrel{+}{7}&\stackrel{-}{6}&\stackrel{+}{3}\\ \stackrel{+}{2}&\stackrel{-}{-6}&\stackrel{+}{0}&\stackrel{-}{1}\\ \stackrel{-}{5}&\stackrel{+}{3}&\stackrel{-}{1}&\stackrel{+}{-2}\\ \end{array} \right|$ \end{minipage} \begin{minipage}[c]{8cm} günstig: Man wähle eine Zeile/Spalte mit möglichst vielen Nullen, damit viele Terme wegfallen $\rightarrow$ Entwicklung nach der 3. Spalte, da 2 $\times$ Null. (Plus/Minus nach "`Schachbrettmuster"'). \end{minipage} \bigskip \begin{displaymath} \left| \begin{array}{rrrr} {3}&{-4}&{0}&{2}\\ {0}&{7}&{6}&{3}\\ {2}&{-6}&{0}&{1}\\ {5}&{3}&{1}&{-2}\\ \end{array} \right| = -6\cdot \underbrace{\left|\begin{array}{rrr} 3&-4&2\\ 2&-6&1\\ 5&3&-2 \end{array}\right|}_{63} - 1 \cdot \underbrace{\left|\begin{array}{rrr} 3&-4&2\\ 0&7&3\\ 2&-6&1 \end{array}\right|}_{63} = -401 \end{displaymath} \subsection{Satz} $A$ und $B$ seien $n\times n$ Matrizen. Dann gilt: \bigskip \begin{tabular}{llcl} (1) & $|A\cdot B|$ & = & $|A|\cdot |B|$ \\ (2) & $|A^T|$ & = & $|A|$\\ (3) & $|\lambda A|$ & = & $\lambda^n |A| \qquad (n: \textnormal{ Ordnung der Matrix})$\\ (4) & $|A\cdot B|$ & = & $|A|\cdot |B|$ \\ (5) & \multicolumn{3}{l}{Ist $A$ eine Dreiecksmatrix, so gilt: $|A| = a_{11}\cdot a_{22} \cdot\, \ldots \,\cdot a_{nn}$} \end{tabular} \subsection{Satz} Es sei $A$ eine $n\times n$ Matrix. \begin{enumerate} \item Vertauscht man in $A$ zwei Zeilen (Spalten), so ändert man das Vorzeichen der Determinanten. \item Multipliziert man alle Elemente einer Zeile (Spalte) mit $\lambda \in \mathbb{R}$, so ist für die entstehende Matrix $A'$: \quad $|A'| = \lambda |A|$. \item Addiert man zu allen Elementen einer Zeile (Spalte) ein $\lambda$--faches der entsprechenden Elemente einer anderen Zeile (Spalte), so ändert sich die Determinante nicht. \end{enumerate} \subsubsection{Beispiel} \begin{displaymath} \left| \begin{array}{rrrrr} 1&-4&2&0&-3\\ -2&6&-1&1&3\\ -4&10&3&2&5\\ 3&-10&1&-2&4\\ 2&-3&1&0&-4 \end{array} \right| \stackrel{\framebox{1}}{=} \left| \begin{array}{rrrrr} \stackrel{+}{1}&\stackrel{-}{-4}&\stackrel{+}{2}&\stackrel{-}{0}&\stackrel{+}{-3}\\ -2&6&-1&\stackrel{+}{1}&3\\ 0&-2&5&\stackrel{-}{0}&-1\\ -1&2&-1&\stackrel{+}{0}&10\\ 2&-3&1&\stackrel{-}{0}&-4 \end{array} \right| \stackrel{\framebox{2}}{=} \end{displaymath} \begin{displaymath} \left| \begin{array}{rrrr} 1&-4&2&-3\\ 0&-2&5&-1\\ -1&2&-1&10\\ 2&-3&1&-4 \end{array} \right| \stackrel{\framebox{3}}{=} \left| \begin{array}{rrrr} \stackrel{+}{1}&-4&2&-3\\ 0&-2&5&-1\\ 0&-2&1&7\\ 0&5&-3&2 \end{array} \right| \stackrel{\framebox{4}}{=} \left| \begin{array}{rrr} -2&5&-1\\ -2&1&7\\ 5&-3&2 \end{array} \right| \stackrel{\framebox{5}}{=} 148 \end{displaymath} \bigskip \begin{tabular}{cl} \framebox{1} & 3. Zeile -- 2 $\times$ 2. Zeile\\ & 4. Zeile -- 2 $\times$ 2. Zeile\\ \framebox{2} & Entwicklung der Determinanten nach der 4. Spalte\\ \framebox{3} & 3. Zeile + 1. Zeile \\ & 4. Zeile - 2 $\times$ 1. Zeile\\ \framebox{4} & Entwicklung der Determinanten nach der 1. Spalte\\ \framebox{5} & Berechnung der Determinanten nach \textsc{Sarrus} \end{tabular} \subsection{Satz} $A$ sei eine $n\times n$ Matrix. $A^{-1}$ existiert genau dann, wenn $|A| \ne 0$. Ist $|A| \ne 0$, so gilt $A^{-1} = \frac{1}{|A|}\cdot (b_{ik})$ wobei $b_{ik} = (-1)^{i+k} |U_{ki}|$. ($U_{ki}$ wie in 5.2.3, d.h. $k$--te Spalte und $i$--te Spalte streichen.) \subsubsection{Beispiel} \begin{displaymath} A = \left[\begin{array}{rrr} 3 & -2 & 4\\ 6 & 0 & 1 \\ 2 & 5 & -3 \end{array}\right] \qquad |A| = 65 \Rightarrow A^{-1} \textnormal{ existiert.} \end{displaymath} \begin{displaymath} |U_{11}| = \left|\begin{array}{rr}0 & 1\\5&-3\end{array}\right| = -5 \qquad |U_{12}| = \left|\begin{array}{rr}6 & 1\\2&-3\end{array}\right| = -20\qquad |U_{13}| = \left|\begin{array}{rr}6 & 0\\2&5\end{array}\right| = 30 \end{displaymath} \begin{displaymath} |U_{21}| = -14 \quad |U_{22}| = -17 \quad |U_{23}| = 19 \quad |U_{31}| = -2 \quad |U_{32}| = -21 \quad |U_{33}| = 12 \quad \end{displaymath} \begin{displaymath} A^{-1} = \frac{1}{65} \cdot \left|\begin{array}{rrr} \stackrel{+}{-5}&\stackrel{-}{14}&\stackrel{+}{-2}\\ \stackrel{-}{20}&\stackrel{+}{-17}&\stackrel{-}{21}\\ \stackrel{+}{30}&\stackrel{-}{-19}&\stackrel{+}{12} \end{array}\right| \end{displaymath} \subsection{Definition: Permutation}\index{Permutation} Es seien $n$ eine positive ganze Zahl und $N_n = \{1,\,2,\,\ldots ,\, n\}$. Dann heißt jede ein--eindeutige Abbildung $\tau : N_n \longrightarrow N_n$ eine \emph{Permutation} von $N_n$. Die Menge aller Permutationen von $N_n$ bezeichnen wir mit $S_n$. Die Anzahl der Elemente von $S_n$ ist $n!$. Schreibweise von Permutation $\tau$: $\tau(1),\, \tau(2),\, \ldots ,\, \tau(n)$. \subsubsection{Beispiele} $S_3 = \{123,\,231,\,312,\,213,\,132,\,321\}$\newline $S_2 = \{12,\, 21\}$\newline $S_1 = \{1\}$\newline Gelten für die Zahlen $i,\,j$ die Ungleichungen $1 \leq i < j \leq n$ und $\tau(i) > \tau(j)$, so bezeichnet man das als \emph{Ordnungswidrigkeit} der Permutation $\tau$. Das \emph{Signum} einer Permutation $\tau$ ist definiert als $\mathrm{sign}(\tau) = 1$ falls $\tau$ eine gerade Anzahl von Ordnungswidrigkeiten aufweist (\emph{gerade Permutation}), $\mathrm{sign}(\tau) = -1$ sonst (\emph{ungerade Permutation}).\index{Ordnungswidrigkeit} \subsubsection{Beispiele} \begin{tabular}{ll} $n = 1$ & 1: gerade\\ $n = 2$ & 12: gerade, 21: ungerade\\ $n = 3$ & 123,\,231,\,312: gerade (0 bzw. 2 Ordnungswidrigkeiten)\\ & 213,\,132,\,321: ungerade (1 bzw. 3 Ordnungswidrigkeiten \end{tabular} \subsection{Satz: Leibnitz'sche Formel}\index{Leibnitz'sche Formel} Für eine $n\times n$--Matrix $A$ gilt: \[\det(A) = \sum\limits_{\tau \in S_n} \mathrm{sign}(\tau) \cdot a_{\tau(1),1} \cdot a_{\tau(2)\,2} \cdot \ldots \cdot a_{\tau(n), n}\] Jeder Summand enthält aus jeder Zeile und jeder Spalte von $A$ genau ein Element. \subsubsection{Beispiel} $n = 2$ \bigskip $\left|\begin{array}{rr}a_{11} &a_{12}\\a_{21} & a_{22} \end{array}\right| = (+1) \cdot a_{11} \cdot a_{22} + (-1) \cdot a_{21} \cdot a_{21}$ \section{Lineare Gleichungssysteme}\index{lineares Gleichungssystem} \subsection{Definition: Lineares Gleichungssystem} Ein \emph{lineares Gleichungssystem} mit $m$ Gleichungen und $n$ Unbekannten $x_1,\dots,x_n$ hat die Form: \begin{displaymath} \begin{array}{ccccccccc} a_{11}\cdot x_1 &+& a_{12} \cdot x_2 &+& \dots &+& a_{1n}\cdot x_n & = & b_1\\ a_{21}\cdot x_1 &+& a_{22} \cdot x_2 &+& \dots &+& a_{2n}\cdot x_n & = & b_2\\ \vdots & & &&&&&&\vdots \\ a_{m1}\cdot x_1 &+& a_{m2} \cdot x_2 &+& \dots &+& a_{mn}\cdot x_n & = & b_m\\ \end{array} \end{displaymath} \begin{tabular}{lcl} $a_{ik}$ &:& \emph{Koeffizienten} des Systems \\\index{Koeffizient} $b_i$ &:& \emph{Störglieder}\index{Störglied} \end{tabular} \smallskip Sind alle $b_i = 0$, so heißt das lineare Gleichungssystem \emph{homogen}, sonst \emph{inhomogen}. \index{hom. lin. Gleichungssystem}\index{inhom. lin. Gleichungssystem} \begin{description} \item[Beispiele:] \quad \begin{minipage}[c]{6cm} \center \begin{displaymath} S_1 \left\{\begin{array}{ccccc} x_1 & + & x_2 & = & 3 \\ x_1 & - & x_2 & = & 1 \end{array}\right. \end{displaymath} \bigskip \begin{displaymath} S_3 \left\{\begin{array}{ccccc} x_1 & + & x_2 & = & 3 \\ -x_1 & - & x_2 & = & -3 \end{array}\right. \end{displaymath} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{6cm} \center \begin{displaymath} S_2 \left\{\begin{array}{ccccc} x_1 & + & x_2 & = & 3 \\ x_1 & + & x_2 & = & 1 \end{array}\right. \end{displaymath} \bigskip \begin{displaymath} S_4 \left\{\begin{array}{ccccc} x_1 & + & x_2 & = & 0 \\ -x_1 & - & x_2 & = & 0 \end{array}\right. \end{displaymath} \end{minipage} \bigskip $S_4$ ist homogen, $S_1$, $S_2$, $S_3$ inhomogen. \bigskip $S_1$ hat \emph{eine} Lösung $S_2$ hat \emph{keine} Lösung $S_{3/4}$ haben \emph{unendlich viele} Lösungen \end{description} Das lineare Gleichungssystem \begin{displaymath} \begin{array}{ccccccc} x_1 & + & 2\cdot x_2 & + & 3\cdot x_3 & = & 3\\ & & 2\cdot x_2 & + & x_3 & = & 3\\ & & & - & 4\cdot x_3 & = & 4 \end{array} \qquad \textnormal{sogenannte \emph{Dreiecksform}} \end{displaymath} besitzt die Lösung: 3. Gleichung $\Rightarrow x_3=-1$, in die 2. Gleichung einsetzen $\Rightarrow x_2 =2$, beide in die 1. Gleichung einsetzen $\Rightarrow x_1 =2$. \subsubsection{Gauß--Elimination}\index{Gauß--Verfahren} Man versucht, durch Umformungen, die \emph{nichts} an der Lösungsmenge ändern, das lineare Gleichungssystem in die Dreiecksform zu überführen. Gültige Umformungen sind: \begin{enumerate} \item Multiplikation einer Zeile mit einer Zahl $\ne 0$ \item Addition einer Zeile zu einer anderen Zeile \end{enumerate} \subsubsection{Beispiel:} \begin{displaymath} \begin{array}{rcrcrcr} x_1 & - & 4\cdot x_2 & + & 2\cdot x_3 & = & -9\\ -3\cdot x_1 & + & x_2 & & & = & 6\\ 4\cdot x_1 & + & 2\cdot x_2 & - & 2\cdot x_3 & = & -2 \end{array} \end{displaymath} Kürzere Schreibweise: \begin{displaymath} \begin{array}{rrr|rc} x_1 & x_2 & x_3 & 1\\ \cline{1-4} 1 & -4 & 2 & -9 &(a)\\ -3 & 1 & 0 & 6 &(b)\\ 4 & 2 & -2 & -2 &(c) \end{array} \Rightarrow \begin{array}{rrr|rc} x_1 & x_2 & x_3 & 1\\ \cline{1-4} 1 & -4 & 2 & -9 &(a)\\ 0 & -11 & 6 & -21 &(b') = (b) + 3\cdot (a)\\ 0 & 18 & -10 & 34 &(c') = (c) - 4\cdot (a) \end{array} \end{displaymath} \begin{minipage}[c]{7.2cm} \begin{displaymath} \begin{array}{rrr|rc} x_1 & x_2 & x_3 & 1\\ \cline{1-4} 1 & -4 & 2 & -9 &(a)\\ 0 & -11 & 6 & -21 &(b') = (b) + 3\cdot (a)\\ 0 & 18 & -10 & 34 &(c') = (c) - 4\cdot (a) \end{array} \end{displaymath} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{4.8cm} $\Rightarrow x_3 = 2, x_2 =3, x_1 = -1$ (\emph{eine} Lösung) \end{minipage} \begin{description} \item[Bemerkung:] Zeilen, die nicht mehr verändert werden und Spalten in denen nur Nullen stehen können weggelassen werden. \end{description} \subsection{Beispiele} \begin{enumerate} \item\begin{displaymath} \begin{array}{rrr|r} x_1 & x_2 & x_3 & 1\\ \hline 1 & -3 & 5 & 26\\ 2 & -2 & 1 & 12\\ -3 & 5 & -6 & 2 \end{array} \Rightarrow \begin{array}{rr|r} x_2 & x_3 & 1\\ \hline 4 & -9 & -40\\ -4 & 9 & 80 \end{array} \Rightarrow \begin{array}{r|r} x_3 & 1\\ \hline 0 & 40 \end{array} \end{displaymath} $\Rightarrow$ keine Lösung! \item \begin{displaymath} \begin{array}{rrr|r} x_1 & x_2 & x_3 & 1\\ \hline 3 & 1 & -2 & 3\\ 24 & 10 & -13 & 25\\ -6 & -4 & 1 & -7 \end{array} \Rightarrow \begin{array}{rr|r} x_2 & x_3 & 1\\ \hline 2 & 3 & 1\\ -2 & -3 & -1 \end{array} \Rightarrow \begin{array}{r|r} x_3 & 1\\ \hline 0 & 0 \end{array} \end{displaymath} $x_3\cdot 0 = 0 \Rightarrow x_3 = \lambda \quad (\lambda \in \mathbb{R})$ einsetzen in mittlere Gleichung: $x_2 = \frac{1}{2} - \frac{3}{2}\cdot\lambda$, $x_2$ und $x_3$ in erste Gleichung einsetzen $\Rightarrow x_1 = \frac{5}{6} + \frac{7}{6}\cdot\lambda$ (es gibt unendlich viele Lösungen). \bigskip $\lambda$ heißt \emph{Lösungsparameter}\index{Lösungsparameter} \end{enumerate} \subsection{Lineare Gleichungssysteme in Matrizenschreibweise} Gegeben sei das lineare Gleichungssystem aus 5.3.1. \smallskip Setzt man \begin{displaymath} A = \left[\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{array} \right] \quad x = \left[\begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n \end{array} \right] \quad b = \left[\begin{array}{c} b_1\\ b_2\\ \vdots\\ b_n \end{array} \right] \end{displaymath} \begin{flushleft} so läßt sich das lineare Gleichungssystem in der Form \framebox{$A x = b$} schreiben. \end{flushleft} \begin{tabular}{lcl} $A$ &:& \emph{Koeffizienten-Matrix}\\\index{Koeffizientenmatrix} $b$ &:& Spaltenvektor der rechten Seite\\ $x$ &:& \emph{Lösungsvektor}\index{Lösungsvektor} \end{tabular} \bigskip Sei $A$ eine $n\times n$ Matrix und regulär (d.h. invertierbar). Multipliziert man beide Seiten von links mit $A^{-1}$, so erhält man: \begin{displaymath} \underbrace{A^{-1} A}_{E} x = A^{-1} b \qquad \Rightarrow \qquad x = A^{-1} b \end{displaymath} \begin{description} \item[Beispiel:] \begin{displaymath} \begin{array}{rcrcr} x_1 & + & x_2 & = & 2\\ x_1 & + & 2\cdot x_2 & = & 3 \end{array} \end{displaymath} \begin{displaymath} A = \left[\begin{array}{rr}1&1\\1&2\end{array}\right] \qquad x = \left[\begin{array}{r}x_1\\x_2\end{array}\right] \qquad b = \left[\begin{array}{r}2\\3\end{array}\right] \end{displaymath} \begin{displaymath} \mathrm{det}(A) = 1 \Rightarrow A^{-1} = \left[\begin{array}{rr}2&-1\\-1&1\end{array}\right] \end{displaymath} \begin{displaymath} x = A^{-1} b = \left[\begin{array}{rr}2&-1\\-1&1\end{array}\right] \left[\begin{array}{r}2\\3\end{array}\right] = \left[\begin{array}{r}1\\1\end{array}\right] \end{displaymath} \subsubsection{Bemerkungen} \begin{enumerate} \item Ein homogenes lineares Gleichungssystem $A x$ besitzt stets die sogenannte \emph{triviale Lösung}. \item Sind $y_1,\dots,y_n$ Lösungen der Gleichung $A x = 0$, so ist auch $y=a_1y_1+\dots+a_ky_k$, da \begin{displaymath} Ay = A(a_1y_1+\dots + a_ky_k) = a_1\underbrace{Ay_1}_{0} + \dots + a_k\underbrace{Ay_k}_{0} \Rightarrow Ay = 0 \end{displaymath} \item Allgemeine Lösung in Vektorenschreibweise Ein lineares Gleichungssystem besitze die Lösung: \begin{displaymath} \begin{array}{rcrcrcr} x_1 & = & 1& + & 3\lambda & - 4\mu\\ x_2 &= &-2 &+ &\lambda &+ &\mu\\ x_3 &=& \lambda\\ x_4 &=& \mu \end{array} \end{displaymath} \end{enumerate} \begin{displaymath} \textnormal{Als Vektor: } x = \left[\begin{array}{r}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{array}\right] = \left[\begin{array}{r}1\\-2\\0\\0\end{array}\right] + \lambda \left[\begin{array}{r}3\\2\\1\\0\end{array}\right] + \mu \left[\begin{array}{r}-4\\1\\0\\1\end{array}\right] \end{displaymath} \end{description} \subsection{Satz} Gegeben sei das $m\times n$ lineare Gleichungssystem $Ax = b$. Ist dieses System \begin{enumerate} \item inhomogen, so besitzt es entweder keine oder genau eine Lösung oder unendlich viele Lösungen \item homogen, so besitzt es nur die triviale Lösung $x=0$, oder unendlich viele Lösungen \end{enumerate} Wenn $A$ eine $n \times n$ reguläre Matrix ist, dann besitzt dieses System genau eine Lösung $x = A^{-1}b$. \subsection[Berechnung von $A^{-1}$ nach Gauß--Jordan]{Berechnung der inversen Matrix $A^{-1}$ mit dem Gauß--Jordan Verfahren}\index{Gauß--Jordan--Verfahren} Methode: \begin{enumerate} \item Man schreibt die Matrix $A|E$ hin ($E$: Einheitsmatrix). \item Man transformiert die Matrix so, daß sie in die Einheitsmatrix übergeht. Die selben Transformationen werden auch auf $E$ angewendet. Dann geht $E$ in die inverse Matrix von $A$ über. \item Zulässige Transformationen: \begin{enumerate} \item Multiplikation einer Zeile mit einer Zahl $\ne 0$ \item Addition einer Zeile mit $\lambda$ zu einer anderen. \end{enumerate} Nur Zeilenoperationen! \end{enumerate} \subsubsection{Beispiel:} \begin{displaymath} A = \left[\begin{array}{rrr}1&2&-1\\2&5&-1\\1&2&0\end{array}\right] \qquad \begin{array}{rrr|rrr} &A&&&E\\ \hline 1&2&-1&1&0&0\\ 2&5&-1&0&1&0\\ 1&2&0&0&0&1 \end{array} \stackrel{\framebox{1}}{\longrightarrow} \end{displaymath} \begin{displaymath} \begin{array}{rrr|rrr} &A'&&&E'\\ \hline 1&2&-1&1&0&0\\ 0&1&1&-2&1&0\\ 0&0&1&-1&0&1 \end{array} \stackrel{\framebox{2}}{\longrightarrow} \begin{array}{rrr|rrr} &A'&&&E'\\ \hline 1&2&0&0&0&1\\ 0&1&0&-1&1&-1\\ 0&0&1&-1&0&1 \end{array} \stackrel{\framebox{3}}{\longrightarrow} \end{displaymath} \begin{displaymath} \begin{array}{rrr|rrr} &E&&\multicolumn{3}{c}{E'=A^{-1}}\\ \hline 1&0&0&2&-2&3\\ 0&1&0&-1&1&-1\\ 0&0&1&-1&0&1 \end{array} \end{displaymath} \begin{tabular}{clcl} \framebox{1} & 2. Zeile &--& 2 mal 1. Zeile\\ & 3. Zeile &--& 1. Zeile\\ \framebox{2} & 2. Zeile &--& 3. Zeile\\ & 1. Zeile &+& 3. Zeile\\ \framebox{3} & 1. Zeile &--& 2 mal 2. Zeile\\ \end{tabular} \bigskip Sei $b = \left[\begin{array}{r}5\\10\\4\end{array}\right]$, $A$ wie oben. Man löse das lineare Gleichungssystem $Ax = b$, wobei $x = \left[\begin{array}{r}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right]$. Lösung: $x = A^{-1}b$. \begin{displaymath} \left[ \begin{array}{rrr} 2&-2&3\\ -1&1&-1\\ 1&0&1 \end{array} \right] \cdot \left[ \begin{array}{r} 5\\10\\4 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{r} 2\\1\\-1 \end{array} \right] \end{displaymath} $x_1$ = 2, $x_2$ = 1, $x_3$ = --1 \subsection{Rundungsfehler}\index{Rundungsfehler} \begin{minipage}[c]{5.5cm} \begin{displaymath} \begin{array}{rcrcl} x_1 & + & x_2 & = & 2\\ x_1 & + & 1,\!0001 \cdot x_2 & = & 2,\!0001\\ \end{array} \end{displaymath} Berechnung des linearen Gleichungssystems ohne Rundungsfehler \smallskip Lösung: $x_1 = x_2 = 1$ \end{minipage} \begin{minipage}[c]{1cm} \qquad \end{minipage} \begin{minipage}[c]{5.5cm} \begin{displaymath} \begin{array}{rcrcl} x_1 & + & x_2 & = & 2\\ x_1 & + & 1,\!0001 \cdot x_2 & = & 2\\ \end{array} \end{displaymath} Berechnung des linearen Gleichungssystems \emph{mit} Rundungsfehler \smallskip Lösung: $x_1 = 2$, $x_2 = 0$ \end{minipage} \bigskip $\Rightarrow$ das lineare Gleichungssystem ist \emph{schlecht konditioniert}.\index{Konditionierung (LGS)} \subsection{Satz: Cramer'sche Regel}\index{Cramer'sche Regel} $A x = b$ sei ein reguläres $n\times n$--System. $\Delta j$ sei die Matrix, die aus $A$ entsteht, wenn man deren $j$--te Spalte durch $b$ ersetzt. Dann gilt die Lösung: \[x = [x_1,\ldots ,\, x_n]^T : x_j = \frac{\det \Delta j}{\det A} \quad (j = 1,\, \ldots ,\, n)\] \subsection{Beispiele} $n=1$: $2\cdot x = 4 \qquad x = [x_1]^T \qquad x_1 = \frac{\det (4)}{\det (2)} = 2$ {\flushleft $n = 3$: \[\left.\begin{array}{rcrcrcr} 2\cdot x_1 & + & x_2 & - & 2\cdot x_3 & = & 10\\ 3\cdot x_1 & + & 2\cdot x_2 & + & 2\cdot x_3 & = & 1\\ 5\cdot x_1 & + & 4\cdot x_2 & + & 3\cdot x_3 & = & 4\\ \end{array}\right\} \det A = \left|\begin{array}{rrr}2&1&-2\\3&2&2\\5&4&3\end{array}\right| = -7 \] $\det \Delta_3 = \left|\begin{array}{rrr}2&1&10\\3&2&1\\5&4&4\end{array}\right| = 21 \qquad\Rightarrow\qquad x_3 = \frac{21}{-7} = -3$ } \section{Eigenwerte und Eigenvektoren} \subsection{Eigenvektor}\index{Eigenvektor} Es sei $A = (a_{ij})$ eine $n\times n$ Matrix und $x=(x_1,\ldots,x_n)^T$ ein Spaltenvektor. Dann heißt $x$ \emph{Eigenvektor} von $A$ zum Eigenwert $\lambda$, wenn\index{Eigenwert} \begin{displaymath} Ax = \lambda x \end{displaymath} (wichtig: $x \ne 0$, $A\cdot 0 = \lambda \cdot 0$ für beliebige $\lambda$). \subsection{Eigenwert} Eine reelle Zahl $\lambda$ ist genau dann \emph{Eigenwert} von $A$, wenn \begin{displaymath} \mathrm{det}(A - \lambda \cdot E) = 0 \end{displaymath} \subsection{Beispiele} \begin{displaymath} A = \left[\begin{array}{rrr} 7&2&0\\ -2&6&-2\\ 0&-2&5 \end{array}\right] \qquad \mathrm{det}(A-\lambda\cdot E) = \left[\begin{array}{rrr} 7-\lambda&2&0\\ -2&6-\lambda&-2\\ 0&-2&5-\lambda \end{array}\right] \end{displaymath} [\dots] \begin{displaymath} -\lambda^3 + 18\lambda^2 - 99\lambda + 162 = 0 \end{displaymath} Die Lösungen sind $\lambda_1 = 3$, $\lambda_2 = 6$, $\lambda_3 = 9$. \bigskip Allgemein ist $P(\lambda) = \mathrm{det}(A-\lambda E)$ ein Polynom $n$--ten Grades, das \emph{charakteristische Polynom} von $A$. Die Gleichung $P(\lambda) = 0$ heißt \emph{charakteristische Gleichung}.\index{charakteristisches Polynom}\index{charakteristische Gleichung} \subsection{Bestimmung der Eigenvektoren} Sei $A$ wie in 5.4.3. Um die Eigenvektoren zu $\lambda_1 = 3$ zu bestimmen müssen wir alle Lösungen eines linearen Gleichungssystems \begin{displaymath} Ax = 3x \sim (A-3E)x = 0 \end{displaymath} bestimmen, wobei $x = (x_1,x_2,x_3)^T$. \begin{displaymath} \begin{array}{rcrcrcr} 4x_1 & - & 2x_2 & & & = & 0\\ -2x_1 & + & 3x_2 & -&2x_3 & = & 0\\ & - & 2x_x &+& 2x_3 & = & 0 \end{array} \end{displaymath} $\Rightarrow$ homogenes lineares Gleichungssystem, Lösung (z.B. durch Gauß--Elimination) $x_1 = \frac{t}{2}$, $x_2 = t$, $x_3 = t$, $(t \in \mathbb{R})$. \begin{displaymath} x = \left[\begin{array}{r}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right] = t\left[\begin{array}{r}1/2\\1\\1\end{array}\right] \quad (t \ne 0) \end{displaymath} für $\lambda_2 = 6$ und $\lambda_3 = 9$ analog\ldots \begin{displaymath} \lambda_2 \Rightarrow x = t\left[\begin{array}{r}-1\\-1/2\\1\end{array}\right] \qquad \lambda_3 \Rightarrow x = t\left[\begin{array}{r}2\\-2\\1\end{array}\right] \end{displaymath} \subsection{Satz} Ist $A$ eine symmetrische Matrix, dann sind alle Nullstellen des charakteristischen Polynoms reelle Zahlen. \subsubsection{Beispiel} \index{mehrfache Eigenwert}Mehrfache Eigenwerte \quad $A=\left[\begin{array}{cc}2&0\\0&2\end{array}\right] \Big( = 2E \Rightarrow Ax =2x\textnormal{ für alle }x\Big)$ \begin{displaymath} \mathrm{det}(A-xE) = \left|\begin{array}{cc}2-\lambda & 0 \\ 0 & 2-\lambda\end{array}\right| = (2 - \lambda)^2 = 0 \end{displaymath} $\lambda_1 = \lambda_2 = 2$ $\Rightarrow$ jeder Vektor $\ne 0$ ist ein Eigenvektor zum Eigenwert 2 \chapter{Analytische Geometrie} \section{Vektoren}\index{Vektoren} \subsection{Definitionen} Ein Pfeil im dreidimensionalen Raum ist ein geordnetes Punktepaar ($P,Q$), $P$: \emph{Anfangspunkt}, $Q$: \emph{Endpunkt}. Zwei Pfeile sind \emph{gleich}, wenn ihre Anfangs-- und Endpunkte übereinstimmen. Sie heißen \emph{parallelgleich}\index{parallelgleich}, wenn sie durch Parallelverschiebung ineinander übergehen. Alle zueinander parallelgleichen Pfeile bilden jeweils eine \emph{Klasse} (Menge) von Pfeilen. Die Klassen parallelgleicher Pfeile nennt man \emph{Vektoren}. Schreibweise: $\vec{a}$, $\vec{x}$, \dots oder $\overrightarrow{PQ}$. Die Menge aller Vektoren bezeichnen wir mit $V$. $\vec{O}$ bezeichnet den zum Pfeil (0,0) gehörenden Vektor. $\vec{a}$ und $\vec{b}$ heißen \emph{parallel} (oder \emph{kollinear}),\index{parallel, Vektoren}\index{kollinear, Vektoren} wenn die Repräsentanten (Pfeile) der Klassen $\vec{a}$ und $\vec{b}$ parallel sind. Dabei wird zwischen \emph{gleichsinnig parallel} ($\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$) und \emph{gegensinnig parallel} ($\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b}$) unterschieden. $\vec{a}$ und $\vec{b}$ heißen \emph{orthogonal} (senkrecht)\index{orthogonal, Vektoren} wenn die Repräsentanten von $\vec{a}$ senkrecht zu den Repräsentanten von $\vec{b}$ sind, (Schreibweise $\vec{a} \perp \vec{b}$), zusätzlich setzen wir fest: $\vec{O} \perp \vec{a} \, (\forall \vec{a} \in V)$. Unter der \emph{Länge} (bzw. dem \emph{Betrag} eines Vektors $\vec{a}$ verstehen wir die Länge eines den Vektor $\vec{a}$ repräsentierenden Pfeils (Schreibweise: $|\vec{a}|$ oder $a$). \subsection{Vektoroperationen} \begin{description} \item[Vektoraddition:]\index{Summe, Vektoren} Unter der \emph{Summe} von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ verstehen wir den Vektor $\vec{c}$, der sich aufgrund der Parallelogrammregel aus $\vec{a}$ und $\vec{b}$ ergibt. $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$. \begin{center} \begin{picture}(95,70) \put(10,10){\vector(4,1){60}} \put(10,10){\vector(1,4){10}} \put(20,50){\vector(4,1){60}} \put(70,25){\vector(1,4){10}} \qbezier(10,10)(10,10)(80,65) \put(80,65){\vector(1,1){0}} \put(3,3){$\scriptstyle A$} \put(72,17){$\scriptstyle B$} \put(83,60){$\scriptstyle C$} \put(43,11){$\scriptstyle \vec{a}$} \put(40,58){$\scriptstyle \vec{a}$} \put(9,30){$\scriptstyle \vec{b}$} \put(78,40){$\scriptstyle \vec{b}$} \put(50,34){$\scriptstyle \vec{c}$} \end{picture} \end{center} \item[Eigenschaften:] \quad \begin{tabular}{llcl} (a) & $\vec{a} + \vec{b}$ & = & $\vec{b} + \vec{a}$\\ (b) & $(\vec{a} + \vec{b})+\vec{c}$ & = & $\vec{a} + (\vec{b}+\vec{c})$\\ (c) & $\vec{a} + \vec{O}$ & = & $\vec{a}$\\ (d) & \multicolumn{3}{p{10cm}}{zu jedem $\vec{a} \in V$ gibt es genau ein $\vec{b} \in V$ mit $\vec{a} + \vec{b} = \vec{O}$. Schreibweise: $\vec{b} = -\vec{a}$. $\vec{a} = \overrightarrow{AB} \Rightarrow -\vec{a} = \overrightarrow{BA}; \vec{a} - \vec{a} = \overrightarrow{AA} = \vec{O}$} \end{tabular} \item[Multiplikation mit einer Zahl:] \index{Produkt, Vektoren}Es sei $\vec{a} \in V$ und $\lambda \in \mathbb{R}$. Unter dem \emph{Produkt} $\lambda \cdot \vec{a}$ (oder $\lambda \vec{a}$) verstehen wir den Vektor dessen Betrag $|\lambda|\cdot|\vec{a}|$ ist und der für $\lambda > 0$ gleichsinnig parallel zu $\vec{a}$, für $\lambda < 0$ gegensinnig parallel und für $\lambda = 0$ der Nullvektor ist. \item[Eigenschaften:] \quad \begin{tabular}{llcl} (a) & $\lambda\cdot (\mu\cdot\vec{a})$ & = & $(\lambda\cdot\mu)\cdot \vec{a}$\\ (b) & $(\lambda+ \mu) \cdot \vec{a}$ & = & $\lambda\cdot \vec{a} + \mu\cdot \vec{a}$\\ (c) & $\lambda \cdot(\vec{a} + \vec{b})$ & = & $\lambda \cdot \vec{a} + \lambda \cdot \vec{b}$ \end{tabular} \end{description} $\vec{a}$ heißt \emph{Einheitsvektor}\index{Einheitsvektor}, wenn $|\vec{a}| = 1$ ist. Ist $\vec{a} \ne 0$ ein beliebiger Vektor, so ist $\vec{a}_0 = \frac{1}{|\vec{a}|} \cdot \vec{a}$ Einheitsvektor (der zu $\vec{a}$ gehörende \emph{normierte Vektor}).\index{normierter Vektor} \subsection{Beispiel} Die Mittelpunkte der Seiten eines beliebigen Vierecks bilden die Eckpunkte eines Parallelogramms. Viereck: $ABCD$, Mittelpunkte $EFGH$. \begin{center} \begin{picture}(100,85) \put(10,20){\circle*{2}} \put(80,10){\circle*{2}} \put(20,70){\circle*{2}} \put(70,60){\circle*{2}} \qbezier(10,20)(10,20)(80,10) \qbezier(10,20)(10,20)(20,70) \qbezier(20,70)(20,70)(70,60) \qbezier(70,60)(80,10)(80,10) \put(15,45){\circle*{2}} \put(45,15){\circle*{2}} \put(75,35){\circle*{2}} \put(45,65){\circle*{2}} \qbezier(15,45)(15,45)(45,15) \qbezier(15,45)(15,45)(45,65) \qbezier(45,15)(45,15)(75,35) \qbezier(45,65)(45,65)(75,35) \put(0,12){$A$} \put(82,2){$B$} \put(10,72){$D$} \put(72,62){$C$} \put(3,42){$H$} \put(42,02){$E$} \put(80,32){$F$} \put(43,69){$G$} \end{picture} \end{center} Zu zeigen: $\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{HG}$.\smallskip \smallskip Es gilt: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC}$, \smallskip außerdem ist $\overrightarrow{EF} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$ und $\overrightarrow{HG} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow{DC}$. \smallskip Da $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC}$ ist $\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{HG}$. \section{Skalarprodukt, Vektorprodukt, Spatprodukt} \subsection{Definition: Skalarprodukt}\index{Skalarprodukt} Es seien $\vec{a}, \vec{b} \in V \smallsetminus \{\vec{O}\}$ und $\varphi$ der von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ eingeschlossene Winkel mit $0 \leq \varphi \leq \pi$. Unter dem \emph{Skalarprodukt} von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ verstehen wir die Zahl $\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}|\cdot|\vec{b}| \cdot \cos \varphi$. Ist $\vec{a} = \vec{O}$ oder $\vec{b} = \vec{O}$ , so sei $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{O}$. \subsubsection{Graphische Darstellung} \begin{minipage}[c]{90pt} \begin{picture}(90,105) \put(20,30){\vector(1,0){80}} \put(20,30){\vector(2,3){25}} \put(45,30){\line(0,1){38}} \qbezier(40,30)(40,35)(45,35) \put(43,32){\circle*{1}} \qbezier(32,30)(32,37)(27,40) \put(25,33){$\scriptstyle \varphi$} \put(20,25){\vector(1,0){25}} \put(45,25){\vector(-1,0){25}} \put(30,17){$\scriptstyle \vec{c}$} \put(28,52){$\scriptstyle \vec{b}$} \put(65,23){$\scriptstyle \vec{a}$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{10cm} $$\vec{a}_0 = \frac{1}{|\vec{a}|} \cdot \vec{a}$$ $$\vec a_0 \cdot \vec b = |\vec a_0| \cdot |\vec b| \cdot \cos \varphi = |\vec b| \cdot \cos \varphi$$ $$\vec c = |\vec b| \cdot \cos \varphi \cdot \vec a_0$$ \end{minipage} \subsection{Satz} \begin{tabular}{llcll} (a) & $\vec a \cdot \vec a$ & = & $|\vec a|^2$ & $\vec a \cdot \vec a > 0$ für $\vec a \ne \vec O$\\ (b) & $\vec a \cdot \vec b$ & $\geq$ & $0$ & wenn $0 \leq \varphi \leq \frac{\pi}{2}$\\ (c) & $\vec a \cdot \vec b$ & $\leq$ & $0$ & wenn $\frac{\pi}{2} \leq \varphi \leq \pi$\\ (c) & $\vec a \cdot \vec b$ & = & $\vec a \cdot \vec b$\\ (d) & $\lambda \cdot (\vec a \cdot \vec b)$ & = & $(\lambda\cdot \vec a) \cdot \vec b = \vec a \cdot (\lambda\cdot \vec b)$\\ (e) & $\vec a \cdot (\vec b + \vec c)$& = &$\vec a \cdot \vec b + \vec a \cdot \vec c$\\ (f) & $\vec a \perp \vec b$ & $\Leftrightarrow$ & $\vec a \cdot \vec b = 0$\\ (g) & $\vec a \uparrow\uparrow \vec b$ & $\Leftrightarrow$ & $\vec a \cdot \vec b = |\vec a| \cdot |\vec b|$\\ & $\vec a \uparrow\downarrow \vec b$ & $\Leftrightarrow$ & $\vec a \cdot \vec b = -|\vec a| \cdot |\vec b|$ \end{tabular} \subsection{Anwendung} Die Vektoren $\vec a, \vec b$ und $\vec c \,\,\, (\ne \vec O)$ seien orthogonal, und sei $\vec v$ ein beliebiger Vektor. Wir suchen $\alpha, \beta,\gamma \in \mathbb{R}$ mit $\vec v = \alpha \cdot \vec a + \beta \cdot \vec b + \gamma \cdot \vec c$ (\emph{Linearkombination} von $\vec a$, $\vec b,$ und $\vec c$). Wir multiplizieren beide Seiten skalar mit $\vec a$: $$\vec a \cdot \vec v = \alpha \cdot |\vec a|^2 \Longrightarrow \alpha = \frac{\vec a \cdot \vec v}{|\vec a|^2} \qquad (\vec a \cdot \vec b = 0,\,\,\, \vec a \cdot \vec c = 0)$$ Analog: $\beta = \frac{\vec b \cdot \vec v}{|\vec b|^2}$, $\gamma = \frac{\vec c \cdot \vec v}{|\vec c|^2}$. $\alpha \vec a$, $\beta \vec b$, $\gamma \vec c$ : \emph{Komponenten} von $\vec v$ \emph{in Richtung von} $\vec a$, $\vec b$ und $\vec c$. Sind $\vec a$, $\vec b$ und $\vec c$ Einheitsvektoren, so gilt: $$\vec v = \underbrace{(\vec a \cdot \vec v)}_{\scriptstyle \mathrm{Zahl!}}\cdot \vec a + (\vec b \cdot \vec v)\cdot \vec b + (\vec c \cdot \vec v)\cdot \vec c$$ \subsection{Definition: Vektorprodukt}\index{Vektorprodukt}\index{Kreuzprodukt} Es seien $\vec{a}, \vec{b} \in V \smallsetminus \{\vec{O}\}$ und $\vec a$ nicht parallel zu $\vec b$. Unter dem \emph{Vektorprodukt} (oder \emph{Kreuzprodukt}) von $\vec a$ und $\vec b$ verstehen wir den folgenden Vektor $\vec c$ mit den Eigenschaften: \begin{tabular}{lp{10cm}} (a) & $|\vec c| = |\vec a| \cdot |\vec b| \cdot \sin \alpha \qquad \alpha = \measuredangle (\vec a,\vec b)$\\ (b) & $\vec c$ steht senkrecht auf $\vec a$ und $\vec b$\\ (c) & $\vec a$, $\vec b$ und $\vec c$ bilden (in dieser Reihenfolge) ein \emph{Rechtssystem}. ($\vec a \rightarrow$ Daumen, $\vec b \rightarrow$ Zeigefinger, $\vec c \rightarrow$ Mittelfinger der rechten Hand). \end{tabular} \begin{description} \item[Schreibweise:] $\vec c = \vec a \times \vec b$, sprich "`a kreuz b"'. Für $\vec a = \vec O$ oder $\vec b = \vec O$ sei $\vec a \times \vec b = \vec O$, ebenso wenn $\vec a$ und $\vec b$ parallel sind. \item[Geometrische Deutung:] \quad \begin{minipage}[c]{130pt} \begin{picture}(130,70) \put(10,10){\vector(1,0){80}} \put(10,10){\vector(2,1){30}} \put(10,10){\vector(0,1){40}} \put(90,10){\vector(2,1){30}} \put(40,25){\vector(1,0){80}} \qbezier(32,10)(30,18)(26,18) \qbezier(17,10)(16,18)(10,19) \qbezier(14,12)(13,18)(10,19) \put(12,14){\circle*{1}} \put(14,14){\circle*{1}} \put(23,13){$\scriptstyle \varphi$} \put(50,0){$\scriptstyle \vec a$} \put(2,52){$\scriptstyle \vec a\times\vec b$} \put(60,10){\vector(0,1){15}} \put(60,25){\vector(0,-1){15}} \put(63,15){$\scriptstyle h$} \put(73,15){$\scriptstyle A$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{6.9cm} \flushleft $A$: Flächeninhalt des Parallelogramms \smallskip $h$: Höhe \quad $h =|\vec b|\cdot \sin \varphi$ \smallskip $A = |\vec a|\cdot h = |\vec a| \cdot |\vec b| \cdot \sin\varphi$ \smallskip $A = |\vec a \times \vec b|$ \end{minipage} \end{description} \subsection{Satz} Für alle $\vec a$, $\vec b$ und $\vec c \in V$ gilt: \begin{tabular}{llcll} (a) & $\vec a \times \vec b$ & = & $- \vec b \times \vec a$\\ (b) & $\vec a \times (\vec b + \vec c)$ & = & $(\vec a\times\vec b) + (\vec a\times\vec c)$\\ (c) & $\lambda \cdot (\vec a \times \vec b)$ &=& $(\lambda\cdot\vec a) \times \vec b$ = $\vec a \times (\lambda\cdot\vec b)$ & $\lambda \in \mathbb{R}$\\ (d) & $\vec a \times \vec b = 0$ & $\Leftrightarrow$ & $\vec a = \vec O$ oder $\vec b = \vec O$ oder $\vec a \parallel \vec b$ \end{tabular} \subsection{Satz} Die Vektoren $\vec a$, $\vec b$, $\vec c$ und $\vec a \times (\vec b \times \vec c)$ sind komplanar (d.h. parallel zu einer Ebene), und es gilt: $$\vec a \times (\vec b \times \vec c) = (\vec a \cdot \vec c)\cdot \vec b - (\vec a \cdot \vec b)\cdot \vec c$$ ($\vec b$ und $\vec c$ spannen die Ebene auf). \begin{description}\item[Bemerkung:] Das Kreuzprodukt ist \emph{nicht} assoziativ!\end{description} \subsection{Definition: Spatprodukt}\index{Spatprodukt} Das skalare Produkt aus $\vec a \times \vec b$ und $\vec c$ heißt \emph{Spatprodukt}, Schreibweise: $[\vec a \, \vec b \,\vec c]$ \begin{description} \item[Geometrische Deutung:] \quad \begin{minipage}[c]{145pt} \begin{picture}(145,80) \put(30,10){\vector(1,0){60}} \put(30,10){\vector(0,1){70}} \put(30,10){\vector(2,1){25}} \put(30,10){\vector(1,4){12}} \put(90,10){\line(1,4){12}} \put(90,10){\line(2,1){25}} \put(55,23){\line(1,0){60}} \put(42,58){\line(1,0){60}} \put(102,58){\line(2,1){25}} \put(42,58){\line(2,1){25}} \put(67,71){\line(1,0){60}} \put(55,23){\line(1,4){12}} \put(115,23){\line(1,4){12}} \multiput(20,10)(0,48){2}{\line(1,0){25}} \put(24,10){\vector(0,1){48}} \put(24,58){\vector(0,-1){48}} \put(17,30){$\scriptstyle h$} \put(10,65){$\scriptstyle \vec a \times \vec b$} \put(39,35){$\scriptstyle \vec c$} \put(60,2){$\scriptstyle \vec a$} \put(45,22){$\scriptstyle \vec b$} \put(65,12){$\scriptstyle A$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{6.2cm} $A$: Flächeninhalt der von $\vec a$ und $\vec b$ aufgespannten Grundfläche \smallskip $V$: Volumen \quad $h$: Höhe \smallskip $V = A \times h$ \end{minipage} $$\left. \begin{array}{lcl} A &=& |\vec a \times \vec b| \\ h & = & |\vec c| \cdot |\cos \varphi| \end{array} \right\} \Rightarrow V = A\cdot h = \Big||\vec a\times \vec b| \cdot |\vec c| \cdot \cos \varphi\Big| = $$ $$= \Big|(\vec a \times \vec b)\cdot \vec c\Big| = \Big| [\vec a \, \vec b \, \vec c]\Big|$$ \bigskip Betrag des Spatproduktes = Volumen des Spats \subsection{Satz: Eigenschaften des Spatproduktes} \begin{tabular}{llcl} (a) & $[\vec a\, \vec b\, \vec c]$ & = & $[\vec b\, \vec c\, \vec a] = [\vec c\, \vec a\, \vec b]$\\ (b) & $[\vec a\, \vec b\, \vec c]$ & = & $-[\vec b\, \vec a\, \vec c] = -[\vec c\, \vec b\, \vec a]$\\ \end{tabular} \end{description} \section[Vektorrechnung unter Verwendung eines Koordinatensystems]{Vektorrechnung unter Verwendung eines\\ Koordinatensystems} \subsection{Definition: Linearkombinationen}\index{Linearkombination}\index{lineare Abhängigkeit} Gegeben seien die Vektoren $\vec a_1, \dots, \vec a_n$. Jeder Vektor $\vec b$ der Form $\vec b = \alpha_1 \cdot \vec a_1 + \dots + \alpha_n \cdot \vec a_n$ heißt eine \emph{Linearkombination} der Vektoren $\vec a_1, \dots, \vec a_n$. Die Vektoren $\vec a_1, \dots, \vec a_n$ heißen \emph{linear abhängig}, wenn reelle Zahlen $\alpha_1,\dots ,\alpha_n$ existieren, die nicht alle Null sind, so daß $\alpha_1 \cdot \vec a_1 + \dots \alpha_n \cdot \vec a_n = \vec O$. Andernfalls heißen $\vec a,\dots,\vec a_n$ \emph{linear unabhängig}. \subsubsection{Bemerkungen} \begin{tabular}{lp{11cm}} a) & zwei oder mehr kollineare Vektoren sind immer linear abhängig\\ b) & drei oder mehr kollineare Vektoren sind immer linear abhängig\\ c) & in $V$ sind 4 oder mehr Vektoren immer linear abhängig \end{tabular} \subsection{Satz} Sind $\vec e_1$, $\vec e_2$ und $\vec e_3 \in V$ drei linear unabhängige Vektoren, so läßt sich ein beliebiger Vektor $\vec a$ \emph{eindeutig} als Linearkombination $\vec a = \alpha_1 \cdot \vec e_1 + \alpha_2 \cdot \vec e_2 + \alpha_3 \cdot \vec e_3$ darstellen. Man sagt je drei unabhängige Vektoren bilden eine \emph{Basis} in $V$. \index{Basis, Vektoren} Ist eine Basis festgelegt, so genügt für die Beschreibung eines Vektors die Kenntnis seiner Koordinaten. Die numerische Behandlung wird besonders einfach, wenn man ein sogenanntes \emph{orthonormiertes System} benutzt. \index{orthonormiertes System} \bigskip Das heißt: $\vec e_1$, $\vec e_2$, $\vec e_3$ sind orthogonal, Länge = 1 und $\vec e_1$, $\vec e_2$ und $\vec e_3$ bilden ein Rechtssystem. \index{Rechtssystem} \newpage Dann gilt: \begin{tabular}{ll} $\vec e_1 \cdot \vec e_2 = \vec e_1 \cdot \vec e_3 = \vec e_2 \cdot \vec e_3 = 0$ &(Orthogonalität)\\ $\vec e_1 \cdot \vec e_1 = \vec e_2 \cdot \vec e_2 = \vec e_3 \cdot \vec e_3 = 1$ &(Einheitsvektoren)\\ $\vec e_1 \times \vec e_2 = \vec e_3,\,\, \vec e_2 \times \vec e_3 = \vec e_1, \,\, \vec e_3 \times \vec e_1 = \vec e_2$ &(Rechtssystem)\\ $[\vec e_1 \, \vec e_2 \,\vec e_3] = 1$\\ \end{tabular} \bigskip Ist $A$ ein Punkt, so versteht man unter den \emph{Koordinaten} von $A$ die Koordinaten des Vektors $\overrightarrow{OA} = (a_1,\,a_2,\,a_3)^T$. Schreibweise: $A(a_1,\,a_2,\,a_3)$.\index{Koordinaten, Vektor} Den Pfeil $(O,A)$ nennt man auch \emph{Ortsvektor} des Punktes $A$. (Eigentlich handelt es sich um einen Pfeil, keinen Vektor!). Der Ortsvektor wird mit $\vec{r}_A$ bezeichnet.\index{Ortsvektor} \subsection{Satz} Gegeben seien die Vektoren $\vec a = (a_1,\,a_2,\,a_3)^T$ und $\vec b = (b_1,\,b_2,\,b_3)^T$. Dann gilt: \begin{tabular}{llcl} (a) & $\vec a + \vec b$ & = & $(a_1+b_1,\,a_2+b_2,\,a_3+b_3)^T$ \\ (b) & $\lambda\cdot \vec a$ & = & $(\lambda\cdot a_1,\,\lambda\cdot a_2,\,\lambda\cdot a_3)^T \qquad\qquad (\lambda \in \mathbb{R})$ \\ (c) & $|\vec a|$ & = & $\sqrt{{a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2}$\\ (d) & $\vec a \cdot \vec b$ & = & $a_1\cdot b_1 + a_2\cdot b_2 + a_3\cdot b_3$\\ (e) & $\cos \varphi$ & = & $\frac{\vec a \cdot \vec b}{|\vec a|\cdot |\vec b|} = \frac{a_1\cdot b_1 + a_2\cdot b_2 + a_3\cdot b_3}{\sqrt{{a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2} + \sqrt{{b_1}^2 + {b_2}^2 + {b_3}^2}} \quad (\vec a \ne \vec O,\,\,\vec b \ne \vec O) $ \end{tabular} \subsection{Beispiel} Dreieck $ABC$ mit $A(1,\,2,\,3)$, $B(2,\,-1,\,3)$, $C(3,\,1,\,-1)$. \bigskip \begin{minipage}[c]{160pt} \begin{picture}(130,85) \put(4,4){$\vec O$} \put(15,15){\vector(3,1){55}} \put(15,15){\vector(1,2){30}} \qbezier(45,75)(70,33)(70,33) \put(45,75){\vector(1,0){70}} \qbezier(115,75)(115,75)(70,33) \put(71,33){\vector(1,-1){0}} \put(70,33){\vector(-1,-1){0}} \put(66,21){$B$} \put(117,76){$C$} \put(35,76){$A$} \put(21,51){$\scriptstyle\vec r_A$} \put(43,17){$\scriptstyle\vec r_B$} \put(50,51){$\scriptstyle \vec c$} \put(100,51){$\scriptstyle \vec a$} \put(80,77){$\scriptstyle \vec b$} \put(52,68){$\scriptstyle \alpha$} \put(100,68){$\scriptstyle \gamma$} \put(70,40){$\scriptstyle \beta$} \qbezier(63,45)(73,50)(83,45) \qbezier(55,58)(63,65)(65,75) \qbezier(95,75)(90,65)(98,60) \end{picture} \flushleft $(\vec r_C$ der Übersichtlichkeit\\ halber nicht dargestellt) \end{minipage} \begin{minipage}[c]{6cm} Zu bestimmen sind: $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ sowie die Seiten $a$, $b$ und $c$. \begin{eqnarray*} \vec a &=& \vec r_B - \vec r_C = (-1,\,-2,\,4)^T\\ \\ \vec b &=& \vec r_C - \vec r_A = (2,\,-1,\,-4)^T\\ \\ \vec c &=& \vec r_B - \vec r_A = (1,\,-3,\,0)^T \end{eqnarray*} \end{minipage} \bigskip $$a = \sqrt{1^2+2^2+4^2} = \sqrt{21} \qquad \textnormal{ analog } b = \sqrt{21},\,\,c = \sqrt{10}$$ $$\cos \alpha = \frac{\vec b \cdot \vec c}{|\vec b| \cdot |\vec c|} = \frac{5}{\sqrt{210}} \quad \Longrightarrow \quad \alpha \approx 69^{\circ}49'$$ \begin{flushleft} $a = b \Rightarrow$ Dreieck ist gleichschenklig $\Rightarrow \beta = \alpha$ und $\gamma = 180^{\circ}-\alpha-\beta \approx 40^{\circ}22'$ \end{flushleft} \subsection{Satz} Für $\vec a = (a_1,\,a_2,\,a_3)^T$ und $\vec b = (b_1,\,b_2,\,b_3)^T$ gilt: $$\vec a \times \vec b = (a_2\cdot b_3 - a_3\cdot b_2, a_3\cdot b_1 - a_1\cdot b_3, a_1\cdot b_2 - a_2\cdot b_1)^T$$ \smallskip Merkregel: $\vec a \times \vec b = \left|\begin{array}{rrr}\vec e_1 & \vec e_2 & \vec e_3\\ a_1 & a_2 & a_3\\ b_1 & b_2 & b_3\end{array}\right|$ \smallskip Diese Determinante wird (formal) nach der 1. Zeile entwickelt. \subsection{Beispiele} \begin{enumerate} \item Dreieck $ABC$ wie in $(6.3.4)$. Der Flächeninhalt $F$ ist zu bestimmen. $$F= \frac{1}{2}\Big|\vec a \times\vec b \Big| \qquad \textnormal{(Def. Kreuzprodukt)}$$ $$\vec a \times \vec b = \left|\begin{array}{rrr}\vec e_1 & \vec e_2 & \vec e_3\\ -1 & 2 & 4\\ 2 & -1 & -4\end{array}\right| = (8+4,\,8-4,\,1+4)^T = (12,\,4,\,5)^T$$ $$F = \frac{1}{2}\sqrt{144+16+25} = \frac{1}{2}\sqrt{185}\approx 6,\!8$$ \item Man bestimme den auf $\vec a$ und $\vec b$ senkrecht stehenden Einheitsvektor $\vec c_0$, so daß $\vec a$, $\vec b$, $\vec c$ ein Rechtssystem bilden, wobei $\vec a = (2,\,1,\,3)^T$ und $\vec b = (-1,\,3,\,-2)^T$. $\vec c = \vec a \times \vec b$, dann $\vec c \perp \vec a$, $\vec c \perp \vec b$ und $\vec a$, $\vec b$, $\vec c$ Rechtssystem. $$\vec c = \left|\begin{array}{rrr}\vec e_1 & \vec e_2 & \vec e_3\\ 2 & 1 & 3\\ -1 & 3 & -2\end{array}\right| = (-2-9,\,-3+4,\,6+1)^T = (-11,\,1,\,7)^T$$ $$|\vec c| = \sqrt{171} \Rightarrow \vec c_0 = \frac{1}{|\vec c|} \cdot \vec c = \frac{1}{\sqrt{171}}(-11,\,1,\,7)^T$$ Dann gilt: $|\vec c_0|$ = 1 \end{enumerate} \subsection{Satz} Für $\vec a = (a_1,\,a_2,\,a_3)$, $\vec b = (b_1,\,b_2,\,b_3)$, $\vec c = (c_1,\,c_2,\,c_3)$ gilt: $$[\vec a \,\,\vec b\,\,\vec c] = \left|\begin{array}{rrr}a_1&a_2&a_3\\ b_1&b_2&b_3\\ c_1&c_2&c_3\end{array}\right|$$ Die Vektoren $\vec a$, $\vec b$ und $\vec c$ sind genau dann unabhängig, wenn $[\vec a \,\,\vec b\,\,\vec c] \ne 0$. \subsection{Beispiel} Das Volumen $V$ sowie die Höhe $h$ der Pyramide ist zu berechnen, die als Grundfläche das Dreieck $P_1(1,\,1,\,1)$, $P_2(5,\,-2,\,2)$, $P_3(3,\,4,\,3)$ und als Spitze $S(4,\,2,\,8)$ hat. \begin{minipage}[c]{160pt} \begin{picture}(160,160) \setlength{\unitlength}{0.8pt} \thicklines \put(15,15){\vector(1,0){100}} \put(15,15){\vector(1,1){40}} \put(15,15){\vector(0,1){100}} \qbezier(55,55)(55,55)(15,115) \qbezier(15,115)(15,115)(115,15) \qbezier(55,55)(55,55)(115,15) \thinlines \put(115,15){\line(1,1){40}} \put(115,15){\line(0,1){100}} \put(55,55){\line(0,1){100}} \put(155,55){\line(0,1){100}} \put(15,115){\line(1,0){100}} \put(15,115){\line(1,1){40}} \put(55,155){\line(1,0){100}} \put(115,115){\line(1,1){40}} \put(55,55){\line(1,0){100}} \put(4,4){$P_1$} \put(115,4){$P_2$} \put(60,3){$\vec a$} \put(52,40){$P_3$} \put(28,35){$\vec b$} \put(4,60){$\vec c$} \put(4,115){$S$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{6.2cm} $$\begin{array}{ccccc} \vec a &=& P_2 - P_1 &=& (4,\,-3,\,1)^T \\ \\ \vec b &=& P_3 - P_1 &=& (2,\,3,\,2)^T \\ \\ \vec c &=& S - P_1 &=& (3,\,1,\,7)^T \end{array}$$ \end{minipage} \bigskip Volumen vom Spat: $$\left|\begin{array}{rrr}4&-3&1\\2&3&2\\3&1&7\end{array}\right| = 93 \Rightarrow V = \frac{1}{6} \cdot 93 =\frac{31}{2}$$ $V = \frac{1}{3} \cdot A\cdot h$ wobei $A$ den Flächeninhalt der Grundfläche bezeichnet. $$A = \frac{1}{2}\,|\vec a \times \vec b|$$ $$\vec a \times \vec b = \left|\begin{array}{rrr}\vec e_1&\vec e_2&\vec e_3\\4&-3&1\\2&3&2\end{array}\right|=(-6-3,\,2-8,\,12+6)^T = (-9,-6,18)^T$$ $$|\vec a\times \vec b| = \sqrt{81+36+324} = 21 \quad \Rightarrow \quad h = \frac{3 V}{A} = \frac{31}{7}$$ \newpage \section{Anwendungen in der Geometrie} \subsection{Gerade} \index{Parameterdarstellung, Gerade} \subsubsection{Parameterdarstellung} Gegeben sei der Punkt $P_1(x_1,\,y_1,\,z_1)$ sowie ein Vektor $\vec a \ne \vec O$. $\vec r_1$ sei der Ortsvektor $\overrightarrow{OP_1}$ und $\vec r$ der Ortsvektor $\overrightarrow{OP}$ mit $$\vec r = \vec r_1 + t\cdot \vec a \quad (t\in\mathbb{R}) \qquad\textnormal{\emph{Parameterdarstellung} der Geraden } g $$ \begin{minipage}[c]{130pt} \flushleft \begin{picture}(110,110) \put(0,50){\line(2,1){100}} \put(0,50){\vector(2,1){50}} \put(0,50){\vector(2,1){77}} \put(50,10){\vector(1,3){26}} \put(50,10){\vector(-1,2){26}} \put(47,0){$\vec O$} \put(10,65){$P_1$} \put(24,62){\circle*{2}} \put(67,90){$P$} \put(76,88){\circle*{2}} \put(23,38){$\vec r_1$} \put(68,45){$\vec r$} \put(30,70){$\scriptstyle \vec a$} \put(50,82){$\scriptstyle t\cdot \vec a$} \put(95,85){$g$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{7.2cm} $P$ liegt auf einer Geraden $g$ durch $P_1$ in Richtung des Vektors $\vec a$. \bigskip $\vec a$ : \emph{Richtungsvektor} \index{Richtungsvektor} $t$ : \emph{Parameter} \end{minipage} \subsubsection{Zweipunktgleichung} \index{Zweipunktgleichung, Vektoren} \begin{minipage}[c]{7.2cm} Gegeben: $P_1(x_1,\,y_1,\,z_1)$, $P_2(x_2,\,y_2,\,z_2)$. Dann ist $\vec a = \vec r_2 - \vec r_1$ ein Richtungsvektor für $g$. $$\Rightarrow g:\vec r = \vec r_1 + t\cdot(\vec r_2 - \vec r_1) \quad (t \in \mathbb{R})$$ \center (\emph{Zweipunktgleichung} der Geraden $g$) \end{minipage} \begin{minipage}[c]{130pt} \flushright \begin{picture}(110,110) \put(0,50){\line(2,1){100}} \put(0,50){\vector(2,1){77}} \put(50,10){\vector(1,3){26}} \put(50,10){\vector(-1,2){26}} \put(47,0){$\vec O$} \put(10,65){$P_1$} \put(24,62){\circle*{2}} \put(61,90){$P_2$} \put(76,88){\circle*{2}} \put(23,38){$\vec r_1$} \put(68,45){$\vec r$} \put(44,77){$\vec a$} \put(95,85){$g$} \end{picture} \end{minipage} \begin{description} \item[Beispiel:] Gegeben seien die Punkte $P_1(1,\,2,\,3)$ und $P_2(-2,\,3,\,-1)$. Man bestimme den Spurpunkt $S$ der Geraden $g$ (durch $P_1$ und $P_2$) in der $xy$--Ebene. $$\left.\begin{array}{l}\vec r_1 = (1,\,2,\,3)^T \\\vec r_2 = (-2,\,3,\,-1)^T \end{array}\right\} \Rightarrow \vec a = (-3,\,1,\,-4)^T$$ $$\vec r = (1,\,2,\,3)^T + t\cdot (-3,\,1,\,-4)^T \qquad (t \in \mathbb{R})$$ Mit $\vec r = (x,\,y,\,z)$: $$ \left.\begin{array}{clrcr}x & = & 1 & - & 3t\\y & = & 2 & + & t\\z & = & 3 & - & 4t\end{array}\right\} \textnormal{\emph{Koordinatengleichungen} von }g$$ Für $S$ ist $z = 0,\,\,z = 3-4t = 0 \Rightarrow t=\frac{3}{4}$ Einsetzen für $x$,$y$: $S(-\frac{5}{4},\,\frac{11}{4},\,0)$ \end{description} \subsubsection{Parameterfreie Darstellung}\index{parameterfreie Geradendarstellung} Gegeben sei $g: \,\, \vec r = \vec r_1 + t\cdot \vec a$,\,\, $t\in\mathbb{R}$ mit $\vec r = (x,\,y,\,z)^T$, $\vec r_1 = (x_1,\,y_1,\,z_1)^T$ und $\vec a = (a_1,\,a_2,\,a_3)^T$. Nun werden beide Seiten der Geradengleichung vektoriell von links mit $\vec a$ multipliziert. $$\vec a \times \vec r = \vec a \times \vec r_1 + \underbrace{\vec a \times (t\cdot \vec a)}_{\vec O}$$ $$\vec a \times (\vec r - \vec r_1) = \vec O$$ Determinantenschreibweise \smallskip $$\left|\begin{array}{ccc}\vec e_1&\vec e_2&\vec e_3\\a_1&a_2&a_3\\\scriptstyle x-x_1&\scriptstyle y-y_1&\scriptstyle z-z_1\end{array}\right| = \vec O \quad \textnormal{ oder } \quad \begin{array}{ccc}a_2(z-z_1) & = & a_3(y-y_1)\\ a_1(z-z_1) & = & a_3(x-x_1)\\ a_1(y-y_1) & = & a_3(x-x_1)\end{array}$$ \subsection{Lagebeziehungen von Geraden}\index{Lagebeziehungen, Geraden} Gegeben seien die Geraden $g_1$ und $g_2$ mit $g_1: \vec r = \vec r_1 + t\cdot \vec a_1$ und $g_2: \vec r = \vec r_2 + t\cdot \vec a_2$. Diese Geraden können: \begin{enumerate} \item[a)] parallel\index{parallel, Geraden} sein (das gilt genau dann, wenn $\vec a_1$ und $\vec a_2$ kollinear sind) \item[b)] gleich\index{Gleichheit, Geraden} sein ($\vec a_1$, $\vec a_2$ und $\vec r_2 - \vec r_1$ sind kollinear) \item[c)] sich in genau einem Punkt schneiden \index{Schnittpunkt, Geraden} \item[d)] windschief sein (weder Schnittpunkt noch parallel) \index{windschief, Geraden} \end{enumerate} \subsection{Beispiele} \begin{enumerate} \item[(a)] Man untersuche die Lagebeziehung von $g_1$ und $g_2$. $g_1:\,\,\vec r = (1,\,-4,\,-6)^T + t\cdot (2,\,4,\,6)^T$ $g_2:\,\,\vec r = (4,\,2,\,3)^T + s\cdot (1,\,2,\,3)^T$ \smallskip \begin{minipage}[c]{130pt} \begin{picture}(120,100) \put(0,0){$g_2$} \put(0,40){$g_2$} \put(10,5){\line(2,1){100}} \put(10,45){\line(2,1){100}} \put(100,0){$\vec O$} \put(100,12){\vector(-1,2){31}} \put(100,12){\vector(-2,1){38}} \qbezier(69,74)(62,31)(62,31) \put(62,31){\vector(-1,-4){0}} \put(64,79){$\vec r_1$} \put(57,18){$\vec r_2$} \put(30,43){$\vec r_2-\vec r_1$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{6cm} $$a_1 = 2\cdot \vec a_2 \Rightarrow g_1 \parallel g_2$$ \smallskip $$\vec r_2 - \vec r_1 = (3,\,6,\,9)^T = 3\cdot \vec a_3$$ $$\Rightarrow g_1 = g_2$$ \end{minipage} \item[(b)] Gegegeben seien die Geraden: $g_1:\,\,\vec r = (4,\,2,\,3)^T + s\cdot (1,\,2,\,3)^T$ $g_2:\,\,\vec r = (1,\,0,\,2)^T + t\cdot (3,\,2,\,1)^T$ $g_3:\,\,\vec r = (1,\,1,\,1)^T + u\cdot (2,\,2,\,1)^T$ $g_1 \nparallel g_2$, da die Richtungsvektoren nicht kollinear sind. Haben $g_1$ und $g_2$ einen Schnittpunkt, so gilt: $$(4,\,2,\,3)^T + s_0\cdot (1,\,2,\,3)^T = (1,\,0,\,2)^T + t_0\cdot (3,\,2,\,1)^T$$ in Koordinatenform: $$\begin{array}{c@{\,\,}c@{\,\,}rcr@{\,\,}c@{\,\,}rcr@{\,\,}c@{\,\,}rcrl} 4 & + & s_0 & = & 1 & + & 3\cdot t_0& \Rightarrow & s_0 & - & 3\cdot t_0& = & -3& \quad \textnormal{1. Koord.}\\ 2 & + & 2\cdot s_0 & = & & & 2\cdot t_0& \Rightarrow & s_0 & - & \cdot t_0& = & -1& \quad \textnormal{2. Koord.}\\ 3 & + & 3\cdot s_0 & = & 2 & + & t_0& \Rightarrow & 3\cdot s_0 & - & t_0& = & -1& \quad \textnormal{3. Koord.} \end{array}$$ $\Rightarrow$ lineares Gleichungssystem, Lösung: $s_0 = 0,\,\, t_0 =1$. Schnittpunkt: $S(4,\,2,\,3)$ (durch Einsetzen von $s_0$ oder $t_0$). Schnitt von $g_1$ und $g_2$ analog: $$\left.\begin{array}{rcrcr} s_1 & - & 2\cdot u_0 &=& -3\\ 2\cdot s_1 & - & 2\cdot u_0 &=& -1\\ 3\cdot s_1 & - & u_0 &=& -2 \end{array}\right\} \textnormal{ keine Lösung}$$ $$g_1 \nparallel g_2 \Rightarrow g_1 \textnormal{ und } g_2 \textnormal{ sind windschief}$$ \end{enumerate} \subsection{Abstand}\index{Abstand Punkt--Gerade} \subsubsection{a) Abstand eines Punktes von einer Geraden} \begin{minipage}[c]{7cm} Abstand eines Punktes von einer Geraden: die kürzeste Entfernung zwischen $P_0$ und Punkten von $g$. $$g: \, \vec r = \vec r_1 + t\cdot \vec a$$ $$r_0 = \overrightarrow{OP_0},\,\,\vec r_1 = \overrightarrow{OP_1}$$ $$ \vec r_2 = \overrightarrow{OP_2} = \vec r + \vec a\,\, (\textnormal{d.h. } t =1)$$ \end{minipage} \begin{minipage}[c]{120pt} \flushright \begin{picture}(100,100) \put(0,0){$g$} \put(8,8){\line(2,1){90}} \put(35,70){\line(1,-2){20}} \put(28,18){\circle*{2}} \put(68,38){\circle*{2}} \put(35,70){\circle*{2}} \put(28,8){$P_1$} \put(68,26){$P_2$} \put(30,75){$P_0$} \qbezier(43,26)(39,36)(48,43) \put(47,34){\circle*{1}} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{120pt} \flushleft \begin{picture}(100,100) \put(0,0){$\scriptstyle \vec O$} \put(100,30){\line(-4,1){100}} \put(80,35){\vector(-4,1){60}} \put(80,35){\circle*{2}} %% P1 \put(20,50){\circle*{2}} %% P2 \put(70,55){\circle*{2}} %% P0 \put(80,25){$\scriptstyle P_1$} %% P1 \put(7,43){$\scriptstyle P_2$} %% P2 \put(68,59){$\scriptstyle P_0$} %% P0 \qbezier(10,10)(10,10)(80,35) \qbezier(10,10)(10,10)(70,55) \qbezier(10,10)(10,10)(20,50) \put(20,50){\vector(1,4){0}} \put(80,35){\vector(3,1){0}} \put(70,55){\vector(1,1){0}} \qbezier(70,55)(70,55)(80,35) \put(70,55){\vector(-1,2){0}} \qbezier(10,70)(10,70)(20,50) \put(10,70){\vector(-1,2){0}} \put(70,55){\vector(-4,1){60}} \put(80,45){$\scriptstyle \vec r_0 - \vec r_1$} \put(30,68){$\scriptstyle \vec a = \vec r_1 - \vec r_1$} \put(92,36){$\scriptstyle g$} \put(58,20){$\scriptstyle \vec r_1$} \put(29,32){$\scriptstyle \vec r_0$} \put(5,28){$\scriptstyle \vec r_2$} \put(40,45){\vector(1,4){4}} \put(44,61){\vector(-1,-4){4}} \put(44,50){$\scriptstyle h$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{7cm} Die Vektoren $\vec a$ ($\vec a = \vec r_2 - \vec r_1$) und $\vec r_0 - r_1$ spannen ein Parallelogramm auf, dessen Höhe gleich dem gesuchten Abstand $d$ ist. \end{minipage} Flächeninhalt: $|\vec a| \cdot h = |\vec a \times (\vec r_0 - \vec r_2)|$ $$\Rightarrow h = d = \frac{|\vec a \times (\vec r_0 - \vec r_2)|}{|\vec a|} \qquad |\vec a| \ne \vec O$$ \begin{description} \item[Beispiel:] $P_0(1,\,-2,\,5)$, $g$ geht durch $P_1(-2,\,5,\,1)$, $P_2(3,\,1,\,4)$. $\vec a = \vec r_2 - \vec r_1 = (5,\,-4,\,3)^T \qquad |\vec a| = \sqrt{50}$ $\vec r_0 - \vec r_1 = (3,\,-7,\,4)^T$ $\vec a \times (\vec r_0 - \vec r_1) = (5,\,-11,\,-23)^T$ $$d = \frac{1}{\sqrt{50}} \cdot \sqrt{25 + 121 + 529} = \frac{3}{2}\cdot \sqrt{6}$$ \end{description} \subsubsection{b) Abstand zweier nichtparalleler Geraden}\index{Abstand zweier Geraden} $$ \left.\begin{array}{l@{\,}c@{\,}lclcl} g_1 & : & \vec r & = & \vec r_1 & + & s\cdot \vec a_1\\ g_2 & : & \vec r & = & \vec r_2 & + & t\cdot \vec a_2 \end{array}\right. \qquad g_1 \nparallel g_2 \textnormal{, dann } \vec a_1 \times \vec a_2 \ne \vec O $$ Abstand $d$ : kürzeste Entfernung zwischen Punkten von $g_1$ und $g_2$ $$d = \frac{|[\vec a_1 \,\,\vec a_2\,\, (\vec r_2 - \vec r_1)]|}{|\vec a_1 \times \vec a_2|}$$ (Beweis wie a) \begin{description} \item[Beispiel:] $$\left.\begin{array}{l@{\,}c@{\,}lclcl} g_1 & : & \vec r & = & (2,\,-1,\,3)^T & + & s\cdot (1,\,0,\,3)^T\\ g_2 & : & \vec r & = & (1,\,0,\,-4)^T & + & s\cdot (-2,\,3,\,1)^T \end{array}\right. \qquad g_1 \nparallel g_2$$ $$\left.\begin{array}{lcl} \vec a_1 & = & (1,\,0,\,3)^T\\ \vec a_2 & = & (-2,\,3,\,1)^T \end{array}\right\} \vec a_1 \times \vec a_2 = \left|\begin{array}{rrr}\vec e_1&\vec e_2&\vec e_3\\1&0&3\\-2&3&1\end{array}\right| = (-9,\,-7,\,3)^T$$ $$\vec r_2 - \vec r_1 = (-1,\,1,\,-7)^T \qquad |\vec a_1 \times \vec a_2| = \sqrt{9^2+7^2+3^2} = \sqrt{139}$$ $$\Big[\vec a_1\,\,\vec a_2\,\,(\vec r_2-\vec r_1)\Big] = \left|\begin{array}{rrr}1&0&3\\-2&3&1\\-1&1&-7\end{array}\right| = -19$$ $$\Rightarrow d = \frac{19}{\sqrt{139}} \approx 1,\!61$$ \end{description} \subsubsection{c) Abstand paralleler Geraden}\index{Abstand paralleler Geraden} $d(g_1,\,g_2) = d(P_1,\,g_2)$ wobei $P_1$ ein beliebiger Punkt von $g_1$ ist. Daher erfolgt die Berechnung analog zum Abstand Punkt--Gerade. \subsection{Die Ebene} \smallskip \begin{minipage}[c]{8cm} Die Ebene $E$ ist bestimmt durch den Punkt $P_1$ und die zwei \emph{nichtkollinearen} Vektoren $\vec a$ und $\vec b$. Für alle Punkte von $E$ gilt dann: $$\vec r = \vec r_1 + s\cdot \vec a + t\cdot \vec b \qquad (s,\,t\in\mathbb{R})$$ \center (\emph{Parameterdarstellung} der Ebene $E$)\index{Ebene, Parameterdarstellung} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{115pt} \flushright \begin{picture}(105,60) \put(34,0){$\vec O$} \multiput(0,15)(20,40){2}{\line(1,0){80}} \multiput(0,15)(80,0){2}{\line(1,2){20}} \put(40,30){\vector(1,2){9}} \put(40,30){\vector(1,0){23}} \put(40,30){\vector(3,2){25}} \linethickness{0.15pt} \qbezier(40,11)(40,30)(40,30) \qbezier(40,11)(65,47)(65,47) \put(40,30){\vector(0,1){0}} \put(65,47){\vector(1,2){0}} \put(29,25){$\scriptstyle P_1$} \put(40,30){\circle*{2}} \put(32,17){$\scriptstyle \vec r_1$} \put(65,47){\circle*{2}} \put(68,47){$\scriptstyle P$} \put(60,22){$\scriptstyle \vec a$} \put(61,34){$\scriptstyle \vec r$} \put(39,43){$\scriptstyle \vec b$} \put(90,22){$E$} \end{picture} \end{minipage} \begin{flushleft}\end{flushleft} Ist eine Ebene durch 3 Punkte $P_1$, $P_2$, $P_3$ mit den Ortsvektoren\index{Ortsvektor, Ebene} $\vec r_1$, $\vec r_2$, $\vec r_3$ gegeben, so können die Richtungsvektoren\index{Richtungsvektor, Ebene} durch $\vec a = \vec r_2 - \vec r_1$, $\vec b = \vec r_3 - \vec r_1$ ersetzt werden: $$\vec r = \vec r_1 + s\cdot (\vec r_2 - \vec r_1) + t\cdot (\vec r_3 - \vec r_1) \qquad \textnormal{\emph{(Dreipunktgleichung)}}$$ \subsection{Beispiel} Man bestimme die Ebenengleichung für die Ebene $E$, die durch die Punkte $P_1(1,\,-2,\,4)$, $P_2(-3,\,4,\,1)$ und $P_3(2,\,1,\,7)$ aufgespannt wird. $$\vec r_2 - \vec r_1 = (-4,\,6,\,-3)^T \qquad \vec r_3 - \vec r_1 = (1,\,3,\,3)^T$$ $$E\,:\,\vec r = (1,\,-2,\,4)^T + s\cdot (-4,\,6,\,-3)^T + t\cdot (1,\,3,\,3)^T$$ \smallskip Mit $\vec r = (x,y,z)^T:$ $$ \left.\begin{array}{ccrcrcr} x &=& 1& -& 4\cdot s &+ &1\cdot t \\ y &=& -2& +& 6\cdot s &+& 3\cdot t \\ z &=& 4& -& 3\cdot s &+ &3\cdot t \\ \end{array}\right\} \textnormal{\emph{Koordinatengleichung}} $$ Elimination von $s$ und $t$: 1. Gleichung: $t = x + 4\cdot s -1$ in die 2. und 3. Gleichung einsetzen. \begin{enumerate} \item[II.] $y = -5+18\cdot s+3\cdot x$ \item[III.] $z = 1 + 9\cdot s + 3\cdot x$ \qquad / mal 2, von II. abziehen: \end{enumerate} $y - 2\cdot z = -7 - 3\cdot x$ $\Rightarrow$ \framebox{$3\cdot x + y - 2\cdot z = -7$} \quad (\emph{parameterfreie Form}) \newpage \subsection{Ebenengleichung in parameterfreier Form}\index{Ebene, parameterfreie Form} $$E\,:\,\vec r = \vec r_1 + s\cdot \vec a + t\cdot \vec b \Rightarrow \vec r - \vec r_1 = s\cdot \vec a + t \cdot \vec b$$ Beide Seiten mit $\vec a \times \vec b$ skalar multiplizieren. $$(\vec r - \vec r_1) \cdot (\vec a \times \vec b) = 0 \qquad (\textnormal{da } (\vec a \times \vec b) \perp \vec a \textnormal{ und }\vec b)$$ $$[(\vec r - \vec r_1)\,\,\vec a\,\,\vec b] = 0 \qquad (\textnormal{Spatprodukt})$$ $$\left|\begin{array}{ccc}x-x_1 & y-y_1 & z-z_1\\a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3\end{array}\right| = 0$$ \begin{description} \item[Beispiel:] Ebene $E$ wie in 6.4.6. $$\left|\begin{array}{ccc}x-1 & y+2 & z-4\\-4 & 6 & -3 \\ 1 & 3 & 3\end{array}\right| = \begin{array}{l}(x-1)[6\cdot3-3\cdot(-3)]+\\(y+2)[(-4)\cdot3-3\cdot1]+\\(z-4)[(-4)\cdot 3- 1\cdot 6]\end{array} = 0$$ $$3\cdot x + y - 2 \cdot z = 0$$ \end{description} \bigskip \begin{flushleft} \begin{minipage}[c]{8cm} Ein Vektor $\vec n \ne \vec O$ heißt \emph{Normalenvektor}\index{Normalenvektor} der Ebene $E$, wenn $\vec n \perp E$. Jeder Normalenvektor läßt sich in der Form $$\vec n = \lambda\cdot(\vec a \times \vec b) \quad (\lambda \ne 0)$$ \end{minipage} \begin{minipage}[c]{115pt} \flushright \begin{picture}(105,60) \multiput(0,15)(30,30){2}{\line(1,0){80}} \multiput(0,15)(80,0){2}{\line(1,1){30}} \put(45,25){\vector(1,0){25}} \put(45,25){\vector(1,1){15}} \put(45,25){\vector(0,1){35}} \qbezier(45,35)(55,35)(55,25) \qbezier(45,35)(52,48)(52,32) \put(50,30){\circle*{2}} \put(48.7,34.3){\circle*{2}} \put(90,10){$E$} \put(65,17){$\scriptstyle \vec a$} \put(61,34){$\scriptstyle \vec b$} \put(50,55){$\scriptstyle \vec n$} \end{picture} \end{minipage} \end{flushleft} \smallskip schreiben. Ist $\vec n$ ein beliebiger Normalvektor, so ist $(\vec r - \vec r_1)\cdot \vec n = 0$ eine Gleichung der Ebene. Es gilt: \begin{eqnarray*} \vec r \cdot \vec n &=& \vec r_1 \cdot \vec n \qquad\qquad / \cdot \frac{1}{|\vec n|}\\ \vec r \cdot\frac{\vec n}{|\vec n|} &=& \vec r_1 \cdot \frac{\vec n}{|\vec n|} = d \end{eqnarray*} \begin{flushleft} Mit $\vec n_0 = \frac{\vec n}{|\vec n|}$ gilt $|\vec n_0| = 1$ und \framebox{$E\,:\,\vec r \cdot \vec n_0 = d$} \quad \emph{(Hessesche Normalform)}\index{Hessesche Normalform} \end{flushleft} \subsubsection{In Koordinaten:} $\vec r = (x,\,y,\,z)^T \quad \vec n_0 = (n_1,\,n_2,\,n_3)^T$ $$n_1\cdot x + n_2 \cdot y + n_3 \cdot z = d \qquad \textnormal{mit } {n_1}^2 +{n_2}^2+{n_3}^2 = 1$$ \bigskip Sei $P_0(x_0,\,y_0,\,z_0)$ ein beliebiger Punkt mit Ortsvektor $\vec r_0$. Der Abstand des Punktes $P_0$ von $E$ ist gleich $|\vec r_0 \cdot \vec n_0 - d|$. \begin{description} \item[Spezialfall:] $|d|$ ist der Abstand der Ebene vom Ursprung \end{description} \subsection{Beispiele} \begin{enumerate} \item[(a)] $P_1(1,\,0,\,0)$, $P_2(0,\,1,\,0)$, $P_3(0,\,0,\,1)$ Man bestimme eine Gleichung der Ebene $E$, die durch diese Punkte geht. Wie groß ist der Abstand des Punktes $P_0(3,\,3,\,4)$ von $E$? \smallskip Dreipunktgleichung: $E:\vec r = (1,\,0,\,0)^T + s\cdot \underbrace{(0,\,1,\,0)^T}_{\vec a} + t\cdot\underbrace{(0,\,0,\,1)^T}_{\vec b}$ $\vec n = \vec a \times \vec b = (1,\,1,\,1)^T, \quad \vec n_0 = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot (1,\,1,\,1)^T$ \smallskip $\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot x + \frac{1}{\sqrt{3}}\cdot y + \frac{1}{\sqrt{3}}\cdot z = d$ \quad mit $P_1$ erhalten wir $d = \frac{1}{\sqrt{3}}$. \bigskip $\Rightarrow$ Hessesche Normalform: $\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot x + \frac{1}{\sqrt{3}}\cdot y + \frac{1}{\sqrt{3}}\cdot z = \frac{1}{\sqrt{3}}$ \bigskip Abstand $E$--$P_0$: $$\bigg|\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot x + \frac{1}{\sqrt{3}}\cdot y + \frac{1}{\sqrt{3}}\cdot z -\frac{1}{\sqrt{3}}\bigg| = \frac{9}{\sqrt{3}}$$ \item[b)] Es sei $W$ ein Würfel der durch die Eckpunkte $(\pm 1,\,\pm 1,\, \pm 1)$ definiert ist, sowie $P(1,\,1,\,1)$ und $Q(-1,\,-1,\,-1)$. Die Ebene $E$ sei orthogonal zu $\overrightarrow{PQ}$ und gehe durch den Nullpunkt. Wie sieht die Schnittfläche der Ebene mit dem Würfel aus? Aufstellen der Ebenengleichung: $\overrightarrow{PQ}$ ist ein Normalenvektor für $E$, $\vec O$ ein Punkt der Ebene, daher $$ \begin{array}{crcrcrcr} E:&2\cdot x &+& 2\cdot y &+& 2 \cdot z &=& 0\\ E:& x &+& y &+& z &=& 0 \end{array} $$ Ein Würfel hat 12 Kanten, die sich folgendermaßen beschreiben lassen: $$ \left.\begin{array}{r@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{\,\,}c@{\,\,}c@{\,}r@{\qquad}r} \{(&\pm 1,& \pm 1,& z &) & : & -1 \leq z \leq +1&\}& \textnormal{4 Kanten}\\ \{(&\pm 1,& y,& \pm 1 &) & : & -1 \leq y \leq +1&\}& \textnormal{4 Kanten}\\ \{(&x,& \pm 1,& \pm 1 &) & : & -1 \leq x \leq +1&\}& \textnormal{4 Kanten} \end{array}\right\} \textnormal{ 12 Kanten} $$ Die Schnittpunkte mit diesen Kanten lassen sich nun durch Einsetzen der Gleichungen für die Kanten in die Ebenengleichung errechnen. \smallskip $1 + 1 + z = 0 \qquad z = -2 \quad \,\,\longrightarrow$ kein Schnittpunkt! $1 - 1 + z = 0 \qquad z = 0 \quad\quad \longrightarrow P_1(1,\,-1,\,0)$ \smallskip $\longrightarrow$ Schnittpunkt immer dann, wenn die Vorzeichen der Einsen verschieden sind. Es ergeben sich $P_2(1,\,0,\,-1)$, $P_3(0,\,1,\,-1)$, $P_4(-1,\,1,\,0)$, $P_5(-1,\,0,\,1)$, $P_6(0,\,-1,\,1)$. Diese Punkte ergeben ein regelmäßiges Sechseck, da die Länge zweier benachbarter Punkte immer $\sqrt{2}$ beträgt. \end{enumerate} \subsection{Lagebeziehungen von Ebenen}\index{Lagebeziehung von Ebenen} Es seien die Ebenen $E_1:\vec r = \vec r_1 + s\cdot \vec a_1 + t\cdot \vec b_1$ und $E_2:\vec r = \vec r_2 + s\cdot \vec a_2 + t\cdot \vec b_2$ mit den Normalenvektoren $\vec n_1 = \vec a_1 \times \vec b_1$ und $\vec n_2 = \vec a_2 \times \vec b_2$. Folgende Lagen sind möglich: \begin{enumerate}\index{Gleichheit, Ebenen} \item[a)] $E_1$ und $E_2$ sind gleich. Dann sind $\vec n_1$ und $\vec n_2$ kollinear und die Vektoren $\underbrace{\vec r_2 - \vec r_1}_{\in E}$, $\vec a_1$, $\vec a_2$ sind komplanar. \begin{center} \begin{tabular}{l@{\qquad\qquad}l} $\vec n_1 \times \vec n_2 = \vec O$ & (kollinear)\\ \\ $[(\vec r_2 - \vec r_1) \,\, \vec a_1 \,\, \vec a_2] = 0$ & (komplanar) \end{tabular} \end{center} \item[b)] $E_1$ und $E_2$ sind parallel, aber nicht gleich. \index{parallel, Ebenen} $$\vec n_1 \times \vec n_2 = \vec O \qquad \qquad [(\vec r_2 - \vec r_1) \,\, \vec a_1 \,\, \vec a_2] \ne 0$$ \item[c)] $E_1$ und $E_2$ schneiden sich in einer Geraden, wenn \index{Schnittgerade, Ebenen} $$\vec n_1 \times \vec n_2 \ne \vec O$$ \end{enumerate} \subsubsection{Winkel zwischen zwei Ebenen} \index{Schnittwinkel, Ebenen} \begin{minipage}[c]{7.3cm} Der Vektor $\vec a = \vec n_1 \times \vec n_2$ ist ein Richtungsvektor für die Schnittgerade zweier Ebenen. Als \emph{Winkel} $\varphi$ \emph{zwischen $E_1$ und $E_2$} bezeichnet man den Winkel ($\geq 0$, $\leq 90^{\circ}$) zwischen den Normalenvektoren. $$\measuredangle (E_1,\,E_2) = \varphi \quad \qquad \cos \varphi = \frac{|\vec n_1\cdot\vec n_2|}{|\vec n_1| \cdot |\vec n_2|}$$ \end{minipage} \begin{minipage}[c]{140pt} \begin{picture}(140,100) \put(0,30){\line(1,0){100}} \multiput(0,30)(50,0){3}{\line(4,3){40}} \multiput(50,30)(40,30){2}{\line(5,2){35}} \put(50,30){\line(-5,-2){35}} \put(85,44){\line(4,3){40}} \put(15,16){\line(4,3){18.5}} \put(40,60){\line(1,0){50}} \put(140,60){\line(-1,0){34}} \put(70,45){\vector(0,1){50}} \put(70,45){\line(-2,5){16}} \put(53,87){\vector(-1,2){0}} \multiput(20,45)(4,0){13}{\line(1,0){2}} \qbezier(70,45)(70,45)(72.5,46) \qbezier(75,47)(75,47)(77.5,48) \qbezier(80,49)(80,49)(82.5,50) \qbezier(85,51)(85,51)(87.5,52) \qbezier(90,53)(90,53)(92.5,54) \qbezier(95,55)(95,55)(97.5,56) \qbezier(100,57)(100,57)(102.5,58) \qbezier(70,57)(58,57)(58,45) \qbezier(66,54)(75,57)(77.5,48) \put(66,50){\circle*{1}} \put(72,50){\circle*{1}} \put(95,21){$\scriptstyle E_1$} \put(128,75){$\scriptstyle E_2$} \put(72,95){$\scriptstyle n_1$} \put(42,87){$\scriptstyle n_2$} \qbezier(57,78)(63,85)(70,80) \put(62,72){$\scriptstyle \varphi$} \end{picture} \end{minipage} \subsubsection{Winkel zwischen Gerade--Ebene} \begin{minipage}[c]{145pt} \begin{picture}(140,100) \multiput(0,30)(40,30){2}{\line(1,0){100}} \multiput(0,30)(100,0){2}{\line(4,3){40}} \put(70,45){\vector(0,1){50}} \put(72,95){$\scriptstyle n$} \put(95,21){$\scriptstyle E$} \put(102,80){$\scriptstyle g$} \put(70,45){\line(3,4){30}} \put(58.5,30){\line(-3,-4){15}} \multiput(70,45)(4,0){13}{\line(1,0){2}} \qbezier(70,58)(83,58)(83,45) \put(70.3,51.3){$\scriptstyle \psi$} \put(75,48){$\scriptstyle \varphi$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{7.2cm} Der Winkel $\varphi$ zwischen einer Ebene $E$ und Gerade $g$ wird unter Zuhilfenahme des einfach zu berechnenden Winkels $\psi$ zwischen dem Normalenvektor und der Gerade berechnet. $$\cos \psi = \frac{|\vec n\cdot\vec a|}{|\vec n| \cdot |\vec a|} \quad \psi = \measuredangle(\vec a,\,\vec n)$$ $$\measuredangle (E,\,g) = \varphi = 90^{\circ} - \psi$$ \end{minipage} \subsection{Beispiele} \begin{enumerate} \item[a)] Man untersuche die gegenseitige Lage der Ebenen: $$ \begin{array}{c@{\,\,\,}r@{\,\,\,}c@{\,\,\,}r@{\,\,\,}c@{\,\,\,}r@{\,\,\,}c@{\,\,\,}r@{\qquad}l} E_1:&- x &+& y &-& z &=& 0 & \vec n_1 = (-1,\,1,\,-1)^T\\ E_2:& -5\cdot x &+& y &+& 6 \cdot z &=& 14 & \vec n_2 = (-5,\,1,\,6)^T \end{array} $$ $$\measuredangle(E_1,\,E_2): \quad \cos \varphi = \frac{|\vec n_1\cdot\vec n_2|}{|\vec n_1| \cdot |\vec n_2|} = \frac{0}{|\vec n_1| \cdot |\vec n_2|} = 0 \quad \Rightarrow \quad \varphi = 90^{\circ}$$ Richtungsvektor der Schnittgerade: $$\vec a = \vec n_1 \times \vec n_2 = \left|\begin{array}{rrr}\vec e_1&\vec e_2&\vec e_3\\ -1 & 1 & -1\\-5&1&6\end{array}\right| = (7,\,11,\,4)^T$$ Für die Parameterdarstellung brauchen wir einen Punkt von $g$, d.h. eine Lösung des linearen Gleichungssystems von oben (z.B. $x=0$, $y=z=2$). $$\Rightarrow g:\vec r = (0,\,2,\,2)^T + t \cdot (7,11,4)^T$$ \item[b)] Vom Punkt $P_0(1,\,2,\,1)$ wird auf die Ebene $E:x-2y+z=7$ das Lot gefällt. Wo liegt sein Fußpunkt $S$? Man bestimme eine Gerade $g$, die durch $P_0$ geht und senkrecht auf $E$ steht. $$g \perp E \qquad P_0 \in g \qquad S = g \cap E$$ Parameterdarstellung für $g$: $\vec a$ = $\vec n \Rightarrow \vec a = (1,-2,1)^T$ $$g : \vec r = \underbrace{(1,\,2,\,1)^T}_{P_0} +\,\, t\cdot (1,\,-2,\,1)^T = \vec r_0 + t \cdot \vec n$$ $$\vec r_S = \vec r_0 + t_0 \cdot \vec n \qquad \qquad (\textnormal{gesucht: }t_0\textnormal{, da } S \in g)$$ $\vec r_S$ einsetzen: $$\vec n \cdot (\vec r_0 + t_0 \cdot \vec n) = 7 \quad \Leftrightarrow \quad \vec n \cdot \vec r_0 + |\vec n|^2 \cdot t_0 = 7$$ $t_0 = \frac{3}{2} \quad \Rightarrow \quad \vec r = \Big(\frac{5}{2},\,-1,\,\frac{5}{2}\Big)$ \end{enumerate} \section{Lineare Räume}\index{reeller linearer Raum}\index{Vektorraum} \subsection{Definition} Eine Menge $V$ ($\ne \emptyset$) heißt \emph{reeller linearer Raum} (\emph{Vektorraum}), wenn $V$ eine \emph{Addition}, (bezeichnet mit $a+b$, $a,b \in V$) und eine \emph{Multiplikation} mit einer reellen Zahl (bezeichnet mit $\lambda \cdot a$ oder $\lambda a$; $\lambda \in \mathbb{R}, a \in V$) definiert sind, die folgende Eigenschaften besitzen: \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})} \item $a + b = b + a$ \item $(a+b)+c = a+b+c$ \item es existiert genau ein Element $0 \in V$ mit $0 + a = a$ für alle $a \in V$ (\emph{Nullelement}) \index{Nullelement} \item für jedes $a \in V$ existiert genau ein Element $-a \in V$ mit $a + (-a) = 0$ \item $1\cdot a = a$ \item $\lambda\cdot (\mu\cdot a) = (\lambda\cdot \mu)\cdot a \qquad \lambda\cdot \mu \in \mathbb{R},\,\,\,a\in V$ \item $\lambda\cdot (a+b) = \lambda\cdot a + \lambda\cdot b$ \item $(\lambda + \mu)\cdot a = \lambda\cdot a + \mu\cdot a$ \end{enumerate} Man schreibt auch $a - b$ anstelle von $a + (-b)$. \subsection{Beispiele für lineare Räume} \begin{enumerate} \item $V = \mathbb{R}$ \quad oder $V = \mathbb{R^3}$ \item $V = P_n = \{p: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ist ein Polynom $\leq n$--ten Grades\} \item $V$ : Menge aller $m\times n$ Matrizen \item $V$ : Menge aller reellen Funktionen \item $V$ : Menge aller komplexen Zahlen \end{enumerate} \begin{description} \item[Bemerkung:] Aus den Eigenschaften (a)--(h) in 6.5.1. folgt: $0\cdot a = 0$ und $-a = (-1)\cdot a$ \item[Beweis:] $$\left.\begin{array}{lclcl}(1+0)\cdot a & = & 1\cdot a &=& a\\(1+0)\cdot a & \stackrel{(h)}{=} & 1\cdot a + 0 \cdot a & = & a + 0\cdot a \end{array}\right\}\Rightarrow 0 \cdot a = 0$$ $$ \begin{array}{lclclcl} a + (-1) \cdot a &=& 1\cdot a + (-1)\cdot a &\stackrel{(h)}{=}& (1+(-1))\cdot a &=& 0 \cdot a\\ \Rightarrow (-1)\cdot a &\stackrel{(d)}{=}& -a \end{array} $$ \end{description} \subsection{Definition: Unterraum}\index{Unterraum} Eine Teilmenge $U \subset V$ heißt \emph{Unterraum} des linearen Raumes $V$, wenn gilt: \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})} \item $a,b \in U \Rightarrow a + b \in U$ \item $a \in U,\,\,\,\lambda \in \mathbb{R} \Rightarrow \lambda \cdot a \in U$ \end{enumerate} \subsection{Beispiele} \begin{enumerate} \item $V = \mathbb{R}^3 \quad a = (a_1,\,a_2,\,a_3) \in \mathbb{R}^3,\,\,\, U = \{\lambda\cdot a; \,\,\lambda \in \mathbb{R}\}$ \begin{eqnarray*} \lambda_1\cdot a + \lambda_2\cdot a = (\lambda_1+\lambda_2)\cdot a \quad \in U \quad &\Rightarrow &\textnormal{ (a) ist erfüllt}\\ \lambda\cdot(\lambda_0\cdot a) = (\lambda\cdot \lambda_0)\cdot a \quad \in U \quad & \Rightarrow &\textnormal{ (b) ist erfüllt} \end{eqnarray*} Deutung: Gerade im dreidimensionalen Raum \item $V = \mathbb{R}^3 \quad U =\{(b_1,\,b_2,\,b_3) \in \mathbb{R}^3 \,:\, b_3 = 0 \}$ Deutung: Ebene im dreidimensionalen Raum \item $\begin{array}{ll@{\,}l@{\,\,}l} V = P_n \,\,\, (n \geq 1) & U &=& \{p \in P_n: p(2) = 0\}\\ & U' &=& \{p \in P_n: p(2) = 4\} \end{array}$ $U'$ ist kein Unterraum von $V$, da $p,\,q \in U' \Rightarrow p+q \notin U'$ \item $V$ : Menge aller reellen Funktionen $U = P_n$ \end{enumerate} \subsection{Definition: lineare Hülle}\index{lineare Hülle} Seien $v_1,\ldots,\,v_n \in V$. Die Menge $\mathrm{lin}(v_1,\ldots ,v_n) = \{\lambda_1\cdot v_1 + \cdots \lambda_n\cdot v_n : \lambda_1,\ldots ,\lambda_n \in \mathbb{R}\}$ ist ein Unterraum von $V$, die sogenannte \emph{lineare Hülle} von $v_1,\dots,v_n$. \subsection{Beispiele} \begin{enumerate} \item $V = \mathbb{R}^3 \quad a = (a_1,\,a_2,\,a_3), \,\, \mathrm{lin}(a) = \{\lambda\cdot a: \lambda \in \mathbb{R}\}$ Falls $a \ne 0$: Gerade mit Richtungsvektor $a$ \item $V = P_n$, $n \geq 2$ $ \begin{array}{l@{\,}clcl@{\quad}l} a_1 & : & a_1(x) = 1 & (x \in \mathbb{R})\\ a_2 & : & a_2(x) = x & (x \in \mathbb{R})\\ a_3 & : & a_3(x) = x^2 & (x \in \mathbb{R}) \end{array} $ Dann ist lin$(a_1,\,a_2,\,a_3)$ die Menge aller Polynome höchstens zweiten Grades. \end{enumerate} \subsection{Lineare Abhängigkeit}\index{lineare Abhängigkeit} Ist mindestens einer der $n$ Vektoren $v_1,\dots , v_n \in V$ eine Linearkombination der übrigen $n-1$ Vektoren, dann nennt man die Vektoren $v_1,\dots ,v_n$ \emph{linear abhängig}, andernfalls \emph{linear unabhängig}. \begin{description} \item[Bemerkung:] $v_1,\dots v_n$ linear unabhängig $\Leftrightarrow$ aus $\lambda_1\cdot v_1 + \cdots + \lambda_n\cdot v_n = 0$ folgt $\lambda_1 = \lambda_2 = \cdots = \lambda_n = 0$. Wäre z.B. $\lambda_1 \ne 0$, dann ließe sich $v_1$ als Linearkombination der übrigen Vektoren darstellen: $$v_1 = \frac{\lambda_2}{\lambda_1}\cdot v_2 - \frac{\lambda_3}{\lambda_1}\cdot v_3 - \cdots - \frac{\lambda_n}{\lambda_1}\cdot v_n$$ \item[Beispiel:] $V = P_n \,\, (n\geq 2)$. Die Vektoren (Polynome) $x+1$ und $x-1$ sind linear unabhängig, die Vektoren $x+1$, $x-1$ und $1$ sind abhängig, da z.B. $x+1 = 1\cdot(x-1) + 2 \cdot 1$. \end{description} \subsection{Definition: Basis} \index{Basis, Vektorraum} Ein Vektorraum heißt \emph{endlichdimensional}, wenn endlich viele Elemente $v_1,$ $\dots , v_n \in V$ existieren, so daß $V = \mathrm{lin}(v_1,\dots , v_n)$. Sind dabei diese Vektoren linear unabhängig, so heißt die Menge $\{v_1,\dots , v_n\}$ eine \emph{Basis} von $V$. \subsection{Definition: Dimension} \index{Dimension, Vektorraum} In einem endlichdimensionalen Vektorraum $V$ hat jede Basis dieselbe Anzahl $n$ von Elementen. Diese Anzahl $n$ heißt \emph{Dimension} von $V$ und wird mit dim($V$) bezeichnet. Ist $e_1,\ldots ,e_n$ eine Basis, läßt sich jedes Element $a$ eindeutig als Linearkombination $$a =a_1 \cdot e_1 + \cdots + a_n\cdot e_n \qquad (a_i \in \mathbb{R})$$ darstellen. $a_i$: Koordinaten von $a$ bzw. der Basis $\{e_1,\ldots,e_n\}$. \subsection{Beispiele} \begin{enumerate} \item $V = \mathbb{R}^3$ \qquad Basis ist z.B. $\{(1,\,0,\,0),\,(0,\,1,\,0),\,(0,\,0,\,1)\}$ \item $V = P_n$, dim($P_n) = n+1$ $$\Rightarrow a_n\cdot x^n + a_{n-1}\cdot x^{n-1} + \cdots + a_1\cdot x^1 + a_0$$ eine Basis ist $\{1,\,x,\,x^2,\,x^3, \dots,\,x^n\}$ \item Der lineare Raum $V$ aller reellen Funktionen ist nicht endlichdimensional, da $P_n$ ein Unterraum von $V$ für beliebige $n$ ist und dim($P_n) = n+1 \Rightarrow V$ enthält beliebig viele unabhängige Vektoren. \end{enumerate} \subsection{Rang einer Matrix}\index{Rang, Matrix} \index{Zeilenrang, Matrix}\index{Spaltenrang, Matrix} Es sei $A$ eine $m\times n$ Matrix. Die Zeilenvektoren können wir als Elemente des linearen Raumes $\mathbb{R}^n$ auffassen. Die lineare Hülle der Zeilenvektoren ist dann ein Unterrang von $\mathbb{R}^n$. Die Dimension dieses Unterranges heißt \emph{Zeilenrang}. Analog definieren wir den \emph{Spaltenrang}. Man kann zeigen: Die beiden Zahlen sind immer gleich. Diesen gemeinsamen Wert nennt man \emph{Rang} der Matrix $A$. \begin{description} \item[Schreibweise:] $r(A)$ \item[Bestimmung des Rangs:] Ähnlich wie bei der Lösung von linearen Gleichungssystemen gibt es elementare Umformungen, die den Rang von $A$ nicht verändern. \begin{enumerate} \item Multiplikation einer Zeile (Spalte) mit einer Zahl $\ne 0$ \item Addition einer Zeile (Spalte) zu einer anderen Zeile (Spalte) \item Vertauschen zweier Zeilen (Spalten) \end{enumerate} \end{description} Durch diese Umformungen läßt sich $A$ in eine Matrix folgender Form überführen: $$ \left[\begin{array}{ccccccc} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & \cdots & 0\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & \cdots & 0 \end{array}\right] $$ Die Anzahl der von Null verschiedenen Zeilen (Spalten) dieser Matrix ist $r(A)$. \begin{description} \item[Beispiel] (Matrix aus 5.3.2., Beispiel 2) $$A = \left[\begin{array}{rrrr}1&2&-7&2\\4&7&-26&9\\-3&-5&19&7\end{array}\right] \rightarrow \left[\begin{array}{rrrr}1&2&-7&2\\0&-1&2&1\\0&0&0&0\end{array}\right] \Rightarrow r(A) = 2$$ \end{description} \subsection{Satz} Die Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems mit $n$ Unbekannten ist ein linearer Unterraum der Dimension $n-r$ wobei $r$ der Rang der Koeffizientenmatrix ist. \chapter{Reelle Funktionen II} \section{Zahlenfolgen} In diesem Abschnitt: $a_1$, $a_2$, $\ldots$ eine Folge reeller Zahlen \subsection{Folgen}\index{Folgen} \begin{description} \item[Schreibweise:] $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $\{a_n\}^{\infty}_{n=1}$, $\{\frac{1}{n}\}^{\infty}_{n=1}$, $\{a_n\} \ldots$ \end{description} $a_n$: das \emph{n--te Glied} der Folge \smallskip \emph{rekursive Definition}: z.B. $a_1 = 2$, $a_2 = \frac{{a_{n-1}}^2}{a_{n-1}+1}$ \,\, $(n = 2,\,3,\,\ldots)$ \smallskip Die Folge heißt \emph{monoton wachsend}, wenn für alle $n$ gilt: $a_n \leq a_{n+1}$, (\emph{streng monoton wachsend}, wenn $a_n < a_{n+1}$). \emph{Monoton fallend} analog. Die Folge heißt \emph{beschränkt}, wenn die Menge $\{a_n:n=1,\,2,\,\ldots\}$ beschränkt ist. \emph{Nach oben}, \emph{nach unten} beschränkt analog. \smallskip $a \in \mathbb{R}$ heißt \emph{Grenzwert} der Folge, wenn zu jedem $\epsilon > 0$ ein $n_0$ existiert, so daß $$ |a-a_n| < \epsilon \quad \textnormal{für } n \geq n_0$$ \begin{description} \item[Schreibweise:] $\lim\limits_{n \to \infty} a_n = a$, $\lim_n a_n = a$, $\lim a_n = a$, $a_n \longrightarrow a\,\, (n \longrightarrow \infty)$ oder $a_n \longrightarrow a$ \item[Sprechweise:] "`$a_n$ konvergiert gegen a"'\index{Konvergenz} \end{description} Existiert zu jeden $K \in \mathbb{R}$ ein $n_0$, so daß $a_n \geq K$ für $n \geq n_0$, dann schreiben wir $\lim\limits_{n \to \infty} a_n = \infty$. $\lim\limits_{n \to \infty} a_n = -\infty$ analog. \subsubsection{Beispiele} \begin{enumerate} \item $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$ \item $\lim\limits_{n \to \infty} -n^2 = -\infty$ \item $\lim\limits_{n \to \infty} (-1)^n$ existiert nicht, $\{(-1)^n\}$ ist nicht konvergent! \end{enumerate} \subsection{Satz: Rechnen mit Grenzwerten} $\{a_n\}$ und $\{b_n\}$ seien konvergente Folgen mit $\lim a_n = a$ und $\lim b_n = b$. Dann gilt: $ \begin{array}{llclcl} \textnormal{(a)} & \lim(a_n + b_n) & = & \lim a_n + \lim b_n & = & a+b\\ \textnormal{(b)} & \lim c \cdot a_n & = & c \cdot \lim a_n &= & c\cdot a\\ \textnormal{(c)} & \lim (a_n \cdot b_n) & = & (\lim a_n)\cdot (\lim b_n) & = & a\cdot b\\ \textnormal{(d)} & \lim\frac{a_n}{b_n} & = & \frac{\lim a_n}{\lim b_n} & = & \frac{a}{b} \qquad (b \ne 0,\,\,b_n \ne 0)\\ \textnormal{(e)} & \lim {a_n}^r & = & a^r && (r > 0) \end{array} $ \subsection{Beispiele} \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})} \item $$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{-2n^2 + 4n - 5}{8n^2 - 3n + 7} = \lim \frac{-2 + \frac{4}{n} - \frac{5}{n^2}}{8 - \frac{3}{n} + \frac{7}{n^2}} = -\frac{2}{8}$$ \item $$\lim \underbrace{n^2}_{\infty} - \underbrace{n}_{\infty} = \lim \underbrace{n}_{\infty} \cdot (\underbrace{n - 1}_{\infty}) = \infty$$ \item $$\lim \bigg(\frac{2n-1}{5n+2}\bigg)^3 \stackrel{(\mathrm{e})}{=} \bigg(\underbrace{\lim\frac{2n-1}{5n+2}}_{\frac{2}{5}}\bigg)^3 = \bigg(\frac{2}{5}\bigg)^3$$ \end{enumerate} \subsection{Satz} \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})} \item Wenn $\lim |a_n|= \infty$ dann $\lim \frac{1}{a_n} = 0$ \item Wenn $\lim a_n = \infty$ und $b_n \geq a_n$ dann $\lim b_n = \infty$ \item Wenn $a \leq b_n \leq a_n$ und $\lim a_n =a$ dann $\lim b_n = a$ \item Wenn $\lim a_n = \infty$, dann $\lim {a_n}^r = \infty$ \quad $(r > 0)$ \end{enumerate} \subsection{Beispiele} \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})} \item $\lim\frac{1}{\sqrt{n+1}} = 0$ \item $\lim n^2 - n \stackrel{(\mathrm{b})}{=} \infty$ \qquad $(n^2 - n \geq n$ wenn $n \geq 2)$ \item $\lim \sqrt{n+1} - \sqrt{n} = 0$, da $$\Big(\sqrt{n+1} - \sqrt{n}\Big)\cdot \frac{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{(n+1)-n}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}$$ $$\Rightarrow \lim\Big(\sqrt{n+1} - \sqrt{n}\Big) = \lim\bigg(\frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}\bigg) = 0$$ \end{enumerate} \subsection{Satz: Einige bekannte Grenzwerte} $$ \begin{array}{llcll} \textnormal{(a)} & \lim p^n & = & \infty & \textnormal{wenn } p > 1\\ & & = & 0 & \textnormal{wenn } |p| < 1\\ \textnormal{(b)} & \lim\sqrt[n]{p} & = & 1 & (p > 0)\\ \textnormal{(c)} & \lim\sqrt[n]{n} & = & 1\\ \textnormal{(d)} & \lim\sqrt[n]{n!} & = & \infty\\ \textnormal{(e)} & \lim(1+\frac{1}{n})^n & = & e & = 2,\!718281828\dots \,\, (\textnormal{\textsc{Euler}sche Zahl})\\ & \lim(1+\frac{a}{n})^n & = & e^a \end{array} $$ \subsection{Satz} Jede beschränkte, monoton wachsende (fallende) Folge ist konvergent und besitzt einen endlichen Grenzwert. \subsection{Cauchy-Folge}\index{Cauchy--Folge} Eine Folge $\{a_n\}$ heißt eine \emph{Cauchy--Folge}, wenn zu jedem $\epsilon > 0$ ein $n_0$ existiert so daß $$|a_n - a_m| < \epsilon$$ für alle $n$ und $m$ mit $m \geq n_0$, $n \geq n_0$. \smallskip Man kann zeigen: $\{a_n\}$ ist eine Gauchy--Folge $\Leftrightarrow$ $\{a_n\}$ ist konvergent. \section{Grenzwerte von Funktionen, Stetigkeit} \subsection{Definition: Grenzwert}\index{Grenzwert, rechts/linksseitig} \begin{minipage}[c]{8.2cm} Es sei $f$ definiert im Intervall $(a,\,b)$. Dann heißt $A \in \mathbb{R}$ der \emph{rechtsseitige Grenzwert von $f$ in $a$}, symbolisch \end{minipage} \begin{minipage}[c]{118 pt} \flushright \begin{picture}(100,30) \put(0,17){$\scriptstyle A$} \put(10,10){\vector(0,1){20}} \put(10,30){\vector(0,-1){20}} \put(15,0){$\scriptstyle a$} \put(80,0){$\scriptstyle b$} \put(17,8){\line(0,1){4}} \put(82,8){\line(0,1){4}} \put(0,10){\line(1,0){100}} \qbezier(17,30)(25,15)(50,25) \qbezier(50,25)(75,35)(82,25) \put(68,0){$\scriptstyle x_1$} \put(70,8){\line(0,1){4}} \put(55,0){$\scriptstyle x_2$} \put(57,8){\line(0,1){4}} \put(29,0){$\scriptstyle \cdots$} \put(32,8){\line(0,1){4}} \put(45,8){\line(0,1){4}} \put(43,0){$\scriptstyle x_3$} \multiput(10,30)(2,0){4}{\line(1,0){1}} \put(68,21){$\scriptstyle f$} \end{picture} \end{minipage} $$A = \lim_{x\to a+} f(x) \textnormal{ oder } A = \lim_{x \downarrow a} f(x)$$ wenn für jede Folge $\{x_n\}$, $x_n \in (a,\,b)$ mit $\lim x_n = a$, die Folge $\{f(x_n)\}$ gegen $A$ konvergiert. \smallskip Analog: \emph{linksseitiger Grenzwert von $f$ in $a$} $$A = \lim_{x\to a-} f(x) \textnormal{ oder } A = \lim_{x \uparrow a} f(x)$$ \bigskip \begin{flushleft} \begin{minipage}[c]{8.2cm} Es sei $f$ definiert im Intervall $(c,\,b)$ und sei $a \in (c,\,b)$. Dann heißt $A \in \mathbb{R}$ der \emph{Grenzwert} von $f$ in $a$, symbolisch\index{symbolischer Grenzwert} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{118 pt} \flushright \begin{picture}(100,30) \put(0,17){$\scriptstyle A$} \put(10,10){\vector(0,1){20}} \put(10,30){\vector(0,-1){20}} \put(15,0){$\scriptstyle c$} \put(80,0){$\scriptstyle b$} \put(17,8){\line(0,1){4}} \put(82,8){\line(0,1){4}} \put(0,10){\line(1,0){100}} \qbezier(17,30)(25,15)(50,25) \qbezier(50,25)(75,35)(82,25) \put(55,0){$\scriptstyle a$} \put(57,8){\line(0,1){4}} \multiput(10,30)(2,0){4}{\line(1,0){1}} \put(32,24){$\scriptstyle f$} \end{picture} \end{minipage} $$A = \lim\limits_{x\to a}f(x)$$ wenn für jede Folge $\{x_n\}$, $x_n \in (c,\,b)$ mit $\lim x_n = a$, die Folge $\{f(x_n)\}$ gegen $A$ konvergiert. \end{flushleft} \begin{description} \item[Bemerkung:] $\lim\limits_{x \to a} f(x)$ existiert genau dann, wenn die einseitigen Grenzwerte existieren und $$\lim_{x \uparrow a} f(x) = \lim_{x \downarrow a} f(x)$$ \item[Analog:]\quad \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})} \item wenn $A = \infty$ oder $A = -\infty$ \item $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)$ oder $\lim\limits_{x\to \infty} f(x)$ \end{enumerate} \end{description} \subsection{Beispiele} \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})} \item \begin{minipage}[c]{8cm} $\lim\limits_{x \to 0} x^2 = 0$ \end{minipage} \begin{minipage}[c]{120pt} \begin{picture}(100,70) \put(0,10){\vector(1,0){100}} \put(50,0){\vector(0,1){70}} \put(95,0){$\scriptstyle x$} \put(55,62){$\scriptstyle f(x)$} \qbezier(50,10)(80,15)(80,60) \qbezier(50,10)(20,15)(20,60) \put(52,2){$\scriptstyle 0$} \qbezier(50,10)(50,10)(52,8) \end{picture} \end{minipage} \item \begin{minipage}[c]{8cm} $ \left.\begin{array}{lcr} \lim\limits_{x \downarrow 0} \mathrm{sgn}(x) &=& 1\\ \lim\limits_{x \uparrow 0} \mathrm{sgn}(x) &=& -1 \end{array}\right\} \nexists \lim\limits_{x\to 0} \mathrm{sgn}(x) $ \end{minipage} \begin{minipage}[c]{120pt} \begin{picture}(100,70) \put(0,35){\vector(1,0){100}} \put(50,0){\vector(0,1){70}} \put(95,25){$\scriptstyle x$} \put(55,62){$\scriptstyle \mathrm{sgn}(x)$} \put(50,50){\line(1,0){30}} \put(20,20){\line(1,0){30}} \put(43,47){$\scriptstyle 1$} \put(53,17){$\scriptstyle -1$} \end{picture} \end{minipage} \item \begin{minipage}[c]{8cm} $ \left.\begin{array}{lcr} \lim\limits_{x \to 1+} \, \llcorner x \lrcorner &=& 1\\ \lim\limits_{x \to 1-} \,\llcorner x \lrcorner &=& 0 \end{array}\right\} \nexists \lim\limits_{x\to 1} \llcorner x \lrcorner $ \end{minipage} \begin{minipage}[c]{120pt} \begin{picture}(100,70) \put(0,35){\vector(1,0){100}} \put(50,0){\vector(0,1){70}} \put(95,25){$\scriptstyle x$} \put(55,62){$\scriptstyle \llcorner x \lrcorner$} \multiput(50,35)(10,10){4}{\line(1,0){10}} \multiput(50,33)(10,0){4}{\line(0,1){4}} \multiput(48,35)(0,10){4}{\line(1,0){3}} \put(58,25){$\scriptstyle 1$} \put(68,25){$\scriptstyle 2$} \put(78,25){$\scriptstyle 3$} \put(43,42){$\scriptstyle 1$} \put(43,52){$\scriptstyle 2$} \end{picture} \end{minipage} \item \begin{minipage}[c]{8cm} $ \left.\begin{array}{lcr} \lim\limits_{x \downarrow 0} \frac{1}{x} &=& \infty\\ \lim\limits_{x \uparrow 0} \frac{1}{x} &=& -\infty \end{array}\right\} \nexists \lim\limits_{x \to 0} \frac{1}{x} $ \end{minipage} \begin{minipage}[c]{120pt} \begin{picture}(100,70) \put(0,35){\vector(1,0){100}} \put(50,0){\vector(0,1){70}} \put(95,25){$\scriptstyle x$} \put(55,62){$\scriptstyle \frac{1}{x}$} \qbezier(20,32)(48,32)(48,5) \qbezier(80,38)(52,38)(52,65) \end{picture} \end{minipage} \item $\lim\limits_{x\to 0+} \sin(\frac{1}{x})$ existiert nicht, da die Funktion in einem beliebig kleinen Intervall $(0,\,\epsilon)$ beliebige Werte zwischen $-1$ und $+1$ annimmt. \item $\lim\limits_{x\to 0} x\cdot \sin (\frac{1}{x}) = 0$, da $|x\cdot \sin x| = |x| \cdot \underbrace{|\sin x|}_{\leq 1} \leq |x| \stackrel{x \to 0}{\longrightarrow} 0$ \end{enumerate} \subsection{Satz: Rechenregeln} Es seien $f$ und $g$ definiert in $(a,\,b)$ und $\lim\limits_{x\to a+} f(x)$ bzw. $\lim\limits_{x\to a+} g(x)$ mögen beide existieren. Dann gilt: \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})} \item $\lim\limits_{x\to a+} \Big(f(x) \pm g(x)\Big) = \Big(\lim\limits_{x\to a+} f(x)\Big) \pm \Big(\lim\limits_{x\to a+} g(x)\Big)$ \item $\lim\limits_{x\to a+} \Big(f(x) \cdot g(x)\Big) = \Big(\lim\limits_{x\to a+} f(x)\Big) \cdot \Big(\lim\limits_{x\to a+} g(x)\Big)$ \item Ist $g(x) \ne 0$ in $(a,\,b)$ und $\lim\limits_{x\to a+} g(x) \ne 0$, dann gilt $$\lim\limits_{x\to a+} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim\limits_{x\to a+} f(x)}{\lim\limits_{x\to a+} g(x)}$$ \end{enumerate} \begin{flushleft}Die Regeln für die linksseitigen und beidseitigen Grenzwerte gelten analog.\end{flushleft} \subsection{Beispiele} \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})} \item $\lim\limits_{x\to 2} \frac{x^2 + 1}{x-1} = \frac{2^2+1}{2-1} = 5$ \item $\lim\limits_{x\to 1-} x^2 + \llcorner x \lrcorner = 1 + 0 = 1$ $\lim\limits_{x\to 1+} x^2 + \llcorner x \lrcorner = 1 + 1 = 2$ \end{enumerate} \subsection{Definition: Stetigkeit}\index{Stetigkeit} Es sei $a \in (b,\,c) \subset D_f$. Die Funktion $f$ heißt \emph{stetig an der Stelle $a$}, wenn $\lim\limits_{x\to a} f(x)$ existiert und gleich $f(x)$ ist. Ist $f$ stetig für jedes $a \in D_f$ so heißt $f$ \emph{stetig}. \subsection{Satz} \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})} \item Sind $f$ und $g$ stetig in $(a,\,b)$, so sind auch die Funktionen $f\pm g$, $f \cdot g$, $c \cdot f \,\,(c \in \mathbb{R})$ und $\frac{f}{g}$ (falls $g(x)\ne 0$ für alle $x \in (a,\,b)$) stetig in $(a,\,b)$. \item Sind $f$ und $g$ stetig mit $W_g \subset D_f$, so ist die Funktion $f(g)$ stetig auf $D_g$. \end{enumerate} \subsection{Satz} Die folgende Funktionen sind auf ihrem Definitionsbereich stetig: $x^b$, $a^x$, $\log_a x$, $|x|$, die rationalen, die hyperbolischen, die trigonometrischen Funktionen und ihre Umkehrfunktionen. \begin{description} \item[Beweis für cos $x$:] Zu zeigen: $\lim\limits_{x\to x_0} = \cos x_0$ $$\cos x - cos x_0 = - 2\cdot \sin \frac{x+x_0}{2} \cdot \sin \frac{x-x_0}{2}$$ I. $|\sin x| \leq 1$ \qquad II. $|\sin x| \leq |x|$ $$\Rightarrow |\cos x - \cos x_0| \leq \underbrace{2\cdot 1}_{I} \cdot \underbrace{\bigg|\frac{x-x_0}{2}\bigg|}_{II} = |x-x_0|$$ $$|\cos x - \cos x_0| \leq |x-x_0| \Rightarrow \lim_{x \to x_0} \cos x = \cos x_0 \qquad \mathrm{Q.E.D.}$$ \end{description} \subsubsection{Beispiele} \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})} \item \begin{minipage}[c]{7cm} Die Funktion $\llcorner x \lrcorner$ ist in den Punkten $\pm 1,\, \pm 2,\, \ldots$ nicht stetig (\emph{Unstetigkeitsstellen}). Sie ist \emph{stückweise stetig}. \end{minipage}\index{Unstetigkeitsstelle} \index{stückweise stetig} \begin{minipage}[c]{110pt} \flushright \begin{picture}(100,70) \put(0,35){\vector(1,0){100}} \put(50,0){\vector(0,1){70}} \put(95,25){$\scriptstyle x$} \put(55,62){$\scriptstyle \llcorner x \lrcorner$} \multiput(20,5)(10,10){7}{\line(1,0){10}} \multiput(50,33)(10,0){4}{\line(0,1){4}} \multiput(48,35)(0,10){4}{\line(1,0){3}} \put(58,25){$\scriptstyle 1$} \put(68,25){$\scriptstyle 2$} \put(78,25){$\scriptstyle 3$} \put(43,42){$\scriptstyle 1$} \put(43,52){$\scriptstyle 2$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{7cm} \item Die Funktion $\mathrm{sgn}(x)$ ist im Punkt 0 nicht stetig. \end{minipage} \begin{minipage}[c]{110pt} \flushright \begin{picture}(100,70) \put(0,35){\vector(1,0){100}} \put(50,0){\vector(0,1){70}} \put(95,25){$\scriptstyle x$} \put(55,62){$\scriptstyle \mathrm{sgn}(x)$} \put(50,50){\line(1,0){30}} \put(20,20){\line(1,0){30}} \put(43,47){$\scriptstyle 1$} \put(53,17){$\scriptstyle -1$} \end{picture} \end{minipage} \item \begin{minipage}[c]{7cm} $$f(x) = \frac{\sin x}{x} \quad (x \in \mathbb{R}) \qquad \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \mathrm{?}$$ \end{minipage} \begin{minipage}[c]{110pt} \flushright \begin{picture}(100,70) \put(0,35){\vector(1,0){100}} \put(50,0){\vector(0,1){70}} \put(95,25){$\scriptstyle x$} \put(55,62){$\scriptstyle \frac{\sin x}{x}$} \put(43,52){$\scriptstyle 1$} \qbezier(20,20)(35,20)(35,35) \qbezier(35,35)(35,50)(50,50) \qbezier(65,35)(65,50)(50,50) \qbezier(80,20)(65,20)(65,35) \put(50,50){\circle{2}} \end{picture} \end{minipage} Man kann zeigen (durch Integration der Ungleichung $-1 \leq \cos t \leq 1$ von 0 bis $x$): $$ \underbrace{1 - \frac{1}{2}x^2}_{\downarrow 1^{x\to 0}} < \frac{\sin x}{x} < 1 \qquad (x \ne 0)$$ $\Rightarrow \lim\limits_{x \to 0} \frac{sin x}{x} = 1$ $x_0 = 0$ ist eine sogenannte \emph{hebbare Unstetigkeitsstelle} für $\frac{\sin x}{x}$. \index{hebbare Unstetigkeitsstelle} \item \begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{\tan 3x}{2x} &=& \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\cos 3x}\cdot \frac{1}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} \cdot 3x \cdot \frac{1}{\cos 3x} \cdot \frac{1}{2x}\\ \\ & = & \lim_{x \to 0} \underbrace{\frac{\sin 3x}{3x}}_{1} \cdot \underbrace{\frac{1}{\cos 3x}}_{1} \cdot \frac{3}{2} \end{eqnarray*} \end{enumerate} \subsection{Satz} \begin{minipage}[c]{9.4cm} Jede in einem abgeschlossenen Intervall stetige Funktion ist dort beschränkt. Dieser Satz gilt nicht in offenen Intervallen. z.B. $\frac{1}{x}$ ist stetig in $(0,\,1]$ aber nicht beschränkt. Sie ist beschränkt für beliebige $0 < a < 1$: $$1 \leq \frac{1}{x} \leq \frac{1}{a} \qquad (\forall x \in [a,1])$$ \end{minipage} \begin{minipage}[c]{80pt} \flushright \begin{picture}(70,70) \put(0,15){\vector(1,0){70}} \put(15,10){\vector(0,1){60}} \put(65,5){$\scriptstyle x$} \put(18,62){$\scriptstyle \frac{1}{x}$} \qbezier(17,60)(17,17)(52,17) \put(8,7){$\scriptstyle 0$} \multiput(13,19)(4,0){7}{\line(1,0){2}} \multiput(41,13)(0,4){2}{\line(0,1){2}} \put(6,16){$\scriptstyle 1$} \put(39,5){$\scriptstyle 1$} \multiput(13,45)(4,0){2}{\line(1,0){2}} \multiput(19,13)(0,4){7}{\line(0,1){2}} \put(6,42){$\scriptstyle \frac{1}{a}$} \put(17,5){$\scriptstyle a$} \end{picture} \end{minipage} \subsection{Satz} Ist $f$ in $[a,\,b]$ stetig, so gibt es $x_m$, $x_M \in [a,\,b]$ mit $f(x_m) \leq f(x) \leq f(x_M),\,\,\, \forall x \in [a,\,b]$. $f(x_M)$ heißt das \emph{Maximum}, $f(x_m)$ das \emph{Minimum} von $f$ in $[a,\,b]$. \subsection{Satz} \begin{minipage}[c]{8cm} Ist $f$ in $[a,\,b]$ stetig und $r$ eine beliebige reelle Zahl zwischen $f(a)$ und $f(b)$. Dann gibt es eine reelle Zahl $c \in [a,,\, b]$ mit $f(c) = r$. \end{minipage} \begin{minipage}[c]{120pt} \flushright \begin{picture}(100,70) \put(0,15){\vector(1,0){100}} \put(25,10){\vector(0,1){60}} \put(95,5){$\scriptstyle x$} \put(17,65){$\scriptstyle y$} \qbezier(30,25)(45,45)(60,47) \qbezier(90,35)(75,47)(60,47) \put(8,22){$\scriptstyle f(a)$} \put(15,45){$\scriptstyle r$} \put(8,33){$\scriptstyle f(b)$} \multiput(24,25)(4,0){2}{\line(1,0){2}} \multiput(24,35)(4,0){17}{\line(1,0){2}} \multiput(24,47)(4,0){10}{\line(1,0){2}} \multiput(30,14)(0,4){3}{\line(0,1){2}} \multiput(60,14)(0,4){9}{\line(0,1){2}} \multiput(90,14)(0,4){6}{\line(0,1){2}} \put(28,8){$\scriptstyle a$} \put(58,8){$\scriptstyle c$} \put(88,8){$\scriptstyle b$} \end{picture} \end{minipage} Wichtig: $f$ stetig. Z.B. für $$\mathrm{sgn}(x) \quad r = \frac{1}{2},\,\,\, a = -1,\,\,\, b = 1$$ $$\Rightarrow f(a) = -1, \,\, f(b) = 1 \qquad f(a) < r < f(b) \textnormal{ aber } f(x) \ne \frac{1}{2} \,\, (x \in [a,\,b])$$ \subsection{Folgerung} Ist $f(a) < 0$ und $f(b) > 0$, so hat $f$ mindestens eine Nullstelle in $[a,\,b]$. Analog: $f(a) > 0$ und $f(b) < 0$. \chapter{Differentialrechnung für Funktionen einer Variablen} \section{Begriff der Ableitung}\index{Ableitung} Bewegung eines Massenpunktes auf einer Geraden. \begin{minipage}[c]{8cm} $t$ : Zeit \smallskip $s(t)$ : Entfernung vom Nullpunkt zur Zeit $t$ \end{minipage} \begin{minipage}[c]{120pt} \flushright \begin{picture}(110,70) \put(0,15){\vector(1,0){100}} \put(5,10){\vector(0,1){60}} \put(9,60){$\scriptstyle s(t)$} \put(95,5){$\scriptstyle t$} \put(47,7){$\scriptstyle t_0$} \put(64,7){$\scriptstyle t$} \qbezier(5,15)(65,20)(70,60) \multiput(50,14)(0,4){4}{\line(0,1){2}} \multiput(65,14)(0,4){8}{\line(0,1){2}} \multiput(50,28)(4,0){4}{\line(1,0){2}} \put(70,28){\vector(0,1){15}} \put(70,43){\vector(0,-1){15}} \put(73,34){$\scriptstyle s(t) - s(t_0)$} \end{picture} \end{minipage} \emph{Mittlere Geschwindigkeit} im Intervall $[t_0,\,t]$ : $(t_0 \ne t)$ $$\frac{s(t) - s(t_0)}{t - t_0}$$ \emph{Momentangeschwindigkeit}: $$\lim_{t \to t_0} \frac{s(t) - s(t_0)}{t - t_0} = v(t_0)$$ \subsection{Definition} Die Funktion $f$ sei im Intervall $(a,\,b)$ definiert und $x_0 \in (a,\,b)$. $f$ heißt \emph{differenzierbar} in $x_0$, wenn der Grenzwert \index{Differenzierbarkeit} $$\lim_{x\to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$$ existiert. Dieser Wert heißt \emph{Ableitung} von $f$ an der Stelle $x_0$. \smallskip \begin{description} \item[Schreibweise:] $f'(x)$, $\frac{df}{dx}\Big|_{x=x_0}$, $\dot{f}(x)$, $Df(x)$ \end{description} \smallskip Die Funktion $f:D_{f'} \longrightarrow \mathbb{R}$ heißt \emph{Ableitungsfunktion} von $f$ oder kurz \emph{Ableitung von $f$}. $D_{f'} = \{x \in D_f\,:\,\, f'(x) \textnormal{ existiert}\}$ \subsubsection{Bemerkung} Es gilt $$ f'(x_0) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} $$ ($h$ anstelle von $x - x_0$ oben). \subsection{Beispiele} \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})} \item $f(x) = x^3$ \quad $x_0$ beliebig \quad $f'(x) = ?$ \bigskip $$\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} = \frac{1}{h} \cdot \Big({x_0}^3 + 3\cdot {x_0}^2 \cdot h + 3\cdot x_0 \cdot h^2 + h^3 -{x_0}^3\Big)$$ $$ = 3\cdot {x_0}^2 + 3\cdot {x_0}\cdot h + h^2 \stackrel{h \to 0}{\,\,-\!\!-\!\!\!\longrightarrow\,\,} 3\cdot {x_0}^2$$ $\Rightarrow f'(x) = 3\cdot x^2$ \bigskip Analog könnte man zeigen: $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$ \quad $(n = 0,1,2,\dots)$ \item $f(x) = \frac{1}{x-1}$ $$ \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} = \frac{1}{h} \cdot \Bigg(\frac{1}{x_0 + h - 1} - \frac{1}{x_0 - 1}\Bigg) $$ $$ \frac{1}{h} \cdot \Bigg(\frac{x_0 - 1 - (x_0 + h - 1)}{(x_0 + h - 1) \cdot (x_0 - 1)}\Bigg) = \frac{-1}{(x_0 + h - 1)(x_0 - 1)} $$ $$\stackrel{h \to 0}{\,\,-\!\!-\!\!\!\longrightarrow\,\,} - \frac{1}{(x_0-1)^2} \quad (x_0 \ne 1) \quad \Rightarrow f'(x) = - \frac{1}{(x-1)^2} \qquad x \in \mathbb{R} \smallsetminus \{1\}$$ \newpage \item $f(x) = |x|$ \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\arabic{enumii}. Fall:}} \item $x_0 > 0$ \begin{minipage}[c]{7.5cm} $ \begin{array}{lcll} f'(x_0) &=& \lim\limits_{h \to 0} \displaystyle\frac{|x_0 + h| - x_0}{h} &=\\ \\ &=& \lim\limits_{h \to 0} \displaystyle\frac{x_0 + h - x_0}{h} &= 1 \end{array} $ \end{minipage} \begin{minipage}[c]{100pt} \begin{picture}(100,80) \put(0,30){\vector(1,0){100}} \put(50,0){\vector(0,1){80}} \put(95,22){$\scriptstyle x$} \put(54,70){$\scriptstyle |x|$} \put(50,30){\line(1,1){40}} \put(50,30){\line(-1,1){40}} \put(45,23){$\scriptstyle 0$} \multiput(60,28)(20,0){2}{\line(0,1){4}} \put(57,23){$\scriptstyle x_0$} \put(70,23){$\scriptstyle x_0+h$} \end{picture} \end{minipage} ($x_0 + h > 0$ wenn $h$ "`klein"') \bigskip \item $x_0 < 0$ \begin{minipage}[c]{7.5cm} $ \begin{array}{lcll} f'(x_0) &=& \lim\limits_{h \to 0} \displaystyle\frac{|x_0 + h| - x_0}{h} &=\\ \\ &=& \lim\limits_{h \to 0} \displaystyle\frac{-(x_0 + h) - (- x_0)}{h} &= -1 \end{array} $ \end{minipage} \begin{minipage}[c]{100pt} \begin{picture}(100,80) \put(0,30){\vector(1,0){100}} \put(50,0){\vector(0,1){80}} \put(95,22){$\scriptstyle x$} \put(54,70){$\scriptstyle |x|$} \put(50,30){\line(1,1){40}} \put(50,30){\line(-1,1){40}} \put(53,23){$\scriptstyle 0$} \multiput(18,28)(20,0){2}{\line(0,1){4}} \put(16,23){$\scriptstyle x_0$} \put(29,23){$\scriptstyle x_0+h$} \end{picture} \end{minipage} ($x_0 + h < 0$ wenn $h$ "`klein"') \item $x_0 = 0$ $ \begin{array}{lclcll} f'(x_0) &=& \lim\limits_{h \downarrow 0} \displaystyle\frac{f(0 + h) - f(0)}{h} &=& \displaystyle\frac{h - 0}{h} &= 1 \\ \\ f'(x_0) &=& \lim\limits_{h \uparrow 0} \displaystyle\frac{f(0 + h) - f(0)}{h} &=& \displaystyle\frac{ - h - 0}{h} &= -1 \\ \end{array} $ $\Rightarrow \lim\limits_{h \to 0} \displaystyle\frac{f(0 + h) - f(0)}{h}$ existiert nicht! \end{enumerate} \item $f(x) = \sin x$ $$f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x_0 + h) - \sin x_0}{h} = \longrightarrow\!\!\!\!\!\!\!\!\circ$$ Es gilt: $\sin \alpha - \sin \beta = 2\cdot \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cdot \sin\frac{\alpha - \beta}{2}$. Mit $\alpha = x_0 + h$ und $\beta = x_0$: $$\longrightarrow\!\!\!\!\!\!\!\!\circ \:\:\: = \lim_{h \to 0}\frac{2\cdot \cos \Big(x_0 + \frac{h}{2}\Big) \cdot \sin \frac{h}{2}}{h} = \underbrace{\lim_{h \to 0} \cos \bigg(x_0 + \frac{h}{2}\bigg)}_{= \cos x_0} \cdot \underbrace{\lim_{h \to 0} \frac{\sin \frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}}_{= 1 \textnormal{ \scriptsize da } \frac{\sin x}{x} = 1}$$ $\Rightarrow (\sin x)' = \cos x$ \end{enumerate} \subsection{Satz} Ist $f$ an der Stelle $x_0$ differenzierbar, so ist $f$ an der Stelle $x_0$ stetig. \begin{description} \item[Beweis:] Zu zeigen: $\lim\limits_{h \to 0} f(x_0 + h) = f(x_0)$, d.h. $$\lim_{h \to 0} \Big[f(x_0 + h) - f(x_0)\Big] = 0$$ $$\lim_{h \to 0} \Big[f(x_0 + h) - f(x_0)\Big] = \lim_{h \to 0} \underbrace{\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}}_{\stackrel{\scriptscriptstyle h \to 0}{\longrightarrow} f'(x_0)} \cdot h = 0$$ \item[Bemerkung:] Die Umkehrung gilt nicht (z.B. $|x|$ ist stetig an der Stelle 0 aber nicht differenzierbar). \end{description} \subsection{Physikalische Anwendungen} \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})} \item \emph{Geschwindigkeit}: Ableitung der Weg--Zeit--Funktion $s(t):$ $$v(t) = s'(t) = \dot{s}(t)$$ \item \emph{Leistung}: $W(t):$ die Arbeit, die eine Maschine bis zur Zeit $t$ geleistet hat. $$P(t) = W'(t_0) = \lim_{\Delta t \to 0}\frac{W_0(t_0 + \Delta t)+W(t_0)}{\Delta t}$$ \item \emph{Stromstärke}: $q(t)$: die Ladungsmenge, die bis zur Zeit $t$ durch den Bezugsquerschnitt geflossen ist. $$i(t_0) = q'(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{q(t_0 + \Delta t) - q(t_0)}{\Delta t}$$ \end{enumerate} \subsection{Geometrische Deutung} \begin{minipage}[c]{8.5cm} Es sei $f$ eine, in $x_0$ differenzierbare Funktion, und $l(x) = b + d(x-x_0)$ eine beliebige lineare Funktion. Der Graph von $l$ geht durch den Punkt $(x_0, f(x_0)) \Leftrightarrow f(x_0) = l(x_0) \Leftrightarrow b = f(x_0)$. Wir wollen $d$ so bestimmen, daß $\frac{f(x)-l(x)}{x - x_0}$ für $x \to x_0$ gegen 0 strebt. Dann heißt der Graph von $l$ die \emph{Tangente} vom Punkt $x_0$.\index{Tangente} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{110pt} \flushright \begin{picture}(100,80) \put(10,0){\vector(0,1){80}} \put(0,10){\vector(1,0){100}} \put(2,70){$\scriptstyle y$} \put(93,3){$\scriptstyle x$} \qbezier(15,15)(60,25)(80,75) \put(59,40){\line(1,1){25}} \put(59,40){\line(-1,-1){25}} \multiput(59,9)(0,4){8}{\line(0,1){2}} \put(57,3){$\scriptstyle x_0$} \put(70,65){$\scriptstyle f$} \end{picture} \end{minipage} \bigskip $$\lim_{x\to x_0} \frac{f(x) - l(x)}{x-x_0} = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0) - d\cdot (x-x_0)}{x-x_0}$$ $$\lim_{x \to x_0} \bigg[\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} - d\bigg] = f'(x_0) -d = 0 \Leftrightarrow d = f'(x_0)$$ \smallskip \begin{flushleft} \emph{Tangentengleichung}: $l(x) = f(x_0) + f'(x_0) \cdot (x-x_0)$ \index{Tangentengleichung} \bigskip \begin{minipage}[c]{8.5cm}\index{Steigung, Kurve} \index{Anstieg, Kurve} \index{Schnittwinkel zweier Kurven} Als \emph{Steigung} (\emph{Anstieg}) der Kurve von $f$ bezeichnet man die Steigung ihrer Tangente (d.h. $f'(x)$). Der \emph{Schnittwinkel} zweier Kurven ist definiert als Schnittwinkel der zu dem Schnittpunkt gehörenden Tangenten. \end{minipage} \begin{minipage}[c]{110pt} \flushright \begin{picture}(100,80) \put(10,0){\vector(0,1){80}} \put(0,10){\vector(1,0){100}} \put(2,70){$\scriptstyle y$} \put(93,3){$\scriptstyle x$} \qbezier(15,15)(60,25)(80,75) \put(59,40){\line(1,1){25}} \put(59,40){\line(-1,-1){25}} \qbezier(20,70)(50,32)(80,40) \put(59,40){\line(4,-1){25}} \put(59,40){\line(-4,1){25}} \qbezier(43,44)(35,34)(49,30) \put(45,36){$\scriptstyle \alpha$} \end{picture} \end{minipage} \begin{description} \item[Bemerkung:] Sind $g_1 : m_1 \cdot x + n_1$ und $g_2 : m_2 \cdot x + n_2$ zwei Geraden, so gilt für den Schnittwinkel $\alpha$: $$\tan \alpha = \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1\cdot m_2}$$ falls $m_1 \cdot m_2 \ne -1$. Wenn $m_1 \cdot m_2 = -1$, dann $\alpha = 90^{\circ}$. \end{description} \end{flushleft} \section{Differentiationsregel} \subsection{Ableitung einiger Funktionen} $$\begin{array}{llll} f & D_f & f' & D_{f'}\\ \hline x^n \quad n \in \mathbb{N} & \mathbb{R} & n\cdot x^{n-1} \quad & \mathbb{R}\\ x^\alpha \quad \alpha \in \mathbb{N} & (0,\infty) & \alpha\cdot x^{\alpha -1} & (0,\infty)\\ |x| & \mathbb{R} & \mathrm{sgn} (x) & \mathbb{R} \smallsetminus \{0\}\\ \sin x & \mathbb{R} & \cos x & \mathbb{R}\\ \cos x & \mathbb{R} & -\sin x & \mathbb{R}\\ \tan x & x \ne \frac{2k+1}{2}\pi & \frac{1}{\cos^2 x} & x \ne \frac{2k+1}{2}\pi\\ \sinh x & \mathbb{R} & \cosh x & \mathbb{R} \\ \cosh x & \mathbb{R} & \sinh x & \mathbb{R} \\ \tanh x & \mathbb{R} & \frac{1}{\cosh^2 x} & \mathbb{R} \end{array}$$ \subsection{Satz} Sind $f$ und $g$ in $(a,\,b)$ differenzierbar, so gilt: \bigskip \begin{tabular}{llcll} \vphantom{\Big(}(a) & $(c\cdot f)'$ & = & $c\cdot f'$ & $(c \in \mathbb{R})$\\ \vphantom{\Big(}(b) & $(f + g)'$ & = & $f' + g'$\\ \vphantom{\Big(}(c) & $(f \cdot g)'$ &=&$f'\cdot g + f \cdot g'$ & (Produktregel)\index{Produktregel, Ableitung}\\ \vphantom{\Big(}(d) & $\displaystyle\bigg(\frac{f}{g}\bigg)$ & = & $\displaystyle\frac{f'\cdot g - f\cdot g'}{g^2}$ & wenn $g$ nicht verschwindet\\ \vphantom{\Big(} & \multicolumn{4}{l}{Spezialfall: $f = 1$}\\ \vphantom{\Big(} & $\displaystyle\bigg(\frac{1}{g}\bigg)$ & = & $\displaystyle -\frac{g'}{g^2}$ \end{tabular} \subsection{Beispiele} \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})} \item $f(x) = x^3 + 2 \cdot \sin x$ $f'(x) = 3\cdot x^2 + 2 \cdot \cos x$ \item $f(x) = (x^2 - 5\cdot x + 5)\cdot e^x$ $f'(x) = \underbrace{(2\cdot x - 5)}_{f'} \cdot \underbrace{\mathrm{e}^x}_{g} + \underbrace{(x^2 -5\cdot x + 5)}_{f} \cdot \underbrace{\mathrm{e}^x}_{g'}$ \item $f(x) = x^2 (\mathrm{e}^x \cdot \sin x)$ $f'(x) = 2\cdot x (\mathrm{e}^x \cdot \sin x) + x^2 \cdot (\mathrm{e}^x \cdot \sin x + \mathrm{e}^x \cdot \cos x)$ \item $s(t) = \displaystyle\frac{\sin t}{t^2 + 1}$ $s'(t) = \displaystyle\frac{\cos t \cdot (t^2 + 1) - \sin t \cdot 2\cdot t}{(t^2 + 1)^2}$ \end{enumerate} \subsection{Satz (Kettenregel)} \index{Kettenregel, Ableitung} Es sei $f$ auf $(a,\,b)$ und $g$ auf $(c,\,d)$ differenzierbar und $W_f \subset (c,\,d)$. Dann ist die Funktion $F(x) = g(f)$ auf $(a,\,b)$ differenzierbar und es gilt: $$F'(x) = f'(x) \cdot g'(f(x))$$ Man nennt $g'$ die \emph{äußere}, $f'$ die \emph{innere Ableitung}. \index{innere Ableitung} \index{äußere Ableitung} \subsection{Beispiele} \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})} \item $F(x) = (x^3 - 2\cdot x + 5)^{10} \qquad f(x) = x^3 - 2\cdot x + 5 \qquad g(x) = x^{10}$ $F'(x) = (3\cdot x^2 - 2) \cdot 10 \cdot (x^3 - 2\cdot x + 5)^9$ \item $F(x) = \sin (x^2 + 1)$ $F'(x) = 2x \cdot \cos (x^2 + 1)$ \item $F(x) = \sin(\cos^2 x^5)$ $F'(x) = (\cos^2 x^5)' \cdot \cos(\cos^2 x^5)$ $(\cos^2 x^5)' = (\cos x^5)' \cdot 2 \cdot \cos x^5$ \qquad $(\cos x^5)' = 5\cdot x^4 \cdot (-\sin x^5)$ $\Rightarrow F'(x) = -10\cdot x^4 \cdot \cos x^5 \cdot \sin x^5 \cdot \cos(\cos^2 x^5)$ \end{enumerate} \subsection{Ableitung der Umkehrfunktion}\index{Umkehrfunktion, Ableitung} Ist $f : (a,\,b) \longrightarrow (c,\,d)$ differenzierbar und umkehrbar mit $f'(x) \ne 0$ für alle $x \in (a,\,b)$, so ist $f^{-1}$ auf $(c,\,d)$ differenzierbar. Es gilt $$\Big(f^{-1}(x)\Big)' = \frac{1}{f'\Big(f^{-1}(x)\Big)}$$ \subsection{Beispiele} \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})} \item $f(x) = x^2 \qquad f'(x) = 2\cdot x \qquad f^{-1}(x) = \sqrt{x}$ für $x \geq 0$ $\displaystyle \Big(\sqrt{x}\Big)' = \frac{1}{f'\Big(f^{-1}(x)\Big)} = \frac{1}{2\cdot \sqrt{x}}$ \item $f(x) = f'(x) = e^x \qquad f^{-1}(x) = \ln x$ für $x > 0$ $(\ln x)' = \displaystyle\frac{1}{f'\Big(f^{-1}(x)\Big)} = \frac{1}{e^{\ln x}} = \frac{1}{x}$ \item $f(x) = \sin x \qquad f'(x) = \arcsin x \qquad x \in [-1,\,1] \qquad f'(x) = \cos x$ $(\arcsin x)' = \displaystyle\frac{1}{f'\Big(f^{-1}(x)\Big)} = \frac{1}{\cos (\arcsin x)}$ \smallskip $-\frac{\pi}{2} \leq \arcsin x \leq \frac{\pi}{2} \qquad \cos x \geq 0$ für $x \in [-\frac{\pi}{2},\,\frac{\pi}{2}]$ $\cos^2 x + \sin^2 x = 1 \quad \Rightarrow \quad \cos x = \sqrt{1 - \sin^2 x}$ wenn $\cos x \geq 0$ \smallskip $\Rightarrow (\arcsin x)' = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{1 - \sin^2 \cdot \arcsin x}} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \qquad (-1 < x < 1)$ \end{enumerate} \subsection{Beispiel} Man berechne den Schnittwinken $\delta$ der Graphen von $f(x) = \frac{2}{x-1}$ und $g(x) = \frac{1}{2} x^2$. Bestimmung des Schnittpunktes: $\frac{2}{x-1} = \frac{1}{2}x^2 \Leftrightarrow x^3 - x^2 - 4 = 0$. Hornerschema mit $x = 2$ ergibt: $x^3 - x^2 - 4 = (x-2)(x^2+x+2) \Rightarrow$ ein Schnittpunkt $(2,\,2)$. \smallskip Steigung der Tangenten: \smallskip $\left.\begin{array}{l@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{\,}r} m_1 &=& f'(2) &=& -2\\ m_2 &=& g'(2) &=& 2 \end{array}\right\} \Rightarrow \tan \delta = \displaystyle\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1\cdot m_2} = \frac{4}{3} \Rightarrow \delta \approx 53,7^{\circ}$ \subsection{Höhere Ableitungen} Die \emph{höheren Ableitungen} einer Funktion $f$ werden rekursiv definiert. $$f'' = \Big(f'\Big)', \, f''' = \Big(f''\Big)', \, \ldots , f^{(n)} = \Big(f^{(n-1)}\Big)' \quad (n \in \mathbb{N})$$ (falls diese Ableitungen existieren). \bigskip $f^{(n)}:$ \emph{$n$--te Ableitung} von $f$ \qquad $f^{(0)} \stackrel{\textnormal\tiny Def.}{=} f$ \bigskip andere Schreibweise: $f^{(n)} = \displaystyle\frac{d^n\,f}{d\,x^n} = \frac{d^n}{d\,x^n} f$ \subsection{Beispiele} \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})} \item $f(x) = e^x \qquad f^{(1)}(x) = e^x \quad \Rightarrow \quad f^{(n)}(x) = e^x \qquad (n \textnormal{ beliebig})$ \item $f(x) = \sin x$ \smallskip $f^{(1)}(x) = \cos x,\, f^{(2)}(x) = - \sin x,\, f^{(3)}(x) = - \cos x,\, f^{(4)}(x) = \sin x$ \bigskip $\frac{d^{2k+1}}{dx^{2k+1}} (\sin x) = (-1)^k \cdot \cos x \qquad \frac{d^{2k}}{dx^{2k}} (\sin x) = (-1)^k \cdot \sin x$ \smallskip für $(k = 1,\,2,\, \ldots)$ \item $f(x) = x^3 + x^2 + x + 1 $ $f^{(1)}(x) = 3\cdot x^2 + 2\cdot x + 1$ $f^{(2)}(x) = 6\cdot x + 2$ $f^{(3)}(x) = 6$ $f^{(k)}(x) = 0$ \qquad für $(k \geq 0)$ \end{enumerate} \subsection{Satz} Ist $f$ ein Polynom höchstens $n$--ten Grades, so ist $f^{(n+1)}=0$. Umgekehrt: Ist $f : (a,\,b) \longrightarrow \mathbb{R} \;\; (n+1)$--mal differenzierbar und $f^{(n+1)} = 0$, so ist $f$ ein Polynom höchstens $n$--ten Grades. Spezialfall: $(n=0)$: Wenn $f'= 0$ dann ist $f$ konstant. \subsection{Logarithmische Differentiation}\index{logarithmische Differentiation} \begin{description} \item[Problem:] Ableitungen von Funktionen der Form $f(x) = g(x)^{h(x)}$ \item[Umformung:] $g(x) = \mathrm{e}^{\ln g(x)} \Rightarrow f(x) = \mathrm{e}^{h(x)\cdot \ln g(x)}$. \item[Beispiel:] $f(x) = x^x = \mathrm{e}^{x\cdot\ln x} \qquad (x > 0)$ $f'(x) = (x \cdot \ln x)' \cdot e^{x\cdot\ln x}$ $f'(x) = \bigg(1\cdot \ln x + x\cdot \displaystyle\frac{1}{x}\bigg) \cdot x^x = (\ln x + 1)\cdot x^x$ \end{description} \section{Fehlerrechnung}\index{Fehlerrechnung} \begin{description} \item[Ziel:] Funktionsterme $f(x)$ einer differenzierbaren Funktion $f$ für Zahlen, die Nahe bei $x_0$ liegen, näherungsweise und einfach zu berechnen. \begin{center}\begin{picture}(120,80) \put(15,15){\vector(1,0){110}} \put(20,10){\vector(0,1){70}} \qbezier(30,30)(70,40)(80,70) \multiput(40,14)(0,4){5}{\line(0,1){2}} \multiput(40,33)(4,0){17}{\line(1,0){2}} \multiput(70,14)(0,4){10}{\line(0,1){2}} \multiput(70,52)(4,0){9}{\line(1,0){2}} \multiput(70,42.7)(4,0){5}{\line(1,0){2}} \put(90,33){\vector(0,1){9.3}} \put(90,42.7){\vector(0,-1){9.3}} \put(106,33){\vector(0,1){19}} \put(106,52){\vector(0,-1){19}} \put(40,32.8){\line(3,1){80}} \put(3,70){$\scriptstyle f(x)$} \put(115,8){$\scriptstyle x$} \put(37,6){$\scriptstyle x_0$} \put(60,6){$\scriptstyle x_0+h$} \put(93,36){$\scriptstyle\Delta\tilde{f}$} \put(109,40){$\scriptstyle\Delta f$} \end{picture} \end{center} \item[Bekannt:] $f(x_0)$, $f'(x_0)$ \item[Beispiel:] $f(x) = \sin x \qquad f'(x) = \cos x$ $f(0,\!1) =\: ?$ \qquad $f(0) = 0$, $f'(0) =1$ \item[Methode:] Man ersetzt $f$ durch die Tangente $\tilde{f}$ im Punkt $\Big(x_0, \, f(x_0)\Big)$ \bigskip \begin{tabular}{l@{\,}c@{\,}l} \index{Zuwachs einer Funktion} $\Delta f = f(x_0 + h) - f(x_0)$ &:& \emph{Zuwachs} der Funktion $f$ an der Stelle $x_0$\\ \\ $df = \tilde{f}(x_0 + h) - \tilde{f}(x_0)$ &:& Zuwachs von $\tilde f$ \end{tabular} \bigskip Ist $|h|$ hinreichend klein, so gilt $\Delta f \approx df$ \end{description} \subsection{Das Differential} \index{Differential} Die Gleichung für die Tangente ist: \begin{equation} \tilde f(x) = f(x_0) + f'(x_0)\cdot(x-x_0) \end{equation} Mit $x = x_0 + h$, $h$ "`klein"', gilt $$f(x_0+h) \approx \tilde f(x_0 + h) = f(x_0) + f'(x_0)\cdot h$$ Wegen (8.1): \begin{tabular}{lcl} $df$ &=& $f'(x_0) \cdot h$ \quad und\\ $\Delta f$ &=& $f(x_0 + h) - f(x_0) \approx f'(x_0)\cdot h = df$\\ $\Delta f$ & $\approx$ & $f'(x_0) \cdot h$ \qquad ($h$ klein)\\ \hline \hline \end{tabular} \bigskip Andere Schreibweise: $$f(x_2) - f(x_1) \approx f'(x_1)\cdot (x_2-x_1) \qquad (x_2 - x_1 \textnormal{ klein})$$ oder $$f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0) \cdot (x-x_0) \qquad (x- x_0 \textnormal{ klein})$$ \smallskip Man nennt das Produkt $f'(x_0)\cdot h$ \emph{Differential} von $f$ an der Stelle $x_0$ zum Zuwachs $h$. \subsection{Anwendung in der Fehlerrechnung} \index{absoluter Fehler} \index{relativer Fehler} Gegeben sei eine Funktion $f(x) = y$, $\overline{x}$ sei ein Näherungswert der Größe $x$ (z.B. durch einen Meßfehler entstandener Wert), $dx = x - \overline{x}$ (\emph{absoluter Fehler} von $x$) und $\delta$ eine obere Schranke für den absoluten Fehler, d.h. $|dx| = |x-\overline{x}| \leq \delta$. Näherungswert für $f(x): \; \overline{y} = f(\overline{x})$. \begin{description} \item[Gesucht:] Obere Schranke für $f(x)$ für den absoluten Fehler $|\Delta y| = |y - \overline{y}|$. $$|\Delta y| \approx |f'(\overline{x}) \cdot dx| \leq |f'(\overline{x})|\cdot \delta \qquad (dx = x - \overline x)$$ \end{description} Für den \emph{relativen Fehler} von $\overline{y}$ erhalten wir: $$\bigg|\frac{\Delta y}{\overline{y}}\bigg| \leq \bigg|\frac{f'(\overline x)}{\overline y}\bigg| \cdot \delta$$ \subsection{Beispiele} \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})} \item Die Kantenlänge eines Würfels wird gemessen. Die Messung ergibt $50 \pm 0,\!01\,\mathrm{mm}$. Es soll das Volumen des Würfels angegeben werden sowie eine Fehlerabschätzung. $$V = x^3 = f(x) \qquad (x : \textnormal{ Kantenlänge})$$ \smallskip $\overline x = 50$, $\delta = 0,\!01$ \quad $\overline V = f(50) = 50^3 = 125\,000$ \smallskip absoluter Fehler: $f'(x) = 3\cdot x^2$, \quad $\Delta V \approx |f'(\overline x) \cdot dx| \leq |f'(x)| \cdot \delta = 75$ \smallskip relativer Fehler: $\displaystyle\bigg|\frac{\Delta V}{V}\bigg| \approx \frac{3\cdot \overline{x}^2}{\overline{x}^3}\cdot |dx| = \frac{3}{x} \cdot |dx| \leq \frac{3}{x}\cdot \delta = 0,\!06\%$ \item Man berechne näherungsweise $y = f(x) = \sin x$ für kleines $x$. \begin{minipage}[c]{7.3cm} $$f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0) \cdot (x-x_0) \quad (x-x_0\textnormal{ klein})$$ Mit $x_0 = 0$: $$\sin x \approx 0 + 1 \cdot (x-0) \Rightarrow \sin x \approx x$$ für kleine $x$--Werte \end{minipage} \begin{minipage}[c]{110pt} \flushright \begin{picture}(100,70) \put(0,35){\vector(1,0){100}} \put(50,0){\vector(0,1){70}} \put(50,35){\line(1,1){30}} \put(50,35){\line(-1,-1){30}} \qbezier(50.2,35)(60,47)(70,47) \qbezier(70,47)(80,47)(90,35) \qbezier(49.5,35)(39.5,23)(29.5,23) \qbezier(29,23)(19,23)( 9,35) \put(53,60){$\scriptstyle \sin x$} \put(77,55){$\scriptstyle y=x$} \put(93,28){$\scriptstyle x$} \end{picture} \end{minipage} \end{enumerate} \section{Die Taylorsche Formel}\index{Taylorsche Formel} \begin{description} \item[Ziel:] Funktionen "`möglichst gut"' durch Polynome anzunähern \end{description} \subsection{Definition} Ist die Funktion $f$ an der Stelle $x_0$ $n$--mal differenzierbar $(n \in \mathbb{N})$, dann heißt das Polynom $p_n$ mit $$p_n(x) = f(x_0) + \frac{f'(x_0)\cdot (x-x_0)}{1!} + \frac{f''(x_0)\cdot (x-x_0)^2}{2!} + \cdots $$ $$+ \frac{f^{(n)}(x_0)\cdot (x-x_0)^n}{n!} = \sum\limits_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)\cdot (x-x_0)^k}{k!}$$ das \emph{$n$--te Taylorpolynom von $f$ in $x_0$}. Entwickelt von \textsc{Taylor, B.} (1685--1731). $x_0$ heißt \emph{Entwicklungspunkt}.\index{Entwicklungspunkt (Taylor)} \newpage \begin{description} \item[Bemerkungen:] $p_1(x) = f(x_0) + f'(x-x_0)$ ist die Tangente. Weiterhin gilt: $p_n(x_0) = f(x_0),\, {p_n}'(x_0) = f'(x_0),\,\ldots\,,{p_n}^{(n)}(x_0) = f^{(n)}(x_0)$ \end{description} \subsection{Beispiel} $f(x) = \mathrm{e}^x$ \qquad $x_0 = 0$ \qquad $n$ beliebig \bigskip $f^{(k)}(x) = \mathrm{e}^x \qquad f^{(k)}(0) = 1$ $$p_n(x) = \sum\limits_{k=0}^{n} \frac{x^k}{k!} = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \cdots + \frac{x^n}{n!}$$ \subsection{Satz (Taylorsche Formel)} Die Funktion $f$ sei auf $[a,\,b]$ $(n-1)$--mal differenzierbar; $x,\,x_0 \in [a,\,b]$. Dann existiert ein $t$ zwischen $x$ und $x_0$ mit \begin{equation} f(x) = \sum\limits_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)\cdot (x-x_0)^k}{k!} + \frac{f^{(n+1)}(t)\cdot (x-x_0)^{(n+1)}}{(n+1)!} \end{equation} Man nennt (8.2) \emph{Taylorsche Formel} und $r_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(t)\cdot (x-x_0)^{(n+1)}}{(n+1)!}$ das \emph{$n$--te Restglied}.\index{Restglied, Taylorpolynom} \begin{description} \item[Spezialfall:] $n = 0$: $f(x) = f(x_0) + f'(t)\cdot (x-x_0)^1$ $\Rightarrow$ \framebox{$\displaystyle\frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0} = f'(t)$} \hfill \emph{Mittelwertsatz} der Differentialrechnung \index{Mittwlwertsatz} \end{description} \subsection{Beispiele} \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})} \item $f(x) = \sin x \qquad x_0 = 0 \qquad n = 6$ \smallskip $\begin{array}{l@{\,}l@{\,}rll@{\,}l@{\,}r} f'(x) &=& \cos x & \quad & f'(0) &=& 1\\ f''(x) &=& -\sin x & \quad & f''(0) &=& 0\\ f'''(x) &=& -\cos x & \quad & f'''(0) &=& -1\\ f^{(4)}(x) &=& \sin x & \quad & f^{(4)}(0) &=& 0\\ f^{(5)}(x) &=& \cos x & \quad & f^{(5)}(0) &=& 1\\ f^{(6)}(x) &=& -\cos x & \quad & f^{(6)}(0) &=& 0\\ f^{(7)}(x) &=& -\cos x & \quad & f^{(7)}(0) &=& -1 \end{array}$ \bigskip $\sin x = 0 + \frac{1\cdot x}{1!} + \frac{0\cdot x^2}{2!} + \frac{(-1)\cdot x^3}{3!} + \frac{0\cdot x^4}{4!} + \frac{1+x^5}{5!}+\frac{0\cdot x^6}{6!} + \frac{-\cos (t) \cdot x^7}{7!}$ \smallskip $\displaystyle\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} +R_6(x)$ \smallskip $\displaystyle |\cos t| \leq 1 \Rightarrow |R_6(x)| \leq \frac{|x|^7}{7!} = \frac{|x|^7}{5040}$ \bigskip z.B. $\displaystyle x = 1,\!2 \qquad \sin 1,\!2 \approx 1,\!2 - \frac{1,\!2^3}{6} + \frac{1,\!2^5}{120} = 0,\!932736$ \smallskip Fehler $\displaystyle\leq \frac{1,\!2^7}{5040} \approx 0,\!0007109$ \bigskip \item $f(x) = 4\cdot x^3 + 6 \cdot x^2+x-2 \qquad x_0 = 2 \qquad n = 3$ \bigskip $\begin{array}{l@{\,}l@{\,}rll@{\,}l@{\,}r} f'(x) &=& 12\cdot x^2+12\cdot x + 1 & \quad & f'(2) &=& 73\\ f''(x) &=& 24\cdot x +12 & \quad & f''(2) &=& 60\\ f'''(x) &=& 24 & \quad & f'''(2) &=& 24\\ f^{(k)}(x) & = & 0 & \quad & \textnormal{für }k \geq 4 \end{array}$ \bigskip $\begin{array}{l@{\,}l} \displaystyle f(x) & = 56 + 73\cdot (x-2) + 30\cdot(x-2)^2 + 4\cdot (x-2)^3 + \underbrace{R_3(x)}_{0}\\ & = 4\cdot x^3 + 6 \cdot x^2+x-2 \end{array}$ \begin{description} \item[Bemerkung:] Für $x_0 = 0$ erhält man als Taylorpolynom $f$ selbst (da $f$ ein Polynom ist). \end{description} \end{enumerate} \section{Kurvenuntersuchung mit Hilfe der\\ Differentialrechnung} \subsection{Satz} Ist $f$ auf $(a,\,b)$ differenzierbar, dann gelten die folgenden Aussagen: \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})} \item $f$ ist auf $(a,\,b)$ monoton wachsend genau dann, wenn $f'(x) \geq 0$ für alle $x \in (a,\,b)$ \item $f$ ist auf $(a,\,b)$ monoton fallend genau dann, wenn $f'(x) \leq 0$ für alle $x \in (a,\,b)$ \item gilt $f'(x) > 0$ bzw. $f'(x) < 0$ für alle $x \in (a,\,b)$, so ist $f$ streng monoton \end{enumerate} \begin{description} \item[Beispiel:] $f(x) = x^3 + x^2 + x + 1$ \smallskip $f'(x) = 3\cdot x^2 + 2\cdot x + 1 = 2\cdot x^2 + \underbrace{x^2 + 2\cdot x + 1}_{(x+1)^2 > 0} > 0$ \bigskip Ableitung überall positiv $\Rightarrow f$ ist streng monoton wachsend \end{description} \subsection{Definitionen}\index{absolutes Maximum} \index{lokales Maximum} \index{relatives Maximum} \index{Maximum} Eine Funktion $f[a,\,b] \longrightarrow \mathbb{R}$ besitzt an der Stelle $x_0$ ein \emph{absolutes Maximum}, wenn $$f(x_0) \geq f(x) \textnormal{ für alle } x \in [a,\,b]$$ $f$ besitzt an der Stelle $x_0$ ein \emph{relatives} (oder \emph{lokales}) Maximum, wenn es ein $\delta > 0$ gibt so daß $$f(x_0) \geq f(x) \textnormal{ für alle } x \in [a,\,b] \textnormal{ mit } |x-x_0| < \delta$$ \begin{center} \begin{picture}(200,100) \put(0,20){\line(1,0){200}} \qbezier(30,30)(40,60)(60,60) \qbezier(60,60)(80,60)(90,48) \qbezier(90,48)(120,20)(150,50) \qbezier(150,50)(160,60)(170,80) \multiput(30,18)(0,4){4}{\line(0,1){2}} \put(27,8){$a$} \multiput(170,18)(0,4){16}{\line(0,1){2}} \put(167,8){$b$} \put(30,30){\circle*{3}} \put(60,60){\circle*{3}} \put(122,35){\circle*{3}} \put(170,80){\circle*{3}} \put(6,45){\tiny absol.} \put(0,37){\tiny Minimum} \put(50,75){\tiny lokales} \put(45,67){\tiny Maximum} \put(110,50){\tiny lokales} \put(105,42){\tiny Minimum} \put(161,92){\tiny absol.} \put(155,85){\tiny Maximum} \multiput(60,18)(0,4){11}{\line(0,1){2}} \put(58,12){$\scriptscriptstyle x$} \multiput(45,18)(0,4){9}{\line(0,1){2}} \put(38,12){$\scriptscriptstyle x-\delta$} \multiput(75,18)(0,4){10}{\line(0,1){2}} \put(68,12){$\scriptscriptstyle x+\delta$} \end{picture} \end{center} Absolutes Minimum, lokales Minimum analog. \index{Minimum}\index{Extremum}\index{Extremstelle} \subsection{Satz} $f$ sei auf $(a,\,b)$ definiert und an der Stelle $x_0$ differenzierbar. Wenn $f$ an der Stelle $x_0$ ein relatives Extremum besitzt, dann ist $f'(x_0) = 0$. \begin{description} \item[Bemerkung:] Dieser Satz ist nicht umkehrbar! Siehe z.B. $f(x) = x^3$, $f'(x) = 3\cdot x^2 \Rightarrow f'(0)=0$ aber $f$ hat keine Extremstelle in 0. \end{description} \subsection{Satz} $f$ sei auf $(a,\,b)$ zweimal differenzierbar, weiter sei $f'(x_0) = 0$. Ist $f''(x_0) < 0$ (bzw. $> 0$) so besitzt $f$ in $x_0$ ein relatives Maximum (relatives Minimum). \subsection{Beispiele} \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})} \item Die rel. Extremwerte der Funktion $\displaystyle f(x) =\frac{x^2 + x - 1}{x-1}$, $x \in \mathbb{R} \smallsetminus \{1\}$ sind zu bestimmen. $$f'(x) = \frac{x(x-2)}{(x-1)^2} \qquad \qquad f''(x) = \frac{2}{(x-1)^2}$$ \bigskip $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x_1 = 0, \,\, x_2 = 2$ \bigskip $f''(0) = -2 < 0 \Rightarrow$ relatives Maximum an der Stelle $x=0$ $f''(2) = 2 > 0 \hspace{8.5pt}\Rightarrow$ relatives Minimum an der Stelle $x=2$ \newpage Für die Skizze: \begin{itemize} \item Nullstellen: $f(x) = 0 \Leftrightarrow x^2 + x - 1 = 0 \Leftrightarrow x_1 \approx 0,\!62, x_2 \approx 1,\!62$ \item Asymptote: Polynomdivision $f(x) = \underbrace{x + 2}_{\textnormal{\tiny x--Asymptote}} + \frac{1}{x-1}$ \item Polstelle: bei $x = 1$ (y--Asymptote) \quad $\lim\limits_{x\uparrow 1}f(x) = -\infty$ \end{itemize} \begin{center} \begin{picture}(160,120) \put(0,40){\vector(1,0){160}} \put(80,0){\vector(0,1){120}} \put(80,60){\line(1,1){60}} \put(80,60){\line(-1,-1){60}} \multiput(78,50)(0,10){2}{\line(1,0){4}} \put(72,58){$\scriptstyle 2$} \multiput(90,00)(0,4){30}{\line(0,1){2}} \multiput(64,38)(22,0){2}{\line(0,1){4}} \qbezier(20,0)(60,42)(78,49) \qbezier(78,49)(80,50)(82,49) \qbezier(82,49)(88,45)(89,0) \qbezier(91,120)(95,78)(102,88) \qbezier(102,88)(110,94)(140,120) \put(100,38){\line(0,1){4}} \put(98,31){$\scriptstyle 2$} \put(153,31){$\scriptstyle x$} \put(72,113){$\scriptstyle y$} \end{picture} \end{center} \item $f(x) = x^4$ \qquad $f'(x) = 4\cdot x^3 = 0 \Leftrightarrow x_1 = 0$ $f''(x) = 12\cdot x^2 \qquad f''(0) = 0$ (?) \end{enumerate} \begin{description} \item[Bemerkung zu Satz 8.5.3:] \index{Satz von Rolle}\emph{Satz von Rolle}: Gilt $f(a) = f(b)$, so existiert ein $x_0 \in (a,\,b)$ mit $f'(x_0) = 0$ \end{description} \subsection{Satz} $f$ sei auf $(a,\,b)$ $n$--mal differenzierbar und es gelte $$f'(x_0) = f''(x_0) = \dots = f^{(n-1)}(x_0) = 0$$ und $f^{(n)}(x_0) \ne 0$. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})} \item ist $n$ gerade, so hat $f$ in $x_0$ einen relativen Extremwert, und zwar für $f^{(n)}(x_0) > 0$ ein relatives Minimum und für $f^{(n)}(x_0) < 0$ ein relatives Maximum. \item ist $n$ ungerade, dann hat $f$ keinen relativen Extremwert bei $x_0$ \end{enumerate} \subsection{Beispiele} \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})} \item $f(x) = 5 + (x-3)^4$ \smallskip $ \begin{array}{l@{\:}c@{\;}l@{}c@{\quad}l@{\:}l@{\:\:}r} f'(x) &=& 4(x-3)^3 &= 0 \quad \Rightarrow &x_0 = 3\\ f''(x) & = & 12(x-3)^2 & & f''(x_0) &=& 0\\ f'''(x) & = & 24(x-3) & & f'''(x_0) &=& 0\\ f''''(x) & = & 24 & & f''''(x_0) &=& 24\\ \end{array} $ \smallskip $n = 4$ (gerade) \quad $f^{(4)} = 24 > 0 \longrightarrow $ lokales Minimum bei $x_0 = 3$ \item $f(x) = x^3 - 3\cdot x^2 + 3\cdot x \qquad f'(x) = 3\cdot x^2 - 6\cdot x + 3$ \smallskip $ \begin{array}{l@{\:}c@{\;}l@{}c@{\quad}l@{\:}l@{\:\:}r} f'(x) &=& 0 &\quad \Rightarrow &x_0 = 1\\ f''(x) & = & 6\cdot x - 6 & & f''(x_0) &=& 0\\ f'''(x) & = & 6 & & f'''(x_0) &=& 6\\ \end{array} $ \smallskip $n = 3$ (ungerade) $\Rightarrow$ keine Extremstelle bei $x_0 = 1$ \end{enumerate} \subsection{Definition: Konvex, Konkav}\index{Konvex, Konkav} $f$ sei eine auf $(a,\,b)$ differenzierbare Funktion. Gilt für alle $x$, $x_0 \in (a.\,b)$ die Ungleichung \begin{flushleft} \begin{minipage}[c]{8.5cm} \center $$f(x) \geq f(x_0) + f'(x_0)\cdot (x-x_0)$$ bzw. $$f(x) \leq f(x_0) + f'(x_0)\cdot (x-x_0)$$ \smallskip \flushleft so heißt $f$ \emph{konvex} bzw. \emph{konkav} auf $(a,\,b)$. \end{minipage} \begin{minipage}[c]{110pt} \center \begin{picture}(100,60) \put(5,55){\scriptsize konvex} \put(45,15){\scriptsize konkav} \put(55,60){$\scriptstyle t$} \put(65,45){$\scriptstyle t$} \put(70,32){$\scriptstyle f$} \put(5,45){$\scriptstyle f$} \qbezier(0,40)(30,40)(50,70) \qbezier(30,10)(50,40)(80,40) \qbezier(32,50)(32,50)(60,70) \qbezier(32,50)(32,50)(4,30) \qbezier(48,30)(48,30)(76,50) \qbezier(48,30)(48,30)(20,10) \end{picture} \end{minipage} \end{flushleft} \subsection{Satz} $f$ sei auf $(a,\,b)$ zweimal differenzierbar. $f$ ist konvex (konkav) auf $(a,\,b) \Leftrightarrow f'$ ist monoton wachsend (fallend) auf $(a,\,b) \Leftrightarrow f''(x) \geq 0$ ($f''(x) \leq 0$) auf $(a,\,b)$. \subsection{Beispiel} Auf welchem Intervall ist die Funktion $f(x) = \displaystyle\frac{x^2}{1+x^2}$ konvex (konkav)? $$f'(x) = \frac{2}{(1+x^2)^2} \qquad f''(x) = \frac{2\cdot(1-3\cdot x^2)}{(1+x^2)^3}$$ $$f''(x) \geq 0 \quad \Leftrightarrow \quad 1 - 3\cdot x^2 \geq 0 \quad \Leftrightarrow \quad |x| \leq \displaystyle\frac{1}{\sqrt{x}}$$ $\Rightarrow f$ ist konvex auf $\displaystyle \bigg(-\frac{1}{\sqrt{3}},\;\frac{1}{\sqrt{3}}\bigg)$, konkav auf $\displaystyle \bigg(-\infty,\;-\frac{1}{\sqrt{3}}\bigg)$ und $\displaystyle \bigg(\frac{1}{\sqrt{3}},\;\infty\bigg)$. \begin{minipage}[c]{190pt} \flushleft \begin{picture}(180,75) \put(90,0){\line(0,1){28}} \put(90,38){\vector(0,1){32}} \put(0,15){\vector(1,0){180}} \multiput(0,50)(5,0){36}{\line(1,0){2}} \qbezier(0,50)(30,50)(45,32) \qbezier(45,32)(60,15)(90,15) \qbezier(180,50)(150,50)(135,32) \qbezier(135,32)(120,15)(90,15) \multiput(45,32)(90,0){2}{\circle*{2}} \multiput(45,13)(0,4){5}{\line(0,1){2}} \multiput(135,13)(0,4){5}{\line(0,1){2}} \put(35,0){$\frac{1}{-\sqrt{3}}$} \put(128,0){$\frac{1}{\sqrt{3}}$} \put(0,35){\scriptsize konkav} \put(155,35){\scriptsize konkav} \put(77,31){\scriptsize konvex} \put(44,38){$P_1$} \put(126,38){$P_2$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{6cm} \center $$\lim_{x\to\pm\infty} f(x) = 1$$ $P_1$, $P_2$: \emph{Wendepunkte}\index{Wendepunkt} \end{minipage} \subsection{Definition}\index{Sattelpunkt}\index{Terassenpunkt} Ist $f$ auf $(a,\, b)$ differenzierbar dann heißt jeder Punkt $x_0$, für den $f'$ einen relativen Extremwert besitzt, \emph{Wendepunkt} von $f$. Ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente (d.h. $f'(x_0) = 0)$ heißt \emph{Sattelpunkt} (Terassenpunkt). \begin{description} \item[Bestimmung von $\mathbf{x_0}$:] mit 8.5.4 oder 8.5.6. Für $x_0$ muß $f'''(x_0) = 0$ gelten. \end{description} \subsection{Beispiele} \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})} \item $f(x) = x^3 \qquad f'(x) = 3\cdot x^2$ \smallskip $f''(x) = 6x = 0 \Rightarrow x_0 = 0$ \smallskip $f'''(x) = 6 > 0 \Rightarrow $ Wendepunkt (da $f'$ Extremstelle hat) \smallskip $f(x_0) = 0 \Rightarrow$ Sattelpunkt \item $f(x) = \sin x \Rightarrow$ auch Wendepunkt bei $x_0 = 0$ \end{enumerate} \subsection{Kurvenuntersuchung}\index{Kurvenuntersuchung} \begin{enumerate} \item Definitionsbereich, Wertebereich \item Periodizität, gerade, ungerade \item Nullstellen \item Stetigkeit, Differenzierbarkeit \item Extremwerte, Wendepunkte, Sattelpunkte \item Grenzwertaussagen (Asymptote, Pole, Verhalten am Rande des Definitionsbereiches) \end{enumerate} \subsection{Satz: Regel von Bernoulli --- de l'Hospital}\index{Satz von de l'Hospital}\index{Regel von Bernoulli} $f$ und $g$ seien differenzierbar auf $(a,\,b)$ und es sei $g'(x) \ne 0$ für $x \in (a,\,b)$. Weiter gelte $\lim\limits_{x\downarrow a}f(x) = \lim\limits_{x\downarrow a}g(x) = 0$ oder $\pm \infty$. Existiert der Grenzwert $\lim\limits_{x\downarrow a} \displaystyle\frac{f'(x)}{g'(x)}$, so existiert auch $\lim\limits_{x\downarrow a} \displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}$ und es gilt: \begin{center} \framebox{$\vphantom{\Bigg(}\quad \displaystyle \lim\limits_{x\downarrow a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim\limits_{x\downarrow a} \frac{f'(x)}{g'(x)}\quad $} \end{center} Der Satz gilt auch für $x \uparrow b$, für $x \to x_0$ auch für $a = -\infty$ und $b = \infty$. \subsection{Beispiele} \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})} \item Typ $\frac{0}{0}$ $$\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x\to 0}\frac{\cos x}{1} = \cos\, 0 = 1$$ \item Typ $\frac{\infty}{\infty}$ $$\lim_{x\to \infty} \frac{x^2}{e^x} = \lim_{x\to \infty} \frac{2\cdot x}{e^x} = \lim_{x\to \infty} \frac{2}{e^2} = \frac{2}{\infty} = 0$$ \item Typ $0 \cdot (\pm \infty)$ $$\lim_{x\downarrow 0} x \cdot \ln x = \lim_{x\downarrow 0} \frac{\ln x}{\frac{1}{x}} = \lim_{x\downarrow 0} \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}} = -x = 0$$ \item Typ $\infty - \infty$ $$\lim_{x\to 0} \frac{1}{x} - \frac{1}{\sin x} = \lim_{x\to 0}\frac{\sin x - x}{x \cdot \sin x} = \textnormal{ [wie in (a)] } = 0$$ \item Typ $1^{\pm \infty}$, $0^0$, $\infty^0$ \quad $\Rightarrow$ \quad \textbf{Umformung} $f(x)^{g(x)} = e^{g(x)\cdot \ln f(x)}$ \smallskip $\displaystyle\lim_{x\downarrow 1} (\ln x)^{x-1}$ \quad ist vom Typ ${0}^0$ da $\ln 1 = 0$ und $x-1$ = 0 für $x = 1$. \smallskip $(\ln x)^{x-1} = e^{(x-1) \cdot \ln (\ln x)}$ \bigskip Überprüfung d. Grenzwertes des Exponenten: $$\lim_{x\downarrow 1} (x-1) \ln(\ln x) = \lim_{x\downarrow 1} \frac{\ln(\ln x)}{\frac{1}{x-1}} \stackrel{\scriptscriptstyle [\dots]}{=} \lim_{x\downarrow 1} \frac{-(x-1)^2}{x \cdot \ln x} = \lim_{x\downarrow 1} \frac{-2(x-1)}{1+\ln x} = 0$$ $\Rightarrow \displaystyle\lim_{x\downarrow 1} (\ln x)^{x-1} = e^0 = 1$ \end{enumerate} \section{Iterationsverfahren}\index{Iterationsverfahren} \subsection{Aufgabe} Eine Lösung der Gleichung $f(x) = 0$ näherungsweise bestimmen. $f$ ist eine stetige Funktion. \bigskip \begin{flushleft}\emph{Iterationsverfahren}\end{flushleft} \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})} \item Man bestimmt einen "`groben"' Näherungswert (\emph{Startwert}) $x_0$ für eine Lösung. \item Mit Hilfe einer Rechenvorschrift (\emph{Iterationsvorschrift}) berechnet man aus $x_0$ einen neuen Wert $x_1$. Auf diesen Wert wendet man die Rechenvorschrift wieder an und erhält einen Wert $x_2$, u.s.w. Unter gewissen Voraussetzungen konvergiert die Folge $\{x_n\}$ gegen eine Lösung. \end{enumerate} \begin{description} \item[Beispiel:] $f(x) = x^2 -2 \qquad x_0 = 1$ Iterationsvorschrift: $\displaystyle x_n = \frac{1}{2} \cdot \bigg(x_{n-1} + \frac{2}{x_{n-1}}\bigg) \quad n = 1,\,2,\,\ldots$ \end{description} $x_1 = \frac{1}{2}\bigg(1+\frac{2}{1}\bigg) = 1,\!5$ \bigskip $x_2 = \frac{1}{2}\bigg(1,\!5 +\frac{2}{1,\!5}\bigg) = 1,\!41\overline{6}$ \bigskip $x_3 = 1,\!4142156\dots$ \bigskip $x_4 = 1,\!414213562\dots$ \bigskip Man kann zeigen: $\displaystyle\lim_{n\to \infty} x_n = \sqrt{2}$ (s. 8.6.5) \subsection{Intervallhalbierung}\index{Intervallhalbierung} $f$ stetig auf $[a,\,b]$, $f(a) \cdot f(b) < 0$ (d.h. verschiedene Vorzeichen) $\Rightarrow$ mindestens eine Nullstelle in $[a,\,b]$. \smallskip \begin{center} \begin{picture}(120,80) \put(0,20){\vector(1,0){120}} \put(10,0){\vector(0,1){80}} \put(13,70){$\scriptstyle f(x)$} \put(110,12){$x$} \multiput(30,18)(30,0){3}{\line(0,1){4}} \put(28,8){$a$} \put(56,8){$x_1$} \put(88,8){$b$} \qbezier(30,4)(50,15)(60,35) \qbezier(60,35)(67,50)(90,65) \put(73,60){$f$} \end{picture} \end{center} \smallskip Wir setzen $x_1 = \displaystyle\frac{a+b}{2}$. Ist $f(x_1)\ne 0$ so ist entweder $f(a) \cdot f(x_1) < 0$ oder $f(b) \cdot f(x_1) < 0$. Im ersten Fall wiederholt man die Intervallhalbierung für $[a,\,x_1]$ im zweiten Fall für $[x_1,\,b]$, u.s.w. Vorteile dieses Verfahrens: einfach, immer anwendbar. Nachteil: langsam. \subsection{Regula falsi}\index{Regula falsi} $f(a) \cdot f(b) < 0$. Wir ziehen die Gerade durch die Punkte $(a,\,f(a))$ und $(b,\,f(b))$ und schneiden diese Gerade mit der $x$--Achse. Der Schnittpunkt $x_1$ ist dann erster Näherungswert für eine Nullstelle. Gleichung der Geraden: $\displaystyle y = f(a) + \frac{f(b) - f(a)}{b-a}\cdot(x-a)$. Mit $y = 0$ : $x_1 = a + \displaystyle\frac{f(a)}{f(a)- f(b)}\cdot (b-a)$. \subsection{Beispiel} $f(x) = x^4 -2 \qquad a = 1, \; b = 1,\!8$ \bigskip \begin{center} \begin{picture}(200,180) \put(0,40){\vector(1,0){200}} \put(20,5){\vector(0,1){175}} \put(18,20){\line(1,0){4}} \put(1,17){$-1$} \multiput(40,38)(30,0){5}{\line(0,1){4}} \put(37,45){$\scriptstyle 1$} \multiput(40,18)(0,4){5}{\line(0,1){2}} \put(37,7){$a$} \put(64,28){$\scriptstyle 1,2$} \put(94.5,28){$\scriptstyle 1,4$} \put(125,28){$\scriptstyle 1,6$} \put(155,28){$\scriptstyle 1,8$} \multiput(160,40)(0,4){35}{\line(0,1){2}} \qbezier(40,20)(115,60)(160,180) \qbezier(40,20)(40,20)(160,180) \qbezier(20,11)(35,17)(40,20) \put(55,38){\line(0,1){4}} \multiput(55,44)(0,4){5}{\line(0,1){2}} \put(50,68){$x_1$} \multiput(160,18)(0,4){2}{\line(0,1){2}} \put(160,34){\line(0,1){2}} \put(157,7){$b$} \put(190,30){$x$} \put(23,170){$f(x)$} \end{picture} \end{center} \smallskip Erster Iterationsschritt $\Rightarrow$ $x_1 \approx 1,\!1$. Im nächsten Schritt wird $x_1$ als untere Intervallgrenze $a$ gewählt, u.s.w. \subsection{Newtonsche Iteration}\index{Newtonsche Iteration} $f$ sei in $[a,\,b]$ differenzierbar, $f'(x) \ne 0$ in $[a,\,b]$. $f(a) \cdot f(b) < 0$, $x_0 \in [a,\,b]$ beliebig. Der erste Iterationswert ist gleich der Schnittstelle der Tangente im Punkt $(x_0,\, f(x_0))$ mit der $y$--Achse. $$y=f(x_0) + f'(x_0)\cdot (x_1-x_0) = 0 \Rightarrow x_1 = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)}$$ Iterationsvorschrift: $x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$ mit $n = 0,\,1,\,2, \ldots$ Vorteil: schnell, Nachteil: konvergiert nicht immer. \begin{center} \begin{picture}(200,180) \put(0,35){\vector(1,0){200}} \put(20,0){\vector(0,1){175}} \multiput(40,33)(30,0){5}{\line(0,1){4}} \put(37,23){$\scriptstyle 1$} \multiput(110,13)(0,4){6}{\line(0,1){2}} \put(105,2){$x_n$} \put(64,23){$\scriptstyle 1,2$} \put(94.5,23){$\scriptstyle 1,4$} \put(125,23){$\scriptstyle 1,6$} \put(155,23){$\scriptstyle 1,8$} \multiput(160,35)(0,4){35}{\line(0,1){2}} \qbezier(40,15)(115,55)(160,175) \qbezier(20,6)(35,12)(40,15) \put(55,33){\line(0,1){4}} \multiput(160,13)(0,4){2}{\line(0,1){2}} \put(160,29){\line(0,1){2}} \put(151,2){$x_{n-1}$} \put(190,25){$x$} \put(23,165){$f(x)$} \qbezier(160,175)(160,175)(110,35) \end{picture} \end{center} \begin{flushleft}Hinreichende Bedingungen für die Konvergenz: \begin{itemize} \item $f''$ ist stetig, $f'(x) \ne 0$ \item $f(x_0) \cdot f''(x_0)> 0$ \end{itemize} Dann besitzt die Gleichung $f(x) = 0$ genau eine Lösung $t_0$ in $[a,\,b]$ und $\lim\limits_{n \to \infty} x_n = t_0$. \end{flushleft} \subsection{Beispiele} \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})} \item $f(x) = x^4 - 2 \qquad x_0 = 1,\!8,\; a=1,\; b = 1,\!8$ \quad (Berechnung von $\sqrt[4]{2}$) \smallskip Mittels "`Regula falsi"': \smallskip $x_1 = 1 + \displaystyle\frac{f(1)}{f(1)- f(1,\!8)}\cdot (1,\!8-1) \approx 1,\!084$ \smallskip $x_2 = 1,\!084 + \displaystyle\frac{f(1,\!084)}{f(1,\!084)- f(1,\!8)}\cdot (1,\!8-1,\!084) \approx 1,\!143$ \smallskip $[\dots]$ $x_{5} \approx 1.18111881268$ \qquad \,\,Abweichung von $\sqrt[4]{2} \approx 0,809 \cdot 10^{-2}$ \smallskip $x_{10} \approx 1.18890804071$ \qquad Abweichung von $\sqrt[4]{2} \approx 0,299 \cdot 10^{-3}$ \smallskip $x_{30} \approx 1,\!18920711395$ \qquad Abweichung von $\sqrt[4]{2} \approx 1,\!0527\cdot 10^{-9}$ \item $f(x) = x^2- 2$ mit $x_0$ = 1\qquad (Berechnung von $\sqrt{2}$) $$x_{n+1} = x_n - \frac{{x_n}^2 - 2}{2\cdot x_n} = \frac{1}{2} \cdot \left(x_n+\frac{2}{x_n}\right)$$ auch allgemein: $f(x) = x^2 - c$ mit $c > 0$ $$x_{n+1} = \frac{1}{2} \cdot \left(x_n+\frac{c}{x_n}\right) \longrightarrow \sqrt{c}$$ \subsection{Fixpunktverfahren}\index{Fixpunktverfahren} Es sei $f$ differenzierbar und $f(a) \cdot f(b) < 0$. Statt $f(x) = 0$ untersuchen wir die gleichwertige Gleichung $$\underbrace{f(x) + x}_{\stackrel{\textnormal{\tiny def.}}{=}g(x)} = x$$ Dann ist ein $t_0$ gesucht mit $g(t_0) = t_0$ ($t_0$ heißt \emph{Fixpunkt} der Funktion). \smallskip \begin{description} \item[Verfahren:] $g: [a,\,b] \longrightarrow [a,\,b]$ sei differenzierbar, $|g'(x)| \leq \delta \leq 1$, $x \in [a,\,b]$. \smallskip $x_0 \in [a,\,b]$ beliebig. $$x_{n+1} = g(x_n)$$ Dann gilt: $\lim\limits_{n\to\infty} x_n = t_0$. \item[Fehlerabschätzung:] $|x_n - t_0| \leq \frac{\delta}{1 - \delta} \cdot |x_n-x_{n-1}|$ \end{description} \end{enumerate} \chapter{Integralrechnung für Funktionen einer Variablen} \section{Stammfunktionen}\index{Stammfunktion} \subsection{Definition} Die Funktion $f$ sei auf einem Intervall $I$ definiert. Eine differenzierbare Funktion $F$ auf $I$ heißt \emph{Stammfunktion}, von $f$ auf $I$, wenn $F' = f$. \begin{description} \item[Beispiele:] \quad \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})} \item $f(x) = x^2 + x + 2 \qquad F(x) = \frac{1}{3}\cdot x^3 + \frac{1}{2} \cdot x^2 + 2\cdot x$ \item $f(x) = \mathrm{e}^x$ \smallskip $F_1(x) = \mathrm{e}^x \quad F_2(x) = \mathrm{e}^x + 9$ \quad sind Stammfunktionen für $f(x)$ \end{enumerate} \end{description} \subsection{Satz} Sind $F_1$ und $F_2$ Stammfunktionen für die Funktion $f$, so ist die Differenz $F_1 - F_2$ konstant. \begin{description} \item[Beweis:] $(F_1 - F_2)' = f - f = 0 \Rightarrow F_1 - F_2$ \, konstant \end{description} Ist also $F_0$ eine Stammfunktion, so erhält man mit $F_0 + C$ $(C \in \mathbb{R})$ alle möglichen Stammfunktionen von $F$. Die Gesamtheit aller Stammfunktionen wird mit $\int\! f(x) dx$ bezeichnet. Sprechweise: \emph{unbestimmtes Integral}.\index{unbestimmtes Integral} \begin{center} \begin{minipage}[c]{5cm} \flushleft \begin{tabular}{p{2.5cm}p{2cm}} $f$ & $F$\\ \hline $c$ (Konstante) & $c\cdot x$\\ $x^a\quad (a \ne -1)$ & $\frac{1}{a+1}\cdot x^{a+1}$\\ $\frac{1}{x}$ & $\ln |x|$\\ $\sin x$ & $-\cos x$\\ $\cos x$ & $\sin x$ \end{tabular} \end{minipage} \hspace{0.5cm} \begin{minipage}[c]{5cm} \flushright \begin{tabular}{p{2.5cm}p{2cm}} $f$ & $F$\\ \hline $\frac{1}{\sin^2 x}$ & $- \cot x$\\ $\frac{1}{\cos^2 x}$ & $\tan x$\\ $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ & $\arcsin x$\\ $\frac{1}{1+x^2}$ & $\arctan x$\\ \end{tabular} \vspace{10pt} \end{minipage} \end{center} \subsection{Satz: Rechenregeln} $ \begin{array}{ll@{\;}c@{\;}ll} \textnormal{(a)} & \int\! a \cdot f(x) \;dx &=& a \cdot \int f(x) \;dx & \textnormal{($a$: Konstante)}\\ \textnormal{(b)} & \int\! f(x) + g(x) \;dx & = & \int\! f(x) + \int g(x) \;dx\\ \textnormal{(c)} & \int\! f'(x) \cdot g(x)\;dx &=& f(x)\cdot g(x) - \int\! f(x)\cdot g'(x) \;dx& \textnormal{(\emph{partielle Integration})}\index{partielle Integration} \end{array} $ \begin{description} \item[Bemerkung:] (c) folgt aus $(f\cdot g)' = f'\cdot g + f\cdot g'$ \end{description} \subsection{Beispiele} \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})} \item $\int\underbrace{x}_{g}\cdot \underbrace{\sin x}_{f'} dx$ \smallskip $f'(x) = \sin x \Rightarrow f(x) = -\cos x \qquad g(x) = x \Rightarrow g'(x) = 1$ \bigskip $\int x\cdot \sin x \;dx = -x\cdot \cos x - \int (-\cos x)\cdot 1 \;dx =$ $= - x \cdot \cos x + \int \cos x \;dx = - x \cdot \cos x + \sin x + C$ \item $\int \ln x\; dx = \int \underbrace{1}_{f'} \cdot \underbrace{\ln x}_{g} \; dx = x\cdot \ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} \; dx = x\cdot \ln x - x + C$ \smallskip $f'(x) = 1 \Rightarrow f(x) = x \qquad g(x) = \ln x \Rightarrow g'(x) = \frac{1}{x}$ \item Manchmal führt die partielle Integration auf eine Gleichung für die Stammfunktion: $\int \sin^2 x \; dx = \int \underbrace{\sin x}_{f'} \cdot \underbrace{\sin x}_{g} \; dx = -\sin x \cdot \cos x + \int \underbrace{\cos^2 x}_{1-\sin^2 x}\; dx$ $= - \sin x\cdot \cos x + x - \int \sin^2 x$ Gleichung nach $\int\!\sin^2 x$ "`umstellen"': $\int\! sin^2 x \; dx = \frac{1}{2} \cdot (x - \sin x \cdot \cos x) + c$ \end{enumerate} \subsection{Substitutionsregel}\index{Substitution (Integration)} Es sei $F$ eine Stammfunktion von $f$ und $\varphi$ eine differenzierbare Funktion. Dann ist $F(\varphi)$ eine Stammfunktion von $f(\varphi)\cdot f'$. Symbolisch geschrieben: $$\int\! f\left(\varphi(x)\right) \cdot \varphi'(x)\; dx = \int\! f(u) \; du\bigg|_{u = \varphi(x)} = F\left(\varphi(x)\right) + C$$ $(f: I \longrightarrow \mathbb{R},\; \varphi:i \longrightarrow I)$ \subsection{Beispiele} \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})} \item $\int\! 2x \cdot (x^2 + 1)^2 \; dx$ \qquad Substitution: $u = x^2 +1$ \bigskip $\displaystyle\frac{du}{dx} = 2x$ nach $dx$ "`umstellen"', formal: $dx = \displaystyle\frac{1}{2x}\cdot du$ \bigskip $= \int 2x \cdot u^2 \cdot \frac{1}{2x} \;du = \int u^2 \; du = \frac{1}{3} \cdot u^3 + C = \frac{1}{3} \cdot (x^2+1)^3 + C$ \item $\int(2x + 3)^{10} \;dx = \int u^{10}\cdot \frac{1}{2} \; du = \frac{1}{11}\cdot u^{11} \cdot \frac{1}{2} + C = \frac{1}{22}\cdot (2x+3)^{11}+C$ \bigskip $u = 2x + 3 \qquad \displaystyle\frac{du}{dx} = 2 \Rightarrow dx = \frac{1}{2} du$ \item $\int \frac{1}{\mathrm{e}^x + \mathrm{e}^{-x}} \; dx = \int\frac{1}{u+\frac{1}{u}} \cdot \frac{1}{u} = \int\frac{1}{u^2 + 1}\;du = \arctan u + C = \arctan \mathrm{e}^x + C$ \smallskip $u = \mathrm{e}^x \qquad \displaystyle\frac{du}{dx} = \mathrm{e}^x = u \Rightarrow dx = \frac{1}{u}\;du$ \end{enumerate} \subsection{Stammfunktion von gebrochen rationalen Funktionen} $$\int \frac{P(x)}{Q(x)} \; dx \qquad \textnormal{($P$, $Q$ Polynome)}$$ \textbf{Lösung:} \begin{enumerate} \item Der unecht gebrochenen Integrand wird in einen ganzen und einen echt gebrochenen Anteil aufgespalten. \item Der echt gebrochene Anteil wird in Partialbrüche zerlegt. \item Die Summanden werden einzeln integriert. \end{enumerate} \begin{description} \item[1. Beispiel] $\displaystyle\int \frac{3\cdot x^5 + 2\cdot x^4 + 3 \cdot x^3}{x^4 - 1}\; dx$ \begin{enumerate} \item Zuerst Polynomdivision: Integrand = $3x + 2 + \displaystyle\frac{3\cdot x^3 + 3\cdot x + 2}{x^4 - 1}$ \item Der Nenner wird in Faktoren zerlegt: $$x^4 - 1 = (x+1)\cdot (x-1) \cdot (x^2+1)$$ \item Ansatz: $\displaystyle\frac{3\cdot x^5 + 2\cdot x^4 + 3 \cdot x^3}{(x+1)\cdot (x-1) \cdot (x^2+1)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x-1} + \frac{Cx+D}{x^2+1}$ \smallskip [\dots] $\Rightarrow A = 1,\; B = 2,\; C = 0,\; D = -1$ \bigskip Gesamtes Integral: $\displaystyle\int 3x + 2 + \frac{1}{x+1} + \frac{2}{x-1} - \frac{1}{x^2+1} \; dx = $ \smallskip $\displaystyle = \frac{3}{2}\cdot x^2 + 2\cdot x + \ln|x+1| + 2\cdot \ln |x-1| - \arctan x + C$ \end{enumerate} \item[2. Beispiel:] $\displaystyle\int \frac{1}{x\cdot (x+1)^3} \; dx$ \begin{enumerate} \item Integral echt gebrochen \item Nenner schon faktorisiert \smallskip Ansatz: $$\frac{1}{x\cdot (x+1)^3} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{(x+1)^2} + \frac{D}{(x-1)^3}$$ \smallskip $\Rightarrow A= 1,\; B = -1,\; C = -1,\; D=-1$ \item Integration: $$\int\frac{1}{x\cdot (x+1)^3} \; dx = \int \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1} - \frac{1}{(x+1)^2} - \frac{1}{(x-1)^3}$$ $$= \ln |x| - \ln |x-1| - \frac{1}{x+1} - \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{(x+1)^2} + C$$ \end{enumerate} \end{description} \subsection{Weitere Methoden} \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})} \item $\displaystyle \int\frac{f'(x)}{f(x)}\; dx = \ln f(x) + C \qquad (f > 0)$ \begin{description} \item[Beispiel:] $\displaystyle\int \frac{x}{x^2+1}\; dx = \frac{1}{2} \cdot\int\frac{2\cdot x}{x^2+1} \; dx = \frac{1}{2} \cdot \ln(x^2+1) + C$ auch möglich: Substitution $u = x^2+1$ \end{description} \item $\displaystyle \inf f'(x) \cdot f(x) \; dx = \frac{1}{2} \cdot f^2(x) + C$ \begin{description} \item[Beispiel:] $\displaystyle\int \frac{\ln x}{x} = \frac{1}{2}\cdot (\ln x)^2 + C$ auch möglich: partielle Integration \end{description} \end{enumerate} \section{Bestimmte Integrale} \subsection{Zwischensummen} Im Folgenden: $I = [a,\,b] \quad (-\infty 0: \exists \delta > 0 : |S(Z) - \int\limits^b_a f(x)\;dx| < \epsilon$$ wenn$\Delta (Z) < \delta$. Ist $f$ über $[a,\,b]$, $a 0$ \qquad $x = \varphi(x) = a \cdot \sin u$ $\frac{dx}{du} = a \cdot \cos u \qquad dx = a \cdot \cos u \cdot du$ $a^2 - x^2 = a^2 - a^2 \cdot \sin^2 u = a^2\cdot(1 - \sin^2 u) = a \cdot \cos^2 u$ $\int\limits_a^{\frac{a}{2}} \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}\; dx = \int\limits_a^{\frac{\pi}{6}} \frac{1}{a\cdot \cos u} \cdot a \cdot \cos u\; du$ \end{enumerate} \newpage \section{Uneigentliche Integrale}\index{uneigentliche Integrale} Bis jetzt: $f$ beschränkt, $[a,\,b]$ endliches Intervall. \subsection{Unbeschränktes Intervall} Es sei $f$ für alle $x \in [a,\, \infty)$ definiert und integrierbar in jedem Teilintervall $[a,\,b]$, $a < b < \infty$. Man sagt das \emph{uneigentliche Integral} $\int_a^{\infty} f(x) \, dx$ \emph{existiert} oder ist \emph{konvergent}, falls der Grenzwert \[\lim_{b \to \infty} \int\limits_a^b f(x) ; dx\] existiert. Dieser Grenzwert ist dann auch der Wert des Integrals von $f$ und $f$ heißt in $[a,\, \infty)$ integrierbar. Analog \[\int\limits_{-\infty}^a f(x)\; dx = \lim_{c \to -\infty} \int\limits_c^a f(x) \; dx\] und \[\int\limits_{-\infty}^{\infty} f(x)\; dx = \int\limits_{-\infty}^{a} f(x)\; dx + \int\limits_{a}^{\infty} f(x)\; dx\] wobei $a \in \mathbb{R}$ beliebig gewählt werden kann. \smallskip Ist $F$ eine Stammfunktion von $f$, so gilt: \[\int\limits_a^{\infty} f(x)\; dx = \lim_{b \to \infty} \int\limits_a^b f(x) \; dx = \lim_{b \to \infty} \left[F(b) - F(a)\right] = F(x)\Big|_a^{\infty}\] \subsection{Beispiele} \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})} \item $\int\limits_1^{\infty} \frac{1}{x^2}\;dx = \lim\limits_{b \to \infty} - \frac{1}{x}\bigg|_1^b = \left(\lim\limits_{b\to \infty} - \frac{1}{b}\right) + 1 = 1$ \item $\int\limits_1^{\infty} \; dx = \lim\limits_{b \to \infty} [\ln b - \ln 1] = \infty \Rightarrow $ Das Integral ist \emph{divergent} \end{enumerate} \subsection{Unbeschränkte Funktionen} Wir nehmen an, daß $f$ im Intervall $[a,\,b)$ definiert, in jedem Teilintervall $[a,\,c]$, $a < c < b$ beschränkt und integrierbar ist. Dann kann man $\int_a^c f(x)\;dx$ für jedes $c$, $a < c < b$ bilden. Man sagt, das uneigentliche Integral $\int_a^b f(x)\;dx$ \emph{existiert} oder ist \emph{konvergent}, falls der Grenzwert $\lim\limits_{c\to b-} \int_a^c f(x)\; dx$ existiert. Dieser Grenzwert ist dann der Wert des Integrals. Ist $f$ in analogerweise im Intervall $(a,\,b]$ definiert und in jedem Teilintervall $d,\,b]$ integrierbar, so wird definiert: $$\int\limits_a^b f(x) \; dx = \lim_{d\to a+} \int\limits_d^b f(x)\; dx$$ Analog definiert man das Integral, wenn beide Endpunkte Unendlichkeitsstellen sind, oder wenn im Integrationsintervall mehrere Unendlichkeitsstellen liegen. \subsection{Beispiele} \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})} \item $\int\limits_0^2\frac{1}{\sqrt{x}}\; dx = \lim\limits_{d \to 0+} \int\limits\frac{1}{\sqrt{x}}\; dx = \lim\limits_{d \to 0+} 2\sqrt{x}\bigg|_d^2 = \lim\limits_{d \to 0+} (2\sqrt{x} - 2\sqrt{d}) = 2 \sqrt{2}$ \item $\int\limits_0^1 \frac{1}{x} \; dx = \lim\limits_{d \to 0+} \int\limits_d^1 \frac{1}{x}\; dx =\lim\limits_{d \to 0+} \ln x\bigg|_d^1 = \lim\limits_{d \to 0+} (\underbrace{\ln 1}_{0} - \underbrace{\ln d}_{-\infty}) = \infty$ $\Rightarrow$ das Integral ist divergent \item $\displaystyle\int\limits_0^2 \frac{1}{1-x^2}\; dx = \int\limits_0^1 \frac{1}{1-x^2}\; dx + \int\limits_1^2 \frac{1}{1-x^2}\; dx$ Polstelle bei 1 $\Rightarrow$ Aufteilen in 2 Teilintervalle Partialbruchzerlegung: $\displaystyle\frac{1}{1-x^2} = \frac{1}{(1-x)(1+x)} = \frac{A}{1-x} + \frac{B}{1+x} \Rightarrow A = B = \frac{1}{2}$ $\displaystyle\int\limits_0^1 \frac{1}{1-x^2}\; dx = \frac{1}{2} \underbrace{\int\limits_0^1 \frac{1}{1-x}\; dx}_{\textnormal{\tiny uneigentl. I.}} + \frac{1}{2} \underbrace{\int\limits_0^1 \frac{1}{1+x}\; dx}_{\textnormal{\tiny eigentl. I.}}$ $ - \int\limits_0^1 \frac{1}{1-x}\; dx = \ln|1-x|\bigg|_0^1 = \lim\limits_{b \to 1-} \ln|1-x|\bigg|_0^b = \lim\limits_{b \to 1-} \ln |1-x|\bigg|_0^b = \lim\limits_{b \to 1-} (\ln|1-b| - 0) = - \infty$ $\Rightarrow \int\limits_0^1 \frac{1}{1-x}\; dx$ ist divergent, daher divergiert auch das Ausgangsintegral. \begin{description} \item[Bemerkung:] Für uneigentliche Integrale bleiben die wichtigsten Rechenregeln wie beim bestimmten Integral erhalten (partielle Integration, Substitution). \end{description} \end{enumerate} \section{Numerische Integration}\index{Numerische Integration} \subsection{Integrationsformeln} In der Praxis kann man oft nur einen Näherungswert von $\int_a^b f(x)\; dx$ berechnen, z.B. dann, wenn: \begin{itemize} \item $f$ keine "`elementare"' Stammfunktion besitzt, z.B. $$\frac{\sin x}{x} \qquad \frac{1}{\ln x} \qquad e^{-x^2} \qquad \frac{e^x}{x}$$ \item $f$ zwar eine elementare Stammfunktion besitzt, aber ihre Bestimmung zu aufwendig ist (z.B. rationale Funktionen). \item $f$ nur tabellarisch gegeben ist. \end{itemize} \begin{flushleft}\emph{Integrations--} oder \emph{Quadraturformel}\index{Integrationsformel}\index{Quadraturformel} \smallskip allgemeine Form: $\displaystyle Q = \sum\limits_{k=0}^n \alpha_k \cdot f(x_k)$ \end{flushleft} \begin{tabular}{lcl} $x_k \in [a,\,b]$ & : & \emph{Stützstellen}\\\index{Stützstellen (num. Integration)} $\alpha_k$ & : & \emph{Gewichte}\\\index{Gewichte (num. Integration)} $R = \int_a^b f(x)\; dx - Q$ & : & \emph{Verfahrensfehler} oder \emph{Restglied} \end{tabular}\index{Verfahrensfehler (num. Int.)} \index{Restglied (num. Integration)} \subsubsection{Spezielle Integrationsformeln} \begin{flushleft}\emph{Sehnentrapezformel}\end{flushleft} \index{Sehnentrapezformel} \begin{minipage}[c]{7.5cm} Man ersetzt den Graphen von $f$ in $[a,\,b]$ durch die Sehne durch die Punkte $(a,\,f(a))$ und $(b,\,f(b))$. $$Q_{ST} = \frac{b-a}{2}\cdot \Big(f(a) + f(b)\Big)$$ Stützpunkte: $a,\, b$, und $\alpha_1=\alpha_2 = \frac{b-a}{2}$ \end{minipage} \begin{minipage}[c]{120pt} \flushright \vspace*{0pt} \begin{picture}(110,80) \put(0,10){\vector(1,0){110}} \put(10,0){\vector(0,1){80}} \multiput(30,8)(0,4){6}{\line(0,1){2}} \put(30,33){\circle*{2}} \put(12,20){$\scriptstyle f(a)$} \multiput(90,8)(0,4){13}{\line(0,1){2}} \put(90,60){\circle*{2}} \put(93,34){$\scriptstyle f(b)$} \qbezier(30,33)(30,33)(90,60) \qbezier(20,34.5)(60,25)(100,71) \put(3,72){$\scriptstyle y$} \put(102,3){$\scriptstyle x$} \put(28,1){$\scriptstyle a$} \put(88,1){$\scriptstyle b$} \end{picture} \end{minipage} \begin{flushleft}\emph{Simpson'sche Formel}\end{flushleft}\index{Simpson'sche Formel} \begin{minipage}[c]{7.5cm} Man ersetzt den Graphen von $f$ in $[a,\,b]$ durch die Sehne durch die Parabel durch die Punkte $(a,\,f(a))$, $H = (\frac{a+b}{2}, f(\frac{a+b}{2}))$ und $(b,\,f(b))$. $$Q_{ST} = \frac{b-a}{6}\cdot [ f(a) + + 4\cdot f(\frac{a+b}{2}) + f(b)]$$ Stützpunkte: $a,\, \frac{a+b}{2},\, b$ \end{minipage} \begin{minipage}[c]{120pt} \flushright \vspace*{0pt} \begin{picture}(110,80) \put(0,10){\vector(1,0){110}} \put(10,0){\vector(0,1){80}} \multiput(30,8)(0,4){6}{\line(0,1){2}} \put(30,33){\circle*{2}} \put(12,20){$\scriptstyle f(a)$} \multiput(90,8)(0,4){13}{\line(0,1){2}} \put(90,60){\circle*{2}} \put(93,34){$\scriptstyle f(b)$} \qbezier(30,33)(55,70)(90,60) \multiput(60,8)(0,4){13}{\line(0,1){2}} \put(51,0){$\scriptstyle \frac{a+b}{2}$} \qbezier(30,33)(45,40)(60,59) \qbezier(60,59)(75,75)(90,60) \qbezier(90,60)(95,55)(100,47) \qbezier(20,30)(25,31)(30,33) \put(60,59){\circle*{2}} \put(3,72){$\scriptstyle y$} \put(102,3){$\scriptstyle x$} \put(28,1){$\scriptstyle a$} \put(88,1){$\scriptstyle b$} \end{picture} \end{minipage} \subsubsection{Summierte Integrationsformel}\index{Summierte Integrationformel} Wir zerlegen das Integrationsintervall $[a,\,b]$ durch die Stützstellen $x_k = a + k \cdot h$ wobei $h = \frac{b-a}{n}$ und $k = 0,\,1,\, \ldots ,\, n$ ist, in $n$ Teilintervalle der Länge $h$. $(x_0 = a,\, x_n = b)$. $$\int\limits_a^b f(x)\; dx = \sum\limits_{k=1}^{n}\;\int\limits_{x_k - 1}^{x_k}\!\!\! f(x) \; dx$$ \subsection{Satz: Summierte Sehnentrapezformel} ist $f$ auf $[a,\,b]$ integrierbar, so ist $$Q_{st}^n = \frac{k}{2} \cdot \left[f(a) + 2\cdot \sum\limits_{k=1}^{n-1} f(x_k) + f(b)\right]$$ ein Näherungswert für $\int_a^b f(x)\; dx$ ($x_k$ und $k$ wie oben). Ist $f$ auf $[a,\,b]$ zweimal stetig differenzierbar, dann gilt: $$|R| \leq \frac{(b-a)^3}{12\cdot n^2} \; \max\limits_{a\leq x \leq b} |f''(x)|$$ \subsection{Beispiel} $\displaystyle\int\limits_0^1 e^{-4x^2}\;\; dx \qquad n = 10, \;\; k = \frac{b-a}{n} = \frac{1}{10}, \;\; x_k = a + k\cdot h = \frac{k}{10}$ \begin{tabular}{lll} $k$ & $x_k$ & $f(x_k)$ \\ \hline 0 & 0 & 1\\ 1 & $0,\!1$ & $0,\!960789\ldots$ \end{tabular} \smallskip \dots bis $k = 10$ ausfüllen \dots \smallskip $$Q_{ST}^{10} = \frac{1}{20} \cdot \left(f(0) + 2\cdot \sum\limits_{k=1}^{9} f(x_k) + f(1)\right) = 0,\!440919\dots$$ Absoluter Fehler: $$|R| \leq \frac{(b-1)^3}{12\cdot n^2} \cdot \max_{a \leq x \leq b} \left|f''(x)\right| = \frac{1^3}{12\cdot 10^2} \cdot 8 = 0,00\overline{6}$$ $f''(x) = (-8 + 64 x) \cdot e^{-4x^2} \Rightarrow$ Maximum bei $x=0$, Max $= 8$ \subsection{Satz: Summierte Simpson'sche Formel} $f$ sei auf $[a,\,b]$ integrierbar. Zerlegt man $[a,\,b]$ durch $x_k = a + k\cdot h$, $k = 0,\,1,\,2,\, \dots ,\, 2n$ in $2n$ (!) Teilintervalle der Länge $h = \frac{b-a}{2n}$ dann ist $$Q_{S}^n = \frac{h}{3} \cdot \left[f(a) + 2\cdot \sum\limits_{k=1}^{n-1} f(x_{2k}) + 4 \cdot \sum\limits_{k=1}^{n} f(x_{2k-1}) + f(b)\right]$$ ein Näherungswert für $\int_a^b f(x)\; dx$. Ist $f$ auf $[a,\,b]$ viermal stetig differenzierbar, dann gilt: $$\left|R\right| \leq \frac{(b-a)^5}{2880\cdot n^4} \cdot\max_{a\leq x \leq b} \left|f^{(4)}(x)\right|$$ \subsection{Beispiel} $\int_1^2 \frac{1}{x} \; dx \qquad ( = \ln x\Big|_1^2 = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2 = 0,\!693147\dots)$ \smallskip $n = 4,\; h = \frac{b-a}{2n} = \frac{1}{8} = 0,\!125$ \bigskip \begin{tabular}{cccc} $k$ & $x_k$ & $f(x_k)$ ($k$ gerade) & $f(x_k)$ ($k$ ungerade) \\ \hline 0 & 1 & 1 & ---\\ 1 & $1,\!125$ & --- & $0,\!888889$\\ $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$& $\vdots$\\ 8 & 2 & $0,\!5$ & ---\\ \hline & & $2 \sum = 2 \cdot 2,\!038096$ & $4 \sum = 4 \cdot 2,\!764880$ \end{tabular} \begin{flushleft} Als Näherungswert für das Integral erhalten wir: $$Q_S^4 = \frac{0,\!125}{3} \cdot (1 + 2\cdot 2,\!038096 + 4\cdot 2,\!764880 + \frac{1}{2}) = 0,\!693155$$ Abschätzung des absoluten Fehlers: $f^{(4)} (x) = \frac{24}{x^5} \Rightarrow \max\limits_{1 < x < 2} f^{(4)}(x) = 24$ $$|R| \leq \frac{(2-1)^5}{2880 \cdot 4^4} \cdot 24 \approx 0,\!325 \cdot 10^{-4}$$ \end{flushleft} \begin{description} \item[Bemerkung:] In jedem Rechner sind die Funktionswerte $f(x_k)$ mit Rundungsfehlern behaftet. Während der Verfahrensfehler mit wachsendem $n$ stets \emph{kleiner} wird, \emph{wächst} die Summe der Rundungsfehler und kann schließlich größer als der Verfahrensfehler werden. \end{description} \section{Anwendungen der Differential-- und Integralrechnung} \subsection{Kurven in der Ebene} \begin{flushleft} \emph{explizite Form:}\index{explizite Form (Kurve)} Es sei $f:D_f \longrightarrow \mathbb{R}$ eine reelle Funktion. Die zugehörige Kurve ist eine Punktmenge $\{(x,\,f(x)) : x \in D_f\} \subset \mathbb{R}^2$. \begin{description} \item[Beispiel:] $f(x) = \frac{1}{x}, \; D_f = \mathbb{R} \smallsetminus \{0\}$ \end{description} \emph{implizite Form:}\index{implizite Form (Kurve)} Es sei $F(x,\,y)$ eine Funktion von 2 Variablen (reell). Die zugehörige Kurve ist die Menge aller Punkte $(x,\,y)$ für die $F(x,\,y) = 0$ gilt. \begin{description} \item[Beispiele:] \quad \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})} \item $F(x,\,y) = x^2 + y^2 - R^2 \quad (R > 0)$ $\Rightarrow$ Kreis vom Radius $R$, Mittelpunkt (0,0). \item $F(x,\,y) = (x-x_0)^2 - (y-y_0)^2 - R^2$ $\Rightarrow$ Kreis vom Radius $R$, Mittelpunkt $(x_0,\,y_0)$ \item $F(x,\,y) = \displaystyle\left(\frac{x-x_0}{a}\right)^2 + \left(\frac{y-y_0}{b}\right)^2 - R^2 \; (a,\, b > 0)$ $\Rightarrow$ Ellipse \item $F(x,\,y) = \displaystyle\left(\frac{x}{a}\right)^2 - \left(\frac{y}{b}\right)^2 = 0$ $\Rightarrow$ Hyperbel \end{enumerate} \end{description} \emph{Parameterdarstellung}:\index{Parameterdarstellung (Kurve)} Es seien $x(t)$ und $y(t)$ auf einem Intervall $I$ definierte Funktionen. Zugehörige Kurve: $\{(x(t),\, y(t)) : t \in I\}$. \begin{description} \item[Beispiele:] \quad \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})} \item $x(t) = \cos t \qquad y(t) = \sin t \qquad 0 \leq t \leq 2\cdot \pi$ $\Rightarrow$ Kreis mit Radius 1. $x^2 + y^2 = \cos^2 t + \sin^2 t = 1$ \item $x(t) = a \cdot \cos t \qquad y(t) = b \cdot \sin t$ $\Rightarrow$ Ellipse \item $x(t) = r\cdot t - c\cdot \sin t$ \qquad $y(t) = r - c \cdot \cos t$ $\Rightarrow$ Zykloide (s. SigMath) \item $x(t) = 1+ t \qquad y(t) = 2 -3\cdot t \qquad (t \in \mathbb{R})$ $\Rightarrow$ Parameterdarstellung einer Geraden \end{enumerate} \end{description} \vspace*{0.5cm} \begin{minipage}[c]{8.5cm} \emph{Polarkoordinaten:}\index{Polarkoordinaten} man nennt die dem Punkt $P$ auf diese Weise zugeordneten Zahlen $\varphi$ und $r$ die \emph{Polarkoordinaten} von $P$. \smallskip Zusammenhang mit dem kartesischen Koordinatensystem: \smallskip $x = r \cdot \cos \varphi$ \hfill $y = r \cdot \sin \varphi$\hfill $r = \sqrt{x^2 + y^2}$. \end{minipage} \begin{minipage}[c]{110pt} \flushright \begin{picture}(100,90) \put(0,10){\vector(1,0){100}} \put(10,0){\vector(0,1){90}} \put(10,10){\line(1,1){50}} \put(60,60){\circle*{2}} \put(62,62){$P(x,\,y)$} \put(90,3){$x$} \put(2,80){$y$} \put(32,42){$r$} \qbezier(30,10)(32,20)(27,27) \put(21,15){$\varphi$} \put(27.2,27){\vector(-2,3){0}} \end{picture} \end{minipage} \vspace*{0.5cm} \emph{explizite Beschreibung} von Kurven mit Polarkoordinaten: $\{(\varphi,\, r(\varphi)) : \varphi \in I\}$ wobei $r(\varphi)$ eine Funktion auf $I$ ist. \begin{description} \item[Beispiele:] \quad \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})} \item $r(\varphi) = R > 0 \qquad I = [0,\,2\pi]$ $\Rightarrow$ Kreis mit Radius $R$ und Mittelpunkt $(0,\,0)$ \item $r(\varphi) = e^{c\cdot \varphi} \qquad \varphi \in \mathbb{R}$ $\Rightarrow$ \emph{Logarithmische Spirale} \end{enumerate} \end{description} \end{flushleft} \subsection{Bogenlänge einer ebenen Kurve}\index{Bogenlänge (Kurve)} Eine Kurve sei in expliziter Form $y=f(x) \; (f : [a,\,b] \longrightarrow \mathbb{R}, \textnormal{ stetig differenzierbar})$. Wir wollen die Länge der Kurve definieren. Zerlegung $Z$ des Intervalls $[a,\,b]$: $x_0 = a < x_1 < x_2 < \cdots < x_n = b$. \begin{center} \begin{picture}(180,110) \put(0,15){\vector(1,0){180}} \put(10,5){\vector(0,1){105}} \put(3,101){$y$} \put(172,7){$x$} \multiput(30,13)(20,0){7}{\line(0,1){4}} \qbezier(30,30)(30,60)(50,60) \qbezier(50,60)(61,60)(70,50) \qbezier(70,50)(80,37)(90,32) \qbezier(90,32)(100,28)(110,36) \qbezier(110,36)(124,46)(130,65) \qbezier(130,65)(136,80)(150,85) \put(30,30){\circle*{2}} \put(50,60){\circle*{2}} \put(70,50){\circle*{2}} \put(90,32){\circle*{2}} \put(110,36){\circle*{2}} \put(130,65){\circle*{2}} \put(150,85){\circle*{2}} \qbezier(30,30)(30,30)(50,60) \qbezier(50,60)(50,60)(70,50) \qbezier(70,50)(90,32)(90,32) \qbezier(90,32)(110,36)(110,36) \qbezier(110,36)(110,36)(130,65) \qbezier(130,65)(130,65)(150,85) \put(22,6){$\scriptstyle a = x_0$} \put(47.5,6){$\scriptstyle x_1$} \put(67,6){$\scriptstyle \cdots$} \put(84,6){$\scriptstyle x_{k-1}$} \put(108,6){$\scriptstyle x_{k}$} \put(127,6){$\scriptstyle \cdots$} \put(143,6){$\scriptstyle b = x_n$} \put(125,85){$\scriptstyle f(x)$} \end{picture} \end{center} Streckenzug mit der Länge \[s_Z = \sum\limits_{i=1}^{n} \sqrt{(x_i - x_{i-1})^2 + (f(x_i) - f(x_{i-1}))^2}\] Vereinfachung durch Anwendung des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung: $f(x_i) - f(x_{i-1}) = (x_i -x_{i-1})\cdot f'(t_i)$ mit einem $t_i \in [x_{i-1},\,x_i]$, daher \[s_Z = \sum\limits_{i=1}^n \sqrt{1+f'(t_i)^2} \cdot (x_i - x_{i-1})\] was der Zwischensumme für das Integral $\int\limits_a^b \sqrt{1+f'(x)^2}\;dx$ entspricht. $f'$ stetig $\Rightarrow \sqrt{1+(f')^2}$ stetig $\Rightarrow$ integrierbar, also: \[\lim_{\Delta(Z) \to 0} s_Z = \int\limits_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\;dx\] \subsection{Definition: Bogenlänge} Stetig differenzierbare Funktion $f$ gegeben. Dann verstehen wir unter der \emph{Bogenlänge} zwischen den Punkten $(a,\,f(a))$ und $(b.\,f(b))$ die Zahl \[s_Z = \int\limits_a^b \sqrt{1 + f'(x)^2}\;dx\] Es sei jetzt $c: (x(t),\,y(t))$, $t \in [a,\,b]$ eine \emph{glatte} Kurve (glatt heißt: $x$ und $y$ sind stetig und differenzierbar und $x'(t)^2 + y'(x)^2 \ne 0$, $t \in [a,\,b]$. \index{glatte Kurve} Dann gilt: \[s_Z = \int\limits_a^b \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2}\; dx\] \begin{description} \item[Bemerkung:] Die explizite Darstellung einer Kurve ist ein Spezialfall der Parameterdarstellung. $(x,\,f(x))$, $x \in [a,\,b] \rightarrow$ in Parameterdarstellung $\rightarrow x(t) = t$, $y(t) = f(t)$, $t \in [a,\,b]$. \end{description} \subsection{Beispiele} \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})} \item $f(x) = \cosh x$ \hspace{2cm} Bogenlänge über $[a,\,b]$ $\displaystyle s_Z = \int\limits_a^b\underbrace{\sqrt{1+(\sinh x)^2}}_{\sqrt{\cosh^2}}\; dx = \int\limits_a^b \cosh x\; dx = \sinh x\bigg|_a^b = \sinh b - \sinh a$ \item Länge eines Ellipsenbogens, Parameterdarstellung $x(t) = a \cdot \cos t \hspace{2cm} (a,\,b > 0,\, t \in [0,\,2\pi])$ $y(t) = b \cdot \sin t$ \smallskip Wegen der Symmetrie gilt für den Umfang der Ellipse: $s = 4\cdot \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{a^2\cdot \sin^2 t + b^2\cdot \cos^2 t}\; dt = 4\cdot\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{b^2 + (a^2 - b^2)\cdot\sin^2 t}\; dt$ Dieses Integral ist nicht elementar. Es wird (vollständiges) \emph{elliptisches Integral} 2. Ordnung genannt\index{elliptisches Integral} \begin{description} \item[Spezialfall:] $a = b = R$ (Kreis) $s = 4\cdot \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{R^2 + 0}\; dt = 2\cdot \pi \cdot R$ \end{description} \newpage \item Bogenlänge einer Kardioide. Beschreibung in Polarkoordinaten: \begin{minipage}[c]{7.6cm} $$r = f(\varphi) = a \cdot (1+\cos \varphi) \qquad \varphi \in [0,\,2\pi]$$ Ist eine glatte Kurve in Polarkoordinaten durch $r = f(\varphi),\; \varphi \in [\varphi_1,\,\varphi_2]$ beschrieben, so gilt: \[s = \int\limits_{\varphi_1}^{\varphi_2}\sqrt{f'(\varphi)^2 + f(\varphi)^2}\;d\varphi\] \end{minipage} \begin{minipage}[c]{110pt} \flushright \begin{picture}(100,80) \put(0,40){\vector(1,0){100}} \put(50,0){\vector(0,1){80}} \qbezier(30,40)(15,40)(15,50) \qbezier(15,50)(15,60)(30,60) \qbezier(30,60)(69,60)(70,40) \qbezier(30,40)(15,40)(15,30) \qbezier(15,30)(15,20)(30,20) \qbezier(30,20)(69,20)(70,40) \put(95,35){$\scriptstyle x$} \put(53,75){$\scriptstyle y$} \end{picture} \end{minipage} \begin{description} \item[Bemerkung:] Darstellung in Polarkoordinaten läßt sich in Parameterdarstellung umwandeln \begin{tabular}{lll} $x = r\cdot \cos \varphi$ & $\Rightarrow$&$x(t) = f(t) \cdot \cos t$\\ $y = r\cdot \sin \varphi$ & $\Rightarrow$&$ y(t) = f(t) \cdot \sin t$ \end{tabular} \end{description} Aufgrund der Symmetrie gilt: \[s = 2\int\limits_0^{\pi}\!\! \sqrt{a^2\cdot \sin^2\varphi + a^2(1+cos\varphi)} \; d\varphi = 2 a \sqrt{2} \int\limits_0^{\pi}\!\!\sqrt{1+\cos\varphi}\; d\varphi\] Wegen $\cos 2x = 2\cdot \cos^2 x - 1$ gilt $\cos \underbrace{2x}_{\varphi} + 1 = 2 \cdot \cos^2 \underbrace{x}_{\frac{\varphi}{2}}$ \[s = 2 a \sqrt{2}\int\limits_0^{\pi} \sqrt{2} \cdot \cos \frac{\varphi}{2}\; d\varphi = 4 a \cdot 2 \cdot \sin\frac{\varphi}{2}\bigg|_0^{\pi} = 8a\] \end{enumerate} \subsection{Flächeninhalt}\index{Flächeninhalt (Integration)} \subsubsection{Berandung durch zwei Funktionen} \begin{minipage}[c]{7.6cm} Die Fläche zwischen den Funktionen $f$ und $g$ mit $g(x) \leq f(x)$ entspricht folgender Punktmenge: $\{(x,\,y) : a \leq x \leq b,\, g(x) \leq y \leq f(x)\}$ \[A = \int\limits_a^b f(x) - g(x)\] \end{minipage} \begin{minipage}[c]{110pt} \flushright \begin{picture}(100,80) \put(0,10){\vector(1,0){100}} \put(10,0){\vector(0,1){80}} \multiput(20,8)(60,0){2}{\line(0,1){4}} \put(18,1){$\scriptstyle a$} \put(78,1){$\scriptstyle b$} \qbezier(20,30)(50,18)(80,30) \qbezier(20,60)(35,65)(50,55) \qbezier(50,55)(65,50)(80,60) \multiput(20,30)(0,4){8}{\line(0,1){2}} \multiput(80,30)(0,4){8}{\line(0,1){2}} \put(46,35){$A$} \put(83,27){$g$} \put(83,57){$f$} \end{picture} \end{minipage} \subsubsection{Berandung in Polarkoordinaten} \begin{minipage}[c]{8.5cm} Wir betrachten eine Fläche, die durch die Kurve $r = f(\varphi)$, sowie die beiden Halbgeraden $\varphi = \alpha$ und $\varphi = \beta$ berandet wird.\newline \textbf{Annäherung} durch Kreissektorflächen: Zerlegung $Z$ des Intervalls $[\alpha, \beta] : \alpha = \varphi_0 < \varphi_1 < \varphi_2 < \cdots < \varphi_n = \beta$. In jedem Teilintervall wird eine Zwischenstelle $t_k \in [\varphi_{k-1},\,\varphi_{k}]$ und die Fläche der zugehörigen Kreissektorflächen mit den Radien $f(t_k)$ angenähert. \end{minipage} \begin{minipage}[c]{120pt} \flushright \begin{picture}(110,100) \put(0,10){\vector(1,0){110}} \put(10,0){\vector(0,1){100}} \put(10,10){\line(1,3){27}} \put(10,10){\line(2,1){80}} \qbezier(37,91)(43,71)(63,70) \qbezier(63,70)(74,70)(90,50) \put(10,10){\line(1,1){56.5}} \put(10,10){\line(3,5){40}} \qbezier(49.5,76.6)(58,76.6)(66.5,66.5) \multiput(10,10)(6.24,7){9}{\qbezier(0,0)(0,0)(3.12,3.5)} \put(61,73){$\scriptstyle t_k$} \qbezier(30,10)(30,16)(28,19) \put(21,11.5){$\scriptstyle \alpha$} \qbezier(10,40)(15,43)(19,39) \put(11,30){$\scriptstyle \beta'$} \put(71,73){$\scriptstyle \varphi_{k-1}$} \put(49,82){$\scriptstyle \varphi_{k}$} \put(60, 20){$\scriptstyle \beta' = \frac{\pi}{2}-\beta$} \end{picture} \end{minipage} $A_k$ : Kreissektorfläche mit Radius $f(t_k)$ und Flächeninhalt $\frac{1}{2} \cdot$ Winkel $\cdot$ Radius$^2 = \frac{1}{2} \cdot (\varphi_k - \varphi_{k-1}) \cdot f(t_k)^2$.\\ Näherungswert für den Flächeninhalt $A$: \[A \approx \sum\limits_{k=1}^{n} \underbrace{\frac{1}{2} \cdot (\varphi_k - \varphi_{k-1}) \cdot f(t_k)^2}_{= A_k}\] als Zwischensumme für $\frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} f(\varphi)^2\; d\varphi$. \smallskip Ist $f$ stetig, so erhalten wir: \[A = \lim\limits_{\Delta Z \to 0} \frac{1}{2} \sum\limits_{k=1}^{n} f(t_k)^2 \cdot (\varphi_k - \varphi_{k-1}) = \frac{1}{2} \int\limits_{\alpha}^{\beta} f(\varphi)^2\; d\varphi\] \subsubsection{Berandung in Parameterdarstellung} \begin{minipage}[c]{8.5cm} Besitzt ein ebenes Gebiet als Berandung eine glatte Kurve $c: (x(t),\, y(t)),\; t \in [t_1,\,t_2]$ (und zwei Strahlen), dann gilt \[A = \frac{1}{2} \int\limits_{t_1}^{t_2} x(t) \cdot y'(t) - x'(t) \cdot y(t) \; dt\] \end{minipage} \begin{minipage}[c]{120pt} \flushright \begin{picture}(100,100) \put(5,5){\circle*{3}} \put(5,5){\line(5,1){80}} \put(5,5){\line(1,2){37}} \put(85,21){\circle*{2}} \put(42,79){\circle*{2}} \put(89,17){$P(t_1)$} \put(34,83){$P(t_2)$} \qbezier(42,79)(60,79)(66,50) \qbezier(66,50)(70,35)(85,21) \put(70,53){$c$} \put(40,35){$A$} \end{picture} \end{minipage} \subsection{Beispiele} \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})} \item Kardioide: $r = f(\varphi) = a \cdot (1+ \cos \varphi) \qquad ( 0 \leq \varphi 2\pi)$ $A = \frac{1}{2}\int\limits_0^{2\pi} a^2 (1+\cos \varphi)^2\; d\varphi = \frac{a^2}{2} \int\limits_0^{2\pi} 1 + 2\cdot \cos \varphi + \underbrace{\cos^2 \varphi}_{\frac{1+\cos^2\varphi}{2}}\;d\varphi$ $= \frac{a^2}{2} \left[\varphi + 2\cdot \sin \varphi + \frac{\varphi + \frac{1}{2} \sin 2\varphi}{2}\right]_0^{2\pi} = \frac{a}{3} \cdot 3\pi$ \item Ellipse: $x(t) = a \cdot \cos t \qquad y(t) = b \cdot \sin t \qquad t \in [0,\, 2\pi] \quad (a,\,b > 0)$ $A = \frac{1}{2} \int\limits_0^{2\pi} a \cdot \cos t \cdot b \cdot \cos t - (-a \cdot \sin t) \cdot b \cdot \sin t \; dt = \frac{ab}{2} \int\limits_0^{2\pi} \underbrace{\cos^2 t + \sin^2 t}_{1}\; dx$ $A = \frac{ab}{2}\cdot 2\pi = a\cdot b \cdot \pi$ Spezialfall Kreis: $a = b = r \Rightarrow A = r^2\cdot \pi$ \end{enumerate} \subsection{Volumen und Oberflächeninhalt von Rotationskörpern}\index{Volumen v. Rotationskörpern} \index{Rotationskörper} \index{Oberflächeninhalt v. Rot.körp.} \begin{description} \item[Rotationskörper:] Körper, die dadurch entstehen, daß eine ebene Kurve um eine Achse rotiert, die in der gleichen Ebene liegt. Im Weiteren: Ebene: $x-y$--Ebene, Rotationsachse: $x$--Achse. \item[Meridian:] Das rotierende Kurvenstück \end{description} \begin{center} \begin{picture}(200,100) \put(0,50){\vector(1,0){200}} \put(10,0){\vector(0,1){100}} \put(192,42){$x$} \put(1,92){$y$} \qbezier(25,50)(100,130)(175,50) \put(25,30){\line(0,1){40}} \multiput(25,30)(0,40){2}{\line(1,0){22}} \multiput(47,17)(22,0){2}{\line(0,1){66}} \multiput(47,17)(0,66){2}{\line(1,0){22}} \multiput(69,11)(22,0){2}{\line(0,1){78}} \multiput(69,11)(0,78){2}{\line(1,0){22}} \multiput(91,11)(22,0){2}{\line(0,1){78}} \multiput(91,11)(0,78){2}{\line(1,0){22}} \multiput(113,18)(22,0){2}{\line(0,1){63}} \multiput(113,18)(0,63){2}{\line(1,0){22}} \multiput(135,32)(22,0){2}{\line(0,1){35}} \multiput(135,32)(0,35){2}{\line(1,0){22}} \qbezier(180,40)(185,42)(185,50) \qbezier(180,60)(185,58)(185,50) \put(180,39){\vector(-3,-2){0}} \end{picture} \end{center} Volumen eines Zylinders: Grundfläche mal Höhe. Näherungswert für das Volumen eines Rotationskörpers: Summe der Zylindervolumen $V_k$. Zerlegung: $a = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_n = b$, $t_k \in [x_{k-1},\,x_k]$. \[V_k = \underbrace{\pi\cdot f^2}_{\textnormal{\scriptsize{Grundfläche}}} \cdot \underbrace{(x_k - x_{k-1})}_{\textnormal{\scriptsize{Höhe}}}\] \[V \approx \sum\limits_{k=1}^{n} V_k = \sum\limits_{k=1}^{n} \pi \cdot f(t_k) \cdot (x_k - x_{k-1}) \stackrel{\Delta Z \to 0}{\longrightarrow} \pi\int\limits_a^b f^2(x) \; dx\] \subsubsection{Mantelflächeninhalt} \[O = 2\cdot \pi \int\limits_a^b |f(x)| \cdot \sqrt{1 + f'(x)^2}\; dx\] Regeln für die Parameter-- und Polarkoordinatendarstellung: Formelsammlung. \subsection{Volumen eines Rotationsellipsoids} \begin{minipage}[c]{70pt} \begin{picture}(60,40) \put(0,15){\vector(1,0){60}} \put(30,0){\vector(0,1){40}} \qbezier(10,15)(30,40)(50,15) \multiput(10,13)(40,0){2}{\line(0,1){3}} \put(1,5){$-a$} \put(47,5){$a$} \put(35,12){$\circlearrowleft$} \put(33,29){$b$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}[c]{9cm} \[f(x) = \frac{b}{a} \sqrt{a^2 - x^2} \qquad x \in [-a,\, a]\] \[\textnormal{(da } \left(\frac{x}{a}\right)^2 + \left(\frac{y}{b}\right)^2 = 1 \longrightarrow \textnormal{ nach } y \textnormal{ umstellen)}\] \end{minipage} \smallskip $V = \pi \cdot \int\limits_{-1}^{1} \frac{b^2}{a^2} \cdot (a^2 - x^2)\; dx = \frac{\pi \cdot b^2}{a^2} \left[a^2 \cdot x - \frac{x^3}{3}\right]_{-a}^{a} = \frac{4}{3}\cdot \pi \cdot a \cdot b^2$ \smallskip Spezialfall: $a = b = r$ (Kugel) \qquad $V = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3$ \subsection{Krümmung ebener Kurven}\index{Krümmung ebener Kurven} \begin{description} \item[Definition:] $c$ sei eine glatte Kurve, $s$ die von einem beliebigen Kurvenpunkt $Q$ aus gemessene Bogenlänge und $\alpha(s)$ der zugehörige Neigungswinkel der Tangenten zur $x$--Achse. Dann heißt $k = \frac{d\alpha}{ds}$ (falls er existiert) die \emph{Krümmung} von $c$ im Punkt $P = P(S)$. \end{description} $c$ sei explizit durch $y = f(x)$ auf $[a,\,b]$ gegeben ($f$ zwei mal differenzierbar). {\flushleft \begin{minipage}[c]{7cm} $Q = (a,\, f(a))$. $s(x)$ sei die Bogenlänge von $Q$ bis zum Punkt $P(x,\,f(x))$. \[s(x) = \int\limits_a^x \sqrt{1 + f'(u)^2}\; du\] \end{minipage} \begin{minipage}[c]{150pt} \flushright \begin{picture}(140,90) \put(0,10){\vector(1,0){140}} \put(10,0){\vector(0,1){90}} \qbezier(30,30)(55,75)(80,50) \qbezier(80,50)(100,32)(120,45) \put(30,30){\circle*{2}} \put(58,58.5){\circle*{2}} \put(58,58.5){\line(5,1){30}} \put(58,58.5){\line(-5,-1){30}} \put(85,70){$t$} \put(54,63){$P$} \put(21,21){$Q$} \put(42,39){$s(x)$} \multiput(30,8)(28,0){2}{\line(0,1){4}} \put(120,8){\line(0,1){4}} \put(27,0){$a$} \put(55,0){$x$} \put(117,0){$b$} \put(132,2){$x$} \put(0,82){$y$} \end{picture} \end{minipage} \bigskip $\displaystyle \frac{ds}{dx} = \sqrt{1 + f'(x)^2}$ \quad (Hauptsatz der Diff.-- und Int.--Rechnung) \bigskip $f' = \tan \alpha \Rightarrow \alpha = \arctan f'$ \quad (Winkel der Tangente) \begin{eqnarray*} k &=& \frac{d\alpha}{ds} \stackrel{(1)}{=} \frac{d\alpha}{dx}\cdot\frac{dx}{ds} = \frac{d\, \arctan f'}{dx}\cdot \underbrace{\frac{dx}{ds}}_{(2)} = \frac{f''}{1+f'^2} \cdot \frac{1}{\frac{dx}{dx}} = \\ & =& \frac{f''}{1+f'^2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + f'^2}} = \frac{f''}{(1+f'^2)^{\frac{3}{2}}} \end{eqnarray*} $(1)$ : Kettenregel anwenden $(2)$ : Ableitung der inversen Funktion } \subsection{Beispiele} \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})} \item $f(x) = cx + d$ \qquad (Gerade) $f'(x) = c \qquad f''(x) = 0$ $\Rightarrow k(x) = 0$ für alle Punkte der Geraden, d.h. keine Krümmung. \item $f(x) = \sqrt{R^2 - x^2} \quad x \in [-R,\,R]$ \qquad (Kreis) $k(x) = \frac{f''(x)}{\sqrt{1 + f'(x)^2}} = - \frac{1}{R}$ \end{enumerate} \subsection{Anwendung der Taylor--Entwicklung} In der relativistischen Mechanik wird einem freien Teilchen mit der Masse $m$ und Geschwindigkeit $v$ die \emph{Energie} \[E = \frac{m\cdot c^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\] zugeordnet ($c$ : Lichtgeschwindigkeit). {\flushleft Für $v = 0$ beträgt $E = m\cdot c^2$ und wird \emph{Ruheenergie} genannt. \smallskip Der klassische Ausdruck für die \emph{kinetische Energie} ist $\displaystyle \frac{m\cdot v^2}{2}$. \smallskip Wir zeigen: $E \approx m\cdot c^2 + \frac{m\cdot v^2}{2}$ wenn $v$ klein ist gegenüber $c$. \smallskip Wir führen die Funktion $f(x) = \frac{m\cdot c^2}{\sqrt{1-x}} = m \cdot c^2\cdot(1-x)^{-\frac{1}{2}}$ ein. \smallskip Taylor'sche Formel für $f$ im Punkt $0$: \[f(x) = f(0) + f'(0) \cdot x + \frac{f''(x) \cdot x^2}{2} + \cdots + R_n(x)\] $f(0) = m\cdot c^2$ $f'(x) = \frac{1}{2} \cdot m \cdot c^2 (1-x)^{-\frac{3}{2}} \quad f'(0) = \frac{1}{2}\cdot m \cdot c^2 $ $f''(x) = \frac{3}{4} \cdot m \cdot c^2 (1-x)^{-\frac{5}{2}} \quad f''(0) = \frac{3}{4}\cdot m \cdot c^2 $ \begin{eqnarray*} f(x) & = & m \cdot c^2 \cdot \left[1 + \frac{1}{2}x + \frac{3}{8}x^2 + \cdots\right] + R_n(x)\\ & = & m \cdot c^2 \cdot \left[1 + \frac{v^2}{2\cdot c^2} + \frac{3\cdot v^4}{8\cdot c^4} + \cdots\right] + R_n\left(\frac{v^2}{c^2}\right) \end{eqnarray*} } \subsection{Flächenschwerpunkt}\index{Flächenschwerpunkt} Gegeben sei eine homogene Grundfläche in der $x$--$y$--Ebene, Begrenzung durch die $x$--Achse, die Geraden $x=a$, $x = b$ und die Kurve $y = f(x)$. Koordinaten für den Flächenschwerpunkt:\newline \begin{minipage}[c]{9cm} \[x_S = \frac{\int_a^b x \cdot f(x) \; dx}{\int_a^b f(x)\; dx} \qquad y_S = \frac{\frac{1}{2} \int_a^b f^2(x)\; dx}{\int_a^b f(x)\; dx}\] \end{minipage} \begin{minipage}[c]{100pt} \begin{picture}(100,60) \put(5,10){\vector(1,0){95}} \put(12,5){\vector(0,1){55}} \put(3,53){$\scriptstyle y$} \put(93,2){$\scriptstyle x$} \multiput(20,8)(25,0){3}{\line(0,1){4}} \put(18,1){$\scriptstyle a$} \put(68,1){$\scriptstyle b$} \put(73,42){$\scriptstyle f$} \qbezier(20,40)(32.5,45)(45,40) \qbezier(45,40)(57.5,35)(70,40) \multiput(20,14)(50,0){2}{\multiput(0,0)(0,4){7}{\line(0,1){2}}} \put(10,25){\line(1,0){4}} \put(0,23){$\scriptstyle y_S$} \put(41,2){$\scriptstyle x_S$} \put(45,25){\circle*{2}} \put(47,23){$\scriptstyle S$} \end{picture} \end{minipage} \begin{description} \item[Beispiel:] Schwerpunkt eines Dreiecks \begin{minipage}[c]{8cm} $f(x) = \frac{h}{b} \cdot x$ \bigskip $x_S = \displaystyle\frac{\int_a^b x \cdot \frac{h}{b}\cdot x\; dx}{\int_a^b \frac{h}{b} \cdot x \; dx} = \frac{\int_a^b x^2 \; dx}{\int_a^b x\;dx} = \frac{2}{3}\cdot b$ \bigskip $y_S = [\dots] = \frac{h}{3}$ \end{minipage} \begin{minipage}[c]{100pt} \begin{picture}(80,70) \put(5,10){\vector(1,0){75}} \put(13,5){\vector(0,1){65}} \put(3,63){$\scriptstyle y$} \put(73,2){$\scriptstyle x$} \put(13,10){\line(1,1){50}} \put(63,8){\line(0,1){52}} \put(14,2){$\scriptstyle 0 = a$} \put(61,2){$\scriptstyle b$} \put(46.3,8){\line(0,1){4}} \put(43,2){$\scriptstyle x_S$} \put(11,27){\line(1,0){4}} \put(0,25){$\scriptstyle y_S$} \put(46.3,27){\circle*{2}} \put(48.3,25){$\scriptstyle S$} \end{picture} \end{minipage} \end{description} \subsection{Schwerpunkt eines homogenen Rotationskörpers} Meridian: $y = f(x) \qquad x \in [a,\,b]$ \bigskip Für den Schwerpunkt $S = (x_S,\,y_S,\,z_S)$ gilt: $y_S = z_S = 0$ und \[x_S = \frac{\int_a^b x \cdot f^2(x) \; dx}{\int_a^b f^2(x)\; dx}\] \begin{description} \item[Beispiel:] Schwerpunkt der Hälfte eines Rotationsellipsoides $\displaystyle \left(\frac{x}{a}\right)^2 + \left(\frac{y}{b}\right)^2 = 1 \Rightarrow f(x) = \frac{b}{a}\cdot\sqrt{a^2 - x^2}$ $\displaystyle x_S = \frac{\int_0^a x\cdot \frac{b^2}{a^2} \cdot (a^2 - x^2)\;dx }{\int_0^a \frac{b^2}{a^2} \cdot (a^2-x^2)\;dx} = \frac{\int_0^a a^2x - x^3\;dx }{\int_0^a a^2-x^2\;dx} = \frac{3}{8}\cdot a$ \end{description} \printindex \end{document}