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\date{Zuletzt aktualisiert:\\\today}
\author{Fabian~Kurz\\\href{http://fkurz.net/}{http://fkurz.net/}}
\title{Mathematik I/2 für Elektrotechniker -- SS 04\\Prof. Dr. Sasv\'ari\\Mitschrift}
\begin{document}
\maketitle
\pagenumbering{Roman}
\tableofcontents

\setcounter{chapter}{9}
\chapter{Differentialrechnung für Funktionen mehrerer Variablen}
\pagenumbering{arabic}

\section{Grundbegriffe}
\subsection{Der zweidimensionale Raum}
Unter dem \emph{zweidimensionalen} Raum $\mathbb{R}^2$ versteht man die Menge aller geordneten Paare reeller Zahlen. Seine Elemente heißen \emph{Punkte}.


$$\mathbb{R}^2 = \left\{(x,y):x\in \mathbb{R} , y \in \mathbb{R}\right\}$$

\begin{tabular}{lll} \index{Koordinaten, kartesische} \index{kartesische Koordinaten} \index{Polarkoordinaten} \index{Koordinaten, Polar} 
$x$ und $y$ &:& \emph{kartesische Koordinaten}\\ 
$(r,\; \varphi)$ &:& \emph {Polarkoordinaten},  $r \geq 0,\; 0 \leq \varphi \leq 2\pi$
\end{tabular}

\subsubsection{Es gilt:}

\begin{tabular}{ll}
$x = r\cdot \cos \varphi$ & $y = r \cdot \sin \varphi$\\\\
$r = \sqrt{x^2 + y^2}$ & $\tan\varphi = \frac y x \quad (x \ne 0)$\\\\
$\varphi = \frac{\pi}{2}$ wenn $x = 0$, $y > 0$ &
$\varphi = \frac{3\pi}{2}$ wenn $x = 0$, $y < 0$
\end{tabular}

\vspace{0.5cm}
\begin{flushleft}

\emph{Abstand} des Punktes $P(x,\,y)$ vom Nullpunkt $(0,\,0,\,0)$:
$$|P| = \sqrt{x^2+y^2}$$
Abstand der Punkte $P_1(x_1,\,y_1)$ und $P_2(x_2,\,y_2)$:
$$|P_1-P_2| = \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2}$$

\begin{minipage}[c]{9.5cm}
Es sei $P_0 \in \mathbb{R}^2$ und $\varepsilon > 0$. Die Menge
$$U_{\varepsilon}(P_0) = \left\{P\in\mathbb{R}^2:|P-P_0| < \varepsilon\right\}$$
heißt die (offene) \emph{$\varepsilon$--Umgebung} des Punktes $P_0$ (Kreisscheibe ohne Berandung).
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{80pt}
\begin{picture}(80,80)
\setlength{\unitlength}{1.5pt} 

\put(30,30){\circle{30}}
\put(30,30){\circle*{1}}
\put(23,24){$P$}
\put(34,31){$\varepsilon$}

\qbezier(30,30)(30,30)(38.4,40)


\end{picture}
\end{minipage}

\bigskip

\begin{minipage}[c]{9.5cm}
Es sei $D \subset \mathbb{R}^2$. Der Punkt $P\in\mathbb{R}^2$ heißt

\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})}   \index{innerer Punkt} \index{Punkt, innerer} \index{Punkt, Randpunkt} \index{Randpunkt}
\item \emph{innerer Punkt} von $D$, wenn es eine Umgebung $U_{\varepsilon}(P)$ gibt, die in $D$ liegt (z.B. $P_1$)
\item \emph{Randpunkt} von $D$, wenn in jeder Umgebung $U_{\varepsilon}(P)$ sowohl ein Punkt von $D$ als auch von $\mathbb{R}^2\smallsetminus D$ liegt (z.B. $P_2$)
\end{enumerate}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{85pt}

\begin{picture}(80,100)
\qbezier(15,80)(40,115)(65,75)
\qbezier(15,80)(0,55)(20,35)
\qbezier(20,35)(25,30)(20,25)
\qbezier(20,25)(5,12)(30,4)
\qbezier(30,4)(110,-8)(65,75)
\put(3,85){$D$}
\put(32,31){$P_1$}
\put(45,28){\circle*{2.5}}
\put(65.75,74){\circle*{2.5}}
\put(67,76){$P_2$}
\end{picture}
\end{minipage}


\end{flushleft}\index{Rand} \index{offene Menge} \index{Menge, offen} \index{abgeschlossene Menge} \index{Menge, abgeschlossen} 
Die Menge aller Randpunkte heißt der \emph{Rand} von $D$. Die Menge $D$ heißt \emph{offen}, wenn jeder Punkt $P \in D$ ein innerer Punkt ist. $D$ heißt \emph{abgeschlossen}, wenn $\mathbb{R}^2 \smallsetminus D$ offen ist.

\subsubsection{Beispiele}

\begin{flushleft}
\begin{minipage}[c]{8.5cm}
$D_1 = \left\{(x,\,y) : 1 < x < 3,\; -1 < y < 2\right\} \subset \mathbb{R}^2$

\bigskip

$(2,1)$ : innerer Punkt

$(1,1)$ : Randpunkt, $(1,1) \not\in D_1$

\smallskip

$D_1$ ist offen
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{100pt}
\begin{picture}(100,80)
\setlength{\unitlength}{1pt} 
\put(0,25){\vector(1,0){100}}
\put(15,0){\vector(0,1){80}}
\multiput(14,5)(0,20){4}{\line(1,0){2}}
\put(0,2){$-1$}
\put(7,42){$1$}
\put(7,62){$2$}
\put(20,74){$y$}
\multiput(35,24)(20,0){3}{\line(0,1){2}}
\put(27,13){$1$}
\put(52,13){$2$}
\put(78,13){$3$}

\multiput(35,5)(40,0){2}{\multiput(0,0)(0,4){15}{\line(0,1){2}}}
\multiput(35,5)(0,60){2}{\multiput(0,0)(4,0){10}{\line(1,0){2}}}

\end{picture}
\end{minipage}

\vspace{0.75cm}

\begin{minipage}[c]{8.5cm}
$D_2 = \left\{(x,\,y) : 1 \leq x \leq 3,\; -1 \leq y \leq 2\right\}$

\bigskip

$D_2$ ist abgeschlossen

\vspace{0.75cm}

\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{100pt}
\begin{picture}(100,80)
\setlength{\unitlength}{1pt} 
\put(0,25){\vector(1,0){100}}
\put(15,0){\vector(0,1){80}}
\multiput(14,5)(0,20){4}{\line(1,0){2}}
\put(0,2){$-1$}
\put(7,42){$1$}
\put(7,62){$2$}
\put(20,74){$y$}
\multiput(35,24)(20,0){3}{\line(0,1){2}}
\put(27,13){$1$}
\put(52,13){$2$}
\put(78,13){$3$}

\multiput(35,5)(40,0){2}{\multiput(0,0)(0,4){15}{\line(0,1){4}}}
\multiput(35,5)(0,60){2}{\multiput(0,0)(4,0){10}{\line(1,0){4}}}

\end{picture}
\end{minipage}

\vspace{0.75cm}

\begin{minipage}[c]{8.5cm}
$D_3 = \left\{(x,\,y) : 1 \leq x < 3,\; -1 < y \leq 2\right\}$

\bigskip

$D_3$ ist weder abgeschlossen noch offen

\vspace{0.75cm}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{100pt}
\begin{picture}(100,80)
\setlength{\unitlength}{1pt} 
\put(0,25){\vector(1,0){100}}
\put(15,0){\vector(0,1){80}}
\multiput(14,5)(0,20){4}{\line(1,0){2}}
\put(0,2){$-1$}
\put(7,42){$1$}
\put(7,62){$2$}
\put(20,74){$y$}
\multiput(35,24)(20,0){3}{\line(0,1){2}}
\put(27,13){$1$}
\put(52,13){$2$}
\put(78,13){$3$}

\multiput(75,5)(0,4){15}{\line(0,1){2}}
\multiput(35,5)(4,0){10}{\line(1,0){2}}

\put(35,5){\line(0,1){60}}
\put(35,65){\line(1,0){40}}


\end{picture}
\end{minipage}
\end{flushleft}

\index{beschränkte Menge} \index{Menge, beschränkt} \index{Menge, unbeschränkt} \index{unbeschränkte Menge}

$D \subset \mathbb{R}^2$ heißt \emph{beschränkt}, wenn es eine Zahl $A$ gibt, so daß für alle $P \in D$ gilt $|P| \leq A$, andernfalls heißt $D$ \emph{unbeschränkt}.


\subsection[Der drei-- und der n--Dimensionale Raum]{Der drei-- und der $n$--Dimensionale Raum}

Unter dem \emph{dreidimensionalen Raum} $\mathbb{R}^3$ versteht man die Menge aller geordneten Tripel reeller Zahlen.
$$\mathbb{R}^3 = \left\{(x,\,y,\,z) : x \in \mathbb{R},\; y \in \mathbb{R},\; z \in \mathbb{R}\right\}$$
Abstand der Punkte $P_1 = (x_1,\,y_1,\,z_1)$ und $P_2 = (x_2,\,y_2,\,z_2)$:
$$|P_1-P_2| = \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2 + (z_1-z_2)^2}$$
Die Definitionen aus 10.1.1. lassen sich einfach auf $\mathbb{R}^3$ übertragen ($\varepsilon$--Umge\-bung, innerer Punkt, \ldots).

\subsubsection{Zylinderkoordinaten ($r$, $\varphi$, $z$)}
\index{Zylinderkoordinaten} \index{Koordinaten, Zylinder}

\smallskip
\begin{flushleft}
\begin{minipage}[c]{7.2cm}
Es sei $P = (x,\,y,\,z) \in \mathbb{R}^3$.

\bigskip

Dann bezeichnen:
\begin{description}
\item[$r$] den Abstand des Punktes $P$ von der $z$--Achse. $r = \sqrt{x^2+y^2}$
\item[$\varphi$] den Winkel der Strecke von $(0,\,0,\,0)$ nach $P'=(x,\,y,\,0)$ gegen die positive Richtung der $x$--Achse, im mathematisch positiven Sinn mit $0 \leq \varphi \leq 2\pi$.
\item[$z$] wie bei den kartesischen Koordinaten
\end{description}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{150pt}
\begin{picture}(150,170)
\put(75,50){\vector(2,-1){60}}
\put(75,50){\vector(-2,-1){60}}
\put(75,50){\vector(0,1){90}}
\put(49,37){\line(2,-1){45}}
\put(94,14.5){\line(2,1){26}}
\put(94,14.5){\line(0,1){75}}
\multiput(75,50)(0,75){2}{\qbezier(0,0)(0,0)(19,-35.5)}
\put(10,25){$x$}
\put(137,25){$y$}
\put(80,138){$z$}
\multiput(94,14.5)(0,75){2}{\circle*{2}}
\put(96,7){$\scriptstyle P'(x,\,y,\,0)$}
\put(97,91){$\scriptstyle P(x,\,y,\,z)$}
\put(63,22){$\scriptstyle y$}
\put(109,17){$\scriptstyle x$}
\put(70,40){$\scriptstyle \varphi$}
\multiput(87,33)(0,75){2}{$\scriptstyle r$}
\qbezier(61,43)(67,33)(82,36)
\end{picture}
\end{minipage}

\subsubsection{Umrechnungsformeln}

$x = r \cdot \cos \varphi$

\smallskip

$y = r \cdot \sin \varphi$

\smallskip

$z = z$


\subsubsection{Kugelkoordinaten ($r$, $\varphi$, $\vartheta$)}

\index{Kugelkoordinaten} \index{Koordinaten, Kugel}

Es sei $P = (x,\,y,\,z) \in \mathbb{R}^3$.

\bigskip

Dann bezeichnen:

\begin{description}
\item[$r$] den Abstand des Punktes $P$ vom Ursprung $(0,\,0,\,0)$.
\item[$\varphi$] wie bei den Zylinderkoordinaten
\item[$\vartheta$] der Winkel, den die Strecke vom Ursprung $(0,\,0,\,0)$ nach $P \ne (0,\,0,\,0)$ mit der positiven Richtung der $z$--Achse bildet, wobei $0 \leq \vartheta \leq \pi$.
\end{description}

\begin{minipage}[c]{7.2cm}
Das sind die sogenannten \emph{astronomischen Kugelkoordinaten}. Geographische Kugelkoordinaten: $\vartheta = \frac{\pi}{2} - \vartheta$.

\subsubsection{Umrechnungsformeln}

$x = r\cdot \cos \varphi \cdot \sin \vartheta$

\smallskip

$y = r\cdot \sin \varphi \cdot \sin \vartheta$

\smallskip

$z = r\cdot \cos \vartheta$

\smallskip

$r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$



\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{150pt}
\begin{picture}(150,170)
\put(75,50){\vector(2,-1){60}}
\put(75,50){\vector(-2,-1){60}}
\put(75,50){\vector(0,1){90}}
\put(49,37){\line(2,-1){45}}
\put(94,14.5){\line(2,1){26}}
\put(94,14.5){\line(0,1){75}}
\multiput(75,50)(0,75){2}{\qbezier(0,0)(0,0)(19,-35.5)}
\put(10,25){$x$}
\put(137,25){$y$}
\put(80,138){$z$}
\multiput(94,14.5)(0,75){2}{\circle*{2}}
\put(96,7){$\scriptstyle P'(x,\,y,\,0)$}
\put(97,91){$\scriptstyle P(x,\,y,\,z)$}
\put(63,22){$\scriptstyle y$}
\put(109,17){$\scriptstyle x$}
\put(70,40){$\scriptstyle \varphi$}
\put(87,109){$\scriptstyle r \cdot \sin \vartheta$}
\qbezier(61,43)(67,33)(82,36)
\qbezier(75,50)(75,50)(94,89.5)
\qbezier(75,75)(81,77)(86,73)
\put(77,65){$\scriptstyle \vartheta$}
\put(86,64){$\scriptstyle r$}
\end{picture}
\end{minipage}
\end{flushleft}

\subsection{Beispiele}
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})}
\item 
Die Kreisscheibe\\                        %% bah!!  aber so gehts am schnellsten
\begin{minipage}[c]{7cm}
$$D = \left\{(x,\,y) : x^2 + y^2 < 9\right\}$$
wird in Polarkoordinaten durch
$$0 \leq r < 3 \qquad 0 \leq \varphi < 2\pi$$
beschrieben.
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{130pt}

\begin{picture}(120,80)

\put(00,30){\vector(1,0){120}}
\put(60,0){\vector(0,1){80}}
\put(60,30){\circle{40}}
\thicklines
\put(80,27){\line(0,1){6}}
\put(79,18){$3$}
\put(57,50){\line(1,0){6}}
\put(63,51){$3$}
\put(110,21){$x$}
\put(63,72){$y$}
\end{picture}

\end{minipage}

\item 
\begin{minipage}[c]{7cm}
$$2 < r \leq 5 \qquad 0 < \varphi < \pi$$
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{4cm}
\includegraphics[width=4cm]{20040407-1}    %% bahpfui!! x-fig.
\end{minipage}

\item Die Menge $\{(x,\,y,\,z) :  1 \leq x \leq 3,\; 0 \leq y \leq 3, \; 1 \leq z \leq 4\}$ ist ein Quader.

\begin{center}
\begin{picture}(150,150)
\put(50,50){\vector(1,0){90}}
\put(50,50){\vector(0,1){90}}
\put(50,50){\vector(-1,-1){40}}
\multiput(45,55)(4,0){15}{\line(1,0){2}}
\multiput(45,55)(0,4){15}{\line(0,1){2}}
\put(45,115){\line(1,0){60}}
\put(105,115){\line(0,-1){60}}
\qbezier(45,55)(45,55)(44,54)
\qbezier(43,53)(43,53)(42,52)
\qbezier(41,51)(41,51)(40,50)
\qbezier(39,49)(39,49)(38,48)
\qbezier(37,47)(37,47)(36,46)
\qbezier(35,45)(35,45)(34,44)
\qbezier(33,43)(33,43)(32,42)
\qbezier(31,41)(31,41)(30,40)
\qbezier(29,39)(29,39)(28,38)
\qbezier(27,37)(27,37)(26,36)
\put(85,35){\line(1,1){20}}
\multiput(45,115)(60,0){2}{\line(-1,-1){20}}
\multiput(25,35)(60,0){2}{\line(0,1){60}}
\multiput(25,35)(0,60){2}{\line(1,0){60}}
\put(95,35){\vector(1,1){20}}
\put(115,55){\vector(-1,-1){20}}
\put(117,56){$\scriptstyle 1$}
\put(87,27){$\scriptstyle 3/3$}
\put(25,30){\vector(1,0){60}}
\put(85,30){\vector(-1,0){60}}
\put(12,28){$\scriptstyle 1/0$}
\put(15,97){$\scriptstyle 4$}
\put(18,35){\vector(0,1){60}}
\put(18,95){\vector(0,-1){60}}

\put(53,132){$z$}
\put(132,41){$y$}
\put(16,8){$x$}

\end{picture}
\end{center}

\item Der Kreiszylinder ist durch ein System von Ungleichungen zu beschreiben.

$$Z = \left\{(x,\,y,\,z) : \sqrt{x^2 + y^2} \leq R,\, 1 \leq z \leq 4\right\}$$
$$Z = \left\{(x,\,y,\,z) : - R \leq x \leq R,\; \sqrt{R^2-x^2} \leq y \leq \sqrt{R^2-x^2}\right\}$$
\begin{minipage}[c]{100pt}
\begin{picture}(100,100)
\put(50,20){\vector(1,0){50}}
\put(50,70){\vector(0,1){30}}
\put(50,20){\line(0,1){15}}
\multiput(50,37)(0,4){10}{\line(0,1){2}}
\put(50,20){\vector(-1,-1){20}}
\put(92,11){$y$}
\put(53,93){$z$}
\put(22,0){$x$}
\put(50,70){\line(1,0){20}}
\put(55,76){$R$}
\put(50,40){\circle*{2}}
\put(50,70){\circle*{2}}
\qbezier(70,70)(70,75)(50,75)
\qbezier(70,70)(70,65)(50,65)
\qbezier(30,70)(30,75)(50,75)
\qbezier(30,70)(30,65)(50,65)
\qbezier(70,40)(70,35)(50,35)
\qbezier(30,40)(30,35)(50,35)
\multiput(30,40)(40,0){2}{\line(0,1){30}}
\qbezier(30,40)(30.5,42)(32,42.8)
\qbezier(35,43.7)(36,44)(37,44.2)
\qbezier(40,44.6)(41,44.7)(42,44.8)
\qbezier(45,44.9)(46,44.9)(47,45)
\qbezier(70,40)(69.5,42)(68,42.8)
\qbezier(65,43.7)(64,44)(63,44.2)
\qbezier(60,44.6)(59,44.7)(58,44.8)
\qbezier(55,44.9)(54,44.9)(53,45)
\put(49,45.2){\line(1,0){2}}
\end{picture}
\end{minipage}
\begin{minipage}[b]{8cm}
\center In Zylinderkoordinaten:
$$0 \leq r \leq R, \quad 0 \leq \varphi < 2\pi, \quad 1 \leq z \leq 4$$

\vspace{0.3cm}

\end{minipage}

\item Der Kegel ist in Zylinderkoordinaten zu beschreiben

\bigskip

\begin{minipage}[c]{100pt}
\begin{picture}(100,100)
\put(50,20){\vector(1,0){50}}
\put(50,70){\vector(0,1){30}}
\multiput(50,20)(0,4){20}{\line(0,1){2}}
\put(50,20){\vector(-1,-1){20}}
\put(92,11){$y$}
\put(53,93){$z$}
\put(22,0){$x$}
\put(50,70){\line(1,0){20}}
\put(55,76){$R$}
\put(50,70){\circle*{2}}
\qbezier(70,70)(70,75)(50,75)
\qbezier(70,70)(70,65)(50,65)
\qbezier(30,70)(30,75)(50,75)
\qbezier(30,70)(30,65)(50,65)
\qbezier(50,20)(30,70)(30,70)
\qbezier(50,20)(70,70)(70,70)
\end{picture}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{8cm}
$$0 \leq r \leq R$$

$$0 \leq \varphi < 2\pi$$

$$\frac{h}{R}\cdot r = z \leq h$$ 
\end{minipage}

\item Eine Kugel vom Radius $R$ mit Mittelpunkt $(0,\,0,\,0)$ wird in Kugelkoordinaten $(r,\,\varphi,\,\eta)$ durch
$$a \leq r \leq R, \quad 0 \leq \varphi < 2\pi,\quad 0 \leq \eta < 2\pi$$
beschreiben.

\item Kugelausschnitt mit dem Öffnungswinkel $\frac{\pi}{2}$


\bigskip

\begin{minipage}[c]{100pt}
\begin{picture}(100,100)
\put(50,20){\vector(1,0){50}}
\put(50,85){\vector(0,1){15}}
\multiput(50,22)(0,4){20}{\line(0,1){2}}
\put(50,20){\vector(-1,-1){20}}
\put(92,11){$y$}
\put(53,93){$z$}
\put(22,0){$x$}
\qbezier(90,70)(90,65)(50,65)
\qbezier(10,70)(10,65)(50,65)
\qbezier(50,20)(10,70)(10,70)
\qbezier(50,20)(90,70)(90,70)
\qbezier(10,70)(20,85)(50,85)
\qbezier(90,70)(80,85)(50,85)
\end{picture}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{8cm}


$$ 0 \leq r \leq R,\quad 0 \leq \varphi < 2\pi , \quad 0 \leq \eta \leq \frac{\pi}{4}$$
\end{minipage}

\end{enumerate}

\subsection{Definition}

\index{Raum, $n$--Dimensional}

Unter dem \emph{$n$--Dimensionalen Raum} ($n = 1,\,2,\ldots$) versteht man die Menge aller geordneten $n$--Tupel ($x_1,\, \ldots \, , \, x_n$) reeler Zahlen. Die Zahl 
$$|P-Q| = \sqrt{(x_1 - y_1)^2 + \cdots + (x_n-y_n)^2}$$
heißt der \emph{Abstand} der Punkte $P = (x_1,\, \ldots ,\, x_n)$ und $Q = (y_1,\, \ldots\, ,\,y_n)$.
Man übernimmt die Bezeichnungen aus dem dreidimensionalen Fall. $U_{\varepsilon}(P)$ heißt eine ($n$--dimensionale) \emph{Kugel} vom Radius $\varepsilon$ mit Mittelpunkt $P$.

\smallskip

Es sei $P_k = \left(x_1^{(k)}, \ldots, x_n^{(k)}\right),\; k  = 1,\,2,\, \ldots$ eine Punktfolge in $\mathbb{R}^n$ und $P = (a_1,\, \ldots ,\, a_n) \in \mathbb{R}^n$. Die Punktfolge $\Big\{P_k\Big\}^{\infty}_{k=1}$ heißt \emph{konvergent} gegen den Punkt $P$ wenn $\lim\limits_{k \to \infty} |P_k - P| = 0$.

\bigskip

Schreibweise: $\lim\limits_{k \to \infty} P_k = P$

\bigskip

Man kann zeigen:
$$\lim_{k \to \infty} P_k = P \Leftrightarrow \lim\limits_{k \to \infty} x^{(k)}_i = a_i \quad (i = 1,\,\ldots \, , \, n)$$


\subsection{Beispiele}

\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})} 


\item \quad \\ 
\begin{tabular}{l@{$\,$}c@{$\,$}l@{}c@{$\,$}l@{$\;$}c@{$\,$}l@{$\;$}c@{}l}
$P_k$ & $=$ & $\Big($ &$\frac{k}{k+1}$ &, &$\left(\frac{2}{3}\right)^k $&, &$\frac{2}{k}$ &$\Big) \in \mathbb{R}^3 \qquad (k = 1,\,2,\,3,\, \ldots)$\\
   &  &  &$\Big\downarrow$ & & $\Big\downarrow$ & & $\Big\downarrow$\\
$P$ & $=$ & $\Big($ & 1 & , & 0 & , &  0 & $\Big)$
\end{tabular}


$\lim\limits_{k \to \infty} P_k = (1,\,0,\,0)$


\item $P_k = \Big(\frac{1}{k},\; k\Big) \in \mathbb{R}^3$

nicht konvergent (die Punkte $P_k$ liegen auf der Hyperbel $y = \frac{1}{x}$).

\bigskip

 $\{P_k\}$ ist unbeschränkt.

\item $P_k = (\cos k,\; \sin k) \in \mathbb{R}^2$

 \bigskip

$|P_k| = 1$ \qquad Punkte liegen auf Einheitskreis.

\bigskip

 Man kann zeigen: $\{P_k\}$ ist nicht konvergent.

\end{enumerate}
\newpage

\section{Stetige Funktionen mehrerer Variablen}

Im Folgenden: $D_f \subset \mathbb{R}^n$ :  Definitionsbereich der Funktion $f: D_f \longrightarrow \mathbb{R}$

\subsection{Beispiele}

\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})}

\item $$\displaystyle f(x,\,y,\,z) = x + \frac{y\cdot z}{y+z}$$
$$D_f = \left\{(x,\,y,\,z) : y + z \ne 0\right\} = \mathbb{R}^3 \smallsetminus \{\textnormal{die Ebene } y + z = 0\}$$

\item $$f(x,\,y) = (x-2)^2 + 2y \qquad D_f = \mathbb{R}^2$$

\item $$f(x,\,y) = \frac{x\cdot y}{x^2 + y^2} \qquad D_f = \mathbb{R}^2 \smallsetminus \{(0,0)\}$$

Mit Polarkoordinaten $(r,\,\varphi)$:
$$x = r\cdot \cos \varphi, \quad y = r\cdot \sin \varphi, \quad r^2 = x^2 + y^2$$
$$f(x,\,y) = \frac{r\cdot \cos \varphi \cdot r \cdot \sin \varphi}{r^2} = \cos \varphi \cdot \sin\varphi = \frac{1}{2} \cdot \sin 2\varphi$$

$\Rightarrow |f(x,\,y)| \leq \frac{1}{2} \Rightarrow f$ ist beschränkt. Funktionswert unabhängig vom Abstand zu $(0,\,0,\,0)$.

\end{enumerate}


\subsection{Definition}\index{Stetigkeit}

Eine Funktion $f$ heißt \emph{im Punkt $P \in D_f$ stetig}, wenn für jede gegen $P$ konvergierende Punktfolge $\{P_K\}$ gilt:
$$\lim_{K \to \infty}f(P_K) = f(P)$$
$f$ heißt \emph{in $D_f$ stetig}, wenn $f$ in jedem Punkt $P$ aus $D_f$ stetig ist.

Äquivalente Definition: Zu jedem $\varepsilon > 0$ existiert ein $\delta > 0$, so daß für alle Punkte $Q$ aus $U_{\delta}(P) \cap D_f$ gilt:
$$\left| f(P) - f(Q)\right| < \varepsilon$$

\subsection{Beispiele}
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})}
\item Die Funktion $f(x,\,y,\,z) = x$ ist auf $\mathbb{R}^3$ stetig.

Die Funktion $f(x,\,y) = x\cdot y$ ist auf $\mathbb{R}^2$ stetig.

\item Die Funktion $f(x,\,y) = \left\{\begin{array}{ll}\frac{xy}{x^2+y^2} & (x,\,y) \ne (0,\,0)\\0 & (x,\,y) = (0,\,0)\end{array}\right.$ ist im Punkt $P(0,0)$ nicht stetig.
\newpage
Wähle $P_K = \left(\frac{1}{k},\,\frac{1}{k}\right)$ die gegen $(0,\,0)$ konvergiert. Dann ist $$f(P_K) =\frac{\frac{1}{k}\cdot\frac{1}{k}}{\left(\frac{1}{k}\right)^2 + \left(\frac{1}{k}\right)^2} = \frac{1}{2} \ne 0 = f(0,\,0)$$

Wähle $P_K = \left(\frac{1}{k},\,\frac{a}{k}\right)$, $y = ax$.
Dann ist $$f(P_K) =\frac{\frac{a}{k^2}}{\frac{1}{k^2} \cdot (1 + a^2)}= \frac{a}{(1+a^2)} = \frac{1}{2} \ne 0 \textnormal{ für } a \ne 0$$


\item Die Funktion $f(x,\,y) = \left\{\begin{array}{ll}\frac{(xy)^2}{x^2+y^2} & (x,\,y) \ne (0,\,0)\\0 & (x,\,y) = (0,\,0)\end{array}\right.$ ist stetig auf $\mathbb{R}^2$.

\smallskip

Wähle $P_K = (x_k,\,y_k)$ beliebig.
$$\lim_{x_k,\,y_k \to 0} \frac{(x_ky_k)^2}{{x_k}^2+{y_k}^2} =   \lim_{x_k,\,y_k \to 0} \frac{1}{\left(\frac{1}{x_k}\right)^2+ \left(\frac{1}{y_k}\right)^2} = 0$$ 
\end{enumerate}


\subsection{Satz}
$(f,\,g : \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R})$
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\roman{enumi})}
\item Sind $f$ und $g$ stetig im Punkt $P$, so sind auch $f+g$, $f\cdot g$ und $c\cdot g$ $(c \in \mathbb{R})$ in $P$ stetig.

\item Ist $g(P) \ne 0$, dann ist auch $\frac{f}{g}$ in $P$ stetig.

\item Ist die Funktion $F:\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ auf $\mathbb{R}$ stetig, so ist auch $F(f)$ in $P$ stetig.
\end{enumerate}
Beispiele:

\smallskip

$e^{x^2+y^2}$ ist stetig auf $\mathbb{R}^2$

\smallskip

$\sin(x^2+y^2+e^z)$ ist stetig auf $\mathbb{R}^3$

\subsection{Definition: Beschränktheit}\index{Beschränktheit}

Die auf $D_f \subset \mathbb{R}^n$ definierte Funktion $f$ heißt \emph{beschränkt}, wenn es eine Zahl $A$ gibt, so daß für alle $P \in D_f$ gilt:
$$\left|f(P)\right| \leq A$$

{\flushleft Beispiele:}

\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})}
\item $f(x,\,y) = \sin (x+e^{xy}) \qquad |f(x,\,y)| \leq 1 \Rightarrow f$ ist beschränkt 
\item Die Funktion $f(x,\,y) = \frac{xy}{x^2+y^2} \qquad D_f = \mathbb{R}^2 \smallsetminus \{0,\,0\}$

$\displaystyle f(x,\,y) = \tilde{f}(r,\,\varphi) = \frac{r^2\cos\varphi\sin\varphi}{r^2(\cos^2\varphi + \sin^2\varphi)} = \cos\varphi\cdot\sin\varphi = \frac{1}{2} \sin 2\varphi$
\end{enumerate}

\subsection{Satz}

Der Wertebereich einer auf einer abgeschlossenen beschränkten Menge stetigen Funktion ist beschränkt. Die Funktion nimmt auf dieser Menge ihr Maximum und auch ihr Minimum an.

{\flushleft Beispiel: Die Funktion $f(x,\,y) = \displaystyle\frac{1}{x}+y$ ist auf der Menge $D_f = \{(x,\,y) : 0 < x \leq 2,\; 0\leq y \leq 1\}$ stetig aber nicht beschränkt, da $D_f$ \emph{nicht} abgeschlossen ist.}

\subsection{Höhenlinien (Niveaulinien), Niveauflächen}\index{Höhenlinien} \index{Niveaulinien, flächen}

\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})}
\begin{minipage}[c]{8cm}
\item $f(x,\,y) = (x-2)^2 + 2y \qquad D_f = \mathbb{R}^2$

\bigskip

In der $x$--$y$--Ebene markieren wir alle Punkte mit gleichem Funktionswert $c$.

\bigskip

$(x-2)^2 + 2y = c\quad  \Rightarrow\quad y = -\frac{1}{2}(x-2)^2 + \frac{c}{2}$

\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{100pt}
\begin{picture}(100,80)
\put(23,74){$\scriptstyle y$}
\put(89,34){$\scriptstyle x$}

\put(0,40){\vector(1,0){95}}
\put(20,0){\vector(0,1){80}}
\multiput(18.5,10)(0,10){7}{\line(1,0){3}}
\put(12,47){$\scriptstyle 1$}
\put(12,67){$\scriptstyle 3$}
\put(5,17){$\scriptstyle -2$}
\put(40,38.5){\line(0,1){3}}
\put(38,31){$\scriptstyle 2$}
\multiput(0,0)(0,10){4}{\qbezier(40,40)(22,38)(14,0)}
\multiput(0,0)(0,10){4}{\qbezier(40,40)(58,38)(66,0)}
\put(69,0){$\scriptstyle c = 0$}
\put(69,10){$\scriptstyle c = 1$}
\put(69,20){$\scriptstyle c = 2$}
\put(69,30){$\scriptstyle c = 3$}
\end{picture}
\end{minipage}

\item $(f(x,\,y,\,z)\; , c\in \mathbb{R})$ Die Menge aller Punkte $(x,\,y,\,z) \in  D_f = \mathbb{R}^3$ für die $f(x,\,y,\,z) =  c$ ist, heißt \emph{Niveaufläche}.

Beispiel: $f(x,\,y,\,z) =\displaystyle \frac{1}{[(x+2)^2 + (y+3)^2 + z^2]^2} = c \qquad c > 0$

\smallskip

$(x-2)^2 + (y+3)^2 + z^2 = \sqrt{\frac{1}{c}}$ : Kugelfläche vom Radius $\left(\frac{1}{c}\right)^{\frac{1}{4}}$ um den Mittelpunkt $(2,\,-3,\,0)$.

\smallskip

Im Fall $c \leq 0$ ist die Niveaufläche die leere Menge.
\end{enumerate}

\section{Partielle Ableitungen} \index{partielle Ableitung}

Graphische Darstellung einer Funktion $f$ von einer Variablen: Kurve mit den Punkten $(x,\,f(x)),\; x\in D_f$.

Graphische Darstellung einer Funktion von zwei Variablen: Fläche mit den Punkten $(x,\,y,\,f(x,\,y)) \in D_f$. Die Frage "`Welche Steigung hat die Fläche an der Stelle $(x,\,y,\,f(x,\,y)) = (P_0,\,f(P_0))?$"' ist sinnlos, denn die Steigung hängt von der Richtung ab, in der man sich von $(P_0,\,f(P_0))$ aus bewegt. Sinnvoll ist aber die Frage "`Welche Steigung hat die Fläche in Richtung der $x$--Achse und welche in Richtung der $y$--Achse?"' oder "`In welcher Richtung ist der Anstieg am größten?"'

\subsection{Definition}

Es sei $f$ eine auf der offenen Menge $D_f \in \mathbb{R}^2$ definierte Funktion und im Punkt $P_0(x_0,\,y_0) \in D_f$ gegeben.

Die Funktion $f$ heißt in diesem Punkt $P_0$ nach $x$ \emph{partiell differenzierbar}, wenn die Funktion $x \to f(x,\,y_0)$ im Punkt $x_0$ differenzierbar ist. Deren Ableitung heißt \emph{partielle Ableitung} von $f$ nach $x$ im Punkt $P_0$.

{\flushleft \textbf{Schreibweise:} $f_x(P_0) \quad $oder$\displaystyle\quad\frac{\partial f}{\partial x}$}


{\flushleft \textbf{Bemerkung:}}
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})}

\item $f_x$ liest man "`$f$ partiell nach $x$"' oder "`$f$ nach $x$"'

\item $\displaystyle f_x(x_0,y_0) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x + h,\, y_0) - f(x,\,y_0)}{h}$

\smallskip

$\displaystyle f_y(x_0,y_0) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x_0 ,\, y+h) - f(x_0,\,y)}{h}$

\end{enumerate}


\subsection{Definition}

Es sei $f$ eine auf der offenen Menge $D_f \subset \mathbb{R}^n$ definierte Funktion, $P_0 = (u_1,\, u_2,\, \ldots \, ,\,u_n) \in D_f$.

$f$ heißt im Punkt $P_0$ nach $x_i$ \emph{partiell differenzierbar}, wenn $x\longrightarrow f(u_1,\, u_2,$ $\ldots \, ,\, u_{i-1},\,u_{i},\,u_{i+1},\, \ldots \, ,\, u_n)$ an der Stelle $u_i$ differenzierbar ist. Ihre Ableitung an der Stelle $u_i$ heißt dann die partielle Ableitung von $f$ nach $x_i$ im Punkt $P_0$.


\begin{flushleft} \textbf{Schreibweise}: $f_{x_i}(P_0) = \displaystyle\frac{\partial f}{\partial x_i}(P_0)$
\end{flushleft}

\subsection{Beispiel}
\begin{eqnarray*}
f(x,\,y,\,z) & = & \sin^2 x + z\cdot e^y\cdot \sqrt{x} +23\\
f_x(x,\,y,\,z) & = & 2 \sin x \cos x + z \cdot e^y \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{x}}\\
f_y(x,\,y,\,z) & = & z\cdot e^y \cdot \sqrt{x}\\
f_z(x,\,y,\,z) & = & e^y\cdot\sqrt{x}
\end{eqnarray*}

\subsection{Definition}
$f$ sei eine auf der offenen Menge $D_f \subset \mathbb{R}^n$ definierte Funktion und dort nach $x$ partiell differenzierbar. Wenn $f_{x_i}$ in $P \in D_f$ nach $x_i$  partiell differenzierbar ist, so heißt diese Ableitung die \emph{zweite partielle Ableitung} von $f$ nach $x_i,\,x_j$ im Punkt $P$. Schreibweise: $f_{{x_i}{x_j}}(P) = \frac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j}(P)$.

\subsection{Beispiel}
Gegeben sei die Funktion: $f(x,y,z) = x^2y + z\cdot\sin(x+y^2)$

\vspace{6pt}

Erste partielle Ableitungen:

\smallskip

$f_x(x,y,z) = 2xy + z\cdot\cos(x+y^2) \cdot 1$

$f_y(x,y,z) = x^2 + z\cdot\cos(x+y^2) \cdot 2y$

$f_z(x,y,z) = 0 + \cos(x+y^2)$

\vspace{6pt}

Zweite partielle Ableitungen:

\smallskip

$\left.\begin{array}{l}
f_{xy} = 2x - 2yz\cdot\sin(x+y^2)\\
f_{yx} = 2x - 2yz\cdot\sin(x+y^2)
\end{array}\right\} f_{xy} = f_{yx}$

\vspace{2pt}

$\;\,f_{zz} = 0$ 


\subsection{Satz} 
Die Funktion $f$ sei auf der offenen Menge $D_f \subset \mathbb{R}^n$ definiert und dort mögen sämtliche partielle Ableitungen bis zur Ordnung $k$ existieren und stetig sein. Dann hängen die partiellen Ableitungen der Ordnung $\leq k$ nicht von der Reihenfolge der Differentiation ab.

\subsection{Satz (Leibnitzsche Regel)} \index{Leibnitzsche Regel}

\begin{minipage}[c]{8cm}
Sei $D_f = \{(x,t) \in \mathbb{R}^2 : a \leq x \leq b,\; \alpha \leq t \leq \beta\}$ und $g$ eine auf $D$ definierte stetige Funktion, $g_x$ auf $D$ stetig. Ferner seien $u$ und $v$ auf $[a,b]$ stetig differenzierbare Funktionen und für alle $x \in [a,b]$ sei $\alpha \leq u(x)\leq \beta$ und $\alpha \leq v(x) \leq \beta$. Dann wird durch
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{115pt}
\flushright

\begin{picture}(100,85)
\put(10,5){\vector(0,1){80}}
\put(5,10){\vector(1,0){95}}
\multiput(9,25)(0,40){2}{\line(1,0){2}}
\multiput(25,9)(50,0){2}{\line(0,1){2}}
\multiput(25,25)(50,0){2}{\line(0,1){40}}
\multiput(25,25)(0,40){2}{\line(1,0){50}}
\put(22,0){$a$}
\put(72,0){$b$}
\put(0,23){$\alpha$}
\put(0,63){$\beta$}
\qbezier(25,30)(30,35)(50,31)
\qbezier(50,31)(60,28)(75,37)
\put(46,33){$\scriptstyle u(x)$}
\qbezier(25,58)(30,55)(50,60)
\qbezier(50,60)(60,63)(75,63)
\put(43,53){$\scriptstyle v(x)$}
\put(90,1){$x$}
\put(2,76){$t$}
\put(76,66){$D$}
\end{picture}
\end{minipage}
$$f(x) = \int\limits_{u(x)}^{v(x)}g(x,t)\;dt$$
eine auf $[a,b]$ differenzierbare Funktion definiert. Weiterhin gilt
$$f'(x) = \int\limits_{u(x)}^{v(x)} g(x)(x,t)\;dt + g(x,\,v(x)) \cdot v'(x) - g(x,u(x))\cdot u'(x) \qquad (x \in [a,b])$$


\subsubsection{Spezialfälle}
\begin{itemize}
\item $\frac{d}{dx} \int\limits_{c}^{d}g(x,t)\,dt = \int\limits_c^d g_x(x,t)\,dt$
\item $\frac{d}{dx}\int\limits_c^xg(x,t)\,dt = \int\limits_c^xg_x(x,t)\,dt + g(x,x) \cdot 1$
\end{itemize}

\subsection{Beispiel}
$$f(x) = \int\limits_x^{x^2} e^{(x-t)^2}\,dt \qquad f'(x) = ?$$

\begin{eqnarray*}
f'(x) &=& \int\limits_x^{x^2} \underbrace{2\cdot (x-t) \cdot e^{(x-t)^2}}_{\textnormal{\small Subst. } y=x-t} \, dt + e^{(x-x^2)}\cdot 2x -1\\
& & [\ldots] \\
 & = & (2x - 1) \cdot e^{(x-x)^2}
\end{eqnarray*}

\section{Extrema der Funktionen mehrerer Variablen}\index{Extrema} \index{absolutes Maximum} \index{Maximum, absolutes} \index{Minimim, absolutes} \index{absolutes Minimum} \index{Minimum, lokales} \index{Maximim, lokales} \index{lokales Maximum}

\subsection{Definition}

Die Funktion $f$ sei auf $D_f \subset \mathbb{R}^n$ definiert und $P_0 \in D_f$. Wenn $f(P_0) \geq f(P)$
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\roman{enumi})}
\item für alle $P\in D_f$ gilt, so sagt man, $f$ habe in $P_0$ ein \emph{absolutes Maximum}.
\item für alle $P\in D_f \cap U$ gilt, wobei $U$ eine geeignete Umgebung von $P_0$ ist, so sagt man, $f$ habe in $P_0$ ein \emph{lokales (relatives) Maximum}.
\end{enumerate}

Die Zahl $f(P_0)$ ist dann (absolutes oder relatives) \emph{Maximum} von $f$.

\smallskip

Absolutes Minimum, lokales Minimum analog.

\subsubsection{Beispiel}
$f(x,y) = (x-3)^2 + y^4 \qquad D_f \in \mathbb{R}^2$

\bigskip

$f(x,y) \geq  0 \quad (\forall  x,y), \quad f(3,0) = 0$

\bigskip

$\Rightarrow $ absolutes Minimum im Punkt $P_0=(3,0)$

\subsection{Satz}

Die Funktion $f$ sei auf der offenen Menge $D_f \subset \mathbb{R}^n$ definiert und besitze in $P \in D_f$ ein relatives Extremum. Wenn die partielle Ableitung $f_{x_i}$ in $P$ existiert, so ist sie Null.
\begin{description}
\item[Beweis:] $f$ hat in $P=(a_1,\ldots , a_n)$ ein relatives Extremum $\Rightarrow g(x) = (a_1, \ldots , a_{i-1} , x , \ldots , a_n)$ hat an der Stelle $a_i$ ein relatives Extremum $\Rightarrow g'(a_i) = 0 = f_{x_i}(a_1,\ldots , a_n)$
\end{description}


\subsection{Beispiel}

Gesucht sind die Extrema der Funktion $f(x,y) = 2x^3-3x^2+y^2$.

\bigskip

$f_x = 6x^2 - 6x = 0 \Rightarrow x = 0$ oder $x = 1$

\smallskip

$f_y = 2y = 0 \Rightarrow y = 0$

\bigskip

Die beiden Lösungen $P_1 = (0,0)$ und $P_2 = (1,0)$ sind Kandidaten für relative Extrema.


\subsection{Satz}

Die Funktion $f$ sei auf der offenen Menge $D_f \subset \mathbb{R}^2$ definiert, im Punkt $P \in D_f$ seien alle partiellen Ableitungen bis zur zweiten Ordnung stetig, ferner sei $f_x(P) = f_y(P) = 0$ und $\Delta(P) = f_{xx}(P) \cdot f_{yy}(P) - f_{xy}(P)^2$.
\newline
Dann gilt:
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\roman{enumi})}
\item Ist $\Delta(P) > 0$, so besitzt $f$ in $P$ ein relatives Extremum, und zwar ein relatives Maximum, wenn $f_{xx}(P) < 0$ (bzw. $f_{yy}(P) < 0$) ist, ein relatives Minimum, wenn  $f_{xx}(P) > 0$ (bzw. $f_{yy}(P) > 0$) ist
\item Ist $\Delta(P) < 0$, so hat $f$ in $P$ kein Extremum
\item Im Fall $\Delta (P) = 0$ kann ein Extremum vorliegen oder nicht.
\end{enumerate}

\subsection{Beispiele}
$f$ aus 10.4.3

\smallskip

$f_{xx} = 12x-6, \quad f_{yy} = 2, \quad f_{xy} = 0 \quad \Rightarrow \Delta(x,y) = 24x - 12$

\bigskip

$\Delta (0,0) = -12 < 0 \quad \Rightarrow$ keine Extremstelle

\smallskip

$\Delta (1,0) = 12 > 0, \quad f_{yy}(1,0) = 2 > 0 \quad \Rightarrow $ rel. Maximum

\subsection{Anwendung: Ausgleichsrechnung}\index{Ausgleichsrechnung}\index{Methode der kleinsten Quadrate}

Gegeben seien $n$ Produkte $P_i = (x_i,y_i) \; i = 1, \ldots , n \; (n > 1)$ die $x_i$ seien nicht alle einander gleich. Es soll eine Gerade $g : y = ax + b$ durch diese Punkte so gelegt werden, daß sie "`möglichst gut"' hindurch geht.
\begin{center}
\begin{picture}(180,110)
\put(5,10){\vector(1,0){180}}
\put(15,0){\vector(0,1){110}}
\put(32,0){5}
\put(59,0){10}
\put(89,0){15}
\put(119,0){20}
\put(149,0){25}
\multiput(35,9)(30,0){5}{\line(0,1){2}}
\multiput(14,20)(0,15){6}{\line(1,0){2}}
\put(8,17){5}
\put(2,32){10}
\put(2,47){15}
\put(2,62){20}
\put(2,77){25}
\put(2,92){30}
\put(6,104){$y$}
\put(174,3){$x$}
\put(5,2){\line(2,1){150}}

\put(35,20){\circle*{2}}
\put(65,25){\circle*{2}}
\put(95,70){\circle*{2}}
\put(125,52){\circle*{2}}
\put(155,75){\circle*{2}}
\put(95,70){\line(0,-1){23}}

\put(84,57){$d_3$}

\put(28,25){$P_1$}
\put(58,38){$P_2$}
\put(88,75){$P_3$}
\put(119,41){$P_4$}
\put(149,63){$P_5$}

\end{picture}
\end{center}
Der Punkt $P_i$ hat in $y$--Richtung den Abstand $d_i = |ax_i + b - y_i|$ von $g$. "`Möglichst gute"' Annäherung heißt, die Summe
$$\sum_{i=1}^{n} {d_i}^2 = \sum_{i=1}^n (ax_i + b - y_i)^2 = f(a,b)$$
soll klein sein, d.h. $a$ und $b$ sollen so bestimmt werden, daß $f(a,b)$ das absolute Minimum annimmt (\emph{Methode der kleinsten Quadrate}).

\smallskip

\begin{description}\item[Notwendige Bedingung:] $f_a(a,b) = 0 \quad f_b(a,b) = 0)$
\end{description}
\begin{eqnarray*}
f_a(a,b) &\!\!=\!\!& \sum_{i=1}^n 2 (ax_i + b -y) \cdot x_i = 2  \left[a\!\cdot\!\sum_{i=1}^n {x_i}^2 + b\!\cdot\!\sum_{i=1}^n x_i - \sum_{i=1}^n x_i y_i\right] = 0\\
f_b(a,b) &\!\!=\!\!& 2 \sum_{i=1}^n (ax_i + b -y) = 2 \left[a\cdot\sum_{i=1}^n {x_i} + n\cdot b  - \sum_{i=1}^n y_i\right] = 0
\end{eqnarray*}

\bigskip

$\Rightarrow$ lineares Gleichungssystem für $a$ und $b$. Lösung:


$$a = \frac{n \sum\limits_{i=1}^n x_i \cdot y_i - \left(\sum\limits_{i=1}^n x_i\right)\cdot\left(\sum\limits_{i=1}^n y_i\right)}{n\cdot \sum\limits_{i=1}^n {x_i}^2 - \left(\sum\limits_{i=1}^n x_i\right)^2} $$

\begin{description}
\item[Beispiel:] An eine Feder hängt man ein Gewicht, sie wird gedehnt. Die Länge $y$ der Feder wird in Abhängigkeit vom Gewicht $x$ gemessen.

Hooksches Gesetz: $y = ax + b$  \qquad Anzahl der Messwerte: $n = 6$

\begin{center}
\begin{tabular}{l|llllll}
 & $P_1$  & $P_2$  & $P_3$  & $P_4$  & $P_5$  & $P_6$ \\
\hline
$x$ & 5 &10 &15 &20 &25 &30\\
$y$ & 34 & 52  &66 &79 & 97 & 110
\end{tabular}
\end{center}

$\Rightarrow a \approx 3,02$ und $b \approx 20,2$ \quad $\sum {d_i}^2 = 9,37$
\end{description}


\subsection{Extrema mit Nebenbedingungen}

Ein Punkt bewege sich in der Ebene $x+y+z = 0$, sein Abstand zum Nullpunkt betrage $A$. Welches ist sein kleinst-- bzw. größtmöglicher Abstand von der $z$--Achse?

\bigskip

Abstand von der $z$--Achse: $\sqrt{x^2+y^2}$

\bigskip

\begin{description}
\item[Aufgabe:] $f(x,y,z) = \sqrt{x^2+y^2} \longrightarrow $ Maximum, Minimum
\item[Nebenbedingungen:] $x+y+z = 0$ und $x^2+y^2+z^2 -1 = 0$
\end{description}

\subsubsection{Allgemeine Berechnung}
\begin{description}
\item[Aufgabe:] $f(x_1,\ldots ,x_n) \longrightarrow$ Extremstellen berechnen
\item[Nebenbedingungen:] \quad \\
$g_1(x_1, \ldots, x_n) = 0$

$\quad\qquad  \vdots$
  
$g_k(x_1, \ldots, x_n) = 0$
\end{description}

\subsubsection{Lösungsmethode}
(Multiplikatorenregel von Lagrange)
\begin{enumerate}
\item Man setzt
$$F(x_1, \ldots , x_n, \lambda_1, \ldots , \lambda_k) = f(x_1,\ldots , x_n) + \sum_{j=1}^{k} \lambda_j \cdot g(x_1,\ldots ,x_n)$$

\item Dann wird das Gleichungssystem
\begin{eqnarray*}
\frac{\partial F}{\partial x_i} (x_1,\ldots,x_n,\lambda_1,\ldots ,\lambda_k) &=& 0 \hspace{3.58cm}(i = 1,\ldots,n)\\
\frac{\partial F}{\partial \lambda_i} (x_1,\ldots,x_n,\lambda_1,\ldots ,\lambda_k) & = & g_j(x_1,\ldots , x_n) = 0 \qquad (j = 1,\ldots, k )
\end{eqnarray*}

gelöst.

\item An den gefundenen Stellen $(x_1,\ldots,x_n)$ können die Extremstellen liegen.
\end{enumerate}

\subsection{Beispiel}
wie oben: $f(x,y,z) = \sqrt{x^2 + y^2} = r$

\bigskip

$\displaystyle f_x  =  \frac{1}{2}(x^2 + y^2)^{-\frac{1}{2}} \cdot 3x = \frac{x}{r}$
\hfill
$\displaystyle f_y  =  \frac{y}{r}$
\hfill
$\displaystyle f_z  =  0$\quad
$$F(x,y,z) = f(x,y,z) + \lambda_1 (x^2+y^2+z^2 +1) + \lambda_2 (x+y+z)$$
Es ergibt sich das Gleichungssystem:
\begin{eqnarray*}
F_x = \frac{x}{r} + 2x\lambda_1 + \lambda_2 &=& 0 \qquad (a)\\
F_y = \frac{y}{r} + 2y\lambda_1 + \lambda_2 &=& 0 \qquad (b)\\
F_z = 0 + 2z\lambda_1 + \lambda_2 &=& 0 \qquad (c) \vphantom{\frac{a}{b}}\\
x^2+y^2+z^2-1 & = & 0 \qquad (d) \vphantom{\frac{a}{b}}\\
x+y+z &=& 0 \qquad (e) \vphantom{\frac{a}{b}}
\end{eqnarray*}
Lösung des Gleichungssystems:

\smallskip

$(a) \cdot y - (b) \cdot x : (y-x) \cdot \lambda_2 = 0 \Rightarrow \lambda_2 = 0$ oder $y = x$

\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{(\arabic{enumi})}}
\item $\lambda_2 = 0$: A aus $(c)$ folgt dann: $z \cdot \lambda_1 = 0 \Rightarrow \lambda_1 = 0$ oder $z=0$

\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{(\arabic{enumi}.\arabic{enumii})}}
\item $z = 0$ dann folgt aus

$(e) \Rightarrow x = -y$

$(d) \Rightarrow x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

\smallskip

$\Longrightarrow P_1\left(\frac{\sqrt{2}}{2};-\frac{\sqrt{2}}{2};0\right) \quad 
P_2\left(-\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2};0\right) $ 

\item $\lambda_1 = 0$ dann folgt aus

$(a)$ und $(b) \Rightarrow x = y = 0$

$(e) \Rightarrow z = 0$ dann ist aber $(d)$ nicht erfüllt!
\end{enumerate}

\item $y = x$ dann folgt aus

$(e)$ und $(d) \Rightarrow x=y=\pm\frac{\sqrt{6}}{6} ;\; z = \mp\frac{\sqrt{6}}{3}$


$\Longrightarrow P_1\left(\frac{\sqrt{6}}{6};\frac{\sqrt{6}}{6};-\frac{\sqrt{6}}{3}\right) \quad 
\Longrightarrow P_2\left(-\frac{\sqrt{6}}{6};-\frac{\sqrt{6}}{6};\frac{\sqrt{6}}{3}\right) $

\end{enumerate}

\smallskip

$f(P_1) = f(P_2) = 1 \qquad f(P_3) = f(P_4) = \frac{\sqrt{3}}{3}$


\begin{flushleft}
Aus geometrischen Gründen ist klar: $P_1$ und $P_2$ haben den größten Abstand, $P_3$ und $P_4$ haben den kleinsten Abstand.
\end{flushleft}

\section{Vollständiges Differential, Anwendungen}\index{vollständiges Differential} \index{Differential, vollständiges} \index{totales Differential} 

\setlength{\parindent}{0pt}

In diesem Abschnitt: $D_f \subset \mathbb{R}^n$ ist offen, $f_{x_i}$ stetig.

\smallskip

Im Abschnitt 5.3. haben wir gesehen:
$$f(x-h) - f(x) \approx f'(x) \cdot h$$
($h$ "`klein"'), $f'(x)\cdot h$ : Differential von $f$ an der Stelle $x$ zum Zuwachs $h$.

\smallskip

Jetzt werden wir die Differenz ($n$ beliebig)
$$f(x_1+h_1,\ldots , x_n+h_n) - f(x_1,\ldots ,x_n)$$
abschätzen ($h$ "`klein"').

\subsection{Definition}

Es sei $P = (x_1,\ldots ,x_n) \in D_f$. Man nennt 
$$df(P) = f_{x_1}(P)\cdot h_1 + \cdots + f_{x_n}(P)\cdot h_n$$
\emph{vollständiges} (oder \emph{totales}) \emph{Differential} von $f$ an der Stelle $P$ zum Zuwachs $(h_1,\ldots ,h_n)$. Oft schreibt man $dx_i$ anstelle von $h_i$:
$$df(P) = f_{x_1}(P)\cdot dx_1 + \cdots + f_{x_n}(P)\cdot dx_n$$

Sind die Zuwächse $dx_i$ klein, so gilt:
$$f(x_1 + dx_1 , \ldots , x_n + dx_n) - f(x_1,\ldots ,x_n) \approx df(P)$$
oder
$$f(x_1 + dx_1 , \ldots , x_n + dx_n) \approx f(x_1,\ldots ,x_n) + df(P)$$

\subsection{Beispiel}

\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})}
\item $f(x,y) = 2x^2 + xy^2 \qquad P = (3;\,-1)$

Vollständiges Differential im Punkt $P$:
$$df(P) = f_x(P) dx + f_y(P) dy = 13dx + 6dy$$
$$(f_x = 4x + y^2 \qquad f_y =2xy)$$

\item Man berechne näherungsweise: $1,\!002 \cdot 2,\!003^2 \cdot 3,\!004^3$

Ansatz: $f(x,y,z) = x\cdot y^2 \cdot z^3$

$x_0 = 1, \; y_0 = 2, \; z_0 = 3 \; \Rightarrow \; P = (x_0,y_0,z_0) = (1,\,2,\,3)$

$f(P) = 1\cdot 2^2 \cdot 3^3 = 108 $

$dx = 0,002,\; dy = 0,003,\; dz = 0,004 \Rightarrow f(x_0 + dx,y_0 +dy , z_0 + dz)$

$f(1,\!002,\,2,\!003,\,3,\!004) \approx f(P) + f_x(P)dx + f_y(P)dy + f_z(P)dz =$ 

$108 + {y_0}^2\cdot {z_0}^3\cdot dx + 2x_0\cdot y_0\cdot {z_0}^3\cdot dy + 3x_0\cdot  {y_0}^2\cdot  {z_0}^2\cdot dz = 108,\!972$

Analog kann man näherungsweise $\sqrt{1,\!02^3+1,\!97^3}$ ($x_0 = 1,\; y_0 = 2$) oder $0,\!97^{1,05}$ ($x_0=y_0=1$) berechnen.
\end{enumerate}

\subsection{Definition: Tangentialebene} \index{Tangentialebene}

Die Ebene $E$ mit der Gleichung 
$$z = f(P_0) + f_x(P_0)(x-x_0) + f_y(P_0)(y-y_0) \qquad (P_0 = (x_0,y_0) \in D_f)$$
heißt die \emph{Tangentialebene}, die durch $z\! =\! f(x,y)$ definierte Fläche im Flächenpunkt $(x_0,y_0, \underbrace{f(x_0,y_0)}_{z_0})$.

Die Tangentialebene geht durch einen Punkt $(x_0,y_0,z_0)$ und \emph{berührt} die Fläche im folgenden Sinne: Jede zur $xy$--Ebene senkrechte Ebene $S$ durch den Punkt $P_0 = (x_0,y_0,z_0)$ schneidet die Tangentialebene $E$ in einer Geraden, die Tangente an die Schnittkurve von $S$ mit der Fläche ist (z.B. die Ebenen $x=x_0$ oder $y=y_0$).

\subsubsection{Beispiel}
$z = f(x,y) = 2x^2 + xy^2 \qquad P(3,\,-1,\,f(3,\,-1)) = (3,\,-1,\,21)$

$f_x = 4x + y^2 \quad \Rightarrow \quad f_x(3,-1) = 13$

$f_y = 2xy \quad \Rightarrow \quad f_y(3,-1) = -6$

Tangentialebene: $z = 21 + 13\cdot (x-3) - 6\cdot (y+1) = 13x - 6y -24$

\subsection{Für implizit angegebene Funktionen}
Oft ist eine Fläche in der impliziten Form $F(x,y,z) = 0$ gegeben. Zum Beispiel: Kugelfläche (Radius 1): $F(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 - 1 = 0$.
Dann lautet die Gleichung der Tangentialebene im Punkt $(x_0,y_0,z_0)$:
$$(x-x_0)\cdot F_x(x_0,y_0,z_0) + (y-y_0)\cdot F_y(x_0,y_0,z_0) + (z-z_0)\cdot F(x_0,y_0,z_0) = 0$$

\begin{description}
\item[Beispiel:]
$F$ wie oben, $(x_0,y_0,z_0)$ beliebig. Tangentialebene:
$$(x-x_0)\cdot 2x_0 + (y-y_0) \cdot 2y_0 + (z-z_0)\cdot 2z_0 = 0$$

\item[Speziell:]
$x_0=1,\, y_0 = z_0 = 0$ : $2(x-1) = 0$ oder die Ebene $x=1$.
\end{description}

\subsection{Definition: Differentialform} \index{Differentialform}
Es seien $Q_1,\ldots, Q_n$ auf der offenen Menge $D \subset \mathbb{R}^n$ definierte stetige Funktionen. Dann heißt der Ausdruck
$$Q_1(x_1,\ldots , x_n) \cdot dx_1 + \cdots + Q_n(x_1,\ldots ,x_n)\cdot dx_n$$
eine \emph{Differentialform} (ein vollständiges Differential ist zum Beispiel eine Differentialform).
Eine wichtige Frage: Unter welchen Bedingungen über $Q_i$ ist eine Differentialform vollständiges Differential einer Funktion $f$ (d.h. $Q_1 = f_{x_1}, \ldots , Q_n = f_{x_n}$)?

\subsection{Satz}

Wenn die Funktionen $Q_1,\ldots ,Q_n$ stetige partielle Ableitungen besitzen, so ist $Q_1\cdot dx_1 + \cdots + Q_n dx_n$ genau dann vollständig differenzierbar, wenn
$$\frac{\partial Q_i}{x_j} = \frac{\partial Q_j}{x_i} \qquad (i,\,j = 1,\ldots , n)$$
erfüllt ist.

\subsection{Beispiele}

\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})}
\item $\underbrace{(y + \cos x)}_{P} \cdot dx + \underbrace{(x+2y)}_{Q}\cdot dy$

$P_y = Q_x = 1 \Rightarrow$ Differentialform ist ein vollständiges Differential, d.h. es exisitert $f$ mit $f_x = P$ und $f_y = Q$.

\smallskip

Bestimmung von $f$: $f_x = y + \cos x \Rightarrow$ Integration nach $x$ ergibt

$f = yx + \sin x + c(y)$, einsetzen in $f_y = x + 2y$:

$x + c'(y) =  x + 2y$

$c'(y) = 2y \Rightarrow c(y) = y^2 + c_0 \Rightarrow f(x,y) = yx + \sin x +y^2+c_0$

\item $\underbrace{2xy}_{P}\cdot dx + \underbrace{y}_{Q}\cdot dy \qquad P_y = 2x \ne Q_x = 0$

$\Rightarrow$ \emph{kein} vollständiges Differential
\end{enumerate}


\section{Kettenregel, Richtungsableitung, Gradient} \index{Kettenregel} 

Wir setzen stets voraus: $D_f \subset \mathbb{R}^n$ ist offen, $f_{x_i}$ existiert und ist stetig \\($i = 1,\ldots ,n$).

\subsection{Satz: Kettenregel}
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\roman{enumi})}
\item $v_1, \ldots , v_n$ seien auf dem Intervall $(a,b)$ definierte und differenzierbare Funktionen und für alle $t \in (a,b)$ sei $(v_1(t), \ldots , v_n(t)) \in D_f$. Dann ist die Funktion $g(t) = f(v_1(t),\ldots ,v_n(t))$ auf $(a,b)$ differenzierbar mit
\[g'(t) = \sum\limits_{i=1}^n f_{x_i} (v_1(t), \ldots , v_n(t)) \qquad t \in (a,b)\]
\item $v_1,\ldots , v_n$ seien auf der offenen Menge $M \subset \mathbb{R}^k$ definierte und partiell stetig differenzierbare Funktionen und für alle $(t_1,\ldots , t_k) = P \in M$ sei $(v_1(P),\ldots , v_n(P)) \in D_f$.
Dann ist die Funktion $$h(P) = f(v_1(P),\ldots , v_n(P))$$ nach $t_j$ ($j = 1,\ldots, k$) auf $M$ differenzierbar und es gilt:
$$\frac{\partial h}{\partial t_j}(P) = \sum\limits_{i=1}^n f_{x_i} (v_1(P),\ldots , v_n(P)) \cdot \frac{\partial v_i}{\partial t_j} \qquad P \in M$$
\end{enumerate}

\subsubsection{Merkregel}
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\roman{enumi})}
\item $\displaystyle\frac{df}{dt} = \sum\limits_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}\cdot\frac{dx_i}{dt}$

\item $\displaystyle\frac{\partial f}{\partial t_j} = \sum\limits_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}\cdot \frac{\partial x_i}{\partial t_j} \qquad (t = 1,\ldots , k)$
\end{enumerate}

\subsection{Beispiele}
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})}
\item $f(x,y)$ beliebig (z.B. $f(x,y) = \sqrt{x^2+y^2}$)

$v_1(t) = t^2,\; v_2(t) = t^3 \quad \Rightarrow g(t) = f(t^2,t^3)$

\smallskip

$g'(t) = f_x(t^2,t^3)\cdot 2t + f_y(t^2+t^3)\cdot 3t^2$

\item $f(x,y)$ beliebig, $v_1(t_1,t_2) = t_1+t_2$, $v_2(t_1,t_2) = t_1\cdot t_2$

$h(t_1, t_2) = f(t_1+t_2, t_1\cdot t_2)$

\smallskip

$\displaystyle\frac{\partial h}{\partial t_1} = f_x(t_1+t_2, t_1\cdot t_2) \cdot 1 + f_y(t_1+t_2, t_1\cdot t_2) \cdot t_2$

\smallskip

$\displaystyle\frac{\partial h}{\partial t_2} = f_x(t_1+t_2, t_1\cdot t_2) \cdot 1 + f_y(t_1+t_2, t_1\cdot t_2) \cdot t_1$
\end{enumerate}

\subsection{Richtungsableitung}\index{Richtungsableitung} 

$f(x_1,\ldots , x_n), \quad P_0(x_1,\ldots , x_n) \in D_f, \quad \vec a = (a_1,\ldots ,a_n)^T, \quad |\vec a| = 1$ 

\smallskip

Parameterdarstellung der Geraden mit der Richtung $\vec a$, die durch $P_0$ geht:
$$P_0 + t\cdot \vec a = (x_1 + t \cdot a_1, \ldots x_n + t \cdot a_n) \qquad  t\in \mathbb{R}$$
Wir betrachten $f$ nur auf dieser Geraden:
$$g(t) \stackrel{\mathrm{Def.}}{=} f(x_1+t\cdot a_1, \ldots , x_n + t\cdot a_n) \qquad t \in \mathbb{R}$$

\begin{description}
\item[Definition:] Unter der \emph{Richtungsableitung} von $f$ im Punkt $P_0$ in Richtung $\vec a$ mit $|\vec a| = 1$ versteht man die Zahl $g'(0)$ (für $t = 0$ erhalten wir dem Punkt $P_0$)
\item[Schreibweise:] \quad $\displaystyle\frac{\partial f}{\partial \vec a}(P_0)$ \qquad Nach der Kettenregel
$$g'(t) = f_{x_1}(x_1+ta_1, \ldots , x_n + ta_n)\cdot a_1
+ \ldots + f_{x_n}(x_1+ta_1, \ldots , x_n + ta_n)\cdot a_n$$

$\Rightarrow \displaystyle \frac{\partial f}{\partial \vec a}(P_0) = f_{x_1}(P_0)\cdot a_1 + \ldots + f_{x_n}(P_0)\cdot a_n$
\end{description}

Ist ein beliebiger Richtungsvektor $|\vec a| \ne 0$ gegeben, so ersetzen wir $\vec a$ durch $\frac{\vec a}{|\vec a|}$ (= normierter Vektor). 

\hspace{1.5cm} \fbox{\qquad $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial \vec a}(P) = \frac{1}{|\vec a|} \cdot \left(f_{x_1}(P)\cdot a_1 + \ldots + f_{x_n}(P)\cdot a_n\right)$\qquad}


\subsection{Beispiele}

\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})}
\item $\vec a = (1,0,0,\ldots)^T \qquad |a| = 1$

$\displaystyle\frac{\partial f}{\partial \vec a} = f_{x_1}(P)$

\item $f(x,y) = x\cdot y + x^2 \qquad P_0 = (1,2)$

\begin{tabular}{lll}
$f_x = y+2x$ & $\Rightarrow$ & $f_x(P_0) = f_x(1,2) = 4$\\
$f_y = x$ & $\Rightarrow$ & $f_y(P_0) = f_y(1,2) = 1$\\
\end{tabular}

\bigskip

$\vec a = (1,1)^T \quad |\vec a| = \sqrt{2} \quad \Rightarrow \quad \frac{\partial f}{\partial\vec a}(P_0) = \frac{1}{\sqrt{2}}(4\cdot 1 + 1\cdot 1)\approx 3,\!535$

$\vec a = (5,1)^T \quad |\vec a| = \sqrt{26} \quad \Rightarrow \quad \frac{\partial f}{\partial\vec a}(P_0) = \frac{1}{\sqrt{26}}(4\cdot 5 + 1\cdot 1)\approx 4,\!118$
\end{enumerate}

\subsection{Definition: Gradient} \index{Gradient}

Der Vektor $(f_{x_1}(P), \ldots , f_{x_n}(P))^T$ heißt \emph{Gradient} von $f$ im Punkt $P$.

\begin{description}
\item[Bezeichnung:] $\mathrm{grad} f(P)$

\item[Bemerkung:] $\displaystyle\frac{\partial f}{\partial \vec a} (P) = \frac{1}{|\vec a|} \cdot \vec a \cdot \mathrm{grad} f(P)$
\end{description}

\subsection{Satz}

\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\roman{enumi})}
\item Der Vektor $\mathrm{grad} f(P)$ zeigt in die Richtung des stärksten Anstiegs von $f$ im Punkt $P$. $-\mathrm{grad} f(P)$ zeigt in die Richtung des stärksten Gefälles.
\item $|\mathrm{grad} f(P)|$ gibt den größten Anstieg im Punkt $P$ an.
\end{enumerate}

\subsection{Beispiel}

In jedem Körper, in dem kein Temperaturgleichgewicht herrscht, treten Wärmeströmungen auf. Der Wärmefluß im Punkt $P$ wird durch einen Vektor $\vec q(P)$, dessen Richtung die der Wärmeströmung, und dessen Länge die Intensität ist dargestellt. Es sei $T(P)$ die Temperatur im Punkt $P$.

Es zeigt sich, daß
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\roman{enumi})}
\item Der Wärmefluß hat die Richtung des stärksten Gefälles der Temperatur in $P$ und
\item die Stärke des Wärmeflusses ist proportional zum Temperaturgefälle. Der Vektor $-\mathrm{grad} T(P)$ hat diese Eigenschaften $\Rightarrow$ \emph{Grundgesetz der Wärmeleitung}.
$$\vec q(P) = - \lambda(P) \cdot \mathrm{grad} T(P)$$
wobei $\lambda(P)$ die Wärmeleitfähigkeit ist.
\end{enumerate}

\section{Die Taylorsche Formel}\index{Taylorsche Formel} \index{Nabla--Operator}
\index{Laplace--Operator}

Zur Erinnerung: Taylorsche Formel ($f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$):
$$f(x_0+h) = \sum\limits_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}\cdot h^k + \underbrace{R_n(x_0)}_{\mathrm{Restglied}}$$
Mit $\nabla$ (\emph{Nabla-Operator}) bezeichnen wir den formalen Ausdruck
$$\nabla = \left(\frac{\partial}{\partial x_1}+ \cdots + \frac{\partial}{\partial x_n}\right)^T$$
Ist $f(x_1,\ldots, x_n)$ eine Funktion (für die alle partiellen Ableitungen existieren), so sei 
$$\nabla f(P) = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}(P) + \cdots + \frac{\partial f}{\partial x_n}(P)\right)^T$$
(formale Multiplikation des "`Vektors"' $\nabla$ mit dem Skalar $f$). Bemerkung: grad$\,f = \nabla f$.
Mit $\nabla$ rechnet man ähnlich mit einem Vektor, einige Formeln lassen sich mit diesem Operator übersichtlicher darstellen. Sei z.B. $h = (h_1,\ldots, h_n)\in\mathbb{R}^n$. Dann ist
$$(h\cdot \nabla)f(P) = \left(h_1\cdot\frac{\partial}{\partial x_1} + \cdots + h_n \frac{\partial}{\partial x_n}\right)\cdot f(P) = h_1\cdot f_{x_1}(P) + \cdots + h_n\cdot f_{x_n}(P)$$
(das Differential von $f$ im Punkt $P$ zum Zuwachs $h$).

\bigskip

Weitere Beispiele:
$$(h\cdot \nabla)^2 \cdot f(P) = \left(h_1\cdot\frac{\partial}{\partial x_1} + \cdots + h_n \cdot \frac{\partial}{\partial x_n}\right)^2 \cdot f(P) = \sum\limits_{i,j=1}^n h_i\cdot h_j \cdot f_{x_i\,x_j}(P)$$
mit $\left[h_i\cdot \frac{\partial}{\partial x_i} \cdot h_j\cdot\frac{\partial}{\partial x_j} = h_i\cdot h_j \frac{\partial^2}{\partial x_i\cdot\partial x_j}=f_{x_i\,x_j}\cdot h_i\cdot h_j\right]$

\smallskip

Oder: $\nabla \cdot \nabla \; f = \frac{\partial^2 f}{\partial {x_1}^2} + \cdots +\frac{\partial^2 f}{\partial {x_n}^2}$

\smallskip

$\nabla \cdot \nabla$ wird auch mit $\Delta$ bezeichnet und heißt \emph{Laplace-Operator}.

\subsection{Satz: Mehrdimensionale Taylorsche Formel}

Die Funktion $f$ sei auf der offenen Menge $D_f \in\mathbb{R}^n$ $(n+1)$--mal stetig partiell differenzierbar nach allen Variablen.

Es sei $h \in \mathbb{R}^n$, $x_0 \in D_f$ und $x=x_0 + h \in D_f$. Dann existiert ein $t \in (0,1)$ so, daß
$$f(x_0+h) = \sum\limits_{k=0}^n \frac{1}{k!}(h\cdot \nabla)^k f(x_0) + \frac{1}{(n+1)!}\cdot\left(h\cdot \nabla\right)^{n+1}f(x_0+t\cdot h)$$

\subsection{Beispiel}

$f(x,y) = e^x \cdot \sin y$

\smallskip

Taylorentwicklung an der Stelle $P = (0,0)$ bis zu Gliedern dritter Ordnung.

\begin{description}
\item[$k=0$]:\newline
 $f(P) = f(0,0) = 0$
\item[$k=1$]:\newline 
$f_x = e^x\cdot \sin y \qquad f_x(P) = 0$

$f_y = e^x\cdot \cos y \qquad f_y(P) = 1$
\item[$k=2$]:\newline
$f_{xx} = e^x \cdot \sin y \qquad f_{xx}(P) = 0$

$f_{xy} = e^x \cdot \cos y \qquad f_{xy}(P) = f_{yx}(P) = 1$ \quad (2 $\times$)

$f_{yy} = e^x \cdot \sin y \qquad f_{yy}(P) = 0$

\item[$k=3$]:\newline
$f_{xxx} = e^x \cdot \sin y \qquad f_{xxx}(P) = 0$

$f_{xxy} = e^x \cdot \cos y \qquad f_{xxy}(P) = f_{xyx}(P) = f_{yxx}(P) = 1$ \quad (3 $\times$)

$f_{xyy} = e^x \cdot \sin y \qquad f_{xyy}(P) = f_{yxy}(P) = f_{yyx}(P) = 0$ \quad (3 $\times$)

$f_{yyy} = e^x \cdot \cos y \qquad f_{yyy}(P) = -1$
 
\end{description}

Mit $x_0 = y_0 = 0$, $h_1 = x-x_0 = x$, $h_2 = y-y_0 = y$ gilt:

\bigskip

$\displaystyle f(x,y) = \underbrace{0}_{k=0} + \underbrace{\frac{1}{1!} \cdot 0 \cdot x + \frac{1}{1!} \cdot 1 \cdot y}_{k=1} + \frac{1}{2!}\Big(\underbrace{0\cdot x^2 + 2\cdot 1 \cdot x\cdot y + 0\cdot y^2}_{k=2}\Big) + $

\smallskip

\hfill $ + \frac{1}{3!} \cdot \Big(\underbrace{0\cdot x^3 + 3\cdot 1 \cdot x^2\cdot y + 3\cdot 0 \cdot x\cdot y^2 + (-1)\cdot y^3}_{k=3}\Big) + R_3$

\smallskip

$f(x,y) = y+xy+\frac{1}{6}\cdot(3x^2y - y^3) +R_3$

\bigskip

Bemerkung: In diesem Spezialfall hätten wir auch die Taylorentwicklung der Funktionen $e^x$ und $\sin y$ multiplizieren können.

\newpage

\section{Implizite Funktionen} \index{implizite Funktionen} \index{Funktionen, implizit}
Wir betrachten die Auflösbarkeit einer Gleichung $F(x,y) = 0$ nach einer Variablen.

\subsection{Beispiele}

\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})}
\item $F(x,y) = ax + by + c = 0$

Auflösung nach $y$ genau dann möglich, wenn $b \ne 0$.


$y= f(x) = -\frac{a}{b}\cdot x - \frac{c}{b}$ \qquad Bemerkung: $b = F_y$


\item 

$F(x,y) = x^2+y^2 + 1 = 0$

\begin{minipage}{8cm}   \index{lokale Auflösbarkeit}
Nur eine sogenannte \emph{lokale Auflösbarkeit} in einer Umgebung einer Stelle $(x_y.y_0)$.

\bigskip

Wenn $y_0>0$, dann $y = f_1(x) =\sqrt{1-x^2}$

Wenn $y_0<0$, dann $y = f_2(x) =-\sqrt{1-x^2}$
\end{minipage}
\begin{minipage}{3.5cm}

\begin{picture}(100,75)
\put(50,0){\vector(0,1){75}}
\put(50,35){\circle{40}}
\put(0,35){\vector(1,0){100}}
\put(64,49){\circle*{2}}
\multiput(30,35)(40,0){2}{\circle*{2}}
\put(66,49){$\scriptstyle (x_0,y_0)$}
\put(44,69){\line(1,-1){40}}
\put(90,28){$x$}
\put(53,70){$y$}
\end{picture}
\end{minipage}

In den Punkten $(\pm1,0)$ ist eine lokale Auflösung nicht möglich!
In diesen Punkten ist die Tangente parallel zur $x$--Achse.

 Die $y$--Koordinate des Gradienten $(F_x,F_y) = (2x, 2y)$ verschwindet in diesen Punkten.


\end{enumerate}

\subsection{Satz}
Sei $F(x,y)$ stetig nach $x$ und $y$ differenzierbar, $F(x_0,y_0) =\! 0$ und $F_y(x_0,y_0)\! \ne 0$. Dann existiert eine Umgebung $U$ von $x_0$, für die gilt: Es gibt genau eine Funktion $y = f(x)$ auf $U$ mit
$$F(x,f(x)) = 0 \qquad x \in U$$
Die Funktion $f$ ist dann differenzierbar und $\displaystyle f'(x) = - \frac{F_x(x,f(x))}{F_y(x,f(y))}$

\paragraph{Beweis der letzten Gleichung:} $h(x) = F(x,h(x)) = 0 \Rightarrow h'(x) = 0$
\[\frac{dh}{dx} = F_x \cdot 1 + F_y \cdot f'(x) = 0 \qquad \textrm{(Kettenregel)}\]

\subsection{Beispiel}

\begin{minipage}{275pt}
$F(x,y) = x^3 + y^3 - 3axy, \quad (a \ne 0)$, \quad "`Kartesisches Blatt"' \index{kartesisches Blatt}


Wir bestimmen diejenigen Kurvenpunkte, für die $F_y = 0$ wird:
\end{minipage}
\begin{minipage}{80pt}
\flushright
\begin{picture}(60,70)
\qbezier(0,55)(15,25)(30,35)
\qbezier(30,35)(38,42)(33,50)
\qbezier(33,50)(22,62)(15,50)
\qbezier(15,50)(10,40)(13,10)
\put(12.4,37.2){\circle*{2}}
\put(13,26){$\scriptstyle P_1 = (0,0)$}
\put(35.2,42.4){\circle*{2}}
\put(38,40){$\scriptstyle P_2$}
\end{picture}
\end{minipage}

\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item $F(x,y) = x^3 + y^3 -3axy = 0$
\item $F_y(x,y) = 3y^2 - 3ax = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{y^2}{a}$ in (1)
\end{enumerate}

$\Rightarrow \displaystyle \frac{y^6}{a^3} + y^3 - 3y^3 = 0$

\bigskip

$y^6 = 2a^3y^3 \qquad /\,: y^3$ (für $y \ne 0$) \qquad $\Rightarrow \qquad y^3 = 2a^3 \quad \Rightarrow \quad y = \sqrt[3]{2} a$

\bigskip

$\Rightarrow P_1 = (0,0), \; P_2 = a\cdot (4^{\frac{1}{3}}, 2^{\frac{1}{3}})$

\subsubsection{Verallgemeinerung}
Auflösbarkeit aus Gleichungssystemen:

\bigskip

$F_1(x_1,\ldots , x_n , y_1 , \ldots y_m) =  0$

$\quad \vdots$

$F_m(x_1,\ldots , x_n , y_1 , \ldots y_m) =  0$

\bigskip

nach den Variablen $y_1, \ldots, y_m$ auflösen, d.h. 

\bigskip

$y_1 = f_1(x_1,\ldots,x_n)$

$\quad \vdots $

$y_m = f_m(x_1,\ldots,x_n)$


\chapter{Integralrechnung der Funktionen mehrerer Variablen}
\section{Mehrfache Integrale} \index{Doppelintegrale} \index{Integrale, mehrfach}
\subsection{Doppelintegrale}

Es sei $G \subset \mathbb{R}^2$ eine beschränkte abgeschlossene Menge und $f$ eine auf $G$ definierte beschränkte Funktion.
Es sei $f(P) \geq 0$ $(P \in G)$. Wir wollen das Volumen desjenigen Körpers bestimmen, der durch die Menge
$$\left\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : (x,y) \in G ,\; 0 \leq z \leq f(x,y) \right\}$$
definiert ist.
\begin{enumerate}
\item $Z$ sei eine Zerlegung von $G$ in $n$ Teilmengen $g_1,\ldots,g_n$ für die folgendes gilt:
\begin{enumerate}
\item Jede Teilmenge $g_i$ hat einen Flächeninhalt $\Delta g_i$
\item Die Vereinigung aller $g_i$ ist $G$
\item Die $g_i$ sind disjunkt
\item Sei $\delta_i =\sup\{|P-Q| : P,\,Q \in g_i\}$ (\emph{Durchmesser} von $g_i$) und $\Delta(Z) = \max\{\delta_1,\ldots ,\delta_n\}$ (\emph{Feinheit} der Zerlegung)
\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item In jeder Menge $g_i$ wird ein "`Zwischenpunkt"' $P_i \in g_i$ gewählt und das Produkt $f(P_i) \cdot \Delta g_i$ gebildet (Volumen der "`Säulen"')
\item Es wird die Zwischensumme $$S(Z) = \sum\limits_{i=1}^{n} f(P_i) \cdot \Delta g_i$$ gebildet (Näherung für das gesuchte Volumen).
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{Definition}

Die Funktion $f$ heißt über $G$ \emph{integrierbar}, wenn es eine Zahl $I$ gibt, so daß $$\lim\limits_{\Delta(Z) \to 0} S(Z) =I$$
Die Zahl $I$ nennt man das \emph{Integral von $f$ über $G$}. $G$ heißt \emph{Integrationsbereich}.

\begin{description}
\item[Schreibweise:] $\displaystyle \int\limits_G \! f\,dP \qquad oder \qquad \iint\limits_{G} f(x,y) \,dx\,dy$
\item[Bemerkung:] $\int\limits_G\!  1 \, dP = $ Flächeninhalt von $G$
\end{description} 

\subsection{Satz}
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\roman{enumi})}
\item Die Aussagen in (5.8.5) bleiben auch für Doppelintegrale gültig, wenn man $[a,b]$ durch $G$ und $b-a$ durch den Flächeninhalt von $G$ ersetzt.
\item Jede stetige Funktion auf $G$ ist integrierbar
\end{enumerate}

\subsection{Definition (Normalbereich)}\index{Normalbereich}

$g$ und $h$ seien auf $[a,b]$ definierte und stetige Funktionen, für die gilt $g(t) \leq h(t)$ $(t \in [a,b])$. Dann heißt jede der Mengen $G_1 = \{(x,y) : a \leq x \leq b,\; g(x) \leq y \leq h(x)\}$ und $G_2 = \{(x,y) : a \leq y \leq b,\; g(x) \leq x \leq h(x)\}$ ein \emph{Normalbereich} in der Ebene.


\subsubsection{Beispiele}
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})} 
\item $h(t) = \frac{1}{4}t^2 \qquad g(t) = -\sin t \qquad [a,b] = [0,2]$

\begin{picture}(100,90)
\put(0,40){\vector(1,0){80}}
\put(15,0){\vector(0,1){80}}
\multiput(13.5,20)(0,40){2}{\line(1,0){3}}
\multiput(15,38.5)(20,0){3}{\line(0,1){3}}
\qbezier(15,40)(40,45)(55,60)
\qbezier(15,40)(35,20)(46.5,20)
\qbezier(46.5,20)(52,20)(55,21)
\multiput(55,21)(0,4){10}{\line(0,1){2}}
\put(71,31){$x$}
\put(19,73){$y$}
\put(33,31){$\scriptstyle 1$}
\put(8,57.5){$\scriptstyle 1$}
\put(27,52){$G_1$}

\qbezier(19,36)(19,36)(25.5,42.5)
\qbezier(23.5,32.5)(23.5,32.5)(38.8,47.8)
\qbezier(38,39)(38,39)(54.5,55.5)
\qbezier(28,29)(28,29)(32,33)
\qbezier(33,25)(33,25)(54.5,46.5)
\qbezier(38.5,22)(38.5,22)(54.5,38)
\qbezier(44.5,20)(44.5,20)(54.5,30.5)
\put(58,58){$\scriptstyle h(t)$}
\put(58,17){$\scriptstyle g(t)$}
\end{picture}
\qquad
\begin{picture}(100,90)

\put(50,0){\vector(0,1){80}}
\put(10,15){\vector(1,0){80}}
\multiput(30,13.5)(20,0){3}{\line(0,1){3}}
\multiput(48.5,15)(0,20){3}{\line(1,0){3}}

\qbezier(50,15)(55,40)(70,55)



\qbezier(50,15)(30,35)(30,46.5)

\qbezier(30,46.5)(30,52)(31,55)


\qbezier(46,19)(46,19)(52.5,25.5)
\qbezier(42.5,23.5)(42.5,23.5)(57.8,38.8)
\qbezier(49,38)(49,38)(65.5,54.5)
\qbezier(39,28)(39,28)(43,32)
\qbezier(35,33)(35,33)(56.5,54.5)
\qbezier(32,38.5)(32,38.5)(48,54.5)
\qbezier(30,44.5)(30,44.5)(40.5,54.5)
\put(44,32.5){$\scriptstyle 1$}
\multiput(31,55)(4,0){10}{\line(1,0){2}}
\put(54,73){$y$}
\put(82,6){$x$}
\put(68,6){$\scriptstyle 1$}
\put(10,59){$\scriptstyle x= - \sin t$}
\put(65,59){$\scriptstyle x= \frac{1}{4}y^2$}
\put(60,30){$G_2$}

\end{picture}

\item Der Kreis $K$ mit dem Mittelpunkt $(0,0)$ und dem Radius $2$ ist ein Normalbereich, da
$$K = \{(x,y) : -2 \leq x \leq 2, -\sqrt{4-x^2} \leq y \leq \sqrt{4-x^2}\}$$
oder
$$K = \{(x,y) : -2 \leq y \leq 2, -\sqrt{4-x^2} \leq x \leq \sqrt{4-x^2}\}$$
$[a,b] = [-2,2]$. Kreisgleichung $x^2 + y^2 = 4 \Rightarrow y = \sqrt{4-x^2}$ (für $y \geq 0$) bzw. $y = -\sqrt{4-x^2}$ (für $y \leq 0$).
\end{enumerate}

\subsection{Satz}

Mit den Bezeichnungen von (11.1.4) gilt:

$$\int\limits_{G_1}\! f\,dP = \int\limits_a^b \left[\int\limits_{g(x)}^{h(x)} f(x,y)\,dy\right]dx
 \qquad \qquad \int\limits_{G_2}\! f\,dP = \int\limits_a^b \left[\int\limits_{g(y)}^{h(y)} f(x,y)\,dx\right]dy$$



\subsection{Beispiel}

\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{\alph{enumi})}
\item $G = \{(x,y) : 0 \leq x \leq 1,\; -x \leq y \leq x^2\} \qquad f(x,y) = x$

$\int\limits_{G} f\,dP = \int\limits_0^1 \int\limits_x^{x^2} x \, dy\,dx = \int\limits_0^1 x\cdot y\Big|_{y=x}^{y=x^2} dx = \int\limits_0^1 x^3 + x^2 \,dx = \frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3}\Big|_{0}^{1} = \frac{7}{12}$

\item Ist der Integrationsbereich $G$ ein Rechteck, also alle vier Integrationsgrenzen konstant, so kommt es auf die Reihenfolge der Integration nicht an. Zum Beispiel:
$$\int\limits_0^{2\pi}\!\int\limits_0^1 e^{x^2} \cdot \sin y \; dx\,dy = \int\limits_0^1\!\underbrace{\int\limits_0^{2\pi} e^{x^2} \cdot \sin y \; dy}_{= -e^{x^2} \cos y\big|_{y=0}^{2\pi} = 0} dx = 0$$
\end{enumerate}

\subsection{Satz}
Die Funktion $f$ sei auf der abgeschlossenen Menge $G \subset \mathbb{R}^2$ stetig, $g$ und $h$ seien auf $[a,b]$ definierte stetige Funktionen, für alle $t \in [a,b]$ sei $0 \leq g(t) \leq h(t) \leq 2\pi$. Ferner bezeichnen $r$ und $\varphi$ Polarkoordinaten.

\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\roman{enumi})}
\item Wenn $G$ durch die Ungleichung $0 \leq a \leq r \leq b$ und $g(r) \leq \varphi \leq h(r)$ beschrieben wird, so gilt
$$\int\limits_{G}\!f(x,y) \; dx\,dy = \int\limits_{a}^{b} \!\int\limits_{g(r)}^{h(r)} f(r\cdot \cos \varphi, r\cdot \sin \varphi) \cdot r\,d\varphi \, dr$$

\item Wenn $G$ durch die Ungleichung $0 \leq a \leq \varphi \leq b$ und $0 \leq g(\varphi) \leq r \leq h(\varphi)$ beschrieben wird, so gilt
$$\int\limits_{G}\!f(x,y) \; dx\,dy = \int\limits_{a}^{b} \!\int\limits_{g(\varphi)}^{h(\varphi)} f(r\cdot \cos \varphi, r\cdot \sin \varphi) \cdot r\,dr\,d\varphi$$

$r\,dr \, d\varphi$ :  \emph{Flächenelement} in Polarkoordinaten \index{Flächenelement}

\end{enumerate}


\subsection{Beispiele}
$G: 1 \leq r \leq 2 \quad (r-1)\cdot \pi \leq \varphi \leq r\cdot \pi$

Flächeninhalt $F$ von $G$: 
\begin{eqnarray*}
F & =& \int\limits_{G} 1 \, dP = \int\limits_1^2\!\int\limits_{(r-1)\pi}^{r\pi}\!\! 1 \; r\,\,r\varphi\,\,dr = \int\limits_1^2 r\cdot \varphi\bigg|_{\varphi=(r-1)\pi}^{\varphi=r\cdot\pi} dr\\
  & = & \pi\int\limits_1^2 r\;dr = \pi\frac{r^2}{2} \bigg|_1^2 = \frac{3}{2}\;\pi
\end{eqnarray*}


\subsection{Dreifache Integrale} \index{Integrale, dreifach} \index{Dreifachintegrale}

$G \subset \mathbb{R}^3$ sei eine beschränkte, abgeschlossene Menge und $f$ eine auf $G$ definierte beschränkte Funktion. Wir zerlegen $G$ in Teilmengen $g_1,\ldots,g_n$ die die selben Eigenschaften wie in (11.1.1) haben (dabei ist "`Flächeninhalt"' durch "`Rauminhalt"' zu ersetzen).

\smallskip

Die Definition (11.1.2) wird nun wörtlich übernommen ($\mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^3$).

\begin{description}
\item[Bemerkung:] $\displaystyle \int\limits_{G} 1\; dP =$ Volumen von $G$.
\item[Definition:] Es seien $f_1$ und $f_2$ in $[a,b] \subset \mathbb{R}$ und $g_1$ und $g_2$ in $G = \{(x,y) \in \mathbb{R}^3:x\in[a,b], f_1(x) \leq y \leq f_2(x)\}$ stetige Funktionen. Dann heißt die Menge
$$K\! =\! \{(x,y,z)\! \in\! \mathbb{R}^3 : a\!\leq\! x\! \leq\! b,\, f_1(x)\! \leq\! y\! \leq\! f_2(x),\, g_1(x,y)\! \leq\! z\! \leq\! g_2(x,y)\}$$
ein \emph{Normalbereich} in $\mathbb{R}^3$. Vertauscht man $x,y,z$ untereinander, so entstehen weitere Mengen, die man auch Normalbereiche nennt ($3! = 6$ Möglichkeiten).

\end{description}


\subsection{Satz}

Die Funktion $f$ sei auf dem Normalenbereich $K$ aus (11.1.9) stetig. Dann ist $f$ über $K$ integrierbar und es gilt:
$$\int\limits_{K} f(P)\,dP = \int\limits_a^b\int\limits_{f_1(x)}^{f_2(x)}\int\limits_{g_1(x,y)}^{g_2(x,y)} f(x,y,z) \; dz\,dy\,dx$$
Sind alle Integrationsgrenzen konstant, so kommt es auf die Reihenfolge der Integrationen nicht an.

\subsection{Beispiel}

$K = \{(x,y,z) : 0\leq x \leq 2,\, 0 \leq y \leq x,\, 0 \leq z \leq x+y+1\}$

\smallskip

$f(x,y,z) = 2xz + y^2$

\bigskip

$\displaystyle \int\limits_G f(P)\, dP = \int\limits_0^2 \int\limits_0^x \int\limits_0^{x+y+1} 2xz + y^2 \; dz\,dy\,dx =$

\bigskip

$\displaystyle\int\limits_0^2\int\limits_0^x 2x \cdot \frac{z^2}{2} + y^2z\bigg|_{z=0}^{z=x+y+1}\;dy\,dx = \int\limits_0^2\int\limits_0^x x(x+y+1)^2 + y^2(x+y+1)\;dy\,dx =$

\smallskip

$\displaystyle\int\limits_0^2\int\limits_0^x x^3 + 2x^2y+2x^2+xy^2+2xy+x+y^2x+y^3+y^2\;dy\,dx =$

\smallskip

$\displaystyle\int\limits_0^2 x^4 + \frac{x^4}{3}+x^2+x^4+2x^3+x^3+\frac{x^4}{3}+ \frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3}\;dx \stackrel{[\ldots]}{=} \frac{104}{4}$


\subsection{Substitution der Variablen} \index{Substitution (Dreifachint.)}
$$\int\limits_K f(P)\;dP = \iiint\limits_K f(x,y,z) \;dx\,dy\,dz$$

\begin{description}
\item[Zylinderkoordinaten:] ($r$, $\varphi$, $z$)

Substitution:
\begin{enumerate}
\item $x \longrightarrow r\cdot \cos \varphi,\quad y \longrightarrow r\cdot\sin \varphi$, $z$ unverändert
\item $dP \longrightarrow r\cdot dr\,d\varphi\,dz$
\end{enumerate}

\item[Kugelkoordinaten:] ($r$, $\varphi$ $\eta$)


Substitution:
\begin{enumerate}
\item $x \longrightarrow r\cdot \cos \varphi \cdot \sin \eta,\quad y \longrightarrow r \cdot\sin \varphi \cdot \sin\eta,\quad z = r\cdot \cos\eta$
\item $dP \longrightarrow r^2\cdot\sin\eta\,d\varphi\,d\eta\,dr$
\item Neue Grenzen einsetzen
\end{enumerate}

\end{description}

\subsubsection{Beispiel}

\begin{minipage}{246pt}
Das schraffierte Flächenstück rotiere man um die $z$--Achse, der entstehende Körper sei $K$.

$$f(x,y,z) = x^2+y^2 = r^2\!\int\limits_K f(P) \; dP =\; ?$$
\end{minipage} 
\begin{minipage}{110pt}
\flushright

\begin{picture}(100,85)
\put(10,15){\vector(1,0){80}}
\put(15,10){\vector(0,1){70}}
\put(65,13){\line(0,1){4}}
\put(13,60){\line(1,0){4}}
\put(6,70){$z$}
\put(62,3){$1$}
\put(6,56.5){$1$}
\qbezier(15,15)(20,50)(65,60)
\multiput(15,60)(4,0){13}{\line(1,0){2}}
\put(66,63){$\scriptstyle z=\sqrt{x}$}
\qbezier(15,55)(15,55)(20,60)
\qbezier(15,50)(15,50)(25,60)
\qbezier(15,45)(15,45)(30,60)
\qbezier(15,40)(15,40)(35,60)
\qbezier(15,35)(15,35)(40,60)
\qbezier(15,30)(15,30)(45,60)
\qbezier(15,25)(15,25)(19,29)
\qbezier(15,20)(15,20)(16,21)
\qbezier(42,52)(50,60)(50,60)
\qbezier(51,56)(55,60)(55,60)
\qbezier(59,59)(60,60)(60,60)
\end{picture}
\end{minipage} 

$K$ in Zylinderkoordinaten: $0 \leq r \leq 1$, $0 \leq \varphi \leq 2\pi$, $\sqrt{x} \leq z \leq 1$

$$\int\limits_Kf(P)\;dP =\int\limits_0^1\int\limits_0^{2\pi}\int\limits_{\sqrt{r}}^1 \underbrace{r^2}_{f} \underbrace{r\,dz\,d\varphi\,dr}_{\textnormal{\tiny Flächenelement}} =\frac{1}{18}\pi$$
Man kann auch $K$ beschreiben als: $0 \leq \varphi \leq 2\pi,\; 0\leq z\leq 1,\; 0\leq r\leq z^2$    

\subsubsection{Beispiel}

Es sei $K$ die obere Hälfte der Kugel vom Radius $R$ mit dem Mittelpunkt $(0,0,0)$.
$$f(x,y,z) = x^2+y^2 - xz \qquad \int\limits_K f(P)\,dP =\; ?$$
Beschreibung von $K$ in Kugelkoordinaten ($r$, $\varphi$, $\eta$):
$$K: \quad 0 \leq \varphi \leq 2\pi, \quad 0 \leq \eta \leq \frac{1}{2}\pi,\quad 0 \leq r \leq R$$
$$(x=r\cdot\cos\varphi\cdot\sin\eta,\;y=r\cdot\sin\varphi\cdot\sin\eta,\;z=r\cdot\cos\eta)$$
\begin{eqnarray*}
\int\limits_K\! f(P)\,dP &=& \int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int\limits_{0}^{R}( \underbrace{r^2\cdot \sin^2\eta}_{x^2+y^2} - r^2\cdot\cos \varphi \cdot \sin \eta \cdot \cos \eta) \; r^2\,\sin\eta\,dr\,d\eta\,d\varphi\\
 & = & \frac{R^5}{5}\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}\int\limits_0^{2\pi}\sin^3\eta - \underbrace{\cos\varphi \cdot \sin^2\eta\cdot\cos\eta}_{0}\;d\varphi\,d\eta\\
 & = & \frac{R^5}{5}\cdot2\pi\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^3\eta\,d\eta \stackrel{[\ldots]}{=} \frac{4}{15}\cdot\pi\cdot R^5 
\end{eqnarray*}

\section{Anwendungen dreifacher Integrale}
\subsection{Satz} \index{Volumen} \index{Masse} \index{Schwerpunkt} \index{Trägheitsmoment} 
Ein Körper $K (\in\mathbb{R}^3)$ mit der Massendichte $\varrho$ hat das Volumen $V = \int\limits_K 1\,dP$, die Masse $M = \int\limits_K \varrho(P)\,dP$, den Schwerpunkt $(x_s,y_s,z_s)$ mit $x_s = \frac{1}{M}\cdot\int\limits_K x\cdot\varrho(P)\,dP$, $y_s = \frac{1}{M}\cdot\int\limits_K y\cdot\varrho(P)\,dP$, $z_s = \frac{1}{M}\cdot\int\limits_K z\cdot\varrho(P)\,dP$, das Trägheitselement bezüglich der $z$--Achse als Drehachse $\Theta = \int\limits_K (x^2+y^2)\cdot\varrho(P)\,dP$. Für eine beliebige Drehachse gilt: $\Theta = \int\limits_K a^2(P) \cdot \varrho(P)\,dP$, wobei $a(P)$ den Abstand von $P$ von der Drehachse bezeichnet. Analoge Formeln gelten in $\mathbb{R}^2$ (mit Doppelintegralen).

\subsection{Beispiel}


\begin{minipage}[c]{110pt}
\begin{picture}(100,100)
\put(50,20){\vector(1,0){50}}
\put(50,70){\vector(0,1){30}}
\multiput(50,20)(0,4){20}{\line(0,1){2}}
\put(50,20){\vector(-1,-1){20}}
\put(92,11){$y$}
\put(53,93){$z$}
\put(22,0){$x$}
\put(50,70){\line(1,0){20}}
\put(55,76){$R$}
\put(52,50){$h$}
\put(50,70){\circle*{2}}
\qbezier(70,70)(70,75)(50,75)
\qbezier(70,70)(70,65)(50,65)
\qbezier(30,70)(30,75)(50,75)
\qbezier(30,70)(30,65)(50,65)
\qbezier(50,20)(30,70)(30,70)
\qbezier(50,20)(70,70)(70,70)
\end{picture}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{245pt}
Es ist der Schwerpunkt des Kegels zu berechnen, $\varrho = 1$. Beschreibung von $K$ in Zylinderkoordinaten (siehe 10.1.3.e):
$$K: 0 \leq r \leq R, \quad 0 \leq \varphi \leq 2\pi,\quad \frac{h}{R}r \leq z \leq h$$ 
Aus Symmetriegründen: $x_s = y_s = 0$.
\end{minipage}

\begin{eqnarray*}
z_s &=& \frac{1}{M}\int\limits_K\!z \,dP = \frac{1}{M} \int\limits_0^{2\pi}\!\int\limits_0^{R}\!\int\limits_{\frac{hr}{R}}^h z \cdot r\,dz\,dr\,d\varphi = \\
 &\stackrel{[\ldots]}{=}& \frac{\pi}{M}\int\limits_0^{R}\!\left(h^2-\frac{h^2}{R^2}r^2\right)r\,dr = \frac{\pi}{4} \cdot h^2 \cdot R^2 \cdot \frac{1}{M}
\end{eqnarray*}
Wobei $M = \frac{\pi}{3} \cdot R^3 \cdot h$ (Masse = Volumen, da $\varrho =1$):

\bigskip

$\Rightarrow \displaystyle z_s = \frac{3}{4}\cdot h$ 




\chapter{Vektoranalysis}

\section{Skalar-- und Vektorfelder} \index{Skalarfeld} \index{Vektorfeld} \index{Felder, Skalar--, Vektor--}

\subsection{Definition}
Es sei $D \subset \mathbb{R}^3$. Eine Abbildung $\vec V$, die jedem Punkt $P = (x,y,z) \in D$ einem dreidimensionalen Vektor $\vec V(P) = \vec V (x,y,z) = (v_1(x,y,z),\,v_2(x,y,z),$ $\,v_3(x,y,z))$
zuordnet, heißt ein (räumliches) \emph{Vektorfeld} auf $D$.
Eine Abbildung $F$, die jeden Punkt $P \in D$ eine reelle Zahl $F(P)$ zuordnet, heißt ein (räumliches) \emph{Skalarfeld} auf $D$. Ist $D \subset \mathbb{R}^2$ und sind die Vektoren $\vec V(P)$ zweidimensional $\vec V(P) = \vec V(x,y) = (v_1(x,y),\,v_2(x,y))$, so spricht man von einem \emph{ebenen Vektorfeld} bzw. \emph{ebenen Skalarfeld}.

\subsection{Beispiele}
\subsubsection{Skalare Felder}
\begin{itemize}
\item Temperaturverteilung in einem Raum
\item elektrostatisches Potential in der Umgebung einer geladenen Kugel
\item Dichteverteilung im innern der Erdkugel
\item Betrag eines Vektorfeldes
\end{itemize}

\subsubsection{Vektorfelder}
\begin{itemize}
\item Gravitationfeld der Erde
\item elektrostatisches Feld in einem Kondensator
\item Geschwindigkeit einer Strömung
\item Gradient eines Skalarfeldes $\vec C = \mathrm{grad}\, F = (F_x,F_y,F_z)^T$
\end{itemize}

Weitere Beispiele in \textsc{SigMath}, \textsf{http://www.math.tu-dresden.de/$\sim$sasvari/}

\subsection{Definition: Rotation} \index{Rotation, Rotor} 

Es sei $\vec V = (v_1,v_2,v_3)^T$ ein auf der offenen Menge $D$ definiertes und dort partiell differenzierbares Vektorfeld. Dann heißt das Vektorfeld
$$\mathrm{rot}\, \vec V = \left( \frac{\partial v_3}{\partial y} - \frac{\partial v_2}{\partial z}, \frac{\partial v_1}{\partial z} - \frac{\partial v_3}{\partial x}, \frac{\partial v_2}{\partial x} - \frac{\partial v_1}{\partial y} \right)^T$$
die \emph{Rotation} (oder \emph{Rotor}) von $\vec V$. Gilt $\mathrm{rot}\,\vec V = (0,0,0)^T$ in $D$, so heißt $\vec V$ ein wirbelfreies Vektorfeld.

Die Rotation läßt sich formal durch das Vektorprodukt darstellen:
$$\mathrm{rot}\,\vec V = \nabla \times \vec V = \left(\frac{\partial}{\partial x},\,\frac{\partial}{\partial y},\,\frac{\partial}{\partial z}\right)^T\times (v_1,v_2,v_3)^T = \left| \begin{array}{ccc} \vec e_1 & \vec e_2 & \vec e_3\\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y}& \frac{\partial}{\partial z}\\v_1 & v_2 & v_3 \end{array}\right|$$
(Entwicklung nach der ersten Zeile)

\subsubsection{Rechenregeln}
\begin{tabular}{lcl}
$\mathrm{rot}\,(\vec V + \vec W)$ & = & $\mathrm{rot}\,\vec V + \mathrm{rot}\,\vec W $\\
$\mathrm{rot}\,(c \cdot \vec V)$& = & $c \cdot \mathrm{rot}\,\vec V$\\
$\mathrm{rot}\,(F \cdot \vec V)$& = & $(\mathrm{grad}\, F)\times \vec V + F\cdot \mathrm{rot}\,\vec V$
\end{tabular}


\subsection{Beispiele}
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})}
\item Bezeichne $\vec H$ das mangnetische Feld eines geraden, unendlich langen, von einem gleichstromdurchflossenen Leiters. Wir legen das Koordinatensystem so, daß die $z$--Achse mit dem Leiter zusammenfällt und ihre Richtung gleich der Stromrichtung ist.

\begin{minipage}{230pt}
$$\vec H(x,y,z) = \frac{k}{x^2+y^2} \cdot (x,y,0)^T$$
$$|\vec H| = \frac{k}{\sqrt{x^2+y^2}} \qquad \vec H \perp (x,y,z)^T$$
$$\frac{\partial v_1}{\partial y} = k\cdot\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2} = \frac{\partial v_2}{\partial y}$$
\end{minipage}
\begin{minipage}{100pt}
\begin{picture}(100,100)
\put(0,50){\vector(1,0){100}}
\put(50,0){\vector(0,1){100}}
\qbezier(80,50)(80,62.426408)(71.213204,71.213204)
\qbezier(050,80)(62.426408,80)(71.213204,71.213204)
\qbezier(20,50)(20,37.573592)(28.786796,28.786796)
\qbezier(050,20)(37.573592,20)(28.786796,28.786796)
\qbezier(20,50)(20,62.426408)(28.786796,71.213204)
\qbezier(050,80)(37.573592,80)(28.786796,71.213204)
\qbezier(80,50)(80,37.573592)(71.213204,28.786796)
\qbezier(050,20)(62.426408,20)(71.213204,28.786796)

\put(50,50){\circle{30}}
\put(66,50){\vector(0,1){20}}
\put(34,50){\vector(0,-1){20}}
\put(50,66){\vector(-1,0){20}}
\put(50,34){\vector(1,0){20}}
\put(80.25,50){\vector(0,1){15}}
\put(20,50){\vector(0,-1){15}}
\put(50,80){\vector(-1,0){15}}
\put(50,20){\vector(1,0){15}}

\put(71.21,71.21){\vector(-1,1){10}}
\put(71.21,71.21){\circle*{2}}
\put(73,72){$\scriptstyle \vec H(x,y)$}
\put(92,43){$x$}
\put(53,93){$y$}

\end{picture}
\end{minipage}

\bigskip

$\mathrm{rot}\, \vec H = (0,0,0)^T \Rightarrow$ Vektorfeld wirbelfrei

\item  $\vec V (x,y,z) = (x^2+xyz,\,y^2-x^2,\,x+y\cdot\sin z)^T$
$$\mathrm{rot}\,\vec V = \left|\begin{array}{ccc}\vec e_1&\vec e_2 & \vec e_3\\\frac{\partial}{\partial x} &\frac{\partial}{\partial y} &\frac{\partial}{\partial z}\\\scriptstyle x^2+xyz & \scriptstyle y^2-x^2&\scriptstyle  x+y\sin z \end{array}\right| = (\sin z-0,\,-1+xy,\,-2x-xz)^T$$
$\Rightarrow$ Vektorfeld $\vec V$ ist nicht wirbelfrei.
\end{enumerate}

\subsection{Definition: Divergenz} \index{Divergenz (Vektorfeld)} \index{Quelldichte (Vektorfeld)} \index{Ergiebigkeit (Vektorfeld)} \index{Quelle (Vektorfeld} \index{Senke (Vektorfeld)}
Es sei $\vec V  = (v_1,\,v_2,\,v_3)^T$ ein auf der offenen Menge $D \subset \mathbb{R}^3$ definiertes und dort partiell differenzierbares Vektorfeld. Dann heißt das Skalarfeld
$$\mathrm{div}\, \vec V = \frac{\partial v_1}{\partial x} + \frac{\partial v_2}{\partial y} + \frac{\partial v_3}{\partial z}$$
die \emph{Divergenz} (\emph{Quelldichte}, \emph{Ergiebigkeit}) von $\vec V$. Man nennt diejenigen Punkte, für die $\mathrm{div}\,\vec V(P) > 0$ bzw. $\mathrm{div}\,\vec V(P) < 0$ gilt die \emph{Quellen} bzw. \emph{Senken} des Feldes $\vec V$. Ist $\mathrm{div}\,\vec V = 0$ in $D$, so heißt $\vec V$ ein \emph{quellenfreies Feld}.

Die Divergenz läßt sich formal als Skalarprodukt darstellen:
$$\mathrm{div}\,\vec V = \nabla \cdot\vec V = \left(\frac{\partial}{\partial x}+\frac{\partial}{\partial y}+\frac{\partial}{\partial z}\right)^T \cdot (v_1,\,v_2,\,v_3)^T$$
Analog für ebene Vektorfelder ($z = 0$).

\paragraph{Physikalische Deutung:} Es sei durch $\vec V(x,y,z) = (0,\,0,\, z\cdot (1-x^2-y^2))^T$ ein Vektorfeld auf dem Zylinder $D = \{(x,y,z) : x^2 + y^2 \leq 1\}$ definiert.

\smallskip

$\vec V$ : Geschwindigkeit einer das Rohr (Zylindermantel)  durchströmenden Flüs\-sigkeit.

\bigskip

\begin{minipage}{235pt}
Wir denken uns einen Zylinder $Z$ in die Strömung gelegt. "`Volumengewinn"' in $Z$ pro Zeiteinheit = abgeflossene $-$ zugeflossene Menge:
$$\int_Z\mathrm{div}\,\vec V(P)\,dP = \iiint_Z 1-x^2-y^2\;dx\,dy\,dz$$
\end{minipage}
\begin{minipage}{120pt}
\flushright

\begin{picture}(110,75)
\put(0,10){\vector(1,0){110}}
\put(50,0){\vector(0,1){70}}
\multiput(10,9)(80,0){2}{\line(0,1){51}}
\linethickness{0.2pt}
\qbezier(10,10)(50,35)(90,10)
\multiput(18,10)(64,0){2}{\vector(0,1){4.5}}
\multiput(26,10)(48,0){2}{\vector(0,1){8}}
\multiput(34,10)(32,0){2}{\vector(0,1){10.5}}
\multiput(42,10)(16,0){2}{\vector(0,1){12}}
\put(50,10){\vector(0,1){13}}
\qbezier(10,30)(50,75)(90,30)
\put(10,30){\line(1,0){80}}
\multiput(18,30)(64,0){2}{\vector(0,1){8}}
\multiput(26,30)(48,0){2}{\vector(0,1){14}}
\multiput(34,30)(32,0){2}{\vector(0,1){18.7}}
\multiput(42,30)(16,0){2}{\vector(0,1){21.3}}
\put(50,30){\vector(0,1){22}}
\thinlines
\multiput(0,0)(0,-25){2}{\qbezier(38,40)(38,42)(50,42)
\qbezier(62,40)(62,42)(50,42)}
\multiput(0,0)(0,-25){2}{\qbezier(38,40)(38,38)(50,38)\qbezier(62,40)(62,38)(50,38)}

\put(2,0){$-1$}
\put(87,0){$1$}
\put(103,0){$x$}
\put(53,63){$z$}
\put(65,21.5){$Z$}

\multiput(38,15)(24,0){2}{\line(0,1){25}}
\end{picture}
\end{minipage}

\bigskip

$\mathrm{div}\,\vec V(P)$ wird auch als \emph{Quellenstärke pro Volumen} bezeichnet.

\subsubsection{Rechenregeln}
\begin{tabular}{lcl}
$\mathrm{div}\,(\vec V + \vec W)  $ & = & $\mathrm{div}\,\vec V + \mathrm{div}\,\vec W$\\
$\mathrm{div}\,(c\cdot\vec V)  $ & = & $c \cdot \mathrm{div}\,\vec V$\\
$\mathrm{div}\,(F\cdot\vec V)$ & = & $(\mathrm{grad}\,F)\cdot\vec V + F\cdot \mathrm{div}\,\vec V$
\end{tabular}

\smallskip

\ \ wobei $F$ ein Skalarfeld ist.

\paragraph{Beispiele:} $\vec r = (x,y)^T = 1+1=2, \quad \vec r = (x,y,z)^T = 1+1+1 =3$

\bigskip

$\displaystyle\vec H(x,y,z) = \frac{k}{x^2+y^2}\cdot(-y,x,0)^T \qquad$ (magnetisches Feld, s. 12.1.4)
$$\frac{\partial v_1}{\partial x} = k\cdot \frac{2xy}{(x^2+y^2)^2},\quad \frac{\partial v_2}{\partial y} = -k\cdot\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2},\quad \frac{\partial v_3}{\partial z} = 0 $$
$\Rightarrow \mathrm{div}\,\vec H = 0 \Rightarrow$ Feld ist quellenfrei

\subsection{Satz} \index{quellenfrei (Vektorfeld)} \index{Vektorpotential} \index{wirbelfrei (Vektorfeld)} \index{Skalarpotential}
Ein Vektorfeld $\vec V$ ist genau dann quellenfrei, wenn es sich als Rotation eines Vektorfeldes $\vec W$ darstellen läßt:
$$\mathrm{div}\,\vec V = 0 \quad \Leftrightarrow \quad \vec V = \mathrm{rot}\,\vec W$$
$\vec W$ heißt \emph{Vektorpotenzial} (und ist bis auf den Gradienten einer skalaren Funktion eindeutig bestimmt).

\bigskip

Ein Vektorfeld $\vec V$ ist genau dann wirbelfrei, wenn es sich als Gradient eines Skalarfeldes darstellen läßt:
$$\mathrm{rot}\,\vec V = 0 \quad \Leftrightarrow \quad \vec V = \mathrm{grad}\,\vec F$$
$F$ heißt \emph{Skalarpotenzial} (und ist bis auf einem Konstanten eindeutig bestimmt). \quad /siehe Satz 10.5.6 mit $n = 3$/

\section{Kurvenintegrale} 
\subsection{Kurven im Raum (Wiederholung)}
Parameterdarstellung: $\vec r(t) = (x(t),\,y(t),\,z(t)), \quad t \in [a,\,b]$

Sind $x$, $y$, $z$ differenzierbar, so sei
$$\vec {r'}(t) = \dot{\vec{r}}(t) = (x'(t),\,y'(t),\,z'(t))$$
$\vec{r'}(t_0)$ ist Tangentialvektor an die Kurve im Kurvenpunkt $\vec r(t_0)$. Parameterdarstellung der Tangente:
$$\vec r(t_0) + t\cdot\vec{r'}(t_0) \qquad t\in\mathbb{R}$$

\subsubsection{Beispiele}
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})}
\item Schraublinie: $\vec r(t) = (R\cdot \cos t,\,R\cdot \sin t,\,h\cdot t)^T, \quad t \in \mathbb{R}, (R>0, h >0)$

\smallskip

\begin{minipage}{220pt}
Abstand von der $z$--Achse:

\smallskip

$\sqrt{R^2\cos^2 t + R^2 \sin^2 t} = R$.

\bigskip

Ein Umlauf: $2\pi \Rightarrow$ Ganghöhe: $2\pi\cdot h$.

\bigskip


Tangentialvektor: $\vec{r'} = (-R\cdot \sin t,\, R \cdot \cos t,\,h)^T$

\bigskip


Bei $t=0$: $\vec r(0) = (R,\,0,\,0)^T$ 

\smallskip


$\vec{r'}(0) = (0,\,R,\,h)^T$


\smallskip


 $\Rightarrow$ Tangente: $(R,\,0,\,0)^T + t\cdot(0,\,R,\,h)^T$
\end{minipage}
\begin{minipage}{110pt}
\flushright

\begin{picture}(100,120)
\setlength{\unitlength}{1.5pt}
\put(30,20){\vector(2,-1){25}}
\put(30,20){\vector(-2,-1){25}}
\put(30,20){\vector(0,1){60}}
\put(0,2.5){$x$}
\put(56,2.5){$y$}
\put(32,75){$z$}
\multiput(0,0)(0,10){4}{
\qbezier(17.5,13.25)(20,10)(30,10)
\qbezier(30,10)(40,10)(45,16)
\qbezier(45,27.5)(50,23)(45,16)
\qbezier(45,27.5)(40,32)(30,32)
\qbezier(17.5,23.25)(13,31)(30,32)
}

\qbezier(17.5,13.25)(17.5,13.25)(16.5,14.25)
\put(12,15.5){$R$}

\multiput(47,23)(0,10){2}{\line(1,0){5}}
\put(52,23){\vector(0,1){10}}
\put(52,33){\vector(0,-1){10}}
\put(54,25.5){$2\pi h$}
\end{picture}


\end{minipage}

\newpage
\item Schraublinie auf einem Kegelmantel: $\vec r(t)\! =\! (t\cdot \cos t,\, t\cdot \sin t,\, h\cdot t)^T,\; t \in \mathbb{R}$



\begin{minipage}{220pt}
Abstand von der $z$--Achse: $|t|$

\bigskip

Ein Umlauf: $2\pi \Rightarrow$ Ganghöhe: $2\pi\cdot h$.

\bigskip

Tangentialvektor: $\vec{r'} =(t\cdot\cos,\,t\cdot\sin t,\,h\cdot t)^T$

\bigskip




\end{minipage}
\begin{minipage}{100pt}

\flushright

\begin{picture}(100,120)
\setlength{\unitlength}{1.5pt}
\put(40,20){\vector(2,-1){30}}
\put(40,20){\vector(-2,-1){30}}
\put(40,20){\vector(0,1){60}}
\linethickness{0.15pt}
\put(40.1,20){\line(1,2){18}}
\put(40,20){\line(-1,2){18}}
\qbezier(57.9,56)(57.9,53)(40,53)
\qbezier(22,56)(22,53)(40,53)
\qbezier(57.9,56)(57.9,59)(40,59)
\qbezier(22,56)(22,59)(40,59)
\thinlines
\qbezier(40,20)(44,27)(43,32)
\qbezier(43,32)(42,34)(40,34)
\qbezier(40,34)(34,34.3)(34,32)
\qbezier(34,32)(34,29.7)(40,30)
\qbezier(40,30)(46,30)(48.5,38)
\qbezier(48.5,38)(50,45)(40,46)
\qbezier(40,46)(29,46.5)(28,44)
\qbezier(28,44)(29,42)(40,42)
\qbezier(40,42)(53,41.5)(53,48)
\qbezier(53,48)(53,58)(40,58)
\qbezier(40,58)(22,58)(22,56)
\put(5,0){$x$}
\put(72,0){$y$}
\put(42,75){$z$}
\end{picture}
\end{minipage}

\bigskip

\item Gerade: $\vec r(t) = \mathbf{a} + t\cdot \mathbf{b}$ ,\qquad $t\in \mathbb{R}$,\quad$(a,b \in \mathbb{R}^3)^T$
\qquad $\mathbf{r}'(t) = \mathbf{b}$ \quad  Tangentialvektor der Geraden
\end{enumerate}

\subsection{Kurvenintegrale (Linienintegral)} \index{Kurvenintegral} \index{Linienintegral} \index{Integral, Kurven--}
\begin{description}
\item[Motivation:] Berechnung der Arbeit, die von einem Kraftfeld $\vec F$ beim Verschieben eines Massenpunktes verrichtet wird (entlang einer Kurve).
\end{description}

\begin{minipage}{220pt}
\begin{tabular}{lcl}
Arbeit &=& Kraft mal Weg\\
$W$ & = &$ F \cdot s$
\end{tabular}
\end{minipage}
\begin{minipage}{135pt}
\begin{picture}(130,49)
\put(10,15){\vector(1,0){110}}
\put(120,15){\vector(-1,0){110}}
\put(63,17){$s$}
\put(55,3){Weg}
\put(0,35){\line(1,0){130}}
\multiput(10,33)(110,0){2}{\line(0,1){4}}
\multiput(10,35)(20.5,0){2}{\line(0,1){8}}
\put(10,43){\line(1,0){20}}
\put(5,23){$A$}
\put(115,23){$B$}
\qbezier(10,39)(14,43)(14,43)
\qbezier(26,35)(30,39)(30,39)
\multiput(0,0)(4,0){4}{\qbezier(10,35)(10,35)(18,43)}
\put(30,39){\vector(1,0){30}}
\put(50,43){$F$}
\end{picture}
\end{minipage}

\paragraph{Spezialfall:} Verschiebung längs einer Geraden durch eine konstante Kraft

\begin{minipage}{220pt}
\begin{tabular}{l@{\,\,}c@{\,\,}l}
Arbeit = $W$ &=& $F\cdot s = |\vec F| \cdot \cos\varphi \cdot s$\\
             &=& $\vec F \cdot \vec s$
\end{tabular}
\end{minipage}
\begin{minipage}{135pt}
\begin{picture}(130,52)
\put(10,12){\vector(1,0){110}}
\put(63,2){$\vec s$}
\put(0,12){\line(1,0){130}}
\multiput(10,10)(110,0){2}{\line(0,1){4}}
\put(5,0){$A$}
\put(115,0){$B$}
\put(10,12){\vector(3,2){40}}
\put(52,37){$\vec F$}
\put(22,15){$\varphi$}
\qbezier(32,12)(33,18)(30,25)
\end{picture}
\end{minipage}

\vspace{0.3cm}

Es sei nun $C : \vec r (t) = (x_1(t),\,x_2(t),\,x_3(t))^T$, $t = [a,\,b]$ eine Kurve und auf $C$ sei ein Vektorfeld $\vec F$ definiert.

\vspace{0.3cm}

\begin{minipage}{192pt}
Sei $Z : a = t_0 < t_1 < t_2 < \cdots < t_n = b$ eine Zerlegung des Intervalls $[a,\,b]$. Die geradlinige Verbindung der Punkte $\vec r(t_i)$ ergibt einen eingeschriebenen Streckenzug.
\end{minipage}
\begin{minipage}{165pt}
\begin{picture}(165,53)
\put(0,0){$\scriptstyle A = \vec{r}(t_0)$}
\put(125,0){$\scriptstyle B = \vec{r}(t_n)$}
\put(15,10){\circle*{2}}
\qbezier(15,10)(35,70)(68,25)
\qbezier(68,25)(87,3)(110,30)
\qbezier(110,30)(128,50)(140,10)
\put(140,10){\circle*{2}}
\qbezier(15,10)(15,10)(44,44.5)
\put(42,47){$\scriptstyle \vec r(t_1)$}
\put(80,7){$\scriptstyle \vec r(t_2)$}
\put(44,44){\circle*{2}}
\put(86,15){\circle*{2}}
\qbezier(44,44.5)(86,15)(86,15)
\end{picture}
\end{minipage}

\vspace{0.3cm}

 In jedem Teilintervall $[t_{i-1},\,t_i]$ wählen wir eine beliebige Zwischenstelle $\eta_i$. Näherung für $\vec F$ auf der $i$--ten Teilstrecke: $\vec F(\vec r(\eta_i))$. Wir bilden die Summe (Näherung für die Arbeit):
$$S(Z) = \sum\limits_{i=1}^n\vec F(\vec r(\eta_i))\cdot(\vec r(t_i)-\vec r(t_{i-1}))$$
\paragraph{Definiton:} Existiert der Grenzwert $\lim\limits_{\Delta Z \to 0} S(Z)$, so nennt man ihn \emph{Kurvenintegral von $\vec F$ längs $C$}.

\subparagraph{Bezeichnung:} $\displaystyle\int\limits_C \vec F\cdot d\vec r$

\subsection{Satz} Ist $\vec F = (F_1,\,F_2,\,F_3)^T$ stetig und $C$ eine stückweise stetig differenzierbare Kurve, so ist $\vec F$ längs $C$ integrierbar und es gilt
$$\int\limits_C \vec F \cdot d\vec r = \int\limits_a^b F_1(\vec r(t)) \cdot x_1'(t) + F_2(\vec r(t)) \cdot x_2' + F_3(\vec r(t))\cdot x_3'\; dt$$
wobei $\vec r(t) = (x_1(t),\,x_2(t),\,x_3(t))^T$.

\subsubsection{Bemerkung} \index{Zirkulation} 
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})}
\item Für ein Kurvenintegral längs einer \emph{geschlossenen} Kurve (d.h. $\vec r(a) = \vec r(b)$) schreibt man auch
\begin{center}
$\displaystyle\oint_C\vec F\,d\vec r$ \qquad (\emph{Zirkulation} von $\vec F$ längs $C$)
\end{center}
\item Auch die folgende Schreibweise ist üblich:
$$C:\vec r(t) = (x(t),\,y(t),\,z(t)), \quad \vec F = (F_x,\, F_y,\,F_z) \quad \textnormal{(keine part. Abl.!)}$$
\begin{eqnarray*}
\int\limits_C\! \vec F \cdot d\vec r & = & \int\limits_C\! F_x(x,y,z)\,dx + F_y(x,y,z)\,dy + F_z(x,y,z)\,dz\\
 & = & \int\limits_a^b\! F_x \cdot \dot x + F_y \cdot \dot y + F_z \cdot \dot z\; dt
\end{eqnarray*}
\item Wird der Integrationsweg in umgekehrter Richtung durchlaufen, so tritt beim Integral ein Vorzeichenwechsel ein.
\item Analog definiert man das Kurvenintegral für ein ebenes Vektorfeld $\vec F = (F_x,\,F_y)^T$ längs einer bestimmten Kurve $C : \vec r(t) = (x(t),\,y(t))^T$.

Es gilt:
$$\int\limits_C\! \vec F\cdot d\vec r = \int\limits_C \! F_x(x,y)\,dx + F_y(x,y)\,dy = \int\limits_a^b F_x\cdot\dot x + F_y \cdot \dot y\; dt$$
\end{enumerate}


\subsection{Beispiel}

\begin{minipage}{245pt}
Vektorfeld: $F(x,y) = (xy^2,\,xy)^T$
\begin{eqnarray*}
I &=& \int\limits_C (xy^2,\,xy)^T\,d\vec r = \int\limits_C xy^2\,dx + xy\,dy =\\
 & = & \int\limits_a^b x(t) \cdot y(t)^2 \cdot \dot x(t) + x(t) \cdot y(t) \cdot \dot y(t) \; dt
\end{eqnarray*}


\end{minipage}
\begin{minipage}{110pt}
\flushright

\begin{picture}(100,95)
\put(0,40){$C_3^*$}
\put(34,76){$C_3^{**}$}
\put(30,48){$C_1$}
\put(57,28){$C_2$}
\put(15,10){\vector(0,1){85}}
\put(10,15){\vector(1,0){90}}
\put(70,13){\line(0,1){4}}
\put(13,70){\line(1,0){4}}
\put(5,66.5){$1$}
\put(68,3){$1$}
\put(90,5){$x$}
\put(6,85){$y$}
\put(70,70){\circle*{2}}
\put(73,73){$P$}
\thicklines
\put(15,15){\vector(1,1){33}}
\put(15,15){\line(1,1){55}}
\qbezier(15,15)(50,15)(70,70)
\put(56.5,41){\vector(2,3){0}}
\put(15,15){\line(0,1){55}}
\put(15,70){\line(1,0){55}}
\put(15,15){\vector(0,1){33}}
\put(15,70){\vector(1,0){33}}
\vspace{0.5cm}
\end{picture}
\end{minipage}

\paragraph{Integrationsweg $C_1$:} $x = t$, $\dot x = 1$, \quad  $y = t$, $\dot y = 1$ \qquad  $(0\leq t \leq 1)$
$$I = \int\limits_0^1\! t^3 + t^2 \, dt = \frac{1}{4} t^4 + \frac{1}{3}t^3\bigg|_0^1 = \frac{7}{12}$$

\paragraph{Integrationsweg $C_2$:} $x = t$, $\dot x = 1$, \quad  $y = t^3$, $\dot y = 3t^2$ \qquad  $(0\leq t \leq 1)$
$$I = \int\limits_0^1 t^7+3t^6\,dt = \frac{1}{8}t^8 + \frac{3}{7}t^7\bigg|_0^1 = \frac{31}{36}$$

\subsubsection{Integrationsweg $C_3 = C_3^* \land C_3^{**}$}

\paragraph{Teilweg $C_3^*$:} $x = 0$, $\dot x = 0$, \quad  $y = t$, $\dot y = 1$ \qquad  $(0\leq t \leq 1)$
$$I = \int\limits_0^1 0\,dt = 0$$

\paragraph{Teilweg $C_3^{**}$:} $x = t$, $\dot x = 1$, \quad  $y = 1$, $\dot y = 0$ \qquad  $(0\leq t \leq 1)$
$$I = \int\limits_0^1 t\,dt = \frac{1}{2}t^2\bigg|_0^1 = \frac{1}{2}$$

\subsection{Satz}
Es sei $\vec F$ ein stetig partiell differentierbares Vektorfeld in einem \emph{einfach--zusammenhängendem} Bereich.

 Dann sind die folgenden Eigenschaften gleichwertig:
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\roman{enumi})}
\item Das Kurvenintegral $\int_C \vec F \cdot d\vec r$ ist längs einer Kurve $C$, die zwei beliebige Punkte $P$ und $Q$ verbindet, ist unabhängig vom eingeschlagenen Verbindungsweg (der im Bereich liegt).
\item Das Kurvenintegral längs einer im Bereich liegenden geschlossenen Kurve hat stets den Wert $0$.
\item $\vec F$ ist als Gradient einer Skalaren Funktion $\varphi$ (\emph{Potential}) darstellbar: $\vec F = \mathrm{grad}\,\varphi$. Für $\varphi$ gilt dann $\int\limits_C\vec F d\vec r = \varphi(Q) - \varphi(P)$.
\item $\vec F$ ist wirbelfrei; $\mathrm{rot}\,\vec F = 0$.
\end{enumerate}

$\vec F$ heißt \emph{konservativ}, wenn eine dieser Bedingungen (dann auch alle) erfüllt ist. \index{konservativ (Vektorfeld)}

\bigskip

Ein Bereich heißt \emph{einfach--zusammenhängend}, wenn sich jede im Bereich liegende geschlossene Kurve auf einen Punkt zusammenziehen lässt. \index{einfach--zus.hängender Bereich}

\section{Oberflächenintegral} \index{Oberflächenintegral}

Wir betrachten eine Flüssigkeitsströmung mit der Geschwindigkeit $\vec v(P)$ (räumliches Vektorfeld). Wir interessieren uns für die Flüssigkeitsmenge, die pro Zeiteinheit durch ein bestimmtes Flächenstück $A$ hindurchströmt.
\paragraph{Spezialfall:} $\vec v$ ist konstant, $A$ ist ein Rechteck

\smallskip

\begin{minipage}{240pt}
Wir nehmen an, daß $\vec n_1 = \vec r \times \vec s$ "`zur selben Seite"' zeigt wie $\vec r$.

\smallskip

(Vereinbarung; \emph{orientierte Fläche}). \index{orientierte Fläche} \index{Fläche, orientiert}

\bigskip

Die gesuchte Flüssigkeit ist dann gleich dem Volumen des Spates, das durch $\vec r$, $\vec s$, und $\vec v$ aufgespannt wird:
\end{minipage}
\begin{minipage}{115pt}
\flushright 
\begin{picture}(100,100)
\thicklines
\put(15,25){\vector(0,1){50}}
\put(15,25){\vector(2,1){30}}
\put(15,25){\vector(1,0){50}}
\put(15,25){\vector(3,-1){30}}
\thinlines

\qbezier(15,35)(26,35)(25,22)
\qbezier(23,29)(33,28)(25,22)
\put(20,29){\circle*{2}}
\put(24,25.5){\circle*{2}}

\put(15,75){\line(2,1){30}}
\put(45,40){\line(0,1){50}}
\put(15,75){\line(1,0){50}}
\multiput(45,40)(0,50){2}{\line(1,0){50}}
\multiput(65,25)(0,50){2}{\line(2,1){30}}
\multiput(65,25)(30,15){2}{\line(0,1){50}}
\put(5,65){$\vec s$}
\put(35,39){$\vec r$}
\put(25,52){$A$}
\put(57,15){$\vec v$}
\put(41,5){$\vec n_1$}
\end{picture}
\end{minipage}
$$V = \underbrace{[r,\,s,\,v]}_{\textnormal{\tiny Spatprodukt}} = \vec v \cdot (\vec r \times \vec s) = \vec v \cdot \vec n_1 = \vec v\cdot \vec n \cdot \textnormal{Flächeninhalt } A$$

\begin{center}
 \fbox{$\displaystyle \quad \vec n = \frac{\vec n_1}{|\vec n_1|} = \frac{\vec n_1}{|\vec r \times \vec s|} \quad $} \quad $|\vec r \times \vec s| =$ Flächeninhalt von $A$
\end{center}

\paragraph{Der allgemeine Fall:} $A$ sei eine sogenannte \emph{orientierte Fläche}. Eine Fläche hat 2 Seiten. Sie heißt \emph{orientiert}, wenn eine Vereinbarung getroffen wurde, die Flächennormale $\vec n$, $|\vec n| = 1$ auf einer bestimmten Seite anzuheften. Bei einer geschlossenen Fläche, z.B. der Oberfläche einer Kugel, zeigt $\vec n$ vereinbarungsgemäß nach außen.
\begin{itemize}
\item Wir wählen eine Zerlegung $Z$ von $A$ in $n$ Teilflächen $A_1,\ldots,A_n$.

$\Delta (Z)$ : der maximale Durchmesser (\emph{Feinheit} der Zerlegung)

\item Aus jeder Teilfläche $A_k$ wählen wir einen Punkt $P_k$. Sei $\vec n(P_k)$ die Flächennormale im Punkt $P_k$ (Länge $1$).

\item Wir bilden die Zwischensumme ($|A_k|$ : Flächeneinhalt)
$$S(Z) = \sum\limits_{k=1}^n \vec v(P_k) \cdot \vec n(P_k) \cdot |A_k|$$
\end{itemize}

\subsection{Definition}
Existiert der Grenzwert $\lim\limits_{\Delta (Z) \to 0} S(Z)$, so wird er \emph{Oberflächenintegral} des Vektorfeldes $\vec v$ über die orientierte Fläche $A$ genannt und durch $$\iint_{(A)} \vec v \cdot \vec n \,dA$$ bezeichnet (\emph{Flußintegral}, \emph{Fluß des Vektorfeldes} $\vec v$ durch $A$). \index{Flußintegral}

\subsubsection{Bemerkungen}
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})}
\item Das Oberflächenintegral über eine geschlossene Fläche wird mit 

$\oiint\limits_{(A)} \vec v \vec n \, dA$ bezeichnet (\emph{Hüllenintegral}).\index{Hüllenintegral}

\item Setzt man speziell $\vec v = \vec n$, dann ist das Integral $\iint\limits_{(A)} 1\,dA$ und ist gleich dem Flächeninhalt von $A$.
\end{enumerate}

\subsection{Berechnung eines Oberflächenintegrals}

Sei $\vec F$ ein Vektorfeld, die Fläche $A$ sei in Parameterdarstellung durch $\vec r(u,v)$, $(a \leq u \leq b,\, c \leq v \leq d)$ gegeben. Dann ist $\vec r_u(u_0,v_0) \times \vec r_v(u_0,v_0)$ ein Normalenvektor für die Fläche (für die Tangetialebene) im Punkt $(u_0,v_0)$. Für die Flächennormale $\vec n(u,v)$ wählen wir den Vektor $\vec n = \frac{\vec r_u \times \vec r_v}{|\vec r_u \times \vec r_v|}$.

\bigskip

Existiert das Integral $\iint\limits_{(A)} \vec F \cdot \vec n \,dA$, so gilt
$$\iint\limits_{(A)} \vec F \cdot \vec n \, dA = \int\limits_a^b\! \int\limits_c^d \! \vec F(u,v) \cdot \left[\vec r_u(u,v) \times \vec r_v(u,v)\right]\, dv\,du$$

\paragraph{Spezialfall:} $\vec F = \vec n$ : Flächeninhalt von $A$:
$$\int\limits_a^b\! \int\limits_c^d \! |\vec r_u(u,v) \times \vec r_v(u,v)|\, dv\,du$$

\subsection{Beispiel}

Wir berechnen den Fluß des Vektorfeldes $\vec F(x,y,z) = (y,x,z^2)^T$ durch die Mantelfläche des folgenden Zylinders.



\begin{minipage}[c]{100pt}
\begin{picture}(100,110)
\put(70,20){\vector(1,0){30}}
\multiput(50,20)(4,0){5}{\line(1,0){2}}

\put(50,70){\vector(0,1){30}}
\multiput(50,20)(0,4){15}{\line(0,1){2}}
\put(45,15){\vector(-1,-1){15}}
\qbezier(46.5,16.5)(46.5,16.5)(48,18)
\put(92,11){$y$}
\put(73,42){$h$}
\put(53,93){$z$}
\put(22,0){$x$}
\put(50,70){\line(1,0){20}}
\put(55,76){$R$}
\multiput(50,20)(0,50){2}{\circle*{2}}
\qbezier(70,70)(70,75)(50,75)
\qbezier(70,70)(70,65)(50,65)
\qbezier(30,70)(30,75)(50,75)
\qbezier(30,70)(30,65)(50,65)
\qbezier(70,20)(70,15)(50,15)
\qbezier(30,20)(30,15)(50,15)

\multiput(30,20)(40,0){2}{\line(0,1){50}}

\put(0,-20){\qbezier(30,40)(30.5,42)(32,42.8)
\qbezier(35,43.7)(36,44)(37,44.2)
\qbezier(40,44.6)(41,44.7)(42,44.8)
\qbezier(45,44.9)(46,44.9)(47,45)
\qbezier(70,40)(69.5,42)(68,42.8)
\qbezier(65,43.7)(64,44)(63,44.2)
\qbezier(60,44.6)(59,44.7)(58,44.8)
\put(49,45.2){\line(1,0){2}}
\qbezier(55,44.9)(54,44.9)(53,45)}

\end{picture}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{255pt}
Parameterdarstellung der Mantelfläche mit Zylinderkoordinaten ($R = 5$, $h = 10$): 
$$\vec r(\varphi,z) = (5\cdot \cos \varphi,\, 5\cdot \sin\varphi, z)^T$$
$$0 \leq z  \leq 10 \qquad 0 \leq \varphi \leq 2\pi$$
\end{minipage}

\bigskip

Das Vektorfeld in Zylinderkoordinaten:
$$\vec F(x,y,z) = (y,x,z^2)^T = (5\cdot \sin\varphi, 5\cdot \cos \varphi , z^2)^T$$
Berechnung des Normalenvektors:
\begin{eqnarray*}
\vec  r_{\varphi} \times \vec r_z &=&\! \!(-5 \cdot \sin \varphi, 5\cdot \cos \varphi, 0)^T\! \times\! (0,0,1)^T = \left|\begin{array}{ccc}\vec e_1 & \vec e_2 & \vec e_3 \\\! - 5\cdot \sin\varphi \!& \!5\cdot \cos \varphi \! & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right|\\
 & = & \!\!(5\cdot \cos\varphi, 5\cdot \sin\varphi,0)^T
\end{eqnarray*}
Berechnung des Integranden:
$$\vec F  \cdot [\vec r_{\varphi} \times \vec r_z] = 50\cdot \sin\varphi \cdot \cos\varphi = 25 \cdot \sin2\varphi$$
Integration:
$$\iint\limits_{(A)} \vec F \cdot \vec n \, dA = \int\limits_{0}^{2\pi}\!\int\limits_0^{10} \! 25 \cdot \sin 2\varphi \, dz \, d\varphi \stackrel{[\ldots]}{=} 0$$

\section{Integralsätze von Gauß und Stoke}\index{Integralsätze, Gauß, Stokes}
\subsection{Satz (Gaußscher Integralsatz im Raum)}\index{Gaußscher Integralsatz}
Es sei $\vec F$ ein stetig partiell differenzierbares Vektorfeld, $V$ ein räumlicher Bereich mit der geschlossenen Oberfläche $A$ und $\vec n$ die nach außen gerichtete Flächennormale. Dann gilt:
$$\iiint_{V} \mathrm{div}\,\vec F\,dV = \oiint_{(A)}\vec F \cdot \vec n \; dA$$

\subsubsection{Anmerkungen}
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})}
\item Im Strömungsmodell hat $F$ die Bedeutung des Geschwindigkeitsfeldes einer strömenden Flüssigkeit:

\bigskip

\begin{tabular}{lcp{8cm}}
$\oiint\limits_{(A)} \vec F \cdot \vec n \,dA$ & :& Flüssigkeitsmenge, die in der Zeiteinheit durch $A$ fließt.\\
$\iiint\limits_{V} \mathrm{div}\,\vec F\,dV$ &: &im Gesamtvolumen $V$ in der Zeiteinheit erzeugte oder vernichtete Flüssigkeitsmenge
\end{tabular}

\item Bei einem quellfreien Feld ($\mathrm{div}\,\vec F = 0$) ist der Gesamtfluß durch die geschlossene Oberfläche gleich $0$.
\end{enumerate}

\paragraph{Eine typische Anwendung:} Bestimmung des elektrischen Feldes $\vec E$ eines homogen geladenen Zylinders.

\begin{description}
\item[Maxwell:] $\mathrm{div}\,\vec E =\displaystyle \frac{\varrho_{el}}{\varepsilon_0} = \frac{\textnormal{Ladungsdichte}}{\textnormal{el. Feldkonstante}}$

\item[Gauß:] Integralsatz für den Zylinder mit Radius $R$ (sehr lang). Vollständige Rechnung siehe Papula Band 3, 9.3.1.

\bigskip

\begin{minipage}{6cm}
$\displaystyle E(\varrho) = \left\{\begin{array}{ll}\displaystyle\frac{\varrho_{el}}{2\varepsilon_0}\cdot \varrho & \varrho \leq R\\
\\
\displaystyle \frac{\varrho_{el} \cdot R^2}{2\varepsilon_0} \cdot \varrho & \varrho \geq R\end{array} \right.$
\end{minipage}
\begin{minipage}{5.5cm}
\center

\begin{picture}(110,50)
\put(40,25){\circle{40}}
\put(60,25){\vector(1,0){30}}
\put(40,25){\circle*{2}}
\put(40,25){\line(1,1){14}}
\put(80,30){$\vec E$}
\put(40,35){$\varrho$}
\end{picture}

Querschnitt des Zylinders

\end{minipage}
\end{description}

\subsection{Satz (Stoke'scher Integralsatz)}\index{Stoke'scher Integralsatz}

Es sei $F$ ein stetig partiell differenzierbares Vektorfeld und $C$ eine \emph{einfach geschlossene} Kurve. Dann ist das Kurvenintegral von $\vec F$ längs $C$ gleich dem Oberflächenintegral der Rotation von $F$ über eine beliebige Fläche $A$, die durch $C$ berandet wird.
$$\oint_{C}\vec F\,dr = \iint_{(A)} \mathrm{rot}\,\vec F \cdot \vec n \, dA$$

\begin{minipage}{9.8cm}
Dabei wird die Umlaufrichtung für $C$ wie folgt festgelegt: Ein Beobachter, der in die Richtung von $\vec n$ schaut, durchläuft $C$ so, daß $A$ links liegen bleibt.
\end{minipage}
\begin{minipage}{2.5cm}
\center 

\begin{picture}(50,55)
\setlength{\unitlength}{0.5pt} 
\qbezier(15,80)(40,115)(65,75)
\qbezier(15,80)(0,55)(20,35)
\qbezier(20,35)(25,30)(20,25)
\qbezier(20,25)(5,12)(30,4)
\qbezier(30,4)(110,-8)(65,75)
\put(1,85){$C$}
\put(35,39){$A$}
\put(60,74){\vector(1,3){10}}
\put(63,107){$\vec n$}
\put(33,96){\vector(-1,0){0}}
\put(09,55){\vector(0,-1){0}}
\put(55,2.5){\vector(1,0){0}}
\put(73.5,58){\vector(-1,2){0}}
\end{picture}
\end{minipage}

\subsubsection{Anmerkungen}
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})}\index{Wirbelfluß}\index{Fluß, Wirbel--}
\item $\oiint\limits_A \mathrm{rot}\,\vec F\,\vec n\,dA$ wird auch als \emph{Wirbelfluß} bezeichnet. Satz von Strokes: Der Wirbelfluß durch eine Fläche ist gleich der Zirkulation längs der Randkurve dieser Fläche.

\item Der Wirbelfluß ist für alle Flächen, die von der gleichen Kurve berandet werden, gleich groß.
\item Der Wirbelfluß durch eine geschlossene Fläche ist 0. Nach dem Gaußschen Integralsatz gilt nämlich (mit $\mathrm{rot}\,\vec F$ anstelle von $\vec F$):
$$\iint\limits_{(A)} \mathrm{rot}\,\vec F\cdot \vec n \cdot dA = \iiint\limits_V \underbrace{\mathrm{div}(\mathrm{rot}\,\vec F)}_{0}\,dV = 0$$

\item Eine stetige Kurve $C : (x(t), y(t), z(t))$, $a \leq t  \leq b$ heißt \emph{einfach geschlossen}, wenn $(x(a),y(a),z(a)) = (x(b),y(b),z(b))$ und $(x(t_1),y(t_1),$ $z(t_1))\ne (x(t_2),y(t_2),z(t_2))$, wenn $a\leq t_1 < t_2 < b$.
\index{einfach geschlossene Kurve}


\end{enumerate}
\paragraph{Eine typische Anwendung:} Bestimmung des Magnetfeldes $\vec H$ eines \newline stromduchflossenen linearen Leiters.

\begin{description}
\item[Maxwell:] $\mathrm{rot}\, \vec H = \vec i$ \qquad (Stromdichte)
\item[Stokes:] $C$: Kreisförmige magnetische Feldlinien, $A$: Kreisfläche
\end{description}


\begin{minipage}{2.5cm}
\begin{picture}(63,90)
\put(30,0){\line(0,1){80}}
\put(30,40){\circle{40}}
\put(35,67){$\vec i$}
\put(53,35){$\vec H$}
\put(30,73){\vector(0,1){0}}
\put(50,42){\vector(0,1){0}}

\put(30,40){\line(-1,1){14}}
\put(15,43){$\varrho$}
\put(33,9){$C$}
\put(35,33){$A$}
\end{picture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{9.0cm}

\center

$$H(\varrho) = \frac{1}{2\pi} \cdot \frac{1}{\varrho} \qquad (\varrho > 0)$$
(siehe Papula, Band 3, 9.3.2.)


\end{minipage}



\chapter{Unendliche Reihen}

\section{Zahlenreihen}\index{Zahlenreihen} \index{Partialsumme} \index{unendliche Reihe} \index{Reihe, unendliche}
\subsection{Definition}
Gegeben sei eine Folge $\{a_n\}\big._{n=1}^{\infty}$. Bezeichnen wir die Summe der ersten $n$ Glieder mit $s_n$, also $s_1 = a_1$, $s_2 = a_1 + a_2$, \ldots , $s_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n = \sum\limits_{k=1}^n a_k$, so erhalten wir eine neue Folge $\{s_n\}\big._1^{\infty}$, die Folge der \emph{Partialsummen} von $\{a_n\}$. Diese Folge heißt die zu $\{a_n\}$ gehörende \emph{unendliche Reihe}.

\subsection{Beispiele}
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})}\index{geometrische Reihe} \index{Reihe, geometrische}
\item Geometrische Reihe: Es sei $a_1$, $q \in \mathbb{R} \smallsetminus 1$

geometrische Folge $a_k = a_1 \cdot q^{k-1}$

zugehörige geometrische Reihe: $s_n = \sum\limits_{k=1}^{n} a_1 \cdot q^{k-1} = a_1 + a_1 \cdot q + a_2 \cdot q^2 + \cdots + a_1 \cdot q^{n-1} = a_1 \frac{1-q^n}{1-q}$

\item Harmonische Reihe: $a_k = \frac{1}{k}$\index{harmonische Reihe} \index{Reihe, harmonische}

$s_n = \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n}$. z.B. $s_1 = 1$, $s_2 = 1,\!5$, $s_{50} = 5,\!18$

\end{enumerate}

\subsection{Definition: Konvergenz} \index{Konvergenz (Reihen)}
Konvergiert die Folge $\{s_n\}$ gegen eine Zahl $s$, so sagen wir, die unendliche Reihe sei \emph{konvergent} und besitze die \emph{Summe} $s$. Schreibweise:
$$s = \sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k = \lim\limits_{n \to \infty} \sum\limits_{k=1}^n a_k = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots $$

Existiert der Grenzwert nicht, so heißt die Reihe \emph{divergent}.\index{Divergenz (Reihen)}

\subsection{Beispiele}
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})}
\item Die geometrische Reihe mit $|q| < 1$ ist konvergent.
$$\sum_{k=1}^{\infty} a_1 \cdot q^{k-1} = \lim\limits_{k \to \infty} a_1 \frac{1-q^n}{1-q} = \frac{a_1}{1-q}$$


\item $\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n\cdot(n+1)} =$ ? \qquad $\displaystyle \frac{1}{n\cdot (n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$
\begin{eqnarray*}
s_n &=& \sum\limits_{k=1}^n \left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\right)\\
    & =& \left(\frac{1}{1} - \frac{1}{2}\right) +\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) +\left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right)\\
 & = & 1 - \frac{1}{n+1} \qquad \Rightarrow \lim\limits_{n\to \infty} s_n = 1
\end{eqnarray*}
Bemerkung: $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}= \frac{\pi}{6}$ (schwierig!)

\item Die harmonische Reihe ist divergent: $\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty} = \infty$.

$s_n = 1 + \frac{1}{2} + \bigg(\!\underbrace{\frac{1}{3} + \frac{1}{4}}_{> 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}}\!\bigg) +  \bigg(\!\underbrace{\frac{1}{5} + \cdots +\frac{1}{8}}_{> 4 \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{2}}\!\bigg) + \bigg(\! \underbrace{\frac{1}{9} + \cdots +\frac{1}{16}}_{> 8 \cdot{1}{16} = \frac{1}{2}}\!\bigg) +$

\hfill $+ \bigg(\!\underbrace{\frac{1}{2^k+1} + \cdots +\frac{1}{2^{k+1}}}_{> 2^k \cdot \frac{1}{2^{k+1}} = \frac{1}{2}}\!\bigg)$


\smallskip

$\displaystyle \Rightarrow \lim\limits_{n\to \infty} s_n = \infty = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$
\end{enumerate}

\subsection{Satz}
Wenn $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$ und $\sum\limits_{n=1}^{\infty} b_n$ konvergente Reihen mit den Summen $a$ und $b$ sind und $\alpha,\; \beta \in \mathbb{R}$, dann gilt:
$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}(\alpha\cdot a_n + \beta \cdot b_n) = \alpha \cdot \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n + \beta \cdot \sum\limits_{n=1}^{\infty} b_n = \alpha \cdot a + \beta \cdot b$$

\subsection{Beispiele}

\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})}
\item $\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{3^{n+1} - 2^{n+1}}{6^n} = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{3^{n+1}}{6^n} - \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n+1}}{6^n} = 3 \cdot \underbrace{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^n}_{\textnormal{\scriptsize geom. Reihe}} - 2 \cdot \underbrace{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^n}_{\textnormal{\scriptsize geom. Reihe}}$

$\displaystyle = 3 \cdot \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} - 2 \cdot \frac{\frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{3}} = 3 - 1 = 2$

\item $A$, $B$: Fahrradfahrer, $F$: Fliege


\begin{minipage}{135pt}
\begin{picture}(125,60)
\put(5,5){\vector(1,0){110}}
\put(115,5){\vector(-1,0){110}}
\put(51,8){$20\,\mathrm{km}$}
\multiput(5,35)(110,0){2}{\line(0,1){5}}
\put(5,37.5){\line(1,0){110}}
\put(0,23){$A\!\! \longrightarrow \! \raisebox{0.7pt}{$\scriptstyle 10\,\mathrm{\frac{km}{h}}$}$}
\put(69,23){$\raisebox{0.7pt}{$\scriptstyle 10\,\mathrm{\frac{km}{h}}$} \! \longleftarrow \!\! B$ }
\put(0,45){$F\!\! \longrightarrow \raisebox{0.7pt}{$\scriptstyle 20\,\mathrm{\frac{km}{h}}$}$}
\end{picture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{195pt}
$A$, $B$, $F$ starten zusammen. $F$ fliegt, bis sie $B$ trifft, dann wendet sie und fliegt bis sie $A$ trifft, usw. Man berechne die Länge der Strecke, die $F$ bis zum Treffen von $A$ und $B$  zurücklegt hat.
\end{minipage}

\begin{eqnarray*}
s &=& \frac{2}{3} \cdot 20 + \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot 20 + \frac{1}{3^2} \cdot \frac{2}{3} \cdot 20 + \cdots\\ 
& = &  \frac{2}{3} \cdot 20 \cdot \left(1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \cdots \right) \vphantom{\int\limits_a^b} \\
& = & \frac{2}{3}\cdot 20 \cdot \frac{1}{1-\frac{1}{3}} = 20
\end{eqnarray*}

Einfachere Lösung: $A$ und $B$ treffen sich nach einer Stunde $\rightarrow 20\,\mathrm{km}$
\end{enumerate}

\subsection{Satz} \index{Konvergenz, notwendige Bed.}
Wenn die Reihe $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$ konvergent ist, so ist $\lim\limits_{n \to \infty} a_n = 0$

\paragraph{Bemerkung:} Diese Bedingung ist nur notwendig aber nicht hinreichend für die Konvergenz (z.B. $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac 1 n$ ist divergent obwohl $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$)

\subsection{Satz: Majoranten-- und Minorantenkriterium}\index{Majorantenkriterium} \index{Minorantenkriterium}
Gegeben sei die Reihe $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$.
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\roman{enumi})}
\item Majorantenkriterium: Gibt es eine konvergente Reihe $\sum\limits_{n=1}^{\infty} c_n$, so daß $|a_n| \leq c_n$, $(n \in \mathbb{N})$, dann ist die Reihe $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$ konvergent. 
\item Minorantenkriterium: Gibt es eine Reihe $\sum\limits_{n=1}^{\infty} d_n$ mit $a_n \geq d_n$, $(n \in \mathbb{N})$, und $\sum\limits_{n=1}^{\infty} d_n = \infty$, dann ist $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n = \infty$. 
\end{enumerate}

\subsection{Beispiele}
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})}
\item Ist  $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+1)^2}$ konvergent? Wir wissen $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)}$ ist konvergent, und $\frac{1}{(n+1)^2} < \frac{1}{n(n+1)}$. $\Rightarrow$ Die Folge ist konvergent!

\item Ist $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{\frac 1 3}}$ konvergent? \quad $\frac{1}{n^{\frac 1 3}} \geq \frac 1 n$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac 1 n= \infty \quad \Rightarrow \quad \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\frac 1 3}} = \infty$

\end{enumerate}


\subsection{Satz (Leibnitz)}\index{Satz von Leibnitz (Reihen)} \index{Leibnitz, Satz von (Reihen)}

Ist $\{a_n\}$ eine Nullfolge (d.h. $\lim\limits_{n \to \infty} a_n = 0$) mit $a_1 > a_2 > a_3 > \cdots > 0$, so ist die Reihe $a_1 - a_2 + a_3 - a_4 + \cdots = \sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \cdot a_n$ konvergent.

\subsection{Definition: Absolute Konvergenz}\index{Konvergenz, absolute} \index{absolute Konvergenz}

Eine Reihe $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$ heißt \emph{absolut konvergent}, wenn die Reihe $\sum\limits_{n=1}^{\infty} |a_n|$ konvergiert.
\subsubsection{Bemerkungen}
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})}
\item $1 - \frac{1}{2} + \frac 1 3 - \frac 1 4 + \cdots$ ist konvergent nach Satz (13.1.10), aber nicht absolut konvergent, da $1 + \frac 1 2 + \frac 1 3 + \frac 1 4 + \cdots = \infty$.
\item Konvergente Reihen, die nur nichtnegative Glieder besitzen, sind absolut konvergent.
\item Jede absolut konvergente Reihe ist konvergent (folgt aus dem Majorantenkriterium).

\end{enumerate}

\subsection{Satz (Wurzelkriterium)} \index{Wurzelkriterium (Reihen)}
Gegeben sei die Reihe $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$. Ist die Folge $\left\{\sqrt[n]{|a_n|}\right\}^{\infty}_{n=1}$ konvergent gegen den Grenzwert $a$, so gilt:
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})}
\item Ist $a < 1$, so ist die Reihe konvergent
\item Ist $a > 1$, so ist die Reihe divergent
\end{enumerate}

\subsection{Beispiel}
$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \left(\sqrt[n]{2} - 1\right)^n$ ist konvergent, da $\sqrt[n]{|a_n|} = \sqrt[n]{2} -1 \stackrel{n \to \infty}{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\longrightarrow} 0$ (wegen 7.1.6.ii).

\subsection{Satz (Quotientenkriterium)} \index{Quotientenkriterium (Reihen)}

Gegeben sei die Reihe $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$ mit $a_n \ne 0$. Ist die Folge $\left\{|\frac{a_{n+1}}{a_n}|\right\}_1^{\infty}$ konvergent gegen $a$, so gilt:

\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})}
\item Ist $a < 1$, so ist die Reihe konvergent
\item Ist $a > 1$, so ist die Reihe divergent
\end{enumerate}

\subsection{Beispiel}

$\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}$ ist konvergent, da $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \frac{\frac{1}{(n+1)!}}{\frac{1}{n!}} = \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{n+1} \stackrel{n \to \infty}{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\longrightarrow} 0 < 1$

(Man kann zeigen: $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!} = e$)

\subsection{Einige "`berühmte"' Reihen}
$1 + \frac 1 2 + \frac 1 3 + \frac 1 4 + \cdots = \infty$ \quad harmonische Reihe

\bigskip

$\lim\limits_{n\to\infty} \left(1 + \frac 1 2 + \frac 1 3 + \cdots + \frac 1 n - \log_e 2\right) = 0,\!577215\ldots$ \quad (Eulersche Konstante)

\bigskip

$1 - \frac 1 2 + \frac 1 3 - \frac 1 4 + \cdots = \log_e 2 \approx 0,\!693$

\bigskip

$\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}$ \quad (Euler, 1736)

\bigskip

$\frac{1}{p_1} + \frac{1}{p_2} + \frac{1}{p_3} + \cdots = \infty$ \quad (Es gibt "`mehr"' Primzahlen als Quadratzahlen)

$\frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \cdots = e$ \quad (Eulersche Zahl)

\paragraph{allgemein:} $\frac{x^0}{0!} + \frac{x^1}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots = e^x \qquad (x \in \mathbb{R})$

\section{Potenzreihen} \index{Potenzreihe}

\subsection{Definiton}
Unter einer \emph{Potenzreihe} versteht man eine unendliche Reihe der Form
 $$P(x) = \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n \cdot (x-x_0)^n = a_0 \cdot (x-x_0)^0 + a_1 \cdot (x-x_0)^1 + a_2 \cdot (x - x_0)^2 + \cdots$$ (alle Zahlen reell). Die Menge aller Zahlen $x$, für die die Reihe konvergiert heißt \emph{Konvergenzbereich} der Potenzreihe. $a_n$ : \emph{Koeffizienten} der Potenzreihe, $x_0$ : \emph{Entwicklungspunkt}.\index{Konvergenzbereich (Potenzreihe)} \index{Koeffizienten (Potenzreihe)} \index{Entw.punkt (Potenzreihe)}

\paragraph{Beispiel:} $P(x) = \sum\limits_{n=0}^{\infty} x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots$ (geom. Reihe, $x_0 = 0$)

Diese Reihe konvergiert genau dann, wenn $|x| < 1$ (siehe (13.1.4)). Der Konvergenzbereich ist also ein Intervall: $(-1,\,1)$, in diesem Intervall gilt: $P(x) = \frac{1}{1-x}$.

\subsection{Satz} 

Zu jeder Potenzreihe $\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n \cdot (x-x_0)^n$ gibt es eine reelle Zahl $r$, \emph{Konvergenzradius} genannt, mit den folgenden Eigenschaften:\index{Konvergenzrad. (Potenzreihe)}
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\roman{enumi})}
\item Die Potenzreihe konvergiert im Intervall $|x - x_0| < r$
\item Die Potenzreihe divergiert, wenn $|x - x_0| > r$
\item In den Randpunkten des Konvergenzbereiches kann die Reihe i.A. konvergieren oder divergieren
\item Existiert der Grenzwert $\lim\limits_{n\to \infty} \left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|$, so ist er gleich $r$
\end{enumerate}

\subsection{Beispiele}

\begin{enumerate} 
\renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})}
\item Für die geometrische Reihe ist $a_n = 1$, $r = \lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right| = 1$.

Divergenz in den Randpunkten $+1$ und $-1$:

\begin{description}
\item[$\mathbf{+1:}$]$ 1 + 1 + 1 + 1 + \cdots = \infty$
\item[$\mathbf{-1:}$]$ 1 - 1 + 1 - 1 + \cdots$, $s_n\! =\! \left\{\!\!\!\begin{array}{ll}1 & n \textnormal{ gerade}\\ 0 & n \textnormal{ ungerade}\end{array}\right.\! \Rightarrow\! \lim\limits_{n\to\infty} s_n$ existiert nicht  
\end{description}

\item $\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \quad (x_0 = 0)$ 

 Konvergenzradius: $r = \lim\limits_{n \to \infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right| = \lim\limits_{n \to \infty}\left|\frac{(n+1)!}{n!}\right| = \lim\limits_{n \to \infty} (n+1) = \infty$

\smallskip

$r = \infty \Rightarrow$ Die Reihe konvergiert für alle $x \in \mathbb{R} =$ Konvergenzbereich

\item Der Konvergenzradius der Potenzreihe $\sum\limits_{n=0}^{\infty} n! \cdot x^n$

$r = \lim\limits_{n \to \infty} |\frac{a_n}{a_{n+1}}| = \lim\limits_{n \to \infty} \frac{n!}{(n+1)!} = \lim\limits_{n\to \infty} \frac{1}{n+1} = 0$

Die Reihe ist  konvergent für $x= 0$.

\item $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n} \quad (x_0 = 0) \qquad r = \lim\limits_{n \to \infty} \frac{n+1}{n} = 1$


Randpunkte:
\begin{description}
\item[$\mathbf{x=1}$:] $1 + \frac 1 2 + \frac 1 3 + \cdots = \infty$

\item[$\mathbf{x=-1}$:] $1 - \frac 1 2 +  \frac 1 3 - \cdots$ konvergiert nach Satz von Leibnitz

\end{description}
\end{enumerate}

\subsection{Eigenschaften von Potenzreihen}
\begin{itemize}
\item Eine Potenzreihe ist im Innern ihres Konvergenzradius absolut konvergent
\item Eine Potenzreihe darf im Innern ihres Konvergenzradius gliedweise differenziert und integriert werden. Die neuen Potenzreihen besitzen dabei denselben Konvergenzradius wie die ursprüngliche Reihe.

Beispiel:

$\frac{d}{dx} e^x = \frac{d}{dx}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} = \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{d}{dx} \frac{x^n}{n!} = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{nx^{n-1}}{n!} = \sum\limits_{n=1}\frac{n^{n-1}}{(n-1)!} = \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = e^x$

\item Zwei Potenzreihen dürfen im gemeinsamen Konvergenzbereich gliedweise addiert und subtrahiert werden. Die neuen Potenzreihen konvergieren dann mindestens im gemeinsamen Konvergenzbereich
\end{itemize}

\subsection{Definition: Taylor--Reihe} \index{Taylor--Reihe}

$f$ sei eine auf $(a,\,b)$ beliebig oft differenzierbare Funktion und $x_0 \in (a,\,b)$. Dann heißt

$$\sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x-x_0)^k$$

die \emph{Taylor--Reihe} von $f$ im Punkt $x$. Es gibt drei Möglichkeiten:
\begin{itemize}
\item die Reihe konvergiert für alle $x \in\mathbb{R}$
\item die Reihe besitzt einen positiven Konvergenzradius
\item die Reihe konvergiert nur für $x =x_0$
\end{itemize}

Nach dem Satz von Taylor (8.4) gilt für jedes $n$ ($t$ zwischen $x_0$ und $x$):

$$f(x) = \sum\limits_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} \cdot (x-x_0)^k + \frac{f^{(n+1)}(t)}{(n+1)!}  \cdot (x-x_0)^{n+1}$$

Deshalb konvergiert die Taylor--Reihe in $x$  genau dann gegen $f(x)$. wemm dort das Restglied gegen 0 konvergiert.

\subsection{Beispiele}

\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})}
\item $f(x) = e^x, \quad x_0 = 0, \quad f^{(k)}(x) = e^x$

$f^{(k)} = 0$ $(\forall k)$ : Restglied

$\frac{f^{(n+1)}(t)}{(n+1)!} x^{n+1} \stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow} 0$ ($t$ zwischen $x_0$ und $x$)

\smallskip

$\lim\limits_{n\to\infty} \frac{x^{n+1}}{(n+1)!} = 0$\qquad für alle $x \in \mathbb{R}$

$f^{(n+1)}(t) = e^t \Rightarrow e^x = \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{1}{2}x + \frac{1}{6}x + \cdots$

\item Weitere Beispiele:

\begin{tabular}{llll}
$\sin x$ & = & $x - \frac{1}{3!} \cdot x^3 + \frac{1}{5!}\cdot x^5 - \frac{1}{7!}\cdot x^7 + \cdots$ & $(x \in \mathbb{R})$ \vspace{0.2cm}\\
$\sinh x$ & = & $x + \frac{1}{3!} \cdot x^3 - \frac{1}{5!}\cdot x^5 + \frac{1}{7!}\cdot x^7 - \cdots$ & $(x \in \mathbb{R})$ \vspace{0.2cm}\\
$\cos x$ & = & $x - \frac{1}{2!} \cdot x^2 + \frac{1}{4!}\cdot x^4 - \frac{1}{6!}\cdot x^6 + \cdots$ & $(x \in \mathbb{R}) \vspace{0.2cm}$
\end{tabular}

\item $f(x) = \ln (1+x)$

\smallskip

$f'(x) = \frac{1}{1+x}, \quad f''(x) = - \frac{1}{(1-x)^2}, \quad f^{(n)} = (-1)^{n-1}\cdot (n-1)! \quad (n \geq 1)$

\smallskip

$f^{(n)}(0) = (-1)^{n-1}\cdot (n-1)!$

Taylor--Reihe für $f$: $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} \cdot x^n = \ln (1+x) \qquad (-1 < x <1)$

Konvergenzradius: $\lim\limits_{n \to \infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right| = 1$

\item Wir definieren die Funktion $f$ durch $f(x) = e^{-\frac{1}{x^2}}$, wenn $x \ne 0$ und $f(0) = 0$.

\begin{minipage}{115pt}
\begin{picture}(100,60)
\put(0,10){\vector(1,0){100}}
\put(50,0){\vector(0,1){50}}
\put(53,43){$y$}
\put(92,1){$x$}
\put(48.5,38){\line(1,0){3}}
\put(40,35){$1$}
\qbezier(5,38)(25,38)(30,25)
\qbezier(30,25)(35,10)(50,10)
\qbezier(95,38)(75,38)(70,25)
\qbezier(70,25)(65,10)(50,10)
\end{picture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{215pt}
Man kann zeigen, daß $f$ beliebig oft differenzierbar ist und $f^{(k)}(0) = 0$ für alle $k = 1,\,2,\,3,\, \ldots$
\end{minipage}

$\Rightarrow$ Die Taylor--Reihe ist die Nullfunktion und stellt $f$ somit nur im Punkt $x=0$ dar.
\end{enumerate}

\section{Fourier--Reihen} \index{Fourier--Reihe}

\subsection{Einleitung}

In einfachen Fällen läßt sich ein periodischer Vorgang (z.B. Wechselspannung) durch eine sogenannte \emph{harmonische Schwingung}
\[y(t) = A \cdot \sin (\omega \cdot t + \varphi) \quad \textnormal{ oder } \quad y(t) = A\cdot \cos (\omega \cdot t + \varphi)\]
beschrieben.

\begin{minipage}{170pt}
\begin{picture}(150,75)
\put(0,30){\vector(1,0){145}}
\multiput(5,30)(60,0){2}{\qbezier(0,0)(15,30)(30,0)\qbezier(30,0)(45,-30)(60,0)
\put(45,-20){\line(0,1){5}}
}
\put(50,12.5){\vector(1,0){60}}
\put(110,12.5){\vector(-1,0){60}}
\put(62,0){$T = \frac{2\pi}{\omega}$}
\put(5,25){\vector(1,0){10}}
\put(15,25){\vector(-1,0){10}}
\multiput(5,22.5)(10,0){2}{\line(0,1){5}}
\put(15,0){\vector(0,1){60}}
\put(6,12){$\frac{\varphi}{\omega}$}
\put(13.5,45){\line(1,0){3}}
\put(2,42){$A$}
\put(132,21){$t$}
\put(18,55){$y$}

\end{picture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{150pt}
\vspace{0.4cm}
\begin{tabular}{l@{ }l@{ }l}
$\omega$ &:& \emph{Kreisfrequenz} \vspace{0.2cm}\\
$|A|$ &:& \emph{Amplitute} \vspace{0.2cm}\\
$T$ &:& \emph{Schwingungsdauer} 
\end{tabular}
\end{minipage}

\newpage
Nicht sinusförmige aber periodische Vorgänge:
\begin{itemize}
\item Kippschwingung (Sägezahn)
\item Sinusimpuls (nur positive/negative Halbwellen)
\end{itemize}

\paragraph{Frage:} Läßt sich eine nichtsinusförmige Schwingung aus harmonischen Schwingungen zusammensetzen?

\subsection{Definition: Trigonometrische Reihe} \index{trigonometrische Reihe} \index{Reihe, trigonometrische} \index{Kosinusreihe} \index{Sinusreihe}

Man nennt eine Reihe der Form 
\[\frac{a_0}{2} + \sum\limits_{n=1}^{\infty} \left[a_n \cdot \cos (n\cdot \omega \cdot x) + b_n \cdot \sin (n\cdot \omega \cdot x)\right]\]
eine \emph{trigonometrische Reihe}. Sind alle $a_n$ (alle $b_n$) gleich 0, so spricht man von einer \emph{Sinusreihe} (\emph{Kosinusreihe}). Im Weiteren betrachten wir den Spezialfall $\omega = 1$, der allgemeine Fall läßt sich auf diesen zurückführen.

\subsubsection{Bemerkungen}
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})}
\item  $\sin (n\cdot x)$ und $\cos (n\cdot x)$ sind periodisch mit der Periode $2\pi$
\item Die Menge aller $x$, für die die obige Reihe konvergiert, läßt sich nicht so einfach beschreiben wie bei Potenzreihen
\end{enumerate}

\subsection{Satz}
Wenn $\sum\limits_{n=1}^{\infty} |a_n| < \infty$ und $\sum\limits_{n=1}^{\infty} |b_n| < \infty$, dann konvergiert die trigonometrische Reihe 
\[f(x) = \frac{a_0}{2} +  \sum\limits_{n=1}^{\infty} \left[a_n \cdot \cos (n\cdot  x) + b_n \cdot \sin (n\cdot  x)\right]\]
für jedes $x \in \mathbb{R}$. Die Funktion $f$ ist stetig und periodisch mit der Periode $2\pi$.

\paragraph{Bemerkung:} Die Bedingungen des Satzes sind nur hinreichend aber nicht notwendig für die Konvergenz. So konvergiert z.B. die Reihe $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n}$ für jedes $x \in \mathbb{R}$, obwohl $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} = \infty$.

\subsection{Definition} \index{Fourier--Koeffizienten} \index{Koeffizienten (Fourier)}

Es sei $f$ über $[0,\,2\pi]$ integrierbar. Dann heißen die Zahlen
\[a_n = \frac{1}{\pi} \cdot \int\limits_{0}^{2\pi} f(x) \cdot \cos (n\cdot x) \,dx \qquad (n = 0,1,2,\ldots)\]
\[b_n = \frac{1}{\pi} \cdot \int\limits_{0}^{2\pi} f(x) \cdot \sin (n\cdot x) \,dx \qquad (n = 1,2,3,\ldots)\]
die \emph{Fourier--Koeffizienten} der Funktion $f$. Die mit diesen Zahlen gebildete Reihe
\[\frac{a_0}{2} + \sum\limits_{n=1}^{\infty} \left[a_n \cdot \cos (n\cdot  x) + b_n \cdot \sin (n\cdot x)\right]\]
heißt die \emph{Fourier--Reihe} von $f$.

\subsubsection{Bemerkungen}
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})}
\item In den Integralen kann man $\int\limits_0^{2\pi}$ durch $\int\limits_{-\pi}^{\pi}$ ersetzen
\item Ist $f$ eine gerade Funktion, so ist $b_n = 0$, ist $f$ eine ungerade Funktion, so gilt  $a_n = 0$ für alle $n$
\end{enumerate}

Eine Funktion heißt \emph{stückweise glatt} auf $[a,b]$, wenn $f'$ bis auf endlich viele Punkte in $[a,b]$ existiert und $f'$ stückweise stetig ist.

\subsection{Satz}
Es sei $f$ eine $2\pi$--periodische Funktion auf $\mathbb{R}$, die auf $[0,2\pi]$ stückweise glatt ist. Dann konvergiert die zu $f$ gehörende Fourier--Reihe $s(x)$ für alle $x \in \mathbb R$ und es gilt:
\[s(x) = \frac{f(x+0) + f(x-0)}{2}\]
($+0$, $-0$ : Grenzwerte von links bzw. rechts). Ist $x$ eine Stetigkeitsstelle, so ist $s(x) = f(x)$.

\subsection{Beispiele}
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})}
\item Rechteckkurve $f$ mit $f(x) = 1$, $0 \leq x \leq \pi$ und $f(x) = -1$, $\pi < x < 2\pi$

\smallskip

$f$ ist ungerade $\Rightarrow a_n = 0$

$b_n = \frac{1}{\pi}\int\limits_0^{2\pi} f(x) \cdot \sin(n\cdot x) \, dx = \frac{1}{\pi} \int\limits_0^{\pi} 1\cdot \sin (n\cdot x) \,dx + \int\limits_{\pi}^{2\pi}(-1)\cdot \sin(n \cdot x)\,dx$

$\phantom{b_n} = \frac{1}{\pi}\left[-\frac 1 n \cdot \cos (n \cdot x)\right]_0^{\pi} - \left[-\frac 1 n \cdot \cos (n \cdot x)\right]_{\pi}^{2\pi} = \frac{2}{n \cdot \pi} (1-\cos(n\cdot \pi))$

\newpage

$\Rightarrow b_n = 0$, falls $n=2k$ gerade ist und $b_n = b_{2k-1} = \frac{4}{\pi} \cdot \frac{1}{2k-1}$, falls $n$ ungerade ist.

Wir erhalten:

 $f(x) = \frac{4}{\pi} \cdot \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{\sin(2k-1)\cdot x}{2k-1} = \frac{4}{\pi}\left[\sin x + \frac{1}{3} \sin 2x + \frac 1 5 \sin 5x + \cdots\right]$

\item Sägezahn--Funktion: $f(t) = \frac{A}{2\pi} \cdot t - \frac A 2, \quad 0 < t < 2\pi, \quad f(0) = 0$

\smallskip

\begin{minipage}{130pt}
\begin{picture}(130,100)
\put(0,40){\vector(1,0){120}}
\put(40,0){\vector(0,1){90}}
\multiput(10,38.5)(30,0){4}{\line(0,1){3}}
\put(0,30){$-\pi$}
\put(67,30){$\pi$}
\put(94,30){$2\pi$}
\put(10,40){\line(1,1){30}}
\put(40,10){\line(1,1){60}}
\multiput(40,40)(60,0){2}{\circle*{2}}
\multiput(38.5,10)(0,60){2}{\line(1,0){3}}
\put(20,7){$-\frac{A}{2}$}
\put(43,67){$\frac{A}{2}$}
\put(31,82){$y$}
\put(113,30){$x$}
\end{picture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{200pt}
$f(t)$ ist ungerade $\Rightarrow a_n = 0$
\begin{eqnarray*}
b_n &=&\frac{1}{\pi} \int\limits_0^{2\pi}\left(\frac{A}{2\pi} - \frac{A}{2}\right)\cdot\sin(nt)\,dt\\
 & = & \ldots \:\: = - \frac{A}{n\cdot \pi}
\end{eqnarray*}
\end{minipage}

\smallskip

$f(t) = - \frac{A}{\pi} \cdot \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \cdot \sin (nt) = - \frac{A}{\pi} \left(\sin t + \frac 1 2 \sin(2t) + \frac 1 3 \sin (3t)+ \cdots \right)$

\smallskip

$t = \frac{\pi}{2} \Rightarrow f(\frac{2}{\pi}) = \frac{A}{2\pi} \cdot \frac{\pi}{2} - \frac{A}{2} = -\frac{A}{4} = \sum\limits_{l=0}^{\infty} \frac{1}{(2l+1)}(-1)^l$

$\Rightarrow \sum\limits_{l=0}^{\infty} \frac{1}{(2l+1)} (-1)^l = \frac{A}{4}$

\end{enumerate}

\chapter{Gewöhnliche Differentialgleichungen}\index{Differentialgleichungen}

\section{Grundlegende Begriffe}

Mathematische Beschreibung physikalischer Probleme.

\subsection{Beispiel: Schwingende Feder}

Eine Kugel der Masse $m$ hänge an einer Feder mit Federkonstante $k$. Zur Zeit $t=0$ werde die Feder um $x_0$ gedehnt und dann losgelassen.

\paragraph{Aufgabe:} Beschreibe die Bewegung

\smallskip

\begin{minipage}{70pt}
\begin{picture}(60,110)
\put(0,100){\line(1,0){50}}
\multiput(25,100)(0,-50){2}{\line(0,-1){5}}
\multiput(20,87.5)(0,-10){4}{\qbezier(0,0)(10,-5)(10,-5)}
\multiput(20,87.5)(0,-10){4}{\qbezier(0,0)(10,5)(10,5)}
\qbezier(30,92.5)(30,92.5)(25,95)
\qbezier(30,52.5)(30,52.5)(25,50)
\multiput(25,41)(0,-21){2}{\circle*{8}}
\multiput(25,40)(0,-4){5}{\line(0,-1){2}}
\put(10,41){\vector(0,1){20}}
\put(10,41){\vector(0,-1){20}}
\put(40,100){\vector(0,-1){100}}
\multiput(38.5,41)(0,-21){2}{\line(1,0){3}}
\put(45,37){$0$}
\put(45,17){$x_0$}
\end{picture}


\end{minipage}
\begin{minipage}{285pt}
Nach unten zeigende Bewegungsrichtung. 

Nullpunkt: Mittelpunkt der Kugel in Ruhelage.

\smallskip

$x(t)$: Lage des Mittelpunktes der Kugel zur Zeit $t$

\begin{description}
\item[Grundgesetz der Mechanik:] $m \cdot a = m \cdot x'' = \sum F$
\item[Federkraft:] $-k\cdot x(t)$, $(k > 0)$ 
\end{description}

\end{minipage}

\vspace{0.5cm}

Daraus folgt für die Bewegung:

\begin{equation}
m\cdot x''(t) = -k\cdot x(t)
\end{equation}

\subsection{Definition}\index{Ordnung (DGL)} \index{Differentialgleichungen!gewöhnlich} \index{Differentialgleichungen!partiell}

Eine Gleichung zur Bestimmung einer Funktion heißt \emph{Differentialgleicheung}, wenn sie mindestens eine Ableitung der gesuchten Funktion enthält.

Die Ordnung der in der Differentialgleichung vorkommenden höchsten Ableitung der gesuchten Funktion heißt \emph{Ordnung der Differentialgleichung}.

Hängt die gesuchte Funktion von nur einer Veränderlichen ab, so nennt man die Differentialgleichung \emph{gewöhnlich}. Enthält die Differentialgleichung partielle Ableitungen, so heißt sie \emph{partiell}.

\subsubsection{Beispiele}
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})}
\item Die Gleichung (14.1) ist eine gewöhnliche Differentialgleichung der Ordnung 2 für die Funktion $x(t)$.
\item $y'''(x) + 2y'(x) + 3y(x) = \sin x$ ist eine gewöhnliche Differentialgleichung dritter Ordnung für $y(x)$.
\item $\frac{\partial u(x,y)}{\partial x} = \frac{\partial u(x,y)}{\partial y}$ ist eine partielle Differentialgleichung der  Ordnung 1 für die Funktion $u(x,y)$
\end{enumerate}

\index{implizite Form (DGL)} \index{explizite Form (DGL)}

Eine gewöhnliche Differentialgleichung der Ordnung $n$ hat die \emph{implizite Form} 
\[F\left(x,y,y',y'',\ldots,y^{(n)}\right) = 0\]
falls die Auflösung nach der höchsten Ableitung möglich ist, \emph{explizite Form}
\[y^{(n)} = f\left(x,y,y',y'',\ldots,y^{(n-1)}\right)\]
\paragraph{Beispiel:} $y' = x \Rightarrow  y(x) = \frac{x^2}{2}+c, \quad c \in\mathbb{R}$

\bigskip

Die Menge aller Lösungen einer Differentialgleichung heißt deren \emph{allgemeine Lösung} oder \emph{allgemeines Integral}. \index{Integral, allgemeines (DGL)} \index{allgemeines Integral (DGL)}

\paragraph{Beispiel:} Die allgemeine Lösung der DGL (14.1) mit $m=1$, $k=1$
\[X=\{x:x(t) = c_1 \cdot \cos t + c_2 \cdot \sin t, \: c_1, c_2 \in \mathbb R\}\]
Probe durch Einsetzen der Lösung in die DGL: \[-1 \cdot x''(t) = - 1 \cdot x(t)\]
Beweis später.

\bigskip

Es ist üblich auch $x(t) = c_1 \cdot \cos t + c_2 \cdot \sin t$, $c_1,c_2 \in \mathbb R$ als allgemeine Lösung zu bezeichnen.  Die allgemeine Lösung enthält Konstanten: \emph{Integrationskonstanten}.

\bigskip

\emph{Spezielle} oder \emph{partikuläre} Lösung: spezielle Wahl aller Konstanten in der allgemeinen Lösung. \index{spezielle Lösung (DGL)} \index{partikuläre Lösung (DGL)}

\bigskip

Gegeben sei die Differentialgleichung \index{Anfangswertproblem (DGL)}
\[y^{(n)} = f\left(x,y',y'',y''',\ldots,y^{(n-1)}\right)\]
sowie $x_0,\, y_0,\, y_1,\, \ldots\, , y_{n-1} \in \mathbb R$ : \emph{Anfangswertproblem}: Die Aufgabe, eine Funktion zu finden, die der Differentialgleichung genügt und die Bedingungen
\begin{equation}
y(x_0)=y_0, \; y'(x_0) = y_1, \;  y''(x_0) = y_2,\; \ldots,\;   y^{(n-1)}(x_0) = y_{n-1}
\end{equation}
$y_0,\,y_1,\,y_2,\,\ldots,\,y_{n-1}$: \emph{Anfangswerte}, \quad (14.2): \emph{Anfangsbedingungen}

\paragraph{Beispiel:} Im Beispiel (14.1.1) sei der Anfangswert $x_0$ und der Anfangszeitpunkt $t=0$.

\smallskip

Anfangsbedingungen: $x(0) = 0$ und $x'(0) = 0$
\begin{eqnarray*}
x(t) & = & c_1\cdot \cos t + c_2 \cdot\sin t\qquad c_1,\,c_2 = \mathbb R\\
x'(t) & = & -c_1 \cdot\sin t + c_2 \cdot\cos t
\end{eqnarray*}
Einsetzen der Randbedingungen:
\begin{eqnarray*}
x_0 & = & x\phantom{'}(0) = \phantom{-} c_1 \cdot \cos (0) + c_2 \cdot \sin(0) \qquad  \Rightarrow c_1 = x_0\\
0 & = & x'(0) = -c_1 \cdot \sin (0) + c_2 \cdot \cos(0) \qquad \Rightarrow c_2 = 0
\end{eqnarray*} 
Die gesuchte Funktion lautet also $x(t) = x_0 \cdot \cos t$

\section{Differentialgleichung 1. Ordnung} \index{Differentialgleichungen!1. Ordnung}

Spezielle Lösungsmethoden

\subsection{Trennung der Veränderlichen}\index{Trennung d. Veränderl. (DGL)}

Eine Differentialgleichung der Form $y' = f(x) \cdot g(y)$ heißt \emph{separabel}.\index{separabel (DGL)} \index{Differentialgleichungen!separabel}

\subsubsection{Lösungsmethode für separable Differentialgleichungen}
Beispiel: $y' = y \cdot \cos x$
\begin{enumerate}
\item $\frac{dy}{dx} = y \cdot \cos (x) \qquad / \cdot dx, \; \cdot \frac{1}{y}$
\item $\frac{1}{y} \cdot dy = \cos (x) \cdot dx$
\item $\int\frac 1 y \cdot dy = \int\cos (x) \cdot dx$
\item $\ln|y| = \sin(x) + c$
\item $|y| = e^{\sin(x)} \cdot e^c = e^{\sin(x)} \cdot c_1 \qquad (c_1 = e^c > 0)$
\item $y = c_1 \cdot e^{\sin (x)}$ oder $y = -c_1 \cdot e^{\sin (x)}$
\end{enumerate}

\smallskip

$\Rightarrow y=c_1 \cdot e^{\sin(x)}$ für $c_1 \in \mathbb R$


\subsection{Substitution eines linearen Terms}

Die Differentialgleichung $y' = f(ax + by + c)$, $(a,b,c \in \mathbb R)$ kann durch Substitution $z=ax + by + c$ in eine separable Differentialgleichung überführt werden:
\[z'=a-b\cdot y' = a-b\cdot f(z)\]
$z'=a-b\cdot f(z) \cdot  1$ ist separabel.

\paragraph{Beispiel:} $y' = (x+y)^2, \quad z = x+y \Rightarrow z' = 1+y' = 1+z^2$

\begin{enumerate}
\item $\frac{dz}{dx} = 1 + z^2$
\item $\frac{1}{1+z^2} \cdot dz = 1 \cdot dx$
\item $\int\frac{1}{1+z^2}\cdot dz = \int 1 \cdot dx$
\item $\arctan z = x + c \qquad \frac{-\pi}{2} \leq x+c \leq \frac{\pi}{2}$
\item $z = \tan(x+c)$
\item $x+y = \tan (x+c)$ \qquad für $\frac{-\pi}{2} + c \leq x \leq \frac{\pi}{2} + c$
\end{enumerate}

$\Rightarrow y = -x+\tan(x+c)$

\subsection{Gleichgradige Differentialgleichungen}\index{gleichgradige DGL} \index{Differentialgleichungen!gleichgradig}\index{Ähnlichkeits--DGL}\index{Differentialgleichungen!Ähnlichkeits--}

Die Differentialgleichung $y' = f\left(\frac y x\right)$ heißt \emph{gleichgradige Differentialgleichung} oder \emph{Ähnlichkeitsdifferentialgleichung}. Substitution: 
\[z = \frac y x \Rightarrow y = x \cdot z \Rightarrow y' = 1 \cdot z + x \cdot z' = f(z) \Rightarrow z' = \frac 1 x (f(z) - z)\]
Diese Differentialgleichung ist separabel.

\paragraph{Beispiel:} $(x^2 + y^2) \cdot y' = x\cdot y$
\[y' = \frac{x\cdot y}{x^2+y^2} = \frac{\frac y x}{1 + (\frac y x)^2}\]
Mit Substitution: $z = \frac y x$, $y' = x\cdot z + z$ ergibt sich ($x,y \ne 0$)
\[x\cdot z' + z = \frac{z}{1+z^2} \Rightarrow x\cdot z' = \frac{z}{1+z^2} - \frac{z(1+z^2)}{1+z^2} = \frac{-z^3}{1+z^2}\]
\[\Rightarrow \frac{1+z^2}{z^3} \cdot \frac{dz}{dx} = -\frac 1 x \Rightarrow \int\left(\frac{1}{z^3} + \frac{1}{z}\right) \,dz = - \int\frac{1}{x}\,dx\]
\[\frac{z^{-2}}{2} + \ln |z| = - \ln|x| + c\]

Rücksubstitution: Setzt man $z = \frac y x$ ein, so folgt:
\[-\frac 1 2 \frac{x^2}{y^2} + \ln\left|\frac y x\right| = - \ln|x| + c\]
\[-\frac 1 2 \frac{x^2}{y^2} + \ln\left|y\right| = c \Rightarrow x^2 = 2\cdot(\ln|y| - c)\cdot y^2\]

Lösung in expliziter Form, $y=0$ ist auch Lösung.

\subsection{Lineare Differentialgleichung erster Ordnung}\index{lineare DGL. 1. Ordnung} \index{Differentialgleichungen!linear 1. Ordnung}

Die Differentialgleichung $y' + f(x) \cdot y = g(x)$ heißt \emph{lineare Differentialgleichung erster Ordnung}. Man nennt sie \emph{homogen}, wenn $g=0$. $g$ heißt \emph{Störglied}.\index{Störglied (DGL)}\index{homogene DGL} \index{Differentialgleichungen!homogen}

\paragraph{Satz:} Es sei $Y_h$ die Menge aller Lösungen der homogenen Differentialgleichung $y' + y \cdot f(x) = 0$ und $y_p$ eine spezielle Lösung der inhomogenen Differentialgleichung $y' + f(x) \cdot y = g(x)$.
Dann ist $Y = \{y : y= y_h + y_p,\; y_h \in Y_h\}$ die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung.
\subparagraph{Probe:} $y' = {y_h}' + {y_p}'$ einsetzen: ${y_h}' + {y_p}' + f(x)(y_h + y_p) = 0 + g(x)$

\paragraph{Lösungsmethode:} Erläuterung an dem Beispiel $y' + 2xy = x$

\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{\Roman{enumi}.}
\item Lösung der homogenen Gleichung $y' + 2xy = 0$

$\Rightarrow \frac{dy}{dx} + 2xy = 0 \Rightarrow \frac{dy}{y} = -2x \cdot dx \Rightarrow \ln|y| = -2\frac{x^2}{2} + c$

\smallskip

$\Rightarrow |y| = k_1 \cdot e^{-x^2} \Rightarrow y_h = k \cdot e^{-x^2} \quad (k \in \mathbb R)$

\item Bestimmung einer speziellen Lösung der inhomogenen Gleichung. Methode: \emph{Variation der Konstanten}. Wir ersetzen in der Lösung der homogenen Gleichung die Konstante $k$ durch $k(x)$:\index{Variation der Konstanten (DGL)}
\[y_p = k(x) \cdot e^{-x^2} \Rightarrow {y_p}' = k'(x) \cdot e^{-x^2} + k(x) \cdot e^{-x^2}\cdot (-2x)\]
Einsetzen der speziellen Lösung $y_p$ in $y' + 2xy = x$:
\[ k'(x) \cdot e^{-x^2} + k(x) \cdot e^{-x^2}\cdot (-2x) + 2x \cdot k(x)\cdot e^{-x^2} = x \Rightarrow k'(x) \cdot e^{-x^2} = x\]
\[k'(x) \cdot (x) = x \cdot e^{x^2} \Rightarrow k(x) = \int x\cdot e^{x^2} \,dx = \frac{e^{x^2}}{2} + c\]

Wir setzen $\displaystyle c=0 \Rightarrow k(x) = \frac{e^{x^2}}{2} \Rightarrow y_p = \frac 1 2$. 

\bigskip

Allgemeine Lösung: $\displaystyle y = k \cdot e^{-x^2} + \frac 1 2$ \quad $(k \in \mathbb R)$
\end{enumerate}

\paragraph{Beispiel:} Ladevorgang eines Kondensators

\begin{minipage}{125pt}
\center

\begin{picture}(105,110)
\put(0,30){\line(1,0){60}}
\multiput(60,30)(20,0){2}{\circle*{2}}
\put(60,30){\line(2,1){20}}
\put(80,30){\line(1,0){20}}
\multiput(0,30)(100,0){2}{\line(0,1){50}}
\put(0,80){\line(1,0){15}}
\multiput(15,75)(20,0){2}{\line(0,1){10}}
\multiput(15,75)(0,10){2}{\line(1,0){20}}
\put(25,30){\circle{20}}
\put(35,80){\line(1,0){38.5}}
\put(76.5,80){\line(1,0){23.5}}
\thicklines\multiput(73.5,73)(3,0){2}{\line(0,1){14}}\thinlines
\multiput(40,73)(50,0){2}{\vector(2,1){0}}
\put(21,88){$R$}
\put(71,90){$C$}

\put(19,62){$u_R$}
\put(69,62){$u_C$}

\multiput(0,0)(50,0){2}{\qbezier(10,73)(25,66)(40,73)}
\qbezier(10,20)(25,13)(40,20)
\put(10,20){\vector(-2,1){0}}
\put(10,5){$u = U_0$}
\end{picture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{230pt}
Maschensatz: $u_R + u_C = u = U_0$

\bigskip

$u_R = R \cdot i = R \cdot \frac{dq}{dt} = R \cdot \frac{d}{dt}(C\cdot u_C) = R \cdot C \cdot \dot U_C$

\bigskip

$\Rightarrow \underbrace{RC}_{\displaystyle \tau} \cdot \dot u_c + u_c = U_0$
\end{minipage}

\smallskip

homogene Differentialgleichung: $\displaystyle \dot u_C = - \frac{1}{\tau} \cdot u_C$

\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{\Roman{enumi}.}
\item Trennung der Veränderlichen

$\int\frac{du_C}{u_C} = - \frac{1}{\tau} \int dt \quad \Rightarrow \quad \ln|u_C| = - \frac{1}{\tau} \cdot t + c \quad \Rightarrow \quad u_C = e^{-\frac{1}{\tau} \cdot t} \cdot c_1$

\item Variation der Konstanten

$u_{Cp} = e^{-\frac{1}{\tau} \cdot t} \cdot c_1(t) \Rightarrow \dot u_{Cp} = e^{-\frac{1}{\tau} \cdot t} \cdot \left(-\frac{1}{\tau}\right) \cdot c_1(t) + {c_1}'(t) \cdot e^{-\frac{1}{\tau} \cdot t}$

Einsetzen: $U_0 = \tau\cdot\left(\frac{e^{-\frac{1}{\tau} \cdot t}\cdot c_1(t)}{-\tau} + {c_1}'(t) \cdot e^{-\frac{1}{\tau} \cdot t}\right) + e^{-\frac{1}{\tau} \cdot t} \cdot {c_1}(t)$

\smallskip

$\Rightarrow \tau \cdot {c_1}'(t) \cdot e^{-\frac{1}{\tau} \cdot t} = U_0 \Rightarrow \tau \cdot {c_1}'(t) = U_0 \cdot e^{\frac{t}{\tau}}$

\smallskip

$\Rightarrow c_1(t) = U_0 \cdot e^{\frac{t}{\tau}}$
\end{enumerate}

Allgemeine Lösung: $\displaystyle u_C = c \cdot e^{-\frac{t}{\tau}} + U_0$

\paragraph{Anfangswertaufgabe:} $u_C(0) = 0$

\begin{minipage}{220pt}
\begin{eqnarray*}
u_C &=& c \cdot e^{-\frac{t}{\tau}} + U_0\\
0 & = & c \cdot 1 + U_0 \Rightarrow c = -U_0\\
\Rightarrow u_C & = & (-U_0) \cdot e^{-\frac{t}{\tau}} + U_0
\end{eqnarray*}
\end{minipage}
\begin{minipage}{135pt}
\begin{picture}(120,100)
\put(15,10){\vector(0,1){70}}
\put(10,15){\vector(1,0){110}}
\put(3,70){$u_c$}
\put(0,50){$U_0$}
\multiput(14,53)(4,0){25}{\line(1,0){2}}
\qbezier(15,15)(15,50)(100,52)
\put(115,5){$t$}
\end{picture}
\end{minipage}

\subsection{Satz} 

Die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung $y' + f(x) \cdot y = g(x)$ ist
\[y = e^{-\int f(x)\,dx} \cdot \left(k + \int \! g(x) \cdot e^{\int f(x)\,dx} \, dx\right) \qquad (k \in \mathbb R)\]

\subsection{Geometrische Deutung, Isoklinen}\index{Isoklinen (DGL)}

Wir betrachten die Differentialgleichung $y' = f(x,y)$

\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\Alph{enumi})}
\item \textbf{Voraussetzung:} Das zu $y(x_0) = y_0$ gehörige Anfangswertproblem besitzt eine eindeutige Lösung. In jedem Punkt $P(x_0,y_0)$ ist ein Funktionswert $f(x_0,y_0)$ gegeben. Wegen $y' = f(x_0,y_0)$ ist dieser Wert der Anstieg der durch $P(x_0,y_0)$ gehenden Lösungskurve an dieser Stelle.

Annäherung der Lösungskurve in einer Umgebung von $P$ durch ein kleines Tangentenstück, \emph{Richtungselement}. 

\bigskip

\begin{minipage}{200pt}
\paragraph{Methode:} Wir wählen eine Länge des Richtungselementes mit dem Mittelpunkt $(x_0,y_0)$. Sei $(x_1,y_1)$ der rechte Eckpunkt. $y_1$ ist dann eine Näherung für die gesuchte Lösung an der Stelle $x_1$. Wir konstruieren ein weiteres Richtungselement mit dem Mittelpunkt $(x_1,y_1)$, usw.
\end{minipage}
\begin{minipage}{130pt}
\begin{picture}(130,100)
\put(25,10){\vector(0,1){80}}
\put(20,15){\vector(1,0){105}}
\put(118,6){$x$}
\put(15,84){$y$}
\multiput(45,14)(0,4){6}{\line(0,1){2}}
\multiput(24,35)(4,0){6}{\line(1,0){2}}
\multiput(55,14)(0,4){8}{\line(0,1){2}}
\multiput(24,45)(4,0){8}{\line(1,0){2}}
\multiput(67.5,14)(0,4){10}{\line(0,1){2}}
\multiput(24,52)(4,0){11}{\line(1,0){2}}

\put(41.5,8){$\scriptstyle x_0$}
\put(14,33.5){$\scriptstyle y_0$}
\put(52,8){$\scriptstyle x_1$}
\put(14,44){$\scriptstyle y_1$}
\put(64.5,8){$\scriptstyle x_2$}
\put(14,51){$\scriptstyle y_2$}
\put(35,25){\line(1,1){20}}
\put(42.5,39){\line(2,1){25}}
\end{picture}
\end{minipage}

\item\textbf{Isoklinenverfahren:} Definition: Gegeben sei die Differentialgleichung $y'\! =\! f(x,y)$. Jede durch die Gleichung $f(x,y) = c$ bestimmte Kurve heißt Isokline der Differentialgleichung zum Wert $c$.

Mit Hilfe der Isoklinen wollen wir geometrisch Näherungslösungen skizzieren:
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumii}{(\arabic{enumii})}
\item Zeichnung einiger Isoklinen
\item Wir tragen auf ihnen einige Richtungselemente ein
\item Die Näherungen für die Lösungskurven sind dann so zu ziehen, daß sie in den Schnittpunkten mit den Isokliden parallel zu den zugehörigen Richtungselementen verlaufen 
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\paragraph{Beispiel:} $y' = x^2 + y^2$

\smallskip

Die Isoklinen $f(x,y) = c$ sind Kreise mit dem Radius $\sqrt{c}$.

\bigskip

\begin{minipage}{150pt}
\begin{picture}(140,120)
\put(70,0){\vector(0,1){120}}
\put(0,60){\vector(1,0){140}}

\qbezier(115,60)(115,78.639612)(101.819806,91.819806)
\qbezier(70,105)(88.639612,105)(101.819806,91.819806)
\qbezier(25,60)(25,41.360388)(38.180194,28.180194)
\qbezier(70,15)(51.360388,15)(38.180194,28.180194)
\qbezier(25,60)(25,78.639612)(38.180194,91.819806)
\qbezier(70,105)(51.360388,105)(38.180194,91.819806)
\qbezier(115,60)(115,41.360388)(101.819806,28.180194)
\qbezier(70,15)(88.639612,15)(101.819806,28.180194)


\qbezier(92.5,60)(92.5,69.319806)(85.909903,75.909903)
\qbezier(70,82.5)(79.319806,82.5)(85.909903,75.909903)
\qbezier(47.5,60)(47.5,50.680194)(54.090097,44.090097)
\qbezier(70,37.5)(60.680194,37.5)(54.090097,44.090097)
\qbezier(47.5,60)(47.5,69.319806)(54.090097,75.909903)
\qbezier(70,82.5)(60.680194,82.5)(54.090097,75.909903)
\qbezier(92.5,60)(92.5,50.680194)(85.909903,44.090097)
\qbezier(70,37.5)(79.319806,37.5)(85.909903,44.090097)
\qbezier(81.25,60)(81.25,64.659903)(77.9549515,67.9549515)
\qbezier(70,71.25)(74.659903,71.25)(77.9549515,67.9549515)
\qbezier(58.75,60)(58.75,55.340097)(62.0450485,52.0450485)
\qbezier(70,48.75)(65.340097,48.75)(62.0450485,52.0450485)
\qbezier(58.75,60)(58.75,64.659903)(62.0450485,67.9549515)
\qbezier(70,71.25)(65.340097,71.25)(62.0450485,67.9549515)
\qbezier(81.25,60)(81.25,55.340097)(77.9549515,52.0450485)
\qbezier(70,48.75)(74.659903,48.75)(77.9549515,52.0450485)
\multiput(42.5,55)(45,0){2}{\line(1,1){10}}
\multiput(0,0)(0,-17.2){2}{\multiput(44.2,63.6)(41.6,0){2}{\line(1,1){10}}}
\multiput(0,0)(0,-31.8){2}{\multiput(49.1,70.9)(31.8,0){2}{\line(1,1){10}}}
\multiput(0,0)(0,-41.6){2}{\multiput(56.4,75.8)(17.2,0){2}{\line(1,1){10}}} 
\multiput(65,77.5)(0,-45){2}{\line(1,1){10}}      
\multiput(23.3,53.2)(90,0){2}{\line(1,4){3.4}}
\multiput(0,0)(0,-17.6){2}{\multiput(24.2,62)(88.3,0){2}{\line(1,4){3.4}}}
\multiput(0,0)(0,-34.4){2}{\multiput(26.7,70.4)(83.1,0){2}{\line(1,4){3.4}}}
\multiput(0,0)(0,-50){2}{\multiput(30.9,78.2)(74.8,0){2}{\line(1,4){3.4}}}
\multiput(0,0)(0,-63.6){2}{\multiput(36.5,85.0)(63.6,0){2}{\line(1,4){3.4}}}
\multiput(0,0)(0,-74.8){2}{\multiput(43.3,90.6)(50.0,0){2}{\line(1,4){3.4}}}
\multiput(0,0)(0,-83.1){2}{\multiput(51.1,94.8)(34.4,0){2}{\line(1,4){3.4}}}
\multiput(0,0)(0,-88.3){2}{\multiput(59.5,97.3)(17.6,0){2}{\line(1,4){3.4}}}
\multiput(68.3,98.2)(0,-90){2}{\line(1,4){3.4}}
\multiput(52,58.3)(22.5,0){2}{\line(4,1){13.6}}
\multiput(0,0)(0,-16){2}{\multiput(55.3,66.3)(16,0){2}{\line(4,1){13.6}}}
\multiput(63.2,69.6)(0,-22.5){2}{\line(4,1){13.6}}
\put(134,51){$x$}
\put(61,114){$y$}
\end{picture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{205pt}
Isoklinen und dazugehörige Richtungselemente für $c = 4 \Rightarrow \sqrt c = 2$, $c = 1 \Rightarrow \sqrt{c} = 1$, $c = 0,\!25 \Rightarrow \sqrt{c} = \frac{1}{2}$
\end{minipage}

\subsection{Definition: Exakte Differentialgleichungen}\index{Differentialgleichungen!exakte} \index{exakte DGLn}

Mit 
\begin{equation}
P(x,y)\,dx + Q(x,y)\,dy = 0
\end{equation}
meint man die Aufgabe, bei konstanten Funktionen $P$ und $Q$, entweder Funktionen $y=y(x)$ zu bestimmen, die der Differentialgleichung $P(x,y) + Q(x,y)\cdot y' = 0$ genügen (Division durch $dx$), oder die Aufgabe, Funktionen $x = x(y)$ zu ermitteln, die der Differentialgleichung $P(x,y)\cdot x' + Q(x,y) = 0$ geügen (Division durch $dy$). Die Differentialgleichung (14.3) heißt \emph{exakt}, falls es eine Funktion $U(x,y)$ mit
\[\frac{\partial U}{\partial x}(x,y) = P(x,y) \qquad \textnormal{ und } \qquad \frac{\partial U}{\partial y} (x,y) = Q(x,y)\]
gibt.

\paragraph{Bemerkung:} (14.3) ist genau dann exakt, wenn der Ausdruck $P(x,y)\,dx + Q(x,y)\,dx$ ein vollständiges Differential ist (siehe Def. 6.5.5). Aus Satz (6.5.6) folgt: Die Differentialgleichung ist genau dann exakt, wenn
\[\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}\] 

\paragraph{Beispiel:} Die Differentialgleichung
\[e^{-y} + (1+x\cdot e^{-y}) \cdot \underbrace{y'}_{\frac{dy}{dx}} = 0 \longrightarrow \underbrace{e^{-y}}_{P}\,dx + \underbrace{(1-x\cdot e^{-y})}_{Q} \,dy = 0\]
ist exakt: $P_y = -e^{-y} = Q_x = - e^{-y}$

\subsection{Satz}
Ist die Differentialgleichung (14.3) exakt, so werden die Lösungen $y=y(x)$ bzw. $x=x(y)$ durch 
\[U(x,y) = c \qquad (c \in \mathbb R)\]
\emph{implizit} dargestellt.

\subsection{Beispiel}
$e^{-y}\,dx + (1-x\cdot e^{-y})\,dy = 0$ ist exakt, deshalb existiert eine Funktion $U$ mit $U_x = e^{-y}$ und $U_y = 1 - x \cdot e^{-y}$.

\smallskip

$U_x$ nach $x$ integrieren ($y$ als Konstante betrachten): $U_y(x,y) = x\cdot e^{-y} + C(y)$. Dieses Ergebnis wird abgeleitet und in $U_y$ eingesetzt:

\[\underbrace{-x\cdot e^{-y} + C'(y)}_{U_y'(x,y)} = 1 + x \cdot e^{-y} \Rightarrow C'(y) = 1 \Rightarrow C(y) = y + K\]
(wir wählen $K =0$, da nur eine $U$ benötigt wird) $\Rightarrow U = x \cdot e^{-y} + y$

\newpage

Implizite Angabe der Lösungen: 
\[U(x,y) = x \cdot e^{-y} + y = c \qquad (x \in \mathbb{R})\]

\subsection{Integrierender Faktor}\index{integrierender Faktor (DGL)}\index{äquivalente DGL} \index{Differentialgleichungen!äquivalente}

Ist die Differentialgleichung
\[P(x,y)\,dx + Q(x,y)\,dy = 0\]
nicht exakt, so versucht man mit einem \emph{integrierenden Faktor} (oder \emph{Multiplikator}) $v = v(x,y)$ eine \emph{äquivalente Differentialgleichung} (d.h. mit den selben Lösungen) zu erhalten, die exakt ist. Man betrachte dazu den Ansatz
\[\underbrace{v(x,y) \cdot P(x,y)\,dx}_{\hat P(x,y)} + \underbrace{v(x,y) \cdot Q(x,y)\,dy}_{\hat Q(x,y)} = 0\]
Dabei ist $v(x,y) \ne 0$ so zu bestimmen, daß $\hat P_y = \hat Q_x$ gilt. Mitunter existieren Multiplikatoren, die nur von $x$ oder von $y$ allein abhängen.
\begin{enumerate}
\item Nehmen wir an, daß $\frac{P_y - Q_x}{Q} = h(x)$, also die linke Seite unabhängig von $y$ ist. Dann existiert ein Multiplikator $v=v(x)$, der aus der homogenen linearen Differentialgleichung $v'(x) - h(x) \cdot v(x) = 0$ bestimmt werden kann.
\item Ist $\frac{P_y - Q_x}{Q} = h(y)$, also die linke Seite unabhängig von $x$, so existiert ein Multiplikator $v = v(y)$, der aus der Gleichung $v'(y) + h(y) \cdot v(y) = 0$ bestimmt wird.
\end{enumerate}

\subsection{Beispiel}
\[\underbrace{y\cdot(2y-3x)}_{P}\, dx + \underbrace{x\cdot(2y -x)}_{Q}\, dy = 0\]
$P_y - Q_x = 2y - x$

\bigskip

$\displaystyle\frac{P_y-Q_x}{Q} = \frac{2y-x}{x\cdot (2y-x)} = \frac 1 x$ \quad hängt nur von $x$ ab $\Rightarrow v(x)$

\bigskip

$\displaystyle v'(x) - \frac 1 x \cdot v(x) = 0 \Rightarrow \frac{dv}{v} = \frac{dx}{x}$ \quad (separabel)

\bigskip

$\Rightarrow \ln|v| = \ln|x| + c \quad \stackrel{c=0}{\longrightarrow} \quad v(x) = x$ \qquad ist ein Multiplikator

\[\underbrace{xy\cdot(2y-3x)}_{\hat P}\, dx + \underbrace{x^2\cdot(2y -x)}_{\hat Q}\, dy = 0 \qquad \textnormal{ist exakt}\]

\subsubsection{Bestimmung von U}

$U_x = \hat P = xy\cdot (2y +3x) \longrightarrow U = \int xy\cdot (2y + 3x)\,dx = x^2y^2 - x^2y + c(x)$

$U_y = \hat Q = x^2 \cdot (2y - x)$

$U_y = 2x^2\cdot y - x^3 + c'(y) = 2x^2y - x^3 \quad \Rightarrow c' = 0 \Rightarrow c(y) = k$

\bigskip

Sei $k = 0$: $U = x^2 y^2 - x^3y$

\bigskip

Die allgemeine Lösung: $U(x,y) = x^2 y^2 - x^3 y = c \qquad (c \in \mathbb R)$


\section{Physikalische Anwendungen}

\subsection{Freier Fall aus großer Höhe (Fall ohne Reibung)}

\begin{tabular}{lll}
$K$ & : & Körper\\
$m$ & : & Masse von $K$\\
$s(t)$ &:& Entfernung von $K$ vom Erdmittelpunkt zur Zeit $t$\\
$v(t)$ & : & Fallgeschwindigkeit von $K$\\
$R$ & : & Erdradius ($\approx 6370\,\mathrm{km}$)\\
$g$ & : & Erdbeschleunigung ($\approx 9,\!81\,\frac{\mathrm m}{\mathrm s^2}$)
\end{tabular}

\begin{description}
\item[Gravitationskraft:] $\displaystyle F = - g \cdot m \cdot \frac{R^2}{s^2}$
\item[Grundgesetz der Mechanik:] $\displaystyle F = m \cdot a = m \cdot \frac{dv}{dt}$
\end{description}
Daraus ergibt sich für die Bewegung die Gleichung:
\[\quad m \cdot \frac{dv}{dt} = - g \cdot m \cdot \frac{R^2}{s^2}\]
Nach der Kettenregel ist: $\displaystyle \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{ds}\frac{ds}{dt}=\frac{dv}{ds} \cdot v$    

\bigskip

$\displaystyle \Rightarrow \quad v \cdot \frac{dv}{ds} = - g \cdot \frac{R^2}{s^2}$ \quad (wobei wir $v$ in Abhängigkeit von $s$ betrachten)

\bigskip

Diese Differentialgleichung ist separabel. Lösung:
\begin{equation}
v^2 = \frac{2\cdot g \cdot R^2}{s} + 2\cdot k \qquad (k \in \mathbb R)
\end{equation}

\subsubsection{Beispiele}
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})}
\item Ein Körper falle aus einer Höhe von $10\,\mathrm{km}$ auf die Erde. Man berechne die Geschwindigkeit, mit der er an der Erdoberfläche ankommt.

$v_0 = v (6370 + 10) = 0 \quad \Rightarrow  \quad s = 6380 \textnormal{ in (14.4)}$

\bigskip

$\displaystyle 2\cdot k= \frac{2\cdot g \cdot R^2}{6380}$

\bigskip

$v^2 = 2 \cdot 9,\!81 \cdot 1000 \cdot 6370 \cdot \left(1-\frac{6370}{6380}\right) \quad \Rightarrow \quad v = 1593\,\mathrm{\frac{km}{h}}$

\item Fordern wir $\lim\limits_{s\to \infty} v(s) = 0$, so ist $k = 0$ und \[v^2(s) = \frac{2\cdot g\cdot R^2}{s} \quad \textrm{und} \quad v(R) = \sqrt{2\cdot g\cdot R} = 11,\!8\,\mathrm{\frac{km}{s}}\]
Mit dieser Geschwindigkeit würde ein Körper (beliebiger Masse) aus dem "`Unendlichen kommend"' auf der Erdoberfläche auftreffen. Umgekehrt müsste ein Körper (beliebige Masse) diese Geschwindigkeit mindestens haben, wenn er den Anziehungsbereich der Erde verlassen soll (\emph{Fluchtgeschwindigkeit}).
\end{enumerate}

\subsection{Radioaktiver Zerfall}

Beim radioaktiven Zerfall ist die Geschwindigkeit des Zerfalls proportional zu der vorhandenen Menge des Stoffes.

\smallskip

$n(t)$ : die Menge zur Zeit $t$

\smallskip

$n'(t) = - \lambda \cdot n(t), \qquad (\lambda > 0) \qquad (n'(t) \textrm{ ist negativ, DGL separabel})$

\paragraph{Lösung:} $n(t) = k \cdot e^{-\lambda \cdot t} \qquad (k\in\mathbb R)$

\bigskip

Für $t=0: \quad n(0) = k \Rightarrow n(t) = n(0) \cdot e^{-\lambda t}$

\subsection{Newtonsches Abkühlungsgesetz}

Die Abkühlungsgeschwindigkeit eines Körpers in bewegter Luft ist proportional zu der Temperaturdifferenz zwischen der Temperatur des Körpers und der Temperatur der Luft.

\smallskip

$T(t)$ : Temperatur des Körpers zur Zeit $t$

\smallskip

$T_L$ : Temperatur der Luft
\[T'(t) = - \alpha \cdot (T(t) - T_L) \qquad (a > 0)\]
Diese Differentialgleichung ist separabel. Lösung:
\[T(t) = T_L + k \cdot e^{-\alpha t} \qquad (k \in \mathbb{R})\]

\paragraph{Beispiel:} Ein Körper kühle sich in 10 Minuten von $300^{\circ}\mathrm{C}$ auf $200^{\circ}\mathrm{C}$ ab, wobei die Temperatur der Luft $30^{\circ}\mathrm{C}$ beträgt. 

Wann hat sich dieser Körper auf $100^{\circ}\mathrm{C}$ abgekühlt?
\begin{eqnarray*}
T(t) & = & 30 + k \cdot e^{-\alpha t}\\
T(0) & = & 300 = 30 + k\cdot e^{-\alpha \cdot 0} = 30 + k \quad \Rightarrow \quad k=270\\
T(10) & = & 200 = 30 + 270 \cdot e^{-\alpha \cdot 10} \hspace{1.46cm} \Rightarrow \quad \alpha \approx 0,\!0463\\
T(t) & \approx & 30 + 270 \cdot e^{-0,0463 \cdot t}
\end{eqnarray*}
Gesucht: $T(t) = 100 \quad \Rightarrow \quad t \approx 29,\!16$


\subsection{Bewegung mit Reibung}
An einem Massepunkt der Masse $m$  greife die äußere Kraft $F$ an, der Bewegung wirke dabei die zur Geschwindigkeit proportionale Reibungskraft $F_r = - r \cdot v(t), \quad (r > 0)$ entgegen.

\smallskip

$r$ : \emph{Reibungskoeffizient}, \quad $v(t)$ : Geschwindigkeit
\paragraph{Grundgesetz der Mechanik:} $\displaystyle m \cdot v'(t) = F - r \cdot v(t) \Rightarrow v + \frac{m}{r} \cdot \frac{dV}{dt} = \frac{F}{r}$

\smallskip

Lineare Differentialgleichung erster Ordnung. Lösung:
\[v(t) = k \cdot e^{-\frac{m}{r}\cdot t} + \frac F r\]
ist z.B. $v=0$ zur Zeit $t=0$, so folgt $k = - \frac{F}{r}$.
\[v(t) = \frac{F}{r} \cdot \left(1-e^{-\frac m r \cdot t}\right), \qquad \lim\limits_{t\to \infty} = \frac F r\]

\section{Differentialgleichungen zweiter Ordnung}\index{Differentialgleichungen!2. Ordnung}

\emph{Lineare Differentialgleichungen} zweiter Ordnung mit \emph{konstanten Koeffizienten}:
\[y'' + a_1 \cdot y' + a_0 \cdot y = f(x) \qquad (a_0,\,a_1 \in \mathbb R)\]
Ist $f = 0$, so heißt die Differentialgleichung \emph{homogen}, sonst \emph{inhomogen}. 

$f$: \emph{Störfunktion}, \emph{Störglied}

\subsection{Satz} Ist $Y_h$ die Menge aller Lösungen der homogenen Differentialgleichung \[y'' + a_1 \cdot y' + a_0 \cdot y = 0\] und $y_p$ eine spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung \[y'' + a_1 \cdot y' + a_0 \cdot y = f(x)\] so ist $Y = \{y: y=y_h + y_p \textrm{ mit } y_h \in Y_h\}$ die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung.
\paragraph{Lösungsweg:} Man bestimmt
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})}
\item alle Lösungen der homogenen Differentialgleichung
\item eine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung (Ansatz)
\end{enumerate}

\subsection*{Die homogene Differentialgleichung}\index{charakteristisches Polynom} \index{Polynom, charakteristisches}

Das Polynom $p(\lambda) = \lambda^2 + a_1 \cdot \lambda + a_0$ heißt \emph{charakteristisches Polynom} der Differentialgleichung, die Gleichung  $p(\lambda) = 0$ heißt \emph{charakteristische Gleichung}. $p(\lambda) = 0$ hat zwei Lösungen, $\lambda_{1/2} = - \frac{a_1}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 - a_0}$.

\subsection{Satz}

Es seien $\lambda_1$ und $\lambda_2$ die Lösungen der charakteristischen Gleichung der Differentialgleichung $y'' + a_1 \cdot y' + a_0 \cdot y = 0$. Dann ist die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung:

\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\roman{enumi})}
\item $y=A_1 \cdot e^{\lambda_1 x} + A_2 \cdot e^{\lambda_2 x}, \quad (A_1,\,A_2 \in\mathrm R) \quad$ falls $\lambda_1,\,\lambda_2 \in \mathbb R$ und $\lambda_1 \ne \lambda_2$
\item $y = (A_1 + A_2 \cdot x) \cdot e^{\lambda_1 x}, \quad (A_1,\,A_2 \in \mathbb R) \quad$ falls $\lambda_1 = \lambda_2 \in \mathbb R$
\item $y=(A_1 \cdot \cos (\beta x) + A_2 \sin (\beta x)) \cdot e^{\alpha x} \quad$ falls $\lambda_1,\,\lambda_2 = \alpha \pm i\,\beta$ mit $\beta \ne 0$
\end{enumerate}

\subsection{Beispiele}
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})}
\item $y'' + 4y' - 5y = 0$, char. Gleichung: $\lambda^2 + 4\lambda - 5 = 0 \Rightarrow \lambda_1 = 1,\,\lambda_2 = -5$

allgemeine Lösung: $y_H = A_1 \cdot e^x + A_2 \cdot e^{-5x}$

\item  $y'' + 4y' + 4y = 0$, char. Gleichung: $\lambda^2 + 4\lambda + 4 = 0 \Rightarrow \lambda_1 = \lambda_2 = -2$

allgemeine Lösung: $y_H = (A_1 + A_2 \cdot x) \cdot e^{-2x}$

\item $y'' + 4y' + 13y = 0$, char. Gleichung: $\lambda^2 + 4\lambda + 13 = 0 \Rightarrow \lambda_{1/2} = -2\pm 3i$

allgemeine Lösung: $y_H = (A_1 \cdot \cos (3x) + A_2 \cdot \sin(3x)) \cdot e^{-2x}$
\end{enumerate}

\subsection*{Die inhomogene Differentialgleichung}

Bestimmung einer speziellen Lösung, wenn die rechte Seite eine spezielle Form hat.

\subsection{Satz} Gegeben sei die Definition
\[y'' + a_1 \cdot y' + a_0 \cdot y = p_n(x) \cdot e^{bx}\]
wobei $p_n$ ein Polynom vom Grade $n$ ist. Dann gibt es ein Polynom $q_n$, vom Grade $n$, so daß
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\roman{enumi})}
\item falls $b$ nicht Nullstelle des charakteristischen Polynoms ist, 

die Funktion $y_p = q_n(x) \cdot e^{bx}$
\item falls $b$ einfache Nullstelle des charakteristischen Polynoms ist,

 die Funktion $y_p = x \cdot q_n(x) \cdot e^{bx}$
\item falls $b$ zweifache Nullstelle  des charakteristischen Polynoms ist,

 die Funktion $y_p = x^2 \cdot q_n(x) \cdot e^{bx}$
\end{enumerate}
eine Lösung der Differentialgleichung ist.

\paragraph{Bemerkung:} Im Falle (ii) spricht man von \emph{einfacher Resonanz}, im Falle (iii) von \emph{zweifacher Resonanz}.\index{Resonanz (DGL)}

\subsection{Beispiele}
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})}
\item Man bestimme eine spezielle Lösung der Differentialgleichung $Y'' + y' - 2y = x^2$, $b = 0$, $n=2$.

Charakteristische Gleichung: $\lambda^2 + \lambda - 2 = 0$, $b=0$ ist keine Nullstelle.

$\Rightarrow$ Ansatz: $y_p = q_2(x) = Ax^2 + Bx + C$.

Bestimmung von $A$, $B$, $C$ durch Einsetzen in Differentialgleichung:

${y_p}' = 2Ax + B$, ${y_p}'' = 2A, \Rightarrow -2Ax^2 + (2A-2B)x+(2A+B-2C) = x^2$

Koeffizientenvergleich:

$\left.\begin{array}{ll}-2A = 1 & \Rightarrow A = - \frac 1 2\\
2A - 2B = 0 & \Rightarrow B = - \frac 1 2 \vphantom{\Big|}\\
2A+B-2C=0 & \Rightarrow C = -\frac 3 4
\end{array}\right\} \displaystyle y_p = - \frac 1 2 x^2 - \frac 12 x - \frac 34$

\item $y'' + y' = x^2$, $b=0$, $n=2$

$\lambda^2 + \lambda = \lambda\cdot (\lambda + 1) \Rightarrow \lambda_1 = 0,\; \lambda_2 = -1$

$b$ ist eine einfache Nullstelle (einfache Resonanz) 

Ansatz: $y_p = x \cdot (Ax^2 + Bx + C) \Rightarrow (6Ax + 2B) + (3Ax^2 + 2Bx + C) = x^2$, 

Koeffizientenvergleich: $3A = 1$, $6A+2B = 0$, $2B + C = 0$

$\Rightarrow A = \frac 13$, $B = -1$, $C = 2 \quad \Rightarrow \quad y_p = \frac 13 x^3 - x^2 + 2x$

\item $y'' + y' - 2y = x \cdot e^{3x}$, $b=3$, $n=1$

$\lambda^2 + \lambda - 2 = 0$, $\lambda_1 = 1$, $\lambda_2 = -2 \Rightarrow$ keine Resonanz

Ansatz: $y_p = (Ax + B) \cdot e^{3x}$ 

Ableitungen: ${y_p}' = (3Ax + 3B +A) \cdot e^{3x}$, ${y_p}'' = (9Ax + 9B + 6A)\cdot e^{3x}$

Einsetzen: $(10Ax + 7A + 10B) \cdot e^{3x} = x \cdot  e^{3x}$

Koeffizientenvergleich: $10A = 1$, $7A + 10B = 0 \Rightarrow A = \frac{1}{10}$, $B = \frac{-7}{100}$

$\displaystyle \Rightarrow y_p = \left(\frac{1}{10} x - \frac{7}{100}\right) \cdot e^{3x}$

\item $y'' + y' - 2y = x \cdot e^{x}$, $\lambda_1 = 1$, $\lambda_2 = -2$, $b=1$ (einfache Resonanz)

Ansatz: $y_p = x (Ax + B) \cdot e^x$, [\ldots] $\Rightarrow \displaystyle y_p = \left(\frac 1 6 x^2 - \frac 1 9 x\right) \cdot e^x$

\item $y'' - 2y' + y = x \cdot e^{x}$, $b=1$, $\lambda_1 = \lambda_2 = 1$ (zweifache Resonanz)

Ansatz: $y_p = \frac 1 6 x^3 \cdot e^x$
\end{enumerate}

\subsection{Satz}
Gegeben sei die Differentialgleichung 
\[y'' + a_1 \cdot y' + a_0 \cdot y = (p_n(x) \cdot \cos (cx) + q_n(x) \cdot \sin(cx))\cdot e^{bx}\]
wobei $p_n$ und $q_n$ Polynome vom Grade $\leq n$ sind und $c \ne 0$.
Dann gibt es Polynome $r_n$ und $s_n$ vom Grade $\leq n$, so daß
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\roman{enumi})}
\item falls $b+ci$ nicht Nullstelle des charakteristischen Polynoms ist, die Funktion $y_p = (r_n (x) \cdot \cos (cx) + s_n (x) \cdot \sin(cx)) \cdot e^{bx}$
\item falls $b+ci$ einfache Nullstelle des charakteristischen Polynoms ist, die Funktion $y_p = x \cdot (r_n (x) \cdot \cos (cx) + s_n (x) \cdot \sin(cx)) \cdot e^{bx}$
\end{enumerate}
eine Lösung der Differentialgleichung ist.
\paragraph{Bemerkung:} Im Falle (ii) spricht man von \emph{einfacher Resonanz} (zweifache Resonanz kann hier nicht auftreten).

\subsection{Satz: Superpositionsprinzip}\index{Differentialgleichungen!Superspositionsprinzip} \index{Superpositionsprinzip (DGL)}

Ist $y_1$ eine spezielle Lösung der Differentialgleichung $y'' + a_1 \cdot y' + a_0 \cdot y = f_1(x)$ und  $y_2$ eine spezielle Lösung der Differentialgleichung $y'' + a_1 \cdot y' + a_0 \cdot y = f_2(x)$, so ist $y_1 + y_2$ eine spezielle Lösung der Differentialgleichung $f_1(x) + f_2(x)$.

\subsection{Beispiel}
$y'' + 2y' - 3y = \underbrace{e^x}_{f_1(x)} - \underbrace{x^2+4x-5}_{f_2(x)}$
\begin{enumerate}
\item spezielle Lösung von $y'' + 2y' - 3y = e^x$: $y_1 = \frac x 4 e^x$ (nach 14.4.4)
\item spezielle Lösung von $y'' + 2y' - 3y = -x^2 + 4x -5$: $y_2 = - \frac 1 3 x^2 - \frac{16}{9} x + \frac{7}{24}$
\item $\Rightarrow y_p = y_1 + y_2 = \frac x 4 \cdot e^x - \frac 1 3 x^2 - \frac{16}{9} x + \frac{7}{24}$ 
\end{enumerate}

\subsection{Energiemethode}\index{Energiemethode (DGL)}  \index{Differentialgleichungen!Energiemethode}
Zu lösen sei die Differentialgleichung $y'' = f(y)$. 

Jede Lösung dieser Gleichung erfüllt die Differentialgleichung
\[\frac 1 2 (y')^2 = \int f(y)\,dy\]
die separabel und von erster Ordnung ist.
\paragraph{Beispiel:} $y'' = 2y^3$ (keine lineare DGL!). 

Anfangsbedingungen $y(-2) = 1,\; y'(-2) = -1$

\smallskip

Integration: $\frac 1 2 (y'(x))^2 = \int  2y(x)^3\, dy = \frac{y(x)^4}{2} + C$

\smallskip

$x=-2$ einsetzen: $\frac 1 2 \cdot 1 = \frac 1 2 \cdot 1 + C \Rightarrow C = 0$

\smallskip

$\frac 1 2 (y')^2 = \frac 1 2 y^4 \Rightarrow y' = \pm y^2$

\bigskip

 Wegen $y'(-2) = -1$ ist $y' = -y^2$ (separable DGL).

\bigskip

$\frac{dy}{dx} = -y^2 \Leftrightarrow \frac{1}{y^2}\, dy = -1\,dx$

\smallskip

Integration: $-\frac 1 y = - x + C_1$. Wegen $y(-2) = 1$ ist $C_1 = -3$

\smallskip

$\Rightarrow y= \frac{1}{x+3}$

\section{Lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung}\index{lin. DGL n--ter Ordnung} \index{Differentialgleichungen!lin., n--ter Ordnung}

\begin{equation}
y^{(n)} + a_{n-1}(x) \cdot y^{n-1} + \cdots + a_1 (x) \cdot y^1 + a_0(x) = f(x)
\end{equation}
bezeichnet man als lineare Differentialgleichung $n$--ter Ordnung. Ist $f=0$, so heißt sie \emph{homogen}, sonst \emph{inhomogen}. $f$ heißt\emph{Störfunktion} oder \emph{Störglied}.

Sind die Funktionen $a_j$ konstant, so spricht man von einer \emph{linearen Differentialgleichung $n$--ter Ordnung mit konstanten Koeffizientzen}.

\subsection{Satz}

Ist $Y_h$ die Menge aller Lösungen der homogenen Differentialgleichung
\[y^{(n)} + a_{n-1} \cdot y^{(n-1)} + \cdots + a_0 \cdot y = 0\]
und $y_p$ eine spezielle Lösung der Gleichung (14.5), so ist
\[Y = \{y:y=y_h + y_p \textrm{ mit } y_n \in Y_h\}\]
die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung.

\subsection*{Struktur der Lösung im homogenen Fall}
\subsection{Definition}
Die Funktionen $y_1,\ldots,y_n$ heißen \emph{linear unabhängig}, wenn aus
\[c_1 \cdot y_1(x) + c_2 \cdot y_2(x) + \cdots + c_n\cdot y_n(x) = 0 \qquad (x \in D)\]
$c_1 = \cdots = c_n = 0$ folgt. ($D$ bezeichnet den gemeinsamen Definitionsbereich, $D \ne \emptyset$, offene Menge)

\subsection{Satz}\index{Wronski'sche Determinante}

Sind die Funktionen $y_1,\ldots,y_n$ $(n-1)$--mal differenzierbar und ist die \emph{Wronski'sche Determinante}
\[W(x) = \left|\begin{array}{ccc}y_1(x) & y_2(x) & y_3(x)\\{y_1}'(x) & {y_2}'(x) &{y_3}'(x)\\ \vdots & & \vdots \\ {y_1}^{(n-1)} &  {y_2}^{(n-1)} & {y_3}^{(n-1)}\end{array}\right|\]
in $D$ überall ungleich $0$, so sind die Funktionen $y_1,\ldots,y_n$ linear unabhängig. $W(x)$ ist entweder überall gleich Null oder überall ungleich Null in $D$.

\subsection{Beispiel}
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})}
\item Sind $f_1(x) = 1,\, f_2(x) = x,\, f_3(x) = x^2,\, f_4(x) = x^3 \: (D \in \mathbb R)$ linear unabhängig?
\[W(x) = \left|\begin{array}{cccc}1&x&x^2&x^3\\0&1&2x&3x^2\\0&0&2&6x\\0&0&0&6\end{array}\right| = 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 6 = 12 \ne 0\]
$\Rightarrow$ linear unabhängig

\item Die Funktionen $f_1(x) = 1,\, f_2(x) = x$ und $f_3(x) = 2x + 3$ sind linear abhängig, da $3 \cdot f_1(x) + 2 \cdot f_2(x) = f_3(x) = 0 \; (\forall x \in \mathbb R)$.

Die Wronski'sche Determinante ist
\[W(x) = \left|\begin{array}{ccc}1&x&2x+3\\0&1&2\\0&0&0\end{array}\right| = 0\]
\end{enumerate}

\subsection{Satz}

Die allgemeine Lösung der homogenen linearen Differentialgleichung $n$--ter Ordnung kann in der Gestalt
\[y_h(x) = C_1 \cdot y_1(x) + C_2 \cdot y_2(x) + \cdots + C_n \cdot y_n(x)\]
angegeben werden, wobei $y_1(x), \ldots , y_n(x)$ linear unabhängige Lösungen und $C_1, \ldots , C_n$ beliebige Konstanten sind.

\subsection*{Lineare homogene Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten}

\subsection{Definition: Charakteristische Gleichung}

Die Gleichung 
\[\lambda^n + a_{n-1} \cdot \lambda^{(n-1)} + \cdots + a_1 \cdot \lambda + a_0 = 0\]
heißt \emph{charakteristische Gleichung der Differentialgleichung}\index{charakteris. Gleichung (DGL)} \index{Differentialgleichungen!charakt. Gleichung}
\begin{equation}
y^{(n)} + a_{n-1} \cdot y^{(n-1)}  + \cdots + a_1 \cdot y' + a_0 \cdot y = 0
\end{equation}

\subsection{\hspace{-2pt}Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung (14.6)}  %% pfui!
  
Eine $r$-fache reelle Lösung $\lambda$ der charakteristischen Gleichung führt zu dem folgenden Beitrag in der allgemeine Lösung:
\[(C_0 + C_1\cdot x + C_2 \cdot x^2 + \cdots + C_{r-1}x^{r-1})\cdot e^{\lambda \cdot x}\]
Eine $r$--fache komplexe Nullstelle $\alpha \pm i\omega$ ($\omega \ne 0$) führt zu dem folgenden Beitrag in der allgemeinen Lösung:
\[(P(x) \cdot \cos(\omega \cdot x) + Q(x) \cdot \sin(\omega \cdot x))  \cdot e^{\alpha \cdot x}\]
wobei $P(x) = C_0 + C_1 \cdot x + \cdots + C_{r-1} \cdot x^{r-1}$ und $Q(x) = D_0 + D_1 \cdot x + \cdots + D_{r-1} \cdot x^{r-1}$. Um die allgemeine Lösung zu erhalten, werden alle diese Beiträge addiert.

\subsection{Beispiele}

\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})}
\item $y''' - 4y'' - y' + 4y = 0$

char. Gleichung: $\lambda^4 - 4\lambda^2 - \lambda + 4 =0 \Rightarrow \lambda_1 = -1,\, \lambda_2 = 1,\,\lambda_3 = 4$

Allgemeine Lösung: $y = A \cdot e^{-x} + B \cdot e^x + C \cdot e^{4x}$ ($A$, $B$, $C$ beliebig)

\item $y^{(4)} - 6y''' + 12 y'' - 10y' + 3y = 0$

$\lambda^4 - 6\lambda^3 + 12 \lambda^2 - 10\lambda + 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad \lambda_{1,2,3} = 1,\, \lambda_4 = 3$

Allgemeine Lösung: $y = (C_0 + C_1 \cdot x + C_2 \cdot x^2) \cdot e^x + B \cdot e^x$

\item $y^{(4)} + 3y'' - 4y = 0$

$\lambda^4 + 3\lambda^2 - 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad \lambda_1 = -1,\, \lambda_2 = 1,\,\lambda_{3,4} = \pm 2i$

Allgemeine Lösung: $y = A \cdot e^{-x} + B \cdot e^{x} + C \cdot \cos (2x) + D \cdot \sin(2x)$ \quad ($\alpha = 0,\, e^{\alpha} = 1$)
\end{enumerate}

\subsection*{Lineare inhomogene Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten}

\[y^{(n)} + a_{n-1} \cdot y^{n-1} + \cdots + a_1 \cdot y' + a_0 \cdot y = f(x)\]

Lösungsansatz für eine spezielle Lösung in Abhängigkeit von $f$, ähnlich wie in (14.4.4) und (14.4.6), siehe Formelsammlungen.

\section{Systeme linearer Differentialgleichungen}\index{Differentialgleichungen!Systeme} \index{Systeme lin. DGLn}
\subsection{Beispiel}

\begin{center}
\begin{picture}(220,80)
\put(0,27){$u=U(t) \Big\downarrow$}
\multiput(55,0)(0,35){2}{\line(0,1){25}}
\multiput(55,26)(0,8){2}{\circle{2}}
\put(55,0){\line(1,0){120}}
\multiput(115,0)(60,0){2}{
\multiput(0,0)(0,40){2}{\line(0,1){20}}
\multiput(-5,20)(10,0){2}{\line(0,1){20}}
\multiput(-5,20)(0,20){2}{\line(1,0){10}}
}
\multiput(55,60)(100,0){2}{\line(1,0){20}}
\put(95,60){\line(1,0){40}}
\multiput(75,60)(60,0){2}{\multiput(0,0)(5,0){4}{\qbezier(0,0)(0,5)(2.5,5)\qbezier(2.5,5)(5,5)(5,0)}}
\multiput(82,68)(60,0){2}{$L$}
\multiput(98,27)(60,0){2}{$R$}
\multiput(80,30)(60,0){2}{\circle{20}}
\multiput(77.5,20)(60,0){2}{\vector(-1,0){0}}
\put(77,27){$i_1$}
\put(137,27){$i_2$}
\put(115,20){\vector(0,-1){12}}
\put(118,9){$\scriptstyle i_1 -i_2$}
\multiput(115,0)(0,60){2}{\circle*{2}}
\end{picture}
\end{center}

Zwei gleiche Widerstände,  zwei gleiche Induktivitäten, Spannung $U = U(t)$ bekannt.

\begin{description}
\item[Maschenregel:] In jeder Masche ist die Summe der Spannungen gleich 0.
\end{description}

\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{$\circlearrowright$ \arabic{enumi}:}
\item $L \cdot \frac{di_1}{dt} +R \cdot (i_1 - i_2) - u = 0 \quad \Rightarrow \quad  \frac{di_1}{dt} = \frac R L \cdot i_1 + \frac R L \cdot i_2 + \frac u L$
\item $L \cdot  \frac{di_2}{dt} + R \cdot (i_1 - i_2) + R\cdot i_2 = 0 \quad \Rightarrow \quad  \frac{di_2}{dt} = \frac R L \cdot i_1 - \frac{2R} L \cdot i_2$

\end{enumerate}

Beide Stromgrößen treten in beiden Gleichungen auf. Man spricht daher von miteinander \emph{gekoppelten Differentialgleichungen}. Sind die Werte der beiden Ströme z.B. zur Zeit $t=0$ vorgegeben (d.h. $i_1(0)$ und $i_2(0)$, so handelt es sich um ein \emph{Anfangsproblem}.\index{gekoppelte DGL} \index{Differentialgleichungen!gekoppelte} 

\subsection{Definition}

Ein (explizites) \emph{System von linearen Gleichungen erster Ordnung} für die Funktionen $y_1, \ldots , y_n$ hat die Form:
\newpage
\begin{eqnarray*}
{y_1}'(x) & = & a_{11}(x) \cdot y_1(x) + \cdots + a_{1n} \cdot y_n(x) + f_1(x)\\
{y_2}'(x) & = & a_{21}(x) \cdot y_1(x) + \cdots + a_{2n} \cdot y_n(x) + f_2(x)\\
 & \vdots & \hspace{2.85cm} \vdots\\
{y_k}'(x) & = & a_{k1}(x) \cdot y_1(x) + \cdots + a_{kn} \cdot y_n(x) + f_k(x)
\end{eqnarray*}

Sind die Funktionen $a_{ij}$ konstant, so spricht man von einem System mit \emph{konstanten Koeffizienten}, sind die Funktionen $f_j$ alle gleich $0$, so heißt das System \emph{homogen}.

\bigskip

Im Weiteren werden wir immer $k=n$ voraussetzen. Ein solches System läßt sich auch in \emph{Matrizenform} schreiben als\index{Matrizenform (DGL)}
\[y'(x) = A(x) \cdot y(x) + f(x)\]
wobei: 

\begin{minipage}{165pt}
\begin{eqnarray*}
y(x) &=& (y_1(x), \ldots , y_n(x))^T\\
y'(x) &=& ({y_1}'(x), \ldots , {y_n}'(x))^T \vphantom{\Big|}\\
f(x) &=& (f_1(x), \ldots , f_n(x))^T
\end{eqnarray*}
\end{minipage}
\begin{minipage}{185pt}
\[A = \left[\begin{array}{cccc} a_{11}(x) & a_{12}(x) & \cdots & a_{1n}(x)\\ a_{21}(x) & a_{22}(x) & \cdots & a_{2n}(x)\\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1}(x) & a_{n2}(x) & \cdots & a_{nn}(x)\end{array}\right]\]
\end{minipage}

\paragraph{Beispiel:} Für das System aus (14.6.1)



\begin{minipage}{165pt}
\begin{eqnarray*}
y(t) &=& (i_1(t), i_2(t))^T\\
y'(t) &=& ({i_1}'(t), {i_2}'(t))^T \vphantom{\Big|}\\
f(t) &=& \left(\frac{U(t)}{L}, 0\right)^T
\end{eqnarray*}
\end{minipage}
\begin{minipage}{185pt}
\[A = \left[\begin{array}{cc} -1 & 1 \\ 1 -2\end{array}\right]\]
\end{minipage}

\subsection{Satz} Die allgemeine Lösung des Systems $y'(x) = A(x) \cdot y(x) + f(x)$ setzt sich zusammen aus der allgemeinen Lösung $y_h$ des homogenen Systems $y'(x) = A(x) \cdot y(x)$ und einer speziellen Lösung $y_p$ des inhomogenen Systems.

Ist $A$ eine Diagonalmatrix, so hat das System die Form:
\begin{eqnarray*}
{y_1}'(x) & = & a_{11}(x) \cdot y_1(x) + f_1(x)\\
{y_2}'(x) & = & a_{22}(x) \cdot y_2(x) + f_2(x)\\
 & \vdots \\
{y_n}'(x) & = & a_{nn}(x) \cdot y_n(x) + f_n(x)
\end{eqnarray*}

\smallskip

(sogenanntes \emph{entkoppeltes System})\index{entkoppeltes System (DGL)}
In diesem Fall können die Gleichungen unabhängig von einander gelöst werden.
Einige Systeme lassen sich entkoppeln.

\subsection{Satz} Besitzt eine $n\times n$--Matrix $A$ $n$ linear unabhängige Eigenvektoren $r_1,\ldots, r_n$, dann ist die Matrix $T=[r_1,\ldots,r_n]$ invertierbar und $T^{-1} \cdot A \cdot T$ ist eine Diagonalmatrix mit den Eigenwerten $\lambda_1 , \ldots , \lambda_n$ von $A$ in der Hauptdiagonale: \[T^{-1} \cdot A \cdot T = \mathrm{diag}\,(\lambda_1 , \ldots , \lambda_n)\]

\paragraph{Bemerkung:} (bereits bekannt aus erstem Semester)

Die Eigenwerte von $A$ sind die Lösungen der Gleichung $\det(A - \lambda\cdot E) = 0$ (die sogenannten charakteristischen Gleichungen). Die zugehörigen Eigenvektoren bestimmt man aus $(A - \lambda \cdot E) \cdot r = 0$ (lineares Gleichungssystem).

\subsection{Beispiel}

Gegeben sei $A = \left[\begin{array}{rr}2 & 1 \\ 4 & -1\end{array}\right]$

\begin{description}
\item[Eigenwerte:] $\det(A - \lambda \cdot E) = \left|\begin{array}{cc}(2-\lambda) & 1 \\ 4 & (-1-\lambda)\end{array}\right| = 0$

\smallskip

$\Rightarrow \lambda_1 = 3, \quad \lambda_2 = -2$

\item[Eigenvektoren:] $(A - 3E) \cdot \left[\begin{array}{l}r_1^1\\r_1^2\end{array}\right] = 0 \Rightarrow r_1 = (1,1)^T$

 $(A + 2E) \cdot \left[\begin{array}{l}r_2^1\\r_2^2\end{array}\right] = 0 \Rightarrow r_1 = (1,-4)^T$

\smallskip

$\Rightarrow T = \left[\begin{array}{rr}1 & 1 \\ 1 & -4\end{array}\right]$, \qquad $T^{-1} \cdot A \cdot T =  \left[\begin{array}{rr}3 & 0 \\ 0 & -2\end{array}\right] = \mathrm{diag}\,(3,-2)$
\end{description}

\subsection{Satz (Lösungsverfahren durch Diagonalisierung)}\index{Diagonalisierung (DGL)}

Gegeben sei das homogene System von linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten $y'(x) = A  \cdot y(x)$. Nehmen wir an, daß die Matrix $A$ $n$ linear unabhängige Eigenvektoren $r_1, \ldots, r_n \in \mathbb R^n$ mit den zugehörigen Eigenwerten $\lambda_1 , \ldots , \lambda_n \in \mathbb R$ besitzt und sei $T = [r_1, \ldots , r_n]$ und $u = T^{-1} \cdot y$.

Dann erfüllt $u$ die (entkoppelte) Gleichung
\[u' = T^{-1} \cdot A \cdot T \cdot u = \mathrm{diag}\,(\lambda_1, \ldots , \lambda_n) \cdot u\]
welche
\[u_h = C_1 e^{\lambda_1 x} \cdot (1,0,\ldots,0)^T + C_2 e^{\lambda_2 x} \cdot (0,1,\ldots,0)^T + \cdots + C_n e^{\lambda_n x} \cdot (0,0,\ldots,1)^T\]
als allgemeine Lösung besitzt. Die allgemeine Lösung des ursprünglichen Systems lautet:
\[y_h = T \cdot u_h = C_1 \cdot r_1 \cdot e^{\lambda_1 \cdot x} + \cdots + C_n \cdot r_n \cdot e^{\lambda_n \cdot x} \qquad (C_1,\ldots,C_2 \in \mathbb R)\]

\paragraph{Beweis:} $y' = A \cdot y, \quad u = T^{-1} \cdot y$

\smallskip

$\Rightarrow \left.\begin{array}{ll}y = T \cdot u\\y' = T \cdot u'\end{array}\right\} T \cdot u' = A \cdot T \cdot u \qquad | \cdot T$

\smallskip

\hspace{3.5cm}$u' = \underbrace{T^{-1} \cdot A \cdot T}_{=\mathrm{diag}\,(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)} \cdot u$

\subsection{Beispiel}

Zu lösen: ${y_1}' = -y_1 + y_2$, ${y_2}' = y_1 - y_2$, d.h. $y' = A \cdot y = \left[\begin{array}{rr}-1&1\\1&-1\end{array}\right] \cdot y$ 

\begin{description}
\item[Eigenwerte und Eigenvektoren:] \quad

 $\lambda_1 = -2$, $\lambda_2 = 0$

$r_1 = (1,-1)^T$, $r_2 = (1,1)^T$ (linear unabhängig)

\item[Lösung des entkoppelten Systems:] \quad

$u_h = C_1 \cdot e^{-2x} \cdot (1,0)^T + C_2 \cdot e^0 \cdot (0,1)^T = (C_1 \cdot e^{-2x}, C_2)^T$

\smallskip

mit $C_1,\, C_2 \in \mathbb R$, beliebig

\item[Lösung des ursprünglichen Systems:] \quad

$y_h = T \cdot u_h = \left[\begin{array}{rr}1 & 1 \\ -1 & 1\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{c}C_1 \cdot e^{2x}\\ C_2\end{array}\right] =
\left[\begin{array}{r}C_1 \cdot e^{-2x} + C_2\\-C_1 \cdot e^{-2x} + C_2\end{array}\right] = \left[\begin{array}{r}y_1\\y_2\end{array}\right]$ 
\end{description}

\subsection{Satz (Lösungsverfahren mit \emph{Exponentialansatz})}\index{Exponentialansatz (DGL)}

Gegeben sei das homogene System von linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten $y'(x) = A \cdot y(x)$. Dann gilt: Die allgemeine Lösung $y_h$ ergibt sich als Linearkombination des Exponentialansätze.
\[\left[\begin{array}{c} 
C_{1,0} + C_{1,1} \cdot x + \cdots + C_{1,k-1} \cdot x^{k_j-1}\\
C_{2,0} + C_{2,1} \cdot x + \cdots + C_{2,k-1} \cdot x^{k_j-1}\\
\vdots\\
C_{n,0} + C_{n,1} \cdot x + \cdots + C_{n,k-1} \cdot x^{k_j-1}
\end{array}\right]
\cdot e^{\lambda_j \cdot x}\]

Wobei $\lambda_j$ die Eigenwerte von $A$ mit der Vielfachheit $k_j$ bedeuten.

\subsubsection{Bemerkungen}

\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})}

\item Die Konstanten in dem Ansatz werden durch Einsetzen in die Gleichung $y' = A \cdot y$ bestimmt.
\item Falls Eigenwerte komplex sind, so erhält man auch komplexe Lösungsfunktionen $y_j$. Durch Aufspaltung in Real-- und Imaginärteil ergeben sich dann die zugehörigen Lösungsfunktionen ($e^{x+iy} = e^x \cdot e^{iy} = e^x(\cos y + \sin y)$).

\item Der Fall $n=2$

${y_1}' = a_{11} \cdot y_1 + a_{12} \cdot y_2 \qquad (a_{12} \ne 0)$

${y_2}' = a_{21} \cdot y_2 + a_{22} \cdot y_2$

\smallskip

Man macht zuerst den Exponentialansatz für $y_1$ (d.h. die erste Komponente des Lösungsvektors). Dieser Ansatz wird dann in die erste Gleichung eingesetzt und diese Gleichung nach $y_2$ aufgelöst:
\begin{equation}
y_2 = \frac{1}{a_{12}} \cdot ({y_1}' - a_{11} \cdot y_1)
\end{equation}

\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumii}{(\arabic{enumii})}
\item $\lambda_1 \ne \lambda_2$, reell. Ansatz für $y_1$: 
\[y_1 = C_1 \cdot e^{\lambda_1 \cdot x} + C_2 \cdot e^{\lambda_2 \cdot x}\]

\item $\lambda_1 = \lambda_2 = \alpha$, reell. Ansatz für $y_1$:
\[y_1 = (C_1 + C_2\cdot x) \cdot e^{\alpha \cdot x}\]

\item $\lambda_{1/2} = \alpha \pm i\omega$, konjugiert komplex. Ansatz: 
\[y_1 = (C_1 \cdot \sin(\omega \cdot x) + C_2 \cdot \cos(\omega \cdot x)) \cdot e^{\alpha \cdot x} \]
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{Beispiele}

\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})}

\item ${y_1}' = y_1 + y_2, \quad {y_2}' = - y_1 + y_2 \quad \Rightarrow y' = \left[\begin{array}{l}{y_1}'\\{y_2}'\end{array}\right] = \underbrace{\bigg[\begin{array}{rr}1&1\\-1&1\end{array}\bigg]}_{A} \cdot \left[\begin{array}{l}{y_1}\\{y_2}\end{array}\right]$

Eigenvektoren von $A$: $\left|\begin{array}{rr}1-\lambda & 1\\-1&1-\lambda\end{array}\right| = 0 = (1-\lambda)^2 + 1, \quad \lambda_{1,2} = 1 \pm i$

Ansatz: $y_1 = (C_1 \cdot \sin(\omega \cdot x) + C_2 \cdot \cos(\omega \cdot x)) \cdot e^{\alpha \cdot x}$

\smallskip

In (14.7) einsetzen:

$y_2 = e^x \cdot (C_1 \cdot \cos x - C_2 \cdot \sin x)$

\smallskip

$\Rightarrow$ allgemeine Lösung:

$y_1 = e^x\cdot(C_1 \cdot \sin x + C_2 \cdot \cos x)$

$y_2 = e^x\cdot(C_1 \cdot \cos x + C_2 \cdot \sin x)$


\item ${y_1}' = 4\cdot y_1 - 3 \cdot y_2 \qquad$ Anfangswerte: $y_1(0) = 1$

${y_2}' = 3 \cdot y_1 - 2 \cdot y_2$ \hspace{3.17cm} $y_2(0) = 0$


\smallskip

Eigenwerte: $\left|\begin{array}{rr}4-\lambda &-3\\3&-2-\lambda\end{array}\right| = 0 = (\lambda-1)^2 \Rightarrow \lambda_{1,2} = 1$
(zweif. NST)

\newpage

Ansatz: $y_1 = (C_1 + C_2 \cdot x) \cdot e^x$ in (14.7) einsetzen:

\hspace{1.28cm} $y_2 = (C_1 - \frac 1 3 C_2 + C_2 \cdot x) \cdot e^x$

\smallskip

Anfangswerte: $y_1(0) = 1 \Rightarrow C_1 = 1$

\hspace{2.5cm}$y_2(0) = 0 \Rightarrow C_1 - \frac 1 3 C_2  = 0  \Rightarrow C_2 = 3$

\[\Rightarrow y_1 = (1+3\cdot x) \cdot e^x \qquad \textrm{und} \qquad y_2 = 3\cdot x \cdot e^x\]

\end{enumerate}

\subsection[Bestimmung einer speziellen Lösung der Gleichung\ldots]{Bestimmung einer speziellen Lösung der\\ Gleichung $y'(x) = A \cdot y(x) + f(x)$}

Wir wissen bereits: Die allgemeine Lösung setzt sich zusammen aus der allgemeinen Lösung $y_h$ des homogenen Systems $y'(x) = A \cdot y(x)$ und einer beliebigen speziellen Lösung $y_p$ des inhomogenen Systems.

\subsubsection{(a)  Lösungsansatz in Abhängigkeit von $f$} 

Ähnlich wie in (14.4.4) und (14.4.6), siehe auch Formelsammlungen. Zu beachten ist jedoch: Beim Lösungsansatz sind in \textbf{allen} Komponenten jeweils \textbf{alle} Komponenten des Störgliedes zu berücksichtigen.

\smallskip

Erläuterung an einem Beispiel:

\smallskip

\begin{minipage}{177pt}
${y_1}' =  - y_1 + 3 \cdot y_2 + x$

${y_2}' = 2\cdot y_1 - 2 \cdot y_2 + e^{-x}$
\end{minipage}
\begin{minipage}{177pt}
allg. Lösung des homogenen Systems:

$y_1 = _1 \cdot e^{-4x} + C_2 \cdot e^{x}$

$y_2 = -C_1 \cdot e^{-4x} + \frac 2 3 C_2 \cdot e^{x}$
\end{minipage}

\paragraph{Ansatz für eine spezielle Lösung:} \quad

$y_{1,p} = a\cdot x + b + c \cdot e^{-x}$ \qquad \quad\raisebox{-6pt}{einsetzen in das inhomogene System}          %% bahpfui!

$y_{2,p} = A\cdot x + B + C \cdot e^{-x}$
\begin{eqnarray*}
a - c \cdot e^{-x} &=& (-b + 3B) + (-a + 3A + 1) \cdot x + (-c + 3C) \cdot e^{-x}\\
A-C\cdot e^{-x} & = & (2b - 2B) + (-2a - 2A) \cdot x + /2c - 2C +1) \cdot e^{-x}
\end{eqnarray*}
Koeffizientenvergleich:

\smallskip


$\begin{array}{lll}
a & = & -b + 3B\\
0 & = & -a + 3A +1\\
-c & = & -c + 3C\\
 & \ldots
\end{array}$

\smallskip

$\Rightarrow$ 6 Gleichungen, 6 Unbekannte

\smallskip

$y_{1,p} = - \frac 5 8 - \frac 1 2 x - \frac 1 2 e^{-x}$

$y_{2,p} = -\frac 3 8 - \frac 1 2 x$



\printindex

\end{document}