\documentclass[11pt,a4paper]{report} \usepackage[ansinew]{inputenc} \usepackage[margin=2.5cm,nohead]{geometry} \usepackage{empheq} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsmath} \DeclareMathOperator*{\res}{Res} \usepackage{bbm} % mathbb fornts mit zahlen \usepackage{makeidx} \makeindex \usepackage{wasysym} \usepackage{ngerman,latexsym,alltt,graphicx,textcomp} \usepackage[bookmarks, colorlinks=false, pdftitle={Mitschrift Systhemtheorie Prof. Hoffmann}, pdfauthor={Fabian Kurz}, pdfsubject={Systemtheorie}, pdfkeywords={Mathematik Elektrotechnik Systemtheorie}, linkbordercolor={1 1 1}]{hyperref} \usepackage{xy} \input xy \xyoption{all} \date{Zuletzt aktualisiert:\\\today} \author{Fabian~Kurz\\\href{http://fkurz.net/}{http://fkurz.net/}} \title{Systemtheorie I -- WS 04/05\\Prof. Dr.-Ing. habil. Hoffmann, TU Dresden\\Mitschrift} \begin{document} \setlength{\parindent}{0pt} \renewcommand{\thesection}{\arabic{section}} \setcounter{tocdepth}{3} \maketitle \pagenumbering{Roman} \tableofcontents \newpage \setcounter{section}{-1} \pagenumbering{arabic} \section{Einführung} \subsection{Inhalt des Lehrgebietes} \begin{minipage}{7.9cm} \center \textbf{Realität} \begin{picture}(200,70) \multiput(0,30)(140,0){2}{\vector(1,0){60}} \multiput(60,00)(80,0){2}{\line(0,1){60}} \multiput(60,00)(0,60){2}{\line(1,0){80}} \put(07,35){Erregung} \put(06,18){(Ursache)} \put(75,40){Schaltung} \put(72,15){Gerät, usw.} \put(147,35){Reaktion} \put(144,18){(Wirkung)} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{7.9cm} \center \textbf{Mathematisches Modell} \begin{picture}(200,70) \multiput(0,30)(140,0){2}{\vector(1,0){60}} \multiput(60,00)(80,0){2}{\line(0,1){60}} \multiput(60,00)(0,60){2}{\line(1,0){80}} \put(11,35){Eingabe} \put(23,18){$x(t)$} \put(81,27){\textbf{System}} \put(147,35){Ausgabe} \put(162,18){$y(t)$} \end{picture} \end{minipage} \subsubsection*{Aufgaben} \begin{tabular}{l|l|l} gegeben & gesucht & Gebiet \\ \hline Eingabe, System & Ausgabe & Systemanalyse\\ Eingabe, Ausgabe & System & Systemsynthese\\ System, Ausgabe & Eingabe & Messtechnik \end{tabular} \paragraph*{Beachte:} Modell ist anwendungsabhängig \subparagraph*{Beispiel:} Drahtwiderstand \bigskip \begin{tabular}{c|cccc} Realität & \multicolumn{4}{c}{Modell}\\ \hline \begin{picture}(45,60) \multiput(-1,15)(43,0){2}{\circle{2}} \multiput(0,15)(31,0){2}{\line(1,0){10}} \multiput(10,15)(2,0){8}{ \qbezier(0,0)(0,5)(2.5,5) \qbezier(2.5,5)(5,5)(5,0) \qbezier(5,0)(5,-5)(3,-5) \qbezier(3,-5)(2,-5)(2,0) } \put(26,15){\qbezier(0,0)(0,5)(2.5,5) \qbezier(2.5,5)(5,5)(5,0)} \end{picture} & \begin{picture}(48,60) \multiput(2,15)(42,0){2}{\circle{2}} \multiput(3,15)(30,0){2}{\line(1,0){10}} \multiput(13,10)(20,0){2}{\line(0,1){10}} \multiput(13,10)(0,10){2}{\line(1,0){20}} \put(19,23){$R$} \end{picture} & \begin{picture}(78,60) \multiput(2,15)(72,0){2}{\circle{2}} \multiput(3,15)(30,0){3}{\line(1,0){10}} \multiput(13,10)(20,0){2}{\line(0,1){10}} \multiput(13,10)(0,10){2}{\line(1,0){20}} \multiput(43,15)(5,0){4}{\qbezier(0,0)(0,5)(2.5,5)} \multiput(43,15)(5,0){4}{\qbezier(2.5,5)(5,5)(5,0)} \put(19,23){$R$} \put(50,23){$L$} \end{picture} & \begin{picture}(78,60) \multiput(2,15)(72,0){2}{\circle{2}} \multiput(08,15)(60,0){2}{\circle*{2}} \multiput(3,15)(30,0){3}{\line(1,0){10}} \multiput(13,10)(20,0){2}{\line(0,1){10}} \multiput(13,10)(0,10){2}{\line(1,0){20}} \multiput(43,15)(5,0){4}{\qbezier(0,0)(0,5)(2.5,5)} \multiput(43,15)(5,0){4}{\qbezier(2.5,5)(5,5)(5,0)} \multiput(08,15)(60,0){2}{\line(0,1){20}} \multiput(08,35)(32,0){2}{\line(1,0){28}} \thicklines\multiput(36,28)(4,0){2}{\line(0,1){14}}\thinlines \put(19,23){$R$} \put(50,23){$L$} \put(34,45){$C$} \end{picture} & \begin{picture}(145,60) \multiput(0,15)(142,0){2}{\circle{2}} \multiput(1,15)(130,0){2}{\line(1,0){10}} \multiput(61,15)(15,0){2}{{\line(1,0){5}}} \multiput(66,15)(4,0){3}{{\line(1,0){2}}} \multiput(-4,0)(70,0){2}{ \put(21,23){$R$} \put(52,23){$L$} \put(36,45){$C$} \multiput(10,15)(60,0){2}{\circle*{2}} \put(35,15){\line(1,0){10}} \multiput(15,10)(20,0){2}{\line(0,1){10}} \multiput(15,10)(0,10){2}{\line(1,0){20}} \multiput(45,15)(5,0){4}{\qbezier(0,0)(0,5)(2.5,5)} \multiput(45,15)(5,0){4}{\qbezier(2.5,5)(5,5)(5,0)} \multiput(10,15)(60,0){2}{\line(0,1){20}} \multiput(10,35)(32,0){2}{\line(1,0){28}} \thicklines\multiput(38,28)(4,0){2}{\line(0,1){14}}\thinlines} \end{picture} \\ & $\omega = 0$ & NF & HF & UHF \end{tabular} \bigskip Eingabe und Ausgabe sind Zeitfunktionen $x(t)$ bzw. $y(t)$ oder sogenannte \emph{Signale}. \subsection{Stoffeinteilung} (nach der Art des verarbeiteten Signals) \bigskip \begin{tabular}{ccc} \emph{Zeitkontinuiertliche Systeme} & \emph{Zeitdiskrete Systeme} & \emph{Digitale Systeme} \\ \begin{picture}(120,110) \put(20,00){\vector(0,1){100}} \put(15,25){\vector(1,0){110}} \put(0,87){$x(t)$} \put(115,15){$t$} \qbezier(20,25)(30,70)(50,70) \qbezier(50,70)(65,70)(70,40) \qbezier(70,40)(75,5)(85,5) \qbezier(85,5)(95,5)(100,20) \end{picture} & \begin{picture}(120,110) \put(20,00){\vector(0,1){100}} \put(15,25){\vector(1,0){110}} \put(0,87){$x(k)$} \put(115,15){$k$} \put(30,25){\line(0,1){29}} \put(40,25){\line(0,1){42}} \put(50,25){\line(0,1){45}} \put(60,25){\line(0,1){41}} \put(70,25){\line(0,1){15}} \put(80,25){\line(0,-1){17}} \put(90,25){\line(0,-1){19}} \put(100,25){\line(0,-1){5}} \put(30,54){\circle*{2}} \put(40,67){\circle*{2}} \put(50,70){\circle*{2}} \put(60,66){\circle*{2}} \put(70,40){\circle*{2}} \put(80,8){\circle*{2}} \put(90,6){\circle*{2}} \put(100,20){\circle*{2}} \put(27.5,15){$1$} \put(37.5,15){$2$} \put(47.5,15){$3$} \put(57.5,15){$\cdots$} \end{picture} & \begin{picture}(120,110) \put(20,00){\vector(0,1){100}} \put(15,25){\vector(1,0){110}} \put(0,87){$x(k)$} \put(115,15){$k$} \put(30,25){\line(0,1){30}} \put(40,25){\line(0,1){40}} \put(50,25){\line(0,1){45}} \put(60,25){\line(0,1){40}} \put(70,25){\line(0,1){15}} \put(80,25){\line(0,-1){15}} \put(90,25){\line(0,-1){20}} \put(100,25){\line(0,-1){5}} \put(30,55){\circle*{2}} \put(40,65){\circle*{2}} \put(50,70){\circle*{2}} \put(60,65){\circle*{2}} \put(70,40){\circle*{2}} \put(80,10){\circle*{2}} \put(90,5){\circle*{2}} \put(100,20){\circle*{2}} \linethickness{0.2mm} \multiput(0,0)(0,5){15}{\multiput(25,05)(5,0){18}{\circle*{1}}} \end{picture} \\ $t$ reell & $k$ ganzzahlig & $k$ ganzzahlig \\ x(t) reell & $x(k)$ reell & $x(k)$ ganzzahlig\\ \end{tabular} \subsection{Literatur} Wunsch/Schreiber, "`Digitale Systeme"', Verlag Technik / Springer Wunsch/Schreiber, "`Analoge Systeme"', Verlag Technik / Springer \setcounter{secnumdepth}{-1} \chapter{Teil 1: Digitale Systeme} \setcounter{secnumdepth}{3} \section{Mathematische Grundlagen} \subsection{Algebraische Strukturen} \subsubsection{Operation und Struktur} \begin{description} \item[Beispiele:] \quad \\ $3 + 4 = 7$ $\vec x_1 \times \vec x_2 = \vec x_3$ \end{description} \begin{minipage}{5cm} \begin{picture}(100,85) \put(60,30){\oval(100,60)} \put(30,20){\circle*{2}} \put(26,12){$a_1$} \put(30,40){\circle*{2}} \put(26,43){$a_2$} \multiput(30,20)(0,4){5}{\line(0,1){2}} \put(30,20){\vector(3,1){40}} \put(70,33){\circle*{2}} \put(73,30){$a_3$} \put(63,18){$= a_1 * a_2$} \put(65,60){\line(1,1){10}} \put(74,72){$A$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{9cm} Die Menge $A$ mit der auf ihr definierten Operation "`*"' bildet eine \emph{algebraische Struktur}, in Zeichen $(A,*)$. \begin{description} \item[Beispiele:] \quad \\ $(\mathbb R, +)$ \quad reelle Zahlen mit Addition $(\mathbb Z, \cdot)$ \quad ganze Zahlen mit Multiplikation \end{description} \end{minipage} \subsubsection{Verallgemeinerungen} \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{\alph{enumi})} \item Träger der Struktur kann auch mehr als eine Menge enthalten \item Struktur kann auch mehrere Operationen enthalten \begin{description} \item[Beispiele:] \quad \\ \begin{tabular}{ll}$(\mathbb R, +, \cdot)$ & reelle Zahlen mit Addition und Multiplikation\\ $(P(M), \cup, \cap, \overline{\phantom{F}})$ & Potenzmenge von $M$ mit Vereinigung, Durchschnitt\\ & und Komplement \end{tabular} \end{description} \item Operationen können $n$--stellig sein \item Bisher: $a_1 \in A$, $a_2 \in A \longrightarrow a_3 = a_1 * a_2 \in A$ \hspace{1.25cm} \emph{innere Operation} Allgemein: $a_1 \in A$, $a_2 \in A \longrightarrow a_3 = a_1 * a_2 \in B$ \qquad \emph{äußere Operation} \begin{minipage}{5cm} \begin{picture}(100,60) \put(30,20){\oval(60,30)} \multiput(15,20)(30,0){2}{\circle*{2}} \put(11,12){$a_1$} \put(41,12){$a_2$} \multiput(15,20)(4,0){8}{\line(1,0){2}} \multiput(30,35)(60,0){2}{\line(1,1){10}} \put(39,47){$A$} \put(99,47){$B$} \put(90,20){\oval(30,30)} \put(90,20){\circle*{2}} \put(86,12){$a_3$} \qbezier(45,20)(67.5,30)(90,20) \put(90,20){\vector(3,-1){0}} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{8cm} \begin{description} \item[Beispiel:] Skalarprodukt zweier Vektoren \hspace{2.5cm}$\vec x_1 \cdot \vec x_2 = c$ \end{description} \end{minipage} \end{enumerate} \newpage \subsubsection{Isomorphe Strukturen} Gegeben seien die Strukturen $(A, *)$ und $(B, \circ)$. \bigskip \begin{minipage}{5cm} \begin{picture}(140,95) \multiput(30,40)(60,0){2}{\oval(40,70)} \multiput(20,30)(80,0){2}{\circle*{2}} \multiput(40,20)(40,0){2}{\circle*{2}} \put(16,22){$x_1$} \put(32,12){$x_2$} \put(96,22){$y_1$} \put(82,12){$y_2$} \put(14,56){$x_1 * x_2$} \put(75,56){$y_1 \circ y_2$} \multiput(30,53)(60,0){2}{\circle*{2}} \qbezier(20,30)(30,53)(30,53) \qbezier(100,30)(90,53)(90,53) \put(30,53){\vector(1,3){0}} \put(90,53){\vector(-1,2){0}} \multiput(21,30)(4,0){20}{\line(1,0){2}} \multiput(41,20)(4,0){10}{\line(1,0){2}} \multiput(31,53)(4,0){15}{\line(1,0){2}} \put(100,30){\vector(1,0){0}} \put(90,53){\vector(1,0){0}} \put(80,20){\vector(1,0){0}} \put(0,85){$(A, *)$} \put(93,85){$(B, \circ)$} \qbezier(15,80)(21.5,73.5)(21.5,73.5) \qbezier(105,80)(98.5,73.5)(98.5,73.5) \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{10.8cm} \begin{description} \item[Definition:] Die Strukturen $(A, *)$ und $(B, \circ)$ heißen \emph{isomorph} (gleichgestaltig), in Zeichen $(A, *) \cong (B,\circ)$, falls eine bijektive Abbildung $\varphi : A \to B$ exisitert, so daß gilt: \center \fbox{\quad$\displaystyle\vphantom{\int_a^b} \varphi(x_1 * x_2) = \varphi(x_1) \circ \varphi(x_2) = y_1 \circ y_2$\quad} \end{description} \end{minipage} \bigskip Die Abbildung $\varphi$ heißt dann \emph{Isomorphismus}. \begin{description} \item[Beispiel:] \quad \\ \begin{tabular}{ll} $(A, *) = (\mathbb R^+, \cdot)$ & positive reelle Zahlen mit Multiplikation\\ $(B, \circ) = (\mathbb R, +)$ & reelle Zahlen mit Addition \end{tabular} \bigskip Behauptung: $(\mathbb R^+, \cdot) \cong (\mathbb R, +)$ Isomorphismus: $\varphi: \mathbb R^+ \to \mathbb R$, \quad $\varphi(x) = \log x$ Dann gilt: $\varphi(x_1 \cdot x_2) = \varphi(x_1) + \varphi(x_2)$, denn $\log(x_1 \cdot x_2) = \log x_1 + \log x_2$ \end{description} \paragraph*{Beachte:} Isomorphe Strukturen unterscheiden sich lediglich durch die Bezeichnung der Elemente des Trägers und der Operationen. Ansonsten sind sie formal gleich. \subsubsection*{Bedeutung isomorpher Strukturen} \begin{center} \begin{picture}(400,155) \multiput(0,0)(0,85){2}{ \multiput(0,0)(250,0){2}{ \multiput(0,0)(0,60){2}{\line(1,0){130}} \multiput(0,0)(130,0){2}{\line(0,1){60}} } } \put(250,30){\vector(-1,0){120}} \put(130,115){\vector(1,0){120}} \put(30,35){Lösung in der} \put(25,18){Originalstruktur} \put(280,35){Lösung in der} \put(284,18){Bildstruktur} \put(25,120){Originalstruktur} \put(5,102){(komplizierte Operation)} \put(284,120){Bildstruktur} \put(265,102){(einfache Operation)} \put(151,120){Transformation} \put(149,102){(bij. Abbildung)} \put(142,35){Rücktransformation} \put(315,85){\vector(0,-1){25}} \end{picture} \end{center} \paragraph*{Beispiele:} \begin{itemize} \item Logarithmenrechnung \item komplexe Wechselstromrechnung \item Funktionaltransformation (Fourier, Laplace, Z) \end{itemize} \subsubsection{Boolesche Algebra} \begin{description} \item[Definition:] Die Struktur $(A, *, \circ ,\overline{\phantom{X}}, e_*, e_{\circ})$ heißt Boolesche Algebra, falls gilt: \end{description} \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})} \item $*$ und $\circ$ sind assoziativ \item $*$ und $\circ$ sind kommutativ \item $*$ ist adjunktiv bezüglich $\circ$ und umgekehrt \item $*$ ist distributiv bezüglich $\circ$ und umgekehrt \item neutrale Elemente $x * e_* = x$, $x \circ e_{\circ} = x$, $(x \in A)$ \item einstellige Operation: $x * \overline x = e_{\circ}$, $x\circ \overline x = e_*$ \end{enumerate} \paragraph*{Beispiel:} Mengenalgebra $(P(M), \cup, \cap, \overline{\phantom{X}}, \emptyset, M)$ Für beliebige $M_1, M_2, M_3 \subset M$ gilt: \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item $M_1 \cup (M_2 \cup M_3) = (M_1 \cup M_2) \cup M_3$ \hspace{1.92cm} Assoziativgesetz %% fieser Stil, aber zu faul :) $M_1 \cap (M_2 \cap M_3) = (M_1 \cap M_2) \cap M_3$ \item $M_1 \cup M_2 = M_2 \cup M_1$ \hspace{4.45cm} Kommutativgesetz $M_1 \cap M_2 = M_2 \cap M_1$ \item $M_1 \cup (M_1 \cap M_2) = M_1$ \hspace{4.15cm} Adjunktivgesetz $M_1 \cap (M_1 \cup M_2) = M_1$ \item $M_1 \cup (M_2 \cap M_3) = (M_1 \cup M_2) \cap (M_1 \cup M_3)$ \qquad Distributivgesetz $M_1 \cap (M_2 \cup M_3) = (M_1 \cap M_2) \cup (M_1 \cap M_3)$ \item $M_1 \cup \emptyset = M_1$ \hspace{5.76cm} neutrale Elemente $M_1 \cap M = M_1$ \item $M_1 \cup \overline M_1 = M$ \hspace{5.5cm} Komplementbildung $M_1 \cap \overline M_1 = \emptyset$ \end{enumerate} Jede endliche Boolesche Algebra ist zu einer endlichen Mengenalgebra isomorph. \subsection{Schaltalgebra} \subsubsection{Rechenregeln} "`Einfachster Sonderfall"' einer Booleschen Algebra: $A = \{e_*, e_{\circ}\}$. \bigskip Neue Symbolik: $(A, * , \circ , e_* , \overline{\phantom{0}}, e_{\circ}) \longrightarrow (\mathbb B, \lor, \land, \overline{\phantom{0}}, 0 ,1)$ \smallskip $\lor$: oder--Verknüpfung (Disjunktion), $\land$: und--Verknüpfung (Konjunktion), $\overline{\phantom{0}}$: Negation \smallskip Eine Boolesche Algebra mit zweielementigem Träger heißt \emph{Schaltalgebra}. \subsubsection*{Rechenregeln der Schaltalgebra:} \begin{tabular}{rrclp{2cm}rcl} 1. & $x \lor (y \lor z)$ & = &$ (x\lor y) \lor z$& &$x \land (y \land z)$ & = &$ (x\land y) \land z$\\ 2. &$x \lor y$ & = &$ y\lor x$& &$x \land y $ & = &$y\land x$\\ 3. &$x \lor (x \land y)$ & = & $x$ & & $x \land (x \lor y)$ & = & $x$\\ 4. &$x \lor (y \land z) $& = &$(x \lor y) \land (x \lor z) $& &$x \land (y \lor z) $& = &$(x \land y) \lor (x \land z) $\\ 5. &$x \lor \overline x $& = &$1 $& &$x \land \overline x $& = &$0 $\\ 6. &$x \lor0 $& = &$x $& &$x \land 1 $& = &$x $\\ 7. &$\overline 0 $& = &$1 $& &$\overline 1 $& = &$0 $\\ 8. &$\overline{x \lor y} $& = &$\overline x \land \overline y $& &$\overline{x \land y} $& = &$\overline x \lor \overline y $\\ 9. &$x \lor x $& = &$x $& &$x \land x $& = &$x $\\ 10. &$x \lor 1 $& = &$1 $& &$x \land 0 $& = &$0 $\\ 11. &&&&$\phantom{X} \overline{\overline x} = x$&&& \end{tabular} (1) $\ldots$ (6) entsprechen der Booleschen Algebra, $x \land y$ wird oft als $xy$ geschrieben. \begin{description} \item[Anwendung:] Vereinfachung Boolescher Terme \end{description} Beispiel: \begin{align*} y & = (ax \lor \overline{(a \lor \overline{x})})(b \lor 1) c & a, b,c,x,y \in \mathbb B = \{0,1\}\\ & = (ax \lor \overline{(a \lor \overline{x})}) c & \textnormal{mit Regeln 10 und 6}\\ & = (ax \lor \overline a x) c & \textnormal{mit Regeln 8 und 11}\\ & = (a \lor \overline a) xc & \textnormal{mit Regel 4}\\ & = xc & \textnormal{mit Regeln 5 und 6} \end{align*} \subsubsection*{Operationstabellen} \begin{tabular}{c|cc} \multicolumn{3}{c}{oder}\\ $\lor$ & 0 & 1\\ \hline 0 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 1\\ \end{tabular} \qquad \begin{tabular}{c|cc} \multicolumn{3}{c}{und}\\ $\lor$ & 0 & 1\\ \hline 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 1\\ \end{tabular} \qquad \begin{tabular}{c|cc} \multicolumn{3}{c}{nicht}\\ $\overline{\phantom{X}}$ & 0 & 1\\ \hline & 1 & 0\\\\ \end{tabular} \subsubsection{Gatterschaltungen} Tabelle der Schaltsymbole: \begin{center} \begin{tabular}{l@{\hspace{1cm}}c@{\hspace{1cm}}c} \hline \textbf{Bezeichnung} & \textbf{DIN$\,$40700 (alt)} & \textbf{DIN$\,$40900 (neu)}\\ \hline \hline \begin{picture}(100,40) \put(0,15){ Oder--Gatter } \end{picture} & \begin{picture}(70,40) \multiput(1,10)(0,15){2}{\circle{2}} \multiput(2,10)(0,15){2}{\line(1,0){33.5}} \put(25,5){\line(0,1){25}} \qbezier(37.5,17.5)(37.5,22.67767)(33.838835,26.338835) \qbezier(25,30)(30.17767,30)(33.838835,26.338835) \qbezier(37.5,17.5)(37.5,12.32233)(33.838835,8.661165) \qbezier(25,5)(30.17767,5)(33.838835,8.661165) \put(37.5,17.5){\line(1,0){22.5}} \put(61,17.5){\circle{2}} \end{picture} & \begin{picture}(70,40) \multiput(1,10)(0,15){2}{\circle{2}} \multiput(2,10)(0,15){2}{\line(1,0){18}} \multiput(20,5)(25,0){2}{\line(0,1){25}} \multiput(20,5)(0,25){2}{\line(1,0){25}} \put(45,17.5){\line(1,0){18}} \put(64,17.5){\circle{2}} \put(24,20){$\geq 1$} \end{picture} \\ \begin{picture}(100,40) \put(0,15){ Und--Gatter } \end{picture} & \begin{picture}(70,40) \multiput(1,10)(0,15){2}{\circle{2}} \multiput(2,10)(0,15){2}{\line(1,0){23}} \put(25,5){\line(0,1){25}} \qbezier(37.5,17.5)(37.5,22.67767)(33.838835,26.338835) \qbezier(25,30)(30.17767,30)(33.838835,26.338835) \qbezier(37.5,17.5)(37.5,12.32233)(33.838835,8.661165) \qbezier(25,5)(30.17767,5)(33.838835,8.661165) \put(37.5,17.5){\line(1,0){22.5}} \put(61,17.5){\circle{2}} \end{picture} & \begin{picture}(70,40) \multiput(1,10)(0,15){2}{\circle{2}} \multiput(2,10)(0,15){2}{\line(1,0){18}} \multiput(20,5)(25,0){2}{\line(0,1){25}} \multiput(20,5)(0,25){2}{\line(1,0){25}} \put(45,17.5){\line(1,0){18}} \put(64,17.5){\circle{2}} \put(28.5,20){$\&$} \end{picture} \\ \begin{picture}(100,40) \put(0,15){ Negations--Gatter } \end{picture} & \begin{picture}(70,40) \put(1,17.5){\circle{2}} \put(2,17.5){\line(1,0){23}} \put(25,5){\line(0,1){25}} \qbezier(37.5,17.5)(37.5,22.67767)(33.838835,26.338835) \qbezier(25,30)(30.17767,30)(33.838835,26.338835) \qbezier(37.5,17.5)(37.5,12.32233)(33.838835,8.661165) \qbezier(25,5)(30.17767,5)(33.838835,8.661165) \put(38,17.5){\circle*{3}} \put(37.5,17.5){\line(1,0){22.5}} \put(61,17.5){\circle{2}} \end{picture} & \begin{picture}(70,40) \put(1,17.5){\circle{2}} \put(2,17.5){\line(1,0){18}} \multiput(20,5)(25,0){2}{\line(0,1){25}} \multiput(20,5)(0,25){2}{\line(1,0){25}} \put(46.5,17.5){\circle{3}} \put(48,17.5){\line(1,0){15}} \put(64,17.5){\circle{2}} \put(29.5,20){$1$} \end{picture} \\ \begin{picture}(100,40) \put(0,15){ NOR--Gatter } \end{picture} & \begin{picture}(70,40) \multiput(1,10)(0,15){2}{\circle{2}} \multiput(2,10)(0,15){2}{\line(1,0){33.5}} \put(25,5){\line(0,1){25}} \qbezier(37.5,17.5)(37.5,22.67767)(33.838835,26.338835) \qbezier(25,30)(30.17767,30)(33.838835,26.338835) \qbezier(37.5,17.5)(37.5,12.32233)(33.838835,8.661165) \qbezier(25,5)(30.17767,5)(33.838835,8.661165) \put(38,17.5){\circle*{3}} \put(37.5,17.5){\line(1,0){22.5}} \put(61,17.5){\circle{2}} \end{picture} & \begin{picture}(70,40) \multiput(1,10)(0,15){2}{\circle{2}} \multiput(2,10)(0,15){2}{\line(1,0){18}} \multiput(20,5)(25,0){2}{\line(0,1){25}} \multiput(20,5)(0,25){2}{\line(1,0){25}} \put(46.5,17.5){\circle{3}} \put(48,17.5){\line(1,0){15}} \put(64,17.5){\circle{2}} \put(24,20){$\geq 1$} \end{picture} \\ \begin{picture}(100,40) \put(0,15){ NAND--Gatter } \end{picture} & \begin{picture}(70,40) \multiput(1,10)(0,15){2}{\circle{2}} \multiput(2,10)(0,15){2}{\line(1,0){23}} \put(25,5){\line(0,1){25}} \qbezier(37.5,17.5)(37.5,22.67767)(33.838835,26.338835) \qbezier(25,30)(30.17767,30)(33.838835,26.338835) \qbezier(37.5,17.5)(37.5,12.32233)(33.838835,8.661165) \qbezier(25,5)(30.17767,5)(33.838835,8.661165) \put(38,17.5){\circle*{3}} \put(37.5,17.5){\line(1,0){22.5}} \put(61,17.5){\circle{2}} \end{picture} & \begin{picture}(70,40) \multiput(1,10)(0,15){2}{\circle{2}} \multiput(2,10)(0,15){2}{\line(1,0){18}} \multiput(20,5)(25,0){2}{\line(0,1){25}} \multiput(20,5)(0,25){2}{\line(1,0){25}} \put(46.5,17.5){\circle{3}} \put(48,17.5){\line(1,0){15}} \put(64,17.5){\circle{2}} \put(28.5,20){$\&$} \end{picture} \\ \begin{picture}(100,40) \put(0,15){ Antivalenz--Gatter } \end{picture} & \begin{picture}(70,40) \multiput(1,10)(0,15){2}{\circle{2}} \multiput(2,10)(0,15){2}{\line(1,0){23}} \put(25,5){\line(0,1){25}} \qbezier(37.5,17.5)(37.5,22.67767)(33.838835,26.338835) \qbezier(25,30)(30.17767,30)(33.838835,26.338835) \qbezier(37.5,17.5)(37.5,12.32233)(33.838835,8.661165) \qbezier(25,5)(30.17767,5)(33.838835,8.661165) \put(37.5,17.5){\line(1,0){22.5}} \put(61,17.5){\circle{2}} \multiput(28,15)(0,2.5){3}{\line(1,0){5}} \put(30.5,13){\line(0,1){9.5}} \put(55,30){*)} \end{picture} & \begin{picture}(70,40) \multiput(1,10)(0,15){2}{\circle{2}} \multiput(2,10)(0,15){2}{\line(1,0){18}} \multiput(20,5)(25,0){2}{\line(0,1){25}} \multiput(20,5)(0,25){2}{\line(1,0){25}} \put(45,17.5){\line(1,0){18}} \put(64,17.5){\circle{2}} \put(24,20){$= 1$} \end{picture} \\ \begin{picture}(100,40) \put(0,15){ Äquivalenz--Gatter } \end{picture} & \begin{picture}(70,40) \multiput(1,10)(0,15){2}{\circle{2}} \multiput(2,10)(0,15){2}{\line(1,0){23}} \put(25,5){\line(0,1){25}} \qbezier(37.5,17.5)(37.5,22.67767)(33.838835,26.338835) \qbezier(25,30)(30.17767,30)(33.838835,26.338835) \qbezier(37.5,17.5)(37.5,12.32233)(33.838835,8.661165) \qbezier(25,5)(30.17767,5)(33.838835,8.661165) \put(37.5,17.5){\line(1,0){22.5}} \put(61,17.5){\circle{2}} \multiput(28,15)(0,2.5){3}{\line(1,0){5}} \put(55,30){*)} \end{picture} & \begin{picture}(70,40) \multiput(1,10)(0,15){2}{\circle{2}} \multiput(2,10)(0,15){2}{\line(1,0){18}} \multiput(20,5)(25,0){2}{\line(0,1){25}} \multiput(20,5)(0,25){2}{\line(1,0){25}} \put(45,17.5){\line(1,0){18}} \put(64,17.5){\circle{2}} \put(28.5,20){$=$} \end{picture}\\ \hline \end{tabular} \smallskip *) nicht genormt \end{center} \paragraph*{Bemerkungen:} \begin{itemize} \item Die Variablen $x_1, x_2, \ldots \in \mathbb B$ heißen Schaltvariablen und bezeichnen die Eingangs-- und Ausgangsbelegung eines Gatters \item Jedem Booleschen Term kann eine Gatterschaltung zugeordnet werden \end{itemize} \subsubsection*{Beispiele} \begin{enumerate} \item Gatterschaltung zum Term $x_1 x_2 \lor x_3$: \begin{picture}(150,50) \put(4,0){ \put(11,5){\line(1,0){74}} \multiput(10,5)(125,7.5){2}{\circle{2}} \multiput(0,0)(-50,20){2}{ \multiput(85,0)(0,25){2}{\line(1,0){25}} \multiput(85,0)(25,0){2}{\line(0,1){25}}} \multiput(60,32.5)(12.5,-12.5){2}{\line(1,0){12.5}} \put(72.5,20){\line(0,1){12.5}} \multiput(10,25)(0,15){2}{\circle{2}} \multiput(11,25)(0,15){2}{\line(1,0){24}} \put(110,12.5){\line(1,0){24}} \put(44,35){$\&$} \put(89.5,15){$\geq 1$} } \put(0,3){$x_3$} \put(0,23){$x_2$} \put(0,38){$x_1$} \put(0,3){$x_3$} \put(142,10.5){$y$} \end{picture} \item Gatterschaltung zum Term $\overline{\overline{x_1 x_2} \lor x_3}$: \begin{picture}(150,50) \put(4,0){ \put(11,5){\line(1,0){124}} \multiput(10,5)(225,7.5){2}{\circle{2}} \multiput(0,0)(-100,20){2}{ \multiput(135,0)(0,25){2}{\line(1,0){25}} \multiput(135,0)(25,0){2}{\line(0,1){25}}} \multiput(110,32.5)(12.5,-12.5){2}{\line(1,0){12.5}} \put(122.5,20){\line(0,1){12.5}} \multiput(10,25)(0,15){2}{\circle{2}} \multiput(11,25)(0,15){2}{\line(1,0){24}} \put(210,12.5){\line(1,0){24}} \put(44,35){$\&$} \put(139.5,15){$\geq 1$} \multiput(0,0)(100,-20){2}{ \put(60,32.5){\line(1,0){22}} \multiput(82,20)(25,0){2}{\line(0,1){25}} \multiput(82,20)(0,25){2}{\line(1,0){25}} \put(92,35){1} \put(108.5,32.5){\circle{3}} } } \put(0,3){$x_3$} \put(0,23){$x_2$} \put(0,38){$x_1$} \put(0,3){$x_3$} \put(242,10.5){$y$} \end{picture} einfacher: \begin{picture}(150,50) \put(4,0){ \put(11,5){\line(1,0){74}} \multiput(10,5)(125,7.5){2}{\circle{2}} \multiput(0,0)(-50,20){2}{ \multiput(85,0)(0,25){2}{\line(1,0){25}} \multiput(85,0)(25,0){2}{\line(0,1){25}}} \put(63,32.5){\line(1,0){9.5}} \put(72.5,20){\line(1,0){12.5}} \put(61.5,32.5){\circle{3}} \put(72.5,20){\line(0,1){12.5}} \multiput(10,25)(0,15){2}{\circle{2}} \multiput(11,25)(0,15){2}{\line(1,0){24}} \put(113,12.5){\line(1,0){21}} \put(111.5,12.5){\circle{3}} \put(44,35){$\&$} \put(89.5,15){$\geq 1$} } \put(0,3){$x_3$} \put(0,23){$x_2$} \put(0,38){$x_1$} \put(0,3){$x_3$} \put(142,10.5){$y$} \end{picture} \item $x_1 \overline x_2 \lor \overline x_1 x_2 = x_1 \dot{\lor} x_2$ \qquad (Antivalenz, Exklusiv--Oder) \item $x_1 x_2 \lor \overline x_1 \overline x_2 = x_1 \Leftrightarrow x_2$ \qquad (Äquivalenz) \end{enumerate} \subsubsection{Schaltfunktionen} \begin{description} \item[Definition:] \quad \\ Die Abbildung \fbox{\quad $\vphantom{\Big|} f: \mathbb B^n \longrightarrow \mathbb B;\; f(x_1,x_2,\ldots , x_n) = y $\quad} heißt $n$--stellige Schaltfunktion. \end{description} \subsubsection*{Eigenschaften} \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{\Roman{enumi})} \item \emph{Definitionsbereich}: \[\mathbb B^n = \{0,1\}^n = \{\underbrace{(0,0,\ldots ,0)}_{n \textnormal{ Elemente}} , (0,0 , \ldots ,1), \ldots , (1,1, \ldots , 1)\}\] enthält $2^n$ Elemente. \emph{Wertebereich}: $\mathbb B = \{0,1\}$ \item Anzahl $n$--stelliger Schaltfunktionen: $2^{(2^n)}$ (Tabelle s. Formelsammlung) \item In die Rechenregeln der Schaltalgebra (1.2.1) können anstelle der Variablen $x,y,z$ auch Schaltfunktionen $f_1,f_2,f_3$ eingesetzt werden. \end{enumerate} \subsubsection{Vollständiges Operationensystem} Das Operationensystem $(\lor,\, \land,\, \overline{\phantom{0}})$ ist vollständig d.h. es ist jede beliebige Schaltfunktion damit darstellbar. Frage: Gibt es weitere vollständige Operationensysteme? \begin{description} \item[Beispiel 1:] $(\lor,\, \overline{\phantom{0}})$ ist vollständig, $\land$ läßt sich durch $\lor$ ausdrücken: \begin{minipage}{130pt} $x_1 x_2 = \overline{\overline{x_1 x_2}} = \overline{\overline{x_1} \lor\overline{x_2}}$ \end{minipage} \begin{minipage}{285pt} \begin{picture}(285,80) \put(0,27){$x_2$} \put(0,43){$x_1$} \multiput(15,30)(0,15){2}{\circle{2}} \multiput(16,30)(0,15){2}{\line(1,0){24}} \multiput(40,25)(25,0){2}{\line(0,1){25}} \multiput(40,25)(0,25){2}{\line(1,0){25}} \put(49,40){\&} \multiput(0,0)(180,0){2}{ \put(65,37.5){\line(1,0){24}} \put(90,37.5){\circle{2}} \put(94,34.5){$y$} } \put(110,34.5){$\Leftrightarrow$} \put(130,14.5){$x_2$} \put(130,54.5){$x_1$} \put(180,20){$1$} \put(180,60){$1$} \put(224,40){$\geq 1$} \multiput(0,5)(0,40){2}{ \put(144,12.5){\circle{2}} \put(145,12.5){\line(1,0){25}} \multiput(170,0)(25,0){2}{\line(0,1){25}} \multiput(170,0)(0,25){2}{\line(1,0){25}} \put(196.5,12.5){\circle{3}} \put(198,12.5){\line(1,0){11}}} \multiput(209,17.5)(0,27.5){2}{\line(0,1){12.5}} \multiput(209,30)(0,15){2}{\line(1,0){11}} \multiput(220,25)(25,0){2}{\line(0,1){25}} \multiput(220,25)(0,25){2}{\line(1,0){25}} \end{picture} \end{minipage} \item[Beispiel 2:] $(\uparrow)$ ist vollständig, wobei $x_1 \uparrow x_2 = \overline{x_1 x_2}$ (NAND) \bigskip \begin{minipage}{9cm} $\overline x = \overline{xx} = x \uparrow x$ \end{minipage} \begin{minipage}{4cm} \begin{picture}(100,25) \put(0,9.5){$x$} \put(5,0){ \put(09,12.5){\circle{2}} \put(10,12.5){\line(1,0){15}} \put(25,5){\line(0,1){15}} \put(25,12.5){\circle*{2}} \multiput(25,5)(0,15){2}{\line(1,0){10}} \multiput(35,0)(25,0){2}{\line(0,1){25}} \multiput(35,0)(0,25){2}{\line(1,0){25}} \put(61.5,12.5){\circle{3}} \put(63,12.5){\line(1,0){21}} \put(85,12.5){\circle{2}} \put(88,9.5){$y$} \put(44,15){$\&$}} \end{picture} \end{minipage} \bigskip \begin{minipage}{9cm} $x_1 \lor x_2 = \overline{\overline{x_1 \lor x_2}} = \overline{x_1}\uparrow \overline{x_2} = (x_1 \uparrow x_1) \uparrow (x_2 \uparrow x_2)$ \end{minipage} \begin{minipage}{5cm} \begin{picture}(100,65) \multiput(5,0)(0,40){2}{ \put(09,12.5){\circle{2}} \put(10,12.5){\line(1,0){15}} \put(25,5){\line(0,1){15}} \put(25,12.5){\circle*{2}} \multiput(25,5)(0,15){2}{\line(1,0){10}} \multiput(35,0)(25,0){2}{\line(0,1){25}} \multiput(35,0)(0,25){2}{\line(1,0){25}} \put(61.5,12.5){\circle{3}} \put(44,15){$\&$} } \put(0,09.5){$x_2$} \put(0,49.5){$x_1$} \multiput(90,20)(25,0){2}{\line(0,1){25}} \multiput(90,20)(0,25){2}{\line(1,0){25}} \put(99,35){$\&$} \multiput(0,5)(0,40){2}{ \put(068,07.5){\line(1,0){11}}} \multiput(079,12.5)(0,27.5){2}{\line(0,1){12.5}} \multiput(079,25)(0,15){2}{\line(1,0){11}} \put(116.5,32.5){\circle{3}} \put(118,32.5){\line(1,0){21}} \put(140,32.5){\circle{2}} \put(143,29.5){$y$} \end{picture} \end{minipage} \bigskip \begin{minipage}{9cm} $x_1 x_2 = \overline{\overline{x_1 x_2}} = \overline{ x_1 \uparrow x_2} = (x_1 \uparrow x_2) \uparrow (x_1 \uparrow x_2)$ \end{minipage} \begin{minipage}{5cm} \begin{picture}(100,25) \put(55,0){ \put(11.5,12.5){\circle{3}} \put(13,12.5){\line(1,0){13}} \put(25,5){\line(0,1){15}} \put(25,12.5){\circle*{2}} \multiput(25,5)(0,15){2}{\line(1,0){10}} \multiput(35,0)(25,0){2}{\line(0,1){25}} \multiput(35,0)(0,25){2}{\line(1,0){25}} \put(61.5,12.5){\circle{3}} \put(44,15){$\&$} } \put(118,12.5){\line(1,0){21}} \put(140,12.5){\circle{2}} \put(143,09.5){$y$} \put(49,15){$\&$} \multiput(40,0)(25,0){2}{\line(0,1){25}} \multiput(40,0)(0,25){2}{\line(1,0){25}} \multiput(15,5)(0,15){2}{\circle{2}} \multiput(16,5)(0,15){2}{\line(1,0){24}} \put(0,3){$x_2$} \put(0,18){$x_1$} \end{picture} \end{minipage} \end{description} \subsection{Darstellung von Schaltfunktionen} \subsubsection{Wertetabelle} \paragraph*{Beispiel:} $n = 3$, $f:\mathbb B^3 \longrightarrow \mathbb B$, $y = f(x_1, x_2, x_3)$ \bigskip \begin{minipage}{5cm} \begin{tabular}{c|ccc|c} $i$ & $x_1$ & $x_2$ & $x_3$ & $y$\\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 4 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 5 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 6 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 7 & 1 & 1 & 1 & 0 \end{tabular} \end{minipage} \begin{minipage}{10cm} \paragraph*{Bemerkungen:} \begin{itemize} \item Tabelle beschreibt Schaltbild vollständig \item Es genügt Angabe der Zeilen mit Funktionswert 1 \item Einführung \emph{Zeilenenindex} $i$ aus Indexmenge $I$: \[I_f = \{i : f(x_1, x_2, \ldots , x_n) = 1 \}\] mit $i = \mathrm{Bin}(x_1 , x_2, \ldots x_n)$ \smallskip Für obiges Beispiel: $I_f = \{3,5,6\}$. \end{itemize} \end{minipage} \subsubsection{Boolesche Terme} \begin{enumerate} \item Konstanten $0$ und $1$ und die Variablen $x_1, x_2, \ldots x_n$ sind Boolesche Terme \item Ist $B$ ein Boolescher Term, so auch $\overline B$ \item Sind $B_1$ und $B_2$ Boolesche Terme, dann auch $B_1 \lor B_2$ sowie $B_1 \land B_2$ \end{enumerate} \paragraph*{Beispiel:} $B = ((x_1 x_2 \lor \overline{x_3}) x_3 \lor 0) 1$\hspace{4cm} (*) \bigskip Darstellung einer Schaltfunktion entsprechend (1.3.1): \textbf{Wertetabelle} \bigskip \begin{minipage}{4cm} \begin{tabular}{cccc} $x_1$ & $x_2$ & $x_3$ & $y$\\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{tabular} \end{minipage} \begin{minipage}{11.8cm} \begin{description} \item[Verallgemeinerung:] Jeder Boolesche Term mit $n$ Variablen stellt eine $n$--stellige Struktur dar. \item[Umkehrung:] Jede $n$--Stellige Struktur $f:\mathbb B^n \longrightarrow B$ läßt sich durch einen Booleschen Term darstellen, jedoch \emph{nicht} in eindeutiger Weise \item[Beispiel:] Der Term stellt die gleiche Schaltfunktion dar wie \\ $B = x_1 x_2 x_3$ \end{description} \end{minipage} \bigskip \begin{description} \item[Definition:] Boolesche Terme die die gleiche Schaltfunktion darstellen heißen \emph{äquivalent}. \end{description} $\Rightarrow$ Standardisierung durch sogenannte \emph{Normalfunktion}! \subsubsection{Kanonische disjunktive Normalfunktion} \paragraph*{Definition:} Ein Boolescher Term des Typs \[m_i = {x_1}^{i_1} \land {x_2}^{i_2} \land \ldots \land {x_n}^{i_n} \qquad \text{ mit } \qquad {x_{\nu}}^{i_{\nu}} = \left\{\begin{array}{ll}\overline{x_{\nu}} & \text{falls } i_{\nu} = 0\\ x_{\nu} & \text{falls } i_{\nu} = 1\end{array}\right.\] heißt \emph{Minterm} in $n$ Variablen. \paragraph*{Eigenschaften} \begin{enumerate} \item $m_i$ enthält jede Variable genau einmal und zwar negiert oder nicht negiert \item Alle Variablen sind konjunktiv verknüpft \item $m_i$ nimmt für genau eine Belegung der Variablen den Wert $1$ and, sonst $0$ \item Die Bedeutung des Index von $i$ von $m_i$: Die Binärdarstellung $\mathrm{Bin}\,(i)$ entspricht der Belegung für die $m_i$ den Wert $1$ annimmt \end{enumerate} \paragraph*{Beispiel:} $n = 3$, $m_2 = \overline{x_1} \, x_2 \, \overline{x_3} = \left\{\begin{array}{ll}1 & \text{für } x_1 = 0,\, x_2 = 1,\, x_3 = 0\\ 0 & \text{sonst}\end{array}\right.$ \subsubsection*{Darstellungssatz I} \begin{minipage}{6cm} \quad \boxed{ \vphantom{\bigvee\limits_a^a} \quad f(x_1,x_2, \ldots , x_n) = \bigvee\limits_{i \in I_f} m_i \quad} \end{minipage} \begin{minipage}{9.8cm} \center heißt Darstellung von $f$ in \emph{kanonischer disjunktiver Normalform} (KDNF) \end{minipage} \paragraph*{Beispiel:} Wertetabelle aus (1.3), $I_f = \{3,5,6\}$ \begin{align*} f(x_1,x_2,x_3) & = \bigvee\limits_{i \in I_f} m_i = m_3 \lor m_5 \lor m_6 = {x_1}^0 {x_2}^1 {x_3}^1 \lor {x_1}^1 {x_2}^0 {x_3}^1 \lor {x_1}^1 {x_2}^1 {x_3}^0 \\ & = \overline{x_1} x_2 x_3 \lor x_1 \overline{x_2} x_3 \lor x_1 x_2 \overline{x_3} \end{align*} \subsubsection{Kanonische konjunktive Normalform} \paragraph*{Definition:} Ein Boolescher Term des Typs \[M_i = \overline{x_1}^{i_1} \lor \overline{x_2}^{i_2} \lor \ldots \lor \overline{x_n}^{i_n} \qquad \text{ mit } \qquad \overline{x_{\nu}}^{i_{\nu}} = \left\{\begin{array}{ll}x_{\nu} & \text{falls } i_{\nu} = 0 \\ \overline{x_{\nu}} & \text{falls } i_{\nu} = 1\end{array}\right.\] heißt \emph{Maxterm} in $n$ Variablen. \paragraph*{Eigenschaften} \begin{enumerate} \item $M_i$ enthält jede Variable genau einmal, negiert oder nicht negiert \item Die Variablen sind disjunktiv verknüpft \item $M_i$ nimmt genau für eine Belegung der Variablen den Wert $0$ an, sonst immer $1$ \item Bedeutung des Index $i$ von $M_i$: Die Binärdarstellung $\mathrm{Bin}\,(i)$ ergibt die Belegung der Variablen für die $M_i = 0$ ist \end{enumerate} \paragraph*{Beispiel:} $n = 3$, \quad $M_5 = \overline{x_1}^1 \lor \overline{x_2}^0 \lor \overline{x_3}^1 = \overline{x_1} \lor x_2 \lor \overline{x_3} = \left\{\begin{array}{ll} 0 & x_1 = 1, \, x_2 = 0, \, x_3 = 1\\ 1 & \text{sonst}\end{array}\right.$ \subsection*{Darstellungssatz II} \begin{minipage}{6cm} \quad \boxed{ \vphantom{\bigvee\limits_a^a} \quad f(x_1,x_2, \ldots , x_n) = \bigwedge\limits_{i \in \overline{I_f}} M_i \quad} \end{minipage} \begin{minipage}{9.8cm} \center mit $\overline{I_f} = I \smallsetminus I_f$ heißt Darstellung von $f$ in \emph{kanonischer konjunktiver Normalform} (KKNF) \end{minipage} \paragraph*{Beispiel:} (zur Vereinfachung mit einer anderen Wertetabelle) \bigskip \begin{minipage}{6cm} \begin{tabular}{c|ccc|l} $i$ & $x_1$ & $x_2$ & $x_3$ & $f(x_1,x_2,x_3)$\\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 2 & 0 & 1 & 0 & 1\\ 3 & 0 & 1 & 1 & 1\\ 4 & 1 & 0 & 0 & 1\\ 5 & 1 & 0 & 1 & 0\\ 6 & 1 & 1 & 0 & 1\\ 7 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{tabular} \end{minipage} \begin{minipage}{9.8cm} $\overline{I_f} = \{1,5\}$ \smallskip \begin{align*} f(x_1,x_2,x_3) & = \bigwedge\limits_{i \in \overline{I_f}} M_i = M_1 \land M_2 \\ & = (\overline{x_1}^0 \lor \overline{x_2}^0 \lor \overline{x_3}^1) \land (\overline{x_1}^1 \lor \overline{x_2}^0 \lor \overline{x_3}^1) \\ & = (x_1 \lor x_2 \lor \overline{x_3}) \land (\overline{x_1} \lor x_2 \lor \overline{x_3}) \end{align*} \end{minipage} \subsubsection*{Bemerkungen} \begin{enumerate} \item KDNF und KNNF sind eindeutig bis auf die Reihenfolge der Maxterme bzw. Minterme \item Wann KDNF bzw. KKNF? Wertespalte enthält mehr $1$ als $0$ $\rightarrow$ KKNF, sonst KDNF. \end{enumerate} \subsubsection{Karnaugh--Tafel} \begin{description} \item[Ziel:] Gewinnen eines minimalen Booleschen Terms \item[Beispiel:] $n = 4$ \item[Wertetabelle:] \ \par \smallskip \begin{tabular}{c|c|c|c|c|c} $x_1$ & $x_2$ & $x_3$ & $x_4$ & $f(x_1,x_2,x_3,x_4)$ & $m_i$\\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & $f(0,0,0,0)$ & $m_0$\\ 0 & 0 & 0 & 1 & $f(0,0,0,1)$ & $m_1$\\ 0 & 0 & 1 & 0 & $f(0,0,1,0)$ & $m_2$\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\ 1 & 1 & 1 & 1 &$f(1,1,1,1)$ & $m_{15}$\\ \end{tabular} \bigskip \item[Karnaugh--Tafel für $n=4$:] \quad \par \smallskip \begin{minipage}{140pt} \begin{picture}(140,100) %% Ich hoffe, daß dies niemand zu Gesicht bekommt :-) \put(0,79){$x_{1,2}$} \put(7.5,93){$x_{3,4}$} \multiput(25,0)(25,0){5}{\line(0,1){100}} \put(0,100){\line(1,-1){25}} \multiput(0,0)(0,18.7){5}{\line(1,0){125}} \put(32,82){00 \hspace{0.24cm} 01 \hspace{0.24cm} 11 \hspace{0.24cm} 10} \put(07,62.3){00 \hspace{0.20cm} $m_0$ \hspace{0.12cm} $m_1$ \hspace{0.12cm} $m_3$ \hspace{0.12cm} $m_2$} \put(07,43.6){01 \hspace{0.20cm} $m_4$ \hspace{0.12cm} $m_5$ \hspace{0.12cm} $m_7$ \hspace{0.12cm} $m_6$} \put(07,24.9){11 \hspace{0.10cm} $m_{12}$\hspace{0.24cm}$m_{13}$\hspace{0.24cm}$m_{15}$\hspace{0.24cm}$m_{14}$} \put(07,06.2){10 \hspace{0.20cm} $m_8$ \hspace{0.12cm} $m_9$\hspace{0.29cm}$m_{11}$\hspace{0.24cm}$m_{10}$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{275pt} \textbf{Eigenschaften:} \begin{enumerate} \item Jedem Kästchen ist genau ein Minterm zugeordnet \item Die Minterme in den benachbarten Kästchen unterscheiden sich in der Negation genau einer Variablen, z.B. \begin{tabular}{cc} $m_0 = \overline{x_1} \, \overline{x_2} \, \overline{x_3} \, \overline{x_4}$ & $m_1 = \overline{x_1} \, \overline{x_2} \, \overline{x_3} \, x_4$ \\ $m_4 = \overline{x_1} \, x_2 \, \overline{x_3} \, \overline{x_4}$ & $\cdots$ \end{tabular} (benachbart sind auch die Randkästchen) \end{enumerate} \end{minipage} \begin{enumerate} \setcounter{enumi}{2} \item Um Schaltfunktionen anzugeben werden die betreffenden Minterme durch 1 markiert \item Vereinfachung der Schaltfunktionen geschieht durch Blockbildung benachbarter Minterme \end{enumerate} \end{description} \subsubsection*{Beispiele} \begin{enumerate} \item $f(x_1,x_2,x_3,x_4) = \overline{x_1}\,\overline{x_2}\,x_3\,x_4 \lor \overline{x_1}\,x_2\,x_3\,x_4 \lor x_1\,\overline{x_2}\,\overline{x_3}\,\overline{x_4} \lor x_1\,\overline{x_2}\,\overline{x_3}\,x_4 \lor x_1\, \overline{x_2}\, x_3\, \overline{x_4} \lor x_1 \, \overline{x_2} \, x_3 \, x_4$ \bigskip \begin{minipage}{140pt} \begin{picture}(140,100) \put(0,79){$x_{1,2}$} \put(7.5,93){$x_{3,4}$} \multiput(25,0)(25,0){5}{\line(0,1){100}} \put(0,100){\line(1,-1){25}} \multiput(0,0)(0,18.7){5}{\line(1,0){125}} \put(32,82){00 \hspace{0.24cm} 01 \hspace{0.24cm} 11 \hspace{0.24cm} 10} \put(07,62.3){00 \hspace{0.34cm} \phantom{1}\hspace{0.68cm}\phantom{1}\hspace{0.68cm}1\hspace{0.68cm}\phantom{1}}\\ \put(07,43.6){01 \hspace{0.34cm} \phantom{1}\hspace{0.68cm}\phantom{1}\hspace{0.68cm}1\hspace{0.68cm}\phantom{1}}\\ \put(07,24.9){11} \put(07,6.2){10 \hspace{0.34cm} $1$\hspace{0.68cm}$1$\hspace{0.68cm}$1$\hspace{0.68cm}$1$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{275pt} \begin{tabular}{p{3cm}p{5cm}} $= x_1 \, \overline{x_2}$ & unterer Viererblock \\ $\phantom{=} \lor \overline{x_1}\,x_3 \, x_4$ & Zweierblock \end{tabular} \bigskip Beim unteren Viererblock sind $x_3 \lor \overline{x_3}$ und $x_4 \lor \overline{x_4}$ immer wahr. Beim oberen Zweierblock ist $x_2 \lor \overline{x_2}$ immer wahr. Daher können diese Terme wegfallen. \smallskip $\Rightarrow \quad f(x_1,x_2,x_3,x_4) = x_1 \, \overline{x_2} \lor \overline{x_1}\,x_3 \, x_4$ \end{minipage} \bigskip \item $f(x_1,x_2,x_3,x_4) = \overline{x_1}\,\overline{x_2}\,x_3\,x_4 \lor \overline{x_1}\,x_2\,x_3\,x_4 \lor x_1\,\overline{x_2}\,x_3\,\overline{x_4} \lor x_1\,\overline{x_2}\,x_3\,x_4 \lor x_1\, x_2\, x_3\, \overline{x_4} \lor x_1 \, x_2 \, x_3 \, x_4$ \bigskip \begin{minipage}{140pt} \begin{picture}(140,100) \put(0,79){$x_{1,2}$} \put(7.5,93){$x_{3,4}$} \multiput(25,0)(25,0){5}{\line(0,1){100}} \put(0,100){\line(1,-1){25}} \multiput(0,0)(0,18.7){5}{\line(1,0){125}} \put(32,82){00 \hspace{0.24cm} 01 \hspace{0.24cm} 11 \hspace{0.24cm} 10} \put(07,62.3){00 \hspace{0.34cm} \phantom{1}\hspace{0.68cm}\phantom{1}\hspace{0.68cm}1\hspace{0.68cm}\phantom{1}}\\ \put(07,43.6){01 \hspace{0.34cm} \phantom{1}\hspace{0.68cm}\phantom{1}\hspace{0.68cm}1\hspace{0.68cm}\phantom{1}}\\ \put(07,24.9){11 \hspace{0.34cm} \phantom{$1$}\hspace{0.68cm}\phantom{$1$}\hspace{0.68cm}$1$\hspace{0.68cm}$1$} \put(07,6.2){10 \hspace{0.34cm} \phantom{$1$}\hspace{0.68cm}\phantom{$1$}\hspace{0.68cm}$1$\hspace{0.68cm}$1$} \put(87.5,37.4){\oval(17,70)} \put(100,18.7){\oval(42,35)} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{275pt} \begin{tabular}{p{3cm}p{5cm}} $= x_3\,x_4$ & Viererspalte \\ $\phantom{=} \lor x_1\,x_3$& Viererblock \end{tabular} \bigskip In diesem Falle ist es einfacher mit zwei Viererblöcken als mit einem Vierer-- und einem Zweierblock zu arbeiten. Vereinfacht ergibt sich für die Schaltfunktion: \smallskip $\Rightarrow \quad f(x_1,x_2,x_3,x_4) = x_3(x_4\lor x_1)$ \end{minipage} \bigskip \item $f(x_1,x_2,x_3,x_4) = x_1\,x_2\,x_3\,\overline{x_4} \lor \overline{x_1}\,\overline{x_2} \lor \overline{x_1}\,x_2\,x_3\,x_4 \lor x_1\,\overline{x_2} \lor x_1\, x_2\, x_3\,x_4$ \bigskip \begin{minipage}{140pt} \begin{picture}(140,100) \put(0,79){$x_{1,2}$} \put(7.5,93){$x_{3,4}$} \multiput(25,0)(25,0){5}{\line(0,1){100}} \put(0,100){\line(1,-1){25}} \multiput(0,0)(0,18.7){5}{\line(1,0){125}} \put(32,82){00 \hspace{0.24cm} 01 \hspace{0.24cm} 11 \hspace{0.24cm} 10} \put(07,62.3){10 \hspace{0.34cm} $1$\hspace{0.68cm}$1$\hspace{0.68cm}$1$\hspace{0.68cm}$1$} \put(07,43.6){01 \hspace{0.34cm} \phantom{1}\hspace{0.68cm}\phantom{1}\hspace{0.68cm}1\hspace{0.68cm}\phantom{1}}\\ \put(07,24.9){11 \hspace{0.34cm} \phantom{$1$}\hspace{0.68cm}\phantom{$1$}\hspace{0.68cm}$1$\hspace{0.68cm}$1$} \put(07,6.2){10 \hspace{0.34cm} $1$\hspace{0.68cm}$1$\hspace{0.68cm}$1$\hspace{0.68cm}$1$} \put(87.5,37.4){\oval(17,70)} \put(100,18.7){\oval(42,35)} \put(75,0){\oval(95,35)[t]} \put(75,75){\oval(95,35)[b]} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{275pt} \begin{tabular}{p{3cm}p{5cm}} $= \overline{x_2}$ & Achterblock \\ $\phantom{=} \lor x_3 \, x_4$& Viererspalte\\ $\phantom{=} \lor x_1 \, x_3$ & Viererblock \end{tabular} \bigskip $\Rightarrow \quad f(x_1,x_2,x_3,x_4) = \overline{x_2} \lor x_3(x_1 \lor x_4)$ \end{minipage} \end{enumerate} \newpage \section[Statische digitale Systeme (kombinatorische Automaten)]{Statische digitale Systeme (kombinatorische Automaten)} \subsection{Alphabetbildung} \subsubsection{Alphabete} \begin{center} \begin{picture}(210,90) \put(0,40){$x\left\{\begin{array}{c}x_1\\x_2\\\vdots\\x_l\end{array}\right.$} \put(170,40){$\left.\begin{array}{c}y_1\\y_2\\\vdots\\y_m\end{array}\right\} y$} \multiput(0,0)(130,0){2}{\put(40,19){\circle{2}} \multiput(40,52)(0,13){2}{\circle{2}}} \multiput(0,0)(109,0){2}{ \multiput(41,52)(0,13){2}{\line(1,0){19}} \put(41,19){\line(1,0){19}}} \multiput(60,10)(90,0){2}{\line(0,1){64}} \multiput(60,10)(0,64){2}{\line(1,0){90}} \multiput(45,30.3)(116,0){2}{$\vdots$} \put(97,35){\Huge$\Phi$} \end{picture} z.B. Gatterschaltung \end{center} \paragraph*{Definitionen:} \begin{enumerate} \item Die Menge $X = \{0,\,1\}^l = \mathbb B^l$ heißt \emph{Eingabealphabet} mit den Buchstaben \[x= (x_1,x_2,x_3, \ldots , x_l) \quad \text{ oder } \quad x = \left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\\vdots\\x_l\end{array}\right).\] \item Die Menge $Y = \{0,\,1\}^m = \mathbb B^m$ heißt \emph{Ausgabealphabet} mit den Buchstaben \[y= (y_1,y_2,y_3, \ldots , y_m) \quad \text{ oder } \quad y = \left(\begin{array}{c}y_1\\y_2\\\vdots\\y_m\end{array}\right).\] \item Jede Abbildung $\Phi : X \to Y$ \[\Phi (x_1,x_2,\ldots ,x_l) = (y_1,y_2, \ldots y_m)\] kurz $\Phi(x) = y$ heißt \emph{Alphabetabbildung}. \item Das Eingabealphabet $X = \mathbb B^l$ und das Ausgabalphabet $Y = \mathbb B^m$ zusammen mit der Alphabetabbildung $\Phi$ bildet ein (abstraktes) \emph{statisches digitales System} (oder einen \emph{kombinatorischen Automaten}), in Zeichen: $(X,Y,\Phi)$ \bigskip \textbf{Beachte:} $(X,Y,\Phi)$ stellt eine algebraische Struktur dar: \begin{center} \begin{picture}(160,50) \put(0,42){$X$} \put(150,42){$Y$} \multiput(30,20)(100,0){2}{\oval(60,40)} \put(35,22){\circle*{3}} \put(27,14){$x$} \put(135,15){\circle*{3}} \put(138,8){$y$} \qbezier(35,22)(85,40)(134,15) \put(134,15){\vector(2,-1){0}} \put(75,35){$\Phi$} \end{picture} \end{center} \end{enumerate} % langsam wirds echt schlimm mit dem Tippen! und noch ein Staropramen. Prosit! \newpage \subsubsection{Systeme mit einem Ausgang} \paragraph*{Sonderfall:} $m = 1$, $X = \mathbb B^l$, $Y = \mathbb B = \{0,\,1\}$ \begin{center} \begin{picture}(210,90) \put(15,40){$\left.\begin{array}{c}x_1\\x_2\\\vdots\\x_l\end{array}\right.$} \put(150,42){\line(1,0){19}} \put(170,42){\circle{2}} \put(174,39){$y$} \put(40,19){\circle{2}} \multiput(40,52)(0,13){2}{\circle{2}} \multiput(41,52)(0,13){2}{\line(1,0){19}} \put(41,19){\line(1,0){19}} \multiput(60,10)(90,0){2}{\line(0,1){64}} \multiput(60,10)(0,64){2}{\line(1,0){90}} \put(45,30.3){$\vdots$} \put(97,35){\Huge$\Phi$} \end{picture} \end{center} $y = \Phi (x_1,x_2, \ldots , x_l)$ \begin{description} \item[Ergebnis:] Die Alphabetabbildung stellt eine $l$--stellige Schaltfunktion dar. \end{description} \subsubsection{Systeme mit mehreren Ausgängen} \paragraph*{Beispiel:} $l = 3$, $m = 2$ \begin{center} \begin{picture}(150,95) \put(0,39.5){$x_3$} \put(0,54.5){$x_2$} \put(0,69.5){$x_1$} \multiput(14,42.5)(0,15){3}{\circle{2}} \put(15,42.5){\line(1,0){75}} \put(15,57.5){\line(1,0){25}} \put(15,72.5){\line(1,0){22}} \put(38.5,72.5){\circle{3}} \multiput(40,52.5)(25,0){2}{\line(0,1){25}} %% alles verwurschtelt. \multiput(40,52.5)(0,25){2}{\line(1,0){25}} \put(65,65){\line(1,0){12.5}} \put(77.5,57.75){\line(1,0){09.5}} \put(88.5,57.75){\circle{3}} \put(77.5,57.75){\circle*{2}} \put(77.5,65){\line(0,-1){39.75}} \multiput(0,0)(0,-32.5){2}{ \put(115,50){\line(1,0){24}} \put(140,50){\circle{2}} \multiput(90,37.5)(0,25){2}{\line(1,0){25}} \multiput(90,37.5)(25,0){2}{\line(0,1){25}}} \multiput(0,0)(105,0){2}{\multiput(25,0)(0,6){14}{\line(0,1){3}}} \multiput(0,0)(0,84){2}{\multiput(25,0)(6,0){18}{\line(1,0){3}}} \put(77.5,25.25){\line(1,0){12.5}} \put(67.5,10.25){\line(1,0){22.5}} \put(67.5,10.25){\line(0,1){32.5}} \put(67.5,42.5){\circle*{2}} \put(143,47){$y_1$} \put(143,14.5){$y_2$} \put(29,4){$\Phi$} \put(99,20){$\&$} \put(49,67.5){$\&$} \put(94,52.5){$\geq 1$} \end{picture} \end{center} $y_1 = \overline{\overline{x_1}\,x_2} \lor x_3 = f_1(x_1,x_2,x_3)$ $y_2 = \overline{x_1}\, x_2 \, x_3 = f(x_1,x_2,x_3)$ \begin{description} \item[Verallgemeinerung:] ($l$, $m$ beliebig) Die Alphabetabbildung $\Phi$ läßt sich durch $m$ $l$--stellige Schaltfunktionen $f_i : \mathbb B^l \to \mathbb B$ $(i = 1, \ldots , n)$ darstellen. \end{description} \begin{minipage}{9cm} \[\left.\begin{array}{c@{}c} f_1(x_1,x_2, \ldots , x_l) & = y_1 \\ f_2(x_1,x_2, \ldots , x_l) & = y_2 \\ \quad\vdots & \phantom{=}\vdots \\ f_m(x_1,x_2, \ldots , x_l) & = y_m\end{array}\right\} \Phi : \mathbb B^l \to \mathbb B^m \qquad \Leftrightarrow\] \end{minipage} \begin{minipage}{5.5cm} \begin{center} \begin{picture}(100,160) \put(0,10){ % bahpfui! \multiput(0,0)(0,-25){2}{ \put(14,130){\circle{2}} \put(15,130){\line(1,0){40}}} \put(0,127){$x_1$} \put(2.5,113){$\vdots$} \put(0,104){$x_l$} \multiput(0,0)(0,-45){2}{ \multiput(55,100)(0,35){2}{\line(1,0){25}} \multiput(55,100)(25,0){2}{\line(0,1){35}}} \put(63,115){$f_1$} \put(63,070){$f_2$} \put(61,010){$f_m$} \put(30,130){\line(0,-1){80}} \put(40,105){\line(0,-1){55}} \put(30,130){\circle*{2}} \put(40,105){\circle*{2}} \put(30,85){\line(1,0){25}} \put(30,85){\circle*{2}} \put(40,60){\line(1,0){15}} \put(40,60){\circle*{2}} \put(28.5,38){$\vdots \hspace{6.8pt} \vdots$} \put(30,35){\line(0,-1){10}} \put(30,25){\line(1,0){25}} \put(40,35){\line(0,-1){35}} \put(40,0){\line(1,0){15}} \multiput(55,-5)(0,35){2}{\line(1,0){25}} \multiput(55,-5)(25,0){2}{\line(0,1){35}} \put(80,12.5){\line(1,0){24}} \put(105,12.5){\circle{2}} \multiput(0,60)(0,45){2}{ \put(80,12.5){\line(1,0){24}} \put(105,12.5){\circle{2}}} } \put(109,19.5){$y_3$} \put(109,79.5){$y_2$} \put(109,124.5){$y_1$} \multiput(0,0)(75,0){2}{\multiput(20,0)(0,6){26}{\line(0,1){3}}} \multiput(0,0)(0,153){2}{\multiput(20,0)(6,0){13}{\line(1,0){3}}} \put(25,5){$\Phi$} \end{picture} \end{center} \end{minipage} \newpage \subsection{Wortabbildung} \subsubsection{Buchstaben und Wörter} \paragraph*{Definitionen:} \begin{enumerate} \item Zeitskala $T = \{0,\,1,\, \ldots ,\, k,\, \ldots ,\, N\}$, Taktzeitpunkte $k \in T$ (äquidistant). Die Zeit ist normiert (dimensionslos). \item Die Abbildung $x: T \to X$ heißt \emph{digitales Eingabesignal} oder \emph{Eingabewort} Schreibweise: $x = (x(0), x(1), x(2), \ldots , x(k) , \ldots , x(N))$ $x(k) \in X$ ist \emph{Eingabebuchstabe} im Taktzeitpunkt $k$ \smallskip $x = \left(\!\!\left(\!\!\begin{array}{c}x_1(0)\\x_2(0)\\\vdots \\ x_l(0)\end{array}\!\!\right)\!\! , \left(\!\!\begin{array}{c}x_1(1)\\x_2(1)\\\vdots \\ x_l(1)\end{array}\!\!\right)\!\!, \ldots , \left(\!\!\begin{array}{c}x_1(N)\\x_2(N)\\\vdots \\ x_l(N)\end{array}\!\!\right)\!\!\right)\! =\! \left(\!\!\begin{array}{c}(x_1(0), x_1(1), x_1(2), \ldots , x_1(N))\\ (x_2(0), x_2(1), x_2(2), \ldots , x_2(N)) \\ \vdots \\ (x_l(0), x_l(1), x_l(2), \ldots , x_l(N))\end{array}\!\!\right)\! =\! \left(\!\!\begin{array}{c}x_1\\x_2\\\vdots \\x_l\end{array}\!\!\right)$ \smallskip \item Die Abbildung $y:T\to Y$ heißt \emph{digitales Ausgabesignal} oder \emph{Ausgabwert}. Schreibweise: $y = (y(0), y(1), y(2), \ldots , y(N))$ \smallskip Mit $y(k) = \left(\!\!\begin{array}{l}y_1(k)\\y_2(k)\\\vdots\\y_m(k)\end{array}\!\!\right)$ analog zu 2. \smallskip \item Wortlänge $l(x) = |T| = N +1$ \item Eingabewortraum: $X^T = X^*$ \quad Menge aller Eingabewörter Ausgabewortraum: $Y^T = Y^*$ \quad Menge aller Ausgabewörter \item Die Abbildung $\Phi:X^* \to Y^*$, $\Phi(x) = y$ heißt \emph{Wortabbildung} \end{enumerate} \subsubsection{Eigenschaften der Wortabbildung} \paragraph*{Offensichtlich:} Abbildung erfolgt Buchstabe für Buchstabe. \bigskip \begin{tabular}{lcccccc} Eingabewort: & $x:$ & $x(0)$ & $x(1)$ & $x(2)$ & $\cdots$ & $x(N)$ \\ && $\Phi\Big\downarrow$ & $\Phi\Big\downarrow$ & $\Phi\Big\downarrow$ & $\cdots$ & $\Phi\Big\downarrow$ \\ Ausgabewort: & $y:$ & $y(0)$ & $y(1)$ & $y(2)$ & $\cdots$ & $y(N)$ \end{tabular} \bigskip Grundgleichung des kombinatorischen Automaten: \quad \boxed{\quad \vphantom{\Big|} y(k) = \Phi(x(k)) \quad} \paragraph*{Diskussion:} \begin{enumerate} \item $l(y) = l(y)$ \item Ausgabe $y(k)$ im Takt $k$ hängt \emph{nur} von Eingabe $x(k)$ im gleichen Takt $k$ ab, nicht aber von $x(k-1),\ x(k-2),\ \ldots$ \item gleiche Eingangsbuchstaben haben gleiche Ausgangsbuchstaben zur Folge \end{enumerate} \newpage \begin{description}\item[Gegenbeispiel:]\end{description} \begin{minipage}{8cm} \center \begin{picture}(100,30) \put(0,12){$x$} \multiput(10,15)(70,0){2}{\circle{2}} \multiput(11,15)(49,0){2}{\line(1,0){19}} \multiput(30,0)(30,0){2}{\line(0,1){30}} \multiput(30,0)(0,30){2}{\line(1,0){30}} \put(83,12){$y$} \put(42,12){\textbf{?}} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{7.5cm} \center $x = ( 1,1,0,1,0,0)$ $y = (0,1,0,0,0,1)$ \end{minipage} \bigskip Diese Wortabbildung ist durch einen kombinatorische Automaten nicht realisierbar. \section{Dynamische digitale Systeme (sequentieller Automat)} \subsection{Zustandsbeschreibung} \subsubsection{Speicher} Zusätzlich zu den betrachteten BE (Gatter) wird eingeführt: \hspace{0.7cm} \begin{minipage}{5.1cm} \center Speicher $S$ \end{minipage} \begin{minipage}{5.1cm} \center $x(k) = y(k+1)$ \end{minipage} \begin{minipage}{5.1cm} \center \begin{picture}(100,30) \put(0,12){$x$} \multiput(10,15)(65,0){2}{\circle{2}} \multiput(11,15)(44,0){2}{\line(1,0){19}} \multiput(30,2.5)(25,0){2}{\line(0,1){25}} \multiput(30,2.5)(0,25){2}{\line(1,0){25}} \put(78,12){$y$} \put(39,12){$S$} \end{picture} \end{minipage} \bigskip Durch Hinzunahme von Speichern zu einem kombinatorischen Automaten entsteht ein sequentieller Automat. \subsubsection*{Beispiel:} \begin{center} \begin{picture}(300,130) % wer hier durchblickt bekommt ein Bier! \multiput(0,0)(0,100){2}{ \multiput(125,0)(0,25){2}{\line(1,0){25}} \multiput(125,0)(25,0){2}{\line(0,1){25}}} \put(37.5,12,5){\line(1,0){87.5}} \put(37.5,12.5){\line(0,1){17.5}} \put(37.5,30){\line(1,0){12.5}} \multiput(0,0)(175,7.5){2}{ \multiput(50,25)(0,25){2}{\line(1,0){25}} \multiput(50,25)(25,0){2}{\line(0,1){25}}} \put(31,45){\line(1,0){19}} \put(75,37.5){\line(1,0){150}} \put(100,12.5){\circle*{2}} \put(100,12.5){\line(0,1){50}} \multiput(0,0)(87.5,37.5){2}{ \multiput(87.5,62.5)(0,25){2}{\line(1,0){25}} \multiput(87.5,62.5)(25,0){2}{\line(0,1){25}}} \put(100,87.5){\line(0,1){17.5}} \put(100,105){\line(1,0){25}} \put(150,112.5){\line(1,0){25}} \put(75,120){\line(1,0){50}} \multiput(50,107.5)(0,25){2}{\line(1,0){25}} \multiput(50,107.5)(25,0){2}{\line(0,1){25}} \put(31,112.5){\line(1,0){19}} \put(31,127.5){\line(1,0){16}} \put(48.5,127.5){\circle{3}} \put(200,112.5){\line(1,0){74}} \put(212.5,112.5){\circle*{2}} \put(212.5,112.5){\vector(1,0){10}} \put(212,118){$\scriptstyle z_1(k)$} \put(212.5,112.5){\line(0,-1){60}} \put(212.5,52.5){\line(1,0){12.5}} \put(250,45){\line(1,0){24}} \put(262.5,45){\line(0,-1){32.5}} \put(262.5,45){\circle*{2}} \put(150,12.5){\line(1,0){112.5}} \put(30,45){\circle{2}} \multiput(30,112.5)(0,15){2}{\circle{2}} \multiput(275,45)(0,67.5){2}{\circle{2}} \put(0,42){$x_3(k)$} \put(0,124.5){$x_1(k)$} \put(0,109.5){$x_2(k)$} \put(280,42){$y_2(k)$} \put(280,109.5){$y_1(k)$} \put(54,120.5){$\geq 1$} \put(59,38){$\&$} \put(94.5,72){$S_2$} \put(134,113){$\&$} \put(182.5,109.5){$S_1$} \put(132.5,9.5){$S_3$} \put(228.5,45.5){$\geq 1$} \put(100,12.5){\vector(0,1){40}} \put(104,47.5){$\scriptstyle z_2(k+1)$} \put(100,87.5){\vector(0,1){11}} \put(104,94){$\scriptstyle z_2(k)$} \put(125,12.5){\vector(-1,0){15}} \put(175,12.5){\vector(-1,0){15}} \put(104,3){$\scriptstyle z_3(k)$} \put(154,3){$\scriptstyle z_3(k+1)$} \end{picture} \end{center} \begin{description} \item[Regel:] An den Ausgängen der Speicher werden "`Hilfswörter"' $z_i$ erzeugt, da ein direkter Zusammenhang zwischen $y(k)$ und $x(k)$ nicht dargestellt werden kann. \end{description} Aus Schaltung ablesbar: \begin{align*} z_1(k+1) &= z_2(k) (\overline{x_1(k)} \lor x_2(k))\\ z_2(k+1) &= z_3(k)\\ z_3(k+1) &= z_1(k) \lor x_3(k) z_3(k)\\ y_1(k) &= z_1(k) \\ y_2(k) &= z_1(k) \lor x_3(k) z_3(k) \end{align*} Eingangswert $x = \left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} (1,0,0)\\(1,0,1)\\(0,1,1)\end{array}\right)$, \quad Anfangszustand $z(0) = \left(\begin{array}{c}z_1(0)\\z_2(0)\\z_3(0)\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}\right)$ \bigskip Gesucht: Ausgangswert $y = \left(\begin{array}{c}y_1\\y_2\end{array}\right) =\ ?$ \subsubsection*{Lösung} \begin{tabular}{c|cccc} $k$ & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline \hline $x_1(k)$ & 1 & 0 & 0 \\ $x_2(k)$ & 1 & 0 & 1 \\ $x_3(k)$ & 0 & 1 & 1 \\ \hline $z_1(k)$ & 0 & 1 & 0 & 0 \\ $z_2(k)$ & 1 & 0 & 0 & 1\\ $z_3(k)$ & 0 & 0 & 1 & 1\\ \hline $y_1(k)$ & 0 & 1 & 1 \\ $y_2(k)$ & 0 & 0 & 1 \end{tabular} \paragraph*{Ergebnis:} $y = \left(\begin{array}{c}y_1\\y_2\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}(0,1,0)\\(0,1,1)\end{array}\right)$ \subsubsection{Zustandsgleichungen} Verallgemeinerung: \begin{center} \begin{picture}(210,70) \put(18,40){$\left.\begin{array}{c}x_1\\x_2\\\vdots\\x_l\end{array}\right.$} \put(168,40){$\left.\begin{array}{c}y_1\\y_2\\\vdots\\y_m\end{array}\right.$} \multiput(0,0)(130,0){2}{\put(40,19){\circle{2}} \multiput(40,52)(0,13){2}{\circle{2}}} \multiput(0,0)(109,0){2}{ \multiput(41,52)(0,13){2}{\line(1,0){19}} \put(41,19){\line(1,0){19}}} \multiput(60,10)(90,0){2}{\line(0,1){64}} \multiput(60,10)(0,64){2}{\line(1,0){90}} \multiput(45,30.3)(116,0){2}{$\vdots$} \put(88,55){Gatter} \put(101,40){+} \put(80,25){$n$ Speicher} \end{picture} \end{center} \[z(k+1) \left\{\vphantom{\begin{array}{c}()\\()\\()\end{array}}\right.\!\!\!\begin{array}{ccc} z_1(k+1) & = & f_1[\overbrace{z_1(k) , \ldots , z_m(k)}^{z(k)},\overbrace{x_1(k),\ldots,x_l(k)}^{x(k)}]\\ \vdots & \vdots & \vdots \\ z_n(k+1) & = & f_n[z_1(k) , \ldots , z_m(k),x_1(k),\ldots,x_l(k)\vphantom{\underbrace{a}_{|}}]\end{array} \] \[\phantom{+1} y(k) \left\{\begin{array}{ccc} y_1(k) & = & g_1[z_1(k) , \ldots , z_m(k),x_1(k),\ldots,x_l(k)]\\ \vdots & \vdots & \vdots \\ z_n(k+1) & = & f_n[z_1(k) , \ldots , z_m(k),x_1(k),\ldots,x_l(k)]\end{array}\right. \] \subsubsection*{Zusammenfassung des sequentiellen Automaten:} \smallskip \begin{center} \boxed{\quad \begin{array}{ccc}\vphantom{\Big|} z(k+1) &=& f[z(k),\,x(k)]\\\vphantom{\Big|} y(k) &=& g[z(k),\,x(k)]\end{array} \quad } \end{center} \paragraph*{Definitionen:} \begin{enumerate} \item Die Menge $Z = \mathbb B^n = \{0,\,1\}^n$ heißt \emph{Zustandsalphabet} (\emph{Zustandsraum}). \item Die Abbildung $z_ T \to Z$ heißt \emph{Zustandswort} (\emph{Zustandstrajektorie}). \[z = (z(0), z(1), \ldots , z(N)) \quad \text{mit} \quad z(k) = \left(\begin{array}{c}z_1(k)\\\vdots\\z_n(k)\end{array}\right)\] $z(k)$ heißt Zustand des Automaten im Takt $k$. \item $z(0) = \left(\begin{array}{c}z_1(0)\\\vdots\\z_n(0)\end{array}\right)$ heißt \emph{Anfangszustand} des Automaten. \end{enumerate} \subsubsection*{Diskussion der Zustandsgleichungen} \begin{description} \item[$f$:] Überführungsfunktion \item[$g$:] Ergebnisfunktion \end{description} \paragraph*{Definition:} Die Mengen $X = \mathbb B^l$ (Eingabealphabet), $Y = \mathbb B^m$ (Ausgabealphabet) und $Z = \mathbb B^n$ (Zustandsalphabet) zusammen mit den Abbildungen \begin{align*} f: &\ Z \times X \to Z &f[z(k),x(k)] &= z(k+1)\\ g: &\ Z \times X \to Y &g[z(k),x(k)] &= y(k) \end{align*} bilden ein (abstraktes) dynamisches digitales System (oder einen abstrakten sequentiellen Automaten oder \textsc{Mealy}--Automaten), in Zeichen $(X,Y,Z,f,h)$. \begin{center} \begin{picture}(300,150) \put(0,97){$x(k)$} \put(0,117){$z(k)$} \multiput(25,100)(0,20){2}{\circle{2}} \multiput(26,100)(0,20){2}{\line(1,0){199}} \put(32,103){\small $l\,$ Leitungen} \put(30,123){\small $n$ Leitungen} \multiput(0,0)(80,0){2}{ \put(110,100){\circle*{2}} \put(110,100){\vector(0,-1){20}} \put(130,120){\circle*{2}} \put(130,120){\vector(0,-1){40}} } \multiput(0,0)(40,0){3}{ \multiput(105,80)(0,-40){2}{\line(1,0){30}} \multiput(105,80)(30,0){2}{\line(0,-1){40}} } \put(160,80){\vector(0,1){40}} \put(120,40){\line(0,-1){15}} \put(120,25){\line(1,0){40}} \put(160,25){\vector(0,1){15}} \put(122,12){$z(k+1)$} \put(117,57){$f$} \put(157,57){$S$} \put(197,57){$g$} \put(200,40){\line(0,-1){15}} \put(200,25){\line(1,0){70}} \put(271,25){\circle{2}} \put(276,22){$y(k)$} \put(205,15){\small $m$ Leitungen} \end{picture} \end{center} Der sequentielle Automat ist durch zwei herkömmliche Automaten ($f$ und $g$) und $n$ Speicher darstellbar. % und auf ein neues. heute nur mit kakao. man muss ja nicht immer bier trinken. \paragraph{Beispiel:} (aus 3.1.1) \begin{align*} z_1(k+1) &= z_2(k) (\overline{x_1(k)} \lor x_2(k)) & y_1(k) &= z_1(k) \\ z_2(k+1) &= z_3(k) & y_2(k) &= z_1(k) \lor x_3(k) z_3(k) \\ z_3(k+1) &= z_1(k) \lor x_3(k) z_3(k) \end{align*} % ich habe schon wieder alle meine kulis verbummelt! so ein scheiss. % so, jetzt wirds aber breit.. \begin{picture}(455,160) \multiput(29,75)(0,15){6}{\circle{2}} \multiput(30,75)(0,15){6}{\line(1,0){400}} \put(0,72){$x_3(k)$} \put(0,87){$x_2(k)$} \put(0,103){$x_1(k)$} \put(0,118){$z_3(k)$} \put(0,132){$z_2(k)$} \put(0,147){$z_1(k)$} \multiput(35,90)(5,15){2}{\circle*{2}} \put(35,90){\line(0,-1){50}} \put(40,105){\line(0,-1){55}} \put(35,40){\line(1,0){15}} \put(40,50){\line(1,0){7}} \put(48.5,50){\circle{3}} \multiput(0,0)(30,5){2}{ \multiput(50,35)(20,0){2}{\line(0,1){20}} \multiput(50,35)(0,20){2}{\line(1,0){20}}} \put(70,45){\line(1,0){10}} \put(75,135){\circle*{2}} \put(75,135){\line(0,-1){80}} \put(75,55){\line(1,0){5}} \put(100,50){\line(1,0){10}} \multiput(110,40)(20,0){2}{\line(0,1){20}} \multiput(110,40)(0,20){2}{\line(1,0){20}} \put(130,50){\line(1,0){10}} \put(140,50){\line(0,1){100}} \put(140,150){\circle*{2}} \put(90,30){$\scriptstyle z_1(k+1)$} \put(52,45){$\geq 1$} \put(86,50){$\&$} \put(116,47){$S$} \multiput(160,120)(40,15){2}{\circle*{2}} \put(160,120){\line(0,-1){75}} \put(200,135){\line(0,-1){90}} \multiput(160,45)(30,0){2}{\line(1,0){10}} \multiput(170,35)(0,20){2}{\line(1,0){20}} \multiput(170,35)(20,0){2}{\line(0,1){20}} \put(176,42){$S$} \put(138,35){$\scriptstyle z_2(k+1)$} \put(193,35){$\scriptstyle z_2(k)$} \multiput(0,0)(140,0){2}{ \put(236,45){$\&$} \put(262,50){$\geq 1$} \multiput(220,75)(5,45){2}{\circle*{2}} \put(220,75){\line(0,-1){35}} \put(225,120){\line(0,-1){70}} \put(220,40){\line(1,0){10}} \put(225,50){\line(1,0){5}} \multiput(0,0)(30,5){2}{ \multiput(230,35)(0,20){2}{\line(1,0){20}} \multiput(230,35)(20,0){2}{\line(0,1){20}}} \multiput(250,45)(30,5){2}{\line(1,0){10}} \put(255,55){\line(0,1){95}} \put(255,150){\circle*{2}} \put(255,55){\line(1,0){5}}} \multiput(255,150)(65,-30){2}{\circle*{2}} \multiput(290,40)(0,20){2}{\line(1,0){20}} \multiput(290,40)(20,0){2}{\line(0,1){20}} \put(310,50){\line(1,0){10}} \put(320,50){\line(0,1){70}} \put(296,47){$S$} \put(272,30){$\scriptstyle z_3(k+1)$} \put(340,150){\circle*{2}} \put(340,150){\line(0,-1){135}} \put(340,15){\line(1,0){90}} \multiput(431,15)(0,35){2}{\circle{2}} \put(434,12){$y_2(k)$} \put(434,47){$y_1(k)$} % JA, es ist 3 pt zu breit \end{picture} % NEIN, ich habe keine lust es zu ändern \subsubsection{Automatendarstellung} \begin{minipage}{10cm} \begin{picture}(260,110) \put(0,70){$x(k)\left\{\!\!\begin{array}{c}x_1(k)\\x_2(k)\\\vdots\\x_l(k)\end{array}\right.$} \put(198,70){$\left.\begin{array}{c}y_1(k)\\y_2(k)\\\vdots\\y_m(k)\end{array}\!\!\right\} y(k)$} \put(26,30){ \multiput(0,0)(130,0){2}{\put(40,19){\circle{2}} \multiput(40,52)(0,13){2}{\circle{2}}} \multiput(0,0)(109,0){2}{ \multiput(41,52)(0,13){2}{\line(1,0){19}} \put(41,19){\line(1,0){19}}} \multiput(60,10)(90,0){2}{\line(0,1){64}} \multiput(60,10)(0,64){2}{\line(1,0){90}} \multiput(45,30.3)(116,0){2}{$\vdots$} \put(88,55){Gatter} \put(101,40){+} \put(80,25){$n$ Speicher}} \put(75,25){$\underbrace{(z_1(k),z_2(k),\ldots,z_3(k))}_{\displaystyle z(k)}$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{5cm} \boxed{\displaystyle \begin{array}{ll}z(k+1) &= f[z(k),x(k)] \\ y(k) &= f[z(k),x(k)]\end{array} } \vphantom{$\displaystyle\dfrac \int \int$} % wer weiß warum so und nicht \end{minipage} % ordentlich: bitte melden. ich weiß es selbst nicht. \bigskip Der sequentielle Automat läßt sich wie folgt darstellen: \begin{enumerate} \item Automatentabelle: \smallskip \begin{minipage}{5.5cm} % baaaeeh. fieses gefrickel aber auch \center \small \hspace{1.5cm} Zustandsalphabet \end{minipage} \hspace{1.5cm} \begin{minipage}{5.5cm} \center \small \hspace{1.5cm} Zustandsalphabet \end{minipage} \begin{minipage}{0.5cm} \rotatebox{90}{\small Eingabealphabet\qquad } \end{minipage} \begin{minipage}{5cm} \begin{tabular}{c|ccc} $f$ & $\cdots$ & $z(k)$ & $\cdots$\\ \hline $\vdots$ & & $\vdots$ & \\ $\vdots$ & & $\vdots$ & \\ $x(k)$ & $\cdots$ & $z(k+1)$ & $\cdots$ \\ $\vdots$ & & $\vdots$ & \\ $\vdots$ & & $\vdots$ & \\ \end{tabular} \end{minipage} \hspace{1.5cm} \begin{minipage}{0.5cm} \rotatebox{90}{\small Eingabealphabet\qquad } \end{minipage} \begin{minipage}{5cm} \begin{tabular}{c|ccc} $g$ & $\cdots$ & $z(k)$ & $\cdots$\\ \hline $\vdots$ & & $\vdots$ & \\ $\vdots$ & & $\vdots$ & \\ $x(k)$ & $\cdots$ & $z(k+1)$ & $\cdots$ \\ $\vdots$ & & $\vdots$ & \\ $\vdots$ & & $\vdots$ & \\ \end{tabular} \end{minipage} \bigskip \begin{minipage}{5.5cm} \center \hspace{1cm} \emph{Überführungstabelle} \end{minipage} \hspace{1.5cm} \begin{minipage}{5.5cm} \center \hspace{1cm} \emph{Ergebnistabelle} \end{minipage} \item Automatengraph \smallskip \begin{tabular}{l|c|l} Bezeichnung & Symbol & Bedeutung \\ \hline Knoten & \textcircled{\ } & Zustand \\ Zweige (Kanten) & $\longrightarrow$ & Zustandsübergänge \end{tabular} \bigskip Zustandsgleichungen dargestellt durch: \begin{center} % hmpf, xypic-doku mal genauer lesen.. woher kommt der abstand? $\entrymodifiers={+++[o][F-]} \SelectTips{cm}{} \xymatrix @=60pt { \scriptstyle \phantom{+}z(k)\phantom{+} \ar[r]^{x(k)|y(k)} & \scriptstyle z(k+1)}$ \end{center} \end{enumerate} \subsubsection*{Beispiel 1:} $X = \{0,1\},\ Y = \{0,1\},\ Z = \{\underbrace{(0,0)}_{0}, \underbrace{(0,1)}_{1}, \underbrace{(1,0)}_{2}, \underbrace{(1,1)}_{3}\}$ \bigskip \begin{minipage}{11.5cm} Automatentabelle (gegeben): \end{minipage} \begin{minipage}{4cm} Automatengraph: \end{minipage} \begin{minipage}{11.5cm} \qquad\begin{tabular}{c@{}c@{\hspace{1cm}}c@{}c} % dafür sollte ich gekreuzigt werden! & \hspace{0.55cm} $\overbrace{\hspace{2cm}}^{\displaystyle Z}$ && \hspace{0.55cm} $\overbrace{\hspace{2cm}}^{\displaystyle Z}$\\ \raisebox{-6.5pt}{$X \left\{\vphantom{\Big|}\right.$}& \begin{tabular}{c|cccc} $f$ & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline 0 & 2 & 3 & 1 & 3\\ 1 & 1 & 0 & 2 & 0 \end{tabular} & \raisebox{-6.5pt}{$X \left\{\vphantom{\Big|}\right.$}& \begin{tabular}{c|cccc} $g$ & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{tabular} \end{tabular} \end{minipage} \begin{minipage}{4cm} \bigskip \entrymodifiers={++[o][F-]} \SelectTips{cm}{} \xymatrix { *++[o][]{} & \ar@/_1pc/[dl]_{1|0} 1\ar[dd]^{\raisebox{-55pt}{$\scriptstyle 0|0$}} \\ 0 \ar[ur]_{1|0} \ar[rr]^{\hspace{30pt}0|0} &*++[o][]{} & 2 \ar[ul]_{0|0} \ar@(r,u)[]_{1|1}\\ *++[o][]{} & \ar[ul]^{1|1}3 \ar@(r,d)[]^{0|0} } \end{minipage} Es sei $x = (1,0,1,0,0)$ und $z(0) = 1$. Ablesen: $y = (0,0,1,0,0)$ und $z(5) = 3$. \subsubsection*{Beispiel 2:} \begin{description} \item[gegeben:] Automatengraph \item[gesucht:] Automatentabelle, Zustandsgleichungen, Schaltung \end{description} \begin{minipage}{6cm} \entrymodifiers={++[o][F-]} \SelectTips{cm}{} \xymatrix { *++[o][]{} & 0 \ar@(l,u)[]^{0|1} \ar[dr]^{1|3}\\ 1\ar@(l,d)_{0|1} \ar[ur]^{1|2} &*++[o][]{} & 3\ar@(r,d)[]^{0|3}\ar[dl]^{1|0} \\ *++[o][]{} & 2\ar@(l,d)_{0|1} \ar@(d,r)_{1|1} } \end{minipage} \begin{minipage}{10.8cm} Automatentabelle: \bigskip \qquad\begin{tabular}{c@{}c@{\hspace{0.8cm}}c@{}c} & \hspace{0.55cm} $\overbrace{\hspace{2cm}}^{\displaystyle Z}$ && \hspace{0.55cm} $\overbrace{\hspace{2cm}}^{\displaystyle Z}$\\ \raisebox{-6.5pt}{$X \left\{\vphantom{\Big|}\right.$}& \begin{tabular}{c|cccc} $f$ & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 2 & 3\\ 1 & 3 & 0 & 2 & 2 \end{tabular} & \raisebox{-6.5pt}{$X \left\{\vphantom{\Big|}\right.$}& \begin{tabular}{c|cccc} $g$ & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline 0 & 1 & 1 & 1 & 3\\ 1 & 3 & 2 & 1 & 0 \end{tabular} \end{tabular} \end{minipage} \bigskip \begin{minipage}{5.5cm} Wertetabelle \bigskip \begin{tabular}{c@{\hspace{5pt}}c@{\hspace{5pt}}|c@{\hspace{5pt}}c@{\hspace{5pt}}} $z(k)$ & $x(k)$ & $z(k+1)$ & $y(k)$ \\ \hline 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & 3 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 2 \\ 2 & 0 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 2 & 1 \\ 3 & 0 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 2 & 0 \end{tabular} \end{minipage} \begin{minipage}{9.8cm} Dekodierte Wertetabelle \bigskip \begin{tabular}{c@{\hspace{5pt}}c@{\hspace{5pt}}c@{\hspace{5pt}}|c@{\hspace{5pt}}c@{\hspace{5pt}}c@{\hspace{5pt}}c} $z_1(k)$ & $z_2(k)$ & $x(k)$ & $z_1(k+1)$ & $z_2(k+1)$ & $y_1(k)$ & $y_2(k)$\\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \end{tabular} \end{minipage} \bigskip Zustandsgleichungen (aus \textsc{Karnaugh}-Diagramm): \[\begin{array}{lll} f_1: &z_1(k+1) &= z_1(k) \lor \overline{z_2(k)}\,x(k)\\ f_2: &z_2(k+1) &= z_2(k)\,\overline{x(k)} \lor \overline{z_1(k)}\,\overline{z_2(k)}\,x(k)\\ g_1: &y_1(k) &= \overline{z_1(k)}\,x(k) \lor z_1(k)\,z_2(k)\,\overline{x(k)}\\ g_2: &y_2(k) &= \overline{z_2(k)} \lor \overline{x(k)} \end{array} \] \bigskip Schaltung: \begin{center} \begin{picture}(370,115) \multiput(30,75)(0,15){3}{\circle{2}} \multiput(31,75)(0,15){3}{\line(1,0){305}} \put(0,72){$x(k)$} \put(0,87){$z_2(k)$} \put(0,102){$z_1(k)$} \multiput(5,0)(100,0){2}{ \multiput(40,105)(10,-15){3}{\circle*{2}} \put(40,105){\line(0,-1){55}} \put(50,90){\line(0,-1){40}} \put(60,75){\line(0,-1){25}} \multiput(35,20)(0,30){2}{\line(1,0){30}} \multiput(35,20)(30,0){2}{\line(0,1){30}} \put(50,10){\line(0,1){10}} \put(50,10){\line(1,0){30}} \multiput(80,00)(20,0){2}{\line(0,1){20}} \multiput(80,00)(0,20){2}{\line(1,0){20}} \put(100,10){\line(1,0){10}} } \put(53,1){$\scriptstyle z_1(k+1)$} \put(153,1){$\scriptstyle z_2(k+1)$} \put(108,1){$\scriptstyle z_1(k)$} \put(208,1){$\scriptstyle z_2(k)$} \put(115,10){\line(0,1){95}} \put(115,105){\circle*{2}} \put(215,10){\line(0,1){80}} \put(215,90){\circle*{2}} \multiput(205,0)(60,0){2}{ \multiput(40,105)(10,-15){3}{\circle*{2}} \put(40,105){\line(0,-1){55}} \put(50,90){\line(0,-1){40}} \put(60,75){\line(0,-1){25}} \multiput(35,20)(0,30){2}{\line(1,0){30}} \multiput(35,20)(30,0){2}{\line(0,1){30}} \put(50,10){\line(0,1){10}} } \put(255,-5){\line(0,1){20}} \put(255,-5){\line(1,0){80}} \put(315,10){\line(1,0){20}} \multiput(336,-5)(0,15){2}{\circle{2}} \put(339,-8){$y_1(k)$} \put(339,7){$y_2(k)$} \put(50,33){$f_1$} \put(91,6){$S$} \put(150,33){$f_2$} \put(191,6){$S$} \put(251,33){$g_1$} \put(311,33){$g_2$} \end{picture} \end{center} \subsubsection{Spezielle Automaten} \paragraph*{Allgemeiner Fall:} \textsc{Mealy}-Automat \begin{minipage}{7.5cm} \begin{picture}(175,60) \put(8,17){$x(k)$} \put(30,20){\vector(1,0){20}} \multiput(0,0)(55,0){2}{ \multiput(50,15)(0,25){2}{\line(1,0){25}} \multiput(50,15)(25,0){2}{\line(0,1){25}}} \multiput(75,27.5)(55,0){2}{\vector(1,0){30}} \put(77,17){$\scriptstyle z(k+1)$} \put(137,17){$\scriptstyle z(k)$} \multiput(160,7.5)(0,25){2}{\line(1,0){25}} \multiput(160,7.5)(25,0){2}{\line(0,1){25}} \put(145,27.5){\circle*{2}} \put(145,27.5){\line(0,1){20}} \put(145,47.5){\line(-1,0){105}} \put(40,47.5){\line(0,-1){12.5}} \put(40,35){\vector(1,0){10}} \put(40,20){\circle*{2}} \put(40,20){\line(0,-1){7.5}} \put(40,12.5){\vector(1,0){120}} \put(185,20){\vector(1,0){20}} \put(208,17){$y(k)$} \put(58,24.5){$f$} \put(113,24.5){$S$} \put(170,17.5){$g$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{7.5cm} \[\begin{array}{lll}z(k+1)&=&f[z(k),x(k)]\\y(k)&=&g[z(k),x(k)]\end{array}\] \end{minipage} \paragraph*{Sonderfälle:} \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})} \item \textsc{Moore}-Automat \begin{minipage}{7.5cm} \begin{picture}(175,60) \put(8,17){$x(k)$} \put(30,20){\vector(1,0){20}} \multiput(0,0)(55,0){2}{ \multiput(50,15)(0,25){2}{\line(1,0){25}} \multiput(50,15)(25,0){2}{\line(0,1){25}}} \multiput(75,27.5)(55,0){2}{\vector(1,0){30}} \put(77,17){$\scriptstyle z(k+1)$} \put(137,17){$\scriptstyle z(k)$} \multiput(160,15)(0,25){2}{\line(1,0){25}} \multiput(160,15)(25,0){2}{\line(0,1){25}} \put(145,27.5){\circle*{2}} \put(145,27.5){\line(0,1){20}} \put(145,47.5){\line(-1,0){105}} \put(40,47.5){\line(0,-1){12.5}} \put(40,35){\vector(1,0){10}} \put(185,27.5){\vector(1,0){20}} \put(208,24.5){$y(k)$} \put(58,24.5){$f$} \put(113,24.5){$S$} \put(170,24.5){$g$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{7.4cm} \[\begin{array}{lll}z(k+1)&=&f[z(k),x(k)]\\y(k)&=&g[z(k)]\end{array}\] \end{minipage} \item \textsc{Medwedjew}-Automat \begin{minipage}{7.5cm} \begin{picture}(175,60) \put(8,17){$x(k)$} \put(30,20){\vector(1,0){20}} \multiput(0,0)(55,0){2}{ \multiput(50,15)(0,25){2}{\line(1,0){25}} \multiput(50,15)(25,0){2}{\line(0,1){25}}} \multiput(75,27.5)(55,0){2}{\vector(1,0){30}} \put(77,17){$\scriptstyle z(k+1)$} \put(137,17){$\scriptstyle z(k)$} \put(145,27.5){\circle*{2}} \put(145,27.5){\line(0,1){20}} \put(145,47.5){\line(-1,0){105}} \put(40,47.5){\line(0,-1){12.5}} \put(40,35){\vector(1,0){10}} \put(163,24.5){$y(k)$} \put(58,24.5){$f$} \put(113,24.5){$S$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{7.4cm} \[\begin{array}{lll}z(k+1)&=&f[z(k),x(k)]\\y(k)&=&z(k)\end{array}\] \end{minipage} \item Autonomer Automat (Generator) \begin{minipage}{7.5cm} \begin{picture}(175,60) \multiput(0,0)(55,0){2}{ \multiput(50,15)(0,25){2}{\line(1,0){25}} \multiput(50,15)(25,0){2}{\line(0,1){25}}} \multiput(75,27.5)(55,0){2}{\vector(1,0){30}} \put(77,17){$\scriptstyle z(k+1)$} \put(137,17){$\scriptstyle z(k)$} \multiput(160,15)(0,25){2}{\line(1,0){25}} \multiput(160,15)(25,0){2}{\line(0,1){25}} \put(145,27.5){\circle*{2}} \put(145,27.5){\line(0,1){20}} \put(145,47.5){\line(-1,0){105}} \put(40,47.5){\line(0,-1){20}} \put(40,27.5){\vector(1,0){10}} \put(185,27.5){\vector(1,0){20}} \put(208,24.5){$y(k)$} \put(58,24.5){$f$} \put(113,24.5){$S$} \put(170,24.5){$g$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{7.4cm} \[\begin{array}{lll}z(k+1)&=&f[z(k)]\\y(k)&=&g[z(k)]\end{array}\] \end{minipage} \end{enumerate} \textbf{NB:} Bei allen Automaten muß der Zustand $z(0)$ bekannt sein. \subsection{Wortabbildungen} \subsubsection{Abbildungsfamilie} Zustandsgleichungen $\to$ Schema der Wortabbildung: \begin{center} \begin{tabular}{c} $\overbrace{\hspace{10cm}}^{\displaystyle \text{Eingabewort }x}$ \hspace{0.7cm} \\ \SelectTips{cm}{} $\xymatrix{ & x(0) \ar[d]& & x(1) \ar[d]&&& x(N)\ar[d]\\ z(0) \ar[r] & f,g\ar[d] \ar[r] & z(1) \ar[r] & f,g \ar[d]\ar[r] & z(2) \ar[r]^{\hspace{-5pt}\displaystyle\cdots} & z(N) \ar[r] & f,g \ar[d]\ar[r] & z(N+1)\\ & y(0) & & y(1) &&& y(N) }$\\ \raisebox{6pt}{$\underbrace{\hspace{10cm}}_{\displaystyle \text{Ausgabewort }y}$ \hspace{0.7cm} } \end{tabular} \end{center} \paragraph{Diskussion:} \begin{enumerate} \item Eingabewort und Ausgabewort haben die gleiche Länge, $L(x) = L(y)$ \item Der Ausgabebuchstabe $y(k)$ hängt von $x(k), x(k-1),\ldots , x(0)$ ab, nicht aber von $x(k+1),$ $x(k+2), \ldots$ (Kausalität). \item Das Ausgabewort $y$ hängt vom Anfangszustand $z(0)$ ab. \end{enumerate} \paragraph{Definitionen:} \begin{enumerate} \item Die Abbildung \[\Phi_{z_0} : X^* \to Y^*, \qquad \Phi_{z_0}(x) = y\] heißt vom Anfangszustand $z_0 = z(0) \in Z$ erzeugte \emph{Wortabbildung}. \item Jedem \textsc{Mealy}-Automaten ist eine \emph{Abbildungsfamilie} \[\underline{\Phi} = \{\Phi_{z_0} | z_0 \in Z\}\] zugeordnet. \end{enumerate} \subsubsection{Eigenschaften der Wortabbildung} \paragraph{Definition:} Sind $x' = (x'(0),\,x'(1),\, \ldots , x'(r))$ und $x'' = (x''(0),\,x''(1),\, \ldots \, , x''(s))$ zwei Wörter aus $X^*$, so heißt das Wort\[x' \circ x'' = (x'(0),\,x'(1),\, \ldots \, , x'(r),\,x''(0),\,x''(1),\, \ldots \, , x''(s)) \in X^*\] \emph{Verkettungsprodukt} (\emph{Konkatenationsprodukt}) von $x'$ und $x''$. \begin{description} \item[Beachte:] Eine Wortabbildung $\Phi_{z_0} : X^* \to Y^*$ ist durch einen \textsc{Mealy}-Automaten realisierbar, falls gilt: \begin{enumerate} \item $L(x) = L(y)$ \item $\Phi_{z_0}(x' \circ x'') = \underbrace{\Phi_{z_0}(x')}_{y'} \circ \underbrace{\Phi_{{z_0}'}(x'')}_{y''}$ \quad (${z_0}'$ : Zustand nach Eingabe von $x'$) \end{enumerate} \end{description} \subsubsection{Autonomer Automat} Wir betrachten \textsc{Mealy}-Automaten mit konstanter Eingabe. \paragraph{Beispiel:} Es sei $z(0) = 0$ \bigskip \begin{minipage}{8cm} \entrymodifiers={++[o][F-]} \SelectTips{cm}{} \xymatrix { *++[o][]{} & 1 \ar[dd]_{\raisebox{-1.3cm}{$\scriptstyle 0|0$}}\ar@(l,u)[]^{1|1}\\ 0 \ar[rr]^{\hspace{1cm}0|0} \ar[ur]^{1|0} &*++[o][]{} & 2\ar@(r,d)[]^{1|0}\ar[ul]_{0|0} \\ *++[o][]{} & 3 \ar[ur]_{0|1} \ar[ul]^{1|0} } \end{minipage} \begin{minipage}{10.8cm} \begin{description} \item[Fall I:] $x = (0,\,0,\,0,\,0,\, \ldots)$ $z = (0,\, 2,\, 1,\, 3,\, 2,\, 1,\, 3,\, 2,\, 1,\, \ldots)$ $y = (-,\,0,\,\underbrace{0,\,1,\,1,}_{\text{"`Zyklus"'}}\,0,\,1,\,1,\,0,\, \ldots)$ \quad periodische Folge \item[Fall II:] $x = (1,\,1,\,1,\,1,\, \ldots)$ $z = (0,\,1,\,1,\,1,\,1,\,1,\,1,\,1,\,\ldots)$ $y = (-,\,0,\,\underbrace{1,\,1,\,1,\,1,\,1}_{\text{"`Fixpunkt"'}},\,\ldots)$ \quad konstante Folge \end{description} \end{minipage} \subsubsection*{Verhaltensformen des endlichen autonomen Automaten} \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{\Roman{enumi})} \item Da bei $|Z| = 2^n$ nach spätestens $2^n-1$ Takten alle Zustände ausgeschöpft sind, wird spätestens im Takt $2^n$ ein bereits durchlaufener Zustand erreicht. \[z(k+s) = z(k), \qquad \text{ für } 1 < s < z^n\] $s$: Periodendauer \item Nach $r$ Takten wird ein konstanter Endzustand (Fixpunkt) erreicht: \[z(k+1) = z(k), \qquad \text{ für } k > r\] (An Schlingen im Graphen erkennbar.) \end{enumerate} \setcounter{secnumdepth}{-1} \chapter{Teil 2: Zeitkontinuierliche Systeme} \setcounter{secnumdepth}{3} \section{Zeitkontinuierliche Signale und Systeme} \subsection{Signalbeschreibung im Zeitbereich} \subsubsection{Zeitkontinuierliche Signale} \begin{description} \item[Festlegungen:] \quad\\ \begin{tabular}{ll} Zeitskala: & $\subseteq \mathbb R$\\ Sonderfälle: & $T = \mathbb R$\\ & $T = \mathbb R^+ = [0,\infty)$\\ Alphabet:& $X = \mathbb C$\\ Sonderfall:& $X = \mathbb R$ \end{tabular} \item[Definition:] Ein \emph{zeitkontinuierliches Signal} ist eine Abbildung $x: T \to X$, durch die jedem Zeitpunkt $t \in T$ ein \emph{Signalwert} $x(t) \in X$ zugeordnet ist. \item[Sonderfall:] $x:T \to \mathbb R$ reelles zeitkontinuierliches Signal oder \emph{analoges Signal}. \item[Beispiel:] \quad\\ \begin{picture}(150,80) \put(0,15){\vector(1,0){150}} \put(50,10){\vector(0,1){70}} \thicklines \put(5,15){\line(1,0){45}} \qbezier(50,60)(70,17)(120,17) \put(30,68){$x(t)$} \put(140,5){$t$} \put(70,45){$e^{-at},\ 0 < a < 1$} \end{picture} \end{description} \subsubsection{Signaloperationen} \subsubsection*{Einstellige Operationen} \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{\alph{enumi})} \begin{minipage}{7cm} \item Skalarmultiplikation \[y(t) = \alpha \cdot x(t)\] \vspace{1.5cm} \end{minipage} \begin{minipage}{7cm} \begin{picture}(120,80) \put(0,15){\vector(1,0){120}} \put(40,10){\vector(0,1){70}} \put(110,5){$t$} \put(18,65){$x(t)$} \put(44,65){$y(t)$} \thicklines \put(5,15){\line(1,0){35}} \put(40,15){\line(1,1){20}} \put(60,35){\line(1,-1){20}} \put(40,15){\line(1,2){20}} \put(60,55){\line(1,-2){20}} \put(80,15){\line(1,0){30}} \put(52,22){$\scriptstyle x(t)$} \put(68,45){$\scriptstyle y(t)$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{7cm} \item Translation \[y = S^{\tau}(x)\] \[y(t) = x(t-\tau)\] \hspace{1.4cm} \end{minipage} \begin{minipage}{7cm} \begin{picture}(120,80) \put(0,15){\vector(1,0){120}} \put(40,10){\vector(0,1){70}} \put(110,5){$t$} \put(18,65){$x(t)$} \put(44,65){$y(t)$} \thicklines \put(5,15){\line(1,0){75}} \multiput(0,0)(25,0){2}{ \put(40,15){\line(1,1){20}} \put(60,35){\line(1,-1){20}}} \put(80,15){\line(1,0){35}} \put(53,39){$\scriptstyle x(t)$} \put(78,39){$\scriptstyle y(t)$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{7cm} \item Differentiation \[y = D(x)\] \[y(t) = \frac{dx(t)}{dt}\] \hspace{1.4cm} \end{minipage} \begin{minipage}{7cm} \begin{picture}(120,80) \put(0,15){\vector(1,0){120}} \put(40,10){\vector(0,1){70}} \put(110,5){$t$} \put(18,65){$x(t)$} \put(44,65){$y(t)$} \thicklines \put(5,15){\line(1,0){35}} \qbezier(40,15)(80,15)(100,70) \put(40,15){\line(3,2){65}} \put(80,28){$\scriptstyle x(t)$} \put(55,38){$\scriptstyle y(t)$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{7cm} \item Integration \[y = D^{-1}(x)\] \[y(t) = \int\limits_{-\infty}^t x(\tau)\,d\tau\] \hspace{1.4cm} \end{minipage} \begin{minipage}{7cm} \begin{picture}(120,80) \put(0,15){\vector(1,0){120}} \put(40,10){\vector(0,1){70}} \put(110,5){$t$} \put(18,65){$x(t)$} \put(44,65){$y(t)$} \thicklines \put(5,15){\line(1,0){60}} \put(65,45){\line(1,0){20}} \put(85,15){\line(1,0){20}} \put(65,15){\line(1,2){20}} \put(85,55){\line(1,0){20}} \multiput(65,15)(0,4){8}{\line(0,1){2}} \multiput(85,15)(0,4){8}{\line(0,1){2}} \put(50,48){$\scriptstyle x(t)$} \put(88,59){$\scriptstyle y(t)$} \end{picture} \end{minipage} \end{enumerate} \subsubsection*{Zweistellige Operationen} \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{\alph{enumi})} \item Signaladdition: \quad $y(t) = x_1(t) + x_2(t)$ \item Signalmultiplikation: \quad $y(t) = x_1(t) \cdot x_2(t)$ \item Faltung: \quad $y = x_1 * x_2$ \begin{align*} y(t) &= (x_1 * x_2)(t)\\ &= \int\limits_{-\infty}^{\infty} x_1(\tau) \cdot x_2(t-\tau)\,d\tau = \int\limits_{-\infty}^{\infty} x_2(\tau) \cdot x_1(t-\tau)\,d\tau\\ &= (x_2 * x_1)(t) \qquad \Rightarrow \text{Faltung ist kommutativ!} \end{align*} Sonderfall: $x_1(t) = 0$ für $t < 0$, $x_2(t) = 0$ für $t < 0$. \[y(t) = (x_1 * x_2)(t) = \int\limits_0^t \underbrace{x_1(\tau)}_{0 \text{ für } \tau < 0} \cdot \underbrace{x_2(t-\tau)}_{0 \text{ für }\tau > t}\,d\tau\] \end{enumerate} \subsubsection*{Veranschaulichung am Beispiel} \begin{picture}(120,80) \put(0,15){\vector(1,0){120}} \put(40,10){\vector(0,1){70}} \put(13,68){$x_1(\tau)$} \put(110,5){$\tau$} \thicklines \put(5,15){\line(1,0){35}} \qbezier(40,15)(50,40)(70,40) \qbezier(70,40)(78,40)(82,30) \qbezier(82,30)(90,18)(110,15) \end{picture} \begin{minipage}{5cm} \begin{picture}(120,80) \put(0,15){\vector(1,0){120}} \put(40,10){\vector(0,1){70}} \put(13,68){$x_2(\tau)$} \put(110,5){$\tau$} \thicklines \put(5,15){\line(1,0){35}} \put(40,15){\line(1,1){20}} \put(60,35){\line(1,-1){10}} \put(70,25){\line(1,1){20}} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{5cm} \begin{picture}(120,80) \put(0,15){\vector(1,0){120}} \put(40,10){\vector(0,1){70}} \put(0,68){$x_2(\tau\!-\!t)$} \put(110,5){$\tau$} \put(60,13){\line(0,1){4}} \put(58,4){$t$} \thicklines \put(5,15){\line(1,0){55}} \put(60,15){\line(1,1){20}} \put(80,35){\line(1,-1){10}} \put(90,25){\line(1,1){20}} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{5cm} \begin{picture}(120,80) \put(0,15){\vector(1,0){120}} \put(40,10){\vector(0,1){70}} \put(0,68){$x_2(\tau\!-\!t)$} \put(110,5){$\tau$} \put(60,13){\line(0,1){4}} \put(58,4){$t$} \thicklines \put(110,15){\line(-1,0){50}} \put(60,15){\line(-1,1){20}} \put(40,35){\line(-1,-1){10}} \put(30,25){\line(-1,1){20}} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{6cm} \begin{picture}(120,80) \put(0,15){\vector(1,0){120}} \put(40,10){\vector(0,1){70}} \put(13,68){$x_1(\tau)$} \put(43,68){$x_2(\tau\!-\!t)$} \put(110,5){$\tau$} \put(60,13){\line(0,1){4}} \put(58,4){$t$} \put(110,15){\line(-1,0){50}} \put(60,15){\line(-1,1){20}} \put(40,35){\line(-1,-1){10}} \put(30,25){\line(-1,1){20}} \put(5,15){\line(1,0){35}} \qbezier(40,15)(50,40)(70,40) \qbezier(70,40)(78,40)(82,30) \qbezier(82,30)(90,18)(110,15) \thicklines \qbezier(40,15)(42,23)(47,23) \qbezier(47,23)(52,23)(60,15) \thinlines \qbezier(41,15)(41,15)(48.5,22.5) \qbezier(45,15)(45,15)(51.5,21.5) \qbezier(49,15)(49,15)(54.5,20.5) \qbezier(53,15)(53,15)(56,18) \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{6cm} \bigskip % das sieht alles scheisse aus \begin{picture}(28,10) \thicklines \put(0,2.5){\line(1,0){25}} \end{picture} : $x_1(\tau) \cdot x_2(t-\tau)$ \bigskip \begin{picture}(28,10) \multiput(0,0)(4,0){6}{\qbezier(0,0)(6,6)(6,6)} \end{picture} : $y(t) = \int\limits_0^t x_1(\tau) \cdot x_2(t-\tau)\,d\tau$ \end{minipage} \subsubsection{Spezielle Signale} \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})} \item Sprungsignal \begin{minipage}{5cm} \begin{picture}(120,80) \put(0,15){\vector(1,0){120}} \put(40,10){\vector(0,1){70}} \multiput(38,35)(0,20){2}{\line(1,0){4}} \put(30,32){$\frac 1 2$} \put(31,52){$1$} \put(110,5){$t$} \thicklines \put(5,15){\line(1,0){35}} \put(40,55){\line(1,0){50}} \put(40,35){\circle*{2}} \put(20,68){$\mathbbm 1(t)$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{5cm} \[\mathbbm 1 (t) = \left\{\begin{array}{lll}1 &\text{für}& t >0 \\ \frac{1}{2} &\text{für}& t = 0\\ 0 &\text{für}& t < 0\end{array}\right. \] \bigskip \end{minipage} \item Rampensignal \begin{minipage}{5cm} \begin{picture}(120,80) \put(0,15){\vector(1,0){120}} \put(40,10){\vector(0,1){70}} \thicklines \put(5,15){\line(1,0){35}} \put(40,15){\line(1,1){45}} \put(20,68){$r(t)$} \put(110,5){$t$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{9cm} \[r = D^{-1}(\mathbbm 1)\] \[r(t) = \int\limits_{-\infty}^{t} \mathbbm 1(\tau) \, d\tau = \left\{\begin{array}{lll}t & \text{für} & t \geq 0\\0 & \text{für} & t < 0\end{array}\right.\] \[r(t) = t \cdot \mathbbm 1(t)\] \end{minipage} \item Rechtecksignal \[x(t) = a \cdot \mathbbm 1(t+\tau) - a \cdot \mathbbm 1(t-\tau)\] \begin{center} \begin{minipage}{5cm} \center \begin{picture}(120,80) \put(0,45){\vector(1,0){120}} \put(60,10){\vector(0,1){70}} \thicklines \put(5,45){\line(1,0){70}} \put(40,65){\line(1,0){75}} \put(80,25){\line(1,0){35}} \thinlines \put(59,25){\line(1,0){2}} \put(43,22){$-a$} \put(39,70){$x(t)$} \put(63,68){$a$} \put(110,35){$t$} \multiput(40,44)(40,0){2}{\line(0,1){2}} \put(32,35){$-\tau$} \put(77,35){$\tau$} \multiput(40,55)(40,0){2}{\circle*{2}} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{1cm} \center \raisebox{8pt}{$\Rightarrow$} \end{minipage} \begin{minipage}{5cm} \center \begin{picture}(120,80) \put(0,45){\vector(1,0){120}} \put(60,10){\vector(0,1){70}} \multiput(40,55)(40,0){2}{\circle*{2}} \thicklines \multiput(5,45)(75,0){2}{\line(1,0){35}} \put(40,65){\line(1,0){40}} \thinlines \put(39,70){$x(t)$} \put(63,68){$a$} \put(110,35){$t$} \multiput(40,44)(40,0){2}{\line(0,1){2}} \put(32,35){$-\tau$} \put(77,35){$\tau$} \end{picture} \end{minipage} \end{center} \[x(t) = \left\{ \begin{array}{lll}a & \text{für} & -\tau < t < \tau \\ \frac a 2 & \text{für} & t = \pm \tau\\ 0 & \text{sonst}\end{array}\right.\] \item Impulssignal, \textsc{Dirac}-Impuls Aus (c) erhält man für $\tau = \varepsilon$ und $a = \frac 1 {2 \varepsilon}$ das "`schmale Rechtecksignal"' $\delta_{\varepsilon}$ \begin{center} \begin{minipage}{5cm} \center \begin{picture}(120,80) \put(0,45){\vector(1,0){120}} \put(60,10){\vector(0,1){70}} \thicklines \multiput(5,45)(60,0){2}{\line(1,0){50}} \put(55,65){\line(1,0){10}} \thinlines \put(35,70){$\delta_{\varepsilon}(t)$} \put(68,63){$\frac 1 {2 \varepsilon}$} \put(110,35){$t$} \multiput(55,44)(10,0){2}{\line(0,1){2}} \put(45,35){$-\tau$} \put(62,35){$\tau$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{1cm} \center \raisebox{17pt}{$\stackrel{\varepsilon \to 0}{\Longrightarrow}$} \end{minipage} \begin{minipage}{5cm} \center \begin{picture}(120,80) \put(0,45){\vector(1,0){120}} \put(60,10){\vector(0,1){70}} \thicklines \put(5,45){\line(1,0){110}} \put(60,45){\vector(0,1){20}} \thinlines \put(35,70){$\delta_{\varepsilon}(t)$} \put(110,35){$t$} \end{picture} \end{minipage} \end{center} \begin{minipage}{9.5cm} \boxed{\quad \delta(t) = \left\{\begin{array}{lll}0 & \text{für} & t \ne 0\\\infty & \text{für} & t = 0\end{array}\right. \quad \text{mit} \quad \int\limits_{-\infty}^{\infty} \delta(t) \, dt = 1 \quad} \end{minipage} \begin{minipage}{5cm} \center Impulssignal, \textsc{Dirac}-Impuls, "`Delta-Funktion"' \end{minipage} \subsubsection*{Diskussion:} \begin{itemize} \item $\lim\limits_{\varepsilon \to 0} \delta_{\varepsilon} = \infty\ \Rightarrow$ existiert nicht \item $\lim\limits_{\varepsilon \to 0} \int\limits_{-\infty}^{\infty} \delta_{\varepsilon} (t) \cdot f(t) \, dt = f(0)$ exisitiert kurz: \boxed{\quad \int\limits_{-\infty}^{\infty} \delta(t) \cdot f(t) \, dt = f(0)\quad} Ausblendeeigenschft der \textsc{Dirac}-Funktion \end{itemize} \item Harmonisches Signal \smallskip \begin{minipage}{5cm} \center \begin{picture}(120,80) \put(0,45){\vector(1,0){120}} \put(60,10){\vector(0,1){70}} \thicklines \multiput(0,0)(80,0){2}{\qbezier(5,65)(15,65)(25,45)} \qbezier(25,45)(35,25)(45,25) \qbezier(45,25)(55,25)(65,45) \qbezier(65,45)(75,65)(85,65) \thinlines \put(39,70){$x(t)$} \put(110,35){$t$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{5cm} \[x(t) = \hat X \cdot \cos(\omega t + \varphi_x)\] \bigskip \end{minipage} \end{enumerate} \subsubsection{Signale allgemeineren Typs} \begin{minipage}{9.7cm} \subsubsection*{Definitionen:} \begin{enumerate} \item Ein Signal heißt \emph{stückweise stetig}, wenn in jedem endlichen Teilintervall gilt: \begin{enumerate} \item $x$ ist stetig für alle $t \ne \tau_i\ (i = 1,\,\ldots,\,n)$ \item $\lim\limits_{\varepsilon \to 0} x(\tau_i \pm \varepsilon)$ existieren (kurz $x(\tau \pm 0)$) \end{enumerate} \end{enumerate} \end{minipage} \begin{minipage}{6cm} \quad \begin{picture}(150,105) \put(75,0){\vector(0,1){100}} \put(0,50){\vector(1,0){150}} \multiput(30,4)(0,4){9}{\line(0,1){2}} \multiput(100,4)(0,4){9}{\line(0,1){2}} \multiput(120,4)(0,4){9}{\line(0,1){2}} \multiput(30,49)(0,4){12}{\line(0,1){2}} \multiput(100,49)(0,4){12}{\line(0,1){2}} \multiput(120,49)(0,4){12}{\line(0,1){2}} \put(24,42){$\tau_{i-1}$} \put(95,42){$\tau_{i}$} \put(114,42){$\tau_{i+1}$} \put(143,40){$t$} \qbezier(2,55)(20,58)(30,70) \qbezier(30,15)(75,40)(100,80) \qbezier(100,70)(105,75)(110,45) \qbezier(110,45)(115,20)(120,25) \qbezier(120,70)(130,80)(145,80) \end{picture} \end{minipage} \begin{enumerate} \setcounter{enumi}{1} \item Ein Signal heißt \emph{stückweise glatt}, wenn (a) und (b) auch für $\dot{x}$ gelten. \end{enumerate} \subsubsection{Interpolation abgetasteter Signale} \subsubsection*{a) Interpolationsproblem} \begin{minipage}{7.8cm} \center Zeitkontinuierliches Signal \begin{picture}(130,145) \put(20,50){\vector(0,1){85}} \put(5,55){\vector(1,0){125}} \put(0,125){$x(t)$} \qbezier(10,100)(35,120)(60,95) \qbezier(60,95)(85,70)(110,90) \put(120,44){$t$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{7.8cm} \center Äquidistante Abtastung \begin{picture}(130,145) \put(20,50){\vector(0,1){85}} \put(05,55){\vector(1,0){125}} \put(0,125){$x(t)$} \put(120,44){$t$} \put(10,54){\line(0,1){46}} \put(20,54){\line(0,1){52}} \put(30,50){\line(0,1){59}} \put(40,54){\line(0,1){54}} \put(50,54){\line(0,1){49}} \put(60,54){\line(0,1){41}} \put(70,54){\line(0,1){33}} \put(80,54){\line(0,1){28}} \put(90,54){\line(0,1){27}} \put(100,54){\line(0,1){30}} \put(110,54){\line(0,1){36}} \put(10,100){\circle*{2}} \put(20,106){\circle*{2}} \put(30,109){\circle*{2}} \put(40,108){\circle*{2}} \put(50,103){\circle*{2}} \put(60,95){\circle*{2}} \put(70,87){\circle*{2}} \put(80,82){\circle*{2}} \put(90,81){\circle*{2}} \put(100,84){\circle*{2}} \put(110,90){\circle*{2}} \put(20,50){\vector(1,0){10}} \put(30,50){\vector(-1,0){10}} \put(20,40){$\scriptstyle \Delta t$} \put(20,35){\vector(1,0){110}} \multiput(20,34)(10,0){9}{\line(0,1){2}} \put(18,24){$0$} \put(27.7,24){$1$} \put(37.5,24){$2$} \put(47,24){$\cdots$} \put(120,24){$k$} \put(30,5){$x(k) = x(t) \Big|_{t=k\cdot \Delta k}$} \end{picture} \end{minipage} \paragraph{Aufgabe:} Zwischenwerte interpolieren, Abtastwerte unverändert lassen \subsubsection*{b) Ansatz: Lagrangesche Interpolationsformel} \begin{minipage}{5.8cm} \begin{picture}(140,100) \put(20,10){\vector(0,1){90}} \put(15,15){\vector(1,0){125}} \put(0,90){$x(t)$} \put(40,14){\line(0,1){2}} \put(80,14){\line(0,1){2}} \put(110,14){\line(0,1){2}} \put(37,4){$t_1$} \put(77,4){$t_2$} \put(107,4){$t_3$} \put(131,4){$t$} \qbezier(20,75)(80,35)(115,60) \put(40,63){\circle*{2}} \put(80,50.5){\circle*{2}} \put(110,56.5){\circle*{2}} \put(34,69){$x(t_1)$} \put(73,56){$x(t_2)$} \put(102,64){$x(t_3)$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{10cm} \begin{align*} x(t) &= x(t_1) \cdot \frac{(t-t_2)(t-t_3)}{(t_1-t_2)(t_1-t_3)}& \text{bei } t_1 = 1,\ t_2\text{ und }t_3 = 0\\ &+\, x(t_2) \cdot \frac{(t-t_1)(t-t_3)}{(t_2-t_1)(t_2-t_3)}\vphantom{\Bigg|}& \text{bei } t_2 =1,\ t_1\text{ und }t_3 = 0\\ &+\, x(t_3) \cdot \frac{(t-t_1)(t-t_2)}{(t_3-t_1)(t_3-t_2)}& \text{bei } t_3 = 1,\ t_1\text{ und }t_2 = 0 \end{align*} \smallskip \end{minipage} \subsubsection*{Verallgemeinerung auf $K$ Messwerte:} \[x(t) = \sum\limits_{k=1}^{K} x(t_k) \cdot \frac{(t-t_1) \cdots (t-t_{k-1})(t-t_{k+1}) \cdots (t-t_K)}{(t_k+t_1)\cdots(t_K-t_{k-1})(t_k-t_{k+1}) \cdots (t_k-t_K)}\] mit $P_K(t) = (t-t_1)(t-t_2) \cdots (t-t_K)$: \begin{center} \boxed{\quad x(t) = \sum\limits_{k=1}^{K} x(t_k) \cdot \frac{P_K(t)}{(t-t_k)\cdot {P_K}'(t_k)} \quad} \end{center} $P_K(t) = t_1\cdot t_2 \cdot \cdots \cdot t_K \cdot \underbrace{\scriptstyle\left(\frac t {t_1}-1\right) \left(\frac t {t_2}-1\right) \cdots \left(\frac t {t_K}-1\right) }_{Q_K(t)}$ \begin{center} \boxed{\quad x(t) = \sum\limits_{k=1}^{K} x(t_k) \cdot \frac{Q_K(t)}{(t-t_k)\cdot {Q_K}'(t_k)} \quad} \end{center} \subsubsection*{c) Lagrange-Interpolation für äquidistante Abtastwerte} $t_k = k \cdot \Delta t, \quad (k \text{ ganz}), \quad K \to \infty$ \begin{align*} Q_{\infty}(t) &= \cdots \left(\frac t {-k\cdot \Delta t} - 1\right) \cdots \left(\frac t {-\Delta t} - 1\right) \cdot t \cdot \left(\frac t {\Delta t} - 1 \right) \cdots \left(\frac t {k\cdot \Delta t} - 1\right) \cdots \\ &= t \cdot \prod\limits_{k=1}^{\infty}\left(1 - \frac{t^2}{k^2 \cdot \Delta t^2}\right) = \sin \frac{\pi}{\Delta t} \cdot t \end{align*} Einsetzen in das Ergebnis von b): \begin{align*} x(t) &= \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty} x(k \cdot \Delta t) \frac{\sin \frac{\pi}{\Delta t} \cdot t}{(t-k\cdot \Delta t) \cdot \frac{\pi}{\Delta t} \cdot \underbrace{\cos \frac{\pi}{\Delta t} \cdot k \cdot \Delta t}_{-1^k}}\\ &= \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty} x(k \cdot \Delta t) \frac{-1^k \cdot \sin \frac{\pi}{\Delta t} \cdot t}{(t-k\cdot \Delta t) \cdot \frac{\pi}{\Delta t}}= \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty} x(k \cdot \Delta t) \frac{\sin(\frac{\pi}{\Delta t} \cdot t - k \cdot \pi)}{(t-k\cdot \Delta t) \cdot \frac{\pi}{\Delta t}}\\ &= \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty} x(k \cdot \Delta t) \frac{\sin(\frac{\pi}{\Delta t} \cdot (t - k \cdot \Delta t))}{\frac{\pi}{\Delta t} \cdot (t-k\cdot \Delta t} \end{align*} (Abtastreihe, Samplingreihe) \subsubsection*{d) Interpretation der Samplingreihe} Aufbaufunktion vom Typ $\dfrac{\sin \alpha}{\alpha} = \mathrm{si}\,\alpha$ \begin{center} \begin{picture}(360,120) \put(0,30){\vector(1,0){360}} \put(180,0){\vector(0,1){120}} \multiput(20,29)(40,0){9}{\line(0,1){2}} \put(178,100){\line(1,0){4}} % rechte hälfte \qbezier(180,100)(195,100)(220,30) \qbezier(220,30)(225,18)(235,15) \qbezier(235,15)(244,13)(260,30) \qbezier(260,30)(269,40)(278,40) \qbezier(278,40)(290,40)(300,30) \qbezier(300,30)(309,25)(318,25) \qbezier(318,25)(330,25)(340,30) % linke hälfte. x_neu = 180-(x_alt-180) = 360-x_alt \qbezier(180,100)(165,100)(140,30) \qbezier(140,30)(135,18)(125,15) \qbezier(125,15)(116,13)(100,30) \qbezier(100,30)(91,40)(82,40) \qbezier(82,40)(70,40)(60,30) \qbezier(60,30)(51,25)(42,25) \qbezier(42,25)(30,25)(20,30) \put(160,110){$\mathrm{si}\,\alpha$} \put(188,97){$1$} \put(216,15){$\pi$} \put(254,15){$2\pi$} \put(294,15){$3\pi$} \put(131,15){$-\pi$} \put(85,15){$-2\pi$} \put(45,15){$-3\pi$} \put(348,20){$\alpha$} \end{picture} \end{center} \[x(t) = \sum\limits_{k = - \infty}^{\infty} x(k\cdot \Delta t) \cdot \mathrm{si}\,\left(\frac{\pi}{\Delta t} \cdot (t - k \cdot \Delta t)\right)\] Beispiel für $k = 3$, $x(0) = 1$, $x(1) = 0,\!5$, $x(2) = 0,\!75$: \begin{center} \begin{picture}(360,120) % mit gnu-plot schneller aber ich hätte eine \put(0,30){\vector(1,0){360}} % wette verloren. :-) \put(180,0){\vector(0,1){120}} \multiput(20,29)(40,0){9}{\line(0,1){2}} \put(178,100){\line(1,0){4}} \qbezier(180,100)(195,100)(220,30) % x(0) = 1 \qbezier(220,30)(225,18)(235,15) \qbezier(235,15)(244,13)(260,30) \qbezier(260,30)(269,40)(278,40) \qbezier(278,40)(290,40)(300,30) \qbezier(300,30)(309,25)(318,25) \qbezier(318,25)(330,25)(340,30) \qbezier(180,100)(165,100)(140,30) \qbezier(140,30)(135,18)(125,15) \qbezier(125,15)(116,13)(100,30) \qbezier(100,30)(91,40)(82,40) \qbezier(82,40)(70,40)(60,30) \qbezier(60,30)(51,25)(42,25) \qbezier(42,25)(30,25)(20,30) \qbezier(220,65)(235,65)(260,30) % x(1) = 0.5 \qbezier(260,30)(265,24)(275,23.5) \qbezier(275,23.5)(284,21.5)(300,30) \qbezier(300,30)(309,35)(318,35) \qbezier(318,35)(330,35)(340,30) \qbezier(220,65)(205,65)(180,30) \qbezier(180,30)(175,24)(165,23.5) \qbezier(165,23.5)(156,21.5)(140,30) \qbezier(140,30)(131,35)(122,35) \qbezier(122,35)(110,35)(100,30) \qbezier(100,30)(91,27.5)(82,27.5) \qbezier(82,27.5)(70,27.5)(60,30) \qbezier(60,30)(51,31.5)(42,31.5) \qbezier(42,31.5)(30,31.5)(20,30) \qbezier(260,82.5)(275,82.5)(300,30) % x(2) = 0.75 \qbezier(300,30)(305,21)(315,20.25) \qbezier(315,20.25)(324,17.25)(340,30) \qbezier(260,82.5)(245,82.5)(220,30) \qbezier(220,30)(215,21)(205,20.25) \qbezier(205,20.25)(196,17.25)(180,30) \qbezier(180,30)(171,37.5)(162,37.5) \qbezier(162,37.5)(150,37.5)(140,30) \qbezier(140,30)(131,26.25)(122,26.25) \qbezier(122,26.25)(110,26.25)(100,30) \qbezier(100,30)(91,32.25)(82,32.25) \qbezier(82,32.25)(70,32.25)(60,30) \qbezier(60,30)(51,28.5)(42,28.5) \qbezier(42,28.5)(30,28.5)(20,30) \thicklines \qbezier(181,101)(194,101)(210,74) % gesamt \qbezier(210,74)(224,55)(245,75) \qbezier(245,75)(253,82.5)(260,82.5) \qbezier(260,82.5)(275,82.5)(300,30) \qbezier(300,30)(305,19)(315,18.25) \qbezier(315,18.25)(324,15.25)(340,30) \qbezier(181,101)(165,100)(140,30) \qbezier(140,30)(135,20)(125,17) \qbezier(125,17)(116,15)(100,30) \qbezier(100,30)(91,40)(82,40) \qbezier(82,40)(70,40)(60,30) \qbezier(60,30)(51,25)(42,25) \qbezier(42,25)(30,25)(20,30) \thinlines \put(180,100.5){\circle*{3}} \put(220,65.4){\circle*{3}} \put(260,82.5){\circle*{3}} \put(185,110){$x(t)$} \put(167,97){$1$} \put(218,17){$1$} \put(258,17){$2$} \put(298,17){$3$} \put(340,15){$k = \frac{t}{\Delta t}$} \end{picture} \end{center} \subsection{Statische Systeme mit kontinuierlicher Zeit} \subsubsection{Elementarsysteme} \subsubsection*{Grundbausteine} \begin{tabular}{l|l|l|l} Signalabbildung & Gleichung & Schaltsymbol & Bezeichnung \\ \hline \raisebox{10pt}{Skalarmultiplikation} & \raisebox{10pt}{$y(t) = \alpha \cdot x(t),\ \alpha \in \mathbb R$} & \begin{picture}(100,30) \put(0,9.5){$x(t)$} \put(20,12.5){\circle{2}} \put(21,12.5){\line(1,0){19}} \put(40,0){\line(0,1){25}} \put(40,0){\line(4,3){16.5}} \put(43,9.5){$\alpha$} \put(40,25){\line(4,-3){16.5}} \put(56.5,12.5){\line(1,0){19}} \put(76.5,12.5){\circle{2}} \put(79,9.5){$y(t)$} \end{picture} & \raisebox{10pt}{Verstärker}\\ \hline \raisebox{22pt}{Signaladdition}&\raisebox{22pt}{$y(t) = x_1(t) + x_2(t)$}& \begin{picture}(80,52) \put(47.5,25){\circle{15}} \put(0,7){$x_2(t)$} \put(0,37){$x_1(t)$} \multiput(25,10)(0,30){2}{\circle{2}} \multiput(26,10)(0,30){2}{\line(1,0){21.5}} \put(47.5,10){\vector(0,1){7.5}} \put(47.5,40){\vector(0,-1){7.5}} \put(43,22){$+$} \put(55,25){\line(1,0){20.5}} \put(76.5,25){\circle{2}} \put(79,22){$y(t)$} \end{picture} & \raisebox{22pt}{Verstärker}\\ \hline \raisebox{10pt}{Signalmultiplikation} & \raisebox{10pt}{$y(t) = x_1(t) + x_2(t)$} & \begin{picture}(100,30) \multiput(25,5)(0,15){2}{\circle{2}} \multiput(26,5)(0,15){2}{\line(1,0){12}} \multiput(38,0)(25,0){2}{\line(0,1){25}} \multiput(38,0)(0,25){2}{\line(1,0){25}} \put(0,2){$x_2(t)$} \put(0,17){$x_1(t)$} \put(63,12.5){\line(1,0){12.5}} \put(76.5,12.5){\circle{2}} \put(79,9.5){$y(t)$} \put(46,9.5){$\times$} \end{picture} & \raisebox{10pt}{Multiplizierglied} \\ \hline \raisebox{10pt}{Sonderfall} & \raisebox{10pt}{$y(t) = [x(t)]^n$} & \begin{picture}(100,30) \put(25,12.5){\circle{2}} \put(26,12.5){\line(1,0){12}} \multiput(38,0)(25,0){2}{\line(0,1){25}} \multiput(38,0)(0,25){2}{\line(1,0){25}} \put(0,9.5){$x(t)$} \put(63,12.5){\line(1,0){12.5}} \put(76.5,12.5){\circle{2}} \put(79,9.5){$y(t)$} \put(39,9.5){$(...)^n$} \end{picture} & \raisebox{10pt}{Potenzierglied} \\ \hline \end{tabular} \subsubsection*{Beispiel für Zusammenschaltung} \qquad \begin{picture}(300,80) \put(0,22){$x_2(t)$} \put(0,59.5){$x_1(t)$} \multiput(25,25)(0,37.5){2}{\circle{2}} \multiput(26,25)(0,37.5){2}{\line(1,0){24}} \multiput(0,0)(0,30){2}{ \multiput(50,20)(25,0){2}{\line(0,1){25}} \multiput(50,20)(0,25){2}{\line(1,0){25}}} \put(37.5,40){\line(1,0){12.5}} \put(37.5,40){\line(0,1){22.5}} \multiput(75,32.5)(0,30){2}{\line(1,0){25}} \multiput(100,20)(0,30){2}{\line(0,1){25}} \multiput(100,20)(0,30){2}{\line(4,3){16.5}} \multiput(100,45)(0,30){2}{\line(4,-3){16.5}} \put(116.5,62.5){\vector(1,0){23.5}} \put(147.5,62.5){\circle{15}} \put(147.5,32.5){\vector(0,1){22.5}} \put(147.5,32.5){\circle*{2}} \put(116.5,32.5){\line(1,0){58.5}} \put(155,62.5){\line(1,0){20}} \put(87.5,32.5){\circle*{2}} \put(87.5,32.5){\line(0,-1){20}} \put(87.5,12.5){\line(1,0){87.5}} \put(176,12.5){\circle{2}} \put(176,32.5){\circle{2}} \put(176,62.5){\circle{2}} \put(179,09.5){$y_3(t)$} \put(179,29.5){$y_2(t)$} \put(179,59.5){$y_1(t)$} \put(51,59.5){$(...)^2$} \put(58,29.5){$\times$} \put(103,59.5){$a$} \put(103,29.5){$b$} \put(143.5,59.5){$+$} \end{picture} \begin{align*} y_1(t) &= f_1(x_1(t),\,x_2(t)) = a \cdot ({x_1}(t))^2 + b \cdot x_1(t) \cdot x_2(t)\\ y_2(t) &= f_2(x_1(t),\,x_2(t)) = b \cdot x_1(t) \cdot x_2(t)\\ y_3(t) &= f_3(x_1(t),\,x_2(t)) = x_1(t) \cdot x_2(t) \end{align*} \subsubsection*{Schema} \begin{minipage}{8cm} \qquad \begin{picture}(150,55) \put(0,7){$x_2(t)$} \put(0,37){$x_1(t)$} \multiput(25,10)(0,30){2}{\circle{2}} \multiput(26,10)(0,30){2}{\line(1,0){24}} \multiput(50,0)(60,0){2}{\line(0,1){50}} \multiput(50,0)(0,50){2}{\line(1,0){60}} \multiput(110,10)(0,15){3}{\line(1,0){24}} \multiput(135,10)(0,15){3}{\circle{2}} \put(138,7){$y_3(t)$} \put(138,22){$y_2(t)$} \put(138,37){$y_1(t)$} \put(71,17){\Huge$\Phi$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{7cm} \[\Phi:\mathbb R^2 \to \mathbb R^3\] \[\Phi(\underbrace{x_1(t),\,x_2(t)}_{\in \mathbb R^2}) = (\underbrace{y_1(t),\,y_2(t),\,y(3)}_{\in \mathbb R^3}) \] \end{minipage} \paragraph*{Wichtiger Sonderfall:} Resistives elektrisches Netzwerk (keine Energiespeicher) \begin{minipage}{6cm} \qquad \begin{picture}(120,140) \put(0,10){\line(1,0){100}} \put(50,10){\circle{20}} \multiput(0,10)(100,0){2}{\line(0,1){90}} \multiput(0,0)(0,50){2}{ \qbezier(35,18)(50,28)(65,18) \put(65,18){\vector(2,-1){0}}} \put(39,28){$u_1(t)$} \multiput(0,60)(100,0){2}{\circle*{2}} \multiput(0,60)(60,0){2}{\line(1,0){40}} \multiput(40,55)(0,10){2}{\line(1,0){20}} \multiput(40,55)(20,0){2}{\line(0,1){10}} \put(43,45){$R_3$} \put(36,78){$u_{R3}(t)$} \put(0,100){\line(1,0){63}} \put(100,100){\line(-1,0){23}} \put(30,100){\circle{20}} \multiput(77,93)(-14,0){2}{\line(0,1){14}} \put(77,100){\line(-2,1){14}} \put(77,100){\line(-2,-1){14}} \multiput(-20,90)(40,0){2}{ \qbezier(35,18)(50,28)(65,18)} \put(15,108){\vector(-2,-1){0}} \put(85,108){\vector(2,-1){0}} \put(19,118){$u_{2}(t)$} \put(59,118){$u_{D}(t)$} \put(105,85){\vector(0,-1){15}} \put(108,75){$i_2(t)$} \put(105,40){\vector(0,-1){15}} \put(108,30){$i_1(t)$} \put(75,65){\vector(1,0){15}} \put(74,70){$i_3(t)$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{9.5cm} \bigskip \begin{description} \item[Eingänge:] \quad\\ $u_1(t) \leftrightarrow x_1(t)$\\ $u_2(t) \leftrightarrow x_2(t)$ \item[Ausgang:] \quad\\ $i_1(t) \leftrightarrow y_1(t)$\\ $i_2(t) \leftrightarrow y_2(t)$\\ $i_3(t) \leftrightarrow y_3(t)$ \end{description} \end{minipage} \begin{description} \item[Widerstand:] $i_3(t) = \dfrac{u_{R3}(t)}{R_3} = \dfrac{u_1(t)}{R_3}$ \item[Diode:] $\displaystyle i_2(t) = a \cdot \left(e^{b\cdot u_D(t)}-1\right)$ \item[Knotengleichung:] $i_1(t) = i_2(t) + i_3(t)$ \item[Maschengleichung:] $u_D(t) = u_1(t) + u_2(t)$ \end{description} \begin{align*} i_1(t) &= f_1(u_1(t),\,u_2(t)) = \frac{u_1(t)}{R_3} + a \cdot \left(e^{b(u_1(t)+u_2(t))}-1\right)\\ i_2(t) &= f_2(u_1(t),\,u_2(t)) = a \cdot \left(e^{b(u_1(t)+u_2(t))}-1\right)\\ i_3(t) &= f_3(u_1(t),\,u_2(t)) = \frac{u_1(t)}{R_3} \end{align*} \subsubsection{Verallgemeinerung der Beispiele} \begin{minipage}{10cm} \begin{picture}(260,85) \put(3,40){$x(t)\left\{\!\!\begin{array}{c}x_1(t)\\x_2(t)\\\vdots\\x_l(t)\end{array}\right.$} \put(198,40){$\left.\begin{array}{c}y_1(t)\\y_2(t)\\\vdots\\y_m(t)\end{array}\!\!\right\} y(t)$} \put(26,0){ \multiput(0,0)(130,0){2}{\put(40,19){\circle{2}} \multiput(40,52)(0,13){2}{\circle{2}}} \multiput(0,0)(109,0){2}{ \multiput(41,52)(0,13){2}{\line(1,0){19}} \put(41,19){\line(1,0){19}}} \multiput(60,10)(90,0){2}{\line(0,1){64}} \multiput(60,10)(0,64){2}{\line(1,0){90}} \multiput(45,30.3)(116,0){2}{$\vdots$} \put(95,35){\Huge$\Phi$}} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{5cm} \smallskip \begin{align*} y_1(t) &= f_1(x_1(t),\, \ldots ,\, x_l(t))\\ \vdots\quad & \hspace{2.25cm}\vdots \\ y_m(t) &= f_m(x_1(t),\, \ldots ,\, x_l(t)) \end{align*} \bigskip \end{minipage} \paragraph{Definitionen:} \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{\alph{enumi})} \item Die Menge $X\in \mathbb R^l$ heißt \emph{Eingabealphabet} mit den Buchstaben (Signalwerten) \[x(t) = \left(\begin{array}{c}x_1(t)\\\vdots\\x_l(t)\end{array}\right) \in X.\] \item Die Menge $Y\in \mathbb R^m$ heißt \emph{Ausgabealphabet} mit den Buchstaben (Signalwerten) \[y(t) = \left(\begin{array}{c}y_1(t)\\\vdots\\y_m(t)\end{array}\right) \in Y.\] \item Die Abbildung $\Phi:X\to Y$ \[\Phi(x_1(t),\,\ldots\, x_l(t)) = (y_1(t),\,\ldots,\,y_m(t)),\] kurz $\Phi(x(t)) \to y(t)$ heißt \emph{Alphabetabbildung}. \item Das Eingabealphabet $X$, das Ausgabealphabet $Y$ und die Alphabetabbildung $\Phi$ bilden ein (abstraktes) \emph{statisches System}, in Zeichen: $(X,\,Y,\,\Phi)$. \item Die Abbildung $x: T \to X,\ (X = \mathbb R^l)$ heißt \emph{$l$--dimensionales Eingabesignal}: \begin{center} \begin{picture}(230,105) \put(0,52){\vector(1,0){230}} \put(90,3){\line(0,1){100}} \put(222,43){$t$} \qbezier(10,25)(30,40)(55,20) \qbezier(55,20)(65,15)(80,80) \qbezier(80,80)(82,90)(110,85) \qbezier(110,85)(120,84)(125,50) \qbezier(125,50)(132,25)(170,25) \qbezier(10,55)(30,80)(50,80) \qbezier(50,80)(70,80)(100,60) \qbezier(100,60)(115,50)(170,70) \qbezier(10,35)(19,35)(45,22) \qbezier(45,22)(55,15)(80,40) \qbezier(80,40)(110,66)(170,58) \put(170,45){$\left.\begin{array}{c}x_1\\x_2\\\vdots\\x_l\end{array}\right\} x$} \put(80,44){$t$} \put(90,47){\circle*{2}} \put(93,40){$x_2(t)$} \put(90,66.2){\circle*{2}} \put(93,67){$x_1(t)$} \put(90,86.3){\circle*{2}} \put(93,89){$x_l(t)$} \put(93,67){$x_1(t)$} \end{picture} \end{center} \item Die Abbildung $y:T\to Y,\ (Y = \mathbb R^m)$ heißt \emph{$n$--dimensionales Ausgabesignal}. \item Die Menge aller Eingangssignale $X^T = X^*$ heißt \emph{Eigangssignalraum}, die Menge aller Ausgabesignale $Y^T = Y^*$ heißt \emph{Ausgabesignalraum}. \item Die Abbildung $\Phi:X^* \to Y^*,\ \Phi(x) = y$ heißt \emph{Signalabbildung}. \end{enumerate} \subsubsection{Kleinsignalverhalten} \begin{minipage}{8cm} \qquad \begin{picture}(150,55) \put(0,22){$x_i(t)$} \put(9,5){$\vdots$} \put(9,35){$\vdots$} \multiput(25,10)(0,15){3}{\circle{2}} \multiput(26,10)(0,15){3}{\line(1,0){24}} \multiput(50,0)(60,0){2}{\line(0,1){50}} \multiput(50,0)(0,50){2}{\line(1,0){60}} \multiput(110,10)(0,15){3}{\line(1,0){24}} \multiput(135,10)(0,15){3}{\circle{2}} \put(138,23){$y_j(t)$} \put(147,5){$\vdots$} \put(147,35){$\vdots$} \put(71,17){\Huge$\Phi$} \end{picture} \bigskip \end{minipage} \begin{minipage}{7cm} \begin{picture}(150,80) \put(25,5){\vector(0,1){75}} \put(20,10){\vector(1,0){130}} \put(0,70){$x_i(t)$} \put(13,45){$c_i$} \multiput(24,48)(4,0){30}{\line(1,0){2}} \qbezier(25,48)(26,50)(28,50) \qbezier(28,50)(29,50)(31,46) \qbezier(31,46)(32,44)(33,45) \qbezier(33,45)(35,47)(38,49) \qbezier(38,49)(40,51)(42,49) \qbezier(42,49)(44,48)(46,50) \qbezier(46,50)(47,51)(49,46) \qbezier(49,46)(50,45)(53,47) \qbezier(53,47)(55,48)(56,48) \qbezier(56,48)(58,49)(63,46) \qbezier(63,46)(65,45)(66,50) \qbezier(66,50)(67,51)(68,50) \qbezier(68,50)(70,48)(72,48) \qbezier(72,48)(75,49)(78,51) \qbezier(78,51)(80,51)(83,47) \qbezier(83,47)(85,45)(90,50) \qbezier(90,50)(93,52)(95,47) \qbezier(95,47)(96,46)(99,48) \qbezier(99,48)(101,49)(103,46) \qbezier(103,46)(105,45)(107,48) \qbezier(107,48)(109,49)(111,48) \qbezier(111,48)(113,48)(115,50) \qbezier(115,50)(117,51)(119,50) \end{picture} \end{minipage} \bigskip Für alle Eingänge soll gelten: \[x_i(t) = c_i + \Delta x_i(t), \quad i = 1,\,\ldots,\,l, \quad |\Delta x_i(t)|_{max} \ll |c_i|\] Für die Ausgänge gilt dann: \[y_j(t) = f_j(x_1(t),\ldots,x_l(t))\] Taylorreihe: \[f(x+h) = f(x) + \frac{1}{1!} f'(x) \cdot h + \frac{1}{2!} f''(x)\cdot h^2 + \cdots\] für $h \ll x$ betrachten wir als gute Näherung nur das erste Glied der Taylorreihe: \begin{align*} y_j(t) &= f_j(x_1(t),\ldots,x_l(t))\\ &\approx f_j(c_1,\ldots,c_l) + \Delta y_j(t), & j = 1,\ldots, m\\ &\approx f_j(c_1,\ldots, c_l) + \underbrace{\sum\limits_{i=1}^{l}\frac{\partial f_i}{\partial x_i} (c_1,\ldots ,c_l)\cdot \Delta x_i}_{\Delta y_j(t)} \end{align*} \[\underbrace{\vphantom{\left|\begin{array}{c}\dfrac{\partial f_1}{\partial x_1}\\ \vdots \\ \dfrac{\partial f_m}{\partial x_1}\end{array}\right|_{x_i}}\left(\begin{array}{c}\Delta y_1(t) \\ \vdots \\ \Delta y_m(t)\end{array}\right)}_{\displaystyle \Delta y(t)} = \underbrace{\left.\left(\begin{array}{ccc}\dfrac{\partial f_1}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial f_1}{\partial x_l}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ \dfrac{\partial f_m}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial f_m}{\partial x_l}\end{array}\right)\right|_{x_i = c_i}}_{\displaystyle\text{Jacobi-Matrix }J(x)} \cdot \underbrace{\vphantom{\left|\begin{array}{c}\dfrac{\partial f_1}{\partial x_1}\\ \vdots \\ \dfrac{\partial f_m}{\partial x_1}\end{array}\right|_{x_i}}\left(\begin{array}{c}\Delta x_1(t) \\ \vdots \\ \Delta x_l(t)\end{array}\right)}_{\displaystyle \Delta x(t)} \] mit $c_i = c \to$ konstante Matrix, Kurzform: \[\boxed{\quad \Delta y(t) = J(c) \cdot \Delta x(t)\vphantom{\int_a^b}\quad} \qquad \to\text{Linearisierung bei Kleinsignalbetrieb!}\] \paragraph*{Beispiel:} System aus Abschnitt 4.2.1 \begin{align*} y_1(t) &= f_1(x_1(t),\,x_2(t)) = a \cdot ({x_1}(t))^2 + b \cdot x_1(t) \cdot x_2(t)\\ y_2(t) &= f_2(x_1(t),\,x_2(t)) = b \cdot x_1(t) \cdot x_2(t)\\ y_3(t) &= f_3(x_1(t),\,x_2(t)) = x_1(t) \cdot x_2(t) \end{align*} \[J(x) = \left(\begin{array}{cc}\dfrac{\partial f_1}{\partial x_1} & \dfrac{\partial f_1}{\partial x_2}\\ \vphantom{\dfrac{\Big|}{\Big|}}\dfrac{\partial f_2}{\partial x_1} & \dfrac{\partial f_2}{\partial x_2}\\\dfrac{\partial f_3}{\partial x_1} & \dfrac{\partial f_3}{\partial x_2}\\\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}2ax_1 + bx_2 & b x_1\\\vphantom{\Big|}b x_2 & b x_1 \\ x_2 & x_1\end{array}\right)\] Es seien: \[x_1(t) = c_1 + \underbrace{\widehat{x}_1 \cdot \cos (\omega_1 t + \varphi_1)}_{\Delta x_1} \qquad \text{und} \qquad x_2(t) = c_2 + \underbrace{\widehat{x}_2 \cdot \cos (\omega_2 t + \varphi_2)}_{\Delta x_2}\] mit $|\widehat{x}_1| \ll c_1,\ |\widehat{x}_2| \ll c_2$ \[\left(\begin{array}{c}\Delta y_1(t)\\ \Delta y_2(t) \\ \Delta y_3(t)\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}2ax_1 + bx_2 & b x_1\\\vphantom{\Big|}b x_2 & b x_1 \\ x_2 & x_1\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c}\widehat{x}_1 \cdot \cos (\omega_1 t + \varphi_1)\\\widehat{x}_2 \cdot \cos (\omega_2 t + \varphi_2)\end{array}\right) \] \begin{align*} y_1(t) &\approx a{c_1}^2 + b c_1 c_2 + (2ac_1 + bc_2)\cdot \widehat{x}_1 \cdot \cos(\omega_1 t + \varphi_1) + bc_1 \cdot \widehat{x}_2 \cdot \cos(\omega_2 t + \varphi_2)\\ y_2(t) &\approx bc_1c_2 + bc_2 \cdot \widehat{x}_1\cdot \cos (\omega_1 t + \varphi_1) + bc_1 \cdot \widehat{x}_2 \cdot \cos (\omega_2 t + \varphi_2)\\ y_3(t) &\approx c_1c_2 + c_2\cdot \widehat{x}_1 \cdot \cos (\omega_1 t + \varphi_1) + c_1 \cdot \widehat{x}_2 \cdot \cos(\omega_2 t + \varphi_2) \end{align*} \subsection{Dynamische zeitkontinuierliche Systeme} \subsubsection{Zustandsbeschreibung} Hinzunahme eines weiteren Elements: \emph{Integrierglied}. \begin{center} \begin{minipage}{5cm} \begin{picture}(130,27) \put(2,10){$x(t)$} \multiput(25,12.5)(75,0){2}{\circle{2}} \multiput(26,12.5)(49,0){2}{\line(1,0){24}} \multiput(50,0)(25,0){2}{\line(0,1){25}} \multiput(50,0)(0,25){2}{\line(1,0){25}} \put(59,10){$\int$} \put(105,10){$y(t)$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{8cm} \[y(t) = y_0 + \int\limits_{0}^{t} x(\tau)\,d\tau, \qquad \dot{y}(t) = x(t)\] \end{minipage} \end{center} Beispiel aus der Elektrotechnik: Kondensator \begin{minipage}{4cm} \quad \begin{picture}(75,60) \put(0,40){\vector(1,0){20}} \put(2,46){$i(t)$} \multiput(25,0)(0,40){2}{\circle{2}} \multiput(26,0)(0,40){2}{\line(1,0){20}} \multiput(46,0)(0,22){2}{\line(0,1){18}} \qbezier(52,5)(62,20)(52,35) \put(52,5){\vector(-2,-3){0}} \put(60,16){$Q$} \thicklines \multiput(39,18)(0,4){2}{\line(1,0){14}} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{8cm} \[Q(t) = Q(0) + \int\limits_0^t i(\tau)\, d\tau, \qquad \dot{Q}(t) = i(t)\] \end{minipage} \bigskip Zusammenschaltung mit Elementarsystem (4.2.1): \begin{center} \begin{picture}(260,130) \put(2,7){$x_2(t)$} \put(29,10){\circle{2}} \put(30,10){\line(1,0){25}} \put(30,10){\vector(1,0){15}} \put(62.5,10){\circle{15}} \put(70,10){\line(1,0){178.5}} \put(70,10){\vector(1,0){89.5}} \put(62.5,17.5){\line(0,1){52.5}} \put(62.5,35){\vector(0,1){15}} \put(62.5,35){\vector(0,-1){15}} \put(62.5,35){\circle*{2}} \multiput(62.5,35)(0,35){2}{\line(1,0){22.5}} \multiput(0,0)(0,35){2}{ \multiput(85,22.5)(25,0){2}{\line(0,1){25}} \multiput(85,22.5)(0,25){2}{\line(1,0){25}} } \multiput(97.5,92.5)(25,0){2}{\line(0,1){25}} \multiput(97.5,92.5)(0,25){2}{\line(1,0){25}} \put(94,32){$\int$} \put(106.5,102){$\int$} \put(86.5,67){$(...)^2$} \put(2,102){$x_2(t)$} \put(29,105){\circle{2}} \put(30,105){\line(1,0){25}} \put(55,92.5){\line(0,1){25}} \put(55,92.5){\line(4,3){16.5}} \put(55,117.5){\line(4,-3){16.5}} \multiput(71.5,105)(51,0){2}{\vector(1,0){26}} \multiput(0,0)(50,0){2}{ \multiput(148.5,85)(25,0){2}{\line(0,1){25}} \multiput(148.5,85)(0,25){2}{\line(1,0){25}} } \put(173.5,97.5){\vector(1,0){25}} \put(223.5,97.5){\line(1,0){25}} \put(186,97.5){\line(0,-1){62.5}} \put(186,35){\vector(-1,0){76}} \put(186,97.5){\circle*{2}} \put(110,70){\line(1,0){138.5}} \put(110,70){\vector(1,0){53}} \put(135,70){\line(0,1){20}} \put(135,90){\vector(1,0){13.5}} \put(135,70){\circle*{2}} \put(156.5,95){$\times$} \put(200,95){$(...)^2$} \multiput(249.5,70)(0,27.5){2}{\circle{2}} \put(249.5,10){\circle{2}} \put(253,7){$y_3(t)$} \put(253,67){$y_2(t)$} \put(253,95.5){$y_1(t)$} \put(58.2,7){$+$} \put(58,102){$a$} \put(71,112){$\dot{z}_1(t)$} \put(126,112){$z_1(t)$} \put(120,40){$\dot{z}_2(t)$} \put(37,33){$z_2(t)$} \end{picture} \end{center} \begin{align*} \dot{z}_1(t) &= a \cdot x_1(t) & y_1(t) &= (z_1(t) \cdot {z_2}^2(t))^2 = {z_1}^2(t) \cdot {z_2}^4(t)\\ \dot{z_2}(t) &= z_1(t) \cdot {z_2}^2(t) & y_2(t) &= {z_2}^2(t)\\ && y_3(t) & = z_2(t) + x_2(t) \end{align*} $\Rightarrow$ nichtlineares gekoppeltes DGL-System 1. Ordnung. \smallskip Es sei: \begin{align*} x_1(t) &= t \hphantom{\sin \omega}\quad \text{für } t \geq 0 & z_1(0) &= 0\\ x_2(t) &= \sin \omega t \quad \text{für } t \geq 0 & z_2(0) &= -1 \end{align*} Lösung: \begin{align*} \dot{z}_1(t) &= a x_1(t) = a \cdot t\\ z_1(t) &= a \frac{t^2}{2} + c_1 &\text{mit } z_1(0) &= 0 \Rightarrow c_1 = 0\\ z_1(t) &= a\frac{t^2}{2}\\ \\ \dot{z}_2(t) &= z_1(t) \cdot {z_2}^2(t) = \frac{at^2}{2} \cdot {z_2}^2(t)\\ \frac{dz_2}{{z_2}^2} &= \frac{at^2}{2}\, dt\\ -\frac 1 {z_2} &= \frac{at^3}{6} + c_2 &\text{mit } z_2(0) &= -1 \Rightarrow c_2 = 1\\ z_2(t) &= \frac{-1}{\frac{at^3}{6}} = \frac{-6}{at^3 + 6} \end{align*} Einsetzen in Ergebnisfunktionen $y_1(t),\ y_2(t),\ y_3(t)$. Ggf. numerische Lösungsverfahren für komplizierte DGL-Systeme anwenden. \subsubsection*{Schema für Beispiel} \qquad \begin{picture}(150,55) \put(0,8){$x_2(t)$} \put(0,38){$x_1(t)$} \multiput(27,10)(0,30){2}{\circle{2}} \multiput(28,10)(0,30){2}{\line(1,0){24}} \multiput(52,0)(60,0){2}{\line(0,1){50}} \multiput(52,0)(0,50){2}{\line(1,0){60}} \multiput(112,10)(0,15){3}{\line(1,0){24}} \multiput(137,10)(0,15){3}{\circle{2}} \put(142,23){$y_2(t)$} \put(142,38){$y_3(t)$} \put(142,8){$y_1(t)$} \put(55.5,23){$z_1(t),\ z_2(t)$} \end{picture} \paragraph{Wichtigster Sonderfall:} Nichtlineares $RLC$-Netzwerk \begin{minipage}{8cm} \begin{picture}(200,90) \put(0,27){$u_1(t)\!\Big\downarrow$} \put(40,0){\line(0,1){60}} \put(40,30){\circle{20}} \put(40,0){\line(1,0){105}} \multiput(40,60)(32,0){2}{\line(1,0){28}} \thicklines \multiput(68,53)(4,0){2}{\line(0,1){14}} \thinlines \multiput(100,0)(0,60){2}{\circle*{2}} \multiput(100,0)(0,40){2}{\line(0,1){20}} \multiput(95,20)(10,0){2}{\line(0,1){20}} \multiput(95,20)(0,20){2}{\line(1,0){10}} \put(100,60){\line(1,0){45}} \multiput(145,0)(0,40){2}{\line(0,1){20}} \multiput(145,20)(0,5){4}{\qbezier(0,0)(5,0)(5,2.5)\qbezier(5,2.5)(5,5)(0,5)} \put(39,69){$i_C(t)$} \put(40,63){\vector(1,0){17}} \qbezier(55,55)(70,45)(85,55) \put(85,55){\vector(3,2){0}} \put(57,39){$u_C(t)$} \qbezier(105,15)(115,30)(105,45) \put(105,15){\vector(-2,-3){0}} \put(113,27){$u_R(t)$} \put(95,17){\vector(0,-1){14}} \put(68,9){$i_R(t)$} \qbezier(150,15)(160,30)(150,45) \put(150,15){\vector(-2,-3){0}} \put(158,27){$u_L(t)$} \put(114,63){\vector(1,0){17}} \put(113,69){$i_L(t)$} \end{picture} \bigskip Schema: \begin{picture}(150,55) \put(0,23){$x_1(t)$} \put(27,25){\circle{2}} \put(28,25){\line(1,0){24}} \multiput(52,0)(60,0){2}{\line(0,1){50}} \multiput(52,0)(0,50){2}{\line(1,0){60}} \multiput(112,10)(0,30){2}{\line(1,0){24}} \multiput(137,10)(0,30){2}{\circle{2}} \put(142,38){$y_2(t)$} \put(142,8){$y_1(t)$} \put(55.5,23){$z_1(t),\ z_2(t)$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{6cm} \begin{description} \item[Eingabe:]\quad\\ $u_1(t) \Leftrightarrow x(t)$ \item[Ausgabe:]\quad\\ $u_L(t) \Leftrightarrow y_1(t)$ $u_C(t) \Leftrightarrow y_2(t)$ \item[Zustände:]\quad\\ $\Phi(t) \Leftrightarrow z_1(t)$ \ (Magnetfluß) $Q(t) \Leftrightarrow z_2(t)$ \ (Ladung) \end{description} \end{minipage} \smallskip \begin{description} \item[Schaltelemente:]\quad\\ $\begin{array}{l@{\ }l@{\ }l} i_R(t) &= \varphi_R(u_R(t)) &= \frac{u(t)}{R}\\ u_C(t) &= \varphi_C(Q(t)) &= \frac{Q(t)}{C}\vphantom{\bigg|}\\ i_L(t) &= \varphi_L(\Phi(t)) &= \frac{\Phi(t)}{L}\\ u_L(t) &= \dot{\Phi}(t)\vphantom{\bigg|}\\ i_C(t) &= \dot{Q}(t) \end{array}$ \item[Maschengleichung:] \begin{align*} u_1(t) &= u_C(t) + u_L(t) &&&&&&\\ % :-) &= \varphi_C(Q(t)) + \dot{\Phi}(t) \end{align*} \item[Knotengleichung:] \begin{align*} i_C(t) &= i_R(t) + i_L(t) &&&&\\ % :-) &= \varphi_R(u_R(t)) + \varphi_2(\Phi(t)) = \dot{Q}(t) \end{align*} \item[Zustandsgleichungen:] \begin{align*} \dot{\Phi}(t) &= u_1(t) - \varphi_C(Q(t)) &&&&\\ \\ \dot{Q}(t) &= \varphi_L(\Phi(t)) + \varphi_R(u_R(t)) \\ &= \varphi_L(\Phi(t)) + \varphi_R(u_1(t) - \varphi_C(Q(t))) \\ \\ u_L(t) &= u_1(t) - \varphi_C(Q(t))\\ u_C(t) &= \varphi_C(Q(t)) \end{align*} \item[allgemein:] \begin{align*} \dot{z}_1(t) &= f_1(z_1(t),\,z_2(t),\,x(t)) &&&&&\\ \dot{z}_2(t) &= f_2(z_1(t),\,z_2(t),\,x(t)) \\ y_1(t) &= g_1(z_1(t),\,z_2(t),\,x(t)) \\ y_12t) &= g_2(z_1(t),\,z_2(t),\,x(t)) \end{align*} \end{description} \subsubsection*{Verallgemeinerung} \begin{center} \begin{picture}(260,85) \put(3,40){$x(t)\left\{\!\!\begin{array}{c}x_1(t)\\x_2(t)\\\vdots\\x_l(t)\end{array}\right.$} \put(198,40){$\left.\begin{array}{c}y_1(t)\\y_2(t)\\\vdots\\y_m(t)\end{array}\!\!\right\} y(t)$} \put(26,0){ \multiput(0,0)(130,0){2}{\put(40,19){\circle{2}} \multiput(40,52)(0,13){2}{\circle{2}}} \multiput(0,0)(109,0){2}{ \multiput(41,52)(0,13){2}{\line(1,0){19}} \put(41,19){\line(1,0){19}}} \multiput(60,10)(90,0){2}{\line(0,1){64}} \multiput(60,10)(0,64){2}{\line(1,0){90}} \multiput(45,30.3)(116,0){2}{$\vdots$} \put(68,45){$\underbrace{z_1(t),\, \ldots ,\, z_n(t)}_{\displaystyle z(t)}$}} \end{picture} \end{center} $\displaystyle \dot{z}(t) = \left\{\begin{array}{c@{\ }c} \dot{z}_1(t) &= f_1(z_1(t),\, \ldots ,\, z_n(t),\, x_1(t),\, \ldots , \, x_l(t))\\ \vdots & \vdots \\ \dot{z}_n(t) &= f_n(z_1(t),\, \ldots ,\, z_n(t),\, x_1(t),\, \ldots , \, x_l(t)) \end{array}\right.$ \vspace{0.5cm} $\displaystyle y(t) = \left\{\begin{array}{c@{\ }c} y_1(t) &= g_1(z_1(t),\, \ldots ,\, z_n(t),\, x_1(t),\, \ldots , \, x_l(t))\\ \vdots & \vdots \\ y_m(t) &= g_m(z_1(t),\, \ldots ,\, z_n(t),\, x_1(t),\, \ldots , \, x_l(t)) \end{array}\right.$ \bigskip Kurzform: \begin{minipage}{6cm} \[\boxed{\quad \begin{array}{c@{\ }c} \dot{z}(t) &= f(z(t),\,x(t))\\ y(t) &= g(z(t),\,x(t)) \end{array} \quad}\] \end{minipage} \begin{minipage}{9.8cm} \bigskip \center Grundgleichung des zeitkontinuierlichen dyn. Systems \bigskip $f$: Übertragungsfunktion \qquad $g$: Ergebnisfunktion \end{minipage} \subsubsection*{Definitionen:} \begin{enumerate} \item Die Menge $Z = \mathbb R^n$ heißt \emph{Zustandsalphabet} (auch \emph{Zustandsraum}). \[z(t) = \left(\begin{array}{c}z_1(t)\\\vdots \\ z_n(t)\end{array}\right) \in Z, \qquad (z_i(t) \in \mathbb R,\ i = 1,\,\ldots,\, n)\] \item $z(t)$ heißt \emph{Zustand} des Systems zum Zeitpunkt $t$. $z(0)$ heißt \emph{Anfangszustand} des Systems. \item Die Abbildung $z:T\to Z\ (Z = \mathbb R^n)$ heißt $n$-dimensionales \emph{Zustandssignal} (oder \emph{Zustandstrajektorie}). \begin{center} \begin{picture}(230,105) \put(0,52){\vector(1,0){230}} \put(90,3){\line(0,1){100}} \put(222,43){$t$} \qbezier(10,25)(30,40)(55,20) \qbezier(55,20)(65,15)(80,80) \qbezier(80,80)(82,90)(110,85) \qbezier(110,85)(120,84)(125,50) \qbezier(125,50)(132,25)(170,25) \qbezier(10,55)(30,80)(50,80) \qbezier(50,80)(70,80)(100,60) \qbezier(100,60)(115,50)(170,70) \qbezier(10,35)(19,35)(45,22) \qbezier(45,22)(55,15)(80,40) \qbezier(80,40)(110,66)(170,58) \put(170,45){$\left.\begin{array}{c}z_1\\z_2\\\vdots\\z_n\end{array}\right\} z$} \put(80,44){$t$} \put(90,47){\circle*{2}} \put(93,40){$z_2(t)$} \put(90,66.2){\circle*{2}} \put(93,67){$z_1(t)$} \put(90,86.3){\circle*{2}} \put(93,89){$z_l(t)$} \end{picture} \quad \begin{picture}(150,100) \put(75,30){\vector(0,1){60}} \put(75,30){\vector(1,0){60}} \put(75,30){\vector(-2,-1){40}} \put(24,5){$z_1$} \put(72,94){$z_3$} \put(138,27){$z_2$} \qbezier(35,50)(47,50)(55,40) \qbezier(55,40)(80,0)(90,40) \qbezier(90,40)(92,50)(85,60) \qbezier(85,60)(82,63)(86,65) \qbezier(86,65)(100,66)(110,64) \put(110,63.7){\vector(4,-1){0}} \put(35,50){\circle*{2}} \put(15,47){$z(0)$} \qbezier(67,17)(76,13)(85,17) \put(85,17){\vector(2,1){0}} \put(75,5){$t$} \put(90.5,44){\circle*{2}} \put(93,41){$z(t)$} \put(82,41){$t$} \end{picture} \end{center} \item Die Mengen $X = \mathbb R^l$ (Eingabealphabet), $Y = \mathbb R^m$ (Ausgabealphabet) und $Z = \mathbb R^n$ (Zustandsalphabet) sowie die Überführungsfunktion \[f: Z \times X \to Z, \ f(z(t),x(t)) = \dot{z}(t)\] und die Ergebnisfunktion \[g: Z \times X \to Y, \ g(z(t),x(t)) = y(t)\] bilden ein abstraktes zeitkontinuierliches dynamisches System, in Zeichen $(X,\,Y,\,Z,\,f,\,g)$. \end{enumerate} \subsubsection{Lineares zeitkontinuierliches System 1. Ordnung} \[\left.\begin{array}{l@{\qquad}l} \dot z(t) = a \cdot z(t) + b \cdot x(t) & \text{Überführungsfunktion}\\ y(t) = c \cdot z(t) + d \cdot x(t) & \text{Ergebnisfunktion} \end{array}\right\} \text{ Zustandsgleichungen}\] ($f$ und $g$ sind jetzt lineare Funktionen) \subsubsection*{Schaltung} \begin{center} \begin{picture}(285,100) \put(29,60){\circle{2}} \put(30,60){\line(1,0){30}} \put(60,47.5){\line(0,1){25}} \put(60,47.5){\line(4,3){16.5}} \put(60,72.5){\line(4,-3){16.5}} \put(76.5,60){\vector(1,0){18.5}} \put(102.5,60){\circle{15}} \put(110,60){\line(1,0){30}} \multiput(140,47.5)(25,0){2}{\line(0,1){25}} \multiput(140,47.5)(0,25){2}{\line(1,0){25}} \put(149,57){$\int$} \put(165,60){\line(1,0){30}} \put(195,47.5){\line(0,1){25}} \put(195,47.5){\line(4,3){16.5}} \put(195,72.5){\line(4,-3){16.5}} \put(211.5,60){\vector(1,0){18.5}} \put(237.5,60){\circle{15}} \put(245,60){\line(1,0){19}} \put(265,60){\circle{2}} \put(45,60){\circle*{2}} \put(45,25){\line(0,1){35}} \put(45,25){\line(1,0){99}} \put(144,12.5){\line(0,1){25}} \put(144,12.5){\line(4,3){16.5}} \put(144,37.5){\line(4,-3){16.5}} \put(160.5,25){\line(1,0){77}} \put(237.5,25){\vector(0,1){27.5}} \put(180,60){\circle*{2}} \put(180,60){\line(0,1){35}} \put(180,95){\line(-1,0){19.5}} \put(160.5,82.5){\line(0,1){25}} \put(160.5,82.5){\line(-4,3){16.5}} \put(160.5,107.5){\line(-4,-3){16.5}} \put(144,95){\line(-1,0){41.5}} \put(102.5,95){\vector(0,-1){27.5}} \put(6,57){$x(t)$} \put(63,57){$b$} \put(98,57){$\times$} \put(198,57){$c$} \put(233,57){$\times$} \put(147,22){$d$} \put(152,92){$a$} \put(269,57){$y(t)$} \put(115,48){$\dot z(t)$} \put(171,48){$z(t)$} \end{picture} \end{center} \begin{description} \item[gegeben:] $x(t)$ für $t \geq 0$, $z(0)$ \item[gesucht:] $y(t)$ für $t \geq 0$ \end{description} \paragraph{Lösung:} $\dot z(t) - a \cdot z(t) = b \cdot x(t)$ \qquad lineare DGL (inhomogen) 1. Ordnung \begin{align*} z(t) &= z(0) \cdot e^{a\cdot t} + \int\limits_0^t b\cdot e^{a(t-\tau)} x(\tau)\,d\tau\\ y(t) &= \underbrace{\vphantom{\int\limits_0^t}c\cdot z(0) \cdot e^{a\cdot t}}_{\text{freie Ausgabe}} + \underbrace{\int\limits_0^t b \cdot c \cdot e^{a\cdot(t-\tau)} \cdot x(\tau) \, d\tau + d \cdot x(t)}_{\text{erzwungene Ausgabe}} \end{align*} \subsubsection{Nichtlineares zeitkontinuierliches System 1. Ordnung} \subsubsection*{Beispiel:} \begin{minipage}{7cm} \qquad \begin{picture}(120,80) \put(0,27){$u(t)\Big\downarrow$} \put(35,0){\line(0,1){60}} \put(35,30){\circle{20}} \multiput(35,60)(40,0){2}{\line(1,0){20}} \multiput(55,55)(0,10){2}{\line(1,0){20}} \multiput(55,55)(20,0){2}{\line(0,1){10}} \put(35,0){\line(1,0){60}} \multiput(95,0)(0,32){2}{\line(0,1){28}} \thicklines \multiput(88,28)(0,4){2}{\line(1,0){14}} \thinlines \put(60,45){$R$} \put(76,27){$C$} \qbezier(50,67)(65,77)(80,67) \put(80,67){\vector(3,-2){0}} \put(53.5,76){$u_R(t)$} \qbezier(100,45)(110,30)(100,15) \put(100,15){\vector(-2,-3){0}} \put(108,27){$u_C(t)$} \put(75,5){\vector(-1,0){20}} \put(58,10){$i(t)$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{8cm} \begin{description} \item[Zuordnungen:]\quad\\ $\begin{array}{lll} u(t) & \Leftrightarrow & x(t)\\ i(t) & \Leftrightarrow & y(t)\\ u_C(t) & \Leftrightarrow & z(t) \end{array}$ \end{description} \end{minipage} \bigskip \begin{description} \item[nichtlinearer Widerstand:] $i_R(t) = \alpha \cdot {u_R}^3(t)$ \quad (Varistor-Typ) \item[linearer Kapazivität:] $u_C(t) = \frac 1 C \cdot Q(t)$, $\dot u_C(t) = \frac 1 C \cdot \dot Q(t) = \frac 1 C \cdot i(t)$ \item[Maschengleichung:] $u(t) = u_R(t) + u_C(t)$ \item[Knotengleichung:] $i(t) = i_R(t) = i_R(t)$ \item[Zustandsgleichungen:] $\dot u_C(t) = \frac 1 C \cdot i_R(t) = \frac 1 C \cdot \alpha \cdot {u_R}^3(t)$ \begin{align*} \dot u_C(t) &= \frac{\alpha }{C} \cdot \left[u(t) - u_C(t)\right]^3 \hspace{1.6cm}\Leftrightarrow & \dot z(t) &= f[z(t),\, x(t)]\\ i(t) &= \alpha \cdot [u(t) - u_C(t)]^3 \hspace{1.75cm}\Leftrightarrow & y(t) &= g[z(t),\, x(t)] \end{align*} \begin{minipage}{4.5cm} \begin{picture}(120,80) \put(30,10){\vector(0,1){70}} \put(5,15){\vector(1,0){110}} \put(29,45){\line(1,0){2}} \thicklines \put(10,15){\line(1,0){20}} \put(30,30){\circle*{2}} \put(30,45){\line(1,0){65}} \put(10,70){$u(t)$} \put(15,42){$U_0$} \put(106,5){$t$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{4cm} \[u(t) = U_0 \cdot \mathbbm 1(t)\] \bigskip \end{minipage} \item[Lösung für $t \geq 0$:] \quad $\displaystyle \frac{du_C(t)}{dt} = \frac{\alpha}{C} \left[U_0 - u_C(t)\right]^3$ \quad Lösung durch Trennung der Veränderlichen \begin{minipage}{9cm} \begin{align*} u_C(t) &= U_0 \left(1 - \sqrt{\frac{C}{2\alpha \cdot {U_0}^2 \cdot t + C}}\right)\\ i_C(t) &= C \cdot \frac{du_C(t)}{dt} = i(t) = \alpha \cdot \left(\frac{C \cdot {U_0}^2}{2\alpha \cdot {U_0}^2 \cdot t + C}\right)^{\frac 3 2} \end{align*} \end{minipage} \begin{minipage}{5cm} \flushright \begin{picture}(120,100) \put(30,10){\vector(0,1){70}} \put(5,15){\vector(1,0){110}} \thicklines \put(10,15){\line(1,0){20}} \put(30,15){\line(0,1){45}} \qbezier(30,60)(40,25)(95,20) \put(11,70){$i(t)$} \put(106,5){$t$} \end{picture} \end{minipage} \end{description} \section{Lineare Systeme} \subsection{Signalbeschreibung im Bildbereich (Fourier-Transformation)} \subsubsection{Die komplexe Fourier-Reihe} \begin{center} \begin{picture}(400,115) \put(0,20){\vector(1,0){400}} \put(60,15){\vector(0,1){90}} \multiput(20,19)(80,0){5}{\line(0,1){2}} \multiput(100,55)(80,0){3}{\circle*{1}} \put(5,05){$-\frac{T_0}{2}$} \put(95,05){$\frac{T_0}{2}$} \put(172,05){$\frac{3T_0}{2}$} \put(252,05){$\frac{5T_0}{2}$} \put(332,05){$\frac{7T_0}{2}$} \put(392,10){$t$} \put(38,093){$x(t)$} \multiput(20,40)(80,0){4}{\qbezier(0,0)(30,0)(40,15)\qbezier(40,15)(50,30)(80,30)} \put(270,95){$\omega_0 = \frac{2\pi}{T_0} \quad$ Grundfrequenz} \end{picture} \end{center} \paragraph{Satz:} Für jedes mit $T_0$ periodische stückweise glatte Signal $x$ gilt: \[\boxed{\quad x(t) = \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty} c(\omega_k) \cdot e^{j\omega_k t}\quad} \quad (\omega_k = k \cdot \omega_0)\] wobei \[\boxed{\quad c(\omega_k) = \frac 1 {T_0} \int\limits_{-\frac{T_0}2}^{\frac{T_0}2} x(t) \cdot e^{-j\omega_k t}\,dt\quad}\qquad \text{komplexer Fourier-Koeffizient}\] \paragraph{Beweisskizze:} \begin{align*} c(\omega_n) &= \frac{1}{T_0} \int\limits_{-\frac{T_0}2}^{\frac{T_0}{2}} x(t) \cdot e^{-j\omega_n t}\,dt && \text{Einsetzen von } x(t)\\ &= \frac 1{T_0} \int\limits_{-\frac{T_0}2}^{\frac{T_0}{2}} \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty} c(\omega_k) \cdot e^{j\omega_k t} \cdot e^{-j\omega_n t}\,dt && \omega_k = k \cdot \omega_0,\ \omega_n = n \cdot \omega_0\\ &= \frac{1}{T_0} \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty} c(\omega_k) \cdot \int\limits_{-\frac{T_0}2}^{\frac{T_0}{2}} e^{j(k-n)\omega_0 t}\,dt && \text{Integral verschwindet, außer für }k=n\\ &= \frac{1}{T_0} \cdot c(\omega_0) \cdot \int\limits_{-\frac{T_0}2}^{\frac{T_0}{2}} 1\,dt \end{align*} \paragraph{Komplexe Fourier-Koeffizienten:} $c(\omega_k) = c_k$ \smallskip Die Folge $c = (\ldots ,\, c_{-2},\, c_{-1},\, c_0,\, c_1,\, c_2,\, \ldots)$ heißt \emph{komplexes diskretes Fourier-Spektrum} des periodischen Signals. \subsubsection*{Eigenschaften der Koeffizienten $c_k$:} \begin{enumerate} \item $c_{-k} = \overline{c_k} = {c_k}^*$ \bigskip $z + z^* = 2 \cdot \mathrm{Re}\,(z),\ c_k = |c_k| \cdot e^{j\arg c_k} $ \[x(t) = \sum\limits_{k = - \infty}^{\infty} c_k \cdot e^{j\omega_k t} = c_0 + \sum\limits_{k=1}^{\infty} 2\,\mathrm{Re}\,(c_k \cdot e^{j\omega_k t})\] \[\boxed{\quad x(t) = c_0 + 2\cdot \sum\limits_{k=1}^{\infty} |c_k| \cdot \cos (\omega_k \cdot t + \arg c_k)\quad } \qquad \text{reelle Fourierreihe}\] \subsubsection*{Graphische Darstellung} \begin{minipage}{210pt} \centering Amplitudenspektrum \begin{picture}(210,110) \put(0,13){\vector(1,0){205}} \put(95,30){\vector(0,1){70}} \multiput(15,12)(20,0){9}{\line(0,1){2}} \put(15,4){\makebox(0,0){$\cdots$}} \put(35,4){\makebox(0,0){$-3$}} \put(55,4){\makebox(0,0){$-2$}} \put(75,4){\makebox(0,0){$-1$}} \put(95,4){\makebox(0,0){$0$}} \put(115,4){\makebox(0,0){$1$}} \put(135,4){\makebox(0,0){$2$}} \put(155,4){\makebox(0,0){$3$}} \put(175,4){\makebox(0,0){$\cdots$}} \put(195,4){\makebox(0,0){$k$}} \put(0,35){\vector(1,0){205}} \multiput(15,34)(20,0){9}{\line(0,1){2}} \put(15,26){\makebox(0,0){$\cdots$}} \put(35,26){\makebox(0,0){$\omega_{\raisebox{0.3pt}{\text-}3}$}} % - zu lang :-/ \put(55,26){\makebox(0,0){$\omega_{\raisebox{0.3pt}{\text-}2}$}} \put(75,26){\makebox(0,0){$\omega_{\raisebox{0.3pt}{\text-}1}$}} \put(95,26){\makebox(0,0){$\omega_{0}$}} \put(115,26){\makebox(0,0){$\omega_{1}$}} \put(135,26){\makebox(0,0){$\omega_{2}$}} \put(155,26){\makebox(0,0){$\omega_{3}$}} \put(175,26){\makebox(0,0){$\cdots$}} \put(195,26){\makebox(0,0){$\omega$}} \put(91,92){\makebox(0,0)[r]{$|c_k|$}} \thicklines \multiput(35,35)(120,0){2}{\line(0,1){20}} \multiput(55,35)(80,0){2}{\line(0,1){15}} \multiput(75,35)(40,0){2}{\line(0,1){35}} \put(95,35){\line(0,1){10}} \end{picture} \bigskip gerade Funktion, da $|c_k| = |c_{-k}| = |{c_k}^*|$ \end{minipage} \hfill \begin{minipage}{210pt} \centering Phasenspektrum \begin{picture}(210,110) \put(0,50){\vector(1,0){205}} \put(95,00){\vector(0,1){100}} \multiput(15,49)(20,0){9}{\line(0,1){2}} \put(15,41){\makebox(0,0){$\cdots$}} \put(35,41){\makebox(0,0){$-3$}} \put(55,41){\makebox(0,0){$-2$}} \put(75,41){\makebox(0,0){$-1$}} \put(95,41){\makebox(0,0){$0$}} \put(115,41){\makebox(0,0){$1$}} \put(135,41){\makebox(0,0){$2$}} \put(155,41){\makebox(0,0){$3$}} \put(175,41){\makebox(0,0){$\cdots$}} \put(195,41){\makebox(0,0){$k$}} \thicklines \put(35,50){\line(0,1){34}} \put(155,50){\line(0,-1){34}} \put(55,50){\line(0,-1){10}} \put(125,50){\line(0,1){10}} \put(75,50){\line(0,1){25}} \put(115,50){\line(0,-1){25}} \put(95,50){\line(0,1){10}} \put(91,92){\makebox(0,0)[r]{$\arg c_k$}} \end{picture} \bigskip ungerade Funktion, da $\arg c_{k} = - \arg c_{-k} = - \arg {c_{k}}^*$ \end{minipage} \item $\displaystyle \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty}|c_k|^2 = \int\limits_{-\frac{T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}} x^2(t) \, dt$ \qquad \textsc{Parseval}sche Formel (Leistungsbilanz) \item $|c_k| \to 0$ \quad für \quad $k \to \infty$ \end{enumerate} \subsubsection{Fourier-Integral} Aperiodische Signale $\to$ Ansatz: Fourier-Reihe mit $T_0 \to \infty$ \paragraph{Definition:} Signalraum ${X_0}^*$: Es gilt $x \in {X_0}^*$, falls \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})} \setlength{\itemsep}{0ex} \item $x$ ist stückweise glatt \item $x$ ist absolut integrierbar, d.h. $\int\limits_0^{\infty} |x(t)|\,dt < \infty$ \end{enumerate} \paragraph{Satz:} Für jedes Element $x \in {X_0}^*$ gilt die Darstellung \[\boxed{\quad x(t) = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\infty}^{\infty} X(\omega) \cdot e^{j\omega t}\,d\omega \quad},\quad \text{wobei} \quad \boxed{\quad X(\omega) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} x(t) \cdot e^{-j\omega t}\,dt\quad}\] $X$ heißt kompexes (kontinuierliches) Fourier-Spektrum des Signals $x$. \subsubsection*{Eigenschaften} \begin{enumerate} \item $X(-\omega) = X^*(\omega)$ \bigskip \begin{minipage}{210pt} \centering Amplitudendichtespektrum \begin{picture}(210,110) \put(91,92){\makebox(0,0)[r]{$|X(\omega)|$}} \put(0,15){\vector(1,0){190}} \put(95,10){\vector(0,1){90}} \put(182,8){\makebox(0,0){$\omega$}} \qbezier(15,15)(40,15)(65,37) \qbezier(175,15)(150,15)(125,37) \qbezier(65,37)(85,55)(95,55) \qbezier(125,37)(105,55)(95,55) \end{picture} \end{minipage} \hfill \begin{minipage}{210pt} \centering Phasenspektrum \begin{picture}(210,110) \put(91,92){\makebox(0,0)[r]{$\arg X(\omega)$}} \put(0,50){\vector(1,0){190}} \put(95,00){\vector(0,1){100}} \put(182,42){\makebox(0,0){$\omega$}} \qbezier(15,15)(60,15)(95,50) \qbezier(95,50)(130,85)(175,85) \end{picture} \end{minipage} \item $\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{\infty} x^2(t) \, dt = \frac 1 {2\pi} \int\limits_{-\infty}^{\infty}\left(X(\omega)\right)^2 \, d\omega$ \qquad \textsc{Parseval}sche Formel (Leistungsbilanz) \item $|X(\omega)| \to 0$ \quad für \quad $\omega \to \infty$ \end{enumerate} \paragraph{Beispiele:} Korrespondenztabelle S.~55 \smallskip Erster Eintrag: \textsc{Dirac}-Impuls \[X(\omega) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} \delta(t) \cdot e^{-j\omega t}\,dt = 1\] \subsubsection{Fourier-Transformation} \begin{center} \begin{picture}(260,70) \put(-5,62){${X_0}^*$} \put(200,62){${X_0}^{**}$} \multiput(30,40)(150,0){2}{\oval(60,40)} \put(35,42){\circle*{3}} \put(23,39){$x$} \put(175,42){\circle*{3}} \put(178,39){$y$} \qbezier(35,42)(105,65)(174,42) \qbezier(35,42)(105,19)(174,42) \put(174,42){\vector(3,-1){0}} \put(36,42){\vector(-3,1){0}} \put(105,63){\makebox(0,0){Fourier-Integral}} \put(105,15){\makebox(0,0){Fourier-Umkehrintegral}} \put(30,32){\makebox(0,0){\scriptsize Original-}} \put(30,26){\makebox(0,0){\scriptsize signal}} \put(180,32){\makebox(0,0){\scriptsize Bild-}} \put(180,26){\makebox(0,0){\scriptsize funktion}} \put(0,10){\makebox(0,0){Originalbereich}} \put(210,10){\makebox(0,0){Bildbereich}} \end{picture} \end{center} \begin{description} \item[Zusammenfassung:] Zu jedem $x \in {X_0}^*$ existiert eine bijektive Abbildung mit den Zuordnungen \[x \longmapsto X \qquad X \longmapsto x\] Diese Abbildung heißt Fouriertransformation bzw. Fourierrücktransformation. \item[Schreibweise:] $\mathcal F\{x(t)\} = X(\omega)$, \quad $\mathcal F^{-1}\{X(\omega)\} = x(t)$ \begin{empheq}[innerbox=\fbox]{align*} X(\omega) &= \phantom{\frac 1 {2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty} x(t)\cdot e^{-j\omega t}\,dt\,\, = \int\limits_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j2\pi f t}\,dt\\ x(t) &= \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\infty}^{\infty} X(\omega)\cdot e^{j\omega t}\,d\omega = \int\limits_{-\infty}^{\infty} X(f) e^{j2\pi f t}\,df \end{empheq} \end{description} \subsubsection{Rechenregeln der Fourier-Transformation} $\to$ Heft S.~54 \begin{enumerate} \item $\mathcal F \{\alpha \cdot x_1(t) + \beta \cdot x_2(t)\} = \alpha \cdot \mathcal F \{x_1(t)\} + \beta \cdot \mathcal F \{x_2(t)\} = \alpha \cdot X_1(\omega) + \beta \cdot X_2(\omega)$ (Linearkombination) \item Verschiebungssatz \begin{minipage}{210pt} \centering \begin{picture}(210,80) \put(91,72){\makebox(0,0)[r]{$x(t)$}} \put(0,15){\vector(1,0){190}} \put(95,10){\vector(0,1){70}} \put(182,8){\makebox(0,0){$t$}} \qbezier(15,15)(40,15)(65,37) \qbezier(175,15)(150,15)(125,37) \qbezier(65,37)(85,55)(95,55) \qbezier(125,37)(105,55)(95,55) \end{picture} \end{minipage} \hfill \begin{minipage}{210pt} \centering \begin{picture}(210,80) \put(40,72){\makebox(0,0)[r]{$x(t-\tau)$}} \put(0,15){\vector(1,0){190}} \put(44,10){\vector(0,1){70}} \put(182,8){\makebox(0,0){$t$}} \qbezier(15,15)(40,15)(65,37) \qbezier(175,15)(150,15)(125,37) \qbezier(65,37)(85,55)(95,55) \qbezier(125,37)(105,55)(95,55) \put(95,14){\line(0,1){2}} \put(95,8){\makebox(0,0){$\tau$}} \end{picture} \end{minipage} $\mathcal F\{x(t)\}$ bekannt, $\mathcal F\{x(t-\tau)\}$ gesucht \begin{align*} \mathcal F\{x(t-\tau)\} &= \int\limits_{-\infty}^{\infty} x(\underbrace{t-\tau}_{t'}) \cdot \underbrace{e^{-j\omega t}}_{e^{-j\omega (t'+\tau)}} \, \underbrace{dt}_{dt'} && t - \tau = t',\ t = t' + \tau\\ &= e^{-j\omega \tau} \int\limits_{-\infty}^{\infty}x(t') \cdot e^{-j\omega t'}\,dt'\\ & = e^{-j\omega \tau} \cdot \mathcal F\{x(t)\} && e^{-j\omega \tau}: \text{Verschiebungsfaktor} \end{align*} \setcounter{enumi}{4} \item Differentiationsregel: $\mathcal F\{\dot x(t)\} = j\omega \mathcal F\{x(t)\} = j\omega X(\omega)$ \setcounter{enumi}{6} \item Faltungssatz: $\mathcal F\{(x_1 * x2)(t)\} = \mathcal F\left\{\int\limits_{-\infty}^{\infty} x_1(\tau) x_2(t-\tau)\,d\tau\right\} = X_1(\omega) \cdot X_2(\omega)$ \end{enumerate} \subsection{Signalbeschreibung im Bildbereich (Laplace-Transformation)} \subsubsection{Laplace-Integral} Nachteil der Fourier-Transformation: konvergiert für wichtige Signale nicht, z.B. \begin{itemize} \setlength{\itemsep}{0ex} \item Sprungfunktion ($\mathbbm 1(t)$) \item periodische Funktionen \end{itemize} \begin{description} \item[Ansatz:] $(\sigma > 0,\ s = \sigma + j\omega \text{: komplexe Frequenz})$ \[\mathcal F\{\underbrace{x(t) \cdot e^{-\sigma t} \cdot \mathbbm 1(t)}_{\in {X_0}^*}\} = \int\limits_{0}^{\infty} x(t) \cdot e^{-(\sigma + j \omega)t} = X(\underbrace{\sigma + j\omega}_{s})\] \item[Definition:] Signalraum ${X_{\gamma}}^*$ Es gilt: $x \in {X_{\gamma}}^*$, falls \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})} \item $x$ ist stückweise glatt \item für $t < 0$ ist $x(t) = 0$ \quad ("`kausale Signale"') \item für $t \geq 0$ gilt $|x(t)| < M \cdot e^{\gamma t} \ \ (0 < M < \infty,\ \gamma < \infty)$ \end{enumerate} \item[Veranschaulichung:]\hspace*{\fill}\\ \begin{picture}(150,170) \put(0,75){\vector(1,0){150}} \put(30,0){\vector(0,1){150}} \thicklines \put(5,75){\line(1,0){25}} \qbezier(30,90)(40,80)(50,100) \qbezier(50,50)(80,60)(120,100) \thinlines \multiput(50,50)(0,4){13}{\line(0,1){2}} \put(119,88){$x$} \put(141,65){$t$} \qbezier(5,98)(80,98)(110,150) \qbezier(5,52)(80,52)(110,0) \put(124,135){\makebox(0,0){$M \cdot e^{\gamma t}$}} \put(124,15){\makebox(0,0){$-M \cdot e^{\gamma t}$}} \put(28,140){\makebox(0,0)[r]{$x(t)$}} \end{picture} \qquad \begin{picture}(170,170) \put(0,75){\vector(1,0){170}} \put(50,0){\vector(0,1){150}} \put(47,143){\makebox(0,0)[r]{$\mathrm{Im}\,s = \omega$}} \put(69,72){\makebox(0,0)[tc]{$\gamma$}} \multiput(70,0)(0,4){16}{\line(0,1){2}} \multiput(70,74)(0,4){19}{\line(0,1){2}} \put(80,0){\line(0,1){62}} \put(80,0){\vector(0,1){22}} \put(80,72){\makebox(0,0)[tc]{$\delta$}} \put(80,74){\line(0,1){76}} \put(110,110){\circle*{2}} \put(113,113){$s$} \multiput(110,74)(0,4){9}{\line(0,1){2}} \multiput(49,110)(4,0){15}{\line(1,0){2}} \put(110,72){\makebox(0,0)[tc]{$\sigma$}} \put(47,110){\makebox(0,0)[r]{$\omega$}} \put(167,72){\makebox(0,0)[rt]{$\mathrm{Re}\,s = \sigma$}} \multiput(70,0)(10,0){5}{\line(1,1){60}} \put(120,0){\line(1,1){50}} \put(130,0){\line(1,1){40}} \put(140,0){\line(1,1){30}} \put(150,0){\line(1,1){20}} \put(160,0){\line(1,1){10}} \multiput(70,10)(0,10){2}{\line(1,1){55}} \put(70,30){\line(1,1){35}} \multiput(70,40)(0,10){2}{\line(1,1){100}} \put(115,75){\line(1,1){55}} \put(125,75){\line(1,1){45}} \put(135,75){\line(1,1){35}} \put(145,75){\line(1,1){25}} \put(155,75){\line(1,1){15}} \put(70,140){\line(1,1){10}} \put(70,130){\line(1,1){20}} \put(70,120){\line(1,1){30}} \put(70,110){\line(1,1){40}} \put(70,100){\line(1,1){50}} \put(70,90){\line(1,1){60}} \put(70,80){\line(1,1){70}} \put(75,75){\line(1,1){35}} \put(120,120){\line(1,1){30}} \put(85,75){\line(1,1){75}} \put(70,-10){\footnotesize Konvergenzhalbebene $\mathbb C_{\gamma}$} \end{picture} \bigskip \[\boxed{\quad X(s) = \int\limits_{0}^{\infty} x(t) \cdot e^{-st}\,dt \quad} \qquad \text{Laplace-Integral}\] \item[Satz:] Für jedes Integral $x \in X^*_{\gamma}$ gilt die Darstellung \[\boxed{\quad x(t) = \frac{1}{2\pi j} \int\limits_{\delta-j\infty}^{\delta + j\infty} X(s) \cdot e^{st}\,ds\quad} \qquad \text{Laplace-Umkehrintegral}\] \item[Bemerkungen:] \end{description} \begin{enumerate} \item Das Laplace-Integral konvergiert für alle $s = \sigma + j \omega$, für die $\mathrm{Re}\,(s) = \sigma > \gamma$ gilt. \item $X(s)$ stellt im Inneren von $\mathbb C_{\gamma}$ (Konvergenzhalbebene) eine reguläre (analytische, holomorphe) Funktion der komplexen Variablen $s$ dar. \item Für das Umkehrintegral gilt: $\delta > \gamma$. \end{enumerate} \subsubsection*{Beispiele} \begin{enumerate} \item $x(t) = \mathbbm 1(t)$ \begin{minipage}{5cm} \begin{picture}(120,85) \put(0,15){\vector(1,0){120}} \put(40,10){\vector(0,1){70}} \put(38,55){\line(1,0){4}} \put(31,52){$1$} \put(110,5){$t$} \thicklines \put(5,15){\line(1,0){35}} \put(40,55){\line(1,0){50}} \put(40,35){\circle*{2}} \put(20,68){$x(t)$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{9.5cm} \begin{align*} X(s) &= \int\limits_{0}^{\infty} \underbrace{\mathbbm 1(t)}_{1} \cdot e^{-st}\,dt = \int\limits_{0}^{\infty} e^{-st}\,dt = \left.\frac{e^{-st}}{-s}\right|_0^{\infty} \\ &= 0 -\frac{e^{0}}{-s} = \frac 1 s \qquad \text{für } \mathrm{Re}\,(s) = \sigma > 0 \end{align*} \end{minipage} \item $x(t) = t \cdot \mathbbm 1(t)$ \begin{minipage}{5cm} \begin{picture}(120,80) \put(0,15){\vector(1,0){120}} \put(40,10){\vector(0,1){70}} \thicklines \put(5,15){\line(1,0){35}} \put(40,15){\line(1,1){45}} \put(20,68){$x(t)$} \put(110,5){$t$} \thinlines \multiput(70,14)(0,4){8}{\line(0,1){2}} \multiput(39,45)(4,0){8}{\line(1,0){2}} \put(37,45){\makebox(0,0)[r]{1}} \put(70,5){\makebox(0,0)[b]{1}} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{9cm} \begin{align*} X(s) &= \int\limits_{0}^{\infty} t \cdot \underbrace{\mathbbm 1(t)}_{1} \cdot e^{-st}\,dt = \int\limits_{0}^{\infty} t \cdot e^{-st}\,dt = [\ldots] \\ &= \frac 1 {s^2} \qquad \text{für } \mathrm{Re}\,(s) = \sigma > 0 \end{align*} \end{minipage} \item $x(t) = e^{at} \cdot \mathbbm 1(t) \quad (a \in \mathbb R)$ \begin{minipage}{5cm} \begin{picture}(120,85) \put(0,15){\vector(1,0){120}} \put(40,10){\vector(0,1){70}} \put(39,25){\line(1,0){4}} \put(31,22){$1$} \put(110,5){$t$} \thicklines \qbezier(40,25)(70,25)(80,75) \put(5,15){\line(1,0){35}} \put(20,68){$x(t)$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{9.5cm} \begin{align*} X(s) &= \int\limits_0^{\infty} e^{at}\cdot e^{-st} \, dt = \int\limits_{0}^{\infty} e^{-(s-a)t}\,dt = \left.\frac{e^{-(s-a)t}}{-(s-a)}\right|_0^{\infty} \\ &= \frac 1 {s-a} \end{align*} Bedingung: $\mathrm{Re}\,(s-a) > 0,\ \mathrm{Re}\,(s) = \sigma > a$ \end{minipage} \end{enumerate} Korrespondenzen: Doetsch, Anleitung zum praktischen Gebrauch der Laplacetransformation, siehe auch Tabelle im Heft. \subsubsection{Laplace-Transformation} \begin{center} \begin{picture}(260,80) \put(-5,62){${X_{\gamma}}^*$} \put(200,62){${X_{\gamma}}^{**}$} \multiput(30,40)(150,0){2}{\oval(60,40)} \put(35,42){\circle*{3}} \put(23,39){$x$} \put(175,42){\circle*{3}} \put(178,39){$y$} \qbezier(35,42)(105,65)(174,42) \qbezier(35,42)(105,19)(174,42) \put(174,42){\vector(3,-1){0}} \put(36,42){\vector(-3,1){0}} \put(105,63){\makebox(0,0){Laplace-Transformation}} \put(105,15){\makebox(0,10){inverse Laplace-}} \put(105,15){\makebox(0,-12){Transformation}} \put(0,10){\makebox(0,0){Original-/Zeitbereich}} \put(210,10){\makebox(0,0){Bildbereich}} \end{picture} \end{center} Für alle Signale $x \in {X_{\gamma}}^*$ existiert eine bijektive Abbildung mit den Zuordnungen \[x \longmapsto X \qquad X \longmapsto x.\] Diese Abbildung heißt Laplace-Transformation bzw. inverse Laplace-Transformation. \begin{empheq}[innerbox=\fbox]{align*} \mathcal L(x(t)) &= X(s) = \int\limits_0^{\infty} x(t) \cdot e^{-st}\,dt\\ \mathcal L^{-1}(X(s)) &= x(t)\;\, = \frac{1}{2\pi j} \int\limits_{\delta - j\infty}^{\delta + j\infty} X(s) \cdot e^{-st}\,ds \end{empheq} \subsubsection{Rechenregeln} \begin{tabular}{c|p{4.5cm}|p{4.5cm}|p{4.5cm}} Nr. & $x(t)$ & $X(s)$ & Bemerkung \\ \hline \hline 1. & $\alpha x_1(t) + \beta x_2(t)$ & $\alpha X_1(s) + \beta X_2(s)$ & Linearität\\ \hline 2. & $x(t - \tau),\ (\tau > 0)$ & $e^{-s\tau} \cdot X(s)$ & Verschiebungssatz\\ & \begin{picture}(120,50) \put(10,7.5){\vector(1,0){40}} \put(15,2.5){\vector(0,1){40}} \put(0,32.5){$\scriptstyle x(t)$} \put(43,0){$\scriptstyle t$} \thicklines \put(12.5,7.5){\line(1,0){2.5}} \qbezier(15,30)(21,40)(31,20) \thinlines \put(60,7.5){\vector(1,0){45}} \put(65,2.5){\vector(0,1){40}} \put(50,32.5){$\scriptstyle x(t)$} \put(98,0){$\scriptstyle t$} \thicklines \put(62.5,7.5){\line(1,0){22.5}} \qbezier(85,30)(91,40)(101,20) \thinlines \put(85,6.5){\line(0,1){2}} \put(83,0){$\scriptstyle \tau$} \end{picture} & & \\ \hline 3. & $x(a \cdot t),\ (a > 0)$ & $\frac{1}{a} X\left(\frac s a\right) \vphantom{\Big|}$ & Ähnlichkeitssatz\\ & $a > 1$: Stauchung & & \\ & $a < 1$: Streckung & & \\ \hline 4. & $\dot{x}(t)$ & $s \cdot X(s) - x(+0)$ & Differentiationsregel\\ & \begin{picture}(100,60) \put(20,7.5){\vector(1,0){60}} \put(25,2.5){\vector(0,1){45}} \put(8,42){$\scriptstyle x(t)$} \put(73,0){$\scriptstyle t$} \put(0,25){$\scriptstyle x(+0)$} \put(24,27){\line(1,0){2}} \thicklines \put(22.5,7.5){\line(1,0){2.5}} \qbezier(25,27)(55,20)(56,35) \end{picture} & & \\ \hline \end{tabular} \begin{tabular}{c|p{4.5cm}|p{4.5cm}|p{4.5cm}} \hline 5. & $\int\limits_0^t x(\tau)\, d\tau$ & $X(s) \frac 1 s$ & Integrationsregel\\ \hline 6. & $x(t) \cdot e^{-at}$ & $X(s+a)$ & Dämpfungssatz\\ \hline 7. & $\int\limits_0^t x_1(\tau)x_2(t-\tau)\,d\tau $ & $X_1(s) \cdot X_2(s)$ & Faltungssatz \\ & \hfill $= (x_1 * x_2)(t)$ & & \\ \hline \end{tabular} \subsubsection*{Anwendungsbeispiele} 1. \begin{minipage}{5cm} \begin{picture}(120,80) \put(0,15){\vector(1,0){120}} \put(40,10){\vector(0,1){70}} \thicklines \put(5,15){\line(1,0){35}} \put(40,15){\line(1,1){30}} \put(70,45){\line(1,0){30}} \put(20,68){$x(t)$} \put(110,5){$t$} \thinlines \multiput(70,14)(0,4){8}{\line(0,1){2}} \multiput(39,45)(4,0){8}{\line(1,0){2}} \put(37,45){\makebox(0,0)[r]{$a$}} \put(70,5){\makebox(0,0)[b]{$\tau$}} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{10cm} \begin{align*} \mathcal L(x(t)) &= \int\limits_0^{\infty} x(t) \cdot e^{-st}\,dt = \int\limits_0^{\tau} \frac{a}{\tau} \cdot t \cdot e^{-st}\,dt + \int\limits_{\tau}^{\infty} a \cdot e^{-st}\,dt \\ &= \ldots \end{align*} \end{minipage} \bigskip \begin{minipage}{5cm} \centering $\Downarrow$ Zerlegung $\Downarrow$ \end{minipage} \begin{minipage}{10cm} \centering $\Downarrow$ Vereinfachung $\Downarrow$ \end{minipage} \bigskip \begin{minipage}{5cm} \begin{picture}(120,105) \put(0,45){\vector(1,0){120}} \put(40,0){\vector(0,1){100}} \thicklines \put(5,45){\line(1,0){65}} \put(40,45){\line(1,1){30}} \put(70,75){\line(1,0){30}} \put(70,45){\line(1,-1){30}} \put(20,88){$x(t)$} \put(110,35){$t$} \put(66,79){$x_1$} \put(76,21){$x_2$} \thinlines \multiput(70,44)(0,4){8}{\line(0,1){2}} \multiput(39,75)(4,0){8}{\line(1,0){2}} \put(37,75){\makebox(0,0)[r]{$a$}} \put(70,35){\makebox(0,0)[b]{$\tau$}} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{10cm} \begin{align*} x(t)\phantom{_a} &= x_1(t) + x_2(t) \\ x_1(t) &= \frac a{\tau} \cdot t \cdot \mathbbm 1(t)\\ x_2(t) &= -\frac{a}{\tau} (t-\tau) \cdot \mathbbm 1(t-\tau) \end{align*} \end{minipage} \bigskip \[X(s) = \underbrace{X_1(s) + X_2(s)}_{\text{Regel 1}} = \frac a {\tau} \frac 1 {s^2} - \underbrace{\frac{a}{\tau} \frac{1}{s^2} \cdot e^{-s\tau}}_{\text{Regel 2}} = \frac{a}{\tau s^2} \left(1 - e^{-s\tau}\right)\] \bigskip 2. gegeben: $X(s) = \underbrace{\frac{1}{s(s+3)}}_{X_1(s)} \cdot e^{-s\tau}$, gesucht: $x(t) =\ ?$ \smallskip Zunächst: $\mathcal L^{-1}\{X_1(s)\}$, danach Zeitverschiebung um $\tau$. \[X_1(s) = \frac{1}{s(s+3)} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s+3},\ \text{durch Partialbruchzerlegung: } A = \frac 1 3,\ B = -\frac 1 3\] Aus der Korrespondenztabelle: \[x_1(t) = \frac 1 3 \cdot \mathbbm 1(t) - \frac 1 3 \cdot e^{-3t}\cdot \mathbbm 1 (t) = \frac 1 3 \left(1-e^{-3t}\right) \cdot \mathbbm 1(t)\] Zeitverschiebung um $\tau$ ($e^{-s\tau}$): \[x(t) = x_1(t - \tau) = \frac 1 3 \left(1-e^{-3(t-\tau)}\right) \cdot \mathbbm 1(t-\tau)\] {\centering \begin{picture}(200,110) \put(30,10){\vector(0,1){95}} \put(15,15){\vector(1,0){190}} \put(27,102){\makebox(0,0)[rt]{$x_1(t)$}} \put(34,102){\makebox(0,0)[lt]{$x(t)$}} \put(195,4){$t$} \put(100,4){$\tau$} \multiput(29,70)(4,0){45}{\line(1,0){2}} \thicklines \multiput(0,0)(70,0){2}{\qbezier(30,15)(50,70)(120,69)} \put(20,15){\line(1,0){80}} \put(120,69){\line(1,0){80}} \put(65,50){$x_1$} \put(135,50){$x$} \end{picture}} \begin{minipage}{7.8cm}3. gegeben ($Q_C(0) = 0$): \end{minipage} \begin{minipage}{8cm} gesucht: $i(t)$ für $t > 0$ \end{minipage} \begin{minipage}{7.8cm} \begin{picture}(200,100) \put(0,30){\line(1,0){30}} \put(30,30){\circle*{2}} \put(30,30){\line(2,1){20}} \put(50,30){\line(1,0){90}} \put(100,30){\circle{20}} \put(90,17){\vector(1,0){20}} \put(100,07){\makebox(0,0){$u(t)$}} \multiput(0,30)(140,0){2}{\line(0,1){40}} \multiput(0,70)(40,0){4}{\line(1,0){20}} \multiput(20,65)(20,0){2}{\line(0,1){10}} \multiput(20,65)(0,10){2}{\line(1,0){20}} \multiput(60,70)(5,0){4}{\qbezier(0,0)(0,5)(2.5,5)\qbezier(2.5,5)(5,5)(5,0)} \multiput(80,70)(32,0){2}{\line(1,0){28}} \thicklines \multiput(108,63)(4,0){2}{\line(0,1){14}} \thinlines \put(30,82){\makebox(0,0){$R$}} \put(70,82){\makebox(0,0){$L$}} \put(110,85){\makebox(0,0){$C$}} \qbezier(40,43)(45,33)(40,23) \put(40,23){\vector(-1,-2){0}} \put(40,14){\makebox(0,0){$t=0$}} \put(145,60){\vector(0,-1){20}} \put(148,50){\makebox(0,0)[l]{$i(t)$}} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{8cm} \[R \cdot i(t) + L\frac{d i(t)}{dt} + \frac 1 C \int\limits_0^t i(\tau) \, d\tau = u(t)\] \bigskip $\Rightarrow$ Differentialgleichung \end{minipage} \paragraph{$\mathcal L$-Transformation:} \begin{align*} R \cdot I(s) + \underbrace{L(s \cdot I(s)}_{\text{Regel 4}} - \underbrace{i(+0)}_{0}) + \frac 1 C \cdot \underbrace{\frac 1 s \cdot I(s)}_{\text{Regel 5}} &= U(s)\\ \left(R + s\cdot L + \frac{1}{s\cdot C}\right) \cdot I(s) &= U(s) \end{align*} \subsubsection*{Beachte:} \begin{enumerate} \item Einfacher Zusammenhang im Bildbereich \item Gleichung kann mit Regeln der E-Technik sofort aus Schaltung abgelesen werden \end{enumerate} $\Rightarrow$ \emph{verallgemeinerte symbolische Methode} \bigskip \begin{align*} I(s) &= \frac{U(s)}{R + sL + \frac 1 {sC}} = \frac{U(s) \cdot s C}{s^2 LC + sRC + 1} = \frac{U(s)}{L} \frac{s}{s^2 + s\frac R L + \frac 1 {LC}}\\[1ex] &= \frac{U(s)}{L} \frac{s}{(s-s_1)(s-s_2)}\\[3ex] & s_{1/2} = -\frac{R}{2L} \pm \sqrt{\left(\frac R {2L}\right)^2 - \frac 1 {LC}},\ \qquad \text{sei } \left(\frac R {2L}\right)^2 > \frac 1 {LC} \quad\Rightarrow\quad s_1,\,s_2 \in \mathbb R\\[3ex] I(s) &= \underbrace{\frac{U(s)}{L}}_{\displaystyle X_2(s)} \cdot \underbrace{\left[\frac{A}{s-s_1} + \frac{B}{s-s_2}\right]}_{\displaystyle X_1(s)}, \qquad A = \frac{s_1}{s_1-s_2},\ B = \frac{s_2}{s_2-s_1} \end{align*} Faltungssatz (Regel 7): \begin{align*} i(t) &= \int\limits_0^t x_1(\tau) \cdot x_2(t-\tau)\,d\tau \qquad \text{mit } x_1(t) = A\cdot e^{s_1t} + B \cdot e^{s_2t}\\ &= \int\limits_0^t \left[\frac{s_1}{s_1-s_2}\cdot e^{s_1\tau} + \frac{s_2}{s_2-s_1} \cdot e^{s_2\tau}\right] \cdot \frac 1 L \cdot u(t-\tau)\,d\tau \end{align*} \subsubsection{Grenzwertsätze} Es sei $x,\ \dot x \in {X_{\gamma}}^*$. Dann gilt: \begin{enumerate} \item Falls $\lim\limits_{t\to \infty} x(t) = A$, dann gilt auch $\lim\limits_{s\to 0} s\cdot X(s) = A$ \item Falls $\lim\limits_{t\to +0} x(t) = B$, dann gilt auch $\lim\limits_{s\to \infty} s\cdot X(s) = B$ \end{enumerate} \paragraph{Beispiel} (aus 5.2.3) \[x(t) = \frac 1 3 \left(1-e^{-3t}\right) \cdot \mathbbm 1(t), \qquad X(s) = \frac{1}{s(s+3)}\] \begin{enumerate} \item $\lim\limits_{t\to \infty} x(t) = \frac 1 3$ $\,\lim\limits_{s \to 0} s \cdot X(s) = \lim\limits_{s\to 0} \frac{1}{s+3} = \frac 1 3\qquad\ \ \checkmark$ \item $\lim\limits_{t\to +0} x(t) = 0$ $\,\lim\limits_{s \to \infty} s \cdot X(s) = \lim\limits_{s\to \infty} \frac{1}{s+3} = 0\qquad \checkmark$ \end{enumerate} \subsubsection{Die inverse Laplace-Transformation} Es gilt (s. 5.2.2) für $X \in {X_{\gamma}}^{**}$: \begin{equation} x(t) = \frac{1}{2\pi j} \int\limits_{\delta-j\infty}^{\delta + j\infty} X(s) \cdot e^{st}\,ds \end{equation} \subsubsection*{Probleme} \begin{enumerate} \item Wann gilt $X \in {X_{\gamma}}^{**}$? \smallskip Teilantwort: Es gilt $X \in {X_{\gamma}}^{**}$, falls \begin{enumerate} \item $X(s)$ ist rational in $s$, d.h. \[X(s) = \frac{\sum\limits_{\nu}^Z a_{\nu}\cdot s^{\nu}}{\sum\limits_{\nu}^N b_{\nu}\cdot s^{\nu}} \qquad\qquad \begin{array}{l}Z\text{: Grad des Zählerpolynoms}\\[0.5ex] N\text{: Grad des Nennerpolynoms}\end{array}\] \item für $s \to \infty$ gilt $X(s) \to 0$, d.h. $ Z < N$ \end{enumerate} \item Wie kann das Umkehrintegral (1) auf einfache Weise berechnet werden? \smallskip Teilantwort: Ist $X(s)$ rational in $s$ und gilt $Z < N$, so gilt die Residuenformel \[\boxed{\quad x(t) = \mathcal L^{-1}\{X(s)\} = \sum\limits_{s=s_i}\vphantom{\sum\limits^a} \mathrm{Res}\,[X(s) \cdot e^{st}] \quad } \qquad (t > 0) \] $s_i$: Singuläre Stellen von $X(s)$. \end{enumerate} \subsubsection*{Berechnung der Residuen} $s_i$ sei Pol 1. Ordnung: \[\res\limits_{s=s_i} \left[X(s) \cdot e^{st}\right] = \lim\limits_{s=s_i} \left[X(s) \cdot e^{st} \cdot (s-s_i)\right]\] $s_i$ sei Pol $m$-ter Ordnung: \[\res\limits_{s=s_i} \left[X(s) \cdot e^{st}\right] = \frac{1}{(m-1)!} \cdot \lim\limits_{s=s_i} \frac{d^{(m-1)}}{ds^{(m-1)}}\left[X(s) \cdot e^{st} \cdot (s-s_i)^m\right]\] \paragraph{1. Beispiel:} $X(s) = \dfrac{3s^2 + 16s + 6}{s^3 + 4s^2 - 3s - 18} = \dfrac{3s^2 + 16s + 6}{(s-2)(s+3)^2}$ \bigskip $s_1 =\phantom{-}2$:\quad einfacher Pol, ($m_1 = 1$) $s_2 =-3$:\quad doppelter Pol, ($m_2 = 2$) \begin{align*} \res\limits_{s=2}\left[X(s) \cdot e^{st}\right] &= \lim\limits_{s\to 2} \left[\frac{3s^2 + 16s + 6}{(s-2)(s+3)^2}\cdot e^{st} \cdot (s-2) \right] = 2\cdot e^{2t}\\[1ex] \res\limits_{s=2}\left[X(s) \cdot e^{st}\right] &= \frac{1}{(2-1)!} \cdot \lim\limits_{s\to 3} \frac{d}{ds} \left[\frac{3s^2 + 16s + 6}{(s-2)(s+3)^2}\cdot e^{st} \cdot (s+3)^2 \right] \stackrel{[\ldots]}{=} (3t+1) \cdot e^{-3t} \end{align*} Ergebnis: \[x(t) = 2\cdot e^{2t} + (3t + 1) \cdot e^{-3t} \qquad (t > 0)\] \paragraph{2. Beispiel:} $X(s) = \frac{2s}{s+3}$ \qquad hier $Z = N$! \bigskip Wir bilden: \[X(s) = \frac{2s}{s+3} - X(\infty) + X(\infty) = \frac{2s}{s+3} - 2 + 2 = \frac{-6}{s+3} + 2\] \smallskip Rücktransformation mit Tabelle: \[x(t) = -6e^{-3t} \cdot \mathbbm 1(t) + 2 \delta(t)\] \subsection{Systembeschreibung im Zeitbereich} \subsubsection{Zustandsgleichungen} \begin{center} \begin{picture}(260,75) \put(3,30){$x(t)\left\{\!\!\begin{array}{c}x_1(t)\\x_2(t)\\\vdots\\x_l(t)\end{array}\right.$} \put(198,30){$\left.\begin{array}{c}y_1(t)\\y_2(t)\\\vdots\\y_m(t)\end{array}\!\!\right\} y(t)$} \put(26,-10){ \multiput(0,0)(130,0){2}{\put(40,19){\circle{2}} \multiput(40,52)(0,13){2}{\circle{2}}} \multiput(0,0)(109,0){2}{ \multiput(41,52)(0,13){2}{\line(1,0){19}} \put(41,19){\line(1,0){19}}} \multiput(60,10)(90,0){2}{\line(0,1){64}} \multiput(60,10)(0,64){2}{\line(1,0){90}} \multiput(45,30.3)(116,0){2}{$\vdots$} \put(68,45){$\underbrace{z_1(t),\, \ldots ,\, z_n(t)}_{\displaystyle z(t)}$}} \end{picture} \end{center} \begin{description} \item[Allgemein:]\hspace*{\fill}\\ % *hust* \hspace*{1.3cm} $\displaystyle % naja, wenigstens schön aligned. \left.\begin{array}{l@{\ \;}cl} \dot z_1(t) & = & f_1[z_1(t),\,\ldots,\,z_n(t),\,x_1(t),\,\ldots,\,x_l(t)]\\ \phantom{y_m(t)} & \vdots \\ \dot z_n(t) & = & f_n[z_1(t),\,\ldots,\,z_n(t),\,x_1(t),\,\ldots,\,x_l(t)] \end{array}\:\right\}\text{ Überführungsgleichungen}$ \bigskip \hspace{1.3cm} $\displaystyle \left.\begin{array}{l@{\ \;}cl} y_1(t) & = & g_1[z_1(t),\,\ldots,\,z_n(t),\,x_1(t),\,\ldots,\,x_l(t)]\\ & \vdots \\ y_m(t) & = & g_m[z_1(t),\,\ldots,\,z_n(t),\,x_1(t),\,\ldots,\,x_l(t)] \end{array}\right\}\text{ Ergebnisgleichungen} $ \item[Für lineare Systeme gilt:]\hspace*{\fill}\\ \hspace*{\fill}\\ $\begin{array}{c@{\ }cccccccccccc} \dot z_1(t) &=& a_{11} \cdot z_1(t) &+& \cdots & + & a_{1n} \cdot z_n(t) &+& b_{11}\cdot x_1(t) &+& \cdots &+& b_{1l} \cdot x_l(t)\\ & \vdots\\ \dot z_n(t) &=& a_{n1} \cdot z_1(t) &+& \cdots &+& a_{nn} \cdot z_n(t) &+& b_{n1}\cdot x_1(t) &+& \cdots &+& b_{nl} \cdot x_l(t)\\ y_1(t) &=& c_{11} \cdot z_1(t)& +& \cdots &+& c_{1n} \cdot z_n(t) &+& d_{11}\cdot x_1(t) &+& \cdots& +& d_{1l} \cdot x_l(t)\\ & \vdots\\ y_m(t) &=& c_{m1} \cdot z_1(t)& +& \cdots &+& c_{mn} \cdot z_m(t) &+& d_{m1}\cdot x_1(t) &+& \cdots &+& d_{ml} \cdot x_l(t)\\ \end{array}$ \smallskip \item[In Matrizen-Form:] \[\underbrace{\begin{pmatrix}\dot z_1(t)\\ \vdots\\ \dot z_n(t)\end{pmatrix}}_{\displaystyle \dot z(t)} = \underbrace{\begin{pmatrix}a_{11} & \cdots & a_{1n}\\\vdots & \ddots & \vdots\\a_{n1} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix}}_{\displaystyle A} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix}z_1(t)\\ \vdots\\ z_n(t)\end{pmatrix}}_{\displaystyle z(t)} + \underbrace{\begin{pmatrix}b_{11} & \cdots & b_{1l}\\\vdots & \ddots & \vdots\\b_{n1} & \cdots & b_{nl}\end{pmatrix}}_{\displaystyle B} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix}x_1(t)\\ \vdots\\ x_l(t)\end{pmatrix}}_{\displaystyle x(t)} \] \[\underbrace{\begin{pmatrix}\dot y_1(t)\\ \vdots\\ \dot y_m(t)\end{pmatrix}}_{\displaystyle y(t)} = \underbrace{\begin{pmatrix}c_{11} & \cdots & c_{1n}\\\vdots & \ddots & \vdots\\c_{m1} & \cdots & c_{mn}\end{pmatrix}}_{\displaystyle C} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix}z_1(t)\\ \vdots\\ z_n(t)\end{pmatrix}}_{\displaystyle z(t)} + \underbrace{\begin{pmatrix}d_{11} & \cdots & d_{1l}\\\vdots & \ddots & \vdots\\d_{m1} & \cdots & d_{ml}\end{pmatrix}}_{\displaystyle D} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix}x_1(t)\\ \vdots\\ x_l(t)\end{pmatrix}}_{\displaystyle x(t)} \] \item[Kurzform:]\hspace*{\fill}\\[1ex] \begin{minipage}{7cm} \begin{empheq}[innerbox=\fbox]{align*} \vphantom{\Big|}\quad \dot z(t) &= A \cdot z(t) + B\cdot x(t) \quad \\[-1ex] \vphantom{\Big|} \dot y(t) &= C \cdot z(t) + D\cdot x(t) \end{empheq} \end{minipage} \begin{minipage}{7.8cm} \centering Zustandsgleichungen des linearen, zeitkontinuierlichen, dynamischen Systems \end{minipage} \end{description} \subsubsection*{Beispiel aus 4.3.1} \begin{minipage}{8cm} \begin{picture}(200,80) \put(0,27){$u_1(t)\!\Big\downarrow$} \put(40,0){\line(0,1){60}} \put(40,30){\circle{20}} \put(40,0){\line(1,0){105}} \multiput(40,60)(32,0){2}{\line(1,0){28}} \thicklines \multiput(68,53)(4,0){2}{\line(0,1){14}} \thinlines \multiput(100,0)(0,60){2}{\circle*{2}} \multiput(100,0)(0,40){2}{\line(0,1){20}} \multiput(95,20)(10,0){2}{\line(0,1){20}} \multiput(95,20)(0,20){2}{\line(1,0){10}} \put(100,60){\line(1,0){45}} \multiput(145,0)(0,40){2}{\line(0,1){20}} \multiput(145,20)(0,5){4}{\qbezier(0,0)(5,0)(5,2.5)\qbezier(5,2.5)(5,5)(0,5)} \put(39,69){$i_C(t)$} \put(40,63){\vector(1,0){17}} \qbezier(55,55)(70,45)(85,55) \put(85,55){\vector(3,2){0}} \put(57,39){$u_C(t)$} \qbezier(105,15)(115,30)(105,45) \put(105,15){\vector(-2,-3){0}} \put(113,27){$u_R(t)$} \put(95,17){\vector(0,-1){14}} \put(68,9){$i_R(t)$} \qbezier(150,15)(160,30)(150,45) \put(150,15){\vector(-2,-3){0}} \put(158,27){$u_L(t)$} \put(114,63){\vector(1,0){17}} \put(113,69){$i_L(t)$} \end{picture} \end{minipage} \begin{minipage}{6cm} $\left.\begin{array}{lll} u_1(t) &\:\Leftrightarrow& x(t) \end{array}\right.\phantom{\Big\}} \text{ Eingabe}$ $\left.\begin{array}{lll} u_L(t) &\Leftrightarrow& y_1(t) \\ u_C(t) &\Leftrightarrow& y_2(t) \end{array}\right\} \text{Ausgabe}$ \smallskip $\left.\begin{array}{lll} \Phi(t)\ &\Leftrightarrow& z_1(t)\\ Q(t)\;\, &\Leftrightarrow& z_2(t) \end{array}\right\} \text{Zustände}$ \end{minipage} \smallskip \begin{description} \item[Außerdem gilt:] (da lineares System) $\begin{array}{l@{\ }l@{\ }l} i_R(t) &= \varphi_R(u_R(t)) &= \dfrac{1}{R} \cdot u(t)\\[2ex] i_L(t) &= \varphi_L(\Phi(t)) &= \dfrac{1}{L}\cdot \Phi(t)\\[2ex] u_C(t) &= \varphi_C(Q(t)) &= \dfrac{1}{C} \cdot Q(t) \end{array}$ \item[Damit gilt für die Zustandgleichungen aus 4.3.1:] \[ \begin{array}{lllllll} \dot\Phi(t) &= & u(t) - \varphi_C(Q(t)) &= & & -\dfrac 1 C Q(t) &+ u(t)\\[2ex] \dot Q(t) &=& \varphi_L(\Phi(t)) + \varphi_R(u(t)-\varphi_C(Q(t))) &=& \dfrac 1 L \Phi(t) & -\dfrac{1}{RC}Q(t) & + \dfrac 1 R u(t)\\[2ex] u_L(t) &=& u(t) - \varphi_C(Q(t)) &=& & -\dfrac 1 C Q(t) &+ u(t)\\[2ex] u_C(t) & = & \underbrace{\vphantom{\dfrac 1 C}\varphi_C(Q(t))\hspace{3.8cm}}_{\displaystyle\text{allgemein}}&=& \multicolumn{3}{c}{\underbrace{\hspace{1.7cm} +\dfrac{1}{C}Q(t)\hspace{1.7cm}}_{\displaystyle\text{linearer Fall}}} \end{array} \] \item[Matrizenform:] \[\begin{pmatrix}\dot\Phi(t)\\[0.5ex]\dot Q(t)\end{pmatrix} = \underbrace{\begin{pmatrix}0 & - \frac 1 C\\[0.5ex]\frac 1 L & - \frac 1 {RC}\end{pmatrix}}_{\displaystyle A} \cdot \begin{pmatrix}\Phi(t)\\[0.5ex]Q(t)\end{pmatrix} + \underbrace{\begin{pmatrix}1\\[0.5ex]\frac 1 R\end{pmatrix}}_{\displaystyle B} \cdot u(t)\] \[\begin{pmatrix}u_L(t)\\[0.5ex]u_C(t)\end{pmatrix} = \underbrace{\begin{pmatrix}0 & - \frac 1 C\\[0.5ex]0 & - \frac 1 {C}\end{pmatrix}}_{\displaystyle C} \cdot \begin{pmatrix}\Phi(t)\\[0.5ex]Q(t)\end{pmatrix} + \underbrace{\begin{pmatrix}1\\[0.5ex]0\end{pmatrix}}_{\displaystyle D}\cdot u(t)\] \item[Bemerkung:] Bei linearen Bauelementen gilt \begin{align*} \Phi(t) &= L \cdot i_L(t)\\ Q(t) &= C \cdot u_C(t) \end{align*} $\Rightarrow$ in der Regel $i_L(t)$ bzw. $u_C(t)$ als Zustandssignale verwendet \end{description} \subsubsection{Differentialgleichung und Realisierung} \paragraph*{Sonderfall:} 1 Eingang, 1 Ausgang ($l = m = 1$). \qquad \begin{minipage}{5cm} \begin{picture}(130,25) \put(2,10){$x(t)$} \multiput(25,12.5)(75,0){2}{\circle{2}} \multiput(26,12.5)(49,0){2}{\line(1,0){24}} \multiput(50,0)(25,0){2}{\line(0,1){25}} \multiput(50,0)(0,25){2}{\line(1,0){25}} \put(62.5,12.5){\makebox(0,0){$z(t)$}} \put(105,10){$y(t)$} \end{picture} \end{minipage} \begin{description} \item[Es gilt:] Ein lineares, zeitkontinuierliches, dynamisches System mit $l = m = 1$ ($n$ beliebig) kann durch eine Differentialgleichung folgenden Typs beschrieben werden: \begin{multline*} y^{(n)}(t) + b_1 y^{(n-1)}(t) + b_2 y^{(n-2)}(t) + \cdots + b_{n-1}\dot y(t) + b_n y(t) = \\ a_0 x^{(n)}(t) + a_1 x^{(n-1)}(t) + a_2 x^{(n-2)}(t) + \cdots + a_{n-1} \dot x(t) + a_n x(t) \end{multline*} $(a_i,\ b_i \in \mathbb R,\ b_0 = 1)$ \item[Ansatz:] Blockschaltbild $\to$ Differentialgleichungen, Zustandsgleichungen \begin{center} \begin{picture}(370,150) \multiput(0,0)(90,0){2}{ \put(50,0){\line(0,1){20}} \put(35,20){\line(1,0){30}} \put(35,20){\line(3,4){15}} \put(65,20){\line(-3,4){15}} \put(50,40){\vector(0,1){20}} \put(50,67.5){\circle{15}} \put(50,67.5){\makebox(0,0){$+$}} \put(50,95){\vector(0,-1){20}} \put(50,95){\line(3,4){15}} \put(50,95){\line(-3,4){15}} \put(35,115){\line(1,0){30}} \put(57.5,67.5){\vector(1,0){25}} \put(50,115){\line(0,1){20}} \put(50,135){\circle*{2}} } \put(70,69.5){\makebox(0,0)[b]{$\scriptstyle \dot z_n(t)$}} \put(120,69.5){\makebox(0,0)[b]{$\scriptstyle z_n(t)$}} \put(50,24){\makebox(0,0)[b]{$\scriptstyle -b_{n}$}} \put(140,23){\makebox(0,0)[b]{$\scriptstyle -b_{n\text{-}1}$}} \put(50,0){\line(1,0){125}} \put(0,135){\makebox(0,0)[l]{$x(t)$}} \put(25,135){\line(1,0){150}} \put(107.5,67.5){\vector(1,0){25}} \multiput(82.5,55)(25,0){2}{\line(0,1){25}} \multiput(82.5,55)(0,25){2}{\line(1,0){25}} \put(95,67.5){\makebox(0,0){$\int$}} \put(140,0){\circle*{2}} \put(24,135){\circle{2}} \put(50,110){\makebox(0,0)[t]{$\scriptstyle a_{n}$}} \put(140,110){\makebox(0,0)[t]{$\scriptstyle a_{n\text{-}1}$}} \multiput(187.5,-0.5)(0,67.5){3}{\makebox(0,0){$\cdots$}} \put(175,0){ \multiput(25,0)(0,135){2}{\line(1,0){115}} \put(25,67.5){\vector(1,0){17.5}} \put(50,0){\line(0,1){20}} \put(35,20){\line(1,0){30}} \put(35,20){\line(3,4){15}} \put(65,20){\line(-3,4){15}} \put(50,40){\vector(0,1){20}} \multiput(50,67.5)(90,0){2}{\circle{15}} \multiput(0,0)(90,0){2}{ \put(50,67.5){\makebox(0,0){$+$}} \put(50,95){\vector(0,-1){20}} \put(50,95){\line(3,4){15}} \put(50,95){\line(-3,4){15}} \put(35,115){\line(1,0){30}} \put(50,115){\line(0,1){20}} } \put(57.5,67.5){\vector(1,0){25}} \put(50,115){\line(0,1){20}} \multiput(50,0)(0,135){2}{\circle*{2}} \multiput(82.5,55)(25,0){2}{\line(0,1){25}} \multiput(82.5,55)(0,25){2}{\line(1,0){25}} \put(107.5,67.5){\vector(1,0){25}} \put(140,0){\line(0,1){60}} \put(140,0){\line(1,0){25}} \put(166,0){\circle{2}} \put(140,0){\circle*{2}} \put(170,0){\makebox(0,0)[l]{$y(t)$}} \put(50,110){\makebox(0,0)[t]{$\scriptstyle a_1$}} \put(140,110){\makebox(0,0)[t]{$\scriptstyle a_0$}} \put(50,24){\makebox(0,0)[b]{$\scriptstyle -b_{1}$}} \put(95,67.5){\makebox(0,0){$\int$}} \put(70,69.5){\makebox(0,0)[b]{$\scriptstyle \dot z_1(t)$}} \put(120,69.5){\makebox(0,0)[b]{$\scriptstyle z_1(t)$}} } \end{picture} \end{center} \item[Beschreibung des Blockschaltbildes] \begin{align} \dot z_1(t) &= z_2(t) + a_1\cdot x(t) - b_1 \cdot y(t) \tag{$1$}\\ \dot z_2(t) &= z_3(t) + a_2\cdot x(t) - b_2 \cdot y(t) \tag{$2$}\\ & \qquad \vdots \notag \\ \dot z_{n-1}(t) &= z_n(t) + a_{n-1}\cdot x(t) - b_{n-1} \cdot y(t) \tag{$n-1$}\\ \dot z_{n}(t) &= a_{n}\cdot x(t) - b_{n} \cdot y(t) \tag{$n$}\\ y(t) &= z_{1}(t) + a_{0} \cdot x(t) \tag{$n+1$} \end{align} \item[Übergang zur Differentialgleichung:] Ziel: Elimination der $z_1,\, \dots,\, z_n$ \begin{itemize} \item Gleichung $(n+1)$ differenzieren: $\dot y(t) = \dot z_1(t) + a_0 \cdot \dot x(t)$ \item Gleichung (1) einsetzen: \begin{equation} \dot y(t) = z_2(t) + a_1 \cdot x(t) - b_1 \cdot y(t) + a_0 \cdot \dot x(t) \tag{$n+2$} \end{equation} \item Gleichung $(n+2)$ differenzieren: $\ddot y(t) = \dot z_2(t) + a_1 \cdot \dot x(t) - b_1 \cdot \dot y(t) + a_0 \cdot \ddot x(t)$ \item Gleichung (2) einsetzen \item \quad $\cdots$ \end{itemize} Nach $n$ Schritten sind alle Zustandssignale eliminiert $\Rightarrow$ DGL fertig \item[Übergang zu den Zustandsgleichungen:] Einsetzen von $(n+1)$ in Gleichungen (1) bis ($n$): \[ \begin{pmatrix}\dot z_1(t) \\ \dot z_2(t) \\ \vdots \\ \dot z_{n-1}(t) \\ \dot z_n(t)\end{pmatrix} = \underbrace{\begin{pmatrix} -b_1 & 1 & 0 & \cdots & 0\\ -b_2 & 1 & 0 & \cdots & 0\\ \vdots & & \ddots & & \vdots\\ -b_{n_1} & 0 & 0 & \cdots & 1\\ -b_{n} & 0 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}}_{\displaystyle A} \cdot \begin{pmatrix} z_1(t) \\ z_2(t) \\ \vdots \\ z_{n-1}(t) \\ z_n(t)\end{pmatrix} + \underbrace{\begin{pmatrix}a_1 - b_1 a_0 \\ a_2-b_2a_0 \\ \vdots \\ a_{n-1}-b_{n-1} a_0 \\ a_n - b_n a_0\end{pmatrix}}_{\displaystyle B} \cdot x(t) \] \[y(t) = \underbrace{\begin{pmatrix}1 & 0 & \cdots & 0 & 0\end{pmatrix}}_{\displaystyle C} \cdot \begin{pmatrix} z_1(t) \\ z_2(t) \\ \vdots \\ z_{n-1}(t) \\ z_n(t)\end{pmatrix} + \underbrace{\left(a_0\right)}_{\displaystyle D} \cdot x(t) \] \end{description} \end{document}