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\date{Zuletzt aktualisiert:\\\today}
\author{Fabian~Kurz\\\href{http://fkurz.net/}{http://fkurz.net/}}
\title{Mathematik III für Elektrotechniker -- WS 04/05\\Prof. Dr. Sasv\'ari, TU Dresden\\Mitschrift}
\begin{document}
\maketitle
\pagenumbering{Roman}
\tableofcontents
\newpage
\setcounter{chapter}{14}
\setcounter{section}{6}
\setcounter{subsection}{10}
\section*{Wiederholung}
\pagenumbering{arabic}

Systeme von linearen Differentialgleichungen erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten.
\[y'(x) = A \cdot y(x) + f(x)\]
mit

\begin{minipage}[c]{5cm}
$y(x) = (y_1(x), \ldots , y_n(x))^T$

$y'(x) = (y'_1(x), \ldots , y'_n(x))^T$

$f(x) = (f_1(x), \ldots , f_n(x))^T$
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{5cm}
\[A = \left[\begin{array}{ccc}a_{11} & \cdots & a_{1n}\\ \vdots & & \vdots\\ a_{n1} & \cdots & a_{nn}\end{array}\right]\]

\smallskip

\end{minipage}

\paragraph*{Allgemeine Lösung:} $y = y_h + y_p$

\bigskip

$y_h$: allgemeine Lösung des homogenen Systems
\[y'(x) = A \cdot y(x)\]

$y_p$: eine spezielle Lösung des inhomogenen Systems
\[y'(x) = A \cdot y(x) + f(x)\]

\paragraph{allgemeine Lösung des homogenen Systems:} 2 Verfahren behandelt
\renewcommand{\labelenumi}{\alph{enumi})}
\begin{enumerate}
\item Diagonalisierung
\item Exponentialansatz
\end{enumerate}

\paragraph{spezielle Lösung des inhomogenen Systems:}
\renewcommand{\labelenumi}{\alph{enumi})}
\begin{enumerate}
\item Ansatz in Abhängigkeit von $f$
\item \emph{Variation der Konstanten} (Neu!)
\end{enumerate}

\newpage
\setlength{\parindent}{0pt}


\subsection{Satz}

Gegeben sei das inhomogene System
$y'(x) = A \cdot y(x) + f(x)$
und sei
\[C_1 \cdot y_1(x) + \cdots + C_n \cdot y_n(x)\]
die allgemeine Lösung des homogenen Systems $y'(x) = A \cdot y(x)$.
$Y(x)$ bezeichne diejenige Matrix, deren Spalten die $n$ Lösungsvektoren $y_1, \ldots , y_n$ sind. Der Ansatz $y_p(x) = Y(x) \cdot u(x)$ (mit $u(x) = (u_1(x), \ldots , u_n(x))^T$) führt auf die Gleichung
\[u'(x) = Y^{-1}(x) \cdot f(x)\]
aus der man eine spezielle Lösung des inhomogenen Systems erhalten kann.

\subsection{Beispiel}

\[\left.\begin{array}{lcr} y'_1 &=& -y_1 + y_2 + e^x\\ y'_2 & = & y_1  - y_2 + e^x\end{array}\right\} \Longrightarrow y' = A \cdot y + f = \left[\begin{array}{rr}-1&1\\1&-1\end{array}\right] \cdot y + \left[\begin{array}{cc}e^x\\e^x\end{array}\right]\]
Eigenwerte von $A$ und zugehörige Eigenvektoren:

\bigskip

\begin{tabular}{p{6cm}l}
$\lambda_1 = -2$, $\lambda_2 = 0$ &  [$det(A - \lambda \cdot E) = 0$]\\
\\
$r_1 = (1,-1)^T$, $r_2 = (1,1)^T$ & (linear unabhängig)\\
\end{tabular}

\vspace{0.7cm}

$\Rightarrow y_h = C_1 \cdot \left[\begin{array}{rr}1\\-1\end{array}\right] \cdot e^{-2x} + C_2 \cdot \left[\begin{array}{rr}1\\1\end{array}\right] = C_1 \cdot \left[\begin{array}{rr}e^{-2x}\\-e^{-2x}\end{array}\right] + C_2 \cdot \left[\begin{array}{rr}1\\1\end{array}\right]$

\bigskip

Lösungsvektoren in Matrix $Y(x)$ zusammenfassen:
\[Y(x) = \left[\begin{array}{rr}e^{-2x} & 1\\ - e^{-2x} & 1\end{array}\right], \quad Y^{-1}(x) = \frac{e^{2x}}{2} \cdot \left[\begin{array}{rr}1 & -1\\ e^{-2x} & e^{-2x}\end{array}\right]\]
\[u'(x) = Y^{-1}(x) \cdot f(x) = \frac{e^{2x}}{2}\cdot \left[\begin{array}{rr}1 & -1\\ e^{-2x} & e^{-2x}\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{rr}e^{x}\\-e^{x}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}0\\e^x\end{array}\right]\]
\[u'(x) =  \left[\begin{array}{cc}0\\e^x\end{array}\right] \quad \Rightarrow\quad  u(x) =  \left[\begin{array}{cc}0\\e^x\end{array}\right]\quad  \Rightarrow\quad  y_p = Y(x) \cdot u(x) =  \left[\begin{array}{cc}e^x\\e^x\end{array}\right]\]

\bigskip

Allgemeine Lösung des inhomogenen Systems:
\[y = y_h + y_p = \left[\begin{array}{rr}C_1 \cdot e^{-2x} + C_2 + e^x\\ -C_1 \cdot e^{-2x} + C_2 + e^x\end{array}\right]\]

\subsection{Systeme höherer Ordnung}
Ein System expliziter linearer Differentialgleichungen höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten läßt sich durch Einführung neuer unbekannter Funktionen auf ein System erster Ordnung überführen. Erläuterung an einem Beispiel:
\begin{eqnarray}
y''_1(x) + y'_1(x) + y_1(x) - y_2(x) &=& x \\
y''_2(x) - y'_2(x) - y_1(x) + 2\cdot y_2(x) &=& x^2
\end{eqnarray}
\newpage
Wir führen die folgenden Funktionen ein
\[u_1 = y_1, \qquad u_2 = y'_1, \qquad u_2 = y_2, \qquad u_4 = y'_2\]
und setzen diese oben ein. Es ergibt sich ein System erster Ordnung (aber mit vier Unbekannten).
\begin{eqnarray*}
u'_1(x) &=& u_2(x)\\
u'_2(x) &=& - u_1(x) - u_2(x) + u_3(x) + x\\
u'_3(x) &=& u_4(x)\\
u'_4(x) &=& u_1(x) - 2 \cdot u_3(x) + u_4(x) + x^2 
\end{eqnarray*}
Oftmals ist es auch möglich, ein System höherer Ordnung durch Elimination der unbekannten Funktionen in eine einzige Differentialgleichung höherer Ordnung zu überführen, in der nur eine der Funktionen vorkommt.

\begin{description}
\item[Verfahren:] Wie Gauß'sche Elimination + Differenzieren einer Gleichung als zusätzliche Umformung.
\item[Beispiel:] (Gleichungssystem wie oben)

(2) nach $y_1$ auflösen:

(2.1) $y_1(x) = y''_2(x) - y'_2(x) + 2y_2(x) - x^2$

zweimal ableiten:

(2.2) $y'_1(x) = y'''_2(x) - y''_2(x) + 2 \cdot y'(x) - 2x$

(2.3) $y''_1(x) = y^{(4)}_2(x) - y'''_2(x) + 2 \cdot y''(x) -2$

(2.1) $-$ (2.3) in (1) einsetzen:
\[y^{(4)}_2 + 2y''_2(x) + y'_2 + y_2(x) = x^2 + 3x + 2\]
lineare Differentialgleichung vierter Ordnung für $y_2$
\end{description}

\section{Numerische Verfahren für Anfangswertprobleme}
Viele Differentialgleichungen sind nicht formelmäßig lösbar, z.B. $y'(x) = x^2 + y^2(x)$

\paragraph{Numerische Verfahren:} An gewissen sogenannten \emph{Gitterpunkten} $x_i$ werden Näherungsweise $y_i$ für die exakten Werte $y(x_i)$ bestimmt. In diesem Abschnitt betrachten wir zuerst Anfangswertprobleme der Form:
\[y'(x) = f(x,y), \qquad x \in [a,b], \qquad y(x_0) = y_0\]

wobei $x_0 \in [a,b]$ und $y:[a,b] \longrightarrow \mathbb R$.  
Als Gitterpunkte wählen wir eine \emph{äquidistante} Einteilung des Intervalls $[a,b]: x_i = a + i\cdot h$, $i = 0, 1, \ldots , n$, mit der \emph{Schrittweite} $h = \frac{b-a}{n}$









\end{document}
