\documentclass[11pt,a4paper]{report}
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\date{Zuletzt aktualisiert:\\\today}
\author{Fabian~Kurz\\\href{http://fkurz.net/}{http://fkurz.net/}}
\title{Mathematik III für Elektrotechniker -- WS 04/05\\Prof. Dr. Sasv\'ari, TU Dresden\\Mitschrift}
\begin{document}
\maketitle
\pagenumbering{Roman}
\tableofcontents
\newpage
\setcounter{chapter}{14}
\setcounter{section}{6}
\setcounter{subsection}{10}
\section*{Wiederholung}
\pagenumbering{arabic}

\index{lineare DGL-Systeme!1. Ordnung, konst Koeff.}
Systeme von linearen Differentialgleichungen erster Ordnung mit \emph{konstanten Koeffizienten}.
\[y'(x) = A \cdot y(x) + f(x)\]
mit

\begin{minipage}[c]{5cm}
$y(x) = (y_1(x), \ldots , y_n(x))^T$

$y'(x) = (y'_1(x), \ldots , y'_n(x))^T$

$f(x) = (f_1(x), \ldots , f_n(x))^T$
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{5cm}
\[A = \left[\begin{array}{ccc}a_{11} & \cdots & a_{1n}\\ \vdots & & \vdots\\ a_{n1} & \cdots & a_{nn}\end{array}\right]\]

\smallskip

\end{minipage}

\paragraph*{Allgemeine Lösung:} $y = y_h + y_p$

\bigskip

$y_h$: allgemeine Lösung des homogenen Systems
\[y'(x) = A \cdot y(x)\]

$y_p$: eine spezielle Lösung des inhomogenen Systems
\[y'(x) = A \cdot y(x) + f(x)\]

\paragraph{allgemeine Lösung des homogenen Systems:} 2 Verfahren behandelt
\renewcommand{\labelenumi}{\alph{enumi})}
\begin{enumerate}
\item Diagonalisierung
\item Exponentialansatz
\end{enumerate}

\paragraph{spezielle Lösung des inhomogenen Systems:}
\renewcommand{\labelenumi}{\alph{enumi})}
\begin{enumerate}
\item Ansatz in Abhängigkeit von $f$
\item \emph{Variation der Konstanten} (Neu!)
\end{enumerate}

\newpage
\setlength{\parindent}{0pt}


\subsection{Satz}

Gegeben sei das inhomogene System
$y'(x) = A \cdot y(x) + f(x)$
und sei
\[C_1 \cdot y_1(x) + \cdots + C_n \cdot y_n(x)\]
die allgemeine Lösung des homogenen Systems $y'(x) = A \cdot y(x)$.
$Y(x)$ bezeichne diejenige Matrix, deren Spalten die $n$ Lösungsvektoren $y_1, \ldots , y_n$ sind. Der Ansatz $y_p(x) = Y(x) \cdot u(x)$ (mit $u(x) = (u_1(x), \ldots , u_n(x))^T$) führt auf die Gleichung
\[u'(x) = Y^{-1}(x) \cdot f(x)\]
aus der man eine spezielle Lösung des inhomogenen Systems erhalten kann.

\subsection{Beispiel}

\[\left.\begin{array}{lcr} y'_1 &=& -y_1 + y_2 + e^x\\ y'_2 & = & y_1  - y_2 + e^x\end{array}\right\} \Longrightarrow y' = A \cdot y + f = \left[\begin{array}{rr}-1&1\\1&-1\end{array}\right] \cdot y + \left[\begin{array}{cc}e^x\\e^x\end{array}\right]\]
Eigenwerte von $A$ und zugehörige Eigenvektoren:

\bigskip

\begin{tabular}{p{6cm}l}
$\lambda_1 = -2$, $\lambda_2 = 0$ &  [$det(A - \lambda \cdot E) = 0$]\\
\\
$r_1 = (1,-1)^T$, $r_2 = (1,1)^T$ & (linear unabhängig)\\
\end{tabular}

\vspace{0.7cm}

$\Rightarrow y_h = C_1 \cdot \left[\begin{array}{rr}1\\-1\end{array}\right] \cdot e^{-2x} + C_2 \cdot \left[\begin{array}{rr}1\\1\end{array}\right] = C_1 \cdot \left[\begin{array}{rr}e^{-2x}\\-e^{-2x}\end{array}\right] + C_2 \cdot \left[\begin{array}{rr}1\\1\end{array}\right]$

\bigskip

Lösungsvektoren in Matrix $Y(x)$ zusammenfassen:
\[Y(x) = \left[\begin{array}{rr}e^{-2x} & 1\\ - e^{-2x} & 1\end{array}\right], \quad Y^{-1}(x) = \frac{e^{2x}}{2} \cdot \left[\begin{array}{rr}1 & -1\\ e^{-2x} & e^{-2x}\end{array}\right]\]
\[u'(x) = Y^{-1}(x) \cdot f(x) = \frac{e^{2x}}{2}\cdot \left[\begin{array}{rr}1 & -1\\ e^{-2x} & e^{-2x}\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{rr}e^{x}\\e^{x}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}0\\e^x\end{array}\right]\]
\[u'(x) =  \left[\begin{array}{cc}0\\e^x\end{array}\right] \quad \Rightarrow\quad  u(x) =  \left[\begin{array}{cc}0\\e^x\end{array}\right]\quad  \Rightarrow\quad  y_p = Y(x) \cdot u(x) =  \left[\begin{array}{cc}e^x\\e^x\end{array}\right]\]

\bigskip

Allgemeine Lösung des inhomogenen Systems:
\[y = y_h + y_p = \left[\begin{array}{rr}C_1 \cdot e^{-2x} + C_2 + e^x\\ -C_1 \cdot e^{-2x} + C_2 + e^x\end{array}\right]\]

\subsection{Systeme höherer Ordnung}
Ein System expliziter linearer Differentialgleichungen höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten läßt sich durch Einführung neuer unbekannter Funktionen auf ein System erster Ordnung überführen. Erläuterung an einem Beispiel:
\begin{align*}
y''_1(x) + y'_1(x) + y_1(x) - y_2(x) &= x \\
y''_2(x) - y'_2(x) - y_1(x) + 2\cdot y_2(x) &= x^2
\end{align*}
\newpage
Wir führen die folgenden Funktionen ein
\[u_1 = y_1, \qquad u_2 = y'_1, \qquad u_3 = y_2, \qquad u_4 = y'_2\]
und setzen diese oben ein. Es ergibt sich ein System erster Ordnung (aber mit vier Unbekannten).
\begin{align*}
u'_1(x) &= u_2(x)\\
u'_2(x) &= - u_1(x) - u_2(x) + u_3(x) + x\\
u'_3(x) &= u_4(x)\\
u'_4(x) &= u_1(x) - 2 \cdot u_3(x) + u_4(x) + x^2 
\end{align*}
Oftmals ist es auch möglich, ein System höherer Ordnung durch Elimination der unbekannten Funktionen in eine einzige Differentialgleichung höherer Ordnung zu überführen, in der nur eine der Funktionen vorkommt.

\begin{description}
\item[Verfahren:] Wie Gauß'sche Elimination + Differenzieren einer Gleichung als zusätzliche Umformung.
\item[Beispiel:] (Gleichungssystem wie oben)

(2) nach $y_1$ auflösen:

(2.1) $y_1(x) = y''_2(x) - y'_2(x) + 2y_2(x) - x^2$

zweimal ableiten:

(2.2) $y'_1(x) = y'''_2(x) - y''_2(x) + 2 \cdot y'(x) - 2x$

(2.3) $y''_1(x) = y^{(4)}_2(x) - y'''_2(x) + 2 \cdot y''(x) -2$

(2.1) $-$ (2.3) in (1) einsetzen:
\[y^{(4)}_2 + 2y''_2(x) + y'_2 + y_2(x) = x^2 + 3x + 2\]
lineare Differentialgleichung vierter Ordnung für $y_2$
\end{description}

\index{Anfangswertprobleme!numerische Verfahren}
\section{Numerische Verfahren für Anfangswertprobleme}
Viele Differentialgleichungen sind nicht formelmäßig lösbar, z.B. $y'(x) = x^2 + y^2(x)$

\paragraph{Numerische Verfahren:} An gewissen sogenannten \emph{Gitterpunkten} $x_i$ werden Näherungswerte $y_i$ für die exakten Werte $y(x_i)$ bestimmt. In diesem Abschnitt betrachten wir zuerst Anfangswertprobleme der Form:
\[y'(x) = f(x,y), \qquad x \in [a,b], \qquad y(x_0) = y_0\]

wobei $x_0 \in [a,b]$ und $y:[a,b] \longrightarrow \mathbb R$.  
Als Gitterpunkte wählen wir eine \emph{äquidistante} Einteilung des Intervalls $[a,b]: x_i = a + i\cdot h$, $i = 0, 1, \ldots , n$, mit der \emph{Schrittweite} $h = \frac{b-a}{n}$

\index{Eulersche Polynomzugmethode}
\index{Polynomzugmethode}
\index{Anfangswertprobleme!Polynomzugmethode}
\subsection{Die Eulersche Polynomzugmethode}

\begin{minipage}{11cm}
\begin{itemize}
\item Gehe vom Anfangspunkt ($x_0, y_0$) aus geradlinig mit der dort gegebenen Steigung $f(x_0,y_0)$ um die Schrittweite $h$ nach rechts.
\item Von dem so erhaltenen Punkt $(x_1,y_1)$ gehe mit der dort vorliegenden Steigung einen weiteren Schritt nach rechts
\item usw.
\end{itemize}
\end{minipage}
\begin{minipage}{4.8cm}
\hfill 
\begin{picture}(130,100)
\put(15,20){\vector(0,1){80}}
\put(10,25){\vector(1,0){120}}
\put(7,90){$y$}
\put(119,17){$x$}
\multiput(30,23)(30,0){3}{\line(0,1){4}}
\multiput(30,45)(30,15){2}{\circle*{2}}
\put(90,90){\circle*{2}}
\put(60,60){\line(1,1){30}}
\put(21,17){$\scriptstyle a=x_0$}
\put(49,17){$\underbrace{\scriptstyle x_0+h}_{x_1}$}
\put(79,17){$\underbrace{\scriptstyle x_1+h}_{x_2}$}
\put(30,45){\line(2,1){30}}
\put(15.5,52){$\scriptstyle (x_0,y_0)$}
\put(53,51){$\scriptstyle (x_1,y_1)$}
\put(78,93){$\scriptstyle (x_2,y_2)$}
\end{picture}
\end{minipage}

\paragraph{Rekursionsvorschrift:} $n$ gegeben, $h = \frac{b-a}{n}$, $x_0 = a$,  $y_0 = y(x_0)$

\[x_{i+1} = x_i + h, \quad y_{i+1} = y_i + h \cdot f(x_i,y_i) \quad (i = 0,1,\ldots, n)\]

\subsection{Beispiel}

$\displaystyle y'(x) = y(x) - \frac{2x}{y(x)}, \quad x \in [0,1], \quad y(0) = 1$
mit $h = 0,\!1$ (d.h. $n = 10$)

\bigskip

Man rechne mit 4 Dezimalstellen und vergleiche die Näherungswerte mit den Werten der exakten Lösung $y(x) = \sqrt{2x + 1}$.

\subsubsection*{Rekursionsvorschrift, Ergebnis}
\begin{minipage}{08cm}
$x_0 = 0$, $y_0 = 1$

\bigskip

 $x_{i+1} = x_1 + 0,\!1$

\bigskip

$y_{i+1} = y_i + 0,\!1 \cdot \left(y_i - \frac{2x_i}{y_i}\right)$

\bigskip

$i = 0,1,\ldots, 10$
\end{minipage}
\begin{minipage}{4.7cm}

\begin{tabular}{c|ccc}
$i$ & $x_i$ & $y_i$ & $y(x_i)$\\
\hline
\hline
$0$ & $0,\!0$ & $1,\!0000$ & $1,\!0000$\\
$1$ & $0,\!1$ & $1,\!1000$ & $1,\!0954$\\
$2$ & $0,\!2$ & $1,\!1918$ & $1,\!1832$\\
$\vdots$ & $\vdots$   & $\vdots$ & $\vdots$\\
$10$ & $1,\!0$ & $1,\!7847$ & $1,\!7320$
\end{tabular}

\end{minipage}

\index{Halbschrittverfahren}
\index{Anfangswertprobleme!Halbschrittverfahren}
\subsection{Das Halbschrittverfahren}

Ähnlich wie das Euler--Verfahren, i.A. aber genauer.


\begin{description}
\item[Verfahrensvorschrift im $i$--ten Schritt:] gehe vom Punkt $(x_i,y_i)$ aus mit der dort gegebenen Steigung $f(x_i, y_i)$ eine halbe Schrittweite $\frac h 2$ nach rechts. Bestimme dort die Steigung $f(x_1 + \frac h 2, y_i + \frac{h}{2}\cdot f(x_i,y_i))$ und gehe mit dieser Steigung von $(x_i,y_i)$ aus einen Schritt mit voller Schrittweite nach rechts.
\end{description}

\paragraph*{Rekursionsvorschrift:} ($n$ gegeben, $h = \frac{b-a}{n}$)

\bigskip

$x_0 = a$, $y_0 = y(x_0)$

\bigskip

$x_{i+1} = x_i + h$ 

$y_{i+1} = y_i + h \cdot f(x_i + \frac h 2 , y_i + \frac h 2 \cdot f(x_i,y_i))$

\bigskip

Ein ähnliches aber noch schnelleres Verfahren ist das \emph{Runge--Kutta--Verfahren}, das wir nicht behandeln (siehe Formelsammlung).

\subsection{Das Euler--Verfahren für DGL--Systeme}

Wir betrachten das Anfangswertproblem \quad $y'(x) = f(x,y), x \in [a,b]$

\[y(x_0) = y^{(0)}, \quad y = (y_1,\ldots , y_n)^T, \quad y' = (y'_1, \ldots, y'_n)^T,  \quad y^{(0)} = y(x_0) = (y_1^{(0)}, \ldots , y_n^{(n)})^T\]

(Der Wertebereich von $f$ liegt in $\mathbb R$).

Das Verfahren ist wie in (14.7.1). Wir schreiben jedoch die Nummer des Iterationsschrittes bei $y$ als oberer Index.

\paragraph*{Rekursionsvorschrift:} ($n$ gegeben, $h=\frac{b-a}{n}$)

\[x_0 = a, \quad x_{i+1} = x_i + h, \quad y^{(0)} = y(x_0), \quad y^{(i+1)} = y^x¬{(i)} + h \cdot f(x_i, y^{(i)})\]

\subsection{Beispiel}

$u'(x) = v(x)$

\smallskip

$v'(x) = - \sin(u(x)), \qquad 0 \leq x\leq \pi$

\smallskip

$u(0) = 0, \quad v(0) = 1$ \quad mit $h = \frac{\pi}{4}$, $n = 4$

\begin{description}
\item[Die Funktion $f$:] $f(x,u,v) = (v, - \sin u)^T$
\item[Bezeichnung:] $y^{(i)} = (u_i , v_i)^T$
\item[Rekursionsvorschrift:] $x_0 = 0$, $y^{(0)} = (0,1)^T = (u_0, v_0)^T$

$x_{i+1} = x_i + h$

$y^{(i+1)} = y^{(i)} + \frac{\pi}{4} \cdot (v_i , -\sin (u_i))^T \qquad i=0,\ldots,4$
\end{description}

\subsubsection*{Ergebnis}

\begin{tabular}{c|ccc}
$i$ & $x_0$ & $u^{(i)}$ & $\phantom{-}v^{(i)}$\\
\hline
\hline
$0$ & $0,\!00\,\pi$ & $0,\!0000$ & $\phantom{-}1,\!0000$\\
$1$ & $0,\!25\,\pi$ & $1,\!7854$ & $\phantom{-}1,\!0000$\\
$2$ & $0,\!50\,\pi$ & $1,\!5708$ & $\phantom{-}0,\!4446$\\
$3$ & $0,\!75\,\pi$ & $1,\!9200$ & $-0,\!3407$\\
$4$ & $1,\!00\,\pi$ & $1,\!6524$ & $-1,\!0788$
\end{tabular}

\subsection*{Literatur zu Differentialgleichungen}

\begin{itemize}
\item Fetzer / Fränkel: Mathematik, Band 2
\item Papula: Mathematik für Ingenieure, Band 2
\item Collatz: Differentialgleichungen
\end{itemize}

\chapter{Funktionentheorie}

\paragraph*{Literatur:} Bug, Haf, Wille: Funktionentheorie

\section{Die komplexen Zahlen (Wiederholung)}
\index{Komplexe Zahlen}

\begin{description}
\item[$\mathbb C$:] Menge der komplexen Zahlen
\item[$i$:] \emph{imaginäres Element}, $i^2 = -1$
\end{description}

Ist $z = x + iy, \; (x,y \in \mathbb R)$ eine komplexe Zahl (\emph{algebraische Darstellung}), so nennt man $x$ den \emph{Realteil} und $y$ den \emph{Imaginärteil} von $z$. In Zeichen: $x = \mathrm{Re}\, z$, $y = \mathrm{Im}\, z$.

\smallskip

Es gilt:

\begin{minipage}{7cm}
\begin{align*}
\mathrm{Re}\,(z+w) &= \mathrm{Re}\, z + \mathrm{Re}\, w \\
\mathrm{Im}\,(z+w) &= \mathrm{Im}\, z + \mathrm{Im}\, w \\
\end{align*}
\end{minipage}
\begin{minipage}{7.8cm}
\[\left.\begin{array}{l}
\mathrm{Re}\,(a \cdot z) = a \cdot \mathrm{Re}\, z \\
\mathrm{Im}\,(a \cdot z) = a \cdot \mathrm{Im}\, z 
\end{array}\right\} a \in \mathbb R\]
\end{minipage}

Geometrische Veranschulichung von $\mathbb C$: \emph{komplexe Zahlenebene}, \emph{Gaußsche Zahlenebene}.  

\smallskip

Der Punkt $(x,y)$ entspricht der komplexen Zahl $z = x + iy$.


\bigskip

Ist $z = x+iy \ne 0$, so ist $\displaystyle \frac{1}{z} = \frac{x}{x^2+y^2} - i \cdot \frac{y}{x^2 + y^2}$.

\bigskip

Die Zahl $\overline z = x - iy$ heißt die zu $z$ \emph{konjugierte} Zahl. Es gilt: \index{konjugiert komplex}
\begin{align*}
\overline{z+w} &= \overline z + \overline w &  \overline{z \cdot w} &= \overline z \cdot \overline w & \overline{\overline{z}} &= z\\
z \cdot \overline z & = x^2 + y^2& \mathrm{Re}\, z &=\frac{z + \overline z}{2}& \mathrm{Im}\,z &=\frac{z - \overline z}{2i} 
\end{align*}

Die nichtnegative Zahl $|z| = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{z \cdot \overline z}$ heißt der \emph{Betrag} von $z$ (Abstand des Punktes $z$ vom Nullpunkt).  Eigenschaften: 
\begin{align*}
-|z| &\leq \mathrm{Re}\, z \leq |z| & |z\cdot w| &= |z| \cdot |w|\\
-|z| &\leq \mathrm{Im}\, z \leq |z| & |z + w| &\leq |z| + |w|
\end{align*}

Trigonometrische Darstellung für $z \in \mathbb C \smallsetminus \{0\}$: $z = r \cdot( \cos \varphi + i \cdot \sin \varphi)$ wobei $r$ und $\varphi$ die Polarkoordinaten des Punktes $(x,y)$ sind. ($z = x + iy$, $r = |z|$, $\varphi = \arg z$, $0 \leq \varphi \leq 2\pi$.) 

\bigskip

Bei der Multiplikation zweier komplexer Zahlen multiplizieren sich die Beträge, die Argumente addieren sich. 


Deshalb ist bei festem $w \ne 0$ die Abbildung $z \longrightarrow w \cdot z$ der komplexen Ebene auf sich eine Drehung um $\arg w$, verbunden mit einer Streckung um den Faktor $|w|$, kurz eine \emph{Drehstreckung}. Zum Beispiel: Die Multiplikation mit $i$ ist eine Drehung um $90^{\circ}$. 


\section{Stetige Funktionen}\index{stetige Funktionen}

In diesem Kapitel untersuchen wir hauptsächlich Funktionen
\[f:D_f \longrightarrow \mathbb C \quad \text{wobei} \quad D_f \subset \mathbb C\]
(Sowohl Wertebereich als auch Definitionsbereich ist komplex.) Mit $g(z) = \mathrm{Re}\,f(z)$ und $h(z) = \mathrm{Im}\,f(z)$ gilt: $f(z) = g(z) + i \cdot h(z)$ wobei $g$ und $h$ reellwertige Funktionen auf $D_f$ sind.

\smallskip

Betrachten wir $z = x + iy$ als einen Punkt der komplexen Zahlenebene, so kann man $g$ und auch $h$ als reellwertige Funktionen von zwei reellen Variablen betrachten.

\subsubsection*{Beispiele}

\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\roman{enumi})}
\item Konstante Funktion $f(z) = c$ für alle $z \in \mathbb C$ mit einer $c \in \mathbb C$
\item $f(z) = \overline z$, Spiegelung an der reellen Achse
\item $f(z) = a \cdot z, \; (a \ne 0)$, Drehstreckung
\item $\mathrm{Re}\,z$, $\mathrm{Im}\,z$, $|z|$, reellwertige Funktionen auf $\mathbb C$
\item $P(z) = a_n \cdot z^n + \cdots + a_1 \cdot z + a_0$, $a_i \in \mathbb C$, $a_n \ne 0$, \emph{Polynom $n$--ten Grades}
\item $R(z) = \dfrac{P(z)}{Q(z)}$, wobei $P$ und $Q$ Polynome sind ($Q$ nicht identisch $0$): rationale Funktion
\end{enumerate}

Der \emph{Graph einer Funktion} ist die Menge $\{(z, f(z)): z \in D_f\}$ die als Teilmenge von $\mathbb R^4$ betrachtet werden kann, er entzieht sich damit der Anschauung. 

\smallskip

Eine Möglichkeit der Darstellung von $f$ ist die Zeichnung der Niveaulinien von $\mathrm{Re}\,f$, $\mathrm{Im}\,f$, $|f|$.


\paragraph{Beispiel:} $f(z) = z^2 = (x + iy)^2 = \underbrace{(x^2 - y^2)}_{\mathrm{Re}\,f} + i \underbrace{(2xy)}_{\mathrm{Im}\,f}$

$\left.\begin{array}{rl}
x^2 - y^2  = c & \in \mathbb R\\
2xy  = c & \in \mathbb R\\
\end{array}\right\} \text{Niveaulinien}$

\bigskip

$|f(z)| = |z^2| = c \geq 0 \quad \Rightarrow$ Kreise

\bigskip

Da wir $\mathbb C$ auch als Ebene betrachten können, können wir die folgenden Begriffe aus $\mathbb R^2$ übernehmen: offene Menge (häufig \emph{Bereich} genannt), abgeschlossene Menge, Rand einer Menge. \index{offene Menge (Bereich)}\index{Bereich (offene Menge)}


\subsubsection{Konvergenz einer Folge von komplexen Zahlen}\index{Konvergenz}

Eine Folge $\{z_n\}_1^{\infty} = \{x_n + i\cdot y_n\}_1^{\infty}$ komplexer Zahlen \emph{konvergiert gegen} $z = x+ iy$, wenn 
\[\left[\lim\limits_{n \to \infty} x_n = x \quad \text{und}  \quad \lim\limits_{n \to \infty} y_n = y\right] \quad \Leftrightarrow \quad  \lim\limits_{n \to \infty}|z_n - z| = 0\]

\subsection{Definition}

Eine Funktion $f$ heißt \emph{stetig} im Punkt $z \in D_f$ wenn aus $\lim\limits_{n \to \infty} z_n =  z$ folgt, daß $\lim\limits_{n \to \infty} f(z_n) = f(z)$.

\smallskip

Ist $f$ stetig in jedem Punkt einer Menge $U$, so sagen wir, daß \emph{$f$ auf $U$ stetig ist}.

\begin{description}
\item[Bemerkung:] $f$ ist genau dann stetig auf $U$, wenn dort $\mathrm{Re}\,f$ und $\mathrm{Im}\,f$ stetig sind.
\end{description}

Die Funktionen im obigen Beispiel sind alle stetig auf ihrem Definitionsbereich.

\subsection{Satz}

Ist die Funktion $f$ auf der beschränkten, abgeschlossenen Menge $K$ stetig, so nehmen die Funktionen $\mathrm{Re}\,f$, $\mathrm{Im}\,f$ und $|f|$ auf $K$ ihr Minimum und Maximum an. Insbesondere sind all diese Funktionen beschränkt auf $K$.

\subsection{Definition}

Es sei $M \subset \mathbb{C}$. Ein \emph{Weg} (\emph{Kurve}) \emph{in $M$} ist eine stetige Abbildung $\gamma$ eines Intervalls $[a,b] \subset \mathbb R$ in $M$. $\gamma (a)$ heißt \emph{Anfangspunkt}, $\gamma (b)$ heißt Endpunkt von $\gamma$. \index{Weg (Kurve)}\index{Kurve (Weg)}

\smallskip

Man sagt auch: $\gamma$ \emph{verbindet} $\gamma(a)$ und $\gamma(b)$. Zwei Punkte in $M$ heißen \emph{Verbindbar}, wenn es einen Weg in $M$ gibt, der sie verbindet.

\smallskip

Die Menge $M$ heißt (wegweise) \emph{zusammenhängend}, wenn je zwei Punkte  von $M$ miteinander verbindbar sind. Eine zusammenhängende, offene Menge wird auch \emph{Gebiet} genannt. \index{zusammenhängend}

\subsubsection*{Beispiele für Wege}

\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})}
\item $\gamma (t) = (1 - t) \cdot z_1 + t \cdot z_2$, $t \in [0,1]$ \quad (Gerade) 
\item $\gamma(t) = z_0 + r \cdot (\cos t + i \cdot \sin t) = z_0 + r \cdot e^{it}$, $t \in [0,2\pi]$\quad (\emph{Kreislinie} um $z_0$ mit $r$)

$\Rightarrow x = x_0 + r \cdot \cos t$, $y = y_0 + r \cdot \sin t$
\end{enumerate}


\subsubsection*{Beispiele für Gebiete}

\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})}
\item $\{z \in \mathbb C : |z - z_0| < r\}$ \quad Kreisscheibe (ohne Rand) vom Radius $r$, Mittelpunkt $z_0$

\item  $\{z \in \mathbb C : \mathrm{Im}\, z > 0\}$ \quad obere Halbebene

\item  $\{z \in \mathbb C : \mathrm{Re}\, z > 0\}$ \quad rechte Halbebene
\end{enumerate}

\section{Differenzierbarkeit} \index{Differenzierbarkeit}

\subsection{Definition}

Es sei $f$ eine auf der offenen Menge $U \subset \mathbb C$ definierte komplexe Funktion und $z_0 \in U$.

Die Funktion $f$ heißt in $z_0$ (komplex) \emph{differenzierbar}, wenn der Grenzwert 
\[\lim\limits_{z\to z_0} \frac{f(z) - f(z_0)}{z-z_0}\]
existiert. Dieser Grenzwert heißt \emph{Ableitung} von $f$ an der Stelle $z_0$.
\textbf{Schreibweise:} $f'(z_0)$.

Die Funktion $f':D_{f'} \longrightarrow \mathbb C$ heißt die (erste) \emph{Ableitungsfunktion} von $f$, wobei $D_{f'} = \{z \in D_f : f'(z) \text{ existiert}\}$.

\paragraph{Bemerkung:} Es gilt: $f'(z_0) = \lim\limits_{h \to 0} \frac{f(z_0 + h) - f(z_0)}{h}$ ($h$ anstelle von $z - z_0$ in der obigen Definition.)

Ist $f$ in jedem Punkt von $U$ differenzierbar, so heißt $f$ \emph{holomorph} auf $U$. \index{Holomorphie}

\subsection{Beispiele}

\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})}
\item $f(z) = z^3$ ist holomorph auf $\mathbb C$

\[\frac{f(z_0 + h) - f(z_0)}{h} = \frac{(z_0 + h)^3 - {z_0}^3}{h} = \frac{3{z_0}^3  h + 3 z_0 h^2 + h^3}{h}\]
\[3{z_0}^3 + 3 z_0 h + h^2  \xrightarrow{\:h\to\infty\;} 3{z_0}^2 \quad (\forall z_0 \in\mathbb C)\] 

\item Die Funktion $f(z) = \overline z$ ist in \textbf{keinem} Punkt $z_0 \in \mathbb C$ differenzierbar.
\[\frac{f(z_0+h) - f(z_0)}{h} = \frac{\overline{z_0 + h} - \overline{z_0}}{h} = \frac{\overline h}{h}\]
Der Grenzwert $\lim\limits_{h \to 0} \frac{\overline h}{h}$ existiert aber nicht: liegt $h$ auf der reellen Achse, so ist $\frac{\overline h}{h} = 1$, liegt $h$ auf der imaginären Achse so ist $\frac{\overline h}{h} = \frac{-h}{h} = -1$.
\end{enumerate}

\paragraph{Bemerkung:} $\left.\begin{array}{l}g(x,y) = \mathrm{Re}\, f(x+iy) = \phantom{-}x\\ h(x,y) = \mathrm{Im}\,f(x+iy)  = -y\end{array}\right\}$ beliebig oft partiell differenzierbar


\subsection{Satz (Kettenregel)} \index{Kettenregel}

Es seien $f : U \longrightarrow V$, $g: V \longrightarrow \mathbb C$ differenzierbare Funktionen auf den offenen Mengen $U$ und $V$. Dann ist die zusammengesetzte Funktion $F = g(h)$ auf $U$ differenzierbar und es gilt: \[F'(z) = f'(z) \cdot g'(f(z))\]

\subsection{Ableitung der Umkehrfunktion} \index{Umkehrfunktion, Ableitung} 

Es sei $f$ eine holomorphe Funktion auf der offenen Menge $U$. Ist $z_0 \in U$ und $f(z_0) \ne 0$, so gibt es eine Umgebung $U_0 \subset U$ von $z_0$ mit der folgenden Eigenschaft:  Auf $U_0$ ist die Funktion \emph{invertierbar}, die Umkehrfunktion $f^{-1}$ ist holomorph auf $f(U_0)$ (der Wertebereich von $f$ auf $U_0$) und es gilt:
\[(f^{-1})' (z) = \frac{1}{f'(f^{-1}(z))}\]
\paragraph{Beispiel:} $f(z) = z^2$, $f'(z) = 2z \ne 0 \text{ für } z \ne 0$

\bigskip

Der nächste Satz gilt \emph{nicht} für reelle Funktionen

\subsection{Satz} Ist eine Funktion auf einer offenen Menge differenzierbar, so ist sie dort \textbf{beliebig oft} differenzierbar.

\subsection{Die Cauchy-Riemann Differentialgleichungen}\index{Cauchy-Riemann DGLn}

Eine Funktion $f(z) = f(x + iy) = g(x,y) + i \, h(x,y)$ auf einer offenen Menge $U$ ist genau dann differenzierbar, wenn $g$ und $h$ auf $U$ stetig partiell differenzierbar sind und $g_x = h_y$, $g_y = - h_x$. Ist $f$ diffbar, so gilt:
\[f'(z) = g_x + i \cdot h_x = h_y - i \cdot g_y\] 

\paragraph{Beispiel:}  $f(z) = z^2 = (x+iy)^2 = \underbrace{(x^2 - y^2)}_{g(x,y)} +\, i  \underbrace{(2xy)}_{h(x,y)}$ \quad $\Rightarrow \quad g_x = 2x = h_y$, $g_y = - 2y = - h_x$

Wir leiten die erste Cauchy--Riemansche Differentialgleichung nach $x$, die zweite nach $y$ ab.

\[\left.\begin{array}{l}g_{xx} = h_{yx} \\ g_{yy} = - h_{xy} = - h_{yx}\end{array}\right\} \Rightarrow g_{xx} + g_{yy} = 0\]

Analog sieht man: $h_{xx}+ h_{yy} = 0$

\bigskip

Der Realanteil und der Imaginäranteil einer holomorphen Funktion erfüllen also die sogenannte \emph{Laplace-Gleichung} \[\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0.\]
Funktionen, die diese Gleichung erfüllen heißen \emph{harmonisch}. \index{harmonische Funktion} \index{Laplace-Gleichung}

\paragraph{Beispiel:} $x^2 - y^2$, $e^x \cdot \cos y$, $\log(x^2 + y^2)$

\section{Potenzreihen} \index{Potenzreihen}
\subsection{Definition}

Gegeben sei eine Folge $\{a_n\}$, $a_n \in \mathbb C$.
\[s_n \stackrel{\text{Def.}}{=} a_1 + \cdots + a_n = \sum\limits_{k=1}^n a_k\]
Die Folge $\{s_n\}$ heißt die Folge der \emph{Partialsummen} von $\{a_n\}$. \index{Partialsumme}

Diese Folge heißt die zu der Folge $\{a_n\}$ gehörende \emph{unendliche Reihe}. Konvergiert $\{s_n\}$ gegen eine komplexe Zahl $s \in \mathbb C$, so sagen wir, die Reihe sei \emph{konvergent} und besitze die \emph{Summe} $s$.

\paragraph{Schreibweise:} $s = \sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k = \lim\limits_{n \to \infty} \sum\limits_{k=1}^n a_k = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots$

Existiert der Grenzwert nicht, so heißt die Reihe \emph{divergent}. Eine Reihe $\sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k$ heißt \emph{absolut konvergent}, wenn die Reihe  $\sum\limits_{k=1}^{\infty} |a_k|$ konvergiert. Absolute Konvergenz zieht Konvergenz nach sich. Da $\sum\limits_{k=1}^{\infty} |a_k|$ eine Reihe reeller Zahlen ist, hat man für absolute Konvergenz die üblichen Tests für reelle Reihen: Quotientenkriterium, Wurzelkriterium, Majoranten- und Minorantenkriterium.

Ist die Reihe $\sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k$ konvergent, so ist $\lim\limits_{k\to \infty} a_k = 0$.

\subsection{Beispiel}

Die geometrische Reihe $\sum\limits_{n=0}^{\infty} z^n \ (z \in \mathbb C)$ ist für $|z| < 1$ absolut konvergent.

\smallskip

Für $|z| \geq 1$ ist ${\{z^k\}}^{\infty}_{k=1}$ keine Nullfolge, die geometrische Reihe divergiert dann.

\smallskip

Es gilt: $\sum\limits_{k=0}^{n} z^k = \dfrac{1-z^{n+1}}{1-z} \ (n = 0,1,\ldots)$

\smallskip

Für $|z| < 1$ ist $\lim\limits_{n\to \infty} z^{n+1} = 0$, also $\sum\limits_{k=0}^{\infty} z^k = \dfrac{1}{1-z}$, $|z| < 1$.

\subsection{Definition: Potenzreihe}

Eine \emph{Potenzreihe} ist eine unendliche Reihe der Form
\[\sum\limits_{k=0}^{\infty} z^k = a_k \cdot (z - z_0)^k \quad \text{wobei} \quad a_k,\, z,\,z_0 \in \mathbb C\]
Der Punkt $z_0$ heißt \emph{Entwicklungspunkt}. \index{Entwicklungspunkt}

\paragraph{Beispiel:} Die geometrische Reihe (siehe oben), $a_k = 1$, $z_0 = 0$. Ihre Konvergenzmenge ist die offene Kreisscheibe $\{z \in \mathbb C : |z| < 1\}$.

\smallskip

Die allgemeine Situation ist nicht wesentlich komplizierter:

\subsection{Satz}
Für jede Potenzreihe $f(z) = \sum\limits_{k=0}^{\infty} a_k \cdot (z-z_0)^k$ gibt es ein $r$ mit $0 \leq r \leq \infty$, so daß die Potenzreihe für $|z - z_0| < r$ absolut konvergient, für $|z - z_0|> r$ divergent ist.
Ist $r > 0$, so ist $f$ auf 
\[D_r(z_0) = \{z \in \mathbb C : |z-z_0| < r\}\]
holomorph, ihre Ableitung berechnet sich durch \emph{gliedweise Differentiation}:
\[f'(z) = \sum\limits_{k=1}^{\infty} k \cdot k \cdot a_k \cdot (z-z_0)\]
Die Zahl $r$ heißt \emph{Konvergenzradius}, die Menge $D_r(z_0)$ \emph{Konvergenzkreis} der Reihe. Über die Konvergenz auf dem Rande lassen sich keine allgemeinen Aussagen machen. $r$ läßt sich wie in reellen Funktionen bestimmen: \index{Konvergenzradius} \index{Konvergenzkreis}
\[r = \lim\limits_{n \to \infty} \left|\dfrac{a_n}{a_{n+1}}\right| \quad \text{und} \quad r=\dfrac{1}{\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[m]{|a_n|}}\]
falls die Grenzwerte existieren.

\subsection{Beispiele}


Der Konvergenzradius der Potenzreihen $\sum\limits_{n=0}^{\infty} z^n, \ \sum\limits_{n=1}^{\infty} n \cdot z^{n-1}, \ \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac 1 n^z$
ist gleich 1.

Für $\sum\limits_{n=0}^{\infty} n^n \cdot z^n$ ist $r =0$ für $\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n^n} \cdot z^n$ ist $r = \infty$.

Wir berechnen die Summe der Reihe $\sum\limits_{n=1}^{\infty} n \cdot z^{n-1}$:
\[\sum\limits_{n=1}^{\infty} n \cdot z^{n-1} = \left(\sum\limits_{n=0}^{\infty} z^n\right)' = \left(\frac{1}{1-z}\right)' = \frac{1}{(z-1)^2}\]
Sei $f(z) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac 1 n \cdot z^n$. Dann gilt für $|z| < 1$:
\[f'(z) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} z^{n-1} = \sum\limits_{n=0}^{\infty} z^n = \frac{1}{1-z}\]
Wie man hieraus $f$ bestimmen kann, sehen wir im nächsten Abschnitt.


\section{Elementare Funktionen}\index{Elementare Fkten in $\mathbb C$}

Bereits bekannt:  $\displaystyle e^x = \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \cdot x^n, \ x \in \mathbb R$ (die Taylor-Reihe der Funktion $e^x$).


Deshalb definieren wir die Exponentialfunktion auf $\mathbb C$ durch
\[e^z = \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \cdot z^n = 1 + z + \frac 1 2 z^2 + \frac 1 6 z^3 + \cdots \qquad (z \in \mathbb C)\]

Analog erweitern wir die trigonometrischen Funktionen auf $\mathbb C$:
\begin{align*}
\cos z &= \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} \cdot z^{2n} \phantom{+1^{+1}}= 1 - \frac 1 2 z^2 + \frac{1}{24} z^4 + \cdots & (z \in \mathbb C)\\
\sin z &= \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} \cdot z^{2n+1}  = z - \frac 1 6 z^3 + \frac{1}{120} z^5 + \cdots & (z \in \mathbb C)
\end{align*}

Nach Satz (15.4.4) sind $e^z,\ \sin z,\ \cos z$ holomorphe Funktionen auf $\mathbb C$. Aus der Definition folgt: $\cos(-z) = \cos z$, $\sin(-z) = -\sin z$

\smallskip

Durch gliedweise Differentiation erhalten wir
\[(e^z)' = \left(\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \cdot z^n\right)' = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n-1)!} \cdot z^{n-1} = \sum\limits_{n=0}^{\infty} \cdot \frac{1}{n!} \cdot z^n = e^z\]
Analog sehen wir, daß $(\cos z)' = -\sin z$ und $(\sin z)' = \cos z$.

\smallskip

Aus der Definition folgen die \emph{Euler'schen Gleichungen}: \index{Euler'sche GLN}
\begin{align*}
e^{iz} &= \cos z + i\sin z & e^{-iz} &= \cos z - i \sin z\\
\cos z &= \frac 1 2 \left(e^{iz} + e^{-iz}\right) & \sin z &=\frac{1}{2i} \left(e^{iz} - e^{-iz}\right)
\end{align*}

Man kann zeigen, daß $e^{z+t} = e^z \cdot e^t \ (t,t \in \mathbb C)$. Hieraus und aus den Euler'schen Gleichungen folgt:
\begin{align*}
\sin (z+t) &= \sin z \cdot \cos t +  \cos z \cdot \sin t & \cos (z + t) &= \cos z \cdot \cos t - \sin z \cdot \sin t
\end{align*}
Die 1. Gleichung mit $t = \frac{\pi}{2}$: $\sin (z + \frac{\pi}{2}) = \cos z$

Die 2. Gleichung mit $t = -z$: $1  = \cos^2 z + \sin^2 z$

\bigskip

Aus den Euler'schen Gleichungen erhalten wir: \[e^z = e^{x+iy} = e^x \cdot e^{iy} = e^x \cdot (\cos y + i \sin y) = r \cdot (\cos y + i \sin y) \]
(die trigonometrische Darstellung von $e^z$), wobei $r = |e^z|$, $y = \varphi + 2 l \pi i$ mit einer ganzen Zahl $l$.
\[e^{2k\pi i} = 1,\ e^{z+2k\pi i} = e^z \ (k=0, \pm 1,\pm 2,\ldots)\]
Die komplexe Exponentialfunktion hat also die Periode $2\pi i$ (und auch die ganzzahligen Vielfachen von $2\pi i$). Andere Perioden gibt es nicht. Die Funktion $e^z$ hat keine Nullstellen, da $e^z \cdot e^{-z} = e^0 = 1 \ne 0 \Rightarrow e^z \ne 0$. 

Die Funktionen $\cos z$ und $\sin z$ haben nur reelle Nullstellen. Sie haben die Periode $2k\pi$, $(k = \pm 1, \pm 2,\ldots)$, andere Perioden gibt es nicht.

Die reellen Funktionen Tangens und Cotangens lassen sich zu holomorphen Funktionen fortsetzen durch die Definitionen:
\[\left.\begin{array}{lll}\tan z & =  \dfrac{\sin z}{\cos z}, & z \ne (k+\frac{1}{2})\cdot \pi\\ \\ \cot z & = \dfrac{\cos z}{\sin z}, & z \ne k \cdot \pi\end{array}\right\} k = 0,\,\pm 1,\, \pm 2,\, \ldots\] 
Es gilt:
\[\tan z = \dfrac{1}{i} \cdot \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{e^{iz}+e^{-iz}} = \frac{1}{i} \cdot \frac{e^{2iz} - 1}{e^{2iz} + 1} \quad \text{und} \quad \cot z = i \cdot  \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{e^{iz}-e^{-iz}} = i \cdot \frac{e^{2iz} + 1}{e^{2iz} - 1}\]

Auch die Hyperbelfunktionen lassen sich auf natürliche Weise zu holomorphen Funktionen fortsetzen:
\[\sinh z = \dfrac{e^z - e^{-z}}{2} \qquad \text{und} \qquad \cosh z = \dfrac{e^z + e^{-z}}{2}\]
Aus den Euler'schen Formeln folgt:
\begin{align*}
\sinh z = \frac{1}{i} \sin iz && \cosh z = \cos iz\\
\sin z = \frac{1}{i} \sinh iz && \cos z = \cosh iz
\end{align*}

\subsubsection*{Die Logarithmusfunktionen}\index{Logarithmusfunktionen}

Auf der reellen Achse ist die exponentielle Funktion streng monoton wachsend und deshalb invertierbar. Die Inverse haben wir mit $\log$ oder $\ln$ bezeichnet.

Im komplexen Bereich ist die Situation anders. Die Funktion $e^z$ bildet $\mathbb C$ auf $\mathbb C \smallsetminus \{0\}$ ab, jede komplexe Zahl $w \ne 0$ wird dabei  an unendlich vielen Stellen als Wert angenommen.
\paragraph{Beweis:} Sei $w = r \cdot e^{i\varphi}\ (r = |w| \ne 0,\, \varphi = \mathrm{arg}\,w,\, 0 \leq \varphi < 2\pi)$ die exponentielle Darstellung von $w$. Für $k = 0,\,\pm 1,\, \pm 2,\,\ldots$ sei $z_k = \log r + i(\varphi + 2k\pi)$.

\bigskip

Dann gilt $e^{z_k} = e^{\log r + i(\varphi + 2k\pi)} = e^{\log r} \cdot e^{i(\varphi + 2k\pi)} = r \cdot e^{i\varphi} \cdot 1 = w$
von den unendlich vielen Zahlen $z_k$ liegt genau eine in dem Streifen $D = \{z = x+iy: -\infty < x < \infty,\, -\pi \leq y < \pi\}$, nämlich

\begin{minipage}{6cm}
\quad 
\begin{picture}(150,90)
\put(0,40){\vector(1,0){130}}
\put(60,0){\vector(0,1){80}}
\multiput(0,15)(4,0){16}{\line(1,0){2}}
\multiput(0,65)(4,0){16}{\line(1,0){2}}
\put(63,12){$-i\pi$}
\put(63,62){$i\pi$}
\multiput(76,65)(4,0){11}{\line(1,0){2}}
\multiput(84,15)(4,0){9}{\line(1,0){2}}
\put(110,15){\vector(0,1){50}}
\put(110,65){\vector(0,-1){50}}
\put(113,47){$2\pi i$}
\put(30,49){$D$}
\multiput(85,5)(0,50){2}{\circle*{3}}
\put(90,52){$z_k$}
\put(116,30){Re}
\put(45,70){Im}
\end{picture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{9.9cm}
\begin{align*}
\log r + i\varphi, &\text{ wenn } 0 \leq \varphi < \pi &(k=0)\\
\log r + i(\varphi - 2\pi), &\text{ wenn } \pi \leq \varphi < 2\pi &(k=-1)
\end{align*}
\end{minipage}
\smallskip

Die Einschränkung von $e^z$ auf $D$ ist eine ein-eindeutige Abbildung von $D$ auf $\mathbb C \smallsetminus \{0\}$. Die inverse Funktion nennen wir \emph{Logarithmus} (auch \emph{Hauptzweig} des Logarithmus genannt), und bezeichnen sie auch mit $\log z$ oder $\ln z$.

\smallskip

\textbf{Bezeichnung:} \quad  $\mathbb R_- = (-\infty,0]$ \quad (nichtpositive reelle Zahlen). 

(Im nächsten Satz betrachten wir $\mathbb R_-$ als Teilmenge von $\mathbb C$)

\subsection{Satz}

\begin{minipage}{10cm}
Für $z \in \mathbb C$ mit $|1-z| < 1$ gilt:
\[\log z = \sum\limits_{k=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \cdot \frac{1}{n} (z-1)^n\]
$\log z$ ist differenzierbar auf $\mathbb C \smallsetminus \mathbb R_-$
und $(\log z)' = \dfrac{1}{z}$.
\end{minipage}
\begin{minipage}{5cm}
\begin{picture}(120,85)
\put(0,40){\vector(1,0){110}}
\thicklines\put(0,40){\line(1,0){50}}\thinlines
\put(50,0){\vector(0,1){80}}
\put(66,40){\circle{30}}
\put(66,39){\line(0,1){2}}
\put(63,29){$1$}
\put(90,29){Re$\,z$}
\put(53,70){Im$\,z$}
\put(17,45){$\mathbb R_-$}
\end{picture}
\end{minipage}

In den Punkten von $\mathbb R_- \smallsetminus \{0\}$ ist $\log z$ nicht stetig.

\section{Kurvenintegrale} \index{Kurvenintegrale}

Zur Erinnerung: Ein Weg in einer offenen Menge $U \subset \mathbb C$ ist eine stetige Abbildung $\gamma$ eines Intervalls $[a,b]\in \mathbb R$ in $U$. $\gamma$ läßt sich schreiben als 
\[\gamma(t) = x(t) + iy(t)\] 
wobei $x$ und $y$  stetige, reelle Funktionen sind. Sind sie stückweise stetig differenzierbar, so heißt auch $\gamma$ \emph{stückweise stetig differenzierbar}, oder etwas kürzer: ein \emph{Integrationsweg}.

Ist $\gamma(a) = \gamma(b)$ so heißt der Weg (oder die Kurve) \emph{geschlossen}. Ist $\gamma$ geschlossen und $\gamma(t_1) \ne \gamma(t_2)$ für $a \leq t_1 < t_2 < b$, so heißt $\gamma$ \emph{einfach geschlossen}. Die Ableitung $\gamma'$ von $\gamma$ ist definiert durch $\gamma'(t) = x'(t) + iy'(t)$ für alle $t$, wo $x$ und $y$ differenzierbar sind. Für die endlich vielen Werte, wo $x$ oder $y$ nicht differenzierbar sind setzen wir $\gamma'(t) = 0$ (nur damit $\gamma'$ überall definiert ist).
\subsubsection*{Beispiele:} 
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})}

\begin{minipage}{11cm}       % das sieht irgendwie scheisse aus ...
\item $z_0 = x_0 + i\cdot y_0 \in \mathbb C,\ r > 0$

\smallskip

$\gamma(t) = z_0 + r \cdot e^{it}, \ t = [0,\,2\pi]$

\smallskip

Dann ist $\gamma$ einfach geschlossen und stetig differenzierbar.
\end{minipage}
\begin{minipage}{3.8cm}
\begin{picture}(60,45)
\put(20,20){\circle{45}}
\multiput(20,20)(20,0){2}{\circle*{2}}
\put(17,12){$z_0$}
\put(20,20){\vector(1,1){14.2}}
\put(22,27){$r$}
\put(43,17){$\gamma(0)$}
\put(43,5){$ = \gamma(2\pi)$}
\end{picture}
\end{minipage}
\begin{align*}
\gamma'(t) &= \dfrac{d}{dt}\left[z_0 + r \cdot (\cos t + i  \sin t)\right]
= \dfrac{d}{dt} [(x_0 + r \cdot \cos t) + i(y_0 + r \cdot \sin t)]\\
 &= -r \cdot \sin t + i \cdot r \cdot \cos t =  i \cdot r \cdot (\cos t + i \cdot \sin t)\\
&= i \cdot r \cdot e^{it}
\end{align*}

\item Für $z_0,\, z_1 \in \mathbb C$ ist $\gamma(t) = z_0 + t \cdot(z_1 - z_0),\ t \in [0,\,1]$ die Verbindungsstrecke von $z_0$ nach $z_1$. $\gamma$ ist stetig differenzierbar und $\gamma'(t) = z_1 - z_0$.
\item Allgemeiner: Für $z_0,\,z_1,\,\ldots,\,z_n \in \mathbb C$ definieren wir 
$\gamma:[0,\,n] \to \mathbb C$ durch: \[\gamma(t) = z_k + (t-k) \cdot (z_{k+1} - z_k),\ t \in [k,\,k+1]\]
 \emph{Streckenzug} von $z_0$ nach $z_n$. $\gamma$ ist stückweise differenzierbar, geschlossen, wenn $z_0 = z_n$.

$\gamma'(t) = z_{k+1} - z_k,\ t \in [k,k+1]$
\end{enumerate}

\subsubsection*{Zusammensetzen von Wegen} \index{Weg, zusammengesetzter} \index{zusammengesetzter Weg}

Hat man zwei Wege $\gamma_1:[a,b] \to \mathbb C$, $\gamma_2:[c,d] \to \mathbb C$ derart, daß der Endpunkt $\gamma_1(b)$ von $\gamma_1$ mit dem Anfangspunkt $\gamma_2(c)$ von $\gamma_2$ übereinstimmt, so definiert man den aus $\gamma_1$ und $\gamma_2$ \emph{zusammengesetzten Weg} $\gamma_1\gamma_2$ durch: $\gamma_1\gamma_2 : [a,b+(d-c)] \to \mathbb C$

\begin{minipage}{11cm}
\[\gamma_1\gamma_2(t) = \left\{\begin{array}{ll}\gamma_1(t) & t\in [a,b]\\ \gamma_2(t+c-b) & t \in [b, b+ (d-c)]\end{array}\right.\]
\end{minipage}
\begin{minipage}{4.8cm}
\begin{picture}(100,60)
\put(2,12){$\gamma_1(a)$}
\put(30,15){\circle*{2}}
\put(60,40){\circle*{2}}
\put(32,45){$\gamma_1(b) = \gamma_2(c)$}
\put(95,20){\circle*{2}}
\put(98,17){$\gamma_2(d)$}
\qbezier(30,15)(45,20)(60,40)
\qbezier(60,40)(75,38)(95,20)
\end{picture}
\end{minipage}
Weiterhin erklären wir zu jedem Weg $\gamma:[a,b]\to\mathbb C$ den \emph{entgegengesetzen Weg} $\gamma^{-1}:[a,b]\to\mathbb C$ durch $\gamma^{-1} = \gamma(a+b-t)$ (Anfangs-- und Endpunkte werden vertauscht).

\bigskip

Im Falle von Beispiel (a) ist $\gamma^{-1}$ die im Uhrzeigersinn durchlaufene Kreislinie, sie wird durch $\gamma^{-1}(t) = z_0 + r \cdot e^{-it}$ gegeben ($t \in [0,2\pi],\ a= 0,\, b= 2\pi)$.

\bigskip

Bereits bekannt: Die Länge eines Weges $\gamma(t) = x(t) + iy(t)$ ist \[L(\gamma) = \int\limits_a^b \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2}\, dt = \int\limits_a^b |\gamma'(t)|\, dt\]

\subsection{Satz}

Das \emph{Integral} einer auf $[a,b] \subset \mathbb R$ stückweise stetige, komplexwertigen Funktion $f$ ist definiert durch
\[\int\limits_a^b f(t) \, dt = \int\limits_a^b \mathrm{Re}\,(f(t))\, dt + i \cdot \mathrm{Im}\,(f(t))\,dt\]
Die entsprechenden Eigenschaften reeller Integrale und der Hauptsatz der Differentialrechnung bleiben gültig:
Ist $F:[a:b] \to \mathbb C$ eine differenzierbare Funktion mit $F' = f$, so gilt:
\[\int\limits_a^b f(t)\,dt = F(b) - F(a)\]
\paragraph{Beispiel:} $\int\limits_0^{\pi} e^{it}\,dt = \int\limits_0^{\pi} \cos t\,dt + i \int\limits_0^{\pi} \sin t\,dt = \sin t\Big|_0^{\pi} + i (-\cos t)\Big|_0^{\pi} = 2i$

\smallskip

oder: mit $F(t) = \frac{1}{i} \cdot e^{it}$ gilt: $F'(t) = e^{it} \quad \Rightarrow \quad \int\limits_0^{\pi} e^{it}\, dt = F(\pi) - F(0) = \frac{1}{i}(-1-1) = 2i$

\subsection{Zwischensummen} \index{Zwischensumme}
Es sei $\gamma:[a,b] \to \mathbb C$ ein Integrationsweg und $f$ eine stetige Funktion auf $\gamma$.
Wir wählen eine Zerlegung $Z = z(t_1,t_1,\ldots t_n)$ von $[a,b]$ in $n$ Teilintervalle wobei $a = t_0 < t_1 < \cdots < t_n =b$ und setzen $z_i = \gamma(t_i)$. 

\begin{minipage}{9.5cm}
Auf dem Kurvenstück von $z_{i-1}$ nach $z_i$ wählen wir einen beliebigen Punkt $w_i$ ($i = 1, \ldots , n$) und bilden die \emph{Zwischensumme}
\[S(Z) = \sum\limits_{k=1}^{n} f(w_k) \cdot (z_k - z_{k-1})\] 
\end{minipage}
\begin{minipage}{6.3cm}
\begin{picture}(150,87)

\put(15,30){\line(1,0){140}}
\put(5,20){$\scriptstyle t_0 = a$}
\multiput(15,29)(20,0){8}{\line(0,1){2}}
\put(32,20){$\scriptstyle t_1$}
\put(52,20){$\scriptstyle t_2$}
\put(72,20){$\scriptstyle \cdots$}
\put(132,20){$\scriptstyle \cdots$}
\put(89,20){$\scriptstyle t_{i-1}$}
\put(112,20){$\scriptstyle t_i$}
\put(148,20){$\scriptstyle b = t_n$}
\qbezier(15,60)(50,75)(85,50)
\qbezier(85,50)(120,30)(155,60)
\put(15,60){\circle*{2}}
\put(12,65){$\scriptstyle z_0$}
\put(35,65){\circle*{2}}
\put(32,69){$\scriptstyle z_1$}
\put(55,64){\circle*{2}}
\put(52,68){$\scriptstyle z_2$}
\put(95,45.5){\circle*{2}}
\put(88,50){$\scriptstyle z_{i-1}$}
\put(115,42){\circle*{2}}
\put(112,47){$\scriptstyle z_i$}
\put(155,60){\circle*{2}}
\put(152,65){$\scriptstyle z_n$}
\end{picture}

\end{minipage}
Mit $\Delta(Z)$ bezeichnen wir die maximale Länge der Teilkurven von $Z$ (die \emph{Feinheit} der Zerlegung).


\subsection{Satz}

Für eine beliebige stetige Funktion $f$ existiert der Grenzwert $\lim\limits_{\Delta(Z)\to 0} S(Z)$ den wir mit $\int\limits_{\gamma}$ bezeichnen. Weiterhin gilt:
\begin{center}
\boxed{\quad \int\limits_{\gamma} f(z)\,dz = \int\limits_a^b f(\gamma(t)) \cdot \gamma' (t)\,dt\quad}
\end{center}

\subsection{Beispiele}

\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{\alph{enumi})}

\item Es sei $z_0 \in \mathbb C$, \ $r  >0$, \ $\gamma(t) = z_0 + r \cdot e^{it}$, \ $t \in [0,2\pi]$ \ (positiv orientierte Kreise)

und $f(z) = \dfrac{1}{z-z_0}$ 

Dann ist $\displaystyle\int\limits_{\gamma} \dfrac{1}{z - z_0} \, dz = \int\limits_0^{2\pi} \underbrace{\dfrac{1}{z_0 + r \cdot e^{it} - z_0}}_{f(\gamma(t))} \cdot \underbrace{i \cdot r \cdot e^{it}}_{\gamma'(t)} \, dt = \int\limits_0^{2\pi}i\,dt = 2\pi i$

\textbf{Bemerkung:} Das Ergebnis ist unabhängig von $r$!

\item Ist $[a,b] \subset \mathbb R$ und $\gamma$ die Strecke von $a$ nach $b : \gamma(t) = a + t \cdot (b-a)$, $t \in [0,1]$ so ist für eine beliebige stetige Funktion $f$ 
\[\int\limits_{\gamma} f(z) \, dz = \int\limits_0^1 f(\underbrace{a+t \cdot (b-a)}_{\text{Subst.} = x}) \cdot (b-a) \, dt = \int\limits_a^b f(x)\,dt\]
$\left( \text{da }\frac{dx}{dt} = b - a,\ dt = \frac{1}{b-a}\cdot dx\right)$

\item $f(z) = |z|$
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumii}{\arabic{enumii}.} 

\smallskip

\begin{minipage}{9cm}\item $\gamma(t) = e^{i(\pi - t)}$, \quad $t \in [0,\pi]$

\smallskip

$\displaystyle\int\limits_{\gamma} |z| \, dz = \int\limits_0^{\pi} 1 \cdot \gamma'(t) \, dt = \gamma(\pi) - \gamma(0) = 2$
\end{minipage}
\begin{minipage}{5cm}
\begin{picture}(70,70)
\put(0,35){\vector(1,0){70}}
\put(35,0){\vector(0,1){70}}
\thicklines
\qbezier(55,35)(55,43.284272)(49.142136,49.142136)
\qbezier(35,55)(43.284272,55)(49.142136,49.142136)
\qbezier(15,35)(15,43.284272)(20.857864,49.142136)
\qbezier(35,55)(26.715728,55)(20.857864,49.142136)
\put(55,35){\vector(0,-1){0}}
\put(15,35){\vector(1,0){40}}
\thinlines
\qbezier(15,35)(15,26.715728)(20.857864,20.857864)
\qbezier(55,35)(55,26.715728)(49.142136,20.857864)
\qbezier(35,15)(26.715728,15)(20.857864,20.857864)
\qbezier(35,15)(43.284272,15)(49.142136,20.857864)
\put(0,25){$-1$}
\put(57,25){$1$}
\put(28,57){$i$}
\end{picture}
\end{minipage}

\item Integration über die Strecke $[-1,1]$ (siehe b))

$\displaystyle\int\limits_{[-1,1]} |z|\,dz = \int\limits_{-1}^1 |t|\,dt = 1$
\end{enumerate}

Dieses Beispiel zeigt, daß Kurvenintegrale i.A. nicht nur vom Anfangs- und Endpunkt des Weges abhängen. 
\end{enumerate}

\subsection{Eigenschaften des Integrals}

\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\roman{enumi})}
\item $\int\limits_{\gamma} c_1 \cdot f_1(z) + c_2 \cdot f_2(z)\,dz = c_1 \cdot \int\limits_{\gamma}f_1(z)\,dz + c_2 \cdot \int\limits_{\gamma} f_2 (z)\,dz$
\item $\int\limits_{\gamma^{-1}} f(z)\,dz = - \int\limits_{\gamma} f(z) \,dz$, wobei $\gamma^{-1}$ den entgegengesetzte Weg bezeichnet.
\item Sind $\gamma_1,\,\ldots,\,\gamma_n$ Integrationswege, die sich zu einem Weg $\gamma$ zusammensetzen, so gilt:
\[\int\limits_{\gamma} f(z)\,dz = \int\limits_{\gamma_1} f(z)\,dz + \cdots + \int\limits_{\gamma_n} f(z)\,dz\]
\item $|\int\limits_{\gamma} f(z)\,dz| \leq L(\gamma) \cdot \max\limits_{z\in W_{\gamma}} |f(z)|$ wobei $L(\gamma)$ die Länge und $W_{\gamma}$ den Wertebereich von $\gamma$ bezeichnen.
\end{enumerate}

\subsection{Definition: Stammfunktion}\index{Stammfunktion}

Es sei $f$ eine Funktion auf der offenen Menge $U \subset \mathbb C$. Eine Funktion $F:U \to \mathbb C$ heißt \emph{Stammfunktion}, wenn $F$ holomorph ist und $F' = f$.
Sind $F$ und $G$ Stammfunktionen von $f$, so ist $F - G$ konstant (folgt aus 15.3.3.v).   % ? da stehts sicher nicht ... nochmal checken.

\subsection{Satz}

Es sei $f$ eine stetige Funktion auf der offenen Menge $U$. Dann sind die folgenden Aussagen gleichwertig:

\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\roman{enumi})}
\item $f$ besitzt eine Stammfunktion
\item Es gibt eine holomorphe Funktion $F$ auf $U$ mit $\int\limits_{\gamma}f(z)\,dz = F(z_1) - F(z_0)$ für beliebige Punkte $z_0,\,z_1 \in U$ und für einen beliebigen Integrationsweg $\gamma$ in $U$ von $z_0$ nach $z_1$.
\item Für einen beliebigen geschlossenen Weg $\gamma$ in $U$ gilt: $\int\limits_{\gamma} f(z) \, dz = 0$
\end{enumerate}

\paragraph{Folgerung:} Besitzt $f$ eine Stammfunktion $F$, so gilt mit einer $C \in \mathbb C$:
\[F(z) = \int\limits_{z_0}^{z} f(w)\,dw\]
wobei $z_0 \in U$ und $\int\limits_{z_0}^z$ bezeichnet das Integral über einen \textbf{beliebigen} Weg in $U$ von $z_0$ nach $z$.

\subsection{Beispiel}

\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})}
\item $f(z) = z^n$  ($n \ne -1,\ U = \mathbb C \text{ oder } \mathbb C\smallsetminus \{0\}$). Stammfunktion: $F(z) = \frac{1}{n+1}\cdot z^{n+1}$. 

Also gilt für einen beliebigen Integrationsweg in $\mathbb C$ oder $\mathbb C \smallsetminus \{0\}$ mit Anfangspunkt $z_0$ und Enpunkt $z_1$:
\[\int\limits_{\gamma} z^n\,dz = \frac{1}{n+1}\left({z_1}^{n+1} - {z_0}^{n+1}\right)\]
\item In (15.6.4) haben wir gesehen, daß $\int\limits_{|z|=r}\frac{1}{z}\,dz = 2\pi i$.

Wegen des vorhergehenden Satzes kann die auf $\mathbb C \smallsetminus \{0\}$ definierte Funktion $\frac{1}{z}$ \textbf{dort} keine Stammfunktion haben. $\ln z$ ist jedoch eine Stammfunktion auf $|z-1| < 1$
\end{enumerate}

\paragraph{Zur Erinnerung:} Eine offene Menge $D \subset \mathbb C$ heißt \emph{einfach zusammenhängend}, wenn sich jeder Integrationsweg in $D$ stetig innerhalb von $D$ auf einen Punkt zusammenziehen läßt (keine "`Löcher"' in $D$).

\subsection{Satz: Der Cauchysche Integralsatz}\index{Cauchyscher Integralsatz}

Ist $f$ eine holomorphe Funktion in einem einfach zusammenhängenden Gebiet $G$, so gilt \[\int\limits_{\gamma} f(z)\,dz = 0\] für jeden geschlossen Integrationsweg $\gamma$ in $G$. Folglich hat $f$ eine Stammfunktion auf $G$.

\subsection{Definition}
(nur anschaulich) Sei $\gamma$ eine stetige, geschlossene und doppelpunktfreie Kurve auf $\mathbb C$. Durch $\gamma$ wird die komplexe Ebene in ein beschränktes Gebiet, das \emph{Innere von $\gamma$} und in ein unbeschränktes Gebiet zerlegt.
Ein Integrationsweg heißt \emph{positiv orientiert}, wenn beim Durchlaufen des Weges das Innere des Weges stets auf der linken Seite liegt.

Vereinbarung: Bei Integralen der Form $\int f(z)\,dz$ ist \textbf{immer} positive Orientierung gemeint. 

$|z-z_0| =r$.

\subsection[Satz: Der Cauchysche Integralsatz für mehrfach zush. Gebiete]{Satz: Der Cauchysche Integralsatz für mehrfach zusammenhängende Gebiete}

Es seien $c,\,c_1,\, \ldots ,\, c_n$ geschlossene, doppelpunktfreie und positiv orientierte Integrationswege in einem Gebiet $D$. Alle Kurven $c_k$ sollen im Inneren der Kurve $c$ liegen und jede Kurve $c_k$ im Äußeren jeder anderen Kurve $c_j$.
Ferner liege das durch $c$ und $c_k$ gebildete Ringgebiet in $D$. Ist dann $f$ eine holomorphe Funktion in $D$, so gilt:

\begin{minipage}{11.8cm}
\[\int\limits_c f(z)\,dz = \sum\limits_{k=1}^{n} \int\limits_{c_n} f(z)\,dz\]
\end{minipage}
\begin{minipage}{4cm}
\begin{picture}(100,55)   % tsts :-)
\put(60,25){\oval(90,50)}
\put(60,25){\oval(70,30)}
\put(75,52){$D$}
\put(57,43){$c$}
\put(57,40){\vector(-1,0){0}}
\multiput(0,0)(40,0){2}{
\put(40,30){\circle{10}}
\put(43,25.4){\vector(1,0){0}}
}
\put(36,17){$c_1$}
\put(76,17){$c_3$}
\put(55,30){$c_2$}
\put(60,20){\circle{10}}
\put(57.5,24.5){\vector(-1,0){0}}
\end{picture}
\end{minipage}

\subsection{Beispiel}

\begin{minipage}{12cm}
\[I = \int\limits_{|z| = 2} \frac{1}{1+z^2}\,dz = \int\limits_{|z-i|=1} \frac{1}{1+z^2}\,dz + \int\limits_{|z+i| = 1} \frac 1 {1+z^2}\,dz\]

Partialbruchzerlegung: $\displaystyle \frac 1 {1+z^2} = \frac 1 {2i}\left(\frac 1 {z-i} - \frac 1 {z+i}\right)$
\end{minipage}
\begin{minipage}{3.8cm}
\begin{picture}(100,100)
\put(0,50){\vector(1,0){100}}
\put(50,0){\vector(0,1){100}}
\qbezier(80,50)(80,62.426408)(71.213204,71.213204)
\qbezier(50,80)(62.426408,80)(71.213204,71.213204)
\qbezier(20,50)(20,37.573592)(28.786796,28.786796)
\qbezier(50,20)(37.573592,20)(28.786796,28.786796)
\qbezier(20,50)(20,62.426408)(28.786796,71.213204)
\qbezier(50,80)(37.573592,80)(28.786796,71.213204)
\qbezier(80,50)(80,37.573592)(71.213204,28.786796)
\qbezier(50,20)(62.426408,20)(71.213204,28.786796)
\put(53,83){$2i$}
\put(83,40){$2$}
\multiput(0,0)(0,30){2}{
\qbezier(65,35)(65,41.213204)(60.606602,45.606602)
\qbezier(50,50)(56.213204,50)(60.606602,45.606602)
\qbezier(35,35)(35,28.786796)(39.393398,24.393398)
\qbezier(50,20)(43.786796,20)(39.393398,24.393398)
\qbezier(35,35)(35,41.213204)(39.393398,45.606602)
\qbezier(50,50)(43.786796,50)(39.393398,45.606602)
\qbezier(65,35)(65,28.786796)(60.606602,24.393398)
\qbezier(50,20)(56.213204,20)(60.606602,24.393398)
}
\multiput(50,35)(0,30){2}{\circle*{2}}
\put(51,32){$-i$}
\put(53,62){$i$}
\multiput(35,37.5)(0,30){2}{\vector(0,1){0}}
\put(25,36){$c_2$}
\put(25,59){$c_1$}
\put(74.2,68.2){\vector(1,-1){0}}
\put(76,69){$c$}
\end{picture}
\end{minipage}

Wir setzen diesen Ausdruck in die Integrale ein:
\[I = \frac{1}{2i} \int\limits_{|z-i| = 1} \frac{1}{z-i}\,dz - \frac{1}{2i} \int\limits_{|z+i| = 1} \frac{1}{z+i}\, dz\]
denn nach dem Cauchyschen Integralsatz ist $ \int\limits_{|z-i| = 1} \frac{1}{z-i}\,dz = \frac{1}{2i} \int\limits_{|z+i| = 1} \frac{1}{z-i}\, dz =0$.

Mit 15.6.4.a erhalten wir:
\[I = \frac 1 {2i} \cdot 2\pi i - \frac{1}{2i} \cdot 2\pi i = 0\]


\section{Die Cauchyschen Integralformeln} \index{Cauchysche Integralformel}

\subsection{Satz: Cauchysche Integralformel}

Sei $f$ in einem einfach zusammenhängenden Gebiet $D$ holomorphe Funktion. Ferner sei $\gamma$ ein in $D$ verlaufender geschlossener, doppelpunktfreier, positiv orientierter Integrationsweg.

Dann gilt für jedes $z$ aus dem Inneren von $\gamma$:
\[f(z) = \frac{1}{2\pi i} \int\limits_{\gamma} \frac{f(w)}{w-z}\,dw\]
\subsection{Bemerkungen:}
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})}
\item Aus der Cauchyschen Integralformel folgt: Die Funktionswerte von $f$ im Inneren der Kurve sind eindeutig durch die Funktionswerte entlang der Kurve bestimmt.
\item Die Formel läßt sich in der Form
\[\int\limits_{\gamma}\frac{f(w)}{w-z} \, dw = 2\pi i \cdot f(z)\]
schreiben, die auch für die Berechnung von Integralen benutzt werden kann.
\end{enumerate}

\subsection{Beispiele}
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})}

\item $\displaystyle \int\limits_{\gamma} \frac{\sin w}{w+i}\,dw$.\quad Mit $z = -i$, $f(w) = \sin w$ ist $f$ holomorph in $\mathbb C$ und es gilt
\[\int\limits_{|w = 2|}\frac{f(w)}{w+i}\,dw = 2\pi i \cdot \sin(-i) = 2\pi i \cdot (-i) \cdot \sinh 1 = 2\pi \sinh 1\]
\item $\displaystyle\int\limits_{|w+1|=1}\frac{1}{(w+1)(w-1)^3}\,dw$


\begin{minipage}{10cm}
Mit $z=-1$ und $f(w) = \frac{1}{(w-1)^3}$ ist $f$ holomorph in $\mathbb C \smallsetminus \{1\} =D_f$, der Integrationsweg verläuft in $D_f$ und es gilt:
\end{minipage}
\begin{minipage}{4cm}
\flushright 
\begin{picture}(80,45)   % gefrickel erster klasse!
\put(0,40){\vector(1,0){80}}
\put(50,0){\vector(0,1){80}}
\qbezier(50,40)(50,48.284272)(44.142136,54.142136)
\qbezier(30,60)(38.284272,60)(44.142136,54.142136)
\qbezier(10,40)(10,31.715728)(15.857864,25.857864)
\qbezier(30,20)(21.715728,20)(15.857864,25.857864)
\qbezier(10,40)(10,48.284272)(15.857864,54.142136)
\qbezier(30,60)(21.715728,60)(15.857864,54.142136)
\qbezier(50,40)(50,31.715728)(44.142136,25.857864)
\qbezier(30,20)(38.284272,20)(44.142136,25.857864)
\put(70,40){\circle*{2}}
\multiput(10,39)(20,0){4}{\line(0,1){2}}
\put(23,32){$\scriptstyle -1$}
\put(-2,32){$\scriptstyle -2$}
\put(68,32){$\scriptstyle 1$}
\put(49,60){\line(1,0){2}}
\put(53,57.5){$\scriptstyle i$}
\put(25,63){$\gamma$}
\end{picture}
\end{minipage}
\[\int\limits_{|w+1| = 1} \frac{f(w)}{w+1} \, dw = 2\pi i \cdot f(-1) = 2\pi i \cdot \frac{1}{(-1-1)^3} = \frac{\pi i}{4}\]
\paragraph{Bemerkung:} $D_f$ ist zwar nicht zusammenhängend, aber der Integrationsweg verläuft im einfach zusammenhängenden Gebiet $|w+1|<2$ das in $D_f$ liegt.
\end{enumerate}

\subsection{Satz: Cachyscher Integralsatz für die n-te Ableitung}

Seien die Voraussetzungen von 15.7.1 erfüllt. Dann gilt für jedes $n = 1,\,2,\, \ldots$
\[f^{(n)}(z) = \frac{n!}{2\pi i} \cdot \int\limits_{\gamma} \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}}\,dw\]
\paragraph{Bemerkung:} Diese Formel läßt sich in der Form \[\int\limits_{\gamma} \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}}\,dw = \frac{2\pi}{n!} \cdot f^{(n)}(z)\]
schreiben, die auch für die Berechnung von Integralen benutzt werden kann.

\subsection{Beispiele}

\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})}
\item $\displaystyle \int\limits_{\gamma}\left(\frac{w}{w-1}\right)^2 dw = I$.\quad Mit $f(w) = w^2$, $z = 1$, $n=2$ ist $f$ holomorph auf $\mathbb C$, $f^{(n)}(w) = 6 \cdot w$ und es gilt:\[I = \frac{2\pi i}{2!} \cdot 6 = 6\pi i\]

\item $\displaystyle I = \int\limits_{|w| = r} \frac{1}{(w-a)^n \cdot (w-b)}\,dw$ wobei $|a| < r < |b|$ und $n\geq 1$.

\begin{minipage}{10cm}
Mit $f(w) = \frac 1 {w-b}$, $z = a$ ist $f$ holomorph auf $\mathbb C \smallsetminus \{b\}$ und
\[I = \frac{2\pi i}{(n-1)!} \cdot f^{(n-1)}(a)\]
\end{minipage}
\begin{minipage}{4cm}
\flushright

\begin{picture}(60,50)
\put(0,30){\vector(1,0){65}}
\put(30,0){\vector(0,1){65}}
\qbezier(50,30)(50,38.284272)(44.142136,44.142136)
\qbezier(30,50)(38.284272,50)(44.142136,44.142136)
\qbezier(10,30)(10,21.715728)(15.857864,15.857864)
\qbezier(30,10)(21.715728,10)(15.857864,15.857864)
\qbezier(10,30)(10,38.284272)(15.857864,44.142136)
\qbezier(30,50)(21.715728,50)(15.857864,44.142136)
\qbezier(50,30)(50,21.715728)(44.142136,15.857864)
\qbezier(30,10)(38.284272,10)(44.142136,15.857864)
\put(-2,24){$\scriptstyle -r$}
\put(52,24){$\scriptstyle r$}
\put(32,51){$\scriptstyle r\cdot i$}
\put(35,40){\circle*{2}}
\put(10,10){\circle*{2}}
\put(12,7.5){$\scriptstyle b$}
\put(37,37.5){$\scriptstyle a$}
\end{picture}
\end{minipage}

$\begin{array}{ll}
f(w) &= (w-b)^{-1}\\
f'(w) &= (-1) \cdot (w-b)^{-2}\\
f''(w) &= (-1) \cdot (-2) \cdot (w-b)^{-3}\\
f'''(w) &= (-1) \cdot (-2) \cdot (-3) \cdot (w-b)^{-4}\\
 & \; \vdots\\
f^{(k)} &= (-1)\cdot(-2)\cdot \cdots \cdot (-k) \cdot (w-b)^{-k-1} = (-1)^k \cdot k! \cdot (w-b)^{-k-1}
\end{array}
$

\bigskip

$\Rightarrow  f^{(n-1)} = (-1)^{n-1} \cdot (n-1)! \cdot (w-b)^{-n}$

\[I = \frac{2\pi i}{(n-1)!} \cdot (-1)^{n-1} \cdot (n-1)! \cdot (a-b)^{-n} = -\frac{2\pi i}{(b-a)^n}\cdot (-1)^{n-1}\]
\end{enumerate}


\section{Potenzreihenentwicklung}\index{Potenzreihenentwicklung}

\subsection{Satz}

Sei $f$ eine im Gebiet $D$ holomorphe Funktion. Dann läßt sich für $f$ in jedem Punkt $z_0 \in D$ eine Taylor-Reihe
\[f(z) = \sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}(z_0)}{k!} \cdot (z-z_0)^k\]
entwickeln, die in jedem Kreisgebiet um $z_0$, das ganz in $D$ liegt, konvergiert.
\paragraph{Bemerkung:} Diese Darstellung von $f$ ist \textbf{eindeutig} im folgenden Sinne: Gilt $\sum\limits_{k=0}^{\infty} a_k \cdot (z-z_0)^k = \sum\limits_{k=0}^{\infty} b_k \cdot (z-z_0)^k$ in einem Kreisgebiet um $z_0$, so ist $a_k = b_k$ für alle $k$.

\subsection{Beispiele}


\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})}
\item $f(z) = e^z$, $D_f = \mathbb C$, $z_0 = 0$. Dann ist $f^{(k)}(z) = e^z$, $f^{(k)}(0) = 1$ und
\[\quad \boxed{\quad e^z = \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac 1 {k!} \cdot z^k, \quad z \in \mathbb C \quad }\]

\item $\displaystyle\frac{1}{1-z} = \sum\limits_{k=0}^{\infty} z^k,\ |z| < 1$  \quad geometrische Reihe,
Taylor-Reihe in dem offenen Einheitskreis um 0

\smallskip

Allgemeiner: $\displaystyle f(z) = \frac{1}{a-z} = \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{1 - \frac z a}$ \quad $(a \ne 0)$ 

$\displaystyle f(z) = \frac{1}{a} \cdot \sum\limits_{k=0}^{\infty} \left(\frac z a\right)^k = \frac 1 a \cdot \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{1}{a^k} \cdot z^k$ \quad für $|\frac z a| < 1 \Leftrightarrow |z|<|a|$

\bigskip

Will man $g(z) = \frac{1}{(z-a)^2}$ um 0 entwickeln, so beachte man 
\[f'(z) = - g(z) \quad \Rightarrow \quad g(z) = -f'(z) = -\frac{1}{a}\cdot \left[\sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{1}{a^k} \cdot z^k\right]' = - \frac 1 a \cdot  \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{k}{a^k} \cdot z^{k-1}\]

\item Rationale Funktionen zerlegt man in Partialbrüche, die wie in (b) behandelt werden. Zum Beispiel:
\[f(z) = \frac{-1}{(z-1)^2\cdot(z-2)} = \frac{1}{z-1} + \frac 1 {(z-1)^2} - \frac{1}{z-2}\]
Folglich ist
\begin{align*}
f(z) &= -\sum\limits_{k=0}^{\infty} z^k + \underbrace{\sum\limits_{k=1}^{\infty}k \cdot z^{k-1}}_{\sum\limits_{k=0}^{\infty} (k+1) \cdot z^k} + \frac 1 2 \cdot \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac 1 {2^k} \cdot z^k\\
     &= \sum\limits_{k=0}^{\infty}\left(k+\frac 1 {2^{k+1}}\right) \cdot z^k
\end{align*}
\end{enumerate}

\subsection{Satz}

Die Funktionen $f$ und $g$ seien im Gebiet $D$ holomorph. Ferner gelte in einem Punkt $z_0 \in D : f^{(k)}(z_0) = g^{(k)}(z_0),\ k=0,1,2,\ldots$. Dann gilt $f(z) = g(z)$ für alle $z \in D$.

\subsection{Definition}

Die Funktion $f$ sei holomorph in einer Umgebung $U$ von $z_0$. Der Punkt $z_0$ heißt \emph{Nullstelle der Ordnung $m$} von $f$ falls eine in $U$ holomorphe Funktion $g$ existiert, so daß
\[f(z) = (z-z_0)^m \cdot g(z) \qquad \text{und} \qquad g(z_0) \ne 0.\]

\subsection{Satz}

Die Funktion $f$ sei holomorph in einer Umgebung von $z_0$. Der Punkt $z_0$ ist eine Nullstelle der Ordnung $m$ von $f$ genau dann, wenn $f(z_0) = f'(z_0) = \ldots = f^{(m-1)}(z_0) = 0$ und $f^{(m)}(z_0) \ne 0$.

\paragraph{Bemerkung:} Aus diesem Satz folgt, daß die Taylorreihe von $f$ um $z_0$ folgende Form hat:
\[f(z) = \sum\limits_{k=m}^{\infty} \frac{f^{(k)} (z_0)}{k!} \cdot (z-z_0)^k = (z-z_0)^m \cdot  \underbrace{\sum\limits_{k=m}^{\infty} \frac{f^{(k)} (z_0)}{k!} \cdot (z-z_0)^{k-m}}_{g(z_0) \ne 0}\]

\subsection{Beispiele}
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})}
\item $f(z) = \sin z,\ z_0 = 0$. 

Dann ist $f(0) = 0,\ f'(0) = \cos 0 = 1 \ne 0$ $\Rightarrow$ 0 ist eine einfache Nullstelle von $\sin$. Es gilt:
\[\sin z = \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} \cdot z^{2n+1} = z - \frac 1 6 z^3 + \frac 1 {120} z^5 - \ldots = z \cdot \left[1 - \frac 1 6 z^2 + \frac 1 {120} z^4 - \ldots\right]\]

\item $f(z) = 1 - \cos z,\ z_0 = 0$.

Dann ist $f(0) = 0,\ f'(0) = \sin 0 = 0,\ f''(0) = \cos 0 = 1 \ne 0$

$\Rightarrow $ 0 ist eine zweifache Nullstelle von $f$. Weiterhin gilt:
\[1 - \cos z = 1 - \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} \cdot z^{2n} = 1 - \left[1 - \frac 1 2 z^2 + \frac 1 {24} z^4 - \ldots\right] = z^2\cdot\left[\frac 1 2 - \frac 1 {24} z^2 + \cdots\right]\]
\end{enumerate}

\subsection{Satz}

Die Funktion $f$ sei holomorph in einer Umgebung von $z_0$, und nicht identisch mit Null, und sei $f(z_0) = 0$. Dann gibt es eine natürliche Zahl $m$, so daß $z_0$ Nullstelle der Ordnung $m$ ist. Weiterhin besitzt $z_0$ eine Umgebung, wo $z_0$ die \textbf{einzige} Nullstelle von $f$ ist (d.h. die Nullstelle $z_0$ ist \emph{isoliert}).

\section{Isolierte Singularitäten, Laurent-Entwicklung}\index{Singularität!isolierte}\index{Laurent-Entwicklung}

\subsection{Satz}

\begin{minipage}{12cm}
Die Funktion $f$ sei im Ringgebiet $D = \{z \in\mathbb C: r_1 < |z - z_0| < r_2\}$ mit $0 \leq r_1 < r_2 \leq \infty$, holomorph. Dann läßt sich $f$ in $D$ in eine \emph{Laurent-Reihe} um $z_0$ entwickeln:
\[f(z) = \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty} a_k \cdot (z-z_0)^k.\]
\end{minipage}
\begin{minipage}{3.8cm}
\center

\begin{picture}(100,95)
\put(50,50){\circle*{2}}
\put(50,43){$z_0$}
\put(50,50){\circle{30}}
\put(50,50){\vector(-1,2){7}}
\put(48,55){$r_1$}
\qbezier(85,50)(85,64.497476)(74.748738,74.748738)
\qbezier(50,85)(64.497476,85)(74.748738,74.748738)
\qbezier(15,50)(15,35.502524)(25.251262,25.251262)
\qbezier(50,15)(35.502524,15)(25.251262,25.251262)
\qbezier(15,50)(15,64.497476)(25.251262,74.748738)
\qbezier(50,85)(35.502524,85)(25.251262,74.748738)
\qbezier(85,50)(85,35.502524)(74.748738,25.251262)
\qbezier(50,15)(64.497476,15)(74.748738,25.251262)
\put(50,50){\vector(-1,0){35}}
\put(21,43){$r_2$}
\put(63,65){$D$}
\end{picture}
\end{minipage}

\bigskip

Die Koeffizienten $a_k$ sind durch 
\[a_k = \frac{1}{2\pi i} \cdot \int\limits_{K} \frac{f(w)}{(w-z_0)^{k+1}}\,dw\]
gegeben, wobei $K$ ein beliebiger, positiv orientierter Kreis um $z_0$ ist, der im Innern von $D$ liegt.

\paragraph{Anmerkungen}

\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item Die Koeffizienten der Laurent-Reihe sind eindeutig im folgenden Sinne: Gilt
\[\sum\limits_{k=-\infty}^{\infty} a_k \cdot (z-z_0)^k = \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty} b_k \cdot (z-z_0)^k, \quad z \in D\]
so ist $b_k = a_k$ für jedes $k$.

\item Man nennt
\[g(z) = \sum\limits_{k=0}^{\infty} a_k \cdot (z-z_0)^k\]
den \emph{regulären Teil},
\[h(z) = \sum\limits_{k=-1}^{-\infty} a_k \cdot (z-z_0)^k = \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{a_{-k}}{(z-z_0)^k}\]
den \emph{Hauptteil} der Laurententwicklung.

Es gilt: $f(z) = g(z) + h(z)$.
\end{enumerate}

\subsection{Beispiel}

\begin{minipage}{11cm}
Für die Funktion
\[f(z) = \frac{1}{(z-2)(z-3)} = \frac{1}{(z-3)} - \frac{1}{(z-2)}\]
sollen Laurent-Entwicklungen für die Ringgebiete  $|z| < 2$, $2 < |z| < 3$ und $|z| > 3$ um den Punkt 0 angegeben werden. In diesem Falle brauchen wir keine Integrale zu berechnen.
\end{minipage}
\begin{minipage}{4.8cm}
\center 

\begin{picture}(90,90)
\put(0,45){\vector(1,0){90}}
\put(45,00){\vector(0,1){90}}
\put(-15,-10){
\qbezier(80,55)(80,63.284272)(74.142136,69.142136)
\qbezier(60,75)(68.284272,75)(74.142136,69.142136)
\qbezier(40,55)(40,46.715728)(45.857864,40.857864)
\qbezier(60,35)(51.715728,35)(45.857864,40.857864)
\qbezier(40,55)(40,63.284272)(45.857864,69.142136)
\qbezier(60,75)(51.715728,75)(45.857864,69.142136)
\qbezier(80,55)(80,46.715728)(74.142136,40.857864)
\qbezier(60,35)(68.284272,35)(74.142136,40.857864)
\qbezier(90,55)(90,67.426408)(81.213204,76.213204)
\qbezier(60,85)(72.426408,85)(81.213204,76.213204)
\qbezier(30,55)(30,42.573592)(38.786796,33.786796)
\qbezier(60,25)(47.573592,25)(38.786796,33.786796)
\qbezier(30,55)(30,67.426408)(38.786796,76.213204)
\qbezier(60,85)(47.573592,85)(38.786796,76.213204)
\qbezier(90,55)(90,42.573592)(81.213204,33.786796)
\qbezier(60,25)(72.426408,25)(81.213204,33.786796)}
\put(65,45){\circle*{2}}
\put(75,45){\circle*{2}}
\put(66,37){$\scriptstyle 2$}
\put(76,37){$\scriptstyle 3$}
\end{picture}
\end{minipage}

\begin{description}
\item[$\mathbf{|z| < 2:}$]  $\displaystyle\dfrac{1}{z-2} = - \frac 1 2 \cdot \dfrac{1}{1-\frac z 2} = - \frac 1 2 \cdot \sum\limits_{k=0}^{\infty} \left(\frac z 2\right)^k = - \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac 1 {2^{k+1}} \cdot z^k$

konvergiert für $\left|\frac z 2\right|  < 1 \Leftrightarrow |z| < 2$ (geometrische Reihe $\frac{1}{1-\frac z 2}$).

\item[$\mathbf{|z| > 2:}$] $\displaystyle \frac{1}{z-2} = \frac 1 z \cdot \frac{1}{1-\frac 2 z} = \frac 1 z \cdot \sum\limits_{k=0}^{\infty} \left(\frac 2 z\right)^k = \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{2^k}{z^{k+1}} = \sum\limits_{k=-1}^{-\infty} \frac{1}{2^{k+1}}\cdot z^k$ 

konvergiert für $\left|\frac 2 z\right| < 1 \Leftrightarrow |z| > 2$.

\item[Analog:]
\item[$\mathbf{|z| < 3:}$] $\displaystyle \frac{1}{z-3} = -\frac 1 3 \cdot \frac{1}{1 - \frac z 3} = -\sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{1}{3^{k+1}} \cdot z^k$
\item[$\mathbf{|z| > 3:}$] $\displaystyle \frac{1}{z-3} = \frac 1 z \cdot \frac{1}{1 - \frac 3 z} = -\sum\limits_{k=-1}^{-\infty} \frac{1}{3^{k+1}} \cdot z^k$
\end{description}
\textbf{Damit ergibt sich:}
\begin{align*}
f(z) &= \sum\limits_{k=0}^{\infty} \left(\frac{1}{2^{k+1}} - \frac{1}{3^{k+1}}\right)\cdot z^k &&\text{für} \quad |z| < 2
\end{align*}
(Taylor-Entwicklung, Hauptteil = 0)
\begin{align*}
f(z) &= -\sum\limits_{k=-1}^{-\infty} \frac{1}{2^{k+1}} \cdot z^k - \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{1}{3^{k+1}} \cdot z^k &&\text{für} \quad 2 < |z| < 3\\
f(z) &= -\sum\limits_{k=-1}^{-\infty} \left(\frac 1 {3^{k+1}} - \frac 1 {2^{k+1}}\right) \cdot z^k &&\text{für} \quad |z| > 3
\end{align*}
(regulärer Teil = 0)

\subsection{Definition}
Sei $f$ holomorph in $\{z \in \mathbb C: 0 < |z-z_0| < r\}$ und sei $h(z) = \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{a_{-k}}{(z-z_0)^k}$ der Hauptteil der Laurententwicklung von $f$ in $z_0$.

Man nennt den Punkt $z_0$ \index{Singularität!hebbare} \index{Singularität!wesentliche} 
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\roman{enumi})}
\item \emph{hebbare Singularität}, falls $h(z) = 0$, d.h. $a_{-k} = 0$ für alle $k = 1,\,2,\,\ldots$.
\item \emph{Pol der Ordnung} $m$ ($m = 1,\,2,\,\ldots)$, falls $h(z) = \sum\limits{k=1}^{m} \frac{a_{-k}}{(z-z_0)^k}$, d.h. $a_{-k} = 0$ für $k > m$. 
\item \emph{wesentliche Singularität}, falls $a_{-k} \ne 0$ für unendlich viele $k > 0$.
\end{enumerate}

\subsection{Beispiele}
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})}
\item Die Funktion $f(z) = \frac{\sin z}{z}$ ist holomorph in $\mathbb C \smallsetminus \{0\}$. Die Laurententwicklung in $z_0 = 0$ lautet:
\[f(z) = \frac 1 z \cdot \sin z = \frac 1 z \cdot \sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}\cdot z^{2k+1} =  \sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}\cdot z^{2k} \]
$\Rightarrow h(z) = 0 \Rightarrow$ 0 ist eine hebbare Singularität. Die Potenzreihe auf der rechten Seite ist eine holomorphe Funktion auf $\mathbb C$ und nimmt bei $0$ den Wert $1$ an. Deshalb läßt sich $f$ zu einer in ganz $\mathbb C$ holomorphen Funktion $\widetilde f$ erweitern, indem man setzt:
\[\widetilde f(z) = f(z),\ \text{wenn}\ z \ne 0 \ \text{und} \ \widetilde f(0) = 1\]

\item Die Funktion $f(z) = \displaystyle\frac{z^2-2z+7}{z-2}$ ist holomorph in $\mathbb C \smallsetminus \{2\}$.

Polynomdivision: $\displaystyle f(z) = \underbrace{\frac{7}{z-2}}_{\text{Hauptteil}} + \underbrace{2 + (z-2)}_{\text{reg. Teil}}$

Der Punkt 2 ist eine Polstelle der Ordnung 1.

\item Die Funktion $f(z) = e^{\frac 1 z}$ ist holomorph in $\mathbb C \smallsetminus \{0\}$ und die Laurententwicklung in 0 ist
\[f(z) = \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} \cdot \left(\frac 1 z\right)^k = \sum\limits_{k=-\infty}^0 \frac{1}{(-k)!} z^k\]
d.h. unendlich viele Koeffizienten $a_{-k}$ sind von 0 verschieden $\Rightarrow$ 0 ist eine wesentliche Singularität.

\end{enumerate}

\subsection{Satz}

Die Funktion $f$ sei auf der offenen Menge $D$ holomorph. Dann hat $f$ in $z_0 \in D$ eine Nullstelle der Ordnung $m$ genau dann, wenn die Funktion $\frac 1 f$ in $z_0$ eine Polstelle der Ordnung $m$ besitzt.

\subsection{Beispiele}

Mit Hilfe von 15.9.5 und 15.8.5 kann man oft die Ordnung einer Polstelle einfach bestimmen.

\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})}
\item $f(z) = \frac{1}{\sin z},\ z_0 = 0$. $\frac{1}{f(z)} = \sin z$ hat eine Nullstelle erster Ordnung in $0$, da $\cos 0 \ne 0 \Rightarrow  \frac{1}{\sin z}$ hat eine Polstelle erster Ordnung bei 0.

\item Die Funktion $\tan z = \frac{\sin z}{\cos z}$ hat eine Nullstelle erster Ordnung bei 0 (da $\frac 1 {\cos^2 0} \ne 0) \Rightarrow \cot z = \frac{\cos z}{\sin z}$ hat eine Polstelle 1. Ordnung bei 0.

\item $f(z) = \frac{1}{e^z - 1}$ hat eine Polstelle erster Ordnung in 0.
\end{enumerate}

\subsection{Satz}
Die Funktion $f$ sei auf der offenen Menge $D$ holomorph und sei $r > 0$ so, daß\[Kr = \{z \in \mathbb C : 0 < |z-z_0| \geq r\} \subset D\].
Dann gilt: $z_0$ ist genau dann eine
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\roman{enumi})}
\item hebbare Singularität, wenn $f$ auf $Kr$ beschränkt ist,
\item Polstelle, wenn $\lim\limits_{z\to z_0} |f(z)| = \infty$ (der Grenzwert muß also existieren),
\item wesentliche Singularität, wenn $f$ in \textbf{jeder beliebig kleinen} Umgebung von $z_0$ \textbf{jedem} komplexen Wert \textbf{beliebig nahe} kommt.
\end{enumerate}

\section{Residuensatz und Anwendung} \index{Residuen}

\begin{description}
\item[Ziel:] Berechnung von Integralen der Form $\int\limits_{\gamma} f(z)\,dz$, wobei $\gamma$ eine geschlossene Kurve ist und $f$ im Inneren von $\gamma$ endlich viele Singularitäten besitzt.
\end{description}

Eine Methode kennen wir bereits: Satz 15.6.11

\subsection{Definition}

Es sei $f$ eine im Kreisgebiet $\{z \in \mathbb C: 0 < |z-z_0| < r\}$ holomorphe Funktion. Der Koeffizient $a_{-1}$ der Laurentreihe von $f$ um $z_0$ heißt \emph{Residuum} von $f$ an der Stelle $z_0$. 

\textbf{Schreibweise:} $a_{-1} = \mathrm{Res}\,(f,\,z_0)$.

Nach Satz 15.9.1 gilt $\displaystyle \mathrm{Res}\,(f,\,z_0) = \frac{1}{2\pi i}\cdot \int\limits_{|z-z_0|} \!\!\!\!\!f(z) \, dz$ wobei $0 < d < r$.

\subsection{Beispiele}

\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})}
\item $\displaystyle f(z) = \frac{z^2 - 2z +7}{z-2} = \frac{\,\overbrace{7}^{a_{-1}}\,}{z-2} + 2 + (z-2) \quad \Rightarrow \quad \mathrm{Res}\,(f,2) = 7$
\item $f(z) = e^{\frac 1 z}$, Laurententwicklung an der Stelle 0:
\[f(z) = \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac 1 {k!} \left(\frac 1 z\right)^k \quad \Rightarrow \quad \mathrm{Res}\,(f,0) = 1\]
\end{enumerate}

\subsection{Satz}

\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\roman{enumi})}
\item Hat $f$ die Form $f = \frac g h$, wobei $g$ und $h$ in einer Umgebung von $z_0$ holomorph sind und $g(z_0) \ne 0$, $h(z_0) = 0$, $h'(z_0) \ne 0$ (d.h. $z_0$ ist eine einfache Polstelle von $f$), so gilt: \[\mathrm{Res}\,(f,z_0) = \frac{g(z_0)}{h'(z_0)}\]

\item Hat $f$ die Form \[f(z) = \frac{g(z)}{(z-z_0)^n}\]wobei $g$ in einer Umgebung von $z_0$ holomorph ist und $g(z_0) \ne 0$, (d.h. $z_0$ ist eine $n$-fache Polstelle von $f$), so gilt
\[\mathrm{Res}\,(f,\,z_0) = \frac{1}{(n-1)!} \cdot g^{(n-1)}(z_0)\]
\end{enumerate}

\subsection{Beispiele}
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})}
\item $f(z) = \frac 1 {1+z^2} = \frac{1}{(z-i)(z+i)}$ hat einfache Polstellen in $i$ und $-i$. Mit $h(z) = 1 + z^2$ gilt $h'(z) = 2z$.
\[\mathrm{Res}\,(f,\,i) = \frac{1}{h'(i)} = \frac{1}{2i} \qquad \text{und} \qquad \mathrm{Res}\,(f,\,-i) = -\frac{1}{2i}\]

\item $f(z) = \frac{e^z}{z^2},\ z_0 = 0,\ n=2$. Polstelle zweiter Ordnung in $0$. Mit $g(z) = e^z$ gilt $g'(z) = e^z$ und $\mathrm{Res}\,(f,\,0) = \frac{1}{(n-1)!}\cdot g^{(n-1)}(z_0) = 1$.
\end{enumerate}

\subsection{Satz (Risiduensatz)}\index{Residuensatz}

Es sei $\gamma$ ein positiv orientierter, doppelpunktfreier, geschlossener Weg in der offenen Menge $D \subset \mathbb C$. Ferner sei die Funktion $f$ holomorph in $D$ mit Ausnahme von endlich vielen Punkten $z_1,\, \ldots , \, z_n$ die in $\gamma$ liegen. Dann gilt
\[\int\limits_{\gamma} f(z) \, dz = 2\pi i \sum\limits_{k=1}^n \mathrm{Res}\,(f,\,z_k)\]

\subsection{Beispiele}

\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})}
\item 
$\displaystyle\int\limits_{|z| = 2}\! \frac{1}{1+z^2}\,dz = 2\pi i\cdot  [\underbrace{\mathrm{Res}\,(f,\,i)}_{\frac 1 {2i}} + \underbrace{\mathrm{Res}\,(f,-i)}_{-\frac{1}{2i}}] = 0$ \quad (aus 15.10.4)

\begin{minipage}{10.5cm}
$\displaystyle \int\limits_{\gamma_1} \frac{1}{1+z^2}\,dz = 2\pi i \cdot \mathrm{Res}\,(f,\,i) = \pi$.
\end{minipage}
\begin{minipage}{3.8cm}
\begin{picture}(100,60)
\put(50,0){\vector(0,1){100}}
\put(0,50){\vector(1,0){100}}
\qbezier(85,50)(85,64.497476)(74.748738,74.748738)
\qbezier(50,85)(64.497476,85)(74.748738,74.748738)
\qbezier(15,50)(15,35.502524)(25.251262,25.251262)
\qbezier(50,15)(35.502524,15)(25.251262,25.251262)
\qbezier(15,50)(15,64.497476)(25.251262,74.748738)
\qbezier(50,85)(35.502524,85)(25.251262,74.748738)
\qbezier(85,50)(85,35.502524)(74.748738,25.251262)
\qbezier(50,15)(64.497476,15)(74.748738,25.251262)
\put(53,67.5){\makebox(0,0)[l]{$z_1$}}
\put(46,67.5){\makebox(0,0)[r]{$i$}}
\put(48.5,67.5){\line(1,0){3}}
\put(53,32.5){\makebox(0,0)[l]{$z_2$}}
\put(46,32.5){\makebox(0,0)[r]{$-i$}}
\put(48.5,32.5){\line(1,0){3}}
\multiput(50,32.5)(0,35){2}{\circle*{2}}
\thicklines\qbezier(85,50)(85,64.497476)(74.748738,74.748738)
\qbezier(50,85)(64.497476,85)(74.748738,74.748738)
\qbezier(15,50)(15,64.497476)(25.251262,74.748738)
\qbezier(50,85)(35.502524,85)(25.251262,74.748738)
\put(15,50){\line(1,0){70}}
\put(15,50){\vector(1,0){25}}
\put(74.9,74,7){\vector(-1,1){0}}
\put(88,40){2}
\put(54,88){2}
\put(78,79){$\mathbf{\gamma_1}$}
\put(17,16){$\gamma$}
\end{picture}
\end{minipage}

\item $\displaystyle \int\limits_{|z| = r} \frac{e^z}{z^2} \, dz = 2\pi i \cdot \mathrm{Res}\,(f,\,0) = 2\pi i \cdot 1 = 2\pi i$ \qquad ($r > 0$)
\end{enumerate}

\subsection[Anwendung: Berechnung von reellen uneigentlichen Integralen]{Eine Anwendung:\\ Berechnung von reellen uneigentlichen Integralen $\int\limits_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx$}

Grundidee
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item Man setzt $f$ zu einer Funktion fort, die auf $\mathbb C$ mit Ausnahme von endlich vielen Singularitäten holomorph ist.
\item Man wählt einen geeigneten, geschlossenen Integrationsweg $\gamma$ in $\mathbb C$, der das Intervall $[-R,\,R]$ enthält.
\item Man berechnet mit Hilfe des Residuensatzes das Integral

\begin{minipage}{11cm}
\[\int\limits_{\gamma} f(z) \, dz = \int\limits_{-R}^{R} f(z) \, dz + \int\limits_{\gamma_R} f(z)\,dz\]
\end{minipage}
\begin{minipage}{3cm}
\begin{picture}(80,40)
\put(0,15){\vector(1,0){80}}
\put(40,10){\vector(0,1){30}}
\multiput(15,13)(50,0){2}{\line(0,1){2}}
\put(14,7){\makebox(0,0)[c]{$-R$}}
\put(65,7){\makebox(0,0)[c]{$R$}}
\qbezier(15,15)(40,35)(65,15)
\put(27,22.2){\vector(-3,-1){0}}
\put(24,27){$\gamma$}
\end{picture}
\end{minipage}
\item Man bildet den Grenzwert $R \to \infty$. In viele Fällen konvergiert das Integral über $\gamma_R$ (der Teil von $\gamma$, der sich nicht auf der reellen Achse befindet) gegen 0, so daß die linke Seite gleich dem gesuchten Integral ist.
\end{enumerate}

\subsection{Beispiel}
$\displaystyle \int\limits_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1+x^2}\,dx$

\smallskip

Wir betrachten $f(z) = \frac 1 {1+z^2},\ (z \in \mathbb C\smallsetminus \{-i,\,i\})$
\begin{align*}
\pi &= \int\limits_{\gamma} \frac 1{1+z^2} \, dz && (\text{aus } 15.10.6.\mathrm a)\\
    &= \int\limits_{-R}^{R} \frac{1}{1+z^2}\,dz + \int\limits_{\gamma_R} \frac 1 {1+z^2}\,dz 
\end{align*}
Wir zeigen: $\int_{\gamma_R} \xrightarrow{R\to\infty} 0$

\bigskip

$\displaystyle \left|\int\limits_{\gamma_R}\frac{1}{1+z^2}\,dz\right| \leq \pi \cdot R \cdot \max\limits_{|z| = R}\frac{1}{|1+z^2|} \qquad (\text{nach }15.6.5.\mathrm{iv})$

\bigskip

Für beliebige komplexe Zahlen $z$ gilt: $|z+w| \geq |z| - |w|$ (Dreiecksungleichung)

\bigskip

$|z| \leq |w| + |z+w| \Rightarrow |z+w| \leq |z|-|w|$

\bigskip

$\Rightarrow |z^2 + 1| \geq R^2 - 1 \quad \Rightarrow \frac{1}{|z^2 + 1|}\leq \frac 1 {R^2 -1}$

\bigskip

$\Rightarrow \displaystyle \left|\int\limits_{\gamma_R}\frac{1}{1+z^2}\,dz \right| \leq \pi \cdot R \cdot \frac{1}{R^2 - 1} \to 0 \quad (R \to \infty)$

\bigskip

$\displaystyle\Rightarrow \pi = \int\limits_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1+x^2}\,dx$


\subsection{Satz}

Es sei $R$ eine rationale Funktion, die auf $\mathbb R$ keine Polstelle hat, der Grad des Nenners von $R$ sei mindestens zwei größer als der Grad des Zählers. Dann ist
\[\int\limits_{-\infty}^{\infty} R(x)\,dx = 2\pi i \sum\limits_{\mathrm{Im}\,z > 0} \mathrm{Res}\,(R,\,z)\]

\subsection[\ Beispiel]{Beispiel}
Wir zeigen:
\[\int\limits_{-\infty}^{\infty} \frac{x^2}{1+x^4}\,dx = \frac{\pi}{\sqrt{2}}\]
Die Polstellen des Integranden $R$ sind:
\[z_1 = e^{\frac{\pi i}{4}}, \quad z_2 =  e^{\frac{3\pi i}{4}} = {z_1}^3, \quad z_3 =  e^{\frac{5\pi i}{4}} = {z_1}^5,\quad z_4 = e^{\frac{7\pi i}{4}} = {z_1}^7\]
\[R(z) = \frac{z^2}{1+z^4} = \underbrace{\frac{1}{(z-z_1)}}_{h} \cdot \underbrace{\frac{z^2}{(z-z_2)(z-z_3)(z-z_4)}}_{g} \qquad\qquad (15.10.3.\mathrm i)\]
\[\mathrm{Res}\,(R,\,z_1) + \mathrm{Res}\,(R,\,z_2) = \frac{{z_1}^2}{(z_1 - z_2)(z_1-z_3)(z_1-z_4)} +  \frac{{z_2}^2}{(z_2 - z_1)(z_2-z_3)(z_2-z_4)} = \frac{1}{2\sqrt{2} i}\]
$\Rightarrow \displaystyle \int\limits_{-\infty}^{\infty} R(x) \, dx = 2\pi i \frac{1}{2\sqrt 2 i} = \frac{\pi}{\sqrt 2}$

\newpage
\section{Konforme Abbildungen} \index{Konforme Abbildungen} \index{Abbildung, konforme}
\paragraph{Ziel:} Untersuchung von geometrischen Eigenschaften von  holomorphen Funktionen (Abbildungen).

\subsection{Einführung}
Sei $C: z(t) = x(t) + iy(t),\ a \leq t \leq b$ eine glatte, orientierte Kurve in der komplexen Ebene, $t_0 \in [a,\,b]$ und $z_0$ ein Punkt auf der Kurve.

Wegen der Glattheit besitzt die Kurve in jedem Punkt eine Tangente mit dem Richtungsfaktor $(x'(t),\,y'(t))^T$. Dieser Vektor ist eindeutig durch $z'(t) = x'(t) + iy'(t)$ bestimmt, deshalb werden wir auch $z'(t)$ als Richtungsvektor für die Tangente bezeichnen.

Sei weiterhin $f$ eine, auf der offenen Menge $D \supset C$ holomorphe Funktion. $f$ bildet die Kurve $C$ in die Kurve $C^*: w(t) = f(z(t)),\ a \leq t \leq b$.
Bildpunkte von $z_0$: $w(t_0) = f(z_0)$.

\bigskip

\begin{minipage}{8cm}
Nach der Kettenregel gilt: $w'(t_0) = f'(z(t_0)) \cdot z'(t_0) = f'(z_0) \cdot z'(t_0)$. Ist $f'(z_0) \ne 0$, so ist auch $w'(t_0) \ne 0$ und folglich besitzt die Bildkurve $C^*$ im Punkt $f(z_0)$ eine Tangente mit dem Richtungsvektor \[w'(t_0) = f'(z_0) \cdot z'(t_0).\]
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{7.5cm}
\begin{picture}(200,90)
\put(0,4){$z(a)$}
\put(10,15){\circle*{2}}
\put(80,70){\circle*{2}}
\put(78,74){$z(b)$}
\put(65,68){\vector(3,1){0}}
\qbezier(10,15)(20,65)(80,70)
\put(40,58.5){\circle*{2}}
\put(37,50){$z_0$}
\put(40,58.5){\line(5,3){25}}
\put(40,58.5){\line(-5,-3){25}}
\put(22,25){$C$}

\put(95,40){$\stackrel{\displaystyle f}{\Longrightarrow}$}

\qbezier(120,15)(180,25)(190,75)
\put(120,15){\circle*{2}}
\put(190,75){\circle*{2}}
\put(110,4){$w(a)$}
\put(185,80){$w(b)$}
\put(187.5,65){\vector(1,4){0}}
\put(169,36){\circle*{2}}
\put(170,27){$w(t_0)$}
\put(170,15){$= f(z_0)$}
\put(169,36){\line(1,1){25}}
\put(169,36){\line(-1,-1){25}}
\put(165,65){$C^*$}
\end{picture}
\end{minipage}

\bigskip

Wir erhalten den Tangentialvektor von $C^*$ im Punkt $f(z_0)$ dadurch, daß wir die Tangentenrichtung von $C$ im Punkt $z_0$ um den Winkel $\alpha = \arg f'(z_0)$ drehen (Multiplikation ist eine Drehstrechung). Dieser Winkel ist unabhängig von $C$.

\bigskip

\begin{minipage}{7.6cm}
\begin{picture}(200,90)
\qbezier(5,5)(20,70)(70,70)
\qbezier(20,75)(25,10)(65,15)
\put(20.5,70){\vector(-1,4){0}}
\put(61,69.5){\vector(4,1){0}}
\put(24.5,48.5){\line(-1,4){8}}
\put(24.5,48.5){\line(1,-4){8}}
\put(24.5,48.5){\line(4,5){25}}
\put(24.5,48.5){\line(-4,-5){25}}
\qbezier(19.5,68.5)(30,72)(39.5,68)
\put(29,62){\makebox(0,0){$\beta$}}
\put(10,5){$C_1$}
\put(55,20){$C_2$}

\put(144.5,48.5){\line(1,4){8}}
\put(144.5,48.5){\line(-1,-4){8}}
\put(144.5,48.5){\line(-4,5){25}}
\put(144.5,48.5){\line(4,-5){25}}

\qbezier(108.5,72)(152.5,57)(163.5,7)
\put(112,70.7){\vector(-3,1){0}}
\qbezier(144,10)(133,69)(178,70)
\put(173,70){\vector(4,1){0}}
\put(108,57){$C_2^*$}
\put(170,55){$C_1^*$}

\qbezier(149,68.5)(140,72)(128.5,68.5)
\put(137,60){$\beta^*$}
\put(95,50){\makebox(0,0){$\stackrel{\displaystyle f}{\Longrightarrow}$}}
\put(95,35){\makebox(0,0){$\beta = \beta^*$}}
\end{picture}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{8cm}
Daraus folgt: Sind $C_1$ und $C_2$ zwei glatte Kurven, die durch $z_0$ verlaufen, so vermittelt $f$ eine Abbildung, bei der der Winkel zwischen den Tangentenpaaren in $z_0$ nach Größe und Drehsinn erhalten bleibt. Abbildungen mit dieser Eigenschaft heißen \emph{winkeltreu} im Punkt $z_0$.
\end{minipage}\index{Winkeltreue}

\subsection{Satz zur Winkeltreue}

Sei $f$ in einer Umgebung von $z_0$ holomorphe Funktion mit $f'(z_0) \ne 0$. Dann ist $f$ in $z_0$ winkeltreu.


\subsection{Bemerkung}

Auf die Forderung $f'(z_0) \ne 0$ kann \textbf{nicht} verzichtet werden. 
\paragraph{Beispiel:} $f(z) = z^2,\ z_0 = 0,\ f'(z) = 2z,\ f'(z_0) = 0$

\smallskip

Durch $f$ wird die positive reelle Achse in sich abgebildet, die positive imaginäre Achse wird wegen $(iy)^2 = -y^2 < 0$ in die negative reelle Achse abgebildet $\Rightarrow f$ ist nicht winkeltreu in $z_0 =0$.

\subsection{Definition: Konforme Abbildung}

Eine Abbildung $f$ heißt \emph{konform} im Punkt $z_0$, wenn $f$ in einer Umgebung von $z_0$ holomorph ist und $f'(z_0) \ne 0$. Man nennt $f$ \emph{konform in einem Gebiet} $D$, wenn $f$ in jedem Punkt von $D$ konform ist.
\paragraph{Aufgabe:} Bei Anwendungen (z.B. Strömungsproblemen) um ein gegebenes Gebiet auf ein anderes, einfacheres Gebiet abzubilden.

\bigskip

Die Möglichkeit solcher Abbildungen ist durch folgenden Satz gesichert:

\subsection{Satz (Riemannscher Abbildungssatz)}\index{Abbildungssatz (Riemann)}\index{Riemannscher Abbildungssatz}

Sind $D$ und $D^*$ einfach zusammenhängende echte Teilgebiete von $\mathbb C$, so gibt es eine konforme Abbildung $f$, die $D$ ein-eindeutig auf $D^*$ abbildet.


\subsection{Gebrochen lineare Abbildungen}

Abbildungen der Form 
\[f(z) = \frac{a\cdot z + b}{c \cdot z + d}, \quad z\in \mathbb C\]
wobei $a,\,b,\,c,\,d \in \mathbb C$ und $c$ oder $d$ von 0 verschieden, heißen \emph{gebrochen lineare Abbildungen}.

\bigskip

Z.B. bei elektrischen Schwingkreisen:

\bigskip

\begin{minipage}{4cm}
\begin{picture}(110,100)
\put(0,55){\makebox(0,0)[l]{$U(\omega)$}}
\multiput(29,20)(0,70){2}{\circle{2}}
\put(29,86){\vector(0,-1){62}}
\multiput(30,20)(0,70){2}{\line(1,0){60}}
\multiput(60,20)(0,70){2}{\circle*{2}}
\multiput(60,20)(0,30){3}{\line(0,1){10}}
\multiput(55,30)(10,0){2}{\line(0,1){20}}
\multiput(55,30)(0,20){2}{\line(1,0){10}}
\multiput(60,60)(0,5){4}{\qbezier(0,0)(5,0)(5,2.5)\qbezier(5,2.5)(5,5)(0,5)}
\put(53,40){\makebox(0,0)[r]{$R_1$}}
\put(53,70){\makebox(0,0)[r]{$L$}}
\multiput(90,20)(0,30){3}{\line(0,1){10}}
\multiput(85,30)(10,0){2}{\line(0,1){20}}
\multiput(85,30)(0,20){2}{\line(1,0){10}}
\multiput(90,50)(0,22){2}{\line(0,1){18}}
\thicklines
\multiput(83,68)(0,4){2}{\line(1,0){14}}
\thinlines
\put(83,63){\vector(1,1){14}}
\put(97,40){\makebox(0,0)[l]{$R_2$}}
\put(100,70){\makebox(0,0)[l]{$C$}}
\end{picture}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{11cm}
komplexer Widerstand $Z$ als Funktion der Kapazität $C$:
\[Z(C) = \frac{a \cdot C + b}{c \cdot C + d}, \quad C \in \mathbb R\]
wobei
\begin{align*}
a &= -\omega^2 LR_2 + i\omega R_1R_2 & c&= -\omega^2L + i\omega(R_1+R_2)\\
b &= R_1 + i\omega L & d &= 1
\end{align*}
\end{minipage}

\bigskip

Der Graph von $Z(C)$ heißt \emph{Ortskurve} der Schaltung.\index{Ortskurve}

\subsection{Die Riemannsche Zahlenkugel}\index{Zahlenkugel (Riemann)}\index{Riemannsche Zahlenkugel}

Wir betrachten in $\mathbb R^3$ ein $x,y,z$-Koordinatensystem. Die komplexen Zahlen $w = x + iy$ fassen wir als Punkte der $x,y$-Ebene auf. Wir legen um den Punkt $(0,0,\frac 1 2)$ eine Kugeloberfläche $K$ mit dem Radius $\frac 1 2$.

\begin{minipage}{11cm}
Der Punkt $N(0,0,1)$ heißt \emph{Nordpol}, der Punkt $S(0,0,0)$ heißt \emph{Südpol}. 

Sei $w = x +iy$ eine beliebige komplexe Zahl und $P(x,y,0)$ der zugehörige Punkt in der $x,y$-Ebene. Wir verbinden die Punkte $P$ und $N$ durch eine Gerade. Diese besitzt genau einen Schnittpunkt $Q$ mit $K$, die sogenannte \emph{stereographe Projektion} von $P$ auf $K$.

\bigskip

Zwischen den Koordinaten $(Q_x,Q_y,Q_z)$ von $Q$ und den Koordinaten von $P$ bestehen die Beziehungen:
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{4.8cm}
\flushright
\begin{picture}(130,130)
\put(50,50){\vector(1,0){70}}
\put(50,50){\vector(-1,-1){35}}
\put(50,50){\vector(0,1){70}}
\qbezier(75,75)(75,85.35534)(67.67767,92.67767)
\qbezier(50,100)(60.35534,100)(67.67767,92.67767)
\qbezier(25,75)(25,64.64466)(32.32233,57.32233)
\qbezier(50,50)(39.64466,50)(32.32233,57.32233)
\qbezier(25,75)(25,85.35534)(32.32233,92.67767)
\qbezier(50,100)(39.64466,100)(32.32233,92.67767)
\qbezier(75,75)(75,64.64466)(67.67767,57.32233)
\qbezier(50,50)(60.35534,50)(67.67767,57.32233)

\qbezier(75.0, 75.0)(75.0, 77.0711)(67.6777, 78.5355)
\qbezier(67.6777, 78.5355)(60.3553, 80.0)(50.0, 80.0)
\qbezier(50.0, 80.0)(39.6447, 80.0)(32.3223, 78.5355)
\qbezier(32.3223, 78.5355)(25.0, 77.0711)(25.0, 75.0)
\qbezier(25.0, 75.0)(25.0, 72.9289)(32.3223, 71.4645)
\qbezier(32.3223, 71.4645)(39.6447, 70.0)(50.0, 70.0)
\qbezier(50.0, 70.0)(60.3553, 70.0)(67.6777, 71.4645)
\qbezier(67.6777, 71.4645)(75.0, 72.9289)(75.0, 75.0)

\qbezier(55.0, 75.0)(55.0, 85.3553)(53.5355, 92.6777)
\qbezier(53.5355, 92.6777)(52.0711, 100.0)(50.0, 100.0)
\qbezier(50.0, 100.0)(47.9289, 100.0)(46.4645, 92.6777)
\qbezier(46.4645, 92.6777)(45.0, 85.3553)(45.0, 75.0)
\qbezier(45.0, 75.0)(45.0, 64.6447)(46.4645, 57.3223)
\qbezier(46.4645, 57.3223)(47.9289, 50.0)(50.0, 50.0)
\qbezier(50.0, 50.0)(52.0711, 50.0)(53.5355, 57.3223)
\qbezier(53.5355, 57.3223)(55.0, 64.6447)(55.0, 75.0)

\put(20,90){$K$}
\put(8,8){$y$}
\put(110,40){$x$}
\put(53,110){$z$}
\multiput(50,50)(0,50){2}{\circle*{2}}
\put(48,101){\makebox(0,0)[rb]{$N$}}
\put(52,48){\makebox(0,0)[lt]{$S$}}
\multiput(25,25)(4,0){13}{\line(1,0){2}}
\multiput(76,26)(2.8,2.8){09}{\qbezier(0,0)(0,0)(1.3,1.3)}
\put(75,25){\circle*{2}}
\put(75,15){$P$}
\put(75,25){\line(-1,3){25}}
\put(55,85){\circle*{2}}
\put(57,84){$Q$}
\end{picture}
\end{minipage}

\[Q_x = \frac{x}{1+x^2+y^2}, \ Q_y = \frac{y}{1+x^2+y^2},\ Q_z = \frac{x^2+y^2}{1+x^2+y^2} \quad \text{und} \quad x = \frac{Q_1}{1-Q_z}, \ y = \frac{Q_y}{1-Q_z}\]
Jeder komplexen Zahl entspricht ein \textbf{eindeutig bestimmter} Punkt auf $K \smallsetminus \{N\}$ und umgekehrt.

Wir ordnen dem Nordpol $N$ formal einen \emph{unendlich fernen Punkt} $z_{\infty}$ zu (der auch mit $\infty$ bezeichnet wird). Durch Hinzunahme von $z_{\infty}$ schließen wir die komplexe Ebene ab. 

$\overline{\mathbb C} = \mathbb C \cup \{z_{\infty}\}$: \emph{erweiterte komplexe Ebene}. \index{erweiterte kompl. Ebene}

Addition und Multiplikation lassen sich \textbf{nicht} so auf $\overline{\mathbb C}$ ausdehnen, daß die Grundeigenschaften erhalten bleiben. Es ist jedoch sinnvoll, folgende Rechenregeln für alle $z \in \mathbb C$ zu vereinbaren:
\begin{align*}
z+z_{\infty} &= z_{\infty} + z = z_{\infty} & z \cdot z_{\infty} = z_{\infty} \cdot z &= z_{\infty} \quad (z\ne 0)\\
\frac z {z_{\infty}} &= 0 & \frac z 0 &= z_{\infty} \quad (z \ne 0)
\end{align*}

\subsection{Möbiustransformation}\index{Möbiustransformation}

Wir betrachten wieder die gebrochene lineare Abbildung
\[f(z) = \frac{az + b}{cz + d}, \quad z \in \mathbb C.\]
Man nennt $f$ eine \emph{Möbius-Transformation}, falls $f$ nicht konstant ist. 

Leicht zu zeigen: $f$ ist genau dann eine Möbius-Transformation, wenn
\[ad - bc = \left|\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right| \ne 0\]
\begin{description}
\item[Fall $c = 0$:] $f(z) = \frac a d \cdot z + \frac b d = A \cdot z + B$ wobei $A = \frac a d$ und $B = \frac b d$. Dann ist $f$ eine lineare Abbildung und bewirkt folgendes:
\begin{itemize}
\item eine Streckung um den Faktor $|A|$ (bezogen auf den Nullpunkt)
\item eine Drehung um den Nullpunkt mit Drehwinkel $\arg A$
\item eine Verschiebung um den komplexen Vektor $B$
\end{itemize}
\item[Fall $c \ne 0$:] durch Polynomdivision:
\begin{equation}
f(z) = -\frac{ad-bc}{c} \cdot \frac 1 {cz + d} + \frac a c
\label{fallcne0}
\end{equation}
Man kann leicht zeigen: Ist $ad-bc \ne 0$, so ist $f$ eine ein-eindeutige Abbildung von $\mathbb C \smallsetminus \{-\frac d c\}$ auf $\mathbb C \smallsetminus \{\frac a c\}$.

Die inverse Abbildung: $z = f^{-1}(w) = \frac{dw+b}{cw-a}$, $w \in \mathbb C \smallsetminus \{\frac a c\}$. Folglich ist $f$ eine konforme Abbildung (da $f'(z) \ne 0$)
\end{description}

Forsetzung auf die abgeschlossene Zahlenebene $\overline{\mathbb C}$: Ist $ad - bc \ne 0$, so setzen wir $f\left(-\frac d c \right) = \infty$ und $f(\infty) = \frac a c$ ($c \ne 0$) und $f(\infty) = \infty$, falls $c = 0$.

Dann ist $f$ eine \textbf{ein-eindeutige} Abbildung von $\overline{\mathbb C}$ auf $\overline{\mathbb C}$. Die Abbildung $f$ ergibt sich durch Hintereinanderausführung von den folgenden drei Abbildungen (wegen (\ref{fallcne0})):
\begin{align*}
z\phantom{_1} &\longrightarrow z_1 = cz + d && \text{(lineare Abbildung)}\\
z_1 &\longrightarrow z_2 = \frac 1 {z_1} && \text{(Bildung der Inversen)}\\
z_2 &\longrightarrow w = -\frac{ad-bc}c \cdot z_2 + \frac a c && \text{(lineare Abbildung)}
\end{align*}

\subsubsection*{Geometrische Deutung der Inversion $(z \to \frac 1 z)$}

\begin{minipage}{6.8cm}
\begin{picture}(160,140)
\put(0,50){\vector(1,0){130}}
\put(50,0){\vector(0,1){130}}
\qbezier(85,50)(85,64.497476)(74.748738,74.748738)
\qbezier(50,85)(64.497476,85)(74.748738,74.748738)
\qbezier(15,50)(15,35.502524)(25.251262,25.251262)
\qbezier(50,15)(35.502524,15)(25.251262,25.251262)
\qbezier(15,50)(15,64.497476)(25.251262,74.748738)
\qbezier(50,85)(35.502524,85)(25.251262,74.748738)
\qbezier(85,50)(85,35.502524)(74.748738,25.251262)
\qbezier(50,15)(64.497476,15)(74.748738,25.251262)
\put(50,50){\line(1,1){55.5}}
\put(105.5,105.5){\line(-3,-1){80}}
\put(106,105.5){\line(-1,-3){27}}
\put(39,83){\line(1,-1){44}}	
\put(39,83){\line(1,-3){11}}	
\put(50,50){\line(3,-1){33}}	
\put(105.5,105.5){\circle*{2}}
\put(107,107){$z =  x+iy$}
\multiput(61,39)(0,22){2}{\circle*{2}}
\put(64,61){\makebox(0,0)[l]{$z_0$}}
\put(63,36){\makebox(0,0)[l]{$\frac 1 z$}}
\qbezier(67.5,68)(61,75)(54,68)
\put(61,67){\circle*{1}}
\qbezier(47,85.9)(47,79)(41.6,75)
\put(43,81){\circle*{1}}
\qbezier(47,59)(53,64)(56.6,57)
\put(48,54.5){$\alpha$}
\multiput(61,38.5)(0,2){11}{\line(0,1){1}}
\put(47,121){\makebox(0,0)[r]{$y$}}
\put(126,41){\makebox(0,0)[rb]{$x$}}
\put(1,40){$-1$}
\put(35,5){$-i$}
\end{picture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{9cm}
Wir zeichnen die Tangenten an den Einheitskreis, die durch $z$ gehen. Behauptung: $|z_0| =\frac 1 {|z|}$.
\[\cos \alpha = \frac{1}{|z|} = \frac{|z_0|}{1}\]
$z \to z_0$: Inversion bezüglich des Einheitskreises.

Spiegelung bezüglich der $x$-Achse.
\[\Rightarrow \quad|z_0| = \dfrac{1}{|z|},\ \arg \frac 1 z = -\arg z\]
\end{minipage}

\bigskip

In den folgenden Aussagen betrachten wir auch Geraden als Kreise (mit unendlichem Radius).

\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\roman{enumi})}
\item Jeder Kreis in $\mathbb C$ erfüllt eine Gleichung der Form
\[A\cdot z \cdot \overline z + B \cdot z + \overline{B\cdot z} + C = 0\]
wobei $A,\, C \in \mathbb R$, $B \in \mathbb C$ und $A  \cdot C < |B|^2$. Umgekehrt beschreiben solche Gleichungen Kreise in $\mathbb C$, für $A = 0$ liegen Geraden vor, z.\,B. $A = 1,\ B=0,\ C=-4 \Rightarrow |z|^2 = 4$.
\item Jede Möbiustransformation führt Kreise in Kreise über (die sogenannte \emph{Kreisverwandtschaft}, \emph{Kreistreue}). \index{Kreistreue}
\end{enumerate}

$z \to \frac 1 z$:

\begin{minipage}{6.5cm}
\centering 
\begin{picture}(125,120)
\put(0,60){\vector(1,0){125}}
\put(60,0){\vector(0,1){120}}
\put(10,10){\qbezier(80,50)(80,62.426408)(71.213204,71.213204)
\qbezier(50,80)(62.426408,80)(71.213204,71.213204)
\qbezier(20,50)(20,37.573592)(28.786796,28.786796)
\qbezier(50,20)(37.573592,20)(28.786796,28.786796)
\qbezier(20,50)(20,62.426408)(28.786796,71.213204)
\qbezier(50,80)(37.573592,80)(28.786796,71.213204)
\qbezier(80,50)(80,37.573592)(71.213204,28.786796)
\qbezier(50,20)(62.426408,20)(71.213204,28.786796)}
\multiput(60,59.6)(0,10){4}{\makebox(0,0){$\diamond$}}
\multiput(60,59.6)(10,0){4}{\makebox(0,0){$\times$}}
\put(81.2,81.2){\makebox(0,0){$\circ$}}
\put(71.5,87.7){\makebox(0,0){$\circ$}}
\put(87.7,71.5){\makebox(0,0){$\circ$}}
\multiput(60,90)(30,-30){2}{\makebox(0,0){$\circ$}}
\put(25,25){\makebox(0,0){7}}
\put(95,25){\makebox(0,0){8}}
\put(25,95){\makebox(0,0){6}}
\put(95,95){\makebox(0,0){5}}
\put(47.5,47.5){\makebox(0,0){3}}
\put(72.5,47.5){\makebox(0,0){4}}
\put(47.5,72.5){\makebox(0,0){2}}
\put(72.5,72.5){\makebox(0,0){1}}
\end{picture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{2.6cm}
\centering\raisebox{8pt}{$\xrightarrow{\displaystyle\text{Inversion}}$}
\end{minipage}
\begin{minipage}{6.5cm}
\centering 
\begin{picture}(125,120)
\put(0,60){\vector(1,0){125}}
\put(60,0){\vector(0,1){120}}
\put(10,10){\qbezier(80,50)(80,62.426408)(71.213204,71.213204)
\qbezier(50,80)(62.426408,80)(71.213204,71.213204)
\qbezier(20,50)(20,37.573592)(28.786796,28.786796)
\qbezier(50,20)(37.573592,20)(28.786796,28.786796)
\qbezier(20,50)(20,62.426408)(28.786796,71.213204)
\qbezier(50,80)(37.573592,80)(28.786796,71.213204)
\qbezier(80,50)(80,37.573592)(71.213204,28.786796)
\qbezier(50,20)(62.426408,20)(71.213204,28.786796)}
\multiput(60,0)(0,10){4}{\makebox(0,0){$\diamond$}}
\multiput(90,59.6)(10,0){4}{\makebox(0,0){$\times$}}
\put(81.2,38.3){\makebox(0,0){$\circ$}}
\put(71.5,31.8){\makebox(0,0){$\circ$}}
\put(87.7,48.0){\makebox(0,0){$\circ$}}
\multiput(60,30)(30,30){2}{\makebox(0,0){$\circ$}}
\put(25,25){\makebox(0,0){2}}
\put(95,25){\makebox(0,0){1}}
\put(25,95){\makebox(0,0){3}}
\put(95,95){\makebox(0,0){4}}
\put(47.5,47.5){\makebox(0,0){6}}
\put(72.5,47.5){\makebox(0,0){5}}
\put(47.5,72.5){\makebox(0,0){7}}
\put(72.5,72.5){\makebox(0,0){8}}
\end{picture}
\end{minipage}

\bigskip

Wenn $|z| = 1$, dann $\frac 1 z = \overline z$ (Spiegelung bzgl. der $x$-Achse)
\[\boxed{\quad p \cdot i \quad (0 \leq p \leq 1), \qquad \frac{1}{p \cdot i} = - \frac{1}{p} \cdot i \quad (0 < p \leq 1)}\]
\subsubsection{Abbildung $z \to \frac 1 z$}

\quad\begin{picture}(200,50)
\put(0,25){\makebox(0,0)[l]{Gerade}}
\put(40,26){\vector(4,1){40}}
\put(40,24){\vector(4,-1){40}}
\put(85,35){\makebox(0,0)[l]{Kreis}}
\put(85,15){\makebox(0,0)[l]{Gerade durch den Nullpunkt}}
\put(53,27){\rotatebox{-14.5}{\makebox(0,0)[l]{\small oder}}}
\end{picture}

\quad\begin{picture}(200,50)
\put(0,25){\makebox(0,0)[l]{Kreis}}
\put(40,26){\vector(4,1){40}}
\put(40,24){\vector(4,-1){40}}
\put(85,35){\makebox(0,0)[l]{Kreis}}
\put(85,15){\makebox(0,0)[l]{Gerade (wenn der Kreis durch 0 geht)}}
\put(53,27){\rotatebox{-14.5}{\makebox(0,0)[l]{\small oder}}}
\end{picture}


\section{Anwendungen}

\subsection{Ebene stationäre Strömungen}

Wir betrachten eine
\begin{itemize}
\item stationäre (d.h. die Geschwindigkeit ist zeitunabhängig)
\item reibungsfreie, imkompressible
\item wirbelfreie
\item quellenfreie
\end{itemize}
Strömung in einem Gebiet $D$  der $x,y$-Ebene. Der Geschwindigkeitsvektor $\vec v$ in einem Punkt $(x,\,y)$ sei durch
\[\vec v(x,y) = (v_1(x,y),\, v_2(x,y))^T\]
gegeben. Dann gilt
\begin{equation}
\mathrm{div}\,\vec v = \frac{\partial v_1}{\partial x} + \frac{\partial v_2}{\partial y} = 0 \label{15121}
\end{equation}
(da Strömung quellenfrei) und
\[\mathrm{rot}\, \vec v = \left(0,\,0,\,\frac{\partial v_2}{\partial x} - \frac{\partial v_1}{\partial y}\right)^T = \vec O\]
(da Strömung wirbelfrei). Aus dieser Gleichung folgt die Existenz einer reellwertigen Funktion $\Phi$ in $D$ mit 
\[\mathrm{grad}\,\Phi = \vec v \qquad \text{d.\,h.} \qquad v_1 = \frac{\partial \Phi}{\partial x}, \quad v_2 = \frac{\partial \Phi}{\partial y}\]
(siehe (12.5.7) oder (10.5.6)). $\Phi$ heißt \emph{Geschwindigkeitspotential} der Strömung. Setzen wir diese Gleichungen in (\ref{15121}) ein, so folgt
\begin{equation}
\Delta \Phi = \frac{\partial^2 \Phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \Phi}{\partial y^2} = 0 \label{15122} 
\end{equation}
$\Phi$ erfüllt die Laplace-Gleichung, ist also eine harmonische Funktion. Im Abschnitt 15.3. haben wir gesehen, daß Real- und Imaginärteil einer holomorphen Funktion harmonisch sind.
\paragraph{Frage:} Gibt es eine holomorphe Funktion, deren Realteil $\Phi$ ist?

\subsection{Satz}
Sei $g$ eine im einfach zusammenhängenden Gebiet $D$ harmonische Funktion. Dann gibt es eine hamronische Funktion $h$ so, daß die FUnktion
\[f(z) = g(z) + i h(z)\]
holomorph ist. Die Funktion $h$ ist bis auf eine additive Konstante eindeutig bestimmt.

man sagt: $h$ ist zu $g$ \emph{konjugiert harmonisch}. $g$ und $h$ erfüllen die Cauchy-Riemannschen DGLen (Abschnitt 15.3).\index{konjugiert harmonisch}

\subsection{Das komplexe Strömungspotential}

Seien $\vec v$ und $\Phi$ wie in (15.12.1). $\vec v$ läßt sich auch in komplexer Form darstellen als
\[v(z) = v(x+iy) = v_1(x+iy) + i v_2(x+iy).\]
Nach dem vorhergehenden Satz existiert eine zu $\Phi$ konjugiert harmonische Funktion $\Psi$. Die holomorphe Funktion 
\[F(z) = F(x+iy) = \Phi(x,y) + i \Psi(x,y)\]
nennt man das \emph{komplexe Stömungspotential}. $\Phi$ heißt \emph{Potential-} und $\Psi$ \emph{Stromfunktion}.\index{Potentialfunktion}\index{Stromfunktion}

\smallskip

Nach Satz 15.3.7 (Cauchy-Riemannsche DGL) ist 
\[F'(z) = \frac{\partial \Phi}{\partial x} + i \frac{\partial \Psi}{\partial x} = \frac{\partial \Phi}{\partial x} - i \frac{\partial \Phi}{\partial y}\]
und folglich
\[\boxed{\quad v(z) =  \frac{\partial \Phi}{\partial x} + i \frac{\partial \Phi}{\partial y} = \overline{F'(z)}}\]
Man kann zeigen: Die obigen Überlegungen lassen sich auch dann durchführen, wenn in der Strömung Punktquellen bzw. Punktwirbel vorhanden sind. Das zugehörige komplexe Potential $F$ hat dann in diesen Punkten Singularitäten.

\subsubsection{Seien jetzt:}
\begin{description}
\item[$C:$] eine positiv orientierte Kurve, geschlossen, doppelpunktfrei und glatt.
\item[$N:$] der Fluß von $\vec v$ durch $C$.
\item[$\Gamma:$] die Zirkulation (Wirbelstärke) von $\vec v$ entlang $C$
\end{description}

Dann gilt:
\[\Gamma + iN = \int\limits_C F'(z)\,dz,\]
also
\[
\boxed{\quad \vphantom{\int\limits^C} \Gamma = \mathrm{Re}\,\int\limits_C F'(z)\,dz \quad} 
\qquad \text{ und } \qquad
\boxed{\quad \vphantom{\int\limits^C} N = \mathrm{Im}\,\int\limits_C F'(z)\,dz \quad} 
\]

\smallskip

\vfill

Anmerkung zur Definition von Fluß und Zirkulation:

\bigskip

\begin{minipage}{9cm}
$C:\ \gamma(t), \quad < \leq t \leq b$


\bigskip

$\vec \tau = (\tau_1,\, \tau_2)^T$, Tangentenvektor, normiert ($|\vec \tau| = 1$)

\bigskip

$\tau = \frac{\gamma'(t)}{|\gamma'(t)|},\ \vec n = (-\tau_2,\,\tau_1)^T$
\end{minipage}
\begin{minipage}{6.7cm}
\centering \begin{picture}(100,100)
\qbezier(80,50)(80,62.426408)(71.213204,71.213204)
\qbezier(50,80)(62.426408,80)(71.213204,71.213204)
\qbezier(20,50)(20,37.573592)(28.786796,28.786796)
\qbezier(50,20)(37.573592,20)(28.786796,28.786796)
\qbezier(20,50)(20,62.426408)(28.786796,71.213204)
\qbezier(50,80)(37.573592,80)(28.786796,71.213204)
\qbezier(80,50)(80,37.573592)(71.213204,28.786796)
\qbezier(50,20)(62.426408,20)(71.213204,28.786796)
\put(0,90){$C:$}
\put(47.5,80){\vector(-1,0){0}}
\put(80,50){\vector(1,0){25}}
\put(80,50){\vector(0,1){25}}
\put(80,77){\makebox(0,0)[b]{$\vec\tau$}}
\put(108,50){\makebox(0,0)[l]{$\vec n$}}
\end{picture}
\end{minipage}

\bigskip

\emph{Fluß} von $\vec v$ durch $C$:
$\displaystyle \int\limits_C(\vec v,\,\vec n)\,ds = \int\limits_a^b (\vec v (\gamma(t)),\,\vec n(\gamma(t)) \cdot |\gamma'(t)|\,dt$

\smallskip

\emph{Zirkulation} von $\vec v$ längs $C$: $\displaystyle \int\limits_C (\vec v,\,\vec \tau)\,ds$


\printindex
\end{document}





