\documentclass[11pt,a4paper]{report}
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\date{Zuletzt aktualisiert:\\\today}
\author{Fabian~Kurz\\\href{http://fkurz.net/}{http://fkurz.net/}}
\title{Systemtheorie I -- WS 04/05\\Prof. Dr.-Ing. habil. Hoffmann, TU Dresden\\Mitschrift}
\begin{document}
\setlength{\parindent}{0pt}
\renewcommand{\thesection}{\arabic{section}}
\setcounter{tocdepth}{3}
\maketitle
\pagenumbering{Roman}
\tableofcontents
\newpage
\setcounter{section}{-1}
\pagenumbering{arabic}
\section{Einführung}
\subsection{Inhalt des Lehrgebietes}

\begin{minipage}{7.9cm}
\center

\textbf{Realität}

\begin{picture}(200,70)
\multiput(0,30)(140,0){2}{\vector(1,0){60}}
\multiput(60,00)(80,0){2}{\line(0,1){60}}
\multiput(60,00)(0,60){2}{\line(1,0){80}}
\put(07,35){Erregung}
\put(06,18){(Ursache)}
\put(75,40){Schaltung}
\put(72,15){Gerät, usw.}
\put(147,35){Reaktion}
\put(144,18){(Wirkung)}
\end{picture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{7.9cm}
\center

\textbf{Mathematisches Modell}

\begin{picture}(200,70)
\multiput(0,30)(140,0){2}{\vector(1,0){60}}
\multiput(60,00)(80,0){2}{\line(0,1){60}}
\multiput(60,00)(0,60){2}{\line(1,0){80}}
\put(11,35){Eingabe}
\put(23,18){$x(t)$}
\put(81,27){\textbf{System}}
\put(147,35){Ausgabe}
\put(162,18){$y(t)$}
\end{picture}
\end{minipage}

\subsubsection*{Aufgaben}

\begin{tabular}{l|l|l}
gegeben &  gesucht & Gebiet \\
\hline
Eingabe, System & Ausgabe & Systemanalyse\\
Eingabe, Ausgabe & System & Systemsynthese\\
System, Ausgabe & Eingabe & Messtechnik
\end{tabular}

\paragraph*{Beachte:} Modell ist anwendungsabhängig

\subparagraph*{Beispiel:} Drahtwiderstand

\bigskip

\begin{tabular}{c|cccc}
Realität & \multicolumn{4}{c}{Modell}\\
\hline
\begin{picture}(45,60)
\multiput(-1,15)(43,0){2}{\circle{2}}
\multiput(0,15)(31,0){2}{\line(1,0){10}}
\multiput(10,15)(2,0){8}{
\qbezier(0,0)(0,5)(2.5,5)
\qbezier(2.5,5)(5,5)(5,0)
\qbezier(5,0)(5,-5)(3,-5)
\qbezier(3,-5)(2,-5)(2,0)
}
\put(26,15){\qbezier(0,0)(0,5)(2.5,5)
\qbezier(2.5,5)(5,5)(5,0)}
\end{picture}
&
\begin{picture}(48,60)
\multiput(2,15)(42,0){2}{\circle{2}}
\multiput(3,15)(30,0){2}{\line(1,0){10}}
\multiput(13,10)(20,0){2}{\line(0,1){10}}
\multiput(13,10)(0,10){2}{\line(1,0){20}}
\put(19,23){$R$}
\end{picture}
&
\begin{picture}(78,60)
\multiput(2,15)(72,0){2}{\circle{2}}
\multiput(3,15)(30,0){3}{\line(1,0){10}}
\multiput(13,10)(20,0){2}{\line(0,1){10}}
\multiput(13,10)(0,10){2}{\line(1,0){20}}
\multiput(43,15)(5,0){4}{\qbezier(0,0)(0,5)(2.5,5)}
\multiput(43,15)(5,0){4}{\qbezier(2.5,5)(5,5)(5,0)}
\put(19,23){$R$}
\put(50,23){$L$}
\end{picture}
&
\begin{picture}(78,60)
\multiput(2,15)(72,0){2}{\circle{2}}
\multiput(08,15)(60,0){2}{\circle*{2}}
\multiput(3,15)(30,0){3}{\line(1,0){10}}
\multiput(13,10)(20,0){2}{\line(0,1){10}}
\multiput(13,10)(0,10){2}{\line(1,0){20}}
\multiput(43,15)(5,0){4}{\qbezier(0,0)(0,5)(2.5,5)}
\multiput(43,15)(5,0){4}{\qbezier(2.5,5)(5,5)(5,0)}
\multiput(08,15)(60,0){2}{\line(0,1){20}}
\multiput(08,35)(32,0){2}{\line(1,0){28}}
\thicklines\multiput(36,28)(4,0){2}{\line(0,1){14}}\thinlines
\put(19,23){$R$}
\put(50,23){$L$}
\put(34,45){$C$}
\end{picture}
&
\begin{picture}(145,60)
\multiput(0,15)(142,0){2}{\circle{2}}
\multiput(1,15)(130,0){2}{\line(1,0){10}}
\multiput(61,15)(15,0){2}{{\line(1,0){5}}}
\multiput(66,15)(4,0){3}{{\line(1,0){2}}}
\multiput(-4,0)(70,0){2}{
\put(21,23){$R$}
\put(52,23){$L$}
\put(36,45){$C$}
\multiput(10,15)(60,0){2}{\circle*{2}}
\put(35,15){\line(1,0){10}}
\multiput(15,10)(20,0){2}{\line(0,1){10}}
\multiput(15,10)(0,10){2}{\line(1,0){20}}
\multiput(45,15)(5,0){4}{\qbezier(0,0)(0,5)(2.5,5)}
\multiput(45,15)(5,0){4}{\qbezier(2.5,5)(5,5)(5,0)}
\multiput(10,15)(60,0){2}{\line(0,1){20}}
\multiput(10,35)(32,0){2}{\line(1,0){28}}
\thicklines\multiput(38,28)(4,0){2}{\line(0,1){14}}\thinlines}
\end{picture}
\\
 & $\omega = 0$ & NF & HF & UHF
\end{tabular}

\bigskip

Eingabe und Ausgabe sind Zeitfunktionen $x(t)$ bzw. $y(t)$ oder sogenannte \emph{Signale}.

\subsection{Stoffeinteilung}
(nach der Art des verarbeiteten Signals)

\bigskip

\begin{tabular}{ccc}
\emph{Zeitkontinuiertliche Systeme} &
\emph{Zeitdiskrete Systeme} &
\emph{Digitale Systeme}
\\
\begin{picture}(120,110)
\put(20,00){\vector(0,1){100}}
\put(15,25){\vector(1,0){110}}
\put(0,87){$x(t)$}
\put(115,15){$t$}
\qbezier(20,25)(30,70)(50,70)
\qbezier(50,70)(65,70)(70,40)
\qbezier(70,40)(75,5)(85,5)
\qbezier(85,5)(95,5)(100,20)
\end{picture}
&
\begin{picture}(120,110)
\put(20,00){\vector(0,1){100}}
\put(15,25){\vector(1,0){110}}
\put(0,87){$x(k)$}
\put(115,15){$k$}
\put(30,25){\line(0,1){29}}
\put(40,25){\line(0,1){42}}
\put(50,25){\line(0,1){45}}
\put(60,25){\line(0,1){41}}
\put(70,25){\line(0,1){15}}
\put(80,25){\line(0,-1){17}}
\put(90,25){\line(0,-1){19}}
\put(100,25){\line(0,-1){5}}
\put(30,54){\circle*{2}}
\put(40,67){\circle*{2}}
\put(50,70){\circle*{2}}
\put(60,66){\circle*{2}}
\put(70,40){\circle*{2}}
\put(80,8){\circle*{2}}
\put(90,6){\circle*{2}}
\put(100,20){\circle*{2}}
\put(27.5,15){$1$}
\put(37.5,15){$2$}
\put(47.5,15){$3$}
\put(57.5,15){$\cdots$}
\end{picture}
&
\begin{picture}(120,110)
\put(20,00){\vector(0,1){100}}
\put(15,25){\vector(1,0){110}}
\put(0,87){$x(k)$}
\put(115,15){$k$}
\put(30,25){\line(0,1){30}}
\put(40,25){\line(0,1){40}}
\put(50,25){\line(0,1){45}}
\put(60,25){\line(0,1){40}}
\put(70,25){\line(0,1){15}}
\put(80,25){\line(0,-1){15}}
\put(90,25){\line(0,-1){20}}
\put(100,25){\line(0,-1){5}}
\put(30,55){\circle*{2}}
\put(40,65){\circle*{2}}
\put(50,70){\circle*{2}}
\put(60,65){\circle*{2}}
\put(70,40){\circle*{2}}
\put(80,10){\circle*{2}}
\put(90,5){\circle*{2}}
\put(100,20){\circle*{2}}
\linethickness{0.2mm}
\multiput(0,0)(0,5){15}{\multiput(25,05)(5,0){18}{\circle*{1}}}
\end{picture}
\\
$t$ reell & $k$ ganzzahlig & $k$ ganzzahlig \\
x(t) reell & $x(k)$ reell & $x(k)$ ganzzahlig\\
\end{tabular}

\subsection{Literatur}
Wunsch/Schreiber, "`Digitale Systeme"', Verlag Technik / Springer

Wunsch/Schreiber, "`Analoge Systeme"', Verlag Technik / Springer



\setcounter{secnumdepth}{-1}
\chapter{Teil 1: Digitale Systeme}
\setcounter{secnumdepth}{3}
\section{Mathematische Grundlagen}
\subsection{Algebraische Strukturen}
\subsubsection{Operation und Struktur}

\begin{description}
\item[Beispiele:] \quad \\
$3 + 4 = 7$

$\vec x_1 \times \vec x_2 = \vec x_3$
\end{description}

\begin{minipage}{5cm}
\begin{picture}(100,85)
\put(60,30){\oval(100,60)}
\put(30,20){\circle*{2}}
\put(26,12){$a_1$}
\put(30,40){\circle*{2}}
\put(26,43){$a_2$}
\multiput(30,20)(0,4){5}{\line(0,1){2}}
\put(30,20){\vector(3,1){40}}
\put(70,33){\circle*{2}}
\put(73,30){$a_3$}
\put(63,18){$= a_1 * a_2$}
\put(65,60){\line(1,1){10}}
\put(74,72){$A$}
\end{picture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{9cm}
Die Menge $A$ mit der auf ihr definierten Operation "`*"' bildet eine \emph{algebraische Struktur}, in Zeichen $(A,*)$.
\begin{description}
\item[Beispiele:] \quad \\
$(\mathbb R, +)$ \quad reelle Zahlen mit Addition

$(\mathbb Z, \cdot)$ \quad ganze Zahlen mit Multiplikation
\end{description}
\end{minipage}

\subsubsection{Verallgemeinerungen}
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{\alph{enumi})}
\item Träger der Struktur kann auch mehr als eine Menge enthalten
\item Struktur kann auch mehrere Operationen enthalten
\begin{description}
\item[Beispiele:] \quad \\ 
\begin{tabular}{ll}$(\mathbb R, +, \cdot)$ & reelle Zahlen mit Addition und Multiplikation\\
$(P(M), \cup, \cap, \overline{\phantom{F}})$ & Potenzmenge von $M$ mit Vereinigung, Durchschnitt\\ & und Komplement
\end{tabular}
\end{description}

\item Operationen können $n$--stellig sein

\item Bisher: $a_1 \in A$, $a_2 \in A \longrightarrow a_3 = a_1 * a_2 \in A$ \hspace{1.25cm} \emph{innere Operation}

Allgemein: $a_1 \in A$, $a_2 \in A \longrightarrow a_3 = a_1 * a_2 \in B$ \qquad \emph{äußere Operation}

\begin{minipage}{5cm}
\begin{picture}(100,60)
\put(30,20){\oval(60,30)}
\multiput(15,20)(30,0){2}{\circle*{2}}
\put(11,12){$a_1$}
\put(41,12){$a_2$}
\multiput(15,20)(4,0){8}{\line(1,0){2}}
\multiput(30,35)(60,0){2}{\line(1,1){10}}
\put(39,47){$A$}
\put(99,47){$B$}
\put(90,20){\oval(30,30)}
\put(90,20){\circle*{2}}
\put(86,12){$a_3$}
\qbezier(45,20)(67.5,30)(90,20)
\put(90,20){\vector(3,-1){0}}
\end{picture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{8cm}
\begin{description}
\item[Beispiel:] Skalarprodukt zweier Vektoren

\hspace{2.5cm}$\vec x_1 \cdot \vec x_2 = c$
\end{description}
\end{minipage}
\end{enumerate}

\newpage
\subsubsection{Isomorphe Strukturen}
Gegeben seien die Strukturen $(A, *)$ und $(B, \circ)$.

\bigskip

\begin{minipage}{5cm}
\begin{picture}(140,95)
\multiput(30,40)(60,0){2}{\oval(40,70)}
\multiput(20,30)(80,0){2}{\circle*{2}}
\multiput(40,20)(40,0){2}{\circle*{2}}
\put(16,22){$x_1$}
\put(32,12){$x_2$}
\put(96,22){$y_1$}
\put(82,12){$y_2$}
\put(14,56){$x_1 * x_2$}
\put(75,56){$y_1 \circ y_2$}
\multiput(30,53)(60,0){2}{\circle*{2}}
\qbezier(20,30)(30,53)(30,53)
\qbezier(100,30)(90,53)(90,53)
\put(30,53){\vector(1,3){0}}
\put(90,53){\vector(-1,2){0}}
\multiput(21,30)(4,0){20}{\line(1,0){2}}
\multiput(41,20)(4,0){10}{\line(1,0){2}}
\multiput(31,53)(4,0){15}{\line(1,0){2}}
\put(100,30){\vector(1,0){0}}
\put(90,53){\vector(1,0){0}}
\put(80,20){\vector(1,0){0}}
\put(0,85){$(A, *)$}
\put(93,85){$(B, \circ)$}
\qbezier(15,80)(21.5,73.5)(21.5,73.5)
\qbezier(105,80)(98.5,73.5)(98.5,73.5)
\end{picture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{10.8cm}
\begin{description}
\item[Definition:] Die Strukturen $(A, *)$ und $(B, \circ)$ heißen \emph{isomorph} (gleichgestaltig), in Zeichen $(A, *) \cong (B,\circ)$, falls eine bijektive Abbildung $\varphi : A \to B$ exisitert, so daß gilt:
\center
\fbox{\quad$\displaystyle\vphantom{\int_a^b} \varphi(x_1 * x_2) = \varphi(x_1) \circ \varphi(x_2) = y_1 \circ y_2$\quad}
\end{description}
\end{minipage}

\bigskip

Die Abbildung $\varphi$ heißt dann \emph{Isomorphismus}.


\begin{description}
\item[Beispiel:] \quad \\
\begin{tabular}{ll}
$(A, *) = (\mathbb R^+, \cdot)$ & positive reelle Zahlen mit Multiplikation\\
$(B, \circ) = (\mathbb R, +)$ & reelle Zahlen mit Addition
\end{tabular}

\bigskip

Behauptung: $(\mathbb R^+, \cdot) \cong  (\mathbb R, +)$

Isomorphismus: $\varphi: \mathbb R^+ \to \mathbb R$, \quad $\varphi(x) = \log x$

Dann gilt: $\varphi(x_1 \cdot x_2) = \varphi(x_1) + \varphi(x_2)$, denn $\log(x_1 \cdot x_2) = \log x_1 + \log x_2$
\end{description}

\paragraph*{Beachte:} Isomorphe Strukturen unterscheiden sich lediglich durch die Bezeichnung der Elemente des Trägers und der Operationen. Ansonsten sind sie formal gleich.

\subsubsection*{Bedeutung isomorpher Strukturen}
\begin{center}
\begin{picture}(400,155)
\multiput(0,0)(0,85){2}{
\multiput(0,0)(250,0){2}{
\multiput(0,0)(0,60){2}{\line(1,0){130}}
\multiput(0,0)(130,0){2}{\line(0,1){60}}
}
}
\put(250,30){\vector(-1,0){120}}
\put(130,115){\vector(1,0){120}}
\put(30,35){Lösung in der}
\put(25,18){Originalstruktur}

\put(280,35){Lösung in der}
\put(284,18){Bildstruktur}

\put(25,120){Originalstruktur}
\put(5,102){(komplizierte Operation)}

\put(284,120){Bildstruktur}
\put(265,102){(einfache Operation)}

\put(151,120){Transformation}
\put(149,102){(bij. Abbildung)}

\put(142,35){Rücktransformation}

\put(315,85){\vector(0,-1){25}}
\end{picture}
\end{center}

\paragraph*{Beispiele:}
\begin{itemize}
\item Logarithmenrechnung
\item komplexe Wechselstromrechnung
\item Funktionaltransformation (Fourier, Laplace, Z)
\end{itemize}

\subsubsection{Boolesche Algebra}
\begin{description}
\item[Definition:] Die Struktur $(A, *, \circ ,\overline{\phantom{X}}, e_*, e_{\circ})$ heißt Boolesche Algebra, falls gilt:
\end{description}

\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})}
\item $*$ und $\circ$ sind assoziativ
\item $*$ und $\circ$ sind kommutativ
\item $*$ ist adjunktiv bezüglich $\circ$ und umgekehrt
\item $*$ ist distributiv bezüglich $\circ$ und umgekehrt
\item neutrale Elemente $x * e_* = x$, $x \circ e_{\circ} = x$, $(x \in A)$
\item einstellige Operation: $x * \overline x = e_{\circ}$, $x\circ \overline x = e_*$
\end{enumerate}

\paragraph*{Beispiel:} Mengenalgebra $(P(M), \cup, \cap, \overline{\phantom{X}}, \emptyset, M)$

Für beliebige $M_1, M_2, M_3 \subset M$ gilt:
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item $M_1 \cup (M_2 \cup M_3) = (M_1 \cup M_2) \cup M_3$ \hspace{1.92cm} Assoziativgesetz   %% fieser Stil, aber zu faul :)

$M_1 \cap (M_2 \cap M_3) = (M_1 \cap M_2) \cap M_3$ 

\item $M_1 \cup M_2 = M_2 \cup M_1$ \hspace{4.45cm} Kommutativgesetz

$M_1 \cap M_2 = M_2 \cap M_1$ 

\item $M_1 \cup (M_1 \cap M_2) = M_1$ \hspace{4.15cm} Adjunktivgesetz

$M_1 \cap (M_1 \cup M_2) = M_1$

\item $M_1 \cup (M_2 \cap M_3) = (M_1 \cup M_2) \cap (M_1 \cup M_3)$ \qquad Distributivgesetz

$M_1 \cap (M_2 \cup M_3) = (M_1 \cap M_2) \cup (M_1 \cap M_3)$ 

\item $M_1 \cup \emptyset = M_1$ \hspace{5.76cm} neutrale Elemente

$M_1 \cap M = M_1$

\item $M_1 \cup \overline M_1 = M$ \hspace{5.5cm} Komplementbildung

$M_1 \cap \overline M_1 = \emptyset$
\end{enumerate}


Jede endliche Boolesche Algebra ist zu einer endlichen Mengenalgebra isomorph.

\subsection{Schaltalgebra}
\subsubsection{Rechenregeln}

"`Einfachster Sonderfall"' einer Booleschen Algebra: $A = \{e_*, e_{\circ}\}$.

\bigskip

Neue Symbolik: $(A, * , \circ , e_* , \overline{\phantom{0}}, e_{\circ}) \longrightarrow (\mathbb B, \lor, \land, \overline{\phantom{0}}, 0 ,1)$

\smallskip

$\lor$: oder--Verknüpfung (Disjunktion), $\land$: und--Verknüpfung (Konjunktion), $\overline{\phantom{0}}$: Negation

\smallskip

Eine Boolesche Algebra mit zweielementigem Träger heißt \emph{Schaltalgebra}.

\subsubsection*{Rechenregeln der Schaltalgebra:} 


\begin{tabular}{rrclp{2cm}rcl}
1. & $x \lor (y \lor z)$ & = &$ (x\lor y) \lor z$& &$x \land (y \land z)$ & = &$ (x\land y) \land z$\\
2. &$x \lor y$ & = &$ y\lor x$& &$x \land y $ & = &$y\land x$\\
3. &$x \lor (x \land y)$ & = & $x$ & & $x \land (x \lor y)$ & = & $x$\\
4. &$x \lor (y \land z) $& = &$(x \lor y) \land (x \lor z) $& &$x \land (y \lor z) $& = &$(x \land y) \lor (x \land z) $\\
5. &$x \lor \overline x $& = &$1 $& &$x \land \overline x $& = &$0 $\\
6. &$x \lor0 $& = &$x $& &$x \land 1 $& = &$x $\\
7. &$\overline 0 $& = &$1 $& &$\overline 1 $& = &$0 $\\
8. &$\overline{x \lor y} $& = &$\overline x \land \overline y $& &$\overline{x \land y} $& = &$\overline x \lor \overline y $\\
9. &$x \lor x $& = &$x $& &$x \land x $& = &$x $\\
10. &$x \lor 1 $& = &$1 $& &$x \land 0 $& = &$0 $\\
11. &&&&$\phantom{X} \overline{\overline x} = x$&&&
\end{tabular}

(1) $\ldots$ (6) entsprechen der Booleschen Algebra, $x \land y$ wird oft als $xy$ geschrieben.

\begin{description}
\item[Anwendung:] Vereinfachung Boolescher Terme
\end{description}
Beispiel:
\begin{align*}
y & = (ax \lor \overline{(a \lor \overline{x})})(b \lor 1) c & a, b,c,x,y \in \mathbb B = \{0,1\}\\
 & = (ax \lor  \overline{(a \lor \overline{x})}) c & \textnormal{mit Regeln 10 und 6}\\
 & = (ax \lor \overline a x) c & \textnormal{mit Regeln 8 und 11}\\
 & = (a \lor \overline a) xc & \textnormal{mit Regel 4}\\
 & = xc & \textnormal{mit Regeln 5 und 6}
\end{align*}

\subsubsection*{Operationstabellen}

\begin{tabular}{c|cc}
\multicolumn{3}{c}{oder}\\
$\lor$ & 0 & 1\\
\hline
0 & 0 & 1\\
1 & 1 & 1\\
\end{tabular}
\qquad
\begin{tabular}{c|cc}
\multicolumn{3}{c}{und}\\
$\lor$ & 0 & 1\\
\hline
0 & 0 & 0\\
1 & 0 & 1\\
\end{tabular}
\qquad
\begin{tabular}{c|cc}
\multicolumn{3}{c}{nicht}\\
$\overline{\phantom{X}}$ & 0 & 1\\
\hline
 & 1 & 0\\\\
\end{tabular}

\subsubsection{Gatterschaltungen}
Tabelle der Schaltsymbole:

\begin{center}
\begin{tabular}{l@{\hspace{1cm}}c@{\hspace{1cm}}c}
\hline
\textbf{Bezeichnung} & \textbf{DIN$\,$40700 (alt)} & \textbf{DIN$\,$40900 (neu)}\\
\hline
\hline
\begin{picture}(100,40)
\put(0,15){
Oder--Gatter
} \end{picture}
 & 
\begin{picture}(70,40)
\multiput(1,10)(0,15){2}{\circle{2}}
\multiput(2,10)(0,15){2}{\line(1,0){33.5}}
\put(25,5){\line(0,1){25}}
\qbezier(37.5,17.5)(37.5,22.67767)(33.838835,26.338835)
\qbezier(25,30)(30.17767,30)(33.838835,26.338835)
\qbezier(37.5,17.5)(37.5,12.32233)(33.838835,8.661165)
\qbezier(25,5)(30.17767,5)(33.838835,8.661165)
\put(37.5,17.5){\line(1,0){22.5}}
\put(61,17.5){\circle{2}}
\end{picture}
&
\begin{picture}(70,40)
\multiput(1,10)(0,15){2}{\circle{2}}
\multiput(2,10)(0,15){2}{\line(1,0){18}}
\multiput(20,5)(25,0){2}{\line(0,1){25}}
\multiput(20,5)(0,25){2}{\line(1,0){25}}
\put(45,17.5){\line(1,0){18}}
\put(64,17.5){\circle{2}}
\put(24,20){$\geq 1$}
\end{picture}
 \\
\begin{picture}(100,40)
\put(0,15){
Und--Gatter 
} \end{picture} &
\begin{picture}(70,40)
\multiput(1,10)(0,15){2}{\circle{2}}
\multiput(2,10)(0,15){2}{\line(1,0){23}}
\put(25,5){\line(0,1){25}}
\qbezier(37.5,17.5)(37.5,22.67767)(33.838835,26.338835)
\qbezier(25,30)(30.17767,30)(33.838835,26.338835)
\qbezier(37.5,17.5)(37.5,12.32233)(33.838835,8.661165)
\qbezier(25,5)(30.17767,5)(33.838835,8.661165)
\put(37.5,17.5){\line(1,0){22.5}}
\put(61,17.5){\circle{2}}
\end{picture}
 & 
\begin{picture}(70,40)
\multiput(1,10)(0,15){2}{\circle{2}}
\multiput(2,10)(0,15){2}{\line(1,0){18}}
\multiput(20,5)(25,0){2}{\line(0,1){25}}
\multiput(20,5)(0,25){2}{\line(1,0){25}}
\put(45,17.5){\line(1,0){18}}
\put(64,17.5){\circle{2}}
\put(28.5,20){$\&$}
\end{picture}
\\
\begin{picture}(100,40)
\put(0,15){
Negations--Gatter 
} \end{picture} &
\begin{picture}(70,40)
\put(1,17.5){\circle{2}}
\put(2,17.5){\line(1,0){23}}
\put(25,5){\line(0,1){25}}
\qbezier(37.5,17.5)(37.5,22.67767)(33.838835,26.338835)
\qbezier(25,30)(30.17767,30)(33.838835,26.338835)
\qbezier(37.5,17.5)(37.5,12.32233)(33.838835,8.661165)
\qbezier(25,5)(30.17767,5)(33.838835,8.661165)
\put(38,17.5){\circle*{3}}
\put(37.5,17.5){\line(1,0){22.5}}
\put(61,17.5){\circle{2}}
\end{picture}
 &
\begin{picture}(70,40)
\put(1,17.5){\circle{2}}
\put(2,17.5){\line(1,0){18}}
\multiput(20,5)(25,0){2}{\line(0,1){25}}
\multiput(20,5)(0,25){2}{\line(1,0){25}}
\put(46.5,17.5){\circle{3}}
\put(48,17.5){\line(1,0){15}}
\put(64,17.5){\circle{2}}
\put(29.5,20){$1$}
\end{picture}
 \\
\begin{picture}(100,40)
\put(0,15){
NOR--Gatter 
} \end{picture} &
\begin{picture}(70,40)
\multiput(1,10)(0,15){2}{\circle{2}}
\multiput(2,10)(0,15){2}{\line(1,0){33.5}}
\put(25,5){\line(0,1){25}}
\qbezier(37.5,17.5)(37.5,22.67767)(33.838835,26.338835)
\qbezier(25,30)(30.17767,30)(33.838835,26.338835)
\qbezier(37.5,17.5)(37.5,12.32233)(33.838835,8.661165)
\qbezier(25,5)(30.17767,5)(33.838835,8.661165)
\put(38,17.5){\circle*{3}}
\put(37.5,17.5){\line(1,0){22.5}}
\put(61,17.5){\circle{2}}
\end{picture}
 &
\begin{picture}(70,40)
\multiput(1,10)(0,15){2}{\circle{2}}
\multiput(2,10)(0,15){2}{\line(1,0){18}}
\multiput(20,5)(25,0){2}{\line(0,1){25}}
\multiput(20,5)(0,25){2}{\line(1,0){25}}
\put(46.5,17.5){\circle{3}}
\put(48,17.5){\line(1,0){15}}
\put(64,17.5){\circle{2}}
\put(24,20){$\geq 1$}
\end{picture}
 \\
\begin{picture}(100,40)
\put(0,15){
NAND--Gatter 
} \end{picture} &
\begin{picture}(70,40)
\multiput(1,10)(0,15){2}{\circle{2}}
\multiput(2,10)(0,15){2}{\line(1,0){23}}
\put(25,5){\line(0,1){25}}
\qbezier(37.5,17.5)(37.5,22.67767)(33.838835,26.338835)
\qbezier(25,30)(30.17767,30)(33.838835,26.338835)
\qbezier(37.5,17.5)(37.5,12.32233)(33.838835,8.661165)
\qbezier(25,5)(30.17767,5)(33.838835,8.661165)
\put(38,17.5){\circle*{3}}
\put(37.5,17.5){\line(1,0){22.5}}
\put(61,17.5){\circle{2}}
\end{picture}
 &
\begin{picture}(70,40)
\multiput(1,10)(0,15){2}{\circle{2}}
\multiput(2,10)(0,15){2}{\line(1,0){18}}
\multiput(20,5)(25,0){2}{\line(0,1){25}}
\multiput(20,5)(0,25){2}{\line(1,0){25}}
\put(46.5,17.5){\circle{3}}
\put(48,17.5){\line(1,0){15}}
\put(64,17.5){\circle{2}}
\put(28.5,20){$\&$}
\end{picture}
 \\
\begin{picture}(100,40)
\put(0,15){
Antivalenz--Gatter
} \end{picture} &
\begin{picture}(70,40)
\multiput(1,10)(0,15){2}{\circle{2}}
\multiput(2,10)(0,15){2}{\line(1,0){23}}
\put(25,5){\line(0,1){25}}
\qbezier(37.5,17.5)(37.5,22.67767)(33.838835,26.338835)
\qbezier(25,30)(30.17767,30)(33.838835,26.338835)
\qbezier(37.5,17.5)(37.5,12.32233)(33.838835,8.661165)
\qbezier(25,5)(30.17767,5)(33.838835,8.661165)
\put(37.5,17.5){\line(1,0){22.5}}
\put(61,17.5){\circle{2}}
\multiput(28,15)(0,2.5){3}{\line(1,0){5}}
\put(30.5,13){\line(0,1){9.5}}
\put(55,30){*)}
\end{picture}
 &
\begin{picture}(70,40)
\multiput(1,10)(0,15){2}{\circle{2}}
\multiput(2,10)(0,15){2}{\line(1,0){18}}
\multiput(20,5)(25,0){2}{\line(0,1){25}}
\multiput(20,5)(0,25){2}{\line(1,0){25}}
\put(45,17.5){\line(1,0){18}}
\put(64,17.5){\circle{2}}
\put(24,20){$= 1$}
\end{picture}
 \\
\begin{picture}(100,40)
\put(0,15){
Äquivalenz--Gatter 
} \end{picture} &
\begin{picture}(70,40)
\multiput(1,10)(0,15){2}{\circle{2}}
\multiput(2,10)(0,15){2}{\line(1,0){23}}
\put(25,5){\line(0,1){25}}
\qbezier(37.5,17.5)(37.5,22.67767)(33.838835,26.338835)
\qbezier(25,30)(30.17767,30)(33.838835,26.338835)
\qbezier(37.5,17.5)(37.5,12.32233)(33.838835,8.661165)
\qbezier(25,5)(30.17767,5)(33.838835,8.661165)
\put(37.5,17.5){\line(1,0){22.5}}
\put(61,17.5){\circle{2}}
\multiput(28,15)(0,2.5){3}{\line(1,0){5}}
\put(55,30){*)}
\end{picture}
& 
\begin{picture}(70,40)
\multiput(1,10)(0,15){2}{\circle{2}}
\multiput(2,10)(0,15){2}{\line(1,0){18}}
\multiput(20,5)(25,0){2}{\line(0,1){25}}
\multiput(20,5)(0,25){2}{\line(1,0){25}}
\put(45,17.5){\line(1,0){18}}
\put(64,17.5){\circle{2}}
\put(28.5,20){$=$}
\end{picture}\\
\hline
\end{tabular}

\smallskip

*) nicht genormt
\end{center}

\paragraph*{Bemerkungen:}
\begin{itemize}
\item Die Variablen $x_1, x_2, \ldots \in \mathbb B$ heißen Schaltvariablen und bezeichnen die Eingangs-- und Ausgangsbelegung eines Gatters
\item Jedem Booleschen Term kann eine Gatterschaltung zugeordnet werden
\end{itemize}

\subsubsection*{Beispiele}
\begin{enumerate}
\item Gatterschaltung zum Term $x_1 x_2 \lor x_3$:

\begin{picture}(150,50)
\put(4,0){
\put(11,5){\line(1,0){74}}
\multiput(10,5)(125,7.5){2}{\circle{2}}
\multiput(0,0)(-50,20){2}{
\multiput(85,0)(0,25){2}{\line(1,0){25}}
\multiput(85,0)(25,0){2}{\line(0,1){25}}}
\multiput(60,32.5)(12.5,-12.5){2}{\line(1,0){12.5}}
\put(72.5,20){\line(0,1){12.5}}
\multiput(10,25)(0,15){2}{\circle{2}}
\multiput(11,25)(0,15){2}{\line(1,0){24}}
\put(110,12.5){\line(1,0){24}}
\put(44,35){$\&$}
\put(89.5,15){$\geq 1$}
}
\put(0,3){$x_3$}
\put(0,23){$x_2$}
\put(0,38){$x_1$}
\put(0,3){$x_3$}
\put(142,10.5){$y$}
\end{picture}

\item Gatterschaltung zum Term $\overline{\overline{x_1 x_2} \lor x_3}$:

\begin{picture}(150,50)
\put(4,0){
\put(11,5){\line(1,0){124}}
\multiput(10,5)(225,7.5){2}{\circle{2}}
\multiput(0,0)(-100,20){2}{
\multiput(135,0)(0,25){2}{\line(1,0){25}}
\multiput(135,0)(25,0){2}{\line(0,1){25}}}
\multiput(110,32.5)(12.5,-12.5){2}{\line(1,0){12.5}}
\put(122.5,20){\line(0,1){12.5}}
\multiput(10,25)(0,15){2}{\circle{2}}
\multiput(11,25)(0,15){2}{\line(1,0){24}}
\put(210,12.5){\line(1,0){24}}
\put(44,35){$\&$}
\put(139.5,15){$\geq 1$}

\multiput(0,0)(100,-20){2}{
\put(60,32.5){\line(1,0){22}}
\multiput(82,20)(25,0){2}{\line(0,1){25}}
\multiput(82,20)(0,25){2}{\line(1,0){25}}
\put(92,35){1}
\put(108.5,32.5){\circle{3}}
}
}
\put(0,3){$x_3$}
\put(0,23){$x_2$}
\put(0,38){$x_1$}
\put(0,3){$x_3$}
\put(242,10.5){$y$}
\end{picture}

einfacher:

\begin{picture}(150,50)
\put(4,0){
\put(11,5){\line(1,0){74}}
\multiput(10,5)(125,7.5){2}{\circle{2}}
\multiput(0,0)(-50,20){2}{
\multiput(85,0)(0,25){2}{\line(1,0){25}}
\multiput(85,0)(25,0){2}{\line(0,1){25}}}
\put(63,32.5){\line(1,0){9.5}}
\put(72.5,20){\line(1,0){12.5}}
\put(61.5,32.5){\circle{3}}
\put(72.5,20){\line(0,1){12.5}}
\multiput(10,25)(0,15){2}{\circle{2}}
\multiput(11,25)(0,15){2}{\line(1,0){24}}
\put(113,12.5){\line(1,0){21}}
\put(111.5,12.5){\circle{3}}
\put(44,35){$\&$}
\put(89.5,15){$\geq 1$}
}
\put(0,3){$x_3$}
\put(0,23){$x_2$}
\put(0,38){$x_1$}
\put(0,3){$x_3$}
\put(142,10.5){$y$}
\end{picture}

\item $x_1 \overline x_2 \lor \overline x_1 x_2 = x_1 \dot{\lor} x_2$ \qquad (Antivalenz, Exklusiv--Oder)

\item $x_1 x_2 \lor \overline x_1 \overline x_2 = x_1 \Leftrightarrow x_2$ \qquad (Äquivalenz)
\end{enumerate}

\subsubsection{Schaltfunktionen}

\begin{description}
\item[Definition:] \quad \\  Die Abbildung \fbox{\quad $\vphantom{\Big|} f: \mathbb B^n \longrightarrow \mathbb B;\; f(x_1,x_2,\ldots , x_n) = y $\quad} heißt $n$--stellige Schaltfunktion.
\end{description}

\subsubsection*{Eigenschaften}
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{\Roman{enumi})}
\item \emph{Definitionsbereich}: \[\mathbb B^n = \{0,1\}^n = \{\underbrace{(0,0,\ldots ,0)}_{n \textnormal{ Elemente}} , (0,0 , \ldots ,1), \ldots , (1,1, \ldots , 1)\}\]
enthält $2^n$ Elemente.

\emph{Wertebereich}: $\mathbb B = \{0,1\}$

\item Anzahl $n$--stelliger Schaltfunktionen: $2^{(2^n)}$ (Tabelle s. Formelsammlung)

\item In die Rechenregeln der Schaltalgebra (1.2.1) können anstelle der Variablen $x,y,z$ auch Schaltfunktionen $f_1,f_2,f_3$ eingesetzt werden.
\end{enumerate}

\subsubsection{Vollständiges Operationensystem}

Das Operationensystem $(\lor,\, \land,\, \overline{\phantom{0}})$ ist vollständig d.h. es ist jede beliebige Schaltfunktion damit darstellbar.
Frage: Gibt es weitere vollständige Operationensysteme?
\begin{description}

\item[Beispiel 1:] $(\lor,\, \overline{\phantom{0}})$ ist vollständig, $\land$ läßt sich durch $\lor$ ausdrücken:

\begin{minipage}{130pt}
$x_1 x_2 = \overline{\overline{x_1 x_2}} = \overline{\overline{x_1} \lor\overline{x_2}}$
\end{minipage}
\begin{minipage}{285pt}
\begin{picture}(285,80)
\put(0,27){$x_2$}
\put(0,43){$x_1$}
\multiput(15,30)(0,15){2}{\circle{2}}
\multiput(16,30)(0,15){2}{\line(1,0){24}}
\multiput(40,25)(25,0){2}{\line(0,1){25}}
\multiput(40,25)(0,25){2}{\line(1,0){25}}
\put(49,40){\&}
\multiput(0,0)(180,0){2}{
\put(65,37.5){\line(1,0){24}}
\put(90,37.5){\circle{2}}
\put(94,34.5){$y$}
}
\put(110,34.5){$\Leftrightarrow$}
\put(130,14.5){$x_2$}
\put(130,54.5){$x_1$}
\put(180,20){$1$}
\put(180,60){$1$}
\put(224,40){$\geq 1$}
\multiput(0,5)(0,40){2}{
\put(144,12.5){\circle{2}}
\put(145,12.5){\line(1,0){25}}
\multiput(170,0)(25,0){2}{\line(0,1){25}}
\multiput(170,0)(0,25){2}{\line(1,0){25}}
\put(196.5,12.5){\circle{3}}
\put(198,12.5){\line(1,0){11}}}
\multiput(209,17.5)(0,27.5){2}{\line(0,1){12.5}}
\multiput(209,30)(0,15){2}{\line(1,0){11}}
\multiput(220,25)(25,0){2}{\line(0,1){25}}
\multiput(220,25)(0,25){2}{\line(1,0){25}}
\end{picture}
\end{minipage}

\item[Beispiel 2:] $(\uparrow)$ ist vollständig, wobei $x_1 \uparrow x_2 = \overline{x_1 x_2}$ (NAND)

\bigskip

\begin{minipage}{9cm}
$\overline x = \overline{xx} = x \uparrow x$
\end{minipage}
\begin{minipage}{4cm}
\begin{picture}(100,25)
\put(0,9.5){$x$}
\put(5,0){
\put(09,12.5){\circle{2}}
\put(10,12.5){\line(1,0){15}}
\put(25,5){\line(0,1){15}}
\put(25,12.5){\circle*{2}}
\multiput(25,5)(0,15){2}{\line(1,0){10}}
\multiput(35,0)(25,0){2}{\line(0,1){25}}
\multiput(35,0)(0,25){2}{\line(1,0){25}}
\put(61.5,12.5){\circle{3}}
\put(63,12.5){\line(1,0){21}}
\put(85,12.5){\circle{2}}
\put(88,9.5){$y$}
\put(44,15){$\&$}}
\end{picture}
\end{minipage}

\bigskip

\begin{minipage}{9cm}
$x_1 \lor x_2 = \overline{\overline{x_1 \lor x_2}} = \overline{x_1}\uparrow \overline{x_2} = (x_1 \uparrow x_1) \uparrow (x_2 \uparrow x_2)$
\end{minipage}
\begin{minipage}{5cm}
\begin{picture}(100,65)
\multiput(5,0)(0,40){2}{
\put(09,12.5){\circle{2}}
\put(10,12.5){\line(1,0){15}}
\put(25,5){\line(0,1){15}}
\put(25,12.5){\circle*{2}}
\multiput(25,5)(0,15){2}{\line(1,0){10}}
\multiput(35,0)(25,0){2}{\line(0,1){25}}
\multiput(35,0)(0,25){2}{\line(1,0){25}}
\put(61.5,12.5){\circle{3}}
\put(44,15){$\&$}
}
\put(0,09.5){$x_2$}
\put(0,49.5){$x_1$}
\multiput(90,20)(25,0){2}{\line(0,1){25}}
\multiput(90,20)(0,25){2}{\line(1,0){25}}
\put(99,35){$\&$}
\multiput(0,5)(0,40){2}{
\put(068,07.5){\line(1,0){11}}}
\multiput(079,12.5)(0,27.5){2}{\line(0,1){12.5}}
\multiput(079,25)(0,15){2}{\line(1,0){11}}
\put(116.5,32.5){\circle{3}}
\put(118,32.5){\line(1,0){21}}
\put(140,32.5){\circle{2}}
\put(143,29.5){$y$}
\end{picture}
\end{minipage}

\bigskip

\begin{minipage}{9cm}
$x_1 x_2 = \overline{\overline{x_1 x_2}} = \overline{ x_1 \uparrow x_2} = (x_1 \uparrow x_2) \uparrow (x_1 \uparrow x_2)$
\end{minipage}
\begin{minipage}{5cm}
\begin{picture}(100,25)
\put(55,0){
\put(11.5,12.5){\circle{3}}
\put(13,12.5){\line(1,0){13}}
\put(25,5){\line(0,1){15}}
\put(25,12.5){\circle*{2}}
\multiput(25,5)(0,15){2}{\line(1,0){10}}
\multiput(35,0)(25,0){2}{\line(0,1){25}}
\multiput(35,0)(0,25){2}{\line(1,0){25}}
\put(61.5,12.5){\circle{3}}
\put(44,15){$\&$}
}
\put(118,12.5){\line(1,0){21}}
\put(140,12.5){\circle{2}}
\put(143,09.5){$y$}
\put(49,15){$\&$}

\multiput(40,0)(25,0){2}{\line(0,1){25}}
\multiput(40,0)(0,25){2}{\line(1,0){25}}

\multiput(15,5)(0,15){2}{\circle{2}}
\multiput(16,5)(0,15){2}{\line(1,0){24}}
\put(0,3){$x_2$}
\put(0,18){$x_1$}

\end{picture}
\end{minipage}
\end{description}

\subsection{Darstellung von Schaltfunktionen}

\subsubsection{Wertetabelle}

\paragraph*{Beispiel:} $n = 3$, $f:\mathbb B^3 \longrightarrow \mathbb B$, $y = f(x_1, x_2, x_3)$

\bigskip

\begin{minipage}{5cm}
\begin{tabular}{c|ccc|c}
$i$ & $x_1$ & $x_2$ & $x_3$ & $y$\\
\hline
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
3 & 0 & 1 & 1 & 1 \\
4 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
5 & 1 & 0 & 1 & 1 \\
6 & 1 & 1 & 0 & 1 \\
7 & 1 & 1 & 1 & 0
\end{tabular}
\end{minipage}
\begin{minipage}{10cm}
\paragraph*{Bemerkungen:}
\begin{itemize}
\item Tabelle beschreibt Schaltbild vollständig

\item Es genügt Angabe der Zeilen mit Funktionswert 1

\item Einführung \emph{Zeilenenindex} $i$ aus Indexmenge $I$:
\[I_f = \{i : f(x_1, x_2, \ldots , x_n) = 1 \}\]
 mit $i = \mathrm{Bin}(x_1 , x_2, \ldots x_n)$

\smallskip

Für obiges Beispiel: $I_f = \{3,5,6\}$.
\end{itemize}
\end{minipage}

\subsubsection{Boolesche Terme}

\begin{enumerate}
\item Konstanten $0$ und $1$ und die Variablen $x_1, x_2, \ldots x_n$ sind Boolesche Terme

\item Ist $B$ ein Boolescher Term, so auch $\overline B$

\item Sind $B_1$ und $B_2$ Boolesche Terme, dann auch $B_1 \lor B_2$ sowie $B_1 \land B_2$
\end{enumerate}

\paragraph*{Beispiel:} $B = ((x_1 x_2 \lor \overline{x_3}) x_3 \lor 0) 1$\hspace{4cm} (*)

\bigskip

Darstellung einer Schaltfunktion entsprechend (1.3.1): \textbf{Wertetabelle}

\bigskip

\begin{minipage}{4cm}
\begin{tabular}{cccc}
$x_1$ & $x_2$ & $x_3$ & $y$\\
\hline
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 1 & 1 
\end{tabular}
\end{minipage}
\begin{minipage}{11.8cm}
\begin{description}
\item[Verallgemeinerung:] Jeder Boolesche Term mit $n$ Variablen stellt eine $n$--stellige Struktur dar.

\item[Umkehrung:] Jede $n$--Stellige Struktur $f:\mathbb B^n \longrightarrow B$ läßt sich durch einen Booleschen Term darstellen, jedoch \emph{nicht} in eindeutiger Weise

\item[Beispiel:] Der Term stellt die gleiche Schaltfunktion dar wie \\ $B = x_1 x_2 x_3$
\end{description}
\end{minipage}

\bigskip

\begin{description}
\item[Definition:] Boolesche Terme die die gleiche Schaltfunktion darstellen heißen \emph{äquivalent}.
\end{description}


$\Rightarrow$ Standardisierung durch sogenannte \emph{Normalfunktion}!


\subsubsection{Kanonische disjunktive Normalfunktion}

\paragraph*{Definition:} Ein Boolescher Term des Typs
\[m_i = {x_1}^{i_1} \land {x_2}^{i_2} \land \ldots \land {x_n}^{i_n} \qquad \text{ mit }  \qquad {x_{\nu}}^{i_{\nu}} = \left\{\begin{array}{ll}\overline{x_{\nu}} & \text{falls } i_{\nu} = 0\\ x_{\nu} & \text{falls } i_{\nu} = 1\end{array}\right.\]
heißt \emph{Minterm} in $n$ Variablen.

\paragraph*{Eigenschaften}
\begin{enumerate}
\item $m_i$ enthält jede Variable genau einmal und zwar negiert oder nicht negiert

\item Alle Variablen sind konjunktiv verknüpft

\item $m_i$ nimmt für genau eine Belegung der Variablen den Wert $1$ and, sonst $0$

\item Die Bedeutung des Index von $i$ von $m_i$: Die Binärdarstellung $\mathrm{Bin}\,(i)$ entspricht der Belegung für die $m_i$ den Wert $1$ annimmt
\end{enumerate}

\paragraph*{Beispiel:} $n = 3$, $m_2 = \overline{x_1} \,  x_2 \, \overline{x_3} = \left\{\begin{array}{ll}1 & \text{für } x_1 = 0,\, x_2 = 1,\, x_3 = 0\\ 0 & \text{sonst}\end{array}\right.$

\subsubsection*{Darstellungssatz I}

\begin{minipage}{6cm}
\quad \boxed{ \vphantom{\bigvee\limits_a^a} \quad f(x_1,x_2, \ldots , x_n) = \bigvee\limits_{i \in I_f}  m_i \quad}
\end{minipage}
\begin{minipage}{9.8cm}
\center
heißt Darstellung von $f$ in 

\emph{kanonischer disjunktiver Normalform} (KDNF)
\end{minipage}

\paragraph*{Beispiel:} Wertetabelle aus (1.3), $I_f = \{3,5,6\}$

\begin{align*}
f(x_1,x_2,x_3) & = \bigvee\limits_{i \in I_f} m_i  = m_3 \lor m_5 \lor m_6 
  = {x_1}^0 {x_2}^1 {x_3}^1 \lor {x_1}^1 {x_2}^0 {x_3}^1 \lor {x_1}^1 {x_2}^1 {x_3}^0 \\
 & = \overline{x_1} x_2 x_3 \lor x_1 \overline{x_2} x_3 \lor x_1 x_2 \overline{x_3}
\end{align*}

\subsubsection{Kanonische konjunktive Normalform}

\paragraph*{Definition:} Ein Boolescher Term des Typs
\[M_i = \overline{x_1}^{i_1} \lor \overline{x_2}^{i_2} \lor \ldots \lor \overline{x_n}^{i_n} \qquad \text{ mit } \qquad \overline{x_{\nu}}^{i_{\nu}} = \left\{\begin{array}{ll}x_{\nu} & \text{falls } i_{\nu} = 0 \\ \overline{x_{\nu}} & \text{falls } i_{\nu} = 1\end{array}\right.\]
heißt \emph{Maxterm} in $n$ Variablen.

\paragraph*{Eigenschaften}
\begin{enumerate}
\item $M_i$ enthält jede Variable genau einmal, negiert oder nicht negiert
\item Die Variablen  sind disjunktiv verknüpft
\item $M_i$ nimmt genau für eine Belegung der Variablen den Wert $0$ an, sonst immer $1$
\item Bedeutung des Index $i$ von $M_i$: Die Binärdarstellung $\mathrm{Bin}\,(i)$ ergibt die Belegung der Variablen für die $M_i = 0$ ist
\end{enumerate}

\paragraph*{Beispiel:} $n = 3$, \quad $M_5 = \overline{x_1}^1 \lor \overline{x_2}^0 \lor \overline{x_3}^1 = \overline{x_1} \lor x_2 \lor \overline{x_3} = \left\{\begin{array}{ll} 0 & x_1 = 1, \, x_2 = 0, \, x_3 = 1\\ 1 & \text{sonst}\end{array}\right.$

\subsection*{Darstellungssatz II}

\begin{minipage}{6cm}
\quad \boxed{ \vphantom{\bigvee\limits_a^a} \quad f(x_1,x_2, \ldots , x_n) = \bigwedge\limits_{i \in \overline{I_f}}  M_i \quad}
\end{minipage}
\begin{minipage}{9.8cm}
\center
mit $\overline{I_f} = I \smallsetminus I_f$ heißt Darstellung von $f$ in

\emph{kanonischer konjunktiver Normalform} (KKNF)
\end{minipage}

\paragraph*{Beispiel:} (zur Vereinfachung mit einer anderen Wertetabelle)

\bigskip

\begin{minipage}{6cm}
\begin{tabular}{c|ccc|l}
$i$ & $x_1$ & $x_2$ & $x_3$ & $f(x_1,x_2,x_3)$\\
\hline
0 & 0 & 0 & 0 & 1\\
1 & 0 & 0 & 1 & 0\\
2 & 0 & 1 & 0 & 1\\
3 & 0 & 1 & 1 & 1\\
4 & 1 & 0 & 0 & 1\\
5 & 1 & 0 & 1 & 0\\
6 & 1 & 1 & 0 & 1\\
7 & 1 & 1 & 1 & 1
\end{tabular}
\end{minipage}
\begin{minipage}{9.8cm}
$\overline{I_f} = \{1,5\}$

\smallskip

\begin{align*}
f(x_1,x_2,x_3) & = \bigwedge\limits_{i \in \overline{I_f}} M_i  = M_1 \land M_2 \\
 & = (\overline{x_1}^0 \lor \overline{x_2}^0 \lor \overline{x_3}^1) \land (\overline{x_1}^1 \lor \overline{x_2}^0 \lor \overline{x_3}^1) \\
 & = (x_1 \lor x_2 \lor \overline{x_3}) \land (\overline{x_1} \lor x_2 \lor \overline{x_3})
\end{align*}
\end{minipage}

\subsubsection*{Bemerkungen}
\begin{enumerate}
\item KDNF und KNNF sind eindeutig bis auf die Reihenfolge der Maxterme bzw. Minterme
\item Wann KDNF bzw. KKNF? Wertespalte enthält mehr $1$ als $0$ $\rightarrow$ KKNF, sonst  KDNF.
\end{enumerate}

\subsubsection{Karnaugh--Tafel}

\begin{description}
\item[Ziel:] Gewinnen eines minimalen Booleschen Terms
\item[Beispiel:] $n = 4$

\item[Wertetabelle:] \ \par

\smallskip

\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c}
$x_1$ & $x_2$ & $x_3$ & $x_4$ & $f(x_1,x_2,x_3,x_4)$ & $m_i$\\
\hline
0 & 0 & 0 & 0 & $f(0,0,0,0)$ & $m_0$\\
0 & 0 & 0 & 1 & $f(0,0,0,1)$  & $m_1$\\
0 & 0 & 1 & 0 & $f(0,0,1,0)$ & $m_2$\\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\
1 & 1 & 1 & 1 &$f(1,1,1,1)$ & $m_{15}$\\
\end{tabular}

\bigskip

\item[Karnaugh--Tafel für $n=4$:] \quad \par

\smallskip

\begin{minipage}{140pt}
\begin{picture}(140,100)  %% Ich hoffe, daß dies niemand zu Gesicht bekommt :-)
\put(0,79){$x_{1,2}$}
\put(7.5,93){$x_{3,4}$}
\multiput(25,0)(25,0){5}{\line(0,1){100}}
\put(0,100){\line(1,-1){25}}
\multiput(0,0)(0,18.7){5}{\line(1,0){125}}
\put(32,82){00 \hspace{0.24cm} 01 \hspace{0.24cm} 11 \hspace{0.24cm} 10}
\put(07,62.3){00 \hspace{0.20cm} $m_0$ \hspace{0.12cm} $m_1$ \hspace{0.12cm} $m_3$ \hspace{0.12cm} $m_2$}
\put(07,43.6){01 \hspace{0.20cm} $m_4$ \hspace{0.12cm} $m_5$ \hspace{0.12cm} $m_7$ \hspace{0.12cm} $m_6$}
\put(07,24.9){11 \hspace{0.10cm} $m_{12}$\hspace{0.24cm}$m_{13}$\hspace{0.24cm}$m_{15}$\hspace{0.24cm}$m_{14}$}
\put(07,06.2){10 \hspace{0.20cm} $m_8$ \hspace{0.12cm} $m_9$\hspace{0.29cm}$m_{11}$\hspace{0.24cm}$m_{10}$}
\end{picture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{275pt}

\textbf{Eigenschaften:}
\begin{enumerate}
\item Jedem Kästchen ist genau ein Minterm zugeordnet
\item Die Minterme in den benachbarten Kästchen unterscheiden sich in der Negation genau einer Variablen, z.B.

\begin{tabular}{cc}
$m_0 = \overline{x_1} \, \overline{x_2} \, \overline{x_3} \, \overline{x_4}$ & $m_1 = \overline{x_1} \, \overline{x_2} \, \overline{x_3} \, x_4$ \\
$m_4 = \overline{x_1} \, x_2 \, \overline{x_3} \, \overline{x_4}$ &  $\cdots$ 
\end{tabular}

(benachbart sind auch die Randkästchen)
\end{enumerate}
\end{minipage}

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{2}
\item Um Schaltfunktionen anzugeben werden die betreffenden Minterme durch 1 markiert
\item Vereinfachung der Schaltfunktionen geschieht durch Blockbildung benachbarter Minterme
\end{enumerate}
\end{description}

\subsubsection*{Beispiele}

\begin{enumerate}
\item $f(x_1,x_2,x_3,x_4) = \overline{x_1}\,\overline{x_2}\,x_3\,x_4 \lor \overline{x_1}\,x_2\,x_3\,x_4 \lor x_1\,\overline{x_2}\,\overline{x_3}\,\overline{x_4} \lor x_1\,\overline{x_2}\,\overline{x_3}\,x_4 \lor x_1\, \overline{x_2}\, x_3\, \overline{x_4} \lor x_1 \, \overline{x_2} \, x_3 \, x_4$

\bigskip

\begin{minipage}{140pt}
\begin{picture}(140,100)
\put(0,79){$x_{1,2}$}
\put(7.5,93){$x_{3,4}$}
\multiput(25,0)(25,0){5}{\line(0,1){100}}
\put(0,100){\line(1,-1){25}}
\multiput(0,0)(0,18.7){5}{\line(1,0){125}}
\put(32,82){00 \hspace{0.24cm} 01 \hspace{0.24cm} 11 \hspace{0.24cm} 10}
\put(07,62.3){00 \hspace{0.34cm} \phantom{1}\hspace{0.68cm}\phantom{1}\hspace{0.68cm}1\hspace{0.68cm}\phantom{1}}\\
\put(07,43.6){01 \hspace{0.34cm} \phantom{1}\hspace{0.68cm}\phantom{1}\hspace{0.68cm}1\hspace{0.68cm}\phantom{1}}\\
\put(07,24.9){11}
\put(07,6.2){10 \hspace{0.34cm} $1$\hspace{0.68cm}$1$\hspace{0.68cm}$1$\hspace{0.68cm}$1$}
\end{picture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{275pt}
\begin{tabular}{p{3cm}p{5cm}}
$= x_1 \, \overline{x_2}$ & unterer Viererblock \\
$\phantom{=} \lor \overline{x_1}\,x_3 \, x_4$ & Zweierblock
\end{tabular}

\bigskip

Beim unteren Viererblock sind $x_3 \lor \overline{x_3}$ und $x_4 \lor \overline{x_4}$ immer wahr. Beim oberen Zweierblock ist $x_2 \lor \overline{x_2}$ immer wahr. Daher können diese Terme wegfallen.

\smallskip

$\Rightarrow \quad f(x_1,x_2,x_3,x_4) =  x_1 \, \overline{x_2} \lor \overline{x_1}\,x_3 \, x_4$
\end{minipage}


\bigskip


\item $f(x_1,x_2,x_3,x_4) = \overline{x_1}\,\overline{x_2}\,x_3\,x_4 \lor \overline{x_1}\,x_2\,x_3\,x_4 \lor x_1\,\overline{x_2}\,x_3\,\overline{x_4} \lor x_1\,\overline{x_2}\,x_3\,x_4 \lor x_1\, x_2\, x_3\, \overline{x_4} \lor x_1 \, x_2 \, x_3 \, x_4$

\bigskip

\begin{minipage}{140pt}
\begin{picture}(140,100)
\put(0,79){$x_{1,2}$}
\put(7.5,93){$x_{3,4}$}
\multiput(25,0)(25,0){5}{\line(0,1){100}}
\put(0,100){\line(1,-1){25}}
\multiput(0,0)(0,18.7){5}{\line(1,0){125}}
\put(32,82){00 \hspace{0.24cm} 01 \hspace{0.24cm} 11 \hspace{0.24cm} 10}
\put(07,62.3){00 \hspace{0.34cm} \phantom{1}\hspace{0.68cm}\phantom{1}\hspace{0.68cm}1\hspace{0.68cm}\phantom{1}}\\
\put(07,43.6){01 \hspace{0.34cm} \phantom{1}\hspace{0.68cm}\phantom{1}\hspace{0.68cm}1\hspace{0.68cm}\phantom{1}}\\
\put(07,24.9){11 \hspace{0.34cm} \phantom{$1$}\hspace{0.68cm}\phantom{$1$}\hspace{0.68cm}$1$\hspace{0.68cm}$1$}
\put(07,6.2){10 \hspace{0.34cm} \phantom{$1$}\hspace{0.68cm}\phantom{$1$}\hspace{0.68cm}$1$\hspace{0.68cm}$1$}
\put(87.5,37.4){\oval(17,70)}
\put(100,18.7){\oval(42,35)}
\end{picture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{275pt}
\begin{tabular}{p{3cm}p{5cm}}
$= x_3\,x_4$ & Viererspalte \\
$\phantom{=} \lor x_1\,x_3$& Viererblock
\end{tabular}

\bigskip

In diesem Falle ist es einfacher mit zwei Viererblöcken als mit einem Vierer-- und einem Zweierblock zu arbeiten. Vereinfacht ergibt sich für die Schaltfunktion:
\smallskip

$\Rightarrow \quad f(x_1,x_2,x_3,x_4) =  x_3(x_4\lor x_1)$
\end{minipage}

\bigskip

\item $f(x_1,x_2,x_3,x_4) = x_1\,x_2\,x_3\,\overline{x_4} \lor \overline{x_1}\,\overline{x_2} \lor \overline{x_1}\,x_2\,x_3\,x_4 \lor x_1\,\overline{x_2} \lor x_1\, x_2\, x_3\,x_4$

\bigskip

\begin{minipage}{140pt}
\begin{picture}(140,100)
\put(0,79){$x_{1,2}$}
\put(7.5,93){$x_{3,4}$}
\multiput(25,0)(25,0){5}{\line(0,1){100}}
\put(0,100){\line(1,-1){25}}
\multiput(0,0)(0,18.7){5}{\line(1,0){125}}
\put(32,82){00 \hspace{0.24cm} 01 \hspace{0.24cm} 11 \hspace{0.24cm} 10}
\put(07,62.3){10 \hspace{0.34cm} $1$\hspace{0.68cm}$1$\hspace{0.68cm}$1$\hspace{0.68cm}$1$}
\put(07,43.6){01 \hspace{0.34cm} \phantom{1}\hspace{0.68cm}\phantom{1}\hspace{0.68cm}1\hspace{0.68cm}\phantom{1}}\\
\put(07,24.9){11 \hspace{0.34cm} \phantom{$1$}\hspace{0.68cm}\phantom{$1$}\hspace{0.68cm}$1$\hspace{0.68cm}$1$}
\put(07,6.2){10 \hspace{0.34cm} $1$\hspace{0.68cm}$1$\hspace{0.68cm}$1$\hspace{0.68cm}$1$}
\put(87.5,37.4){\oval(17,70)}
\put(100,18.7){\oval(42,35)}
\put(75,0){\oval(95,35)[t]}
\put(75,75){\oval(95,35)[b]}

\end{picture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{275pt}
\begin{tabular}{p{3cm}p{5cm}}
$= \overline{x_2}$ &  Achterblock \\
$\phantom{=} \lor x_3 \, x_4$& Viererspalte\\
$\phantom{=} \lor x_1 \, x_3$ & Viererblock
\end{tabular}

\bigskip


$\Rightarrow \quad f(x_1,x_2,x_3,x_4) =  \overline{x_2} \lor x_3(x_1 \lor x_4)$
\end{minipage}
\end{enumerate}

\newpage
\section[Statische digitale Systeme (kombinatorische Automaten)]{Statische digitale Systeme (kombinatorische Automaten)}

\subsection{Alphabetbildung}

\subsubsection{Alphabete}

\begin{center}
\begin{picture}(210,90)
\put(0,40){$x\left\{\begin{array}{c}x_1\\x_2\\\vdots\\x_l\end{array}\right.$}
\put(170,40){$\left.\begin{array}{c}y_1\\y_2\\\vdots\\y_m\end{array}\right\} y$}
\multiput(0,0)(130,0){2}{\put(40,19){\circle{2}}
\multiput(40,52)(0,13){2}{\circle{2}}}
\multiput(0,0)(109,0){2}{
\multiput(41,52)(0,13){2}{\line(1,0){19}}
\put(41,19){\line(1,0){19}}}
\multiput(60,10)(90,0){2}{\line(0,1){64}}
\multiput(60,10)(0,64){2}{\line(1,0){90}}
\multiput(45,30.3)(116,0){2}{$\vdots$}
\put(97,35){\Huge$\Phi$}
\end{picture}

z.B. Gatterschaltung
\end{center}


\paragraph*{Definitionen:}
\begin{enumerate}
\item Die Menge $X = \{0,\,1\}^l = \mathbb B^l$ heißt \emph{Eingabealphabet} mit den Buchstaben
\[x= (x_1,x_2,x_3, \ldots , x_l) \quad \text{ oder } \quad x = \left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\\vdots\\x_l\end{array}\right).\]

\item Die Menge $Y = \{0,\,1\}^m = \mathbb B^m$ heißt \emph{Ausgabealphabet} mit den Buchstaben
\[y= (y_1,y_2,y_3, \ldots , y_m) \quad \text{ oder } \quad y = \left(\begin{array}{c}y_1\\y_2\\\vdots\\y_m\end{array}\right).\]

\item Jede Abbildung $\Phi : X \to Y$
\[\Phi (x_1,x_2,\ldots ,x_l) = (y_1,y_2, \ldots y_m)\]
kurz $\Phi(x) = y$ heißt \emph{Alphabetabbildung}.

\item Das Eingabealphabet $X = \mathbb B^l$ und das Ausgabalphabet $Y = \mathbb B^m$ zusammen mit der Alphabetabbildung $\Phi$ bildet ein (abstraktes) \emph{statisches digitales System} (oder einen \emph{kombinatorischen Automaten}), in Zeichen: $(X,Y,\Phi)$

\bigskip

\textbf{Beachte:} $(X,Y,\Phi)$ stellt eine algebraische Struktur dar:

\begin{center}
\begin{picture}(160,50)
\put(0,42){$X$}
\put(150,42){$Y$}
\multiput(30,20)(100,0){2}{\oval(60,40)}
\put(35,22){\circle*{3}}
\put(27,14){$x$}
\put(135,15){\circle*{3}}
\put(138,8){$y$}
\qbezier(35,22)(85,40)(134,15)
\put(134,15){\vector(2,-1){0}}
\put(75,35){$\Phi$}
\end{picture}
\end{center}

\end{enumerate}   % langsam wirds echt schlimm mit dem Tippen! und noch ein Staropramen. Prosit!


\newpage

\subsubsection{Systeme mit einem Ausgang}

\paragraph*{Sonderfall:} $m = 1$, $X = \mathbb B^l$, $Y = \mathbb B = \{0,\,1\}$

\begin{center}
\begin{picture}(210,90)
\put(15,40){$\left.\begin{array}{c}x_1\\x_2\\\vdots\\x_l\end{array}\right.$}
\put(150,42){\line(1,0){19}}
\put(170,42){\circle{2}}
\put(174,39){$y$}
\put(40,19){\circle{2}}
\multiput(40,52)(0,13){2}{\circle{2}}
\multiput(41,52)(0,13){2}{\line(1,0){19}}
\put(41,19){\line(1,0){19}}
\multiput(60,10)(90,0){2}{\line(0,1){64}}
\multiput(60,10)(0,64){2}{\line(1,0){90}}
\put(45,30.3){$\vdots$}
\put(97,35){\Huge$\Phi$}
\end{picture}
\end{center}

$y = \Phi (x_1,x_2, \ldots , x_l)$

\begin{description}
\item[Ergebnis:] Die Alphabetabbildung stellt eine $l$--stellige Schaltfunktion dar.
\end{description}

\subsubsection{Systeme mit mehreren Ausgängen}

\paragraph*{Beispiel:} $l = 3$, $m = 2$

\begin{center}
\begin{picture}(150,95)
\put(0,39.5){$x_3$}
\put(0,54.5){$x_2$}
\put(0,69.5){$x_1$}
\multiput(14,42.5)(0,15){3}{\circle{2}}
\put(15,42.5){\line(1,0){75}}
\put(15,57.5){\line(1,0){25}}
\put(15,72.5){\line(1,0){22}}
\put(38.5,72.5){\circle{3}}
\multiput(40,52.5)(25,0){2}{\line(0,1){25}}        %% alles verwurschtelt.
\multiput(40,52.5)(0,25){2}{\line(1,0){25}}
\put(65,65){\line(1,0){12.5}}
\put(77.5,57.75){\line(1,0){09.5}}
\put(88.5,57.75){\circle{3}}
\put(77.5,57.75){\circle*{2}}
\put(77.5,65){\line(0,-1){39.75}}
\multiput(0,0)(0,-32.5){2}{
\put(115,50){\line(1,0){24}}
\put(140,50){\circle{2}}
\multiput(90,37.5)(0,25){2}{\line(1,0){25}}
\multiput(90,37.5)(25,0){2}{\line(0,1){25}}}
\multiput(0,0)(105,0){2}{\multiput(25,0)(0,6){14}{\line(0,1){3}}}
\multiput(0,0)(0,84){2}{\multiput(25,0)(6,0){18}{\line(1,0){3}}}
\put(77.5,25.25){\line(1,0){12.5}}
\put(67.5,10.25){\line(1,0){22.5}}
\put(67.5,10.25){\line(0,1){32.5}}
\put(67.5,42.5){\circle*{2}}
\put(143,47){$y_1$}
\put(143,14.5){$y_2$}
\put(29,4){$\Phi$}
\put(99,20){$\&$}
\put(49,67.5){$\&$}
\put(94,52.5){$\geq 1$}
\end{picture}
\end{center}

$y_1 = \overline{\overline{x_1}\,x_2} \lor x_3 = f_1(x_1,x_2,x_3)$

$y_2 = \overline{x_1}\, x_2 \, x_3 = f(x_1,x_2,x_3)$

\begin{description}
\item[Verallgemeinerung:] ($l$, $m$ beliebig)

Die Alphabetabbildung $\Phi$ läßt sich durch $m$ $l$--stellige Schaltfunktionen $f_i : \mathbb B^l \to \mathbb B$ $(i = 1, \ldots , n)$ darstellen.
\end{description}
\begin{minipage}{9cm}
\[\left.\begin{array}{c@{}c} f_1(x_1,x_2, \ldots , x_l) & = y_1 \\ f_2(x_1,x_2, \ldots , x_l) & = y_2 \\ \quad\vdots & \phantom{=}\vdots \\ f_m(x_1,x_2, \ldots , x_l) & = y_m\end{array}\right\} \Phi : \mathbb B^l \to \mathbb B^m \qquad \Leftrightarrow\]
\end{minipage}
\begin{minipage}{5.5cm}
\begin{center}
\begin{picture}(100,160)
\put(0,10){                       % bahpfui!
\multiput(0,0)(0,-25){2}{
\put(14,130){\circle{2}}
\put(15,130){\line(1,0){40}}}
\put(0,127){$x_1$}
\put(2.5,113){$\vdots$}
\put(0,104){$x_l$}
\multiput(0,0)(0,-45){2}{
\multiput(55,100)(0,35){2}{\line(1,0){25}}
\multiput(55,100)(25,0){2}{\line(0,1){35}}}
\put(63,115){$f_1$}
\put(63,070){$f_2$}
\put(61,010){$f_m$}
\put(30,130){\line(0,-1){80}}
\put(40,105){\line(0,-1){55}}
\put(30,130){\circle*{2}}
\put(40,105){\circle*{2}}
\put(30,85){\line(1,0){25}}
\put(30,85){\circle*{2}}
\put(40,60){\line(1,0){15}}
\put(40,60){\circle*{2}}
\put(28.5,38){$\vdots \hspace{6.8pt} \vdots$}
\put(30,35){\line(0,-1){10}}
\put(30,25){\line(1,0){25}}
\put(40,35){\line(0,-1){35}}
\put(40,0){\line(1,0){15}}
\multiput(55,-5)(0,35){2}{\line(1,0){25}}
\multiput(55,-5)(25,0){2}{\line(0,1){35}}
\put(80,12.5){\line(1,0){24}}
\put(105,12.5){\circle{2}}
\multiput(0,60)(0,45){2}{
\put(80,12.5){\line(1,0){24}}
\put(105,12.5){\circle{2}}}
}
\put(109,19.5){$y_3$}
\put(109,79.5){$y_2$}
\put(109,124.5){$y_1$}
\multiput(0,0)(75,0){2}{\multiput(20,0)(0,6){26}{\line(0,1){3}}}
\multiput(0,0)(0,153){2}{\multiput(20,0)(6,0){13}{\line(1,0){3}}}
\put(25,5){$\Phi$}
\end{picture}
\end{center}

\end{minipage}

\newpage
\subsection{Wortabbildung}
\subsubsection{Buchstaben und Wörter}
\paragraph*{Definitionen:}
\begin{enumerate}
\item Zeitskala $T = \{0,\,1,\, \ldots ,\, k,\, \ldots ,\, N\}$, Taktzeitpunkte $k \in T$ (äquidistant). 

Die Zeit ist normiert (dimensionslos).

\item Die Abbildung $x: T \to X$ heißt \emph{digitales Eingabesignal} oder \emph{Eingabewort}

Schreibweise: $x = (x(0), x(1), x(2), \ldots , x(k) , \ldots ,  x(N))$

$x(k) \in X$ ist \emph{Eingabebuchstabe} im Taktzeitpunkt $k$

\smallskip

$x = \left(\!\!\left(\!\!\begin{array}{c}x_1(0)\\x_2(0)\\\vdots \\ x_l(0)\end{array}\!\!\right)\!\! , \left(\!\!\begin{array}{c}x_1(1)\\x_2(1)\\\vdots \\ x_l(1)\end{array}\!\!\right)\!\!, \ldots , \left(\!\!\begin{array}{c}x_1(N)\\x_2(N)\\\vdots \\ x_l(N)\end{array}\!\!\right)\!\!\right)\! =\! \left(\!\!\begin{array}{c}(x_1(0), x_1(1), x_1(2), \ldots , x_1(N))\\ (x_2(0), x_2(1), x_2(2), \ldots , x_2(N)) \\ \vdots \\ (x_l(0), x_l(1), x_l(2), \ldots , x_l(N))\end{array}\!\!\right)\! =\! \left(\!\!\begin{array}{c}x_1\\x_2\\\vdots \\x_l\end{array}\!\!\right)$

\smallskip

\item Die Abbildung $y:T\to Y$ heißt \emph{digitales Ausgabesignal} oder \emph{Ausgabwert}.

Schreibweise: $y = (y(0), y(1), y(2), \ldots , y(N))$

\smallskip

Mit $y(k) = \left(\!\!\begin{array}{l}y_1(k)\\y_2(k)\\\vdots\\y_m(k)\end{array}\!\!\right)$ analog zu 2.

\smallskip

\item Wortlänge $l(x) = |T| = N +1$

\item Eingabewortraum: $X^T = X^*$ \quad Menge aller Eingabewörter

Ausgabewortraum: $Y^T = Y^*$ \quad Menge aller Ausgabewörter

\item Die Abbildung $\Phi:X^* \to Y^*$, $\Phi(x) = y$ heißt \emph{Wortabbildung}
\end{enumerate}

\subsubsection{Eigenschaften der Wortabbildung}

\paragraph*{Offensichtlich:} Abbildung erfolgt Buchstabe für Buchstabe.

\bigskip

\begin{tabular}{lcccccc}
Eingabewort: & $x:$ & $x(0)$ & $x(1)$ & $x(2)$ & $\cdots$ & $x(N)$ \\
&& $\Phi\Big\downarrow$ & $\Phi\Big\downarrow$ & $\Phi\Big\downarrow$ & $\cdots$ & $\Phi\Big\downarrow$ \\
Ausgabewort: & $y:$ & $y(0)$ & $y(1)$ & $y(2)$ & $\cdots$ & $y(N)$
\end{tabular}

\bigskip

Grundgleichung des kombinatorischen Automaten: \quad \boxed{\quad \vphantom{\Big|} y(k) = \Phi(x(k)) \quad}

\paragraph*{Diskussion:}
\begin{enumerate}
\item $l(y) = l(y)$

\item Ausgabe $y(k)$ im Takt $k$ hängt \emph{nur} von Eingabe $x(k)$ im gleichen Takt $k$ ab, nicht aber von $x(k-1),\ x(k-2),\ \ldots$

\item gleiche Eingangsbuchstaben haben gleiche Ausgangsbuchstaben zur Folge
\end{enumerate}
\newpage 
\begin{description}\item[Gegenbeispiel:]\end{description}

\begin{minipage}{8cm}
\center

\begin{picture}(100,30)
\put(0,12){$x$}
\multiput(10,15)(70,0){2}{\circle{2}}
\multiput(11,15)(49,0){2}{\line(1,0){19}}
\multiput(30,0)(30,0){2}{\line(0,1){30}}
\multiput(30,0)(0,30){2}{\line(1,0){30}}
\put(83,12){$y$}
\put(42,12){\textbf{?}}
\end{picture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{7.5cm}
\center

$x = ( 1,1,0,1,0,0)$

$y = (0,1,0,0,0,1)$

\end{minipage}

\bigskip

Diese Wortabbildung ist durch einen kombinatorische Automaten nicht realisierbar.

\section{Dynamische digitale Systeme (sequentieller Automat)}

\subsection{Zustandsbeschreibung}

\subsubsection{Speicher}

Zusätzlich zu den betrachteten BE (Gatter) wird eingeführt:

\hspace{0.7cm}

\begin{minipage}{5.1cm}
\center 

Speicher $S$ 
\end{minipage}
\begin{minipage}{5.1cm}
\center 

$x(k) = y(k+1)$
\end{minipage}
\begin{minipage}{5.1cm}
\center

\begin{picture}(100,30)
\put(0,12){$x$}
\multiput(10,15)(65,0){2}{\circle{2}}
\multiput(11,15)(44,0){2}{\line(1,0){19}}
\multiput(30,2.5)(25,0){2}{\line(0,1){25}}
\multiput(30,2.5)(0,25){2}{\line(1,0){25}}
\put(78,12){$y$}
\put(39,12){$S$}
\end{picture}
\end{minipage}

\bigskip

Durch Hinzunahme von Speichern zu einem kombinatorischen Automaten entsteht ein sequentieller Automat.

\subsubsection*{Beispiel:}

\begin{center}
\begin{picture}(300,130)   % wer hier durchblickt bekommt ein Bier!
\multiput(0,0)(0,100){2}{
\multiput(125,0)(0,25){2}{\line(1,0){25}}
\multiput(125,0)(25,0){2}{\line(0,1){25}}}
\put(37.5,12,5){\line(1,0){87.5}}
\put(37.5,12.5){\line(0,1){17.5}}
\put(37.5,30){\line(1,0){12.5}}
\multiput(0,0)(175,7.5){2}{
\multiput(50,25)(0,25){2}{\line(1,0){25}}
\multiput(50,25)(25,0){2}{\line(0,1){25}}}
\put(31,45){\line(1,0){19}}
\put(75,37.5){\line(1,0){150}}
\put(100,12.5){\circle*{2}}
\put(100,12.5){\line(0,1){50}}
\multiput(0,0)(87.5,37.5){2}{
\multiput(87.5,62.5)(0,25){2}{\line(1,0){25}}
\multiput(87.5,62.5)(25,0){2}{\line(0,1){25}}}
\put(100,87.5){\line(0,1){17.5}}
\put(100,105){\line(1,0){25}}
\put(150,112.5){\line(1,0){25}}
\put(75,120){\line(1,0){50}}
\multiput(50,107.5)(0,25){2}{\line(1,0){25}}
\multiput(50,107.5)(25,0){2}{\line(0,1){25}}
\put(31,112.5){\line(1,0){19}}
\put(31,127.5){\line(1,0){16}}
\put(48.5,127.5){\circle{3}}
\put(200,112.5){\line(1,0){74}}
\put(212.5,112.5){\circle*{2}}
\put(212.5,112.5){\vector(1,0){10}}
\put(212,118){$\scriptstyle z_1(k)$}
\put(212.5,112.5){\line(0,-1){60}}
\put(212.5,52.5){\line(1,0){12.5}}
\put(250,45){\line(1,0){24}}
\put(262.5,45){\line(0,-1){32.5}}
\put(262.5,45){\circle*{2}}
\put(150,12.5){\line(1,0){112.5}}
\put(30,45){\circle{2}}
\multiput(30,112.5)(0,15){2}{\circle{2}}
\multiput(275,45)(0,67.5){2}{\circle{2}}
\put(0,42){$x_3(k)$}
\put(0,124.5){$x_1(k)$}
\put(0,109.5){$x_2(k)$}
\put(280,42){$y_2(k)$}
\put(280,109.5){$y_1(k)$}
\put(54,120.5){$\geq 1$}
\put(59,38){$\&$}
\put(94.5,72){$S_2$}
\put(134,113){$\&$}
\put(182.5,109.5){$S_1$}
\put(132.5,9.5){$S_3$}
\put(228.5,45.5){$\geq 1$}
\put(100,12.5){\vector(0,1){40}}
\put(104,47.5){$\scriptstyle z_2(k+1)$}
\put(100,87.5){\vector(0,1){11}}
\put(104,94){$\scriptstyle z_2(k)$}
\put(125,12.5){\vector(-1,0){15}}
\put(175,12.5){\vector(-1,0){15}}
\put(104,3){$\scriptstyle z_3(k)$}
\put(154,3){$\scriptstyle z_3(k+1)$}
\end{picture}
\end{center}

\begin{description}
\item[Regel:] An den Ausgängen der Speicher werden "`Hilfswörter"' $z_i$ erzeugt, da ein direkter Zusammenhang zwischen $y(k)$ und $x(k)$ nicht dargestellt werden kann.
\end{description}


Aus Schaltung ablesbar:
\begin{align*}
z_1(k+1) &= z_2(k) (\overline{x_1(k)} \lor x_2(k))\\
z_2(k+1) &= z_3(k)\\
z_3(k+1) &= z_1(k) \lor x_3(k) z_3(k)\\
y_1(k)   &= z_1(k) \\
y_2(k)   &= z_1(k) \lor x_3(k) z_3(k)
\end{align*}

Eingangswert $x = \left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} (1,0,0)\\(1,0,1)\\(0,1,1)\end{array}\right)$,
\quad Anfangszustand $z(0) = \left(\begin{array}{c}z_1(0)\\z_2(0)\\z_3(0)\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}\right)$ 

\bigskip

Gesucht: Ausgangswert $y = \left(\begin{array}{c}y_1\\y_2\end{array}\right) =\ ?$

\subsubsection*{Lösung}

\begin{tabular}{c|cccc}
$k$ & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
\hline
$x_1(k)$ & 1 & 0 & 0 \\
$x_2(k)$ & 1 & 0 & 1 \\
$x_3(k)$ & 0 & 1 & 1 \\
\hline
$z_1(k)$ & 0 & 1 & 0 & 0 \\
$z_2(k)$ & 1 & 0 & 0 & 1\\
$z_3(k)$ & 0 & 0 & 1 & 1\\
\hline
$y_1(k)$ & 0 & 1 & 1 \\
$y_2(k)$ & 0 & 0 & 1 
\end{tabular}

\paragraph*{Ergebnis:} $y = \left(\begin{array}{c}y_1\\y_2\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}(0,1,0)\\(0,1,1)\end{array}\right)$

\subsubsection{Zustandsgleichungen}

Verallgemeinerung:

\begin{center}
\begin{picture}(210,70)
\put(18,40){$\left.\begin{array}{c}x_1\\x_2\\\vdots\\x_l\end{array}\right.$}
\put(168,40){$\left.\begin{array}{c}y_1\\y_2\\\vdots\\y_m\end{array}\right.$}
\multiput(0,0)(130,0){2}{\put(40,19){\circle{2}}
\multiput(40,52)(0,13){2}{\circle{2}}}
\multiput(0,0)(109,0){2}{
\multiput(41,52)(0,13){2}{\line(1,0){19}}
\put(41,19){\line(1,0){19}}}
\multiput(60,10)(90,0){2}{\line(0,1){64}}
\multiput(60,10)(0,64){2}{\line(1,0){90}}
\multiput(45,30.3)(116,0){2}{$\vdots$}
\put(88,55){Gatter}
\put(101,40){+}
\put(80,25){$n$ Speicher}
\end{picture}
\end{center}

\[z(k+1) \left\{\vphantom{\begin{array}{c}()\\()\\()\end{array}}\right.\!\!\!\begin{array}{ccc} z_1(k+1) & = & f_1[\overbrace{z_1(k) , \ldots , z_m(k)}^{z(k)},\overbrace{x_1(k),\ldots,x_l(k)}^{x(k)}]\\ \vdots & \vdots & \vdots \\ z_n(k+1) & = & f_n[z_1(k) , \ldots
 , z_m(k),x_1(k),\ldots,x_l(k)\vphantom{\underbrace{a}_{|}}]\end{array}
\]

\[\phantom{+1} y(k) \left\{\begin{array}{ccc} y_1(k) & = & g_1[z_1(k) , \ldots , z_m(k),x_1(k),\ldots,x_l(k)]\\ \vdots & \vdots & \vdots \\ z_n(k+1) & = & f_n[z_1(k) , \ldots
 , z_m(k),x_1(k),\ldots,x_l(k)]\end{array}\right.
\]

\subsubsection*{Zusammenfassung des sequentiellen Automaten:}

\smallskip

\begin{center}
\boxed{\quad \begin{array}{ccc}\vphantom{\Big|} z(k+1) &=& f[z(k),\,x(k)]\\\vphantom{\Big|} y(k) &=& g[z(k),\,x(k)]\end{array} \quad }
\end{center}

\paragraph*{Definitionen:}
\begin{enumerate}
\item Die Menge $Z = \mathbb B^n = \{0,\,1\}^n$ heißt \emph{Zustandsalphabet} (\emph{Zustandsraum}).

\item Die Abbildung $z_ T \to Z$ heißt \emph{Zustandswort} (\emph{Zustandstrajektorie}).
\[z = (z(0), z(1), \ldots , z(N)) \quad \text{mit} \quad z(k) = \left(\begin{array}{c}z_1(k)\\\vdots\\z_n(k)\end{array}\right)\]
$z(k)$ heißt Zustand des Automaten im Takt $k$.

\item $z(0) = \left(\begin{array}{c}z_1(0)\\\vdots\\z_n(0)\end{array}\right)$ heißt \emph{Anfangszustand} des Automaten.
\end{enumerate}

\subsubsection*{Diskussion der Zustandsgleichungen}

\begin{description}
\item[$f$:] Überführungsfunktion
\item[$g$:] Ergebnisfunktion 
\end{description}

\paragraph*{Definition:} Die Mengen $X = \mathbb B^l$ (Eingabealphabet), $Y = \mathbb B^m$ (Ausgabealphabet) und $Z = \mathbb B^n$ (Zustandsalphabet) zusammen mit den Abbildungen 
\begin{align*}
f: &\ Z \times X \to Z  &f[z(k),x(k)] &= z(k+1)\\
g: &\ Z \times X \to Y  &g[z(k),x(k)] &= y(k)
\end{align*}
bilden ein (abstraktes) dynamisches digitales System (oder einen abstrakten sequentiellen Automaten oder \textsc{Mealy}--Automaten), in Zeichen $(X,Y,Z,f,h)$.

\begin{center}
\begin{picture}(300,150)
\put(0,97){$x(k)$}
\put(0,117){$z(k)$}
\multiput(25,100)(0,20){2}{\circle{2}}
\multiput(26,100)(0,20){2}{\line(1,0){199}}
\put(32,103){\small $l\,$  Leitungen}
\put(30,123){\small $n$ Leitungen}
\multiput(0,0)(80,0){2}{
\put(110,100){\circle*{2}}
\put(110,100){\vector(0,-1){20}}
\put(130,120){\circle*{2}}
\put(130,120){\vector(0,-1){40}}
}
\multiput(0,0)(40,0){3}{
\multiput(105,80)(0,-40){2}{\line(1,0){30}}
\multiput(105,80)(30,0){2}{\line(0,-1){40}}
}
\put(160,80){\vector(0,1){40}}
\put(120,40){\line(0,-1){15}}
\put(120,25){\line(1,0){40}}
\put(160,25){\vector(0,1){15}}
\put(122,12){$z(k+1)$}
\put(117,57){$f$}
\put(157,57){$S$}
\put(197,57){$g$}
\put(200,40){\line(0,-1){15}}
\put(200,25){\line(1,0){70}}
\put(271,25){\circle{2}}
\put(276,22){$y(k)$}
\put(205,15){\small $m$ Leitungen}
\end{picture}
\end{center}

Der sequentielle Automat ist durch zwei herkömmliche Automaten ($f$ und $g$) und $n$ Speicher darstellbar.

% und auf ein neues. heute nur mit kakao. man muss ja nicht immer bier trinken.

\paragraph{Beispiel:} (aus 3.1.1)
\begin{align*}
z_1(k+1) &= z_2(k) (\overline{x_1(k)} \lor x_2(k)) &
y_1(k)   &= z_1(k) \\
z_2(k+1) &= z_3(k) &
y_2(k)   &= z_1(k) \lor x_3(k) z_3(k) \\
z_3(k+1) &= z_1(k) \lor x_3(k) z_3(k) 
\end{align*}

% ich habe schon wieder alle meine kulis verbummelt! so ein scheiss.

% so, jetzt wirds aber breit..

\begin{picture}(455,160)
\multiput(29,75)(0,15){6}{\circle{2}}
\multiput(30,75)(0,15){6}{\line(1,0){400}}
\put(0,72){$x_3(k)$}
\put(0,87){$x_2(k)$}
\put(0,103){$x_1(k)$}
\put(0,118){$z_3(k)$}
\put(0,132){$z_2(k)$}
\put(0,147){$z_1(k)$}

\multiput(35,90)(5,15){2}{\circle*{2}}
\put(35,90){\line(0,-1){50}}
\put(40,105){\line(0,-1){55}}
\put(35,40){\line(1,0){15}}
\put(40,50){\line(1,0){7}}
\put(48.5,50){\circle{3}}
\multiput(0,0)(30,5){2}{
\multiput(50,35)(20,0){2}{\line(0,1){20}}
\multiput(50,35)(0,20){2}{\line(1,0){20}}}
\put(70,45){\line(1,0){10}}
\put(75,135){\circle*{2}}
\put(75,135){\line(0,-1){80}}
\put(75,55){\line(1,0){5}}
\put(100,50){\line(1,0){10}}
\multiput(110,40)(20,0){2}{\line(0,1){20}}
\multiput(110,40)(0,20){2}{\line(1,0){20}}
\put(130,50){\line(1,0){10}}
\put(140,50){\line(0,1){100}}
\put(140,150){\circle*{2}}
\put(90,30){$\scriptstyle z_1(k+1)$}

\put(52,45){$\geq 1$}
\put(86,50){$\&$}
\put(116,47){$S$}


\multiput(160,120)(40,15){2}{\circle*{2}}
\put(160,120){\line(0,-1){75}}
\put(200,135){\line(0,-1){90}}
\multiput(160,45)(30,0){2}{\line(1,0){10}}
\multiput(170,35)(0,20){2}{\line(1,0){20}}
\multiput(170,35)(20,0){2}{\line(0,1){20}}
\put(176,42){$S$}
\put(138,35){$\scriptstyle z_2(k+1)$}
\put(193,35){$\scriptstyle z_2(k)$}

\multiput(0,0)(140,0){2}{
\put(236,45){$\&$}
\put(262,50){$\geq 1$}
\multiput(220,75)(5,45){2}{\circle*{2}}
\put(220,75){\line(0,-1){35}}
\put(225,120){\line(0,-1){70}}
\put(220,40){\line(1,0){10}}
\put(225,50){\line(1,0){5}}
\multiput(0,0)(30,5){2}{
\multiput(230,35)(0,20){2}{\line(1,0){20}}
\multiput(230,35)(20,0){2}{\line(0,1){20}}}
\multiput(250,45)(30,5){2}{\line(1,0){10}}
\put(255,55){\line(0,1){95}}
\put(255,150){\circle*{2}}
\put(255,55){\line(1,0){5}}}
\multiput(255,150)(65,-30){2}{\circle*{2}}
\multiput(290,40)(0,20){2}{\line(1,0){20}}
\multiput(290,40)(20,0){2}{\line(0,1){20}}
\put(310,50){\line(1,0){10}}
\put(320,50){\line(0,1){70}}
\put(296,47){$S$}
\put(272,30){$\scriptstyle z_3(k+1)$}


\put(340,150){\circle*{2}}
\put(340,150){\line(0,-1){135}}
\put(340,15){\line(1,0){90}}
\multiput(431,15)(0,35){2}{\circle{2}}
\put(434,12){$y_2(k)$}
\put(434,47){$y_1(k)$}   % JA, es ist 3 pt zu breit
\end{picture}            % NEIN, ich habe keine lust es zu ändern


\subsubsection{Automatendarstellung}

\begin{minipage}{10cm}
\begin{picture}(260,110)
\put(0,70){$x(k)\left\{\!\!\begin{array}{c}x_1(k)\\x_2(k)\\\vdots\\x_l(k)\end{array}\right.$}
\put(198,70){$\left.\begin{array}{c}y_1(k)\\y_2(k)\\\vdots\\y_m(k)\end{array}\!\!\right\} y(k)$}
\put(26,30){
\multiput(0,0)(130,0){2}{\put(40,19){\circle{2}}
\multiput(40,52)(0,13){2}{\circle{2}}}
\multiput(0,0)(109,0){2}{
\multiput(41,52)(0,13){2}{\line(1,0){19}}
\put(41,19){\line(1,0){19}}}
\multiput(60,10)(90,0){2}{\line(0,1){64}}
\multiput(60,10)(0,64){2}{\line(1,0){90}}
\multiput(45,30.3)(116,0){2}{$\vdots$}
\put(88,55){Gatter}
\put(101,40){+}
\put(80,25){$n$ Speicher}}
\put(75,25){$\underbrace{(z_1(k),z_2(k),\ldots,z_3(k))}_{\displaystyle z(k)}$}
\end{picture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{5cm}
\boxed{\displaystyle \begin{array}{ll}z(k+1) &= f[z(k),x(k)] \\ y(k) &= f[z(k),x(k)]\end{array} }

\vphantom{$\displaystyle\dfrac \int \int$}  % wer weiß warum so und nicht  
\end{minipage} % ordentlich: bitte melden. ich weiß es selbst nicht.

\bigskip

Der sequentielle Automat läßt sich wie folgt darstellen:

\begin{enumerate}
\item Automatentabelle:

\smallskip

\begin{minipage}{5.5cm}         % baaaeeh. fieses gefrickel aber auch
\center 
\small \hspace{1.5cm} Zustandsalphabet
\end{minipage}
\hspace{1.5cm}
\begin{minipage}{5.5cm}
\center 
\small \hspace{1.5cm} Zustandsalphabet
\end{minipage}

\begin{minipage}{0.5cm}
\rotatebox{90}{\small Eingabealphabet\qquad }
\end{minipage}
\begin{minipage}{5cm}
\begin{tabular}{c|ccc}
$f$ & $\cdots$ & $z(k)$ & $\cdots$\\
\hline
$\vdots$ &  & $\vdots$ & \\
$\vdots$ &  & $\vdots$ & \\
$x(k)$ & $\cdots$ & $z(k+1)$ & $\cdots$ \\
$\vdots$ &  & $\vdots$ & \\
$\vdots$ &  & $\vdots$ & \\
\end{tabular}
\end{minipage}
\hspace{1.5cm}
\begin{minipage}{0.5cm}
\rotatebox{90}{\small Eingabealphabet\qquad }
\end{minipage}
\begin{minipage}{5cm}
\begin{tabular}{c|ccc}
$g$ & $\cdots$ & $z(k)$ & $\cdots$\\
\hline
$\vdots$ &  & $\vdots$ & \\
$\vdots$ &  & $\vdots$ & \\
$x(k)$ & $\cdots$ & $z(k+1)$ & $\cdots$ \\
$\vdots$ &  & $\vdots$ & \\
$\vdots$ &  & $\vdots$ & \\
\end{tabular}
\end{minipage}

\bigskip

\begin{minipage}{5.5cm}
\center

\hspace{1cm} \emph{Überführungstabelle}
\end{minipage}
\hspace{1.5cm}
\begin{minipage}{5.5cm}
\center

\hspace{1cm} \emph{Ergebnistabelle}
\end{minipage}

\item Automatengraph

\smallskip

\begin{tabular}{l|c|l}
Bezeichnung & Symbol & Bedeutung \\
\hline
Knoten      & \textcircled{\ }  & Zustand \\
Zweige (Kanten) & $\longrightarrow$ & Zustandsübergänge
\end{tabular}

\bigskip

Zustandsgleichungen dargestellt durch:

\begin{center}  % hmpf, xypic-doku mal genauer lesen.. woher kommt der abstand?
$\entrymodifiers={+++[o][F-]}
\SelectTips{cm}{}
\xymatrix @=60pt {
\scriptstyle  \phantom{+}z(k)\phantom{+} \ar[r]^{x(k)|y(k)} 
& \scriptstyle z(k+1)}$
\end{center}
\end{enumerate}

\subsubsection*{Beispiel 1:}
 $X = \{0,1\},\ Y = \{0,1\},\ Z = \{\underbrace{(0,0)}_{0}, \underbrace{(0,1)}_{1}, \underbrace{(1,0)}_{2}, \underbrace{(1,1)}_{3}\}$

\bigskip

\begin{minipage}{11.5cm}
Automatentabelle (gegeben):
\end{minipage}
\begin{minipage}{4cm}
Automatengraph:
\end{minipage}

\begin{minipage}{11.5cm}

\qquad\begin{tabular}{c@{}c@{\hspace{1cm}}c@{}c}   % dafür sollte ich gekreuzigt werden!
& \hspace{0.55cm}  $\overbrace{\hspace{2cm}}^{\displaystyle Z}$
&& \hspace{0.55cm}  $\overbrace{\hspace{2cm}}^{\displaystyle Z}$\\
\raisebox{-6.5pt}{$X \left\{\vphantom{\Big|}\right.$}&
\begin{tabular}{c|cccc}
$f$ & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
0 & 2 & 3 & 1 & 3\\
1 & 1 & 0 & 2 & 0
\end{tabular}
& 
\raisebox{-6.5pt}{$X \left\{\vphantom{\Big|}\right.$}&
\begin{tabular}{c|cccc}
$g$ & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
1 & 0 & 0 & 1 & 1
\end{tabular}
\end{tabular}
\end{minipage}
\begin{minipage}{4cm}
\bigskip

\entrymodifiers={++[o][F-]}
\SelectTips{cm}{}
\xymatrix  {
*++[o][]{} & \ar@/_1pc/[dl]_{1|0} 1\ar[dd]^{\raisebox{-55pt}{$\scriptstyle 0|0$}}  \\
0 \ar[ur]_{1|0} \ar[rr]^{\hspace{30pt}0|0} &*++[o][]{} & 2 \ar[ul]_{0|0} \ar@(r,u)[]_{1|1}\\
*++[o][]{} & \ar[ul]^{1|1}3 \ar@(r,d)[]^{0|0}
}
\end{minipage}

Es sei $x = (1,0,1,0,0)$ und $z(0) = 1$.  Ablesen: $y = (0,0,1,0,0)$ und $z(5) = 3$.

\subsubsection*{Beispiel 2:}

\begin{description}
\item[gegeben:] Automatengraph
\item[gesucht:] Automatentabelle, Zustandsgleichungen, Schaltung
\end{description}

\begin{minipage}{6cm}
\entrymodifiers={++[o][F-]}
\SelectTips{cm}{}
\xymatrix  {
*++[o][]{} &  0 \ar@(l,u)[]^{0|1} \ar[dr]^{1|3}\\
1\ar@(l,d)_{0|1} \ar[ur]^{1|2} &*++[o][]{} & 3\ar@(r,d)[]^{0|3}\ar[dl]^{1|0} \\
*++[o][]{} & 2\ar@(l,d)_{0|1} \ar@(d,r)_{1|1} 
}
\end{minipage}
\begin{minipage}{10.8cm}
Automatentabelle:

\bigskip

\qquad\begin{tabular}{c@{}c@{\hspace{0.8cm}}c@{}c}   
& \hspace{0.55cm}  $\overbrace{\hspace{2cm}}^{\displaystyle Z}$
&& \hspace{0.55cm}  $\overbrace{\hspace{2cm}}^{\displaystyle Z}$\\
\raisebox{-6.5pt}{$X \left\{\vphantom{\Big|}\right.$}&
\begin{tabular}{c|cccc}
$f$ & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
0 & 0 & 1 & 2 & 3\\
1 & 3 & 0 & 2 & 2
\end{tabular}
& 
\raisebox{-6.5pt}{$X \left\{\vphantom{\Big|}\right.$}&
\begin{tabular}{c|cccc}
$g$ & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
0 & 1 & 1 & 1 & 3\\
1 & 3 & 2 & 1 & 0
\end{tabular}
\end{tabular}
\end{minipage}

\bigskip 

\begin{minipage}{5.5cm}
Wertetabelle

\bigskip

\begin{tabular}{c@{\hspace{5pt}}c@{\hspace{5pt}}|c@{\hspace{5pt}}c@{\hspace{5pt}}}
$z(k)$ & $x(k)$ & $z(k+1)$ & $y(k)$ \\
\hline
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 3 & 3 \\
1 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 0 & 2 \\
2 & 0 & 2 & 1 \\
2 & 1 & 2 & 1 \\
3 & 0 & 3 & 1 \\
3 & 1 & 2 & 0 
\end{tabular}
\end{minipage}
\begin{minipage}{9.8cm}
Dekodierte Wertetabelle 

\bigskip

\begin{tabular}{c@{\hspace{5pt}}c@{\hspace{5pt}}c@{\hspace{5pt}}|c@{\hspace{5pt}}c@{\hspace{5pt}}c@{\hspace{5pt}}c}
$z_1(k)$ & $z_2(k)$ & $x(k)$ & $z_1(k+1)$ & $z_2(k+1)$ & $y_1(k)$ & $y_2(k)$\\
\hline
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0
\end{tabular}
\end{minipage}

\bigskip

Zustandsgleichungen (aus \textsc{Karnaugh}-Diagramm):
\[\begin{array}{lll}
f_1: &z_1(k+1) &= z_1(k) \lor \overline{z_2(k)}\,x(k)\\
f_2: &z_2(k+1) &= z_2(k)\,\overline{x(k)} \lor \overline{z_1(k)}\,\overline{z_2(k)}\,x(k)\\
g_1: &y_1(k) &= \overline{z_1(k)}\,x(k) \lor z_1(k)\,z_2(k)\,\overline{x(k)}\\
g_2: &y_2(k) &= \overline{z_2(k)} \lor \overline{x(k)}
\end{array}
\]

\bigskip

Schaltung:
\begin{center}
\begin{picture}(370,115)
\multiput(30,75)(0,15){3}{\circle{2}}
\multiput(31,75)(0,15){3}{\line(1,0){305}}
\put(0,72){$x(k)$}
\put(0,87){$z_2(k)$}
\put(0,102){$z_1(k)$}
\multiput(5,0)(100,0){2}{
\multiput(40,105)(10,-15){3}{\circle*{2}}
\put(40,105){\line(0,-1){55}}
\put(50,90){\line(0,-1){40}}
\put(60,75){\line(0,-1){25}}
\multiput(35,20)(0,30){2}{\line(1,0){30}}
\multiput(35,20)(30,0){2}{\line(0,1){30}}
\put(50,10){\line(0,1){10}}
\put(50,10){\line(1,0){30}}
\multiput(80,00)(20,0){2}{\line(0,1){20}}
\multiput(80,00)(0,20){2}{\line(1,0){20}}
\put(100,10){\line(1,0){10}}
}
\put(53,1){$\scriptstyle z_1(k+1)$}
\put(153,1){$\scriptstyle z_2(k+1)$}
\put(108,1){$\scriptstyle z_1(k)$}
\put(208,1){$\scriptstyle z_2(k)$}
\put(115,10){\line(0,1){95}}
\put(115,105){\circle*{2}}
\put(215,10){\line(0,1){80}}
\put(215,90){\circle*{2}}

\multiput(205,0)(60,0){2}{
\multiput(40,105)(10,-15){3}{\circle*{2}}
\put(40,105){\line(0,-1){55}}
\put(50,90){\line(0,-1){40}}
\put(60,75){\line(0,-1){25}}
\multiput(35,20)(0,30){2}{\line(1,0){30}}
\multiput(35,20)(30,0){2}{\line(0,1){30}}
\put(50,10){\line(0,1){10}}
}
\put(255,-5){\line(0,1){20}}
\put(255,-5){\line(1,0){80}}
\put(315,10){\line(1,0){20}}
\multiput(336,-5)(0,15){2}{\circle{2}}
\put(339,-8){$y_1(k)$}
\put(339,7){$y_2(k)$}
\put(50,33){$f_1$}
\put(91,6){$S$}
\put(150,33){$f_2$}
\put(191,6){$S$}
\put(251,33){$g_1$}
\put(311,33){$g_2$}
\end{picture}
\end{center}

\subsubsection{Spezielle Automaten}

\paragraph*{Allgemeiner Fall:} \textsc{Mealy}-Automat

\begin{minipage}{7.5cm}
\begin{picture}(175,60)
\put(8,17){$x(k)$}
\put(30,20){\vector(1,0){20}}
\multiput(0,0)(55,0){2}{
\multiput(50,15)(0,25){2}{\line(1,0){25}}
\multiput(50,15)(25,0){2}{\line(0,1){25}}}
\multiput(75,27.5)(55,0){2}{\vector(1,0){30}}
\put(77,17){$\scriptstyle z(k+1)$}
\put(137,17){$\scriptstyle z(k)$}
\multiput(160,7.5)(0,25){2}{\line(1,0){25}}
\multiput(160,7.5)(25,0){2}{\line(0,1){25}}
\put(145,27.5){\circle*{2}}
\put(145,27.5){\line(0,1){20}}
\put(145,47.5){\line(-1,0){105}}
\put(40,47.5){\line(0,-1){12.5}}
\put(40,35){\vector(1,0){10}}
\put(40,20){\circle*{2}}
\put(40,20){\line(0,-1){7.5}}
\put(40,12.5){\vector(1,0){120}}
\put(185,20){\vector(1,0){20}}
\put(208,17){$y(k)$}
\put(58,24.5){$f$}
\put(113,24.5){$S$}
\put(170,17.5){$g$}
\end{picture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{7.5cm}
\[\begin{array}{lll}z(k+1)&=&f[z(k),x(k)]\\y(k)&=&g[z(k),x(k)]\end{array}\]
\end{minipage}

\paragraph*{Sonderfälle:}
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})}
\item \textsc{Moore}-Automat

\begin{minipage}{7.5cm}
\begin{picture}(175,60)
\put(8,17){$x(k)$}
\put(30,20){\vector(1,0){20}}
\multiput(0,0)(55,0){2}{
\multiput(50,15)(0,25){2}{\line(1,0){25}}
\multiput(50,15)(25,0){2}{\line(0,1){25}}}
\multiput(75,27.5)(55,0){2}{\vector(1,0){30}}
\put(77,17){$\scriptstyle z(k+1)$}
\put(137,17){$\scriptstyle z(k)$}
\multiput(160,15)(0,25){2}{\line(1,0){25}}
\multiput(160,15)(25,0){2}{\line(0,1){25}}
\put(145,27.5){\circle*{2}}
\put(145,27.5){\line(0,1){20}}
\put(145,47.5){\line(-1,0){105}}
\put(40,47.5){\line(0,-1){12.5}}
\put(40,35){\vector(1,0){10}}
\put(185,27.5){\vector(1,0){20}}
\put(208,24.5){$y(k)$}
\put(58,24.5){$f$}
\put(113,24.5){$S$}
\put(170,24.5){$g$}
\end{picture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{7.4cm}
\[\begin{array}{lll}z(k+1)&=&f[z(k),x(k)]\\y(k)&=&g[z(k)]\end{array}\]
\end{minipage}

\item \textsc{Medwedjew}-Automat

\begin{minipage}{7.5cm}
\begin{picture}(175,60)
\put(8,17){$x(k)$}
\put(30,20){\vector(1,0){20}}
\multiput(0,0)(55,0){2}{
\multiput(50,15)(0,25){2}{\line(1,0){25}}
\multiput(50,15)(25,0){2}{\line(0,1){25}}}
\multiput(75,27.5)(55,0){2}{\vector(1,0){30}}
\put(77,17){$\scriptstyle z(k+1)$}
\put(137,17){$\scriptstyle z(k)$}
\put(145,27.5){\circle*{2}}
\put(145,27.5){\line(0,1){20}}
\put(145,47.5){\line(-1,0){105}}
\put(40,47.5){\line(0,-1){12.5}}
\put(40,35){\vector(1,0){10}}
\put(163,24.5){$y(k)$}
\put(58,24.5){$f$}
\put(113,24.5){$S$}
\end{picture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{7.4cm}
\[\begin{array}{lll}z(k+1)&=&f[z(k),x(k)]\\y(k)&=&z(k)\end{array}\]
\end{minipage}

\item Autonomer Automat (Generator)

\begin{minipage}{7.5cm}
\begin{picture}(175,60)
\multiput(0,0)(55,0){2}{
\multiput(50,15)(0,25){2}{\line(1,0){25}}
\multiput(50,15)(25,0){2}{\line(0,1){25}}}
\multiput(75,27.5)(55,0){2}{\vector(1,0){30}}
\put(77,17){$\scriptstyle z(k+1)$}
\put(137,17){$\scriptstyle z(k)$}
\multiput(160,15)(0,25){2}{\line(1,0){25}}
\multiput(160,15)(25,0){2}{\line(0,1){25}}
\put(145,27.5){\circle*{2}}
\put(145,27.5){\line(0,1){20}}
\put(145,47.5){\line(-1,0){105}}
\put(40,47.5){\line(0,-1){20}}
\put(40,27.5){\vector(1,0){10}}
\put(185,27.5){\vector(1,0){20}}
\put(208,24.5){$y(k)$}
\put(58,24.5){$f$}
\put(113,24.5){$S$}
\put(170,24.5){$g$}
\end{picture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{7.4cm}
\[\begin{array}{lll}z(k+1)&=&f[z(k)]\\y(k)&=&g[z(k)]\end{array}\]
\end{minipage}
\end{enumerate}
\textbf{NB:} Bei allen Automaten muß der Zustand $z(0)$ bekannt sein.

\subsection{Wortabbildungen}
\subsubsection{Abbildungsfamilie}

Zustandsgleichungen $\to$ Schema der Wortabbildung:

\begin{center}
\begin{tabular}{c}
$\overbrace{\hspace{10cm}}^{\displaystyle \text{Eingabewort }x}$ \hspace{0.7cm} \\
\SelectTips{cm}{}
$\xymatrix{
 & x(0) \ar[d]& & x(1) \ar[d]&&& x(N)\ar[d]\\
z(0) \ar[r] & f,g\ar[d] \ar[r] & z(1) \ar[r] & f,g \ar[d]\ar[r] & z(2) \ar[r]^{\hspace{-5pt}\displaystyle\cdots} & z(N) \ar[r] & f,g \ar[d]\ar[r] & z(N+1)\\
 & y(0) & & y(1) &&& y(N)
}$\\
\raisebox{6pt}{$\underbrace{\hspace{10cm}}_{\displaystyle \text{Ausgabewort }y}$ \hspace{0.7cm} }
\end{tabular}
\end{center}

\paragraph{Diskussion:}
\begin{enumerate}
\item Eingabewort und Ausgabewort haben die gleiche Länge, $L(x) = L(y)$
\item Der Ausgabebuchstabe $y(k)$ hängt von $x(k), x(k-1),\ldots , x(0)$ ab, nicht aber von $x(k+1),$ $x(k+2), \ldots$ (Kausalität).
\item Das Ausgabewort $y$ hängt vom Anfangszustand $z(0)$ ab. 
\end{enumerate}

\paragraph{Definitionen:}
\begin{enumerate}
\item Die Abbildung
\[\Phi_{z_0} : X^* \to Y^*, \qquad \Phi_{z_0}(x) = y\]
heißt vom Anfangszustand $z_0 = z(0) \in Z$ erzeugte \emph{Wortabbildung}.

\item Jedem \textsc{Mealy}-Automaten ist eine \emph{Abbildungsfamilie}
\[\underline{\Phi} = \{\Phi_{z_0} | z_0 \in Z\}\]
zugeordnet.
\end{enumerate}

\subsubsection{Eigenschaften der Wortabbildung}

\paragraph{Definition:} Sind $x' = (x'(0),\,x'(1),\, \ldots , x'(r))$ und $x'' = (x''(0),\,x''(1),\, \ldots \, , x''(s))$ zwei Wörter aus $X^*$, so heißt das Wort\[x' \circ x'' = (x'(0),\,x'(1),\, \ldots \, , x'(r),\,x''(0),\,x''(1),\, \ldots \, , x''(s)) \in X^*\]
\emph{Verkettungsprodukt} (\emph{Konkatenationsprodukt}) von $x'$ und $x''$.
\begin{description}
\item[Beachte:] Eine Wortabbildung $\Phi_{z_0} : X^* \to Y^*$ ist durch einen \textsc{Mealy}-Automaten realisierbar, falls gilt:
\begin{enumerate}
\item $L(x) = L(y)$
\item $\Phi_{z_0}(x' \circ x'')  = \underbrace{\Phi_{z_0}(x')}_{y'} \circ \underbrace{\Phi_{{z_0}'}(x'')}_{y''}$ \quad (${z_0}'$ : Zustand nach Eingabe von $x'$)
\end{enumerate}
\end{description}

\subsubsection{Autonomer Automat}

Wir betrachten \textsc{Mealy}-Automaten mit konstanter Eingabe.

\paragraph{Beispiel:} Es sei $z(0) = 0$

\bigskip

\begin{minipage}{8cm}
\entrymodifiers={++[o][F-]}
\SelectTips{cm}{}
\xymatrix  {
*++[o][]{} &  1 \ar[dd]_{\raisebox{-1.3cm}{$\scriptstyle 0|0$}}\ar@(l,u)[]^{1|1}\\
0 \ar[rr]^{\hspace{1cm}0|0} \ar[ur]^{1|0}  &*++[o][]{} & 2\ar@(r,d)[]^{1|0}\ar[ul]_{0|0} \\
*++[o][]{} & 3 \ar[ur]_{0|1} \ar[ul]^{1|0}
}
\end{minipage}
\begin{minipage}{10.8cm}
\begin{description}
\item[Fall I:] $x = (0,\,0,\,0,\,0,\, \ldots)$

$z = (0,\, 2,\, 1,\, 3,\, 2,\, 1,\, 3,\, 2,\, 1,\, \ldots)$

$y = (-,\,0,\,\underbrace{0,\,1,\,1,}_{\text{"`Zyklus"'}}\,0,\,1,\,1,\,0,\, \ldots)$ \quad periodische Folge
\item[Fall II:] $x = (1,\,1,\,1,\,1,\, \ldots)$

$z = (0,\,1,\,1,\,1,\,1,\,1,\,1,\,1,\,\ldots)$

$y = (-,\,0,\,\underbrace{1,\,1,\,1,\,1,\,1}_{\text{"`Fixpunkt"'}},\,\ldots)$ \quad konstante Folge
\end{description}
\end{minipage}

\subsubsection*{Verhaltensformen des endlichen autonomen Automaten}
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{\Roman{enumi})} 
\item Da bei $|Z| = 2^n$ nach spätestens $2^n-1$ Takten alle Zustände ausgeschöpft sind, wird spätestens im Takt $2^n$ ein bereits durchlaufener Zustand erreicht.
\[z(k+s) = z(k), \qquad \text{ für } 1 < s < z^n\]
$s$: Periodendauer
\item Nach $r$ Takten wird ein konstanter Endzustand (Fixpunkt) erreicht:
\[z(k+1) = z(k), \qquad \text{ für } k > r\]
(An Schlingen im Graphen erkennbar.)
\end{enumerate}

\setcounter{secnumdepth}{-1}
\chapter{Teil 2: Zeitkontinuierliche Systeme}
\setcounter{secnumdepth}{3}

\section{Zeitkontinuierliche Signale und Systeme}
\subsection{Signalbeschreibung im Zeitbereich}
\subsubsection{Zeitkontinuierliche Signale}

\begin{description}
\item[Festlegungen:] \quad\\ 
\begin{tabular}{ll}
Zeitskala: & $\subseteq \mathbb R$\\
Sonderfälle: & $T = \mathbb R$\\
& $T = \mathbb R^+ = [0,\infty)$\\
Alphabet:& $X = \mathbb C$\\
Sonderfall:& $X = \mathbb R$
\end{tabular}

\item[Definition:] Ein \emph{zeitkontinuierliches Signal} ist eine Abbildung $x: T \to X$, durch die jedem Zeitpunkt $t \in T$ ein \emph{Signalwert} $x(t) \in X$ zugeordnet ist.
\item[Sonderfall:] $x:T \to \mathbb R$ reelles zeitkontinuierliches Signal oder \emph{analoges Signal}.

\item[Beispiel:] \quad\\
\begin{picture}(150,80)
\put(0,15){\vector(1,0){150}}
\put(50,10){\vector(0,1){70}}

\thicklines
\put(5,15){\line(1,0){45}}
\qbezier(50,60)(70,17)(120,17)
\put(30,68){$x(t)$}
\put(140,5){$t$}
\put(70,45){$e^{-at},\ 0 < a < 1$}
\end{picture}
\end{description}

\subsubsection{Signaloperationen}

\subsubsection*{Einstellige Operationen}

\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{\alph{enumi})}
\begin{minipage}{7cm}
\item Skalarmultiplikation

\[y(t) = \alpha \cdot x(t)\]

\vspace{1.5cm}
\end{minipage}
\begin{minipage}{7cm}
\begin{picture}(120,80)
\put(0,15){\vector(1,0){120}}
\put(40,10){\vector(0,1){70}}
\put(110,5){$t$}
\put(18,65){$x(t)$}
\put(44,65){$y(t)$}
\thicklines
\put(5,15){\line(1,0){35}}
\put(40,15){\line(1,1){20}}
\put(60,35){\line(1,-1){20}}
\put(40,15){\line(1,2){20}}
\put(60,55){\line(1,-2){20}}
\put(80,15){\line(1,0){30}}
\put(52,22){$\scriptstyle x(t)$}
\put(68,45){$\scriptstyle y(t)$}
\end{picture}
\end{minipage}

\begin{minipage}{7cm}
\item Translation

\[y = S^{\tau}(x)\]
\[y(t) = x(t-\tau)\]

\hspace{1.4cm}

\end{minipage}
\begin{minipage}{7cm}
\begin{picture}(120,80)
\put(0,15){\vector(1,0){120}}
\put(40,10){\vector(0,1){70}}
\put(110,5){$t$}
\put(18,65){$x(t)$}
\put(44,65){$y(t)$}
\thicklines
\put(5,15){\line(1,0){75}}
\multiput(0,0)(25,0){2}{
\put(40,15){\line(1,1){20}}
\put(60,35){\line(1,-1){20}}}
\put(80,15){\line(1,0){35}}
\put(53,39){$\scriptstyle x(t)$}
\put(78,39){$\scriptstyle y(t)$}
\end{picture}
\end{minipage}

\begin{minipage}{7cm}
\item Differentiation

\[y = D(x)\]
\[y(t) = \frac{dx(t)}{dt}\]

\hspace{1.4cm}

\end{minipage}
\begin{minipage}{7cm}
\begin{picture}(120,80)
\put(0,15){\vector(1,0){120}}
\put(40,10){\vector(0,1){70}}
\put(110,5){$t$}
\put(18,65){$x(t)$}
\put(44,65){$y(t)$}
\thicklines
\put(5,15){\line(1,0){35}}
\qbezier(40,15)(80,15)(100,70)
\put(40,15){\line(3,2){65}}

\put(80,28){$\scriptstyle x(t)$}
\put(55,38){$\scriptstyle y(t)$}
\end{picture}
\end{minipage}

\begin{minipage}{7cm}
\item Integration

\[y = D^{-1}(x)\]
\[y(t) = \int\limits_{-\infty}^t x(\tau)\,d\tau\]

\hspace{1.4cm}

\end{minipage}
\begin{minipage}{7cm}
\begin{picture}(120,80)
\put(0,15){\vector(1,0){120}}
\put(40,10){\vector(0,1){70}}
\put(110,5){$t$}
\put(18,65){$x(t)$}
\put(44,65){$y(t)$}
\thicklines
\put(5,15){\line(1,0){60}}
\put(65,45){\line(1,0){20}}
\put(85,15){\line(1,0){20}}
\put(65,15){\line(1,2){20}}
\put(85,55){\line(1,0){20}}
\multiput(65,15)(0,4){8}{\line(0,1){2}}
\multiput(85,15)(0,4){8}{\line(0,1){2}}
\put(50,48){$\scriptstyle x(t)$}
\put(88,59){$\scriptstyle y(t)$}
\end{picture}
\end{minipage}
\end{enumerate}

\subsubsection*{Zweistellige Operationen}

\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{\alph{enumi})}
\item Signaladdition: \quad $y(t) = x_1(t) + x_2(t)$

\item Signalmultiplikation: \quad $y(t) = x_1(t) \cdot x_2(t)$

\item Faltung: \quad $y = x_1 * x_2$
\begin{align*}
y(t) &= (x_1 * x_2)(t)\\
     &= \int\limits_{-\infty}^{\infty} x_1(\tau) \cdot x_2(t-\tau)\,d\tau
     = \int\limits_{-\infty}^{\infty} x_2(\tau) \cdot x_1(t-\tau)\,d\tau\\
     &= (x_2 * x_1)(t) \qquad \Rightarrow \text{Faltung ist kommutativ!}
\end{align*}

Sonderfall: $x_1(t) = 0$ für $t < 0$, $x_2(t) = 0$ für $t < 0$.
\[y(t) = (x_1 * x_2)(t) = \int\limits_0^t \underbrace{x_1(\tau)}_{0 \text{ für } \tau < 0} \cdot \underbrace{x_2(t-\tau)}_{0 \text{ für }\tau > t}\,d\tau\]
\end{enumerate}

\subsubsection*{Veranschaulichung am Beispiel}

\begin{picture}(120,80)
\put(0,15){\vector(1,0){120}}
\put(40,10){\vector(0,1){70}}
\put(13,68){$x_1(\tau)$}
\put(110,5){$\tau$}
\thicklines
\put(5,15){\line(1,0){35}}
\qbezier(40,15)(50,40)(70,40)
\qbezier(70,40)(78,40)(82,30)
\qbezier(82,30)(90,18)(110,15)
\end{picture}

\begin{minipage}{5cm}
\begin{picture}(120,80)
\put(0,15){\vector(1,0){120}}
\put(40,10){\vector(0,1){70}}
\put(13,68){$x_2(\tau)$}
\put(110,5){$\tau$}
\thicklines
\put(5,15){\line(1,0){35}}
\put(40,15){\line(1,1){20}}
\put(60,35){\line(1,-1){10}}
\put(70,25){\line(1,1){20}}
\end{picture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{5cm}
\begin{picture}(120,80)
\put(0,15){\vector(1,0){120}}
\put(40,10){\vector(0,1){70}}
\put(0,68){$x_2(\tau\!-\!t)$}
\put(110,5){$\tau$}
\put(60,13){\line(0,1){4}}
\put(58,4){$t$}
\thicklines
\put(5,15){\line(1,0){55}}
\put(60,15){\line(1,1){20}}
\put(80,35){\line(1,-1){10}}
\put(90,25){\line(1,1){20}}
\end{picture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{5cm}
\begin{picture}(120,80)
\put(0,15){\vector(1,0){120}}
\put(40,10){\vector(0,1){70}}
\put(0,68){$x_2(\tau\!-\!t)$}
\put(110,5){$\tau$}
\put(60,13){\line(0,1){4}}
\put(58,4){$t$}
\thicklines
\put(110,15){\line(-1,0){50}}
\put(60,15){\line(-1,1){20}}
\put(40,35){\line(-1,-1){10}}
\put(30,25){\line(-1,1){20}}
\end{picture}
\end{minipage}

\begin{minipage}{6cm}
\begin{picture}(120,80)
\put(0,15){\vector(1,0){120}}
\put(40,10){\vector(0,1){70}}
\put(13,68){$x_1(\tau)$}
\put(43,68){$x_2(\tau\!-\!t)$}
\put(110,5){$\tau$}
\put(60,13){\line(0,1){4}}
\put(58,4){$t$}
\put(110,15){\line(-1,0){50}}
\put(60,15){\line(-1,1){20}}
\put(40,35){\line(-1,-1){10}}
\put(30,25){\line(-1,1){20}}
\put(5,15){\line(1,0){35}}
\qbezier(40,15)(50,40)(70,40)
\qbezier(70,40)(78,40)(82,30)
\qbezier(82,30)(90,18)(110,15)
\thicklines
\qbezier(40,15)(42,23)(47,23)
\qbezier(47,23)(52,23)(60,15)
\thinlines
\qbezier(41,15)(41,15)(48.5,22.5)
\qbezier(45,15)(45,15)(51.5,21.5)
\qbezier(49,15)(49,15)(54.5,20.5)
\qbezier(53,15)(53,15)(56,18)
\end{picture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{6cm}

\bigskip        % das sieht alles scheisse aus

\begin{picture}(28,10)
\thicklines
\put(0,2.5){\line(1,0){25}}
\end{picture} 
: $x_1(\tau) \cdot x_2(t-\tau)$

\bigskip

\begin{picture}(28,10)
\multiput(0,0)(4,0){6}{\qbezier(0,0)(6,6)(6,6)}
\end{picture} 
: $y(t) = \int\limits_0^t x_1(\tau) \cdot x_2(t-\tau)\,d\tau$
\end{minipage}

\subsubsection{Spezielle Signale}

\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})}
\item Sprungsignal

\begin{minipage}{5cm}
\begin{picture}(120,80)
\put(0,15){\vector(1,0){120}}
\put(40,10){\vector(0,1){70}}
\multiput(38,35)(0,20){2}{\line(1,0){4}}
\put(30,32){$\frac 1 2$}
\put(31,52){$1$}
\put(110,5){$t$}
\thicklines
\put(5,15){\line(1,0){35}}
\put(40,55){\line(1,0){50}}
\put(40,35){\circle*{2}}
\put(20,68){$\mathbbm 1(t)$}
\end{picture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{5cm}
\[\mathbbm 1 (t) = \left\{\begin{array}{lll}1 &\text{für}& t >0 \\ \frac{1}{2} &\text{für}& t = 0\\ 0 &\text{für}& t < 0\end{array}\right. \]

\bigskip
\end{minipage}

\item Rampensignal


\begin{minipage}{5cm}
\begin{picture}(120,80)
\put(0,15){\vector(1,0){120}}
\put(40,10){\vector(0,1){70}}
\thicklines
\put(5,15){\line(1,0){35}}
\put(40,15){\line(1,1){45}}
\put(20,68){$r(t)$}
\put(110,5){$t$}
\end{picture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{9cm}
\[r = D^{-1}(\mathbbm 1)\]
\[r(t) = \int\limits_{-\infty}^{t} \mathbbm 1(\tau) \, d\tau = \left\{\begin{array}{lll}t & \text{für} & t \geq 0\\0 & \text{für} & t < 0\end{array}\right.\]
\[r(t) = t \cdot \mathbbm 1(t)\]
\end{minipage}

\item Rechtecksignal
\[x(t) = a \cdot \mathbbm 1(t+\tau) - a \cdot \mathbbm 1(t-\tau)\]
\begin{center}
\begin{minipage}{5cm}
\center
\begin{picture}(120,80)
\put(0,45){\vector(1,0){120}}
\put(60,10){\vector(0,1){70}}
\thicklines
\put(5,45){\line(1,0){70}}
\put(40,65){\line(1,0){75}}
\put(80,25){\line(1,0){35}}
\thinlines
\put(59,25){\line(1,0){2}}
\put(43,22){$-a$}
\put(39,70){$x(t)$}
\put(63,68){$a$}
\put(110,35){$t$}
\multiput(40,44)(40,0){2}{\line(0,1){2}}
\put(32,35){$-\tau$}
\put(77,35){$\tau$}
\multiput(40,55)(40,0){2}{\circle*{2}}
\end{picture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{1cm}
\center
\raisebox{8pt}{$\Rightarrow$}
\end{minipage}
\begin{minipage}{5cm}
\center
\begin{picture}(120,80)
\put(0,45){\vector(1,0){120}}
\put(60,10){\vector(0,1){70}}
\multiput(40,55)(40,0){2}{\circle*{2}}
\thicklines
\multiput(5,45)(75,0){2}{\line(1,0){35}}
\put(40,65){\line(1,0){40}}
\thinlines
\put(39,70){$x(t)$}
\put(63,68){$a$}
\put(110,35){$t$}
\multiput(40,44)(40,0){2}{\line(0,1){2}}
\put(32,35){$-\tau$}
\put(77,35){$\tau$}
\end{picture}
\end{minipage}
\end{center}
\[x(t) = \left\{ \begin{array}{lll}a & \text{für} & -\tau < t < \tau \\ \frac a 2 & \text{für} & t = \pm \tau\\ 0 & \text{sonst}\end{array}\right.\]

\item Impulssignal, \textsc{Dirac}-Impuls

Aus (c) erhält man für $\tau = \varepsilon$ und $a = \frac 1 {2 \varepsilon}$ das "`schmale Rechtecksignal"' $\delta_{\varepsilon}$

\begin{center}
\begin{minipage}{5cm}
\center
\begin{picture}(120,80)
\put(0,45){\vector(1,0){120}}
\put(60,10){\vector(0,1){70}}
\thicklines
\multiput(5,45)(60,0){2}{\line(1,0){50}}
\put(55,65){\line(1,0){10}}
\thinlines
\put(35,70){$\delta_{\varepsilon}(t)$}
\put(68,63){$\frac 1 {2 \varepsilon}$}
\put(110,35){$t$}
\multiput(55,44)(10,0){2}{\line(0,1){2}}
\put(45,35){$-\tau$}
\put(62,35){$\tau$}
\end{picture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{1cm}
\center
\raisebox{17pt}{$\stackrel{\varepsilon \to 0}{\Longrightarrow}$}
\end{minipage}
\begin{minipage}{5cm}
\center
\begin{picture}(120,80)
\put(0,45){\vector(1,0){120}}
\put(60,10){\vector(0,1){70}}
\thicklines
\put(5,45){\line(1,0){110}}
\put(60,45){\vector(0,1){20}}
\thinlines
\put(35,70){$\delta_{\varepsilon}(t)$}
\put(110,35){$t$}
\end{picture}
\end{minipage}
\end{center}
\begin{minipage}{9.5cm}
\boxed{\quad \delta(t) = \left\{\begin{array}{lll}0 & \text{für} & t \ne 0\\\infty & \text{für} & t = 0\end{array}\right. \quad \text{mit} \quad \int\limits_{-\infty}^{\infty} \delta(t) \, dt = 1 \quad} 
\end{minipage}
\begin{minipage}{5cm}
\center 
Impulssignal, \textsc{Dirac}-Impuls,

"`Delta-Funktion"'
\end{minipage}

\subsubsection*{Diskussion:}
\begin{itemize}
\item $\lim\limits_{\varepsilon \to 0} \delta_{\varepsilon} = \infty\ \Rightarrow$ existiert nicht
\item $\lim\limits_{\varepsilon \to 0} \int\limits_{-\infty}^{\infty} \delta_{\varepsilon} (t) \cdot f(t) \, dt = f(0)$ exisitiert

kurz: \boxed{\quad \int\limits_{-\infty}^{\infty} \delta(t) \cdot f(t) \, dt = f(0)\quad} Ausblendeeigenschft der \textsc{Dirac}-Funktion
\end{itemize}


\item Harmonisches Signal

\smallskip

\begin{minipage}{5cm}
\center
\begin{picture}(120,80)
\put(0,45){\vector(1,0){120}}
\put(60,10){\vector(0,1){70}}
\thicklines
\multiput(0,0)(80,0){2}{\qbezier(5,65)(15,65)(25,45)}
\qbezier(25,45)(35,25)(45,25)
\qbezier(45,25)(55,25)(65,45)
\qbezier(65,45)(75,65)(85,65)
\thinlines
\put(39,70){$x(t)$}
\put(110,35){$t$}
\end{picture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{5cm}
\[x(t) = \hat X \cdot \cos(\omega t + \varphi_x)\]

\bigskip
\end{minipage}
\end{enumerate}

\subsubsection{Signale allgemeineren Typs}

\begin{minipage}{9.7cm}
\subsubsection*{Definitionen:}
\begin{enumerate}
\item Ein Signal heißt \emph{stückweise stetig}, wenn in jedem endlichen Teilintervall gilt:
\begin{enumerate}
\item $x$ ist stetig für alle $t \ne \tau_i\ (i = 1,\,\ldots,\,n)$
\item $\lim\limits_{\varepsilon \to 0} x(\tau_i \pm \varepsilon)$ existieren (kurz $x(\tau \pm 0)$)
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{minipage}
\begin{minipage}{6cm}
\quad
\begin{picture}(150,105)
\put(75,0){\vector(0,1){100}}
\put(0,50){\vector(1,0){150}}
\multiput(30,4)(0,4){9}{\line(0,1){2}}
\multiput(100,4)(0,4){9}{\line(0,1){2}}
\multiput(120,4)(0,4){9}{\line(0,1){2}}
\multiput(30,49)(0,4){12}{\line(0,1){2}}
\multiput(100,49)(0,4){12}{\line(0,1){2}}
\multiput(120,49)(0,4){12}{\line(0,1){2}}
\put(24,42){$\tau_{i-1}$}
\put(95,42){$\tau_{i}$}
\put(114,42){$\tau_{i+1}$}
\put(143,40){$t$}
\qbezier(2,55)(20,58)(30,70)
\qbezier(30,15)(75,40)(100,80)
\qbezier(100,70)(105,75)(110,45)
\qbezier(110,45)(115,20)(120,25)
\qbezier(120,70)(130,80)(145,80)
\end{picture}
\end{minipage}

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
\item Ein Signal heißt \emph{stückweise glatt}, wenn (a) und (b) auch für $\dot{x}$ gelten.
\end{enumerate}

\subsubsection{Interpolation abgetasteter Signale}

\subsubsection*{a) Interpolationsproblem}

\begin{minipage}{7.8cm}
\center

Zeitkontinuierliches Signal

\begin{picture}(130,145)
\put(20,50){\vector(0,1){85}}
\put(5,55){\vector(1,0){125}}
\put(0,125){$x(t)$}
\qbezier(10,100)(35,120)(60,95)
\qbezier(60,95)(85,70)(110,90)
\put(120,44){$t$}
\end{picture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{7.8cm}
\center

Äquidistante Abtastung

\begin{picture}(130,145)
\put(20,50){\vector(0,1){85}}
\put(05,55){\vector(1,0){125}}
\put(0,125){$x(t)$}
\put(120,44){$t$}
\put(10,54){\line(0,1){46}}
\put(20,54){\line(0,1){52}}
\put(30,50){\line(0,1){59}}
\put(40,54){\line(0,1){54}}
\put(50,54){\line(0,1){49}}
\put(60,54){\line(0,1){41}}
\put(70,54){\line(0,1){33}}
\put(80,54){\line(0,1){28}}
\put(90,54){\line(0,1){27}}
\put(100,54){\line(0,1){30}}
\put(110,54){\line(0,1){36}}
\put(10,100){\circle*{2}}
\put(20,106){\circle*{2}}
\put(30,109){\circle*{2}}
\put(40,108){\circle*{2}}
\put(50,103){\circle*{2}}
\put(60,95){\circle*{2}}
\put(70,87){\circle*{2}}
\put(80,82){\circle*{2}}
\put(90,81){\circle*{2}}
\put(100,84){\circle*{2}}
\put(110,90){\circle*{2}}
\put(20,50){\vector(1,0){10}}
\put(30,50){\vector(-1,0){10}}
\put(20,40){$\scriptstyle \Delta t$}

\put(20,35){\vector(1,0){110}}
\multiput(20,34)(10,0){9}{\line(0,1){2}}
\put(18,24){$0$}
\put(27.7,24){$1$}
\put(37.5,24){$2$}
\put(47,24){$\cdots$}
\put(120,24){$k$}
\put(30,5){$x(k) = x(t) \Big|_{t=k\cdot \Delta k}$}
\end{picture}
\end{minipage}

\paragraph{Aufgabe:} Zwischenwerte interpolieren, Abtastwerte unverändert lassen

\subsubsection*{b) Ansatz: Lagrangesche Interpolationsformel}

\begin{minipage}{5.8cm}
\begin{picture}(140,100)
\put(20,10){\vector(0,1){90}}
\put(15,15){\vector(1,0){125}}
\put(0,90){$x(t)$}
\put(40,14){\line(0,1){2}}
\put(80,14){\line(0,1){2}}
\put(110,14){\line(0,1){2}}
\put(37,4){$t_1$}
\put(77,4){$t_2$}
\put(107,4){$t_3$}
\put(131,4){$t$}
\qbezier(20,75)(80,35)(115,60)
\put(40,63){\circle*{2}}
\put(80,50.5){\circle*{2}}
\put(110,56.5){\circle*{2}}
\put(34,69){$x(t_1)$}
\put(73,56){$x(t_2)$}
\put(102,64){$x(t_3)$}
\end{picture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{10cm}
\begin{align*}
x(t) &= x(t_1) \cdot \frac{(t-t_2)(t-t_3)}{(t_1-t_2)(t_1-t_3)}& \text{bei } t_1 = 1,\ t_2\text{ und }t_3 = 0\\
     &+\, x(t_2) \cdot \frac{(t-t_1)(t-t_3)}{(t_2-t_1)(t_2-t_3)}\vphantom{\Bigg|}& \text{bei } t_2 =1,\ t_1\text{ und }t_3 = 0\\
     &+\, x(t_3) \cdot \frac{(t-t_1)(t-t_2)}{(t_3-t_1)(t_3-t_2)}& \text{bei } t_3 = 1,\ t_1\text{ und }t_2 = 0
\end{align*}

\smallskip
\end{minipage}

\subsubsection*{Verallgemeinerung auf $K$ Messwerte:}
\[x(t) = \sum\limits_{k=1}^{K} x(t_k) \cdot \frac{(t-t_1) \cdots (t-t_{k-1})(t-t_{k+1}) \cdots (t-t_K)}{(t_k+t_1)\cdots(t_K-t_{k-1})(t_k-t_{k+1}) \cdots (t_k-t_K)}\]

mit $P_K(t) = (t-t_1)(t-t_2) \cdots (t-t_K)$:

\begin{center}
\boxed{\quad x(t) =  \sum\limits_{k=1}^{K} x(t_k) \cdot \frac{P_K(t)}{(t-t_k)\cdot {P_K}'(t_k)} \quad}
\end{center}

$P_K(t) = t_1\cdot t_2 \cdot \cdots \cdot t_K \cdot \underbrace{\scriptstyle\left(\frac t {t_1}-1\right) \left(\frac t {t_2}-1\right) \cdots \left(\frac t {t_K}-1\right)   }_{Q_K(t)}$

\begin{center}
\boxed{\quad x(t) =  \sum\limits_{k=1}^{K} x(t_k) \cdot \frac{Q_K(t)}{(t-t_k)\cdot {Q_K}'(t_k)} \quad}
\end{center}

\subsubsection*{c) Lagrange-Interpolation für äquidistante Abtastwerte}

$t_k = k \cdot \Delta t, \quad (k \text{ ganz}), \quad K \to \infty$

\begin{align*}
Q_{\infty}(t) &= \cdots \left(\frac t {-k\cdot \Delta t} - 1\right) \cdots \left(\frac t {-\Delta t} - 1\right) \cdot t \cdot \left(\frac t {\Delta t} - 1 \right) \cdots \left(\frac t {k\cdot \Delta t} - 1\right) \cdots \\
 &= t \cdot \prod\limits_{k=1}^{\infty}\left(1 - \frac{t^2}{k^2 \cdot \Delta t^2}\right) = \sin \frac{\pi}{\Delta t} \cdot t
\end{align*}

Einsetzen in das Ergebnis von b):

\begin{align*}
x(t) &= \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty} x(k \cdot \Delta t) \frac{\sin \frac{\pi}{\Delta t} \cdot t}{(t-k\cdot \Delta t) \cdot \frac{\pi}{\Delta t} \cdot \underbrace{\cos \frac{\pi}{\Delta t} \cdot k \cdot \Delta t}_{-1^k}}\\
&= \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty} x(k \cdot \Delta t) \frac{-1^k \cdot \sin \frac{\pi}{\Delta t} \cdot t}{(t-k\cdot \Delta t) \cdot \frac{\pi}{\Delta t}}=
\sum\limits_{k=-\infty}^{\infty} x(k \cdot \Delta t) \frac{\sin(\frac{\pi}{\Delta t} \cdot t - k \cdot \pi)}{(t-k\cdot \Delta t) \cdot \frac{\pi}{\Delta t}}\\
&= \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty} x(k \cdot \Delta t) \frac{\sin(\frac{\pi}{\Delta t} \cdot (t - k \cdot \Delta t))}{\frac{\pi}{\Delta t} \cdot (t-k\cdot \Delta t}
\end{align*}


(Abtastreihe, Samplingreihe)

\subsubsection*{d) Interpretation der Samplingreihe}

Aufbaufunktion vom Typ $\dfrac{\sin \alpha}{\alpha} = \mathrm{si}\,\alpha$

\begin{center}
\begin{picture}(360,120)
\put(0,30){\vector(1,0){360}}
\put(180,0){\vector(0,1){120}}
\multiput(20,29)(40,0){9}{\line(0,1){2}}
\put(178,100){\line(1,0){4}}
% rechte hälfte
\qbezier(180,100)(195,100)(220,30)
\qbezier(220,30)(225,18)(235,15)
\qbezier(235,15)(244,13)(260,30)
\qbezier(260,30)(269,40)(278,40)
\qbezier(278,40)(290,40)(300,30)
\qbezier(300,30)(309,25)(318,25)
\qbezier(318,25)(330,25)(340,30)
% linke hälfte. x_neu = 180-(x_alt-180) = 360-x_alt
\qbezier(180,100)(165,100)(140,30)
\qbezier(140,30)(135,18)(125,15)
\qbezier(125,15)(116,13)(100,30)
\qbezier(100,30)(91,40)(82,40)
\qbezier(82,40)(70,40)(60,30)
\qbezier(60,30)(51,25)(42,25)
\qbezier(42,25)(30,25)(20,30)
\put(160,110){$\mathrm{si}\,\alpha$}
\put(188,97){$1$}
\put(216,15){$\pi$}
\put(254,15){$2\pi$}
\put(294,15){$3\pi$}
\put(131,15){$-\pi$}
\put(85,15){$-2\pi$}
\put(45,15){$-3\pi$}
\put(348,20){$\alpha$}
\end{picture}
\end{center}
\[x(t) = \sum\limits_{k = - \infty}^{\infty} x(k\cdot \Delta t) \cdot \mathrm{si}\,\left(\frac{\pi}{\Delta t} \cdot (t - k \cdot \Delta t)\right)\]
Beispiel für $k = 3$, $x(0) = 1$, $x(1) = 0,\!5$, $x(2) = 0,\!75$:

\begin{center}
\begin{picture}(360,120)       % mit gnu-plot schneller aber ich hätte eine 
\put(0,30){\vector(1,0){360}}  % wette verloren. :-)
\put(180,0){\vector(0,1){120}}
\multiput(20,29)(40,0){9}{\line(0,1){2}}
\put(178,100){\line(1,0){4}}
\qbezier(180,100)(195,100)(220,30)  % x(0) = 1
\qbezier(220,30)(225,18)(235,15)
\qbezier(235,15)(244,13)(260,30)
\qbezier(260,30)(269,40)(278,40)
\qbezier(278,40)(290,40)(300,30)
\qbezier(300,30)(309,25)(318,25)
\qbezier(318,25)(330,25)(340,30)
\qbezier(180,100)(165,100)(140,30)
\qbezier(140,30)(135,18)(125,15)
\qbezier(125,15)(116,13)(100,30)
\qbezier(100,30)(91,40)(82,40)
\qbezier(82,40)(70,40)(60,30)
\qbezier(60,30)(51,25)(42,25)
\qbezier(42,25)(30,25)(20,30)
\qbezier(220,65)(235,65)(260,30)  % x(1) = 0.5
\qbezier(260,30)(265,24)(275,23.5)
\qbezier(275,23.5)(284,21.5)(300,30)
\qbezier(300,30)(309,35)(318,35)
\qbezier(318,35)(330,35)(340,30)
\qbezier(220,65)(205,65)(180,30)
\qbezier(180,30)(175,24)(165,23.5)
\qbezier(165,23.5)(156,21.5)(140,30)
\qbezier(140,30)(131,35)(122,35)
\qbezier(122,35)(110,35)(100,30)
\qbezier(100,30)(91,27.5)(82,27.5)
\qbezier(82,27.5)(70,27.5)(60,30)
\qbezier(60,30)(51,31.5)(42,31.5)
\qbezier(42,31.5)(30,31.5)(20,30)
\qbezier(260,82.5)(275,82.5)(300,30)  % x(2) = 0.75
\qbezier(300,30)(305,21)(315,20.25)
\qbezier(315,20.25)(324,17.25)(340,30)
\qbezier(260,82.5)(245,82.5)(220,30)
\qbezier(220,30)(215,21)(205,20.25)
\qbezier(205,20.25)(196,17.25)(180,30)
\qbezier(180,30)(171,37.5)(162,37.5)
\qbezier(162,37.5)(150,37.5)(140,30)
\qbezier(140,30)(131,26.25)(122,26.25)
\qbezier(122,26.25)(110,26.25)(100,30)
\qbezier(100,30)(91,32.25)(82,32.25)
\qbezier(82,32.25)(70,32.25)(60,30)
\qbezier(60,30)(51,28.5)(42,28.5)
\qbezier(42,28.5)(30,28.5)(20,30)
\thicklines
\qbezier(181,101)(194,101)(210,74)  % gesamt
\qbezier(210,74)(224,55)(245,75)
\qbezier(245,75)(253,82.5)(260,82.5)
\qbezier(260,82.5)(275,82.5)(300,30)  
\qbezier(300,30)(305,19)(315,18.25)
\qbezier(315,18.25)(324,15.25)(340,30)
\qbezier(181,101)(165,100)(140,30)
\qbezier(140,30)(135,20)(125,17)
\qbezier(125,17)(116,15)(100,30)
\qbezier(100,30)(91,40)(82,40)
\qbezier(82,40)(70,40)(60,30)
\qbezier(60,30)(51,25)(42,25)
\qbezier(42,25)(30,25)(20,30)
\thinlines
\put(180,100.5){\circle*{3}}
\put(220,65.4){\circle*{3}}
\put(260,82.5){\circle*{3}}
\put(185,110){$x(t)$}
\put(167,97){$1$}
\put(218,17){$1$}
\put(258,17){$2$}
\put(298,17){$3$}
\put(340,15){$k = \frac{t}{\Delta t}$}
\end{picture}
\end{center}

\subsection{Statische Systeme mit kontinuierlicher Zeit}

\subsubsection{Elementarsysteme}

\subsubsection*{Grundbausteine}

\begin{tabular}{l|l|l|l}
Signalabbildung & Gleichung & Schaltsymbol & Bezeichnung \\
\hline
\raisebox{10pt}{Skalarmultiplikation} & \raisebox{10pt}{$y(t) = \alpha \cdot x(t),\ \alpha \in \mathbb R$} & \begin{picture}(100,30)
\put(0,9.5){$x(t)$}
\put(20,12.5){\circle{2}}
\put(21,12.5){\line(1,0){19}}
\put(40,0){\line(0,1){25}}
\put(40,0){\line(4,3){16.5}}
\put(43,9.5){$\alpha$}
\put(40,25){\line(4,-3){16.5}}
\put(56.5,12.5){\line(1,0){19}}
\put(76.5,12.5){\circle{2}}
\put(79,9.5){$y(t)$}
\end{picture}
& \raisebox{10pt}{Verstärker}\\
\hline
\raisebox{22pt}{Signaladdition}&\raisebox{22pt}{$y(t) = x_1(t) + x_2(t)$}&
\begin{picture}(80,52)
\put(47.5,25){\circle{15}}
\put(0,7){$x_2(t)$}
\put(0,37){$x_1(t)$}
\multiput(25,10)(0,30){2}{\circle{2}}
\multiput(26,10)(0,30){2}{\line(1,0){21.5}}
\put(47.5,10){\vector(0,1){7.5}}
\put(47.5,40){\vector(0,-1){7.5}}
\put(43,22){$+$}
\put(55,25){\line(1,0){20.5}}
\put(76.5,25){\circle{2}}
\put(79,22){$y(t)$}
\end{picture}
& \raisebox{22pt}{Verstärker}\\
\hline
\raisebox{10pt}{Signalmultiplikation}
&
\raisebox{10pt}{$y(t) = x_1(t) + x_2(t)$}
&
\begin{picture}(100,30)
\multiput(25,5)(0,15){2}{\circle{2}}
\multiput(26,5)(0,15){2}{\line(1,0){12}}
\multiput(38,0)(25,0){2}{\line(0,1){25}}
\multiput(38,0)(0,25){2}{\line(1,0){25}}
\put(0,2){$x_2(t)$}
\put(0,17){$x_1(t)$}
\put(63,12.5){\line(1,0){12.5}}
\put(76.5,12.5){\circle{2}}
\put(79,9.5){$y(t)$}
\put(46,9.5){$\times$}
\end{picture}
&
\raisebox{10pt}{Multiplizierglied}
\\
\hline
\raisebox{10pt}{Sonderfall}
&
\raisebox{10pt}{$y(t) = [x(t)]^n$}
&
\begin{picture}(100,30)
\put(25,12.5){\circle{2}}
\put(26,12.5){\line(1,0){12}}
\multiput(38,0)(25,0){2}{\line(0,1){25}}
\multiput(38,0)(0,25){2}{\line(1,0){25}}
\put(0,9.5){$x(t)$}
\put(63,12.5){\line(1,0){12.5}}
\put(76.5,12.5){\circle{2}}
\put(79,9.5){$y(t)$}
\put(39,9.5){$(...)^n$}
\end{picture}
&
\raisebox{10pt}{Potenzierglied}
\\
\hline
\end{tabular}


\subsubsection*{Beispiel für Zusammenschaltung}
\qquad
\begin{picture}(300,80)
\put(0,22){$x_2(t)$}
\put(0,59.5){$x_1(t)$}
\multiput(25,25)(0,37.5){2}{\circle{2}}
\multiput(26,25)(0,37.5){2}{\line(1,0){24}}
\multiput(0,0)(0,30){2}{
\multiput(50,20)(25,0){2}{\line(0,1){25}}
\multiput(50,20)(0,25){2}{\line(1,0){25}}}
\put(37.5,40){\line(1,0){12.5}}
\put(37.5,40){\line(0,1){22.5}}

\multiput(75,32.5)(0,30){2}{\line(1,0){25}}
\multiput(100,20)(0,30){2}{\line(0,1){25}}
\multiput(100,20)(0,30){2}{\line(4,3){16.5}}
\multiput(100,45)(0,30){2}{\line(4,-3){16.5}}
\put(116.5,62.5){\vector(1,0){23.5}}
\put(147.5,62.5){\circle{15}}
\put(147.5,32.5){\vector(0,1){22.5}}
\put(147.5,32.5){\circle*{2}}
\put(116.5,32.5){\line(1,0){58.5}}
\put(155,62.5){\line(1,0){20}}
\put(87.5,32.5){\circle*{2}}
\put(87.5,32.5){\line(0,-1){20}}
\put(87.5,12.5){\line(1,0){87.5}}
\put(176,12.5){\circle{2}}
\put(176,32.5){\circle{2}}
\put(176,62.5){\circle{2}}
\put(179,09.5){$y_3(t)$}
\put(179,29.5){$y_2(t)$}
\put(179,59.5){$y_1(t)$}
\put(51,59.5){$(...)^2$}
\put(58,29.5){$\times$}
\put(103,59.5){$a$}
\put(103,29.5){$b$}
\put(143.5,59.5){$+$}
\end{picture}
\begin{align*}
y_1(t) &= f_1(x_1(t),\,x_2(t)) = a \cdot ({x_1}(t))^2 + b \cdot x_1(t) \cdot x_2(t)\\
y_2(t) &= f_2(x_1(t),\,x_2(t)) = b \cdot x_1(t) \cdot x_2(t)\\
y_3(t) &= f_3(x_1(t),\,x_2(t)) = x_1(t) \cdot x_2(t)
\end{align*}

\subsubsection*{Schema}

\begin{minipage}{8cm}
\qquad
\begin{picture}(150,55)
\put(0,7){$x_2(t)$}
\put(0,37){$x_1(t)$}
\multiput(25,10)(0,30){2}{\circle{2}}
\multiput(26,10)(0,30){2}{\line(1,0){24}}
\multiput(50,0)(60,0){2}{\line(0,1){50}}
\multiput(50,0)(0,50){2}{\line(1,0){60}}
\multiput(110,10)(0,15){3}{\line(1,0){24}}
\multiput(135,10)(0,15){3}{\circle{2}}
\put(138,7){$y_3(t)$}
\put(138,22){$y_2(t)$}
\put(138,37){$y_1(t)$}
\put(71,17){\Huge$\Phi$}
\end{picture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{7cm}
\[\Phi:\mathbb R^2 \to \mathbb R^3\]
\[\Phi(\underbrace{x_1(t),\,x_2(t)}_{\in \mathbb R^2}) = (\underbrace{y_1(t),\,y_2(t),\,y(3)}_{\in \mathbb R^3}) \]
\end{minipage}

\paragraph*{Wichtiger Sonderfall:} Resistives elektrisches Netzwerk (keine Energiespeicher)

\begin{minipage}{6cm}
\qquad \begin{picture}(120,140)
\put(0,10){\line(1,0){100}}
\put(50,10){\circle{20}}
\multiput(0,10)(100,0){2}{\line(0,1){90}}
\multiput(0,0)(0,50){2}{
\qbezier(35,18)(50,28)(65,18)
\put(65,18){\vector(2,-1){0}}}
\put(39,28){$u_1(t)$}
\multiput(0,60)(100,0){2}{\circle*{2}}
\multiput(0,60)(60,0){2}{\line(1,0){40}}
\multiput(40,55)(0,10){2}{\line(1,0){20}}
\multiput(40,55)(20,0){2}{\line(0,1){10}}
\put(43,45){$R_3$}
\put(36,78){$u_{R3}(t)$}
\put(0,100){\line(1,0){63}}
\put(100,100){\line(-1,0){23}}
\put(30,100){\circle{20}}
\multiput(77,93)(-14,0){2}{\line(0,1){14}}
\put(77,100){\line(-2,1){14}}
\put(77,100){\line(-2,-1){14}}
\multiput(-20,90)(40,0){2}{
\qbezier(35,18)(50,28)(65,18)}
\put(15,108){\vector(-2,-1){0}}
\put(85,108){\vector(2,-1){0}}
\put(19,118){$u_{2}(t)$}
\put(59,118){$u_{D}(t)$}
\put(105,85){\vector(0,-1){15}}
\put(108,75){$i_2(t)$}
\put(105,40){\vector(0,-1){15}}
\put(108,30){$i_1(t)$}
\put(75,65){\vector(1,0){15}}
\put(74,70){$i_3(t)$}
\end{picture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{9.5cm}
\bigskip

\begin{description}
\item[Eingänge:] \quad\\
$u_1(t) \leftrightarrow x_1(t)$\\
$u_2(t) \leftrightarrow x_2(t)$
\item[Ausgang:] \quad\\
$i_1(t) \leftrightarrow y_1(t)$\\
$i_2(t) \leftrightarrow y_2(t)$\\
$i_3(t) \leftrightarrow y_3(t)$
\end{description}
\end{minipage}

\begin{description}
\item[Widerstand:] $i_3(t) = \dfrac{u_{R3}(t)}{R_3} = \dfrac{u_1(t)}{R_3}$
\item[Diode:] $\displaystyle i_2(t) = a \cdot \left(e^{b\cdot u_D(t)}-1\right)$
\item[Knotengleichung:] $i_1(t) = i_2(t) + i_3(t)$
\item[Maschengleichung:] $u_D(t) = u_1(t) + u_2(t)$
\end{description}
\begin{align*}
i_1(t) &= f_1(u_1(t),\,u_2(t)) = \frac{u_1(t)}{R_3} + a \cdot \left(e^{b(u_1(t)+u_2(t))}-1\right)\\
i_2(t) &= f_2(u_1(t),\,u_2(t)) = a \cdot \left(e^{b(u_1(t)+u_2(t))}-1\right)\\
i_3(t) &= f_3(u_1(t),\,u_2(t)) = \frac{u_1(t)}{R_3}
\end{align*}

\subsubsection{Verallgemeinerung der Beispiele}

\begin{minipage}{10cm}
\begin{picture}(260,85) 
\put(3,40){$x(t)\left\{\!\!\begin{array}{c}x_1(t)\\x_2(t)\\\vdots\\x_l(t)\end{array}\right.$}
\put(198,40){$\left.\begin{array}{c}y_1(t)\\y_2(t)\\\vdots\\y_m(t)\end{array}\!\!\right\} y(t)$}
\put(26,0){
\multiput(0,0)(130,0){2}{\put(40,19){\circle{2}}
\multiput(40,52)(0,13){2}{\circle{2}}}
\multiput(0,0)(109,0){2}{
\multiput(41,52)(0,13){2}{\line(1,0){19}}
\put(41,19){\line(1,0){19}}}
\multiput(60,10)(90,0){2}{\line(0,1){64}}
\multiput(60,10)(0,64){2}{\line(1,0){90}}
\multiput(45,30.3)(116,0){2}{$\vdots$}
\put(95,35){\Huge$\Phi$}}
\end{picture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{5cm}
\smallskip

\begin{align*}
y_1(t) &= f_1(x_1(t),\, \ldots ,\, x_l(t))\\
\vdots\quad  & \hspace{2.25cm}\vdots \\
y_m(t) &= f_m(x_1(t),\, \ldots ,\, x_l(t))
\end{align*}

\bigskip
\end{minipage}

\paragraph{Definitionen:}
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{\alph{enumi})}
\item Die Menge $X\in \mathbb R^l$ heißt \emph{Eingabealphabet} mit den  Buchstaben (Signalwerten)
\[x(t) = \left(\begin{array}{c}x_1(t)\\\vdots\\x_l(t)\end{array}\right) \in X.\]
\item Die Menge $Y\in \mathbb R^m$ heißt \emph{Ausgabealphabet} mit den  Buchstaben (Signalwerten)
\[y(t) = \left(\begin{array}{c}y_1(t)\\\vdots\\y_m(t)\end{array}\right) \in Y.\]
\item Die Abbildung $\Phi:X\to Y$
\[\Phi(x_1(t),\,\ldots\, x_l(t)) = (y_1(t),\,\ldots,\,y_m(t)),\]
kurz $\Phi(x(t)) \to y(t)$ heißt \emph{Alphabetabbildung}.
\item Das Eingabealphabet $X$, das Ausgabealphabet $Y$ und die Alphabetabbildung $\Phi$ bilden ein (abstraktes) \emph{statisches System}, in Zeichen: $(X,\,Y,\,\Phi)$.
\item Die Abbildung $x: T \to X,\ (X = \mathbb R^l)$ heißt \emph{$l$--dimensionales Eingabesignal}:

\begin{center}
\begin{picture}(230,105)
\put(0,52){\vector(1,0){230}}
\put(90,3){\line(0,1){100}}
\put(222,43){$t$}
\qbezier(10,25)(30,40)(55,20)
\qbezier(55,20)(65,15)(80,80)
\qbezier(80,80)(82,90)(110,85)
\qbezier(110,85)(120,84)(125,50)
\qbezier(125,50)(132,25)(170,25)
\qbezier(10,55)(30,80)(50,80)
\qbezier(50,80)(70,80)(100,60)
\qbezier(100,60)(115,50)(170,70)
\qbezier(10,35)(19,35)(45,22)
\qbezier(45,22)(55,15)(80,40)
\qbezier(80,40)(110,66)(170,58)
\put(170,45){$\left.\begin{array}{c}x_1\\x_2\\\vdots\\x_l\end{array}\right\} x$}
\put(80,44){$t$}
\put(90,47){\circle*{2}}
\put(93,40){$x_2(t)$}
\put(90,66.2){\circle*{2}}
\put(93,67){$x_1(t)$}
\put(90,86.3){\circle*{2}}
\put(93,89){$x_l(t)$}
\put(93,67){$x_1(t)$}
\end{picture}
\end{center}

\item Die Abbildung $y:T\to Y,\ (Y = \mathbb R^m)$ heißt \emph{$n$--dimensionales Ausgabesignal}.

\item Die Menge aller Eingangssignale $X^T = X^*$ heißt \emph{Eigangssignalraum}, die Menge aller Ausgabesignale $Y^T = Y^*$ heißt \emph{Ausgabesignalraum}.

\item Die Abbildung $\Phi:X^* \to Y^*,\ \Phi(x) = y$ heißt \emph{Signalabbildung}.
\end{enumerate}

\subsubsection{Kleinsignalverhalten}

\begin{minipage}{8cm}
\qquad
\begin{picture}(150,55)
\put(0,22){$x_i(t)$}
\put(9,5){$\vdots$}
\put(9,35){$\vdots$}
\multiput(25,10)(0,15){3}{\circle{2}}
\multiput(26,10)(0,15){3}{\line(1,0){24}}
\multiput(50,0)(60,0){2}{\line(0,1){50}}
\multiput(50,0)(0,50){2}{\line(1,0){60}}
\multiput(110,10)(0,15){3}{\line(1,0){24}}
\multiput(135,10)(0,15){3}{\circle{2}}
\put(138,23){$y_j(t)$}
\put(147,5){$\vdots$}
\put(147,35){$\vdots$}
\put(71,17){\Huge$\Phi$}
\end{picture}

\bigskip

\end{minipage}
\begin{minipage}{7cm}
\begin{picture}(150,80)
\put(25,5){\vector(0,1){75}}
\put(20,10){\vector(1,0){130}}
\put(0,70){$x_i(t)$}
\put(13,45){$c_i$}
\multiput(24,48)(4,0){30}{\line(1,0){2}}
\qbezier(25,48)(26,50)(28,50)
\qbezier(28,50)(29,50)(31,46)
\qbezier(31,46)(32,44)(33,45)
\qbezier(33,45)(35,47)(38,49)
\qbezier(38,49)(40,51)(42,49)
\qbezier(42,49)(44,48)(46,50)
\qbezier(46,50)(47,51)(49,46)
\qbezier(49,46)(50,45)(53,47)
\qbezier(53,47)(55,48)(56,48)
\qbezier(56,48)(58,49)(63,46)
\qbezier(63,46)(65,45)(66,50)
\qbezier(66,50)(67,51)(68,50)
\qbezier(68,50)(70,48)(72,48)
\qbezier(72,48)(75,49)(78,51)
\qbezier(78,51)(80,51)(83,47)
\qbezier(83,47)(85,45)(90,50)
\qbezier(90,50)(93,52)(95,47)
\qbezier(95,47)(96,46)(99,48)
\qbezier(99,48)(101,49)(103,46)
\qbezier(103,46)(105,45)(107,48)
\qbezier(107,48)(109,49)(111,48)
\qbezier(111,48)(113,48)(115,50)
\qbezier(115,50)(117,51)(119,50)
\end{picture}
\end{minipage}

\bigskip

Für alle Eingänge soll gelten:
\[x_i(t) = c_i + \Delta x_i(t), \quad i = 1,\,\ldots,\,l, \quad |\Delta x_i(t)|_{max} \ll |c_i|\]
Für die Ausgänge gilt dann:
\[y_j(t) = f_j(x_1(t),\ldots,x_l(t))\]


Taylorreihe: \[f(x+h) =  f(x) + \frac{1}{1!} f'(x) \cdot h + \frac{1}{2!} f''(x)\cdot h^2 + \cdots\]

für $h \ll x$ betrachten wir als gute Näherung nur das erste Glied der Taylorreihe:
\begin{align*}
y_j(t) &= f_j(x_1(t),\ldots,x_l(t))\\
       &\approx f_j(c_1,\ldots,c_l) + \Delta y_j(t), & j = 1,\ldots, m\\
       &\approx f_j(c_1,\ldots, c_l) + \underbrace{\sum\limits_{i=1}^{l}\frac{\partial f_i}{\partial x_i} (c_1,\ldots ,c_l)\cdot \Delta x_i}_{\Delta y_j(t)}
\end{align*}


\[\underbrace{\vphantom{\left|\begin{array}{c}\dfrac{\partial f_1}{\partial x_1}\\ \vdots \\ \dfrac{\partial f_m}{\partial x_1}\end{array}\right|_{x_i}}\left(\begin{array}{c}\Delta y_1(t) \\ \vdots \\ \Delta y_m(t)\end{array}\right)}_{\displaystyle \Delta y(t)} = \underbrace{\left.\left(\begin{array}{ccc}\dfrac{\partial f_1}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial f_1}{\partial x_l}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ \dfrac{\partial f_m}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial f_m}{\partial x_l}\end{array}\right)\right|_{x_i = c_i}}_{\displaystyle\text{Jacobi-Matrix }J(x)} \cdot \underbrace{\vphantom{\left|\begin{array}{c}\dfrac{\partial f_1}{\partial x_1}\\ \vdots \\ \dfrac{\partial f_m}{\partial x_1}\end{array}\right|_{x_i}}\left(\begin{array}{c}\Delta x_1(t) \\ \vdots \\ \Delta x_l(t)\end{array}\right)}_{\displaystyle \Delta x(t)} \]

mit $c_i = c \to$ konstante Matrix, Kurzform:
\[\boxed{\quad \Delta y(t) = J(c) \cdot \Delta x(t)\vphantom{\int_a^b}\quad} \qquad \to\text{Linearisierung bei Kleinsignalbetrieb!}\]

\paragraph*{Beispiel:} System aus Abschnitt 4.2.1
\begin{align*}
y_1(t) &= f_1(x_1(t),\,x_2(t)) = a \cdot ({x_1}(t))^2 + b \cdot x_1(t) \cdot x_2(t)\\
y_2(t) &= f_2(x_1(t),\,x_2(t)) = b \cdot x_1(t) \cdot x_2(t)\\
y_3(t) &= f_3(x_1(t),\,x_2(t)) = x_1(t) \cdot x_2(t)
\end{align*}
\[J(x) = \left(\begin{array}{cc}\dfrac{\partial f_1}{\partial x_1} & \dfrac{\partial f_1}{\partial x_2}\\ \vphantom{\dfrac{\Big|}{\Big|}}\dfrac{\partial f_2}{\partial x_1} & \dfrac{\partial f_2}{\partial x_2}\\\dfrac{\partial f_3}{\partial x_1} & \dfrac{\partial f_3}{\partial x_2}\\\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}2ax_1 + bx_2 & b x_1\\\vphantom{\Big|}b x_2 & b x_1 \\ x_2 & x_1\end{array}\right)\]

Es seien:
\[x_1(t) =  c_1 + \underbrace{\widehat{x}_1 \cdot \cos (\omega_1 t + \varphi_1)}_{\Delta x_1}  \qquad \text{und} \qquad
x_2(t) =  c_2 + \underbrace{\widehat{x}_2 \cdot \cos (\omega_2 t + \varphi_2)}_{\Delta x_2}\]
mit $|\widehat{x}_1| \ll c_1,\ |\widehat{x}_2| \ll c_2$
\[\left(\begin{array}{c}\Delta y_1(t)\\ \Delta y_2(t) \\ \Delta y_3(t)\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}2ax_1 + bx_2 & b x_1\\\vphantom{\Big|}b x_2 & b x_1 \\ x_2 & x_1\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c}\widehat{x}_1 \cdot \cos (\omega_1 t + \varphi_1)\\\widehat{x}_2 \cdot \cos (\omega_2 t + \varphi_2)\end{array}\right) \]

\begin{align*}
y_1(t) &\approx a{c_1}^2 + b c_1 c_2 + (2ac_1 + bc_2)\cdot \widehat{x}_1 \cdot \cos(\omega_1 t + \varphi_1) + bc_1 \cdot \widehat{x}_2 \cdot \cos(\omega_2 t + \varphi_2)\\
y_2(t) &\approx bc_1c_2 + bc_2 \cdot \widehat{x}_1\cdot \cos (\omega_1 t + \varphi_1) + bc_1 \cdot \widehat{x}_2 \cdot \cos (\omega_2 t + \varphi_2)\\
y_3(t) &\approx c_1c_2 + c_2\cdot \widehat{x}_1 \cdot \cos (\omega_1 t + \varphi_1) + c_1 \cdot \widehat{x}_2 \cdot \cos(\omega_2 t + \varphi_2)
\end{align*}

\subsection{Dynamische zeitkontinuierliche Systeme}
\subsubsection{Zustandsbeschreibung}

Hinzunahme eines weiteren Elements: \emph{Integrierglied}.

\begin{center}
\begin{minipage}{5cm}
\begin{picture}(130,27)
\put(2,10){$x(t)$}
\multiput(25,12.5)(75,0){2}{\circle{2}}
\multiput(26,12.5)(49,0){2}{\line(1,0){24}}
\multiput(50,0)(25,0){2}{\line(0,1){25}}
\multiput(50,0)(0,25){2}{\line(1,0){25}}
\put(59,10){$\int$}
\put(105,10){$y(t)$}
\end{picture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{8cm}
\[y(t) = y_0 + \int\limits_{0}^{t} x(\tau)\,d\tau, \qquad \dot{y}(t) = x(t)\]
\end{minipage}
\end{center}

Beispiel aus der Elektrotechnik: Kondensator

\begin{minipage}{4cm}
\quad
\begin{picture}(75,60)
\put(0,40){\vector(1,0){20}}
\put(2,46){$i(t)$}
\multiput(25,0)(0,40){2}{\circle{2}}
\multiput(26,0)(0,40){2}{\line(1,0){20}}
\multiput(46,0)(0,22){2}{\line(0,1){18}}
\qbezier(52,5)(62,20)(52,35)
\put(52,5){\vector(-2,-3){0}}
\put(60,16){$Q$}
\thicklines
\multiput(39,18)(0,4){2}{\line(1,0){14}}
\end{picture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{8cm}
\[Q(t) = Q(0) + \int\limits_0^t i(\tau)\, d\tau, \qquad \dot{Q}(t) = i(t)\]
\end{minipage}

\bigskip

Zusammenschaltung mit Elementarsystem (4.2.1):
\begin{center}
\begin{picture}(260,130)
\put(2,7){$x_2(t)$}
\put(29,10){\circle{2}}
\put(30,10){\line(1,0){25}}
\put(30,10){\vector(1,0){15}}
\put(62.5,10){\circle{15}}
\put(70,10){\line(1,0){178.5}}   
\put(70,10){\vector(1,0){89.5}}
\put(62.5,17.5){\line(0,1){52.5}}
\put(62.5,35){\vector(0,1){15}}
\put(62.5,35){\vector(0,-1){15}}
\put(62.5,35){\circle*{2}}
\multiput(62.5,35)(0,35){2}{\line(1,0){22.5}}
\multiput(0,0)(0,35){2}{
\multiput(85,22.5)(25,0){2}{\line(0,1){25}}
\multiput(85,22.5)(0,25){2}{\line(1,0){25}}
}

\multiput(97.5,92.5)(25,0){2}{\line(0,1){25}}
\multiput(97.5,92.5)(0,25){2}{\line(1,0){25}}
\put(94,32){$\int$}
\put(106.5,102){$\int$}
\put(86.5,67){$(...)^2$}

\put(2,102){$x_2(t)$}
\put(29,105){\circle{2}}
\put(30,105){\line(1,0){25}}
\put(55,92.5){\line(0,1){25}}
\put(55,92.5){\line(4,3){16.5}}
\put(55,117.5){\line(4,-3){16.5}}
\multiput(71.5,105)(51,0){2}{\vector(1,0){26}}
\multiput(0,0)(50,0){2}{
\multiput(148.5,85)(25,0){2}{\line(0,1){25}}
\multiput(148.5,85)(0,25){2}{\line(1,0){25}}
}
\put(173.5,97.5){\vector(1,0){25}}
\put(223.5,97.5){\line(1,0){25}}
\put(186,97.5){\line(0,-1){62.5}}
\put(186,35){\vector(-1,0){76}}
\put(186,97.5){\circle*{2}}
\put(110,70){\line(1,0){138.5}}
\put(110,70){\vector(1,0){53}}
\put(135,70){\line(0,1){20}}
\put(135,90){\vector(1,0){13.5}}
\put(135,70){\circle*{2}}
\put(156.5,95){$\times$}
\put(200,95){$(...)^2$}
\multiput(249.5,70)(0,27.5){2}{\circle{2}}
\put(249.5,10){\circle{2}}
\put(253,7){$y_3(t)$}
\put(253,67){$y_2(t)$}
\put(253,95.5){$y_1(t)$}
\put(58.2,7){$+$}
\put(58,102){$a$}
\put(71,112){$\dot{z}_1(t)$}
\put(126,112){$z_1(t)$}
\put(120,40){$\dot{z}_2(t)$}
\put(37,33){$z_2(t)$}
\end{picture}
\end{center}
\begin{align*}
\dot{z}_1(t) &= a \cdot x_1(t) & y_1(t) &= (z_1(t) \cdot {z_2}^2(t))^2 = {z_1}^2(t) \cdot {z_2}^4(t)\\
\dot{z_2}(t) &= z_1(t) \cdot {z_2}^2(t) & y_2(t) &= {z_2}^2(t)\\
 && y_3(t) & = z_2(t) + x_2(t)
\end{align*}
$\Rightarrow$ nichtlineares gekoppeltes DGL-System 1. Ordnung. 

\smallskip

Es sei:
\begin{align*}
x_1(t) &= t \hphantom{\sin \omega}\quad  \text{für } t \geq 0 & z_1(0) &= 0\\
x_2(t) &= \sin \omega t \quad \text{für } t \geq 0 & z_2(0) &= -1
\end{align*}

Lösung:
\begin{align*}
\dot{z}_1(t) &= a x_1(t) = a \cdot t\\
z_1(t) &= a \frac{t^2}{2} + c_1 &\text{mit } z_1(0) &= 0 \Rightarrow c_1 = 0\\
z_1(t) &= a\frac{t^2}{2}\\
\\
\dot{z}_2(t) &= z_1(t) \cdot {z_2}^2(t) = \frac{at^2}{2} \cdot {z_2}^2(t)\\
\frac{dz_2}{{z_2}^2} &= \frac{at^2}{2}\, dt\\
-\frac 1 {z_2} &= \frac{at^3}{6} + c_2 &\text{mit } z_2(0) &= -1 \Rightarrow c_2 = 1\\
z_2(t) &= \frac{-1}{\frac{at^3}{6}} = \frac{-6}{at^3 + 6}
\end{align*}
Einsetzen in Ergebnisfunktionen $y_1(t),\ y_2(t),\ y_3(t)$. Ggf. numerische Lösungsverfahren für komplizierte DGL-Systeme anwenden.

\subsubsection*{Schema für Beispiel}

\qquad
\begin{picture}(150,55)
\put(0,8){$x_2(t)$}
\put(0,38){$x_1(t)$}
\multiput(27,10)(0,30){2}{\circle{2}}
\multiput(28,10)(0,30){2}{\line(1,0){24}}
\multiput(52,0)(60,0){2}{\line(0,1){50}}
\multiput(52,0)(0,50){2}{\line(1,0){60}}
\multiput(112,10)(0,15){3}{\line(1,0){24}}
\multiput(137,10)(0,15){3}{\circle{2}}
\put(142,23){$y_2(t)$}
\put(142,38){$y_3(t)$}
\put(142,8){$y_1(t)$}
\put(55.5,23){$z_1(t),\ z_2(t)$}
\end{picture}
\paragraph{Wichtigster Sonderfall:} Nichtlineares $RLC$-Netzwerk


\begin{minipage}{8cm}

\begin{picture}(200,90)
\put(0,27){$u_1(t)\!\Big\downarrow$}
\put(40,0){\line(0,1){60}}
\put(40,30){\circle{20}}
\put(40,0){\line(1,0){105}}
\multiput(40,60)(32,0){2}{\line(1,0){28}}
\thicklines
\multiput(68,53)(4,0){2}{\line(0,1){14}}
\thinlines
\multiput(100,0)(0,60){2}{\circle*{2}}
\multiput(100,0)(0,40){2}{\line(0,1){20}}
\multiput(95,20)(10,0){2}{\line(0,1){20}}
\multiput(95,20)(0,20){2}{\line(1,0){10}}
\put(100,60){\line(1,0){45}}
\multiput(145,0)(0,40){2}{\line(0,1){20}}
\multiput(145,20)(0,5){4}{\qbezier(0,0)(5,0)(5,2.5)\qbezier(5,2.5)(5,5)(0,5)}
\put(39,69){$i_C(t)$}
\put(40,63){\vector(1,0){17}}
\qbezier(55,55)(70,45)(85,55)
\put(85,55){\vector(3,2){0}}
\put(57,39){$u_C(t)$}
\qbezier(105,15)(115,30)(105,45)
\put(105,15){\vector(-2,-3){0}}
\put(113,27){$u_R(t)$}
\put(95,17){\vector(0,-1){14}}
\put(68,9){$i_R(t)$}
\qbezier(150,15)(160,30)(150,45)
\put(150,15){\vector(-2,-3){0}}
\put(158,27){$u_L(t)$}
\put(114,63){\vector(1,0){17}}
\put(113,69){$i_L(t)$}
\end{picture}

\bigskip

Schema:

\begin{picture}(150,55)
\put(0,23){$x_1(t)$}
\put(27,25){\circle{2}}
\put(28,25){\line(1,0){24}}
\multiput(52,0)(60,0){2}{\line(0,1){50}}
\multiput(52,0)(0,50){2}{\line(1,0){60}}
\multiput(112,10)(0,30){2}{\line(1,0){24}}
\multiput(137,10)(0,30){2}{\circle{2}}
\put(142,38){$y_2(t)$}
\put(142,8){$y_1(t)$}
\put(55.5,23){$z_1(t),\ z_2(t)$}
\end{picture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{6cm}
\begin{description}
\item[Eingabe:]\quad\\ 
$u_1(t) \Leftrightarrow x(t)$

\item[Ausgabe:]\quad\\
$u_L(t) \Leftrightarrow y_1(t)$

$u_C(t) \Leftrightarrow y_2(t)$

\item[Zustände:]\quad\\
$\Phi(t) \Leftrightarrow z_1(t)$ \ (Magnetfluß) 

$Q(t) \Leftrightarrow z_2(t)$ \ (Ladung)
\end{description}
\end{minipage}

\smallskip

\begin{description}
\item[Schaltelemente:]\quad\\
$\begin{array}{l@{\ }l@{\ }l}
i_R(t) &= \varphi_R(u_R(t)) &= \frac{u(t)}{R}\\
u_C(t) &= \varphi_C(Q(t)) &= \frac{Q(t)}{C}\vphantom{\bigg|}\\
i_L(t) &= \varphi_L(\Phi(t)) &= \frac{\Phi(t)}{L}\\
u_L(t) &= \dot{\Phi}(t)\vphantom{\bigg|}\\
i_C(t) &= \dot{Q}(t)
\end{array}$

\item[Maschengleichung:]
\begin{align*}
u_1(t) &= u_C(t) + u_L(t) &&&&&&\\   % :-)
       &= \varphi_C(Q(t)) + \dot{\Phi}(t)
\end{align*}
\item[Knotengleichung:]
\begin{align*}
i_C(t) &= i_R(t) + i_L(t) &&&&\\   % :-)
       &= \varphi_R(u_R(t)) + \varphi_2(\Phi(t)) = \dot{Q}(t)
\end{align*}

\item[Zustandsgleichungen:]

\begin{align*}
\dot{\Phi}(t) &= u_1(t) - \varphi_C(Q(t)) &&&&\\
\\
\dot{Q}(t) &= \varphi_L(\Phi(t)) + \varphi_R(u_R(t)) \\
           &= \varphi_L(\Phi(t)) + \varphi_R(u_1(t) - \varphi_C(Q(t))) \\
\\
u_L(t) &= u_1(t) - \varphi_C(Q(t))\\
u_C(t) &= \varphi_C(Q(t))
\end{align*}

\item[allgemein:]
\begin{align*}
\dot{z}_1(t) &= f_1(z_1(t),\,z_2(t),\,x(t)) &&&&&\\
\dot{z}_2(t) &= f_2(z_1(t),\,z_2(t),\,x(t)) \\
y_1(t) &= g_1(z_1(t),\,z_2(t),\,x(t)) \\
y_12t) &= g_2(z_1(t),\,z_2(t),\,x(t)) 
\end{align*}
\end{description}

\subsubsection*{Verallgemeinerung}
\begin{center}
\begin{picture}(260,85) 
\put(3,40){$x(t)\left\{\!\!\begin{array}{c}x_1(t)\\x_2(t)\\\vdots\\x_l(t)\end{array}\right.$}
\put(198,40){$\left.\begin{array}{c}y_1(t)\\y_2(t)\\\vdots\\y_m(t)\end{array}\!\!\right\} y(t)$}
\put(26,0){
\multiput(0,0)(130,0){2}{\put(40,19){\circle{2}}
\multiput(40,52)(0,13){2}{\circle{2}}}
\multiput(0,0)(109,0){2}{
\multiput(41,52)(0,13){2}{\line(1,0){19}}
\put(41,19){\line(1,0){19}}}
\multiput(60,10)(90,0){2}{\line(0,1){64}}
\multiput(60,10)(0,64){2}{\line(1,0){90}}
\multiput(45,30.3)(116,0){2}{$\vdots$}
\put(68,45){$\underbrace{z_1(t),\, \ldots ,\, z_n(t)}_{\displaystyle z(t)}$}}
\end{picture}
\end{center}

$\displaystyle \dot{z}(t) = \left\{\begin{array}{c@{\ }c}
\dot{z}_1(t) &= f_1(z_1(t),\, \ldots ,\, z_n(t),\, x_1(t),\, \ldots , \, x_l(t))\\
\vdots & \vdots \\
\dot{z}_n(t) &= f_n(z_1(t),\, \ldots ,\, z_n(t),\, x_1(t),\, \ldots , \, x_l(t))
\end{array}\right.$

\vspace{0.5cm}

$\displaystyle y(t) = \left\{\begin{array}{c@{\ }c}
y_1(t) &= g_1(z_1(t),\, \ldots ,\, z_n(t),\, x_1(t),\, \ldots , \, x_l(t))\\
\vdots & \vdots \\
y_m(t) &= g_m(z_1(t),\, \ldots ,\, z_n(t),\, x_1(t),\, \ldots , \, x_l(t))
\end{array}\right.$

\bigskip

Kurzform:

\begin{minipage}{6cm}
\[\boxed{\quad \begin{array}{c@{\ }c}
\dot{z}(t) &= f(z(t),\,x(t))\\
y(t) &= g(z(t),\,x(t))
\end{array}
  \quad}\]
\end{minipage}
\begin{minipage}{9.8cm}
\bigskip

\center Grundgleichung des zeitkontinuierlichen dyn. Systems

\bigskip

$f$: Übertragungsfunktion \qquad $g$: Ergebnisfunktion
\end{minipage}

\subsubsection*{Definitionen:}

\begin{enumerate}
\item Die Menge $Z = \mathbb R^n$ heißt \emph{Zustandsalphabet} (auch \emph{Zustandsraum}).
\[z(t) = \left(\begin{array}{c}z_1(t)\\\vdots \\ z_n(t)\end{array}\right) \in Z, \qquad (z_i(t) \in \mathbb R,\ i = 1,\,\ldots,\, n)\]

\item $z(t)$ heißt \emph{Zustand} des Systems zum Zeitpunkt $t$. $z(0)$ heißt \emph{Anfangszustand} des Systems.

\item Die Abbildung $z:T\to Z\ (Z = \mathbb R^n)$ heißt $n$-dimensionales \emph{Zustandssignal} (oder \emph{Zustandstrajektorie}).
\begin{center}
\begin{picture}(230,105)
\put(0,52){\vector(1,0){230}}
\put(90,3){\line(0,1){100}}
\put(222,43){$t$}
\qbezier(10,25)(30,40)(55,20)
\qbezier(55,20)(65,15)(80,80)
\qbezier(80,80)(82,90)(110,85)
\qbezier(110,85)(120,84)(125,50)
\qbezier(125,50)(132,25)(170,25)
\qbezier(10,55)(30,80)(50,80)
\qbezier(50,80)(70,80)(100,60)
\qbezier(100,60)(115,50)(170,70)
\qbezier(10,35)(19,35)(45,22)
\qbezier(45,22)(55,15)(80,40)
\qbezier(80,40)(110,66)(170,58)
\put(170,45){$\left.\begin{array}{c}z_1\\z_2\\\vdots\\z_n\end{array}\right\} z$}
\put(80,44){$t$}
\put(90,47){\circle*{2}}
\put(93,40){$z_2(t)$}
\put(90,66.2){\circle*{2}}
\put(93,67){$z_1(t)$}
\put(90,86.3){\circle*{2}}
\put(93,89){$z_l(t)$}
\end{picture}
\quad
\begin{picture}(150,100)
\put(75,30){\vector(0,1){60}}
\put(75,30){\vector(1,0){60}}
\put(75,30){\vector(-2,-1){40}}
\put(24,5){$z_1$}
\put(72,94){$z_3$}
\put(138,27){$z_2$}
\qbezier(35,50)(47,50)(55,40)
\qbezier(55,40)(80,0)(90,40)
\qbezier(90,40)(92,50)(85,60)
\qbezier(85,60)(82,63)(86,65)
\qbezier(86,65)(100,66)(110,64)
\put(110,63.7){\vector(4,-1){0}}
\put(35,50){\circle*{2}}
\put(15,47){$z(0)$}
\qbezier(67,17)(76,13)(85,17)
\put(85,17){\vector(2,1){0}}
\put(75,5){$t$}
\put(90.5,44){\circle*{2}}
\put(93,41){$z(t)$}
\put(82,41){$t$}
\end{picture}
\end{center}

\item Die Mengen $X = \mathbb R^l$ (Eingabealphabet), $Y = \mathbb R^m$ (Ausgabealphabet) und $Z = \mathbb R^n$ (Zustandsalphabet) sowie die Überführungsfunktion
\[f: Z \times X \to Z, \ f(z(t),x(t)) = \dot{z}(t)\]
und die Ergebnisfunktion
\[g: Z \times X \to Y, \ g(z(t),x(t)) = y(t)\]
bilden ein abstraktes zeitkontinuierliches dynamisches System, in Zeichen $(X,\,Y,\,Z,\,f,\,g)$.
\end{enumerate}


\subsubsection{Lineares zeitkontinuierliches System 1. Ordnung}

\[\left.\begin{array}{l@{\qquad}l}
\dot z(t) = a \cdot z(t) + b \cdot x(t) & \text{Überführungsfunktion}\\
y(t) = c \cdot z(t) + d \cdot x(t) & \text{Ergebnisfunktion}
\end{array}\right\} \text{ Zustandsgleichungen}\]
($f$ und $g$ sind jetzt lineare Funktionen)

\subsubsection*{Schaltung}
\begin{center}
\begin{picture}(285,100)
\put(29,60){\circle{2}}
\put(30,60){\line(1,0){30}}
\put(60,47.5){\line(0,1){25}}
\put(60,47.5){\line(4,3){16.5}}
\put(60,72.5){\line(4,-3){16.5}}
\put(76.5,60){\vector(1,0){18.5}}
\put(102.5,60){\circle{15}}
\put(110,60){\line(1,0){30}}
\multiput(140,47.5)(25,0){2}{\line(0,1){25}}
\multiput(140,47.5)(0,25){2}{\line(1,0){25}}
\put(149,57){$\int$}
\put(165,60){\line(1,0){30}}
\put(195,47.5){\line(0,1){25}}
\put(195,47.5){\line(4,3){16.5}}
\put(195,72.5){\line(4,-3){16.5}}
\put(211.5,60){\vector(1,0){18.5}}
\put(237.5,60){\circle{15}}
\put(245,60){\line(1,0){19}}
\put(265,60){\circle{2}}
\put(45,60){\circle*{2}}
\put(45,25){\line(0,1){35}}
\put(45,25){\line(1,0){99}}
\put(144,12.5){\line(0,1){25}}
\put(144,12.5){\line(4,3){16.5}}
\put(144,37.5){\line(4,-3){16.5}}
\put(160.5,25){\line(1,0){77}}
\put(237.5,25){\vector(0,1){27.5}}
\put(180,60){\circle*{2}}
\put(180,60){\line(0,1){35}}
\put(180,95){\line(-1,0){19.5}}
\put(160.5,82.5){\line(0,1){25}}
\put(160.5,82.5){\line(-4,3){16.5}}
\put(160.5,107.5){\line(-4,-3){16.5}}
\put(144,95){\line(-1,0){41.5}}
\put(102.5,95){\vector(0,-1){27.5}}
\put(6,57){$x(t)$}
\put(63,57){$b$}
\put(98,57){$\times$}
\put(198,57){$c$}
\put(233,57){$\times$}
\put(147,22){$d$}
\put(152,92){$a$}
\put(269,57){$y(t)$}
\put(115,48){$\dot z(t)$}
\put(171,48){$z(t)$}
\end{picture}
\end{center}

\begin{description}
\item[gegeben:] $x(t)$ für $t \geq 0$, $z(0)$
\item[gesucht:] $y(t)$ für $t \geq 0$
\end{description}

\paragraph{Lösung:} $\dot z(t) - a \cdot z(t) = b \cdot x(t)$ \qquad lineare DGL (inhomogen) 1. Ordnung
\begin{align*}
z(t) &= z(0) \cdot e^{a\cdot t} + \int\limits_0^t b\cdot e^{a(t-\tau)} x(\tau)\,d\tau\\
y(t) &= \underbrace{\vphantom{\int\limits_0^t}c\cdot z(0) \cdot e^{a\cdot t}}_{\text{freie Ausgabe}} + \underbrace{\int\limits_0^t b \cdot c \cdot e^{a\cdot(t-\tau)} \cdot x(\tau) \, d\tau + d \cdot x(t)}_{\text{erzwungene Ausgabe}}
\end{align*}

\subsubsection{Nichtlineares zeitkontinuierliches System 1. Ordnung}

\subsubsection*{Beispiel:}
\begin{minipage}{7cm}
\qquad \begin{picture}(120,80)
\put(0,27){$u(t)\Big\downarrow$}
\put(35,0){\line(0,1){60}}
\put(35,30){\circle{20}}
\multiput(35,60)(40,0){2}{\line(1,0){20}}
\multiput(55,55)(0,10){2}{\line(1,0){20}}
\multiput(55,55)(20,0){2}{\line(0,1){10}}
\put(35,0){\line(1,0){60}}
\multiput(95,0)(0,32){2}{\line(0,1){28}}
\thicklines
\multiput(88,28)(0,4){2}{\line(1,0){14}}
\thinlines
\put(60,45){$R$}
\put(76,27){$C$}
\qbezier(50,67)(65,77)(80,67)
\put(80,67){\vector(3,-2){0}}
\put(53.5,76){$u_R(t)$}
\qbezier(100,45)(110,30)(100,15)
\put(100,15){\vector(-2,-3){0}}
\put(108,27){$u_C(t)$}
\put(75,5){\vector(-1,0){20}}
\put(58,10){$i(t)$}
\end{picture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{8cm}
\begin{description}
\item[Zuordnungen:]\quad\\
$\begin{array}{lll}
u(t) & \Leftrightarrow & x(t)\\
i(t) & \Leftrightarrow & y(t)\\
u_C(t) & \Leftrightarrow & z(t)
\end{array}$
\end{description}
\end{minipage}

\bigskip

\begin{description}
\item[nichtlinearer Widerstand:] $i_R(t) = \alpha \cdot {u_R}^3(t)$ \quad (Varistor-Typ)
\item[linearer Kapazivität:] $u_C(t) = \frac 1 C \cdot  Q(t)$, $\dot u_C(t) = \frac 1 C \cdot \dot Q(t) = \frac 1 C \cdot i(t)$

\item[Maschengleichung:] $u(t) = u_R(t) + u_C(t)$

\item[Knotengleichung:] $i(t) = i_R(t) = i_R(t)$

\item[Zustandsgleichungen:]  $\dot u_C(t) = \frac 1 C \cdot i_R(t) = \frac 1 C \cdot \alpha \cdot {u_R}^3(t)$
\begin{align*}
\dot u_C(t) &= \frac{\alpha }{C} \cdot \left[u(t) - u_C(t)\right]^3 \hspace{1.6cm}\Leftrightarrow & \dot z(t) &= f[z(t),\, x(t)]\\
i(t) &= \alpha \cdot [u(t) - u_C(t)]^3 \hspace{1.75cm}\Leftrightarrow & y(t) &= g[z(t),\, x(t)]
\end{align*}

\begin{minipage}{4.5cm}
\begin{picture}(120,80)
\put(30,10){\vector(0,1){70}}
\put(5,15){\vector(1,0){110}}
\put(29,45){\line(1,0){2}}
\thicklines
\put(10,15){\line(1,0){20}}
\put(30,30){\circle*{2}}
\put(30,45){\line(1,0){65}}
\put(10,70){$u(t)$}
\put(15,42){$U_0$}
\put(106,5){$t$}
\end{picture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{4cm}
\[u(t) = U_0 \cdot \mathbbm 1(t)\]

\bigskip
\end{minipage}

\item[Lösung für $t \geq 0$:] \quad $\displaystyle \frac{du_C(t)}{dt} = \frac{\alpha}{C} \left[U_0 - u_C(t)\right]^3$ \quad Lösung durch Trennung der Veränderlichen

\begin{minipage}{9cm}
\begin{align*}
u_C(t) &= U_0 \left(1 - \sqrt{\frac{C}{2\alpha \cdot {U_0}^2 \cdot t + C}}\right)\\
i_C(t) &= C \cdot \frac{du_C(t)}{dt} = i(t) = \alpha \cdot \left(\frac{C \cdot {U_0}^2}{2\alpha \cdot {U_0}^2 \cdot t + C}\right)^{\frac 3 2}
\end{align*}
\end{minipage}
\begin{minipage}{5cm}
\flushright
\begin{picture}(120,100)
\put(30,10){\vector(0,1){70}}
\put(5,15){\vector(1,0){110}}
\thicklines
\put(10,15){\line(1,0){20}}
\put(30,15){\line(0,1){45}}
\qbezier(30,60)(40,25)(95,20)
\put(11,70){$i(t)$}
\put(106,5){$t$}
\end{picture}
\end{minipage}
\end{description}

\section{Lineare Systeme}

\subsection{Signalbeschreibung im Bildbereich (Fourier-Transformation)}

\subsubsection{Die komplexe Fourier-Reihe}

\begin{center}
\begin{picture}(400,115)
\put(0,20){\vector(1,0){400}}
\put(60,15){\vector(0,1){90}}
\multiput(20,19)(80,0){5}{\line(0,1){2}}
\multiput(100,55)(80,0){3}{\circle*{1}}
\put(5,05){$-\frac{T_0}{2}$}
\put(95,05){$\frac{T_0}{2}$}
\put(172,05){$\frac{3T_0}{2}$}
\put(252,05){$\frac{5T_0}{2}$}
\put(332,05){$\frac{7T_0}{2}$}
\put(392,10){$t$}
\put(38,093){$x(t)$}
\multiput(20,40)(80,0){4}{\qbezier(0,0)(30,0)(40,15)\qbezier(40,15)(50,30)(80,30)}
\put(270,95){$\omega_0 = \frac{2\pi}{T_0} \quad$ Grundfrequenz}
\end{picture}
\end{center}

\paragraph{Satz:} Für jedes mit $T_0$ periodische stückweise glatte Signal $x$ gilt:
\[\boxed{\quad x(t) = \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty} c(\omega_k) \cdot e^{j\omega_k t}\quad} \quad (\omega_k = k \cdot \omega_0)\]
wobei
\[\boxed{\quad  c(\omega_k) = \frac 1 {T_0} \int\limits_{-\frac{T_0}2}^{\frac{T_0}2} x(t) \cdot e^{-j\omega_k t}\,dt\quad}\qquad  \text{komplexer Fourier-Koeffizient}\]

\paragraph{Beweisskizze:}
\begin{align*}
c(\omega_n) &= \frac{1}{T_0} \int\limits_{-\frac{T_0}2}^{\frac{T_0}{2}} x(t) \cdot e^{-j\omega_n t}\,dt && \text{Einsetzen von } x(t)\\
 &= \frac 1{T_0}  \int\limits_{-\frac{T_0}2}^{\frac{T_0}{2}} \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty} c(\omega_k) \cdot e^{j\omega_k t} \cdot e^{-j\omega_n t}\,dt && \omega_k = k \cdot \omega_0,\ \omega_n = n \cdot \omega_0\\
 &= \frac{1}{T_0} \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty} c(\omega_k) \cdot  \int\limits_{-\frac{T_0}2}^{\frac{T_0}{2}} e^{j(k-n)\omega_0 t}\,dt && \text{Integral verschwindet, außer für }k=n\\
 &= \frac{1}{T_0} \cdot c(\omega_0) \cdot \int\limits_{-\frac{T_0}2}^{\frac{T_0}{2}} 1\,dt
\end{align*}

\paragraph{Komplexe Fourier-Koeffizienten:} $c(\omega_k) = c_k$

\smallskip

Die Folge $c = (\ldots ,\, c_{-2},\, c_{-1},\, c_0,\, c_1,\, c_2,\, \ldots)$ heißt \emph{komplexes diskretes Fourier-Spektrum} des periodischen Signals.

\subsubsection*{Eigenschaften der Koeffizienten $c_k$:}

\begin{enumerate}
\item $c_{-k} = \overline{c_k} = {c_k}^*$ 

\bigskip

$z + z^* = 2 \cdot \mathrm{Re}\,(z),\ c_k = |c_k| \cdot e^{j\arg c_k} $

\[x(t) = \sum\limits_{k = - \infty}^{\infty} c_k \cdot e^{j\omega_k t} = c_0 + \sum\limits_{k=1}^{\infty} 2\,\mathrm{Re}\,(c_k \cdot e^{j\omega_k t})\]
\[\boxed{\quad x(t) = c_0 + 2\cdot \sum\limits_{k=1}^{\infty} |c_k| \cdot \cos (\omega_k \cdot t + \arg c_k)\quad } \qquad \text{reelle Fourierreihe}\]

\subsubsection*{Graphische Darstellung}

\begin{minipage}{210pt}
\centering Amplitudenspektrum
\begin{picture}(210,110)
\put(0,13){\vector(1,0){205}}
\put(95,30){\vector(0,1){70}}
\multiput(15,12)(20,0){9}{\line(0,1){2}}
\put(15,4){\makebox(0,0){$\cdots$}}
\put(35,4){\makebox(0,0){$-3$}}
\put(55,4){\makebox(0,0){$-2$}}
\put(75,4){\makebox(0,0){$-1$}}
\put(95,4){\makebox(0,0){$0$}}
\put(115,4){\makebox(0,0){$1$}}
\put(135,4){\makebox(0,0){$2$}}
\put(155,4){\makebox(0,0){$3$}}
\put(175,4){\makebox(0,0){$\cdots$}}
\put(195,4){\makebox(0,0){$k$}}
\put(0,35){\vector(1,0){205}}
\multiput(15,34)(20,0){9}{\line(0,1){2}}
\put(15,26){\makebox(0,0){$\cdots$}}
\put(35,26){\makebox(0,0){$\omega_{\raisebox{0.3pt}{\text-}3}$}} % - zu lang :-/
\put(55,26){\makebox(0,0){$\omega_{\raisebox{0.3pt}{\text-}2}$}}
\put(75,26){\makebox(0,0){$\omega_{\raisebox{0.3pt}{\text-}1}$}}
\put(95,26){\makebox(0,0){$\omega_{0}$}}
\put(115,26){\makebox(0,0){$\omega_{1}$}}
\put(135,26){\makebox(0,0){$\omega_{2}$}}
\put(155,26){\makebox(0,0){$\omega_{3}$}}
\put(175,26){\makebox(0,0){$\cdots$}}
\put(195,26){\makebox(0,0){$\omega$}}
\put(91,92){\makebox(0,0)[r]{$|c_k|$}}
\thicklines
\multiput(35,35)(120,0){2}{\line(0,1){20}}
\multiput(55,35)(80,0){2}{\line(0,1){15}}
\multiput(75,35)(40,0){2}{\line(0,1){35}}
\put(95,35){\line(0,1){10}}
\end{picture}

\bigskip

gerade Funktion, da 

$|c_k| = |c_{-k}| = |{c_k}^*|$
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{210pt}
\centering Phasenspektrum

\begin{picture}(210,110)
\put(0,50){\vector(1,0){205}}
\put(95,00){\vector(0,1){100}}
\multiput(15,49)(20,0){9}{\line(0,1){2}}
\put(15,41){\makebox(0,0){$\cdots$}}
\put(35,41){\makebox(0,0){$-3$}}
\put(55,41){\makebox(0,0){$-2$}}
\put(75,41){\makebox(0,0){$-1$}}
\put(95,41){\makebox(0,0){$0$}}
\put(115,41){\makebox(0,0){$1$}}
\put(135,41){\makebox(0,0){$2$}}
\put(155,41){\makebox(0,0){$3$}}
\put(175,41){\makebox(0,0){$\cdots$}}
\put(195,41){\makebox(0,0){$k$}}
\thicklines
\put(35,50){\line(0,1){34}}
\put(155,50){\line(0,-1){34}}
\put(55,50){\line(0,-1){10}}
\put(125,50){\line(0,1){10}}
\put(75,50){\line(0,1){25}}
\put(115,50){\line(0,-1){25}}
\put(95,50){\line(0,1){10}}
\put(91,92){\makebox(0,0)[r]{$\arg c_k$}}
\end{picture}

\bigskip

ungerade Funktion, da $\arg c_{k} = - \arg c_{-k} = - \arg {c_{k}}^*$
\end{minipage}

\item $\displaystyle \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty}|c_k|^2 = \int\limits_{-\frac{T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}} x^2(t) \, dt$ \qquad \textsc{Parseval}sche Formel (Leistungsbilanz)
\item $|c_k| \to 0$ \quad für \quad $k \to \infty$
\end{enumerate}

\subsubsection{Fourier-Integral}

Aperiodische Signale $\to$  Ansatz: Fourier-Reihe mit $T_0 \to \infty$

\paragraph{Definition:} Signalraum ${X_0}^*$: Es gilt $x  \in {X_0}^*$, falls

\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})}
\setlength{\itemsep}{0ex}
\item $x$ ist stückweise glatt
\item $x$ ist absolut integrierbar, d.h. $\int\limits_0^{\infty} |x(t)|\,dt < \infty$
\end{enumerate}

\paragraph{Satz:} Für jedes Element $x \in {X_0}^*$ gilt die Darstellung
\[\boxed{\quad x(t) = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\infty}^{\infty} X(\omega) \cdot e^{j\omega t}\,d\omega \quad},\quad \text{wobei} \quad \boxed{\quad X(\omega) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} x(t) \cdot e^{-j\omega t}\,dt\quad}\]
$X$ heißt kompexes (kontinuierliches) Fourier-Spektrum des Signals $x$.

\subsubsection*{Eigenschaften}
\begin{enumerate}
\item $X(-\omega) = X^*(\omega)$

\bigskip

\begin{minipage}{210pt}
\centering Amplitudendichtespektrum

\begin{picture}(210,110)
\put(91,92){\makebox(0,0)[r]{$|X(\omega)|$}}
\put(0,15){\vector(1,0){190}}
\put(95,10){\vector(0,1){90}}
\put(182,8){\makebox(0,0){$\omega$}}
\qbezier(15,15)(40,15)(65,37)
\qbezier(175,15)(150,15)(125,37)
\qbezier(65,37)(85,55)(95,55)
\qbezier(125,37)(105,55)(95,55)
\end{picture}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{210pt}
\centering Phasenspektrum

\begin{picture}(210,110)
\put(91,92){\makebox(0,0)[r]{$\arg X(\omega)$}}
\put(0,50){\vector(1,0){190}}
\put(95,00){\vector(0,1){100}}
\put(182,42){\makebox(0,0){$\omega$}}
\qbezier(15,15)(60,15)(95,50)
\qbezier(95,50)(130,85)(175,85)
\end{picture}
\end{minipage}

\item $\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{\infty} x^2(t) \, dt = \frac 1 {2\pi} \int\limits_{-\infty}^{\infty}\left(X(\omega)\right)^2 \, d\omega$ \qquad \textsc{Parseval}sche Formel (Leistungsbilanz)

\item $|X(\omega)| \to 0$ \quad für \quad $\omega \to \infty$
\end{enumerate}

\paragraph{Beispiele:} Korrespondenztabelle S.~55

\smallskip

Erster Eintrag: \textsc{Dirac}-Impuls
\[X(\omega) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} \delta(t) \cdot e^{-j\omega t}\,dt = 1\]

\subsubsection{Fourier-Transformation}
\begin{center}
\begin{picture}(260,70)
\put(-5,62){${X_0}^*$}
\put(200,62){${X_0}^{**}$}
\multiput(30,40)(150,0){2}{\oval(60,40)}
\put(35,42){\circle*{3}}
\put(23,39){$x$}
\put(175,42){\circle*{3}}
\put(178,39){$y$}
\qbezier(35,42)(105,65)(174,42)
\qbezier(35,42)(105,19)(174,42)
\put(174,42){\vector(3,-1){0}}
\put(36,42){\vector(-3,1){0}}
\put(105,63){\makebox(0,0){Fourier-Integral}}
\put(105,15){\makebox(0,0){Fourier-Umkehrintegral}}
\put(30,32){\makebox(0,0){\scriptsize Original-}}
\put(30,26){\makebox(0,0){\scriptsize signal}}
\put(180,32){\makebox(0,0){\scriptsize Bild-}}
\put(180,26){\makebox(0,0){\scriptsize funktion}}
\put(0,10){\makebox(0,0){Originalbereich}}
\put(210,10){\makebox(0,0){Bildbereich}}
\end{picture}
\end{center}

\begin{description}
\item[Zusammenfassung:] Zu jedem $x \in {X_0}^*$ existiert eine bijektive Abbildung mit den Zuordnungen
\[x \longmapsto X \qquad X \longmapsto x\]
Diese Abbildung heißt Fouriertransformation bzw. Fourierrücktransformation.

\item[Schreibweise:]
$\mathcal F\{x(t)\} = X(\omega)$, \quad $\mathcal F^{-1}\{X(\omega)\} = x(t)$
\begin{empheq}[innerbox=\fbox]{align*}
X(\omega) &= \phantom{\frac 1 {2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty} x(t)\cdot e^{-j\omega t}\,dt\,\, = \int\limits_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j2\pi f t}\,dt\\
x(t) &= \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\infty}^{\infty} X(\omega)\cdot e^{j\omega t}\,d\omega = \int\limits_{-\infty}^{\infty} X(f) e^{j2\pi f t}\,df
\end{empheq}
\end{description}

\subsubsection{Rechenregeln der Fourier-Transformation}
$\to$ Heft S.~54

\begin{enumerate}
\item $\mathcal F \{\alpha \cdot x_1(t) + \beta \cdot x_2(t)\} = \alpha \cdot \mathcal F \{x_1(t)\} + \beta \cdot \mathcal F \{x_2(t)\} = \alpha \cdot X_1(\omega) + \beta \cdot X_2(\omega)$ 

(Linearkombination)

\item Verschiebungssatz

\begin{minipage}{210pt}
\centering 
\begin{picture}(210,80)
\put(91,72){\makebox(0,0)[r]{$x(t)$}}
\put(0,15){\vector(1,0){190}}
\put(95,10){\vector(0,1){70}}
\put(182,8){\makebox(0,0){$t$}}
\qbezier(15,15)(40,15)(65,37)
\qbezier(175,15)(150,15)(125,37)
\qbezier(65,37)(85,55)(95,55)
\qbezier(125,37)(105,55)(95,55)
\end{picture}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{210pt}
\centering 
\begin{picture}(210,80)
\put(40,72){\makebox(0,0)[r]{$x(t-\tau)$}}
\put(0,15){\vector(1,0){190}}
\put(44,10){\vector(0,1){70}}
\put(182,8){\makebox(0,0){$t$}}
\qbezier(15,15)(40,15)(65,37)
\qbezier(175,15)(150,15)(125,37)
\qbezier(65,37)(85,55)(95,55)
\qbezier(125,37)(105,55)(95,55)
\put(95,14){\line(0,1){2}}
\put(95,8){\makebox(0,0){$\tau$}}
\end{picture}
\end{minipage}

$\mathcal F\{x(t)\}$ bekannt, $\mathcal F\{x(t-\tau)\}$ gesucht

\begin{align*}
\mathcal F\{x(t-\tau)\} &= \int\limits_{-\infty}^{\infty} x(\underbrace{t-\tau}_{t'}) \cdot \underbrace{e^{-j\omega t}}_{e^{-j\omega (t'+\tau)}} \, \underbrace{dt}_{dt'} && t - \tau = t',\ t = t' + \tau\\
 &= e^{-j\omega \tau} \int\limits_{-\infty}^{\infty}x(t') \cdot e^{-j\omega t'}\,dt'\\
 & = e^{-j\omega \tau} \cdot \mathcal F\{x(t)\}
&& e^{-j\omega \tau}: \text{Verschiebungsfaktor}
\end{align*}
\setcounter{enumi}{4}
\item Differentiationsregel: $\mathcal F\{\dot x(t)\} = j\omega \mathcal F\{x(t)\} = j\omega X(\omega)$
\setcounter{enumi}{6}
\item Faltungssatz: $\mathcal F\{(x_1 * x2)(t)\} = \mathcal F\left\{\int\limits_{-\infty}^{\infty} x_1(\tau) x_2(t-\tau)\,d\tau\right\} = X_1(\omega) \cdot X_2(\omega)$
\end{enumerate}

\subsection{Signalbeschreibung im Bildbereich (Laplace-Transformation)}

\subsubsection{Laplace-Integral}
Nachteil der Fourier-Transformation: konvergiert für wichtige Signale nicht, z.B.
\begin{itemize}
\setlength{\itemsep}{0ex}
\item Sprungfunktion ($\mathbbm 1(t)$)
\item periodische Funktionen
\end{itemize}
\begin{description}
\item[Ansatz:] $(\sigma > 0,\ s = \sigma + j\omega \text{: komplexe Frequenz})$
\[\mathcal F\{\underbrace{x(t) \cdot e^{-\sigma t} \cdot \mathbbm 1(t)}_{\in {X_0}^*}\} = \int\limits_{0}^{\infty} x(t) \cdot e^{-(\sigma + j \omega)t} = X(\underbrace{\sigma + j\omega}_{s})\]

\item[Definition:] Signalraum ${X_{\gamma}}^*$

Es gilt: $x \in {X_{\gamma}}^*$, falls
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})}
\item $x$ ist stückweise glatt
\item für $t < 0$ ist $x(t) = 0$ \quad ("`kausale Signale"')
\item für $t \geq 0$ gilt $|x(t)| < M \cdot e^{\gamma t} \ \ (0 < M < \infty,\ \gamma < \infty)$
\end{enumerate}

\item[Veranschaulichung:]\hspace*{\fill}\\
\begin{picture}(150,170)
\put(0,75){\vector(1,0){150}}
\put(30,0){\vector(0,1){150}}
\thicklines
\put(5,75){\line(1,0){25}}
\qbezier(30,90)(40,80)(50,100)
\qbezier(50,50)(80,60)(120,100)
\thinlines
\multiput(50,50)(0,4){13}{\line(0,1){2}}
\put(119,88){$x$}
\put(141,65){$t$}
\qbezier(5,98)(80,98)(110,150)
\qbezier(5,52)(80,52)(110,0)
\put(124,135){\makebox(0,0){$M \cdot e^{\gamma t}$}}
\put(124,15){\makebox(0,0){$-M \cdot e^{\gamma t}$}}
\put(28,140){\makebox(0,0)[r]{$x(t)$}}
\end{picture}
\qquad
\begin{picture}(170,170)
\put(0,75){\vector(1,0){170}}
\put(50,0){\vector(0,1){150}}
\put(47,143){\makebox(0,0)[r]{$\mathrm{Im}\,s = \omega$}}
\put(69,72){\makebox(0,0)[tc]{$\gamma$}}
\multiput(70,0)(0,4){16}{\line(0,1){2}}
\multiput(70,74)(0,4){19}{\line(0,1){2}}
\put(80,0){\line(0,1){62}}
\put(80,0){\vector(0,1){22}}
\put(80,72){\makebox(0,0)[tc]{$\delta$}}
\put(80,74){\line(0,1){76}}

\put(110,110){\circle*{2}}
\put(113,113){$s$}
\multiput(110,74)(0,4){9}{\line(0,1){2}}
\multiput(49,110)(4,0){15}{\line(1,0){2}}
\put(110,72){\makebox(0,0)[tc]{$\sigma$}}
\put(47,110){\makebox(0,0)[r]{$\omega$}}

\put(167,72){\makebox(0,0)[rt]{$\mathrm{Re}\,s = \sigma$}}

\multiput(70,0)(10,0){5}{\line(1,1){60}}
\put(120,0){\line(1,1){50}}
\put(130,0){\line(1,1){40}}
\put(140,0){\line(1,1){30}}
\put(150,0){\line(1,1){20}}
\put(160,0){\line(1,1){10}}

\multiput(70,10)(0,10){2}{\line(1,1){55}}
\put(70,30){\line(1,1){35}}
\multiput(70,40)(0,10){2}{\line(1,1){100}}

\put(115,75){\line(1,1){55}}
\put(125,75){\line(1,1){45}}
\put(135,75){\line(1,1){35}}
\put(145,75){\line(1,1){25}}
\put(155,75){\line(1,1){15}}

\put(70,140){\line(1,1){10}}
\put(70,130){\line(1,1){20}}
\put(70,120){\line(1,1){30}}
\put(70,110){\line(1,1){40}}
\put(70,100){\line(1,1){50}}
\put(70,90){\line(1,1){60}}
\put(70,80){\line(1,1){70}}
\put(75,75){\line(1,1){35}}
\put(120,120){\line(1,1){30}}
\put(85,75){\line(1,1){75}}
\put(70,-10){\footnotesize Konvergenzhalbebene $\mathbb C_{\gamma}$}
\end{picture}

\bigskip

\[\boxed{\quad X(s) = \int\limits_{0}^{\infty} x(t) \cdot e^{-st}\,dt \quad} \qquad \text{Laplace-Integral}\]

\item[Satz:] Für jedes Integral $x \in  X^*_{\gamma}$ gilt die Darstellung
\[\boxed{\quad x(t) = \frac{1}{2\pi j} \int\limits_{\delta-j\infty}^{\delta + j\infty} X(s) \cdot e^{st}\,ds\quad} \qquad \text{Laplace-Umkehrintegral}\]

\item[Bemerkungen:]
\end{description}
\begin{enumerate}
\item Das Laplace-Integral konvergiert für alle $s = \sigma + j \omega$, für die $\mathrm{Re}\,(s) = \sigma > \gamma$ gilt.
\item $X(s)$ stellt im Inneren von $\mathbb C_{\gamma}$ (Konvergenzhalbebene) eine reguläre (analytische, holomorphe) Funktion der komplexen Variablen $s$ dar.
\item Für das Umkehrintegral gilt: $\delta > \gamma$.
\end{enumerate}

\subsubsection*{Beispiele}

\begin{enumerate}
\item $x(t) = \mathbbm 1(t)$


\begin{minipage}{5cm}
\begin{picture}(120,85)
\put(0,15){\vector(1,0){120}}
\put(40,10){\vector(0,1){70}}
\put(38,55){\line(1,0){4}}
\put(31,52){$1$}
\put(110,5){$t$}
\thicklines
\put(5,15){\line(1,0){35}}
\put(40,55){\line(1,0){50}}
\put(40,35){\circle*{2}}
\put(20,68){$x(t)$}
\end{picture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{9.5cm}
\begin{align*}
X(s) &= \int\limits_{0}^{\infty} \underbrace{\mathbbm 1(t)}_{1} \cdot e^{-st}\,dt = \int\limits_{0}^{\infty} e^{-st}\,dt = \left.\frac{e^{-st}}{-s}\right|_0^{\infty} \\
 &= 0 -\frac{e^{0}}{-s} = \frac 1 s \qquad \text{für } \mathrm{Re}\,(s) = \sigma > 0
\end{align*}


\end{minipage}

\item $x(t) = t \cdot \mathbbm 1(t)$

\begin{minipage}{5cm}
\begin{picture}(120,80)
\put(0,15){\vector(1,0){120}}
\put(40,10){\vector(0,1){70}}
\thicklines
\put(5,15){\line(1,0){35}}
\put(40,15){\line(1,1){45}}
\put(20,68){$x(t)$}
\put(110,5){$t$}
\thinlines
\multiput(70,14)(0,4){8}{\line(0,1){2}}
\multiput(39,45)(4,0){8}{\line(1,0){2}}
\put(37,45){\makebox(0,0)[r]{1}}
\put(70,5){\makebox(0,0)[b]{1}}
\end{picture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{9cm}
\begin{align*}
X(s) &= \int\limits_{0}^{\infty} t \cdot \underbrace{\mathbbm 1(t)}_{1} \cdot e^{-st}\,dt =  \int\limits_{0}^{\infty} t \cdot e^{-st}\,dt = [\ldots]   \\
 &= \frac 1 {s^2} \qquad \text{für } \mathrm{Re}\,(s) = \sigma > 0
\end{align*}
\end{minipage}

\item $x(t) = e^{at} \cdot \mathbbm 1(t) \quad (a \in \mathbb R)$

\begin{minipage}{5cm}
\begin{picture}(120,85)
\put(0,15){\vector(1,0){120}}
\put(40,10){\vector(0,1){70}}
\put(39,25){\line(1,0){4}}
\put(31,22){$1$}
\put(110,5){$t$}
\thicklines
\qbezier(40,25)(70,25)(80,75)
\put(5,15){\line(1,0){35}}
\put(20,68){$x(t)$}
\end{picture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{9.5cm}
\begin{align*}
X(s) &= \int\limits_0^{\infty} e^{at}\cdot e^{-st} \, dt = \int\limits_{0}^{\infty} e^{-(s-a)t}\,dt 
 = \left.\frac{e^{-(s-a)t}}{-(s-a)}\right|_0^{\infty} \\
&= \frac 1 {s-a}
\end{align*}
Bedingung: $\mathrm{Re}\,(s-a) > 0,\ \mathrm{Re}\,(s) = \sigma > a$
\end{minipage}
\end{enumerate}

Korrespondenzen: Doetsch, Anleitung zum praktischen Gebrauch der Laplacetransformation, siehe auch Tabelle im Heft.

\subsubsection{Laplace-Transformation}

\begin{center}
\begin{picture}(260,80)
\put(-5,62){${X_{\gamma}}^*$}
\put(200,62){${X_{\gamma}}^{**}$}
\multiput(30,40)(150,0){2}{\oval(60,40)}
\put(35,42){\circle*{3}}
\put(23,39){$x$}
\put(175,42){\circle*{3}}
\put(178,39){$y$}
\qbezier(35,42)(105,65)(174,42)
\qbezier(35,42)(105,19)(174,42)
\put(174,42){\vector(3,-1){0}}
\put(36,42){\vector(-3,1){0}}
\put(105,63){\makebox(0,0){Laplace-Transformation}}
\put(105,15){\makebox(0,10){inverse Laplace-}}
\put(105,15){\makebox(0,-12){Transformation}}
\put(0,10){\makebox(0,0){Original-/Zeitbereich}}
\put(210,10){\makebox(0,0){Bildbereich}}
\end{picture}
\end{center}
Für alle Signale $x \in {X_{\gamma}}^*$ existiert eine bijektive Abbildung mit den Zuordnungen
\[x \longmapsto X \qquad X \longmapsto x.\]
Diese Abbildung heißt Laplace-Transformation bzw. inverse Laplace-Transformation.
\begin{empheq}[innerbox=\fbox]{align*}
\mathcal L(x(t)) &= X(s) = \int\limits_0^{\infty} x(t) \cdot e^{-st}\,dt\\
\mathcal L^{-1}(X(s)) &= x(t)\;\, = \frac{1}{2\pi j} \int\limits_{\delta - j\infty}^{\delta + j\infty} X(s) \cdot e^{-st}\,ds
\end{empheq}

\subsubsection{Rechenregeln}

\begin{tabular}{c|p{4.5cm}|p{4.5cm}|p{4.5cm}}
Nr. & $x(t)$ & $X(s)$ & Bemerkung \\
\hline
\hline
1. & $\alpha x_1(t) + \beta x_2(t)$ & $\alpha X_1(s) + \beta X_2(s)$ & Linearität\\
\hline
2. & $x(t - \tau),\ (\tau > 0)$ & $e^{-s\tau} \cdot X(s)$ & Verschiebungssatz\\
   & \begin{picture}(120,50)
\put(10,7.5){\vector(1,0){40}}
\put(15,2.5){\vector(0,1){40}}
\put(0,32.5){$\scriptstyle x(t)$}
\put(43,0){$\scriptstyle t$}
\thicklines
\put(12.5,7.5){\line(1,0){2.5}}
\qbezier(15,30)(21,40)(31,20)
\thinlines
\put(60,7.5){\vector(1,0){45}}
\put(65,2.5){\vector(0,1){40}}
\put(50,32.5){$\scriptstyle x(t)$}
\put(98,0){$\scriptstyle t$}
\thicklines
\put(62.5,7.5){\line(1,0){22.5}}
\qbezier(85,30)(91,40)(101,20)
\thinlines
\put(85,6.5){\line(0,1){2}}
\put(83,0){$\scriptstyle \tau$}
\end{picture} & & \\
\hline
3. & $x(a \cdot t),\ (a > 0)$ & $\frac{1}{a} X\left(\frac s a\right) \vphantom{\Big|}$ & Ähnlichkeitssatz\\
   & $a > 1$: Stauchung  & & \\
   & $a < 1$: Streckung  & & \\
\hline
4. & $\dot{x}(t)$ & $s \cdot X(s) - x(+0)$ & Differentiationsregel\\
   & \begin{picture}(100,60)
\put(20,7.5){\vector(1,0){60}}
\put(25,2.5){\vector(0,1){45}}
\put(8,42){$\scriptstyle x(t)$}
\put(73,0){$\scriptstyle t$}
\put(0,25){$\scriptstyle x(+0)$}
\put(24,27){\line(1,0){2}}
\thicklines
\put(22.5,7.5){\line(1,0){2.5}}
\qbezier(25,27)(55,20)(56,35)
\end{picture} & & \\
\hline
\end{tabular} 


\begin{tabular}{c|p{4.5cm}|p{4.5cm}|p{4.5cm}}
\hline
5. & $\int\limits_0^t x(\tau)\, d\tau$ & $X(s) \frac 1 s$ & Integrationsregel\\
\hline
6. & $x(t) \cdot e^{-at}$ & $X(s+a)$ & Dämpfungssatz\\
\hline
7. & $\int\limits_0^t x_1(\tau)x_2(t-\tau)\,d\tau $ & $X_1(s) \cdot X_2(s)$ & Faltungssatz \\
   & \hfill $= (x_1 * x_2)(t)$ & & \\
\hline
\end{tabular} 

\subsubsection*{Anwendungsbeispiele}

1.

\begin{minipage}{5cm}
\begin{picture}(120,80)
\put(0,15){\vector(1,0){120}}
\put(40,10){\vector(0,1){70}}
\thicklines
\put(5,15){\line(1,0){35}}
\put(40,15){\line(1,1){30}}
\put(70,45){\line(1,0){30}}
\put(20,68){$x(t)$}
\put(110,5){$t$}
\thinlines
\multiput(70,14)(0,4){8}{\line(0,1){2}}
\multiput(39,45)(4,0){8}{\line(1,0){2}}
\put(37,45){\makebox(0,0)[r]{$a$}}
\put(70,5){\makebox(0,0)[b]{$\tau$}}
\end{picture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{10cm}
\begin{align*}
\mathcal L(x(t)) &= \int\limits_0^{\infty} x(t) \cdot e^{-st}\,dt = \int\limits_0^{\tau} \frac{a}{\tau} \cdot t \cdot e^{-st}\,dt + \int\limits_{\tau}^{\infty} a \cdot e^{-st}\,dt \\
 &= \ldots
\end{align*}
\end{minipage}

\bigskip

\begin{minipage}{5cm}
\centering $\Downarrow$ Zerlegung  $\Downarrow$
\end{minipage}
\begin{minipage}{10cm}
\centering $\Downarrow$ Vereinfachung $\Downarrow$
\end{minipage}

\bigskip

\begin{minipage}{5cm}
\begin{picture}(120,105)
\put(0,45){\vector(1,0){120}}
\put(40,0){\vector(0,1){100}}
\thicklines
\put(5,45){\line(1,0){65}}
\put(40,45){\line(1,1){30}}
\put(70,75){\line(1,0){30}}
\put(70,45){\line(1,-1){30}}
\put(20,88){$x(t)$}
\put(110,35){$t$}
\put(66,79){$x_1$}
\put(76,21){$x_2$}
\thinlines
\multiput(70,44)(0,4){8}{\line(0,1){2}}
\multiput(39,75)(4,0){8}{\line(1,0){2}}
\put(37,75){\makebox(0,0)[r]{$a$}}
\put(70,35){\makebox(0,0)[b]{$\tau$}}
\end{picture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{10cm}
\begin{align*}
x(t)\phantom{_a} &= x_1(t) + x_2(t) \\
x_1(t) &= \frac a{\tau} \cdot t \cdot \mathbbm 1(t)\\
x_2(t) &= -\frac{a}{\tau} (t-\tau) \cdot \mathbbm 1(t-\tau)
\end{align*}
\end{minipage}

\bigskip

\[X(s) = \underbrace{X_1(s) + X_2(s)}_{\text{Regel 1}} = \frac a {\tau} \frac 1 {s^2} - \underbrace{\frac{a}{\tau} \frac{1}{s^2} \cdot e^{-s\tau}}_{\text{Regel 2}} = \frac{a}{\tau s^2} \left(1 - e^{-s\tau}\right)\]

\bigskip

2. gegeben: $X(s) = \underbrace{\frac{1}{s(s+3)}}_{X_1(s)} \cdot e^{-s\tau}$, gesucht: $x(t) =\ ?$

\smallskip

Zunächst: $\mathcal L^{-1}\{X_1(s)\}$, danach Zeitverschiebung um $\tau$.
\[X_1(s) = \frac{1}{s(s+3)} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s+3},\ \text{durch Partialbruchzerlegung: } A = \frac 1 3,\ B = -\frac 1 3\]
Aus der Korrespondenztabelle:
\[x_1(t) = \frac 1 3 \cdot \mathbbm 1(t) - \frac 1 3 \cdot e^{-3t}\cdot \mathbbm 1 (t) = \frac 1 3 \left(1-e^{-3t}\right) \cdot \mathbbm 1(t)\]
Zeitverschiebung um $\tau$ ($e^{-s\tau}$):
\[x(t) = x_1(t - \tau) = \frac 1 3 \left(1-e^{-3(t-\tau)}\right) \cdot \mathbbm 1(t-\tau)\]

{\centering \begin{picture}(200,110)
\put(30,10){\vector(0,1){95}}
\put(15,15){\vector(1,0){190}}
\put(27,102){\makebox(0,0)[rt]{$x_1(t)$}}
\put(34,102){\makebox(0,0)[lt]{$x(t)$}}
\put(195,4){$t$}
\put(100,4){$\tau$}
\multiput(29,70)(4,0){45}{\line(1,0){2}}
\thicklines
\multiput(0,0)(70,0){2}{\qbezier(30,15)(50,70)(120,69)}
\put(20,15){\line(1,0){80}}
\put(120,69){\line(1,0){80}}
\put(65,50){$x_1$}
\put(135,50){$x$}
\end{picture}}

\begin{minipage}{7.8cm}3. gegeben ($Q_C(0) = 0$):
\end{minipage}
\begin{minipage}{8cm}
gesucht: $i(t)$ für $t > 0$
\end{minipage}

\begin{minipage}{7.8cm}
\begin{picture}(200,100)
\put(0,30){\line(1,0){30}}
\put(30,30){\circle*{2}}
\put(30,30){\line(2,1){20}}
\put(50,30){\line(1,0){90}}
\put(100,30){\circle{20}}
\put(90,17){\vector(1,0){20}}
\put(100,07){\makebox(0,0){$u(t)$}}
\multiput(0,30)(140,0){2}{\line(0,1){40}}
\multiput(0,70)(40,0){4}{\line(1,0){20}}
\multiput(20,65)(20,0){2}{\line(0,1){10}}
\multiput(20,65)(0,10){2}{\line(1,0){20}}
\multiput(60,70)(5,0){4}{\qbezier(0,0)(0,5)(2.5,5)\qbezier(2.5,5)(5,5)(5,0)}
\multiput(80,70)(32,0){2}{\line(1,0){28}}
\thicklines
\multiput(108,63)(4,0){2}{\line(0,1){14}}
\thinlines
\put(30,82){\makebox(0,0){$R$}}
\put(70,82){\makebox(0,0){$L$}}
\put(110,85){\makebox(0,0){$C$}}
\qbezier(40,43)(45,33)(40,23)
\put(40,23){\vector(-1,-2){0}}
\put(40,14){\makebox(0,0){$t=0$}}
\put(145,60){\vector(0,-1){20}}
\put(148,50){\makebox(0,0)[l]{$i(t)$}}
\end{picture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{8cm}
\[R \cdot i(t) + L\frac{d i(t)}{dt} + \frac 1 C \int\limits_0^t i(\tau) \, d\tau = u(t)\]

\bigskip

$\Rightarrow$ Differentialgleichung 
\end{minipage}


\paragraph{$\mathcal L$-Transformation:}
\begin{align*}
R \cdot I(s) + \underbrace{L(s \cdot I(s)}_{\text{Regel 4}} - \underbrace{i(+0)}_{0}) + \frac 1 C \cdot \underbrace{\frac 1 s \cdot I(s)}_{\text{Regel 5}} &= U(s)\\
\left(R + s\cdot L + \frac{1}{s\cdot C}\right) \cdot I(s) &= U(s)
\end{align*}
\subsubsection*{Beachte:}
\begin{enumerate}
\item Einfacher Zusammenhang im Bildbereich
\item Gleichung kann mit Regeln der E-Technik sofort aus Schaltung abgelesen werden
\end{enumerate}
$\Rightarrow$ \emph{verallgemeinerte symbolische Methode}

\bigskip

\begin{align*} 
I(s) &= \frac{U(s)}{R + sL + \frac 1 {sC}} = \frac{U(s) \cdot s C}{s^2 LC + sRC  + 1} = \frac{U(s)}{L} \frac{s}{s^2 + s\frac R L + \frac 1 {LC}}\\[1ex]
  &= \frac{U(s)}{L} \frac{s}{(s-s_1)(s-s_2)}\\[3ex]
  & s_{1/2} = -\frac{R}{2L} \pm \sqrt{\left(\frac R {2L}\right)^2 - \frac 1 {LC}},\ \qquad \text{sei } \left(\frac R {2L}\right)^2 >  \frac 1 {LC} \quad\Rightarrow\quad s_1,\,s_2 \in \mathbb R\\[3ex]
I(s) &= \underbrace{\frac{U(s)}{L}}_{\displaystyle X_2(s)} \cdot \underbrace{\left[\frac{A}{s-s_1} + \frac{B}{s-s_2}\right]}_{\displaystyle X_1(s)}, \qquad A = \frac{s_1}{s_1-s_2},\ B = \frac{s_2}{s_2-s_1}
\end{align*}

Faltungssatz (Regel 7):
\begin{align*}
i(t) &= \int\limits_0^t x_1(\tau) \cdot x_2(t-\tau)\,d\tau \qquad \text{mit }   x_1(t) = A\cdot e^{s_1t} + B \cdot e^{s_2t}\\
    &= \int\limits_0^t \left[\frac{s_1}{s_1-s_2}\cdot e^{s_1\tau} + \frac{s_2}{s_2-s_1} \cdot e^{s_2\tau}\right] \cdot \frac 1 L \cdot u(t-\tau)\,d\tau
\end{align*}

\subsubsection{Grenzwertsätze}
Es sei $x,\ \dot x \in {X_{\gamma}}^*$. Dann gilt:
\begin{enumerate}
\item Falls $\lim\limits_{t\to \infty} x(t) = A$, dann gilt auch $\lim\limits_{s\to 0} s\cdot X(s) = A$ 
\item Falls $\lim\limits_{t\to +0} x(t) = B$, dann gilt auch $\lim\limits_{s\to \infty} s\cdot X(s) = B$
\end{enumerate}

\paragraph{Beispiel} (aus 5.2.3)
\[x(t) = \frac 1 3 \left(1-e^{-3t}\right) \cdot \mathbbm 1(t), \qquad X(s) = \frac{1}{s(s+3)}\]
\begin{enumerate}
\item $\lim\limits_{t\to \infty} x(t) = \frac 1 3$

$\,\lim\limits_{s \to 0} s \cdot X(s) = \lim\limits_{s\to 0} \frac{1}{s+3} = \frac 1 3\qquad\ \ \checkmark$

\item $\lim\limits_{t\to +0} x(t) = 0$

$\,\lim\limits_{s \to \infty} s \cdot X(s) = \lim\limits_{s\to \infty} \frac{1}{s+3} = 0\qquad \checkmark$
\end{enumerate}

\subsubsection{Die inverse Laplace-Transformation}
Es gilt (s. 5.2.2) für $X \in {X_{\gamma}}^{**}$:
\begin{equation}
x(t) = \frac{1}{2\pi j} \int\limits_{\delta-j\infty}^{\delta + j\infty} X(s) \cdot e^{st}\,ds
\end{equation}

\subsubsection*{Probleme}
\begin{enumerate}
\item  Wann gilt $X \in  {X_{\gamma}}^{**}$?

\smallskip

Teilantwort: Es gilt $X \in  {X_{\gamma}}^{**}$, falls
\begin{enumerate}
\item $X(s)$ ist rational in $s$, d.h.
\[X(s) = \frac{\sum\limits_{\nu}^Z a_{\nu}\cdot s^{\nu}}{\sum\limits_{\nu}^N b_{\nu}\cdot s^{\nu}} \qquad\qquad \begin{array}{l}Z\text{: Grad des Zählerpolynoms}\\[0.5ex] N\text{: Grad des Nennerpolynoms}\end{array}\]
\item für $s \to \infty$ gilt $X(s) \to 0$, d.h. $ Z < N$
\end{enumerate}
\item Wie kann das Umkehrintegral (1) auf einfache Weise berechnet werden?

\smallskip

Teilantwort: Ist $X(s)$ rational in $s$ und gilt $Z < N$, so gilt die Residuenformel
\[\boxed{\quad x(t) = \mathcal L^{-1}\{X(s)\} = \sum\limits_{s=s_i}\vphantom{\sum\limits^a} \mathrm{Res}\,[X(s) \cdot e^{st}] \quad }  \qquad (t > 0) \]
$s_i$: Singuläre Stellen von $X(s)$.
\end{enumerate}

\subsubsection*{Berechnung der Residuen}

$s_i$ sei Pol 1. Ordnung:
\[\res\limits_{s=s_i} \left[X(s) \cdot e^{st}\right] = \lim\limits_{s=s_i} \left[X(s) \cdot e^{st} \cdot (s-s_i)\right]\]

$s_i$ sei Pol $m$-ter Ordnung:
\[\res\limits_{s=s_i} \left[X(s) \cdot e^{st}\right] = \frac{1}{(m-1)!} \cdot  \lim\limits_{s=s_i} \frac{d^{(m-1)}}{ds^{(m-1)}}\left[X(s) \cdot e^{st} \cdot (s-s_i)^m\right]\]


\paragraph{1. Beispiel:} $X(s) = \dfrac{3s^2 + 16s + 6}{s^3 + 4s^2 - 3s - 18} = \dfrac{3s^2 + 16s + 6}{(s-2)(s+3)^2}$

\bigskip

$s_1 =\phantom{-}2$:\quad einfacher Pol, ($m_1 = 1$)

$s_2 =-3$:\quad doppelter Pol, ($m_2 = 2$)
\begin{align*}
\res\limits_{s=2}\left[X(s) \cdot e^{st}\right] &= \lim\limits_{s\to 2} \left[\frac{3s^2 + 16s + 6}{(s-2)(s+3)^2}\cdot e^{st} \cdot (s-2) \right] = 2\cdot e^{2t}\\[1ex]
\res\limits_{s=2}\left[X(s) \cdot e^{st}\right] &= \frac{1}{(2-1)!} \cdot \lim\limits_{s\to 3}  \frac{d}{ds} \left[\frac{3s^2 + 16s + 6}{(s-2)(s+3)^2}\cdot e^{st} \cdot (s+3)^2 \right] \stackrel{[\ldots]}{=} (3t+1) \cdot  e^{-3t}
\end{align*}
Ergebnis:
\[x(t) = 2\cdot e^{2t} + (3t + 1) \cdot e^{-3t} \qquad (t > 0)\]

\paragraph{2. Beispiel:} $X(s) = \frac{2s}{s+3}$ \qquad hier $Z = N$!

\bigskip

Wir bilden:
\[X(s) = \frac{2s}{s+3} - X(\infty) + X(\infty) = \frac{2s}{s+3} - 2 + 2 = \frac{-6}{s+3} + 2\]

\smallskip

Rücktransformation mit Tabelle:
\[x(t) = -6e^{-3t} \cdot \mathbbm 1(t) + 2 \delta(t)\]

\subsection{Systembeschreibung im Zeitbereich}

\subsubsection{Zustandsgleichungen}
\begin{center}
\begin{picture}(260,75) 
\put(3,30){$x(t)\left\{\!\!\begin{array}{c}x_1(t)\\x_2(t)\\\vdots\\x_l(t)\end{array}\right.$}
\put(198,30){$\left.\begin{array}{c}y_1(t)\\y_2(t)\\\vdots\\y_m(t)\end{array}\!\!\right\} y(t)$}
\put(26,-10){
\multiput(0,0)(130,0){2}{\put(40,19){\circle{2}}
\multiput(40,52)(0,13){2}{\circle{2}}}
\multiput(0,0)(109,0){2}{
\multiput(41,52)(0,13){2}{\line(1,0){19}}
\put(41,19){\line(1,0){19}}}
\multiput(60,10)(90,0){2}{\line(0,1){64}}
\multiput(60,10)(0,64){2}{\line(1,0){90}}
\multiput(45,30.3)(116,0){2}{$\vdots$}
\put(68,45){$\underbrace{z_1(t),\, \ldots ,\, z_n(t)}_{\displaystyle z(t)}$}}
\end{picture}
\end{center}
\begin{description}
\item[Allgemein:]\hspace*{\fill}\\   % *hust* 
\hspace*{1.3cm} $\displaystyle   % naja, wenigstens schön aligned.
\left.\begin{array}{l@{\ \;}cl}
\dot z_1(t) & = & f_1[z_1(t),\,\ldots,\,z_n(t),\,x_1(t),\,\ldots,\,x_l(t)]\\
\phantom{y_m(t)}  & \vdots \\
\dot z_n(t) & = & f_n[z_1(t),\,\ldots,\,z_n(t),\,x_1(t),\,\ldots,\,x_l(t)]
\end{array}\:\right\}\text{ Überführungsgleichungen}$

\bigskip

\hspace{1.3cm} $\displaystyle
\left.\begin{array}{l@{\ \;}cl}
 y_1(t) & = & g_1[z_1(t),\,\ldots,\,z_n(t),\,x_1(t),\,\ldots,\,x_l(t)]\\
            & \vdots \\
 y_m(t) & = & g_m[z_1(t),\,\ldots,\,z_n(t),\,x_1(t),\,\ldots,\,x_l(t)]
\end{array}\right\}\text{ Ergebnisgleichungen}
$

\item[Für lineare Systeme gilt:]\hspace*{\fill}\\
\hspace*{\fill}\\
$\begin{array}{c@{\ }cccccccccccc}
\dot z_1(t) &=& a_{11} \cdot z_1(t) &+& \cdots & + & a_{1n} \cdot z_n(t) &+& b_{11}\cdot x_1(t) &+& \cdots &+& b_{1l} \cdot x_l(t)\\
& \vdots\\
\dot z_n(t) &=& a_{n1} \cdot z_1(t) &+& \cdots &+& a_{nn} \cdot z_n(t) &+& b_{n1}\cdot x_1(t) &+& \cdots &+& b_{nl} \cdot x_l(t)\\
y_1(t) &=& c_{11} \cdot z_1(t)& +& \cdots &+& c_{1n} \cdot z_n(t) &+& d_{11}\cdot x_1(t) &+& \cdots& +& d_{1l} \cdot x_l(t)\\
& \vdots\\
y_m(t) &=& c_{m1} \cdot z_1(t)& +& \cdots &+& c_{mn} \cdot z_m(t) &+& d_{m1}\cdot x_1(t) &+& \cdots &+& d_{ml} \cdot x_l(t)\\
\end{array}$

\smallskip

\item[In Matrizen-Form:]
\[\underbrace{\begin{pmatrix}\dot z_1(t)\\ \vdots\\ \dot z_n(t)\end{pmatrix}}_{\displaystyle \dot z(t)} = \underbrace{\begin{pmatrix}a_{11} & \cdots & a_{1n}\\\vdots & \ddots & \vdots\\a_{n1} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix}}_{\displaystyle A} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix}z_1(t)\\ \vdots\\ z_n(t)\end{pmatrix}}_{\displaystyle z(t)} + \underbrace{\begin{pmatrix}b_{11} & \cdots & b_{1l}\\\vdots & \ddots & \vdots\\b_{n1} & \cdots & b_{nl}\end{pmatrix}}_{\displaystyle B} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix}x_1(t)\\ \vdots\\ x_l(t)\end{pmatrix}}_{\displaystyle x(t)} \]


\[\underbrace{\begin{pmatrix}\dot y_1(t)\\ \vdots\\ \dot y_m(t)\end{pmatrix}}_{\displaystyle y(t)} = \underbrace{\begin{pmatrix}c_{11} & \cdots & c_{1n}\\\vdots & \ddots & \vdots\\c_{m1} & \cdots & c_{mn}\end{pmatrix}}_{\displaystyle C} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix}z_1(t)\\ \vdots\\ z_n(t)\end{pmatrix}}_{\displaystyle z(t)} + \underbrace{\begin{pmatrix}d_{11} & \cdots & d_{1l}\\\vdots & \ddots & \vdots\\d_{m1} & \cdots & d_{ml}\end{pmatrix}}_{\displaystyle D} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix}x_1(t)\\ \vdots\\ x_l(t)\end{pmatrix}}_{\displaystyle x(t)} \]

\item[Kurzform:]\hspace*{\fill}\\[1ex]
\begin{minipage}{7cm}
\begin{empheq}[innerbox=\fbox]{align*}
\vphantom{\Big|}\quad \dot z(t) &= A \cdot z(t) + B\cdot x(t) \quad \\[-1ex]
\vphantom{\Big|} \dot y(t) &= C \cdot z(t) + D\cdot x(t)
\end{empheq}
\end{minipage}
\begin{minipage}{7.8cm}
\centering Zustandsgleichungen des linearen, zeitkontinuierlichen, dynamischen Systems
\end{minipage}
\end{description}

\subsubsection*{Beispiel aus 4.3.1}
\begin{minipage}{8cm}

\begin{picture}(200,80)
\put(0,27){$u_1(t)\!\Big\downarrow$}
\put(40,0){\line(0,1){60}}
\put(40,30){\circle{20}}
\put(40,0){\line(1,0){105}}
\multiput(40,60)(32,0){2}{\line(1,0){28}}
\thicklines
\multiput(68,53)(4,0){2}{\line(0,1){14}}
\thinlines
\multiput(100,0)(0,60){2}{\circle*{2}}
\multiput(100,0)(0,40){2}{\line(0,1){20}}
\multiput(95,20)(10,0){2}{\line(0,1){20}}
\multiput(95,20)(0,20){2}{\line(1,0){10}}
\put(100,60){\line(1,0){45}}
\multiput(145,0)(0,40){2}{\line(0,1){20}}
\multiput(145,20)(0,5){4}{\qbezier(0,0)(5,0)(5,2.5)\qbezier(5,2.5)(5,5)(0,5)}
\put(39,69){$i_C(t)$}
\put(40,63){\vector(1,0){17}}
\qbezier(55,55)(70,45)(85,55)
\put(85,55){\vector(3,2){0}}
\put(57,39){$u_C(t)$}
\qbezier(105,15)(115,30)(105,45)
\put(105,15){\vector(-2,-3){0}}
\put(113,27){$u_R(t)$}
\put(95,17){\vector(0,-1){14}}
\put(68,9){$i_R(t)$}
\qbezier(150,15)(160,30)(150,45)
\put(150,15){\vector(-2,-3){0}}
\put(158,27){$u_L(t)$}
\put(114,63){\vector(1,0){17}}
\put(113,69){$i_L(t)$}
\end{picture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{6cm}
$\left.\begin{array}{lll}
u_1(t) &\:\Leftrightarrow& x(t)
\end{array}\right.\phantom{\Big\}} \text{ Eingabe}$

$\left.\begin{array}{lll}
u_L(t) &\Leftrightarrow& y_1(t) \\
u_C(t) &\Leftrightarrow& y_2(t)
\end{array}\right\} \text{Ausgabe}$

\smallskip

$\left.\begin{array}{lll}
\Phi(t)\ &\Leftrightarrow& z_1(t)\\
Q(t)\;\, &\Leftrightarrow& z_2(t)
\end{array}\right\} \text{Zustände}$
\end{minipage}

\smallskip

\begin{description}
\item[Außerdem gilt:] (da lineares System)

$\begin{array}{l@{\ }l@{\ }l}
i_R(t) &= \varphi_R(u_R(t)) &= \dfrac{1}{R} \cdot u(t)\\[2ex]
i_L(t) &= \varphi_L(\Phi(t)) &= \dfrac{1}{L}\cdot \Phi(t)\\[2ex]
u_C(t) &= \varphi_C(Q(t)) &= \dfrac{1}{C} \cdot Q(t)
\end{array}$

\item[Damit gilt für die Zustandgleichungen aus 4.3.1:]
\[
\begin{array}{lllllll}
\dot\Phi(t) &= & u(t) - \varphi_C(Q(t)) &= & & -\dfrac 1 C Q(t) &+ u(t)\\[2ex]
\dot Q(t) &=& \varphi_L(\Phi(t)) + \varphi_R(u(t)-\varphi_C(Q(t))) &=& \dfrac 1 L \Phi(t) & -\dfrac{1}{RC}Q(t) & + \dfrac 1 R u(t)\\[2ex]
u_L(t) &=& u(t) - \varphi_C(Q(t)) &=& &  -\dfrac 1 C Q(t) &+ u(t)\\[2ex]
u_C(t) & = & \underbrace{\vphantom{\dfrac 1 C}\varphi_C(Q(t))\hspace{3.8cm}}_{\displaystyle\text{allgemein}}&=& \multicolumn{3}{c}{\underbrace{\hspace{1.7cm} +\dfrac{1}{C}Q(t)\hspace{1.7cm}}_{\displaystyle\text{linearer Fall}}}
\end{array}
\]

\item[Matrizenform:]
\[\begin{pmatrix}\dot\Phi(t)\\[0.5ex]\dot Q(t)\end{pmatrix} = \underbrace{\begin{pmatrix}0 & - \frac 1 C\\[0.5ex]\frac 1 L & - \frac 1 {RC}\end{pmatrix}}_{\displaystyle A} \cdot \begin{pmatrix}\Phi(t)\\[0.5ex]Q(t)\end{pmatrix} + \underbrace{\begin{pmatrix}1\\[0.5ex]\frac 1 R\end{pmatrix}}_{\displaystyle B} \cdot u(t)\]

\[\begin{pmatrix}u_L(t)\\[0.5ex]u_C(t)\end{pmatrix} = \underbrace{\begin{pmatrix}0 & - \frac 1 C\\[0.5ex]0 & - \frac 1 {C}\end{pmatrix}}_{\displaystyle C} \cdot \begin{pmatrix}\Phi(t)\\[0.5ex]Q(t)\end{pmatrix} + \underbrace{\begin{pmatrix}1\\[0.5ex]0\end{pmatrix}}_{\displaystyle D}\cdot u(t)\]

\item[Bemerkung:]  Bei linearen Bauelementen gilt
\begin{align*}
\Phi(t) &= L \cdot i_L(t)\\
Q(t) &= C \cdot u_C(t)
\end{align*}
$\Rightarrow$ in der Regel $i_L(t)$ bzw. $u_C(t)$ als Zustandssignale verwendet
\end{description}

\subsubsection{Differentialgleichung und Realisierung}
\paragraph*{Sonderfall:} 1 Eingang, 1 Ausgang ($l = m = 1$). \qquad
\begin{minipage}{5cm}
\begin{picture}(130,25)
\put(2,10){$x(t)$}
\multiput(25,12.5)(75,0){2}{\circle{2}}
\multiput(26,12.5)(49,0){2}{\line(1,0){24}}
\multiput(50,0)(25,0){2}{\line(0,1){25}}
\multiput(50,0)(0,25){2}{\line(1,0){25}}
\put(62.5,12.5){\makebox(0,0){$z(t)$}}
\put(105,10){$y(t)$}
\end{picture}
\end{minipage}
\begin{description}
\item[Es gilt:] Ein lineares, zeitkontinuierliches, dynamisches System mit $l = m = 1$ ($n$ beliebig) kann durch eine Differentialgleichung folgenden Typs beschrieben werden:
\begin{multline*}
y^{(n)}(t) + b_1 y^{(n-1)}(t) + b_2 y^{(n-2)}(t) + \cdots + b_{n-1}\dot y(t) + b_n y(t) = \\
a_0 x^{(n)}(t) + a_1 x^{(n-1)}(t) + a_2 x^{(n-2)}(t) + \cdots + a_{n-1} \dot x(t) + a_n x(t)
\end{multline*}
$(a_i,\ b_i \in \mathbb R,\ b_0 = 1)$
\item[Ansatz:]  Blockschaltbild $\to$ Differentialgleichungen, Zustandsgleichungen
\begin{center}
\begin{picture}(370,150)
\multiput(0,0)(90,0){2}{
\put(50,0){\line(0,1){20}}
\put(35,20){\line(1,0){30}}
\put(35,20){\line(3,4){15}}
\put(65,20){\line(-3,4){15}}
\put(50,40){\vector(0,1){20}}
\put(50,67.5){\circle{15}}
\put(50,67.5){\makebox(0,0){$+$}}
\put(50,95){\vector(0,-1){20}}
\put(50,95){\line(3,4){15}}
\put(50,95){\line(-3,4){15}}
\put(35,115){\line(1,0){30}}
\put(57.5,67.5){\vector(1,0){25}}
\put(50,115){\line(0,1){20}}
\put(50,135){\circle*{2}}
}
\put(70,69.5){\makebox(0,0)[b]{$\scriptstyle \dot z_n(t)$}}
\put(120,69.5){\makebox(0,0)[b]{$\scriptstyle z_n(t)$}}
\put(50,24){\makebox(0,0)[b]{$\scriptstyle -b_{n}$}}
\put(140,23){\makebox(0,0)[b]{$\scriptstyle -b_{n\text{-}1}$}}
\put(50,0){\line(1,0){125}}
\put(0,135){\makebox(0,0)[l]{$x(t)$}}
\put(25,135){\line(1,0){150}}
\put(107.5,67.5){\vector(1,0){25}}
\multiput(82.5,55)(25,0){2}{\line(0,1){25}}
\multiput(82.5,55)(0,25){2}{\line(1,0){25}}
\put(95,67.5){\makebox(0,0){$\int$}}
\put(140,0){\circle*{2}}
\put(24,135){\circle{2}}
\put(50,110){\makebox(0,0)[t]{$\scriptstyle a_{n}$}}
\put(140,110){\makebox(0,0)[t]{$\scriptstyle a_{n\text{-}1}$}}
\multiput(187.5,-0.5)(0,67.5){3}{\makebox(0,0){$\cdots$}}

\put(175,0){
\multiput(25,0)(0,135){2}{\line(1,0){115}}
\put(25,67.5){\vector(1,0){17.5}}
\put(50,0){\line(0,1){20}}
\put(35,20){\line(1,0){30}}
\put(35,20){\line(3,4){15}}
\put(65,20){\line(-3,4){15}}
\put(50,40){\vector(0,1){20}}
\multiput(50,67.5)(90,0){2}{\circle{15}}
\multiput(0,0)(90,0){2}{
\put(50,67.5){\makebox(0,0){$+$}}
\put(50,95){\vector(0,-1){20}}
\put(50,95){\line(3,4){15}}
\put(50,95){\line(-3,4){15}}
\put(35,115){\line(1,0){30}}
\put(50,115){\line(0,1){20}}
}
\put(57.5,67.5){\vector(1,0){25}}
\put(50,115){\line(0,1){20}}
\multiput(50,0)(0,135){2}{\circle*{2}}
\multiput(82.5,55)(25,0){2}{\line(0,1){25}}
\multiput(82.5,55)(0,25){2}{\line(1,0){25}}
\put(107.5,67.5){\vector(1,0){25}}
\put(140,0){\line(0,1){60}}
\put(140,0){\line(1,0){25}}
\put(166,0){\circle{2}}
\put(140,0){\circle*{2}}
\put(170,0){\makebox(0,0)[l]{$y(t)$}}
\put(50,110){\makebox(0,0)[t]{$\scriptstyle a_1$}}
\put(140,110){\makebox(0,0)[t]{$\scriptstyle a_0$}}
\put(50,24){\makebox(0,0)[b]{$\scriptstyle -b_{1}$}}
\put(95,67.5){\makebox(0,0){$\int$}}
\put(70,69.5){\makebox(0,0)[b]{$\scriptstyle \dot z_1(t)$}}
\put(120,69.5){\makebox(0,0)[b]{$\scriptstyle z_1(t)$}}
}
\end{picture}
\end{center}
\item[Beschreibung des Blockschaltbildes]
\begin{align}
\dot z_1(t) &= z_2(t) + a_1\cdot x(t) - b_1 \cdot y(t) \tag{$1$}\\
\dot z_2(t) &= z_3(t) + a_2\cdot x(t) - b_2 \cdot y(t) \tag{$2$}\\
& \qquad \vdots \notag \\
\dot z_{n-1}(t) &= z_n(t) + a_{n-1}\cdot x(t) - b_{n-1} \cdot y(t) \tag{$n-1$}\\
\dot z_{n}(t) &= a_{n}\cdot x(t) - b_{n} \cdot y(t) \tag{$n$}\\
y(t) &= z_{1}(t) + a_{0} \cdot x(t) \tag{$n+1$}
\end{align}
\item[Übergang zur Differentialgleichung:] Ziel: Elimination der $z_1,\, \dots,\, z_n$

\begin{itemize}
\item Gleichung $(n+1)$ differenzieren: $\dot y(t) = \dot z_1(t) + a_0 \cdot \dot x(t)$
\item Gleichung (1) einsetzen: 
\begin{equation}
\dot y(t) = z_2(t) + a_1 \cdot x(t) - b_1  \cdot y(t) + a_0 \cdot \dot x(t) \tag{$n+2$}
\end{equation}
\item Gleichung $(n+2)$ differenzieren: $\ddot y(t) = \dot z_2(t) + a_1 \cdot \dot x(t) - b_1 \cdot \dot y(t) + a_0 \cdot \ddot x(t)$
\item Gleichung (2) einsetzen
\item \quad $\cdots$
\end{itemize}
Nach $n$ Schritten sind alle Zustandssignale eliminiert $\Rightarrow$ DGL fertig

\item[Übergang zu den Zustandsgleichungen:]
Einsetzen von $(n+1)$ in Gleichungen (1) bis ($n$):

\[
\begin{pmatrix}\dot z_1(t) \\ \dot z_2(t) \\ \vdots \\ \dot z_{n-1}(t) \\ \dot z_n(t)\end{pmatrix}
=
\underbrace{\begin{pmatrix}
-b_1 & 1 & 0 & \cdots  & 0\\
-b_2 & 1 & 0 & \cdots  & 0\\
\vdots &  & \ddots  &  & \vdots\\
-b_{n_1} & 0 & 0 & \cdots  & 1\\
-b_{n} & 0 & 0 & \cdots  & 0
\end{pmatrix}}_{\displaystyle A}
\cdot
\begin{pmatrix} z_1(t) \\  z_2(t) \\ \vdots \\  z_{n-1}(t) \\  z_n(t)\end{pmatrix}
+
\underbrace{\begin{pmatrix}a_1 - b_1 a_0 \\  a_2-b_2a_0  \\ \vdots \\  a_{n-1}-b_{n-1} a_0 \\  a_n - b_n a_0\end{pmatrix}}_{\displaystyle B}
\cdot x(t)
\]
\[y(t) = \underbrace{\begin{pmatrix}1 & 0 & \cdots & 0 & 0\end{pmatrix}}_{\displaystyle C}
\cdot
\begin{pmatrix} z_1(t) \\  z_2(t) \\ \vdots \\  z_{n-1}(t) \\  z_n(t)\end{pmatrix}
+
\underbrace{\left(a_0\right)}_{\displaystyle D} \cdot x(t)
 \]

\end{description}
\end{document}




