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\usepackage[bookmarks, colorlinks=false, pdftitle={Mitschrift Mathematik Brueckenkurs TUD 2003}, pdfauthor={Fabian Kurz}, pdfsubject={Mathematik}, pdfkeywords={Brueckenkurs Mathe TUD 2003}, linkbordercolor={1 1 1}]{hyperref}
\date{\today}
\author{Fabian~Kurz}
\title{Mathematik Brückenkurs an der TUD\\Prof. Dr. habil. M. Ludwig\\Mitschrift}
\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents

\chapter{Aussagen und Grundbegriffe der math. Logik}
\section{Aussage}
\textbf{Aussage: }Satz, Formulierung, \dots o.ä., die aufgrund ihres Inhaltes entweder wahr oder falsch ist.

\begin{center}
$$\underbrace{p}_{\textnormal{Aussage}}\qquad W(p) =\underbrace{\textnormal{Wahrheitswert}}_{w \textnormal{ oder } f} $$
\end{center}

\begin{flushleft}\textbf{Beispiele:}\end{flushleft}
\begin{tabular}{lc}
Aussage & Wahrheitswert \\
\hline
Wir leben im Jahr 2002 & \(f\) \\
Dresden liegt an der Elbe & \(w\) \\
\(7 < 4\) & \(f\) \\
\(9 - 2 = 7\) & \(f\) \\
\end{tabular}

\section{Aussagevariable}
\textbf{Aussagevariable: } Satz, Formulierung, \dots o.ä., der eine Variable (Argument) enthält, deren Wahrheitswert erst durch Spezifizierung der enthaltenen Variablen bestimmt werden kann.

\begin{flushleft}\textbf{Beispiele:}\end{flushleft}
\begin{center}
$$p(\textnormal{Name}) \textnormal{ studiert Bauwesen }$$
$$W(p(\textnormal{Jens})) = w \textnormal{ falls Jens Bauwesen studiert}$$
$$ W(p(\textnormal{Annette})) = f \textnormal{ falls Annette nur Physik studiert}$$
\end{center}
\newpage
\begin{flushleft}\textbf{Weitere Beispiele:}\end{flushleft}
$$p(x)\quad x > 7 \qquad W(p(6)) = f \qquad W(p(23)) = w$$

\begin{flushleft}\textbf{Weitere Möglichkeiten:}
$$p(x) \qquad x > 7 \qquad x: \textnormal{reelle Zahl} $$

Frage: Gilt für alle reellen Zahlen \(x>7\) ?

$$\forall x: x > 7 \qquad f$$


Gibt es wenigstens eine reelle Zahl mit \(x>7\) ?

$$\exists\, x: x > 7 \qquad w \textnormal{ z.B. 23}$$
\end{flushleft}

\section{Aussageverknüpfungen}


\begin{flushleft}\(p,\,\,q \rightsquigarrow \) neue Aussage\end{flushleft}





\begin{tabular}{lll}
Schreibweise & Bedeutung & Bezeichnung \\
\hline
\(\rightharpoondown p\) & nicht \(p\) & Negation von \(p\)\\
\(p \land q\) & sowohl p als auch q & Konjunktion \\
\(p \lor q\) & p oder q & Disjunktion von \(p\) und \(q\) \\
\(p \Rightarrow q \) & aus \(p\) folgt \(q\) & Implikation \\
\(p \Leftrightarrow q \) & \(p\) ist äquivalent zu \(q\) & Äquivalenz \\
\end{tabular}


\bigskip

\begin{tabular}{cc|ccccc}
\(W(p)\) & \(W(q)\) & \(\rightharpoondown p\) & \(p \land q\) & \(p \lor q\) & \(p \Rightarrow q \) & \(p \Leftrightarrow q \) \\
\hline
\(w\) & \(w\) & \(f\) & \(w\) & \(w\) & \(w\) & \(w\) \\
\(w\) & \(f\) & \(.\) & \(f\) & \(w\) & \(f\) & \(f\) \\
\(f\) & \(w\) & \(w\) & \(f\) & \(w\) & \(w\) & \(f\) \\
\(f\) & \(f\) & \(.\) & \(f\) & \(f\) & \(w\) & \(w\) \\
\end{tabular}

\bigskip

\begin{tabular}{ll}
\(p \Rightarrow q \) & \(p\) ist \textit{hinreichend} für \(q\), \(q\) ist \textit{notwendig} für \(p\). (Aus \(p\) folgt \(q\)) \\
\(p \Leftrightarrow q \) & \(p\) ist \textit{notwendig} und \textit{hinreichend} für \(q\). (\(p\) gilt genau dann, wenn \\
& \(q\) gilt, \(p\) gilt dann und nur genau dann, wenn \(q\) gilt.)\\
\end{tabular}




\begin{flushleft}\textbf{Beispiel:}\end{flushleft}
$$p(x)\quad x>7 \qquad q(x)\quad x^{2} > 49 \qquad W(p\Rightarrow q) = w \qquad q \nRightarrow p\quad\textnormal{ z.B. } x = 10$$

\chapter{Mengenlehre}
\section{Begriff einer Menge}
\begin{itemize}
\item Menge aller 16 Bundesländer \qquad \{Sachsen, \dots\}
\item Liste, Verzeichnis
\item Aus einer Grundgesamtheit werden Elemente durch eine bestimmte Eigenschaft (Prädikat) zu einer Menge zusammengefasst
\item \(\Big\{n \in \mathbb{N}_{0}: \underbrace{n = n^{2}}_{p}\Big\} = \) \{0, 1\}, \Big\{\(x \in \mathbb{R}: \underbrace{\exists\,n,m \in \mathbb{N}, x=\frac{n}{m}}_{p}\)\Big\}
\end{itemize}

\section{Beschreibung}
\textsc{G. Cantor, 1845---1918:} Gesamtheit von Objekten wobei pro Objekt vorher entschienden werden kann, ob ein Objekt dieser Gesamtheit angehört oder nicht.
\section{Bezeichnung}
\begin{tabular}{ll}
\(A, B, C \dots Z\) & Mengen \\
\(a,b,c \dots z\) & Elemente (Objekte), Punkte \\
\(M\); \(x \in M\) & Element \(x\) gehört zur Menge M \\
\(M\); \(x \notin M\) & Element \(x\) gehört nicht zur Menge M \\
\end{tabular}


\begin{flushleft}\textbf{Beispiele:}\end{flushleft}
Seien \(\Omega\) die Grundmenge und \(p\) eine Eigenschaft (Prädikat), dann gilt:

\(A = \{x\in\Omega: W(p(x)) = w\} = \{x\in\Omega:p(x)\}\)


\(A = \{x\in\mathbb{N}: x \textnormal{ ist durch 3 teilbar}\} = \{3, 6, 9 \dots\}\)


\section{Standardbezeichnungen}
Folgende Standardbezeichnungen für Mengen sind gebräuchlich:

\bigskip

\begin{tabular}{cl}
Bezeichnung & Bedeutung \\
\hline
\(\mathbb{N}\) & Menge der natürlichen Zahlen \\
\(\mathbb{N}_{0}\) & Menge der natürlichen Zahlen und 0\\
\(\mathbb{Z}\) & Menge der ganzen Zahlen \\
\(\mathbb{Q}\) & Menge der rationalen Zahlen \\
\(\mathbb{R}\) & Menge der reellen Zahlen \\
\(\mathbb{C}\) & Menge der komplexen Zahlen \\
\end{tabular}

\begin{flushleft}\textbf{Beispiele:}\end{flushleft}

\begin{tabular}{ccc}
2003 & \(\in\) & \(\mathbb{N}\) \\
0,5 & \(\notin\) & \(\mathbb{Z}\) \\
0,5 & \(\in\) & \(\mathbb{Q}\) \\
\(\sqrt{2}\) & \(\notin\) & \(\mathbb{Q}\) \\
\(\sqrt{2}\) & \(\in\) & \(\mathbb{R}\) \\
\end{tabular}

\section{Teilmenge}
\(A, B\) \quad A ist eine Teilmenge von B: jedes Element von A ist Element von B

\begin{center}
 \(x\in A \longrightarrow x\in B \qquad A \subset B\)
\end{center}

\section{Mengengleichheit}

\(A, B \qquad A = B\)\quad  bedeutet \quad \(A \subset B \land B \subset A\) 

\begin{flushleft}\textbf{Beispiel:}\end{flushleft}

\(A = \Big\{\frac{4}{8},\frac{38}{57},\frac{1}{2},\frac{9}{18},\frac{3}{6}\Big\} \qquad B=\Big\{\frac{1}{2},\frac{2}{3}\Big\} \qquad C=\Big\{\frac{2}{3}\Big\} \)

\bigskip

\(C \subset A, \qquad C \subset B, \qquad (A \subset B) \land (B \subset A) \Rightarrow A = B \)


\chapter{Mengenoperationen}

\(A, B \rightsquigarrow \) neue Mengen

\begin{itemize}
\item Vereinigung von \(A\) und \(B\) (\(A \cup B\)) besteht aus allen Elementen von \(A\) und aus allen Elementen von \(B\).
\item Durchschnitt von \(A\) und \(B\) (\(A \cap B\)) besteht aus allen Elementen, die sowohl der Menge \(A\) als auch \(B\) angehören. 
\end{itemize}


\begin{flushleft}\textbf{Beispiel:}\end{flushleft}

\begin{tabular}{cl}
Menge & Beschreibung \\
\hline
\(S\) & Menge aller Studienanfänger der TUD im Jahre 2003\\
\(B\) & Menge aller Studienbewerber der TUD im Jahre 2003\\
\(A\) & Menge aller Studienanfänger, die ein Abitur haben\\
\(Z\) & Menge aller Studienanfänger mit Zulassungsprüfung\\
\(M\) & Menge aller Studienanfänger die den Brückenkurs besuchen\\
\end{tabular}

\bigskip

Es gilt z.B.:

\(S \subset B \qquad A \cup Z \cup M = S\) \qquad \(B \owns N, I \qquad B = I \cup N\) \qquad \(I \cap N = \emptyset\)

\bigskip

\(A, B\) heißen \textit{disjunkt}, wenn der Durchschnitt leer ist (\(A \cap B = \emptyset\)). Die Differenz von \(A\) und \(B\), \(A \smallsetminus B\) ist die Menge aller der Elemente von A, die nicht in B liegen.

\section{Komplement}

\(A = \Omega\).

\bigskip

Das Komplement von \(A\) in \(\Omega\): Alle Elemente aus \(\Omega\), die \textit{nicht} zu \(A\) gehören. \(\Omega \smallsetminus A = A^{c}\).

\bigskip

\(A^{c} = \{x \in \Omega : x \notin A\} \qquad A^{c} \in \Omega\)

\((A^{c})^{c} = \{x \in \Omega : x \notin A^{c}\} = A\)


\begin{flushleft}\textbf{Beispiel:}\end{flushleft}

\(\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\)

\(A = \{\textnormal{gerade}\} = \{2, 4, 6\} \)

\(B = \{\textnormal{ungerade}\} = \{1, 3, 5\}  \)

\bigskip

Es gilt:

\begin{tabular}{lll}
\(A^{c} = B\) & \(B^{c} = A\) & \(A \cup B = \Omega\) \\
\((A^{c})^{c} = A\) & \(A \cap B = \emptyset\) & \\
\end{tabular}

\section{Geordnete Paare, kartesisches Produkt}

\(A, B\). \((a,b)\) ist ein geordnetes Paar, wenn \(a \in A\) und \(b \in B\); \(A \ne \emptyset\), \(B \ne \emptyset\).
Die Gesamtheit aller geordneten Paare bezeichnet man als \textit{kartesisches Produkt},  \(A \times B\):

\bigskip

\(A \times B = \{(a,b): a \in A, b \in B\}\)
\begin{flushleft}
\(A \times B\): Produktmenge von \(A\) und \(B\). Analog wird die Menge \(B \times A\) definiert:
\end{flushleft}

\(B \times A = \{(a,b): a \in B, b \in A\}\)

\begin{flushleft}\textbf{Anschauliche Darstellung}\end{flushleft}

\(A = [20,60] \qquad B = [30, 50] \)

\begin{center}
\begin{picture}(100,100)
 \put(20,0){\vector(0,1){75}}
 \put(10,70){$B$}
 \put(10,12){\vector(1,0){75}}
 \put(80,0){$A$}
 \multiput(30, 10)(0,5){10}{\line(0,1){3}}
 \multiput(70, 10)(0,5){10}{\line(0,1){3}}
 \put(25,0){$20$}
 \put(65,0){$60$}
 \multiput(18,30)(5,0){13}{\line(1,0){3}}
 \multiput(18,50)(5,0){13}{\line(1,0){3}}
 \put(5,26){$30$}
 \put(5,46){$50$}
 \put(35,35){$A\times B$}
\end{picture}
\begin{picture}(100,100)
 \put(20,0){\vector(0,1){75}}
 \put(10,70){$A$}
 \put(10,12){\vector(1,0){75}}
 \put(80,0){$B$}
 \multiput(10, 20)(5,0){10}{\line(1,0){3}}
 \multiput(10, 60)(5,0){10}{\line(1,0){3}}
 \put(0,15){$20$}
 \put(0,55){$60$}
 \multiput(30,10)(0,5){13}{\line(0,1){3}}
 \multiput(50,10)(0,5){13}{\line(0,1){3}}
 \put(26,0){$30$}
 \put(46,0){$50$}
 \put(35,45){$B$}
 \put(35,35){$\times$}
 \put(35,25){$A$}
\end{picture}

\bigskip

\(A \times B \ne B \times A\)

\end{center}


\((a,b) = (a',b') \qquad a,a' \in A \quad b,b' \in B\)


genau dann, wenn \(a = a'\textnormal{ und }b = b'\)

\bigskip

\textbf{NB:} \((a,b) \textnormal{ geordnetes Paar } \ne \{a,b\} \textnormal{ zweipunktige Menge }\)

\newpage

\begin{flushleft}\textbf{Beispiel:}\end{flushleft}

\textbf{1. Sämtliche digitalen Zeitangaben}

\(S = \{n \in \mathbb{N}_{0}: n \leqq 23\} \)

\(M = \{m \in \mathbb{N}_{0}: n \leqq 59\} \) \\

\(S \times M = \{(n,m): n \in S, m \in M \}\)

\chapter{Abbildungen}

Jedem Dresdener Bewohner wird seine Adresse zugeordnet:

\(X \stackrel{f}{\longrightarrow} Y \qquad \forall x \in X\) wird exakt ein \(y \in Y\) zugeordnet.

\(X\) : alle Einwohner Dresdens

\(Y\) : alle Adressen Dresdens

\bigskip

Man bezeichnet \(X \stackrel{f}{\longrightarrow} Y \) als \textit{Abbildung}.

\bigskip

\(x\) : Definitionsbereich

\(f\) : Abbildungsvorschrift

\(Y\) : Bildbereich

\bigskip

\(X \owns x \Rightarrow f(x) \in Y\) (Bild von \(x\))

\bigskip

\(Y \longrightarrow y \qquad \{x \in X: f(x)=y\} = f^{-1}(y)\) (Urbild von y).

\bigskip

\begin{flushleft}\textbf{Beispiel:}\end{flushleft}

\(B\) : Alle Adressen einer Straße \(\Rightarrow f^{-1}(B)\) : Alle Einwohner der Straße.

\bigskip

\(Y \supset B \qquad \{x \in X: f(x) \in B\} = f^{-1}(B)\) (Urbild der Menge B).

\begin{flushleft}\textbf{NB:}\end{flushleft}

\(X\) : Menge aller Autobesitzer

\(Y\) : Menge aller Autos

\bigskip

\(X \longrightarrow Y\)  ist \textit{keine} Abbildung, da nicht eindeutig, d.h. einem Autobesitzer können mehrere Autos zugeordnet werden.

\bigskip

Wenn bei einer Abbildung Y eine Teilmenge von Zahlen ist, nennt man die Abbildung eine \textit{Funktion}.

\section{Klassifizierung von Abbildungen}

\(f: X \longrightarrow Y\)

\bigskip

\subsection{Injektiv}

\(f\) : \textit{Injektiv} (eindeutig, \textit{one-to-one}, 1--1), wenn die folgende Aussage gilt, d.h. wahr ist:

\bigskip

\(x_{1},x_{2} \in X, x_{1} \ne x_{2} \Rightarrow f(x_{1}) \ne f(x_{2})\)

\bigskip

Diese Aussage is äquivalent zu:

\bigskip

\(x_{1},x_{2} \in X,  f(x_{1}) = f(x_{2})\Rightarrow x_{1} = x_{2} \)

\begin{flushleft}\textbf{Beweis:}

\(x_{1}, x_{2} \in X, f(x_{1}) = f(x_{2})\).

Annahme: \(x_{1} \ne x_{2}\), dann muß nach Voraussetzung \(f(x_{1}) \ne f(x_{2}) \) gelten. 
 \lightning
\end{flushleft}

\subsection{Surjektiv}

\(f\) : \textit{Surjektiv} (Abb. ``auf'', onto), wenn \(\forall y \in Y\) wenigstens ein \(x \in X\) mit \(y = f(x)\) existiert (d.h. \(Y\) wird durch Bilder bzgl. der Abbildung \(f\) vollständig ausgeschöpft!).

\begin{flushleft}\textbf{Beispiel:}

\(X\) : Menge aller Studenten in Dresden

\(Y\) : Menge aller Zimmer in Dresden, in denen ein Student wohnt.

\(\widetilde{Y}\) : Menge aller Zimmer in Dresden, in denen junge Leute wohnen.

\bigskip

\(\underbrace{X \longrightarrow Y}_{\textnormal{surjektiv}} \qquad \underbrace{X \longrightarrow \widetilde{Y}}_{\textnormal{nicht surjektiv}} \)

\end{flushleft}

\subsection{Bijektiv}

\(f\) : \textit{Bijektiv} oder invertierbar, wenn sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist.

\section{Inverse Abbildung}

\(f: X \longrightarrow Y\) (bijektiv)

\bigskip

\( Y \owns y \stackrel{\textnormal{\tiny{surj.}}}{\rightsquigarrow} \exists\,x \in X \textnormal{ mit } y = f(x) \)

\bigskip

Wie viele solcher \(x\) gibt es? Genau \textit{ein} solches x!

\(\square\) Seien \( x_{1},x_{2} \in X\) so, daß \(f(x_{1})=y=f(x_{2}) \stackrel{\textnormal{\tiny{inj.}}}{\rightsquigarrow}  x_{1} = x_{2}\blacksquare \)

\bigskip

\(\Rightarrow g: Y\longrightarrow X \quad g(y) = x\) so daß \(y = f(x)\) gilt.

\(g\) heißt die \textit{inverse Abbildung} zu \(f = f^{-1} = g\)

\section{Graph einer Abbildung}

\(f: X \longrightarrow Y\)

\bigskip

\(\Gamma_{f} = \{(x,y): x \in X, y=f(x) \in Y\} \subset X \times Y\)

\bigskip

\begin{flushleft}\textbf{Beispiele:}\end{flushleft}

\(X = \{0,1,-1,-2,2,3\} \quad f(x)=x^{2} \quad \Rightarrow Y = \{0,1,4,9\}\) \\

Surjektiv, aber nicht injektiv, \(\nexists f^{-1}\), da z.B. \(y = 1\) nicht eindeutig \(x = 1\) oder \(x = -1\) zugeordnet werden kann.

\bigskip

\(\Gamma_{f} = \{(0,0),(1,1),(-1,1),(-2,4),(2,4),(3,9)\}\)

\chapter{Reelle Zahlen, Ungleichungen}

\(\mathbb{Q}\)\quad Rationale Zahlen, bekannt aus der Schule.

\bigskip

\begin{itemize}
\item \(\mathbb{Q} \owns r\quad \exists\,m,n \in \mathbb{Z}: r = \frac{n}{m}\)
\item Rechenregeln unter den rationalen Zahlen: +, \(\centerdot\)
\item Weitere Eigenschaften [...]
\item Defekte: Diagonale im Einheitsquadrat, Kreisumfang können nicht mittels rationaler Zahlen gemessen werden.
\end{itemize}

\(\leadsto\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \{\textnormal{irrationale Zahlen}\} \quad \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\)

\bigskip

Für den neuen Zahlenbereich wird als neue Multiplikation \(\boxtimes\) und Addition \(\boxplus\) eingeführt.

\begin{center}
\(\underbrace{
\begin{tabular}{l|l}
In \(\mathbb{Q}\) & In \(\mathbb{R}\) \\
\hline
\(r,s \in \mathbb{Q}\) & \(r,s \in \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\) \\
\(r+s=t \in \mathbb{Q}\) & \(r\boxplus=t\) \\
\(r\centerdot s =u \in \mathbb{Q}\) & \(r\boxtimes s = u\) \\
\end{tabular}}_{\textnormal{ \textit{Natürlichkeit} von } \boxtimes \textnormal{ und } \boxplus}\)
\end{center}

\section{Axiomensystem}
\textbf{Gleiche Gesetze wie für \(\mathbb{Q}\)}

Addition: \(x_{1} + x_{2} + x_{3} + \dots + x_{n} = \displaystyle{\sum_{i=1}^n x_{i}}\)

Multiplikation:  \(x_{1}x_{2}x_{3} \dots  x_{n} = \displaystyle{\prod_{i=1}^n x_{i}}\)

\begin{flushleft}\textbf{Ordnungsaxiome}\end{flushleft}

\(\forall\,x,y \in \mathbb{R}\) entweder \(x < y\) oder \(x > y\) oder \(x = y\).

\bigskip

\(x > y \quad y > z \Rightarrow x > z\)

\bigskip

\(\begin{array}{l}x > y \\ \lambda > 0\end{array}\Big\}  \lambda x > \lambda y \)
 
\bigskip

\(x > y \Rightarrow x+z > y+z \forall z \in \mathbb{R}\)

\bigskip

\begin{flushleft}\textbf{Vollständigkeitsaxiom}\end{flushleft}

Darstellung aller reellen Zahlen.

\section{Intervalle}
\(a,b \in \mathbb{R}\)

\bigskip

\begin{tabular}{llll}
\([a,b]\) & = & \(\{x \in R: a \le x \le b\}\) & abgeschlossen \\
\((a,b)\) & = & \(\{x \in R: a < x < b\}\) & offen \\
\([a,b)\) & = & \(\{x \in R: a \le x < b\}\) & halboffen \\
\((a,b]\) & = & \(\{x \in R: a < x \le b\}\) & halboffen \\
\end{tabular}

\section{Ungleichungen}


\begin{center}
\begin{picture}(275,100)
 \put(137,95){$a\le b$}
 \put(148,90){\vector(-3,-1){50}}         %% linker pfeil (+ Schiene)
 \put(120,85){$+$}
 \put(80,60){$\forall\,x\in\mathbb{R}$}
 \put(65,50){$a + x \le b + x$}
 \put(152,90){\vector(3,-1){50}}         %% rechter pfeil (* Schiene)
 \put(180,85){$*$}
 \put(190,60){$x \in \mathbb{R}$}
 \put(205,50){\vector(3,-1){50}}
 \put(205,50){\vector(0,-1){17}}
 \put(205,50){\vector(-3,-1){50}}
 \put(145,25){$x > 0$} \put(140,15){$ax \le bx$}
 \put(195,25){$x < 0$} \put(190,15){$ax \ge bx$}
 \put(245,25){$x = 0$} \put(245,15){$0 = 0$}
\end{picture}
\end{center}


\begin{flushleft}\textbf{Beispiel:}\end{flushleft}
Man bestimme alle \(x\in\mathbb{R}\), die der Ungleichung \(\frac{x}{x+1}\le\frac{1}{2}\) genügen (\(x \ne -1\)).

\bigskip

Fallunterscheidung:

\begin{itemize}
\item \(x+1 > 0 \leadsto x \le \frac{1}{2}(x+1)\)
\item \(x+1 < 0 \leadsto x \ge \frac{1}{2}(x+1)\)
\end{itemize}

\(\mathbb{L} = \{-1,1\}\)

\section{Betragsfunktion}

\(|\centerdot|: \mathbb{R}\longrightarrow[0,+\infty]\)

\bigskip

\(
x = \left\{ \begin{array}{ll}
x & \textnormal{wenn }x \ge 0\\
-x & \textnormal{wenn }x < 0\\
\end{array} \right.
\)

\begin{flushleft}\textbf{Eigenschaften:} \(x,y \in \mathbb{R}\)

\bigskip

\begin{tabular}{lll}
\(|x| \ge 0\) & \(-|x| \le x \le |x|\) & \(|x| = |-x|\) \\
 & & \\
\(|xy| = |x|\,|y|\) & \(|x+y| \le |x|+|y|\) & (Dreiecksgleichung)\\
\end{tabular}
\end{flushleft}

\chapter{Das kartesische Koordinatensystem}

\begin{center}
\begin{picture}(200,200)
 \put(5,5){$O$}                      %% O
 \put(20,20){\circle{5}}             %% Punkt O
 \put(10,20){\vector(1,0){190}}      %% x-achse
 \put(20,10){\vector(0,1){190}}      %% y-achse
 \put(185,5){$x$}                    %% x
 \put(5,185){$y$}                    %% y
 \put(75,20){\circle{5}}             %% Punkt E1
 \put(70,25){$E_{1}$}                %% E1
 \put(73,5){$1$}                     %% 1
 \put(20,75){\circle{5}}             %% Punkt E2
 \put(24,70){$E_{2}$}                %% E2
 \put(4,70){$1$}                     %% E2
 \put(125,20){\circle{5}}            %% Punkt X1
 \put(120,5){$x_{1}$}                %% x1
 \put(127,25){$X_{1}$}               %% X1
 \put(20,125){\circle{5}}            %% Punkt X2
 \put(5,120){$x_{2}$}                %% x2
 \put(25,130){$X_{2}$}               %% X2
 \put(20,125){\line(1,0){105}}       %% X2-X
 \put(125,20){\line(0,1){105}}       %% X1-X
 \put(125,130){$X \widehat{=} \left( \matrix{x_{1}\cr x_{2}} \right)$}                  %% X
 \put(125,125){\circle{5}}           %% Punkt X
 \put(20,20){\vector(1,1){105}}      %% vector X
 \put(75,82){$\mathbf{x}$}           %% x
\end{picture}
\end{center}

KS(\(O;x_{1},x_{2}\))

\bigskip

\(X \in E^{2} \leftrightarrow \mathbf{x} = \left(\matrix{x_{1}\cr x_{2}}\right) \in \mathbb{R}^2 = \bigg\{\left(\matrix{x_{1}\cr x_{2}}\right): x_{1,2} \in \mathbb{R}\bigg\}\)

\bigskip

\(X\) : Punkt 

\(E^{2}\) : Ebene 

\(\mathbf{x}\) : Koordinatenvektor 

\(\left(\matrix{x_{1}\cr x_{2}}\right)\) : \(x_{1}\) = Abszisse, \(x_{2}\) = Ordinate 


\newpage

\section{Koordinatentransformation}

\begin{flushleft}
KS(\(O;x_{1},x_{2}\)) mit Nullpunkt \(O\)

\bigskip

KS(\(A;x'_{1},x'_{2}\)) mit Nullpunkt \(A (a_{1},a_{2})\)

\bigskip

\end{flushleft}

\begin{center}
\begin{picture}(200,200)
 \put(5,5){$O$}                      %% O
 \put(20,20){\circle{5}}             %% Punkt O
 \put(10,20){\vector(1,0){190}}      %% x-achse
 \put(20,10){\vector(0,1){190}}      %% y-achse
 \put(185,5){$x$}                    %% x
 \put(5,185){$y$}                    %% y
 \put(75,20){\circle{5}}             %% Punkt E1
 \put(70,25){$E_{1}$}                %% E1
 \put(73,5){$1$}                     %% 1
 \put(20,75){\circle{5}}             %% Punkt E2
 \put(24,70){$E_{2}$}                %% E2
 \put(4,70){$1$}                     %% E2
 \put(125,20){\circle{5}}            %% Punkt X1
 \put(120,5){$x_{1}$}                %% x1
 \put(127,25){$X_{1}$}               %% X1
 \put(20,125){\circle{5}}            %% Punkt X2
 \put(5,120){$x_{2}$}                %% x2
 \put(25,130){$X_{2}$}               %% X2
 \put(20,125){\line(1,0){105}}       %% X2-X
 \put(125,20){\line(0,1){105}}       %% X1-X
 \put(125,130){$X \widehat{=} \left( \matrix{x_{1}\cr x_{2}} \right)$}                  %% X
 \put(125,125){\circle{5}}           %% Punkt X
 \put(100,20){\circle{5}}            %% Punkt a1
 \put(95,5){$a_{1}$}                 %% a1
 \put(20,100){\circle{5}}            %% Punkt a2
 \put(5,95){$a_{2}$}                 %% a2
 \put(100,20){\line(0,1){105}}       %% a1-A
 \put(20,100){\line(1,0){105}}       %% a2-A
 \put(100,100){\circle{5}}           %% Punkt A
 \put(90,90){$A$}                    %% A
 \put(100,125){\circle{5}}           %% Punkt x2'
 \put(97,130){$x'_{2}$}              %% x2'
 \put(125,100){\circle{5}}           %% Punkt x1'
 \put(130,100){$x'_{1}$}             %% x1'
 \put(100,100){\vector(1,1){25}}     %% A-X
\end{picture}
\end{center}


\begin{tabular}{lcl}
\(x_{1} = a_{1} + x'_{1}\) & & \(x'_{1}  = x_{1} - a_{1}\) \\
& bzw. & \\
\(x_{2} = a_{2} + x'_{2}\) & & \(x'_{2}  = x_{2} - a_{2}\) \\
\end{tabular}

\bigskip

\textbf{In Vektorschreibweise}

\bigskip

$\mathbf{x = a + x'}$

bzw. 

$\mathbf{x' = x - a}$

Wobei für die Addition von Zahlen-2-Tupeln, \(\mathbf{a,b} \in \mathbb{R}^{2}\) gilt:

\bigskip

$\mathbf{a \pm b} = \left(\matrix{a_{1}\cr a_{2}}\right) \pm \left(\matrix{b_{1}\cr b_{2}}\right) := \left(\matrix{a_{1} \pm b_{1}\cr a_{2} \pm b_{2}}\right)$

\bigskip
Graphische Darstellung der Addition, anschaulicher Beweis für das Kommutativgesetz bei der Addition von Vektoren:

\begin{center}
\begin{picture}(200,70)
 \put(0,0){$O$}                                %% O
 \put(10,10){\vector(1,1){50}}                 %% summe
 \put(10,10){\vector(4,1){50}}                 %% a
 \put(60,22){\vector(0,1){38}}                 %% x'
 \put(10,10){\vector(0,1){37}}                 %% a
 \put(10,47){\vector(4,1){50}}                 %% x'
 \put(1,25){$\mathbf{x'}$}                     %% x'
 \put(65,40){$\mathbf{x'}$}                     %% x'
 \put(35,5){$\mathbf{a}$}                      %% a
 \put(35,57){$\mathbf{a}$}                     %% a
 \put(60,62){$\mathbf{x}$}                     %% x
\end{picture}
\end{center}




Die Multiplikation geschieht analog koordinatenweise:

\bigskip

$r\mathbf{a} = \left(\matrix{ra_{1}\cr ra_{2}}\right)$

\section{Abstand zweier Punkte nach \protect{\textsc{Pythagoras}}}

Der Abstand der Punkte \(A\) und \(X\) kann mit dem Satz des \textsc{Pythagoras} ermittlet werden:

\bigskip

$\overline{AX} = \sqrt{{x'_{1}}^{2}+{x'_{2}}^{2}} = \sqrt{(x_{1}-a_{1})^{2} + (x_{2}-a_{2})^{2}}$

\section{Norm (Länge) eines Vektors}

Norm (Länge) von \(\mathbf{x} \in \mathbb{R}^{2}\)

\bigskip

\(\Vert x\Vert := \sqrt{{x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}} = \overline{OX}\)

\chapter{Das Polarkoordinatensystem}



\begin{center}
\begin{picture}(200,200)
 \put(5,5){$O$}                      %% O
 \put(20,20){\circle{5}}             %% Punkt O
 \put(10,20){\vector(1,0){190}}      %% x-achse
 \put(20,10){\vector(0,1){190}}      %% y-achse
 \put(185,5){$x$}                    %% x
 \put(5,185){$y$}                    %% y
 \put(75,20){\circle{5}}             %% Punkt E1
 \put(70,25){$E_{1}$}                %% E1
 \put(73,5){$1$}                     %% 1
 \put(20,75){\circle{5}}             %% Punkt E2
 \put(24,70){$E_{2}$}                %% E2
 \put(4,70){$1$}                     %% E2
 \put(125,20){\circle{5}}            %% Punkt X1
 \put(120,5){$x_{1}$}                %% x1
 \put(127,25){$X_{1}$}               %% X1
 \put(20,125){\circle{5}}            %% Punkt X2
 \put(5,120){$x_{2}$}                %% x2
 \put(25,130){$X_{2}$}               %% X2
 \put(20,125){\line(1,0){105}}       %% X2-X
 \put(125,20){\line(0,1){105}}       %% X1-X
 \put(125,130){$X$}                  %% X
 \put(125,125){\circle{5}}           %% Punkt X
 \put(110,20){\circle{5}}            %% Punkt a1
 \put(105,5){$a_{1}$}                %% a1
 \put(20,110){\circle{5}}            %% Punkt a2
 \put(5,105){$a_{2}$}                %% a2
 \put(110,20){\line(0,1){105}}       %% a1-A
 \put(20,110){\line(1,0){105}}       %% a2-A
 \put(110,110){\circle{5}}           %% Punkt A
 \put(100,100){$A$}                  %% A
 \put(110,125){\circle{5}}           %% Punkt x2'
 \put(97,130){$x'_{2}$}              %% x2'
 \put(125,110){\circle{5}}           %% Punkt x1'
 \put(130,100){$x'_{1}$}             %% x1'
 \put(110,110){\vector(1,1){15}}     %% A-X
 \put(110,110){\circle{150}}         %% Polarkreis ;)
 \put(114,112){$\scriptscriptstyle{\varphi}$} %% phi
 \put(115,110){\oval(10,10)[tr]}
\end{picture}
\end{center}

PKS(\(A,a\)) \qquad \(A\): Pol \quad \(a\) : Polarachse (\(\parallel\) x-Achse)

\bigskip

Punkt \(X (\ne A) \leftrightarrow\) Polarkoordinate (\(r,\varphi)\)

Abstand \quad r := \(\overline{AX}\)

Polarwinkel \quad \(\varphi := \measuredangle (a,AX)\)

\bigskip

Dann gilt:

\bigskip
\begin{tabular}{ccc}
\(x'_{1} = r \cos\varphi\) & \footnotesize{bzw. mit} & \(x_{1} = a_{1} + r \cos\varphi\) \\
& \footnotesize{der Koordinaten-} & \\
\(x'_{2} = r \sin\varphi\) & \footnotesize{Transformation} & \(x_{2} = a_{2} + r \sin\varphi\) \\
\end{tabular}

\bigskip



d.h. in vektorieller Schreibweise

\bigskip

$\mathbf{x} = \left(\matrix{x_{1} \cr x_{2}}\right) = \left(\matrix{a_{1} \cr a_{2}}\right) + r\left(\matrix{\cos\varphi \cr \sin\varphi}\right)$

\section{Kreisgleichung und Parameterdarstellung}

Kreis \(k(A,r)\)\qquad Radius \(x\), Mittelpunkt \(A\)

\bigskip

Definition als Menge:

\bigskip

\(k(A,r) = \{x:\overline{AX}=|\mathbf{x-a}| = r\}\) \qquad \(A\): fest, \(r\): const > 0

\bigskip

Die allgemeine Kreisgleichung lautet:

\bigskip

\(\Vert \mathbf{x-a} \Vert = r \Leftrightarrow (x_{1}-a_{1})^{2} + (x_{2}-a_{2})^{2} = r^{2}\)

\bigskip

Parameterdarstellung:

\bigskip

\(k(A,r): x = x(\varphi) = a + r\left(\matrix{\cos\varphi \cr \sin\varphi}\right)\) \qquad\qquad \(\varphi = [0,2\pi)\)


\section{Drehungen}

Drehpunkt \qquad \(A(a_{1},a_{2})\) \qquad \qquad Drehwinkel \qquad \(\varphi\)


\begin{center}
\begin{picture}(100,100)
 \put(5,5){$O$}                      %% O
 \put(10,20){\vector(1,0){90}}       %% x-achse
 \put(20,10){\vector(0,1){90}}       %% y-achse
 \put(85,5){$x$}                    %% x
 \put(5,85){$y$}                    %% y
 \put(40,40){\circle{5}}             %% A
 \put(70,35){\circle{5}}             %% X
 \put(50,65){\circle{5}}             %% X'
 \qbezier(70,35)(75,60)(50,65)       %% drehung
 \put(40,40){\line(5,-1){30}}        %% AX
 \put(40,40){\line(2,5){10}}        %% AX'
 \put(45,42){$\scriptstyle{\curvearrowleft \varphi}$}         
 \put(28,35){$\scriptstyle{A}$}                    %% A
 \put(72,25){$\scriptstyle{X (r,\varphi_{0})}$}                    %% X
 \put(50,70){$\scriptstyle{X^{\delta} (r,\varphi_{0}+\varphi)}$}            %% X'
\end{picture}
\end{center}

Punkt \(X\) wird auf einem Kreis \(k(A,\overline{AX})\) zu dem Bildpunkt \(X^{\delta}\) bewegt.

\bigskip

Vektorformel für die Drehung \(\delta\), mit \(r = \overline{AX}, (r,\varphi_{0})\) bzw. \((r,\varphi_{0}+\varphi)\) sind Polarkoordinaten von \(X\) bzw. \(X^{\delta}\) bezüglich PKS(\(A,x'_{1})\).

\bigskip

$\mathbf{x} = \left(\matrix{a_{1} \cr a_{2}}\right) + r\left(\matrix{\cos\varphi_{0} \cr \sin\varphi_{0}}\right)$

\smallskip

bzw.

\smallskip

$\mathbf{x^{\delta}} = \left(\matrix{a_{1} \cr a_{2}}\right) + r\left(\matrix{\cos(\varphi_{0}+\varphi) \cr \sin(\varphi_{0}+\varphi)}\right)$ 

\bigskip

Aufgrund der Additionstheoreme gilt daher:

\smallskip

$x^{\varphi} = \left(\matrix{a_{1} \cr a_{2}}\right) = \left(\matrix{r\cos\varphi_{0}\cos\varphi+r\sin\varphi_{0}\sin\varphi  \cr r\sin\varphi_{0}\cos\varphi+r\cos\varphi_{0}\sin\varphi}\right)$

\bigskip

Wegen \quad \(x_{1}-a_{1} = r\cos\varphi_{0} \textnormal{ und } x_{2}-a_{2} = r\sin\varphi_{0}\) folgt:

\smallskip

$\mathbf{x^{\delta}} = \left(\matrix{a_{1} \cr a_{2}}\right) + \left(\matrix{(x_{1}-a_{1})\cos\varphi-(x_{2}-a_{2})\sin\varphi \cr (x_{1}-a_{1})\sin\varphi-(x_{2}-a_{2})\cos\varphi}\right)$


\subsection{Additionstheoreme}

\begin{flushleft}
$\cos(\varphi_{0}+\varphi) = \cos\varphi_{0}\cos\varphi - \sin\varphi_{0}\sin\varphi$

\smallskip

$\sin(\varphi_{0}+\varphi) = \sin\varphi\cos\varphi + \cos\varphi_{0}\sin\varphi_{0}$
\end{flushleft}

\section{Parameterdarstellung der Gerade}

Parameterdarstellung der Gerade \(g_{A,v}\).

\bigskip

\(\mathbf{x = a} + r\mathbf{v} \qquad -\infty < r < \infty\)

\bigskip

\(\mathbf{a} : Ortsvektor \qquad \mathbf{v} : Richtungsvektor\)

\bigskip

$\mathbf{v} = \left(\matrix{v_{1} \cr v_{2}}\right) = \left(\matrix{\cos\varphi \cr \sin\varphi}\right)$

\bigskip

\begin{center}
\begin{picture}(200,200)
 \put(5,5){$O$}                      %% O
 \put(20,20){\circle{5}}             %% Punkt O
 \put(10,20){\vector(1,0){190}}      %% x-achse
 \put(20,10){\vector(0,1){190}}      %% y-achse
 \put(185,5){$x$}                    %% x
 \put(5,185){$y$}                    %% y
 \put(94,15){\line(0,1){90}}        %% a1 - A
 \put(15,100){\line(1,0){80}}       %% a2 - A
 \put(90,5){$a_{1}$}                 %% a1
 \put(5,100){$a_{2}$}                %% a2
 \put(130,15){\line(0,1){135}}        %% b1 - B
 \put(15,148){\line(1,0){115}}       %% b2 - B
 \put(125,5){$b_{1}$}                 %% b1
 \put(5,148){$b_{2}$}                %% b2

 \put(114,15){\line(0,1){115}}        %% x1 - X
 \put(15,127){\line(1,0){100}}       %% x2 - X
 \put(110,5){$x_{1}$}                 %% x1
 \put(5,127){$x_{2}$}                %% x2

 \put(94,100){\circle{5}}            %% Punkt A
 \put(95,88){$A$}                    %% A
 \put(114,127){\circle{5}}            %% Punkt X
 \put(115,110){$X$}                    %% X
 \put(34,20){\line(3,4){120}}        %% g
 \thicklines
 \put(94,100){\vector(3,4){20}}
 \put(95,115){$\mathbf{v}$}
 \put(50,50){$g$}
 \thinlines
 \put(130,148){\circle{5}}            %% pu B
 \put(120,155){$B$}                 %%  B
\end{picture}
\end{center}

\(\varphi\): Anstiegswinkel von \(g_{A,v}\) gegenüber der x-Achse (\(\varphi \ne \pm \frac{\pi}{2}\)).

\bigskip

\(m := \tan\varphi = \frac{\mathbf{v_{2}}}{\mathbf{v_{1}}} = \frac{x_{2} - a_{2}}{x_{1} - a_{1}}\)

\smallskip

\(m :\) Anstieg

\bigskip

Mit \(r_{B} \ne 0\) folgt der Punkt \(B: b = \mathbf{a} + r_{B}\mathbf{v}\) auf \(g_{A,v}\).

\smallskip

Dann gilt:

\bigskip

$m = \frac{b_{2} - a_{2}}{b_{1} - a_{1}}$

\bigskip

somit

\bigskip

$\frac{x_{2} - a_{2}}{x_{1} - a_{1}} = \frac{b_{2} - a_{2}}{b_{1} - a_{1}}$

\bigskip

also: $ (b_{2} - a_{2})(x_{1} - a_{1}) - (b_{1} - a_{1})(x_{x} - a_{x}) = 0$

\smallskip

(Zwei-Punkte-Gleichung für die Gerade \(g_{A,v}\)).

\section{Skalarmultiplikation}

Für die Multiplikation zweier Vektoren wird die Skalarmultiplikation eingeführt:

$\left(\matrix{x_{1}\cr x_{2} \cr \vdots \cr x_{n}}\right) \left(\matrix{y_{1}\cr y_{2} \cr \vdots \cr y_{n}}\right) = x_{1}y_{1} + x_{2}y_{2} + \dots + x_{n}y_{n}$















\end{document}